VETORES, MATRIZES, E DETERMINANTES

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1 VETORES, MATRIZES, E DETERMINANTES MAXIMILIAN EMIL HEHL INFORMAÇÕES lea N. Abril 1967 INSTITUTO DE ENERGIA ATÔMICA Cix Postl (Pinheiros) CIDADE UNIVERSITÁRIA "ARMANDO DE SALLES OLIVEIRA" SÃO PAULO BRASIL

2 VETORES. MATRIZES. E DETERMINANTES Mximilin Emil Hehl SERVIÇO DE CÁLCULO ANALÓGICO E DIGITAL Instituto de Energi Atômic São Pulo - Brsil Informções n9 7 Abril

3 Coião lclonl de Energi Nucler Presidente: Prof. Uriel d Cost Ribeiro IpttTOiridde de So, Pulo Reiton Prof«Dr Luis Antonio d Gs e Silv Instituto de Energi Atômic Diretor: Prof. Rómulo Ribeiro Pieroni Conselho Técnico-Científico do IRA Profoteo José Mour Gonçlves Prof«Dr. José Augusto Mrtin Prof«Dr. Rui Ribeiro Frnco Prof 0 Dr Theodoreto H I 0 de Arrud Souto pel USP pel CHES Divisões Dldátlco-Clentífics Divisão de Físic lucler - Chefes Prof«Dio Mrcello D.S 0 Sntos Divisão de Rdioquímic ~ Chefe: ProfoDr. Fusto Vlter de Lim Divisão de Rdiobiologí - Chefes ProfoDr. Rómulo Ribeiro Pieroni Divisão de Metlurgi Hucler - Chefe: Prof.Dr, Thrcísio D 0 S o Sntos Divisão de Engenhri Químic - Chefe: Lic. Alcídio Abrão Divisão de Engenhri Nucler - Chfe; Engo Pedro Bento de Cmrgo Divisão de Operção e Mnutenção de Retores - Chefe: Eng«Azor Cmrgo Pentedo Filho Divisão de Físic de Retores - Chefe: ProfoDr. Pulo Sriv de Toledo Divisão de.ensino e Formção -

4 ÍNDICE TEÓRICO Pgin 1 - INTRODUÇÃO VETORES MATRIZES OPERAÇÕES COM MATRIZES Multiplicção de Mtrizes Ftorizço de Mtrizes Adição de Mtrizes Multiplicção de Mtrizes por Esclr DETERMINANTES Menor Complementr Complemento Algébrico Coftor Reduzido Leis de Lplce Proprieddes Elementres de Determinntes Clculo de Determinnte por Condensção Clculo de Determinnte pelo Método de Guss Clculo de Determinnte pelo Metodo de Crout PROPRIEDADES DE ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS 29 - MATRIZES UNITÁRIAS, 30 - MATRIZES NULAS 30 - MATRIZES DIAGONAIS 31 - MATRIZES DIAGONAIS SUPERIOR E INFERIOR UNITÁRIAS MATRIZES COLUNA E LINHA UNITÁRIAS 32 - MATRIZES DIAGONAL INVERSA UNITÁRIAS MATRIZES TRANSPOSTA. INVERSA, E ADJUNTA DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA 40

5 Pgin Inversão de Mtrizes pelo Metodo de Eliminção de Guss Inversão de Mtrizes pelo Método de Crout DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES 45 AGRADECIMENTOS 49 BIBLIOGRAFIA 49 ************

6 ÍNDICE DE PROGRAMAS Pgin 1 - Adição e subtrção de dois vetores Multiplicção de um vetor por um esclr Produto esclr de dois vetores Produto de mtriz qudrd por vetor Produto de dus mtrizes qudrds Produto de dus mtrizes quisquer Determinnte pelo método d Condensção Determinnte pelo método de Guss Determinnte pelo método de Crout ; Produto d trnspost por vetor Invers de um mtriz 41 *****************

7 1 - INTRODUÇÃO Equções lineres precem em muitos problems de enge_ nhri, fís ic, mtemátic plicd^ e outros cmpos de grnde in teresse. Por exemplo, resolvendo-se um equção derivds prciis do tipo elítico, tl como equção de Lplce, nós, frequentemente, cobrimos região ser estudd com um mlh retn guir e procurmos determinr os vlores d solução nos nós dest mlh. Se substituirmos equção diferencil por um equção de diferenç proximd dquel, somos conduzidos um sistem de equções lineres simultânes com um número de incógnits bstnte elevdo. Nos problems dos vários cmpos, incluindo nálise estruturl, s complicds interções entre s váris quntiddes em estudo podem ser representds por sistems de equções lineres. Tendo em vist fornecer estrutur pr este interes_ snte estudo sobre s equções lineres? é nosso objetivo, neste trblho, expor os conceitos clássicos sobre mtrizes e determi - nntes, inicindo por fundmentos de vetores, fornecendo ssim os instrumentos pr um computção proveitos e preprndo um bse pr novos estudos. Cd tópico presentdo, e onde for convenieii te, será ilustrdo por progrms escritos em lingugem FORTRAN II, e testdos no computdor digitl IBM 1620, Mod. II do Instituto de Energi Atômic. Este trblho é presentdo de modo trtr os ssuntos considerdos em um ordem didátic visndo fcilitr exposjl ço do texto. Assim é que o roteiro por nós seguido, compreende:o conceito fundmentl de vetores e definições reltivs, juntmente com os métodos numéricos e progrms pr sus operções básics; mtrizes: definições dos principis tipos de mtrizes; mtri zes: operções básics com mtrizes incluindo progrmções digitis; determinntes: definição de determinnte de um mtriz e seus elementos, proprieddes fundmentis e métodos pr cálculo

8 2 de determinntes; proprieddes de lgums mtrizes especiis; mtrizes trnspost, invers e djunt; e determinção d mtriz in vers por vários métodos numéricos. A bibliogrfi presentd no finl, list muitos textos geris existentes sobre nlise numéric, juntmente dos com um seleção de textos colteris constituid de revists e certs fontes de relevntes tbels mtemátics e fórmuls. 2 - VETORES 0 leitor deve estr fmilirizdo com o conceito de um vetor no espço bi-dimensionl e no espço tri-dimensionl. Tis vetores têm dus e três componentes, respectivmente. Este concei to pode ser generlizdo o espço n-dimensionl, se definirmos um vetor como sendo um conjunto de n números reis que podem ser escritos n form x, I x (2.1) n N verdde, os x^ podem tmbém ser números complexos. Lembremos qui que um número rel é um cso prticulr de um número complexo onde prte imginári é zero. 0 vetor n iguldde (2.1) é chmdo vetor colun. Se os n números forem dispostos em um rrnjo horizontl, (2.2)

9 . 3. o vetor x e chmdo vetor linh. As quntiddes x^ so chmds s componentes de x, ene chmdo dimensão do vetor x. Vetores de um únic dimensão, isto é, de um únic componente, so chm dos esclres. Recordemos que no espço bi- e tri-dimensionl dois ye tores so iguis se e somente se sus componentes forem iguis n mesm ordem, e que operção de dição de dois vetores e relizji d somndo-se s componentes que se correspondem. A multiplicção de um vetor por um esclr signific que cd componente do vetor é multiplicd pelo mesmo número rel. Se estes conceitos são generlizdos o espço n-dimen sionl, somos conduzidos s seguintes definições formis. Dois ye tores x e y so iguis se e somente se sus componentes so iguis, isto é, x_ = y^ pr i = 1, 2, 3,..., n. A dição e subtrção de dois vetores x e y ddos por x = (x^, x^, x^, X r ) e... y = (y^, y^, y^>» y n ) ú indicd por x - y e é definid por r- + -i ou PROGRAMA 1: Estes progrm, em form de Função Subprogrm, permite efetur dição ou subtrção de dois vetores x e y com té 20

10 4 componentes em cd um. SUBROUTINE GRAC03(N,VU,V5,AS,INDAOS) DIMENSION Vl»(20),V5(20),AS(20) IF(INDAOS>10,50,30 10 DO 20 1=1,N 20 ÂS(l)=Ví»(l)-V5(l) GO TO DO k0 1=1,N l»0 AS(l)=Vif(l)+V5(l) 50 RETURN END Ö0866 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION onde, V4 V5. AS INDAOS X y dição e subtrção de dois vetores indicdor pr dição ou subtrção dição e comuttiv e ssocitiv, isto e, x + y = y + x e x + (y + z) = (x + y) + z. A multiplicção de um vetor x - (x^,x2, X r ) por um esclr c é* definid pel relção cx, cx. cx = xc = (2.4) cx OU

11 5 cx = xc = j cx^, CX2 c x n _ I PROGRAMA 2: Este progrm, em form de Função Subprogrm, permite efetur multiplicção de um vetor x por um esclr c, onde X = J X.^,, x^,, x^ c = esclr SUBROUTINE GRAC0tt(N,C,V6,EV) DIMENSION V6C20),EV(20) DO 10 K=1,N 10 EV(K)=C*V6CK) RETURN END 50U32 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION onde, C = esclr V6 = vetor EV = produto de esclr por vetor No espço rel bi- e tri-dimensionl, o modulo de um vetor x tem um obvio significdo geométrico, e este módulo, indi cdo por x, pode ser computdo como riz qudrd d som dos qudrdos dos componentes de x. Em dição, o produto esclr de dois vetores x e y é definido por: x y cos 0, onde 0 < 0 < it é" o ângulo formdo pelos dois vetores. No espço bi- e tri-dimensionl, pode-se demonstrr que este produto esclr é igul x^ y^ + Y2 e y^ + x 2 ^2 + x 3 ^3' r e s P e c t i v m e n t e «

12 . 6. Ests notções podem ser generlizds pr o espço n-dimensionl. 0 produto interno ou o produto esclr de dois vetores x = (x^, x 2, x n ) e y = (y^, y^, y ) é indicdo por (x, y) e e definido por n (x, y) = l x y (2.5) i=l que é um função esclr de x e y. PROGRAMA 3: Este progrm, em form de Função Subprogrm, permite determinr o produto esclr de dois vetores ddos por x (x^, X2,, x^) y = (y ±, y2 v n> utilizndo formul (2.5). SUBROUTINE GRACOHN,VI, V2, PE ) DIMENSION V1(20),V2(20) PE=0. DO 10 1=1,N P=V1(I)*V2(I) 10 PE=PE+P RETURN END Ü0512 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION onde, VI = x V2 = y

13 7 PE = produto esclr de x por y Chmmos de módulo de um vetor x, - relção (x, x) = l X i=l n 2 1/2 É evidente que o modulo de um vetor e zero, se e somente se tods s sus componentes x^ so nuls. 0 vetor cujs componentes são tods nuls é chmdo vetor zero e e indicdo por 0. Então 0 =0 e x >0 se x 4 0. No espço bi- e tri-dimensionl, dois vetores são chmdos vetores ortogonis, se o ângulo formdo por eles é 90,is_ to é, se seu produto esclr e zero. Então, no espço n-dimensionl, dois vetores são ortogonis se e somente se (x, y) = 0. Até o momento, temos considerdo somente vetores com componentes reis. Pr generlizr definição (2.5) pr vetores com componentes complexs, temos somente que substituir y^ por y^, o conjugdo complexo de y^. Se c., c 0, c são esclres, então o vetor 1' 2 m ' 1, 2,. m y = c, xt + c x c x 1 2 m * 1 2 é um combinção liner dos vetores x, x x. Note que te mos usdo índices superiores pr distinguir diferentes vetores ; e est notção no deve ser confundid com notção usd,pr potencis ou expoentes. 1 2 TO Os vetores x, x,..., x so chmdos linermente dje pendentes qundo existirem constntes esclres c., c 0, c, L i m no tods nuls, tl que stisfçm equção 1. 2 m _ c 1 x + c x c x = m

14 8 Em cso contrrio, os vetores x\ x^, x m são linermente independentes, isto é, equção C. X +C-X +...+C x =0 1 2 m implic que c i = c 2 =.. = c = 0. m Se os vetores x\ x^, x m so linermente depen - dentes, pelo menos um deles será um combinção liner dos outros pr no mínimo um ds constntes, digmos c^, e então "1 1 x - k-l k-1 x k+l k+1 X "k c m m x conceito de mtrizes. Dds ests noções básics, vmos gor introduzir o 3 - MATRIZES Um rrnjo retngulr de números reis (ou complexos) com m linhs e n coluns é chmdo um mtriz de m por n, e é indicd, gerlmente, por um letr miúscul, n form ln A = *2n (3.1) ml m2 mn Como exemplo, podemos citr o rrnjo A = que e um mtriz de 2 por 3.

15 9 As quntiddes ^ so chmdos os elementos d mtriz A. Nos nos referiremos ^,.^' '''» c o m o i n i- "sim de A, e à,,,»,,...,. como i-ésim colun de A. J lj 2j mj _ mtriz e chmd mtriz qudrd. Neste cso, n ou m é" linh Se m=n, ' chmdo ordem d mtriz. Os elementos ^ constituem digonl principl de um mtriz qudrd. A mior digonl que cruz em ângulo reto com digonl principl é chmd digonl secundri. Urn mtriz qudrd com todos os elementos nulos bixo de su digonl principl é chmd mtriz tringulr superior, e e gerlmente indicd por U; de modo nálogo, um mtriz qudr d com todos os elementos nulos cim de su digonl principl é chmd mtriz tringulr inferior, e é gerlmente indicd porl. Ento, U = ll 12 *ln n L = ll ^ * * * ^ nn cl - cl A et ni n2 nn Um mtriz qudrd e chmd mtriz digonl, se todos os seus elementos so nulos, exceto àqueles d digonl principl, isto é\ se - 0 pr i 4 J, será indicd por D. _ Se n mtriz digonl todos os elementos d digonl principl so 1, mtriz é" chmd mtriz unitári ou mtriz identidde e é* indicd por I. Ento, ll ^ D = I = nn Um mtriz de qulquer dimensão ou form onde todos os seus elementos so nulos, isto e, 0 pr qulquer i e j, é"

16 10 chmd mtriz zero ou mtriz nul, e ser indicd por 0. Então, 0 = Um mtriz qudrd com 1 n digonl imeditmente ci m d digonl principl e zero ns demis posições é chmd mtriz digonl superior unitári; nlogmente, um mtriz qudrd com 1 n digonl imeditmente bixo d digonl principl e zero ns demis posições é chmd mtriz digonl inferior unitá ri. Indicndo-s, respectivmente por S e S*, temos S = S* = Por nlogi com o vetor linh e o vetor colun, definimos mtriz linh (mtriz 1 por n) e mtriz colun (mtriz,m por 1). Como csos prticulres destes dois tipos de mtrizes, defini mos mtriz colun unitári, e indicmos por 1, mtriz em que todos os seus elementos so 1 independente de su ordem. Anlogmente, um mtriz linh com todos os seus elementos iguis 1 se rá chmd mtriz linh unitári, e será indicd por 1*. Então, temos 1 = * - QL, 1, 1, lj

17 11. Um mtriz qudrd onde todos os seus elementos são nulos, exceto àqueles d digonl secundári que são 1, é chmd mtriz digonl invers unitári, isto e: J = "~ ~ Mis dinte dremos outros tipos de mtrizes que, pr serem definids, necessitm de novos conceitos que so ddos seguir. 4 - OPERAÇÕES COM MATRIZES Vmos considerr gor s operções em e com mtrizes, isto é, construir um álgebr de mtrizes. Ds operções element res, mis importnte é multiplicção, e por est rzão começ remos por el, fzendo, seguir, lgums referêncis à dição. Contudo, ntes queremos introduzir o conceito de iguldde entre dus mtrizes, isto e, dus mtrizes A e B so iguis se e somente se cd ^ de A for igul o correspondente b^ de B, e indic-se A = B Multiplicção de Mtrizes Pr introduzir o conceito de multiplicção de mtrizes, começmos por considerr um trnsformção liner de um vetor x em um vetor y. Tl trnsformção liner pode ser escrit n form n.y = J x, i = 1, 2, n (4.1.1) J 2 j=l onde os coeficientes são quntiddes reis (ou complexs). Se

18 12 escrevemos relção entre x e y dd por (4.1.1) n form y = A x (4.1.2) então, (4.1.1) e (4.1.2) definem multiplicção de um vetor x por um mtriz qudrd A. Em outrs plvrs, o vetor produto A x ê o vetor y cujs componentes so dds por (4.1.1). Por exemplo, trnsformção liner dd por y x = 4 x x 2 y 2 = 3 x^^ + 5 x 2 pode ser escrit n form PROGRAMA 4: Este progrm, em Form de Função Subprogrm, permite determinr o produto de um mtriz qudrd A por um vetor x, ddos por A = ( ij) ' i'j = 1 ' 2» 3 > ' n X = (x^, X 2 > Xg, X^) A multiplicção de um mtriz A por um vetor x é dd por (4.1.1) SUBROUTINE GRAC02(N,A,V3,PMV) DIMENSION A(20,20),V3(20),PMV(20) DO 20 1=1,N SOMA=0. DO 10 J=1,N P=A(I,J)*V3(J) 10 S0MA=S0MA+P 20 PMV(I)=S0MA RETURN END

19 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION onde, A " * = mtriz V3 = vetor" PMV = produto d mtriz pelo vetor A seguir vmos definir multiplicção de um'mtriz por outr mtriz. Pr tnto, considermos um segund trnsformção li ner x - B z (4.1.3) qul converte s componentes de z ns componentes de x. Desejmos expressr s componentes de y em termos ds componentes de z como cim fizemos, y = Ax. Podemos escrever (4.1.3) n form n x. = l b k z, j = 1, 2 n (4.1.4) J k=l J Substituindo (4.1.4) em (4.1.1), temos y± - l ü c í bik\) í < í» ±1 b i k) \ <*.i.5) 1 j=i k-1 j K fc k-1 j-1 1 J J l c k Se introduzirmos um nov mtriz C = c., definid por n C ± k = ± j b J k, i,k = 1, 2, n (4.1.6) podemos escrever y = C z. Desde que, formlmente

20 14. y = A x = A (Bz) = (AB) z Somos conduzidos definir multiplicção de B por A, como sendo C = AB (4.1.7) onde C é determindo por (4.1.6). Note, cuiddosmente, ordem com que o produto de mtrizes é escrito. 0 produto AB é referido ou como B pré-multiplicdo por A ou como A post-multiplicdo por B. Post-multiplicço de um mtriz A por um mtriz B signific que A é pr ser multiplicdo à direit por B. Pré-multiplicção, usdo no mesmo sentido, signific que A é pr ser multiplicdo à esquerd por B. Somente se A e B so comutáveis, isto é, AB=BA, podemos ignorr â ordem d multiplicção. Pr ilustrr como multiplicção de mtrizes, defini d por (4.1.7), é formd, consideremos s trnsformções y l y X l 2-4 x 2 x, ~1-2~ 1 ss Z 2 X 2 Podemos expressr y^ e y 2 em termos de z^ e do seguinte modo y 1 = 3 x x 2 = 3(z x - 2 z ) + 2(2 z 1 + z - = [1(1) + 2(2)~j Z ± + [~3(-2) + 2(1)^ z 2 = 7 z, - 4 z_ y i = 2 x i - 4 x 2 2( Z;L - 2 z 2 ) - 4(2 z ; + z 2 ) = = [2(1) - 4(2)-J z x + p(-2) - 4(1)2 z 2 = " 6 z l " 8 z 2

21 . 15 Em notção mtricil isto pode ser escrito como "7-4" -6-8 Note que o elemento n primeir linh e primeir colun d mtriz produto é" som dos produtos dos elementos correspondentes primeir linh d mtriz d esquerd e primeir colun d d mtriz d direit. Os outros elementos d mtriz produto so determindos de modo nálogo. Um ponto muito importnte considerr é que multi - plicção de mtrizes não é comuttiv. Em outrs plvrs, em gerl AB 4 BA Com um simples exemplo podemos mostrr este comportmente. Se A = B» temos AB = e BA = A primeir cois se notr em multiplicção de mtrizes é que se somente s dus mtrizes so "comptíveis" - se o nu mero de coluns d primeir é igul o numero de linhs d segund-o produto existe. Produtos de tres ou mis mtrizes podem existir, desde que els sejm, em sequênci, comptíveis. Neste cso, é fácil mos*

22 16 trr, pel definição, que propriedde ssocitiv é vlid. Em outrs plvrs, pr s mtrizes A, B, e C, temos (AB) C - A (BC) Nest discussão sobre multiplicção de mtrizes nos nos restringimos mtrizes qudrds. Porém, regr pr formr os elementos d mtriz produto, qul é dd por (4,1.6), é tmbém plicável mtrizes retngulres, desde que o número de coluns d mtriz A sej igul o número de linhs d mtriz B. Então, se A é um mtriz m por n e B é um mtriz n por p, mtriz produto, C, será um mtriz m por p, e em (4.1.6) o índice i vrirá de 1 m, enqunto que k vrirá de 1 p. Nos, normlmente, no usmos o conceito de divisão em álgebr de mtrizes. PROGRAMA 5; Este progrm, em form de Função Subprogrm, permite efetur multiplicção de dus mtrizes qudrds, de ordem menor ou igul IO* SUBROUTINE SQMUMAÍN,A,B,C) DIMENSION A(10,10),BC10,10),C(Í0,10),D(10,10) DO 10 l»l>n- DO 10 J=X/N D(l,J)=0. DO 10 K=I,N 10 D(I,J)=DCI,J)+A(I,K)*BCK,J) DO 20 1*1,N DO 20 d-l,n 20 C(I,J)=D(I,Ü) RETURN END Õ20t*6 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION

23 . 17. onde, N - gru (dimensão) de A e B A - mtriz multiplicndo B - mtriz multiplicdor C - mtriz produto PROGRAMA ' 6: Este progrm, em form de Função Subprogrm, permite efetur multiplicção de dus mtrizes quisquer de ordem menor ou igul 30. SUBROUTINE MMATCI,J,K,A,B,R) DIMENSION A(30,30),B(30,30),R(30>30) DO 10N»1,K DO 30L-1, I SOMA=0. DO fcom-i,j PR0D»A(L,M)*B(M,N) 1*0 S0MA=S0MA+PR0D 30 R(L,N)=S0MA 10 CONTINUE RETURN END CORES USED?9999 NEXT COMMON END OF COMPILATION A -- mtriz multiplicndo B -- mtriz multiplicdor R -- mtriz produto I -- numero de linhs de A J -- numero de coluns de A K - número de coluns de B (*) Colborção do Sr. Antonio Pedro Coco, bolsist do Instituto de Energi Atômic.

24 18. D regr pr multiplicção de mtrizes, um sistem,di gmos, de tres equções simultânes 11 x l + 12 X X 3 21 x l + 22 X X 3 31 x l + 32 X X 3 = Cl = C2 = C 3 pode ser escrito n form mtricil como ll ~ x l~ " C l~ X 2 C X 3 C 3 ou simplesmente como AX = C A mtriz A (gerlmente qudrd) e chmd mtriz do sistem ou mtriz dos coeficientes; s coluns X e C so chmds mtrizes ço luns ds incógnits e ds constntes, respectivmente. E mtriz ll C l C C 3 e chmd mtriz umentd do sistem, e e formd juntndo-se mtriz ds constntes à mtriz dos coeficientes. 0 procedimento mis importnte em qulquer método, de solução de equções simultânes por eliminção, consiste em reduzir o sistem à form de mtriz tringulr superior

25 .19 1 t 12 t 13 X l k l 0 1 fc 23 x 2 = ^ X 3 k 3 ou TX - K e o sistem x l + t 12 X 2 + t 13 X 3 = k l x 2 + fc 23 X 3 = k 2 X 3 = k 3 pode, imeditmente, ser resolvido por substituição invers Ftorizção de Mtrizes 0 conceito de ftorizção, em muitos csos, é de grnde vlor prático. Por exemplo, operção C - AB = B pode ser escrit, ftord, n form C = B + AB = (I + A) B (4.2.1) onde I é mtriz unitári Adição de Mtrizes Necessitmos fzer ums poucs observções sobre dição (e subtrção de mtrizes). Pr dição ser útil e possível, precismos ver qul o significdo d iguldde Ax + Bx = (A + B) x (4.3.1)

26 20. Pr que (4.3.1) tenh significdo, é necessário que tnto A qun to B tenhm o mesmo número de coluns quntos forem os elementos de x; e desde que A x e B x tenh cd um, respectivmente, tntos elementos quntos forem s linhs de A e B, s mtrizes A e B devem ter o mesmo número de linhs. Então, pr dição ser possível, A e B devem ser de mesm dimensão, e n mtriz som os ele mentos so s soms dos correspondentes elementos de A e B. Então, se tem-se C = A + B ij ij ij (4.3.2) A subtrção de mtrizes e trtd como um dição neg tiv Multiplicção de Mtrizes por Esclr Pr se efetur multiplicção de um mtriz A por um quntidde esclr k, multiplic-se todos os elementos d mtriz pelo esclr, isto é, k A - k. (4.4.1) 5 - DETERMINANTES 0 determinnte dos elementos de um mtriz qudrd A e chmdo determinnte de A e é muits vezes indicdo por A, e escreve-se ll 12 ln I A I n (5.1) ci -t " Si r% cl nl n2 nn

27 . 21. Este determinnte é um quntidde esclr função dos elementos., d mtriz A. Pode ser definido formndo-se todos os produtos possíveis consistindo de um elemento de cd linh e cd colun, fixndo-se um sinl proprido, e somndo-os. A ordem de um detej: minnte é o número de linhs e coluns d mtriz qudrd que lhe d origem. Pr escrever o procedimento clássico pr clculr um determinnte, começremos por um determinnte de ordem 2. A definição, neste cso, é" ll = ll 22 ~ vlor de um determinnte de ordem 3 pode ser escrito em termos de determinntes de ordem 2 expndindo-se o determinnte em função dos elementos de qulquer colun (ou de qulquer linh). Por exemplo, temos: ll = " (5.2) onde expnsão é em termos d primeir linh. Em gerl, expressão de um determinnte de ordem n em termos de seus elementos de qulquer colun (ou de qulquer linh), envolverá determinntes de ordem n-1, e deste modo, determinntes de qulquer ordem podem ser clculdos indutivmente. 5«1 ~ Menor Complementr Chm-se menor complementr, ou simplesmente, menor de um elemento ^ n mtriz dos coeficientes, ã mtriz qudrd obti

28 22 d suprimindo-se d mtriz dos coeficientes i-esim linh e j-ésim colun. de 3. ordem. Em (5.2) temos três menores de 2. ordem de um mtriz Complemento Algébrico 0 complemento lgébrico, tmbém chmdo coftor, de um elemento ^j é o produto de seu menor complementr por (-l)"^, e é qui indicdo por Coftor Reduzido Chm-se coftor reduzido de um elemento mtricil, o quociente do coftor pelo determinnte d mtriz, e indic-se por A... Então: A.. Ã,, - i 1 - (5.3) Leis de Lplce Lembrndo (5.2) e com o conceito de coftor de um elemento ^j, podemos dr s dus leis de Lplce: ) "A som dos produtos dos elementos de um linh (ou colun) pelos respectivos coftores é igul o determinnte d mtriz". b) "A som dos produtos dos elementos de um linh (ou colun) pelos coftores dos elementos corresponden tes de um outr linh (ou colun), é nul". Então, regr pr clculr o determinnte A em termos dos elementos d i-esim linh pode ser escrit X I A I - ik A ik k=l ( 5 ' 4 )

29 Proprieddes Elementres de Determinntes Pr referênci, estbelecemos lgums ds proprieddes elementres de determinntes: de sinl. ) Se dus coluns (ou dus linhs) de um determinnte so intercmbiáveis, o vlor do determinnte mud b) Se dus coluns (ou dus linhs) de um determinnte são idêntics, o vlor do determinnte é zero. c) Se todos os elementos de um colun (ou um linh) so multiplicdos por um mesmo número, o determinn te fic multiplicdo por este número. d) Se linhs e coluns de um determinnte são intercm biáveis sem mudr ordem n qul els ocorrem, o vlor do determinnte e inlterável. e) Se os elementos de qulquer colun (ou linh) são somdos os correspondentes elementos de qulquer ou tr colun (ou linh) multiplicdo pelo mesmo número rbitrário, o vlor do determinnte fic inlterável, isto é, o determinnte no se lter se qulquer linh (ou colun) é combinção liner de outr linh (ou colun). f) A som dos produtos de cd elemento de um linh (ou colun) pelo coftor do elemento correspondente de outr linh (ou colun), é zero. Então temos: n l -tt A lk = 0 P r 1 * 1 n Íi ^ *** 0 pr i 4 j

30 .., 24 Combinndo estes resultdos com (5.4) e.q correspondente resultdo pr coluns, podemos.escrever s seguintes relções X ik V --N-i^- (5.5) onde,.q.%t o delt de Kronecker que ssume o vlor 1 qundo i=j, e o vlor 0 qundo : i í j Clculo de Determinnte por Condensção Tendo ddo às proprieddes' elementres de ^ determinntes,,! :vmos proveitr pr dr um dos métodos mis-eficientes pr cálculo de um determinnte de ordem n, " métòdó^dá*'condensção (inicilmente desenvolvido por Chio em 1835),.e que se bsei ns proprieddes c e e do item nterior. Sej o determinnte, ll 12 l3 ' ln A ^ n n ^(5.6) nl;. n2 n.3. nn Aplicndo s dus proprieddes cim mencionds, 3o que equivle dizer, usndo o método d condensção, ó vlor do determinnte... (5.6) pode ser expresso pel seguinte expressão, plicd n-1 vezes :

31 ln 22" 21 n 23" 21 n ' * * 2n~ 21 n n-1 = _ *13 ln 33" 31 n 3n" 31 u (5.7) ln -i o i ci A cl > d cl ^ n2 nl.^ n3 nl ^^ nn nl ^ PROGRAMA 7; Este progrm, em form de Função Subprogrm, permite clculr um determinnte (DETERM) de um mtriz qudrd de ordem menor ou igul 20, pelo método d condensção. 0 lgoritmo básjl co usdo no progrm é bsedo n relção (5.7):. m.i im i.. -*. -. ^ = -. J mm mm. Como rzão é independente do índice j, el é computd um cl vez pr cd vlor de i: QUOCIE = Á(I,M)/A(M,M) e então usd pr cd vlor de j: A(I,J) = A(I,J) - A(M,J) * QUOCIE A = mtriz N = dimensão de A DETERM 2 vlor numérico do determinnte

32 26. SUBROUTINE DMC(A,N,DETERM) DIMENSION A(20,20) K=2 M=l 10 DO 20 l*k,n QUOCIE=ACl,M)/A(M,M) DO 20 J=K,N 20 'A('l,d)-A('l, J)-ACM,J)*QUOCIE IF(K-N)30,t*0 to 30 M=K K=K+1 GO TO 10, i+0 DETERM=1. DO 50 M-1,N 50 DETERM«DETERM*A(M,M) RETURN END 01O8U CORES USED?9999 NEXT COMMON END OF COMPILATION Clculo de Determinnte pelo Método de Guss O método de Guss de eliminção sistemátic pr solução de equções lineres simultnes, é um dos melhores métodos numéricos pr cálculo de determinnte de um mtriz. Deixmos de dr o texto teórico do procedimento numéri co, pois o mesmo no se enqudr no objetivo deste trblho, pr ilustrr progrmção digitl pr este cálculo. Por outro ldo, o desenvolvimento do método de Guss pode ser encontrdo n miori dos livros de Análise e Cálculo Numérico. PROGRAMA 8; Éste progrm, em form de Função Subprogrm, permite

33 27 clculr o vlor numerico do determinnte de utn mtriz A (de ordem menor ou igul 10), utillzndb o metodo de Guss de elimin qo sistemtic. SUBROUTINE DTM(A,N,DET) DIMENSIONA(1Q,1Q),XMAX(10) DO 301-lvN' XMAX(l)-ABSFCAO, I))-' L»l KK=I+1 DO U0K=KK,N IF(XMAX( I )-ABSF(A(K, I)) )50, W, ko 50 XMAXCI)=ABSF(A(K,I)) L=K kq CONTINUE DO 90J=I,N B=A(I,J) A(I,J)=A(L,J) A(L,J)=B 90 CONTINUE M-N 120 A(I,M)=A(I,M)/A(I,I) IF(M-f)100,100, M-M-l GO T IF(I-1)125,125, NN-1 GO T NN-I. 130 NN=NN+1 IFCNN-I)135,130, IF(NN-N)150,150, M=N 170 A(NN,M)=A(NN,M)-A(NN,l)*A(f,M) IF(M-I)130,130, M-M-l GO T CONTINUE DET=1. DO 190I=1,N 190 DET«DET*XMAX(I ) RETURN END

34 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION onde, A 31 mtriz dos coeficientes N = ordem de A XMAX = DET = mior coeficiente de um colun vlor numérico do determinnte Clculo de Determinnte pelo Método de Crout Anlogmente o método de Guss, o método de redução de Crout pr solução de sistems de equções lineres, tmbém é muito eficiente pr clculr o vlor numérico do determinnte de um mtriz. O desenvolvimento deste método é lrgmente discutido nos livros de Clculo Numérico, rzão pel qul deixmos de trnscrevê-lo qui, pr drmos progrmção digitl. PROGRAMA^ 9: Este progrm, em form de Função Subprogrm, permite clculr o vlor numérico do determinnte de um mtriz A (de ordem menor ou igul 10), utilizndo o método de redução de Crout. SUBROUTINE DTC(A,N,DET) DIMENSION A(10,10) DO 10I»1,N 10 A(I,1)»A(I,1) DET=A<1,1) DO 20J=2,N 20 A(1,J)=A(1,J)/A(1,1) (*) Colborção do Sr. Antonio Pedro Coco, bolsist do Instituto de Energi Atômic.'

35 . 29. DO 301-2,N I 1 = 1-1 s=o. DO 35K-1,II P=A(I,K)*A(K,I) 35 S=S+P A(I,I)=A(I,I)-S DET=DET*A(I, I) IF(I-N)31,60,31 31 IF(DET)36,60,36 36 IS=I+1 DO toj=is,n S=0. DO U5K=1,I I P=A(J,K)*A(K, I ) k5 S=S+P í*0 A(J, l)=a(j, I )~S DO 50J=IS,N S=0. DO 55K=1,I I P-ACI,K)*A(K,J) 55 S=S+P 50 A(I,J)=(A(I,J)-S)/A(I,I) 30 CONTINUE 60 RETURN END 02U62 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION onde, A = mtriz dos coeficientes N = ordem de A DET = vlor numerico do déterminnte de A. 6 - PROPRIEDADES DE ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS Pr desenvolver qulquer tipo de Álgebr, necessitmos conhecer lém ds operções fundmentis e os conceitos de "unidde" e "zero", s proprieddes fundmentis de certs mtrizes que muito podem uxilir métodos numéricos que utilizem Álgebr de

36 30. Mtrizes. MATRIZES UNITÁRIAS É fcilmente verificdo que AI = A, e IA = A (6.1) Em (6.1), se A no é qudrd, s dus mtrizes unitáris serão de ordens diferentes, um dels comptível pr post-multiplicço, e outr comptível pr pré-multiplicço. A multiplicção de I por el mesm (qui os I's devem ser de mesm ordem) e um outr mtriz unitári. Então, I. I = I 2 = I (6.2) Consequentemente, pr qulquer n inteiro e positivo I n = I (6.3) MATRIZES NULAS A diferenç entre dus mtrizes iguis é um mtriz nu l, e um vez que um mtriz nul de qulquer ordem é únic, dus mtrizes quisquer que deferirem por um mtriz nul, so iguis. Est propriedde d mtriz nul e nálog quel do zero no sis tem numérico. Tmbém e verdde que A. 0 = 0. A = 0 (6.4) Porém, se A. B = 0, isto no signific que A ou B deve ser um mtriz nul. Por exemplo, (6.5)

37 31 MATRIZES DIAGONAIS Dus ds proprieddes mis interessntes ds mtrizes digonis, so que: u o o b c u ub uc o V o d e f = vd ve vf (6.6) o o w g h k wg wh wk b c u o 0 u bv cw d e f o V o = du ev fw (6.7) g h k 0 o w gu hv kw Então, vemos que mtrizes digonis em pré-multiplicção, multipli -multiplicçâo, multiplicm coluns pelos elementos cm linhs pelos elementos correspondentes d digonl, e em post- correspondentes d digonl. Em consequênci disto, se desejrmos multiplicr todos os elementos de um mtriz por lgum número ou qutidde, podemos fzê-lo pré- (post-) multiplicndo por um mtriz digonl todos os elementos d digonl e" o número ou quntidde em cujos questão. MATRIZES DIAGONAIS SUPERIOR E INFERIOR UNITÁRIAS Tis mtrizes têm proprieddes úteis, tis como: ~0 1 0~ b c d e f~ d e f = g h k g h k (6.8) Isto é, se qulquer mtriz é pre-multiplicd por um mtriz digonl superior unitári (comptível com quel), mtriz produto

38 32 tem ultim linh nul, s outrs linhs so elevds pr s li nhãs de cim, e perde-se primeir linh originl d mtriz multiplicdor. Anlogmente, S* como um pré-multiplicdor, s linhs são bixds, e perde-se últim linh. Post-multiplicndo S ou S* tem-se um efeito correspondente sobre s coluns. por Estes resultdos são csos especiis de um princípio gerl. Se desejmos relizr qulquer operção mtricil sobre s linhs de um mtriz, podemos fzê-l relizndo mesm operção sobre mtriz unitári, e usndo mtriz ssim obtid como um pre-multiplicdor. Anlogmente, pr operr sobre coluns usremos mtriz resultnte como um post-multiplicdor. Por rzoes que podem ser de interesse, vmos considerr produtos e potêncis ds mtrizes digonis superior e infe- 2 rior unitáris. Do exposto, vemos imeditmente que S. S (ou S ) ê um mtriz com uniddes somente n 2. digonl superior. Pels 3 mesms rzões, S tem uniddes somente n 3á. digonl superior, e ssim sucessivmente. Finlmente, por este processo, pesquizmos \im mtriz nul. Se Se de ordem n, S m = 0 se m >, n. Resultdos similres existem pr S*. MATRIZES COLUNA E LINHA UNITÁRIAS 0 resultdo de post-multiplicção por um mtriz colun unitári e um mtriz colun cujos seus elementos é som ds linhs; e um pré-multiplicço por um mtriz linh unitári é um mtriz linh de soms de coluns. Tis mtrizes, soms de linhs ou som de coluns, são de considerável jud em cálculo de mtrizes como verificção de precisão. Por exemplo, onde 6 e 9 so s soms ds linhs, e

39 . 33 [ onde 3, 5 e 7 so s soms ds colu ns MATRIZES DIAGONAL INVERSA UNITÁRIA Pre-multiplicço por J inverte ordem dos em cd colun, e post-multiplicço inverte ordem dos elementos elementos em cd linh. As linhs e coluns so invertids formndo-se o produto JAJ, onde os dois J's so de ordens diferentes se A é retngulr. Outrs proprieddes interessntes so: - I (6.9) J = J (6.10) onde le mtriz unitri, e J é mtriz trnspost de J. 7 - MATRIZES TRANSPOSTA, INVERSA, E ADJUNTA Se troçrmos linhs por coluns, n mesm ordem, de um T mtriz A, obtemos mtriz trnspost que indicmos por A. A not cão A' tmbém é usd por muitos utores. Deste modo, se ll ln A = n ~ n... ml m2 m3 mn temos

40 34 ll ml *m2 (7.1) ln 2n 3n * * * mn PROGRAMA 10; Este progrm, em Form de Função Subprogrm, permite efetur multiplicção d trnspost de um mtriz por um vetor, ddos por A = ^ij^ ' *»J = 1>2, 3,...,n - mtriz dd T A = ( jj[) > 1» 2, 3, n - trnspost de A x = (x^, x 2, x^, x^) - vetor A multiplicção d trnspost de A por um vetor x e dd por n A X - l 4± X 4 SUBROUTINE GRAC05(N,A,V7,PTV) DIMENSION A(20,20),V7(20),PTV(20) DO ,N SOMA=0. DO 10 J=1,N P=ACü,l)*V7(J) 10 S0MA=S0MA+P 20 PTVCI)=S0MA RETURN END

41 CORES USED NEXT COMMON END OF COMPILATION onde, A(J,I) = trnspost de A V7 = vetor PTV - produto d trnspost por vetor um produto: f de interesse seguinte regr pr trnspost de,(ab) T - B T A T (7.2) Pr se provr (7.2), notmos que o elemento n i-esim linh e j-esim colun d mtriz (AB) e igul o elemento n j-ésim linh e i-ésim colun d mtriz AB, por definição de mtriz trnspost. Por (4.1.6) este elemento é n ii ^ b k i Desde que se poss reescreve-lo n form n 1 b " e que b.. so os elementos do i-ésim linh de B, e., são elementos d j-esim colun de A, segue que est expressão e o - - T T elemento n i-esim linh e j-esim colun d mtriz B A. os se Um mtriz A e chmd mtriz simétric se e somente (7.3) isto e:

42 . 36. ll ln A = l n * *' _ 3n ln 2u 3n * *' nn Em cso contrrio, mtriz ser no-simétric.. Um mtriz qudrd A e dit ser no-singulr se seu determinnte é diferente de zero. Em cso contrário, mtriz é singulr. Vmos introduzir gor o conceito de mtriz invers. A mtriz invers de um mtriz A é indicd por A ^ e é definid pe. l relção A A A - 1 A I (7.4) E~evidente, então, que se.-1 A existe, A deve ser no- -singulr, pois se A fosse singulr, fa = 0, e isto é impossj! vel porque de (7.4) segue que I A I A I 1. Deste modo, considermos A no-singulr e vmos mostr como construir mtriz invers. Inicilmente, definimos mtriz djunt de A como sendo trnspost d mtriz dos coftores de A que será indicd por dj AA. Entáo, 21 ni dj A = *12 22 n2 (7.5) A- A. ln 2n nn

43 . 37 Dividindo-se todos elementos d mtriz djunt pelo determinnte de A, obtem-se mtriz invers; ou o que é o mesmo e de modo mis simplificdor mtriz invers e trnspost d mtriz dos coftores reduzidos (coftor dividido por A ]). Isto é, A ll A 21 A,, i ni.-1 A 12 A 22 *n2 (7.6) A, A ln 2n nn Exemplificndo: Determinr djunt e invers d mtriz A = Primeiro clculmos os coftores de A. Por exemplo: Em segundo lugr, trnspomos mtriz dos coftores e encontrmos: dj A = A seguir, clculmos o determinnte de A, e podemos escrever que " dj A = ~ 55

44 38 Pr provr que invers e trnspost d mtriz dos coftores reduzidos, começmos por provr que se C = dj A, devemos ter A C = A I. I (7.7) De fto, o elemento n i-esim linh e j-ésim colun de A C, por (4.1.6), ddo por n / kt x., ik A M jk =... il A,, +. jl i2 A j2._, iil A. jn é Ms pels equções (5.5) relção cim é igul [ A se i=j, e & igul zero se i j. Portnto, isto prov (7.7). Do mesmo modo podemos tmbém provr que C A = I A I I (7.8) Então, se supormos que invers A é dd por A C - dj A (7.9) I A ] [A] e pré-multiplicrmos por A, temos: Por (7.7) encontrmos que A A = A ± C = - A C I A A A _ 1 = I A I 1 = 1 (7.10) Anlogmente, usndo-se (7.8) encontrmos A _ 1 A = I (7.11) Reunindo (7.10) e (7.11) provmos que A 1 é definid por (7.9),

45 . 39. pois stisfz definição (7.4). Agor proveitmos os conceitos ddos pr definir três tipos de mtrizes e noção de "rnk" de mtriz, que muito uxilir os métodos de solução de equções lineres. podem Se um mtriz A stisfz condição que su invers 1.* T A é igul su trnspost A, mtriz é chmd mtriz ortogo nl. Deste modo, pr um mtriz ortogonl, temos A A T = I (7.12) onde I é mtriz unitári. Um exemplo de um mtriz ortogonl ddo por um mtriz cujs linhs so os cosenos diretores de três eixos mutulmente perpendiculres referidos ã três eixos fixos mu tulmente perpendiculres. Um exemplo de tl mtriz é é MT A " 2 NT! -L- o. MT " 2 " \ft Um mtriz é chmd positiv-definid, se ro. (x, A x) 0, pr qulquer vetor x diferente de ze^ Um mtriz é chmd não-negtiv, se (x, A x) > 0,,pr qulquer que sej o vetor x. A noção de rnk de um mtriz é muito importnte tnto n solução de sistems de equções lineres cuj mtriz dos coefi cientes e retngulr, como n solução de equções homogênes li-

46 . AO. neres. Define-se rnk de um mtriz A como ordem d mior sub-mtriz qudrd suprimindo-se de A certs linhs e/ou colu - ns, e comprimindo-se os elementos restntes em um mtriz compç t, cujo determinnte sej diferente de zero. Por exemplo, mtriz 2 por é de rnk 1, pois seus menores de 2. ordem » > - i so iguis zero; porem nem todos os seus elementos (menores de l. ordem) so nulos. 8 - DETERMINAÇÃO DA MATRIZ INVERSA Considermos, inicilmente, um sistem de n equções reltivo n incógnits x^, Y.^ x^, n form ll X l + 12 x 2 + * + ln X n " C l 21 X l + 22 X n X n = C 2 (8.1).x 1 +_x_ x nl 1 n2 2 nn n n Lembrndo d definição de coftor reduzido podemos trns formr o sistem (8.1) n seguinte form:

47 I. 41. X l = A ll C l + *21 C 2 + * Kl + C n X 2 " ^2 C l Kl + C 2 + *' * Kl + C n (8.2) x = A, c, + A c_ Ã c n ln 1 2n 2 nn n e todos os outros c's iguis zero. Deste modo, De (8.2) e (7.6), segue que k-ésim colun d mtriz invers dos coeficientes de (8.1) e solução correspondente fzendo-se se em vez de substituir por um simples colun inserimos um mtriz unitári ~ ~ de n coluns, e trtrmos cd colun dest mtriz como um únic colun e, obteremos, finlmente mtriz (7.6) em lugr de um uni c colun x. Isto e, mtriz resultnte serã invers d mtriz dos coeficientes de um sistem de equções. PROGRAMA^ 11; Este progrm, em form de Função Subprogrm, permite inverter um mtriz qudrd de ordem ^ $ 30. SUBROUTINE INVMAT(C,N) DIMENSION C(30,30) DO 10 1=1,N CINT-C("I,I) (*) Colborção do Sr. Antonio Pedro Coco, bolsist do Instituto de Energi Atômic.

48 . 42, í I CCï,l)-l. DO 15J=1,N 15 CCI,J)=C(I,J)/CINT DO 10K=1,N IFCI-K)20,10,20 20 CINT-C C*K # 1 ) C(K,l)-0. DO 10M-1,N C(K,M)-CCK,M)- CIN T*C (ï, M ) 10 CONTINUE RETURN END 0*1228 CORES USED NEXT COMMON END 0 F COMPILATION onde, A = mtriz N = dimensão de A Inversão de Mtrizes pelo Metodo d Eliminção de Guss O método d eliminção de Guss permite, lém de clcu lr solução de um sistem de equções lineres, e o determinnte do sistem, determinr invers d mtriz dos coeficientes. Pr determinr invers d mtriz dos coeficientes, escrevemos mtriz ll * m **' 2n n (8.1.1) nl n2 n3 nn ssocid com s equções dds pelo sistem

49 43. n k=l ik \ l f c k b^, i 1, 2,..., n (8.1.2) As primeirs n coluns dest mtriz representm, respectivmente, os coeficientes de x^, x^*» x n> s ultims n coluns represen tm os coeficientes de b^, b2»...» b^, respectivmente. Então, cd linh d mtriz represent um ds equções (8.1.2). Se primeir linh d mtriz é dividid por e o resultdo e multiplicdo por pectivmente, d segund, terceir, 3i nl' 6 n-ésim linhs, o resultdo é um mtriz uxilir tendo zeros nos lugres 2 1, 3 1, s t r u^ ^^» re ll ^. Seguindo os pssos do método de Guss, mos um conjunto de equções representdo pel mtriz* dos elementos obte* 1 *Í2 13 * «i» "il n «21 c' n "Si" c 32 c (8.1.3) c' c* nl n2 n3 nn Multiplicndo ultim linh d mtriz cim por... e subtrindo- d primeir, segund,... *ln» 2n' n (n-l)-esim linhs, respectivmente, obteremos zeros^ pr todos os elementos d n-ésim colun exceto pr o último elemento. Con siderndo,"gor, t(n-l)-ésim colun e procedendo com processo similr, obtemos zeros em tods s posições dquel colun exceto pr o elemento unitrio restnte n (n-l)-ésim linh. Continún, do o processo pr cd um ds outrs coluns té segund, obtemos mtriz

50 44. 1 O O... O c u c 1 2 c c l n O 1 O... O c 2 1 c 2 2 c c 2 n O O 1... O c 3 1 c 3 2 c c 3 n (8.1.4) O O c, c c ni n2 n3 nn cujs equções correspondentes so J.Jk=l c ik b k ' 1 X y 2 y j TI e por est rzão mtriz formd somente pelos c's é invers de A Inversão de Mtrizes pelo Método de Crout Como o método de Crout é, essencilmente, um método de eliminção, o procedimento pr determinção d mtriz invers é, bàsicmentem quele descrito no item nterior, onde prtimos d m triz umentd dd (8.1.1) pr mtriz (8.1.3) e finlmente pr (8.1.4). Os cálculos, entretnto, so mis dptdos pr compu tdores digitis onde somtóri dos produtos com ou sem divisão finl podem ser clculds como um simples operção contínu de mquin. As regrs do método de Crout pr modificr um mtriz dj d podem ser plicds diretmente pr obter mtriz uxilir. íl ln " ' 1 21! * ' * 2n i *3n C c' 21 '31 "22, t '32 0, i " (8.2.1) nl n2 n3 ' c 1 nn nl c' n2 c' n3 nn

51 . 45. Como no item 8.1, os únicos elementos significtivos dest mtriz estão à direit dos elementos digonis. 1,,» ', e ês 6 11' 22' ' nn' tes so idênticos àqueles d mtriz (8.1.3). A mtriz finl é mtriz qudrd que inclue s últims n coluns de (8.1.4) e ê, deste modo, mtriz invers de A. 0 método pr determinr os elementos c^ dest mtriz invers, prtir d mtriz uxilir (8.2.1), e indicdo pels equções se guintes c, - c», nj c n-l,j ~ n-2,j nj n-l,j n-2,j n-l,n nj n-2,n nj n-2,n-l n-l,j n (8.2.2) n 9 - DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES Inicimos com um definição: dus mtrizes A e B similres se existir um mtriz não-singulr C tl que so B - C - 1 A C (9.1) Neste cso, mtriz B e obtid d mtriz A por um trnsformção de similridde. Como mtrizes digonis so prticulrmente convenientes pr cálculos, é de interesse perguntr se qulquer mtriz po de ser digonlizd trvés de um trnsformção de similridde. Nos estbelecemos, sem provr, lguns resultdos úteis este re

52 46 í peito. Miores detlhes podem ser encontrdos em Frzer, Duncn, e Collr Cl7^, e Fddeev \ Inicilmente, suponhmos que todos os uto-vlores X^, ^2» *» \i ^e u m m t r^ z ^ s e J m distintos. Então, A terá n distintos uto-vetores linermente independentes. Além do mis, se W é um mtriz cujs coluns so os uto-vetores, então onde, D é mtriz digonl W - 1 A W - D (9.2) * X x n Deste modo, A pode ser digonlizd por um trnsformção de similridde. Se qulquer dos uto-vlores de um mtriz são de multiplicidde mior que 1, porém cd uto-vlor corresponder tn tos uto-vetores linermente independentes quntos forem su multiplicidde, mtriz pode ser reduzid ã form fdigonl, e equção (9.2) é novmente válid. Este é, em prticulr, o cso g r mtrizes reis simétrics. Òs uto-vetores ssocidos com distintos uto-vlores de um mtriz rel simétric são ortogonis. Então, os uto-vetores linermente independentes ssocidos com um... r. simples uto-vlor de multiplicidde mior que 1 podem ser escojm dos pr serem ortogonis. Consequentementej pr um mtriz rel simétric de n por n elementos, é possível determinr n uto-veto res ortogonis. Pr o cso gerl de uto-vlores múltiplos, trnsfçr

53 47 r mção ã form digonl no é sempre possível por um trnsform ço de similridde. Pr descrever form cnónic de Jordn on de qulquer mtriz pode ser trnsformd por um trnsformção de similridde, introduzimos definição de um mtriz cnónic, que é um mtriz d seguinte form i x 1 0 x i T = 0 1 X. xi » < *... 1 onde todos os elementos sobre digonl principl so X^; todos os elementos n primeir sub-digonl (isto é, os elementos diretmente bixo d digonl principl) so uniddes; e todos os ou tros elementos so nulos. Um mtriz cnónic no pode ser simplificd usndo- -se um trnsformção de similridde. Seu polinómio crcterísti co e (X-X^) m i onde m^ é ordem d mtriz. Deste modo, mtriz cnónic tem o único uto-vlor múltiplo X^. El tem somente um uto-vetor linermente independente. A form cnónic de Jordn e um mtriz quse-digonl, compost por mtrizes cnónics l T 0 T T T í onde cd é um mtriz cnónic e cd 0 represent um mtriz zero. Est notção mostr mtriz em questão, secciond em sub-

54 48 -mtrizes, ds quis quels sobre digonl principl so e tods s outrs sub-mtrizes são mtrizes nuls. Por exemplo, se T l d 4 form cnónic de Jordn ser T l T T Os ^ precendo ns váris mtrizes são uto-vlores d mtriz originl, e tmbém d mtriz cnónic. É possível qúe o mesmo número preç em diverss mtrizes cnónics. A multiplicidde de um uto-vlor é igul som ds ordens ds mtrizes que pre cem como elementos digonis. 0 número de uto-vetores linermente independentes ssocidos com els é igul o número de mtrizes ns quis eles precem. No último exemplo, os uto-vlores 2, -3, 4, são de ordem 3, 1, e 2, respectivmente. Assocido cd uto-vlor está um uto-vetor linermente independente. Notmos que um mtriz digonl é um cso especil d form cnónic de Jordn onde tods s mtrizes cnónics são de primeir ordem. Como já foi menciondo, tod mtriz pode ser trnsformd n form cnónic de Jordn por um trnsformção de similridde. Nos omitimos qulquer discussão de como est form cnôni c pode ser determind pr um dd mtriz. Noss presentção tem o proposito somente de mostrr s situções que podem ocorrer

55 49 com relção uto-vlores e uto-vetores de um mtriz. AGRADECIMENTOS 0 utor desej expressr seus grdecimentos o Senhor Antonio Pedro Coco, bolsist do Instituto de Energi Atômic, que contribuiu com vários progrms em FORTRAN constntes dêstè trb lho. BIBLIOGRAFIA Ql^ - Kunz, K., Numericl Anlysis, McGrw-Hill Book Compny, Inc., C^ZI ~ Hmming, R.W., Numericl Methods for Scientists nd Engineers, McGrw-Hill Book Compny, Inc., ~ Hildebrnd, F.B., Introduction to Numericl Anlysis, McGrw-Hill Book Compny, Inc., Q4^] - Slvdor!, M.G., nd Bron, M.L., Numericl Methods in Engineering, Prentice-Hll, Inc., ~ Bellmn, R., Introduction to Mtrix Anlysis, McGrw- -Hill Book Compny, Inc., _6^] - Herriot, J.G., Methods of Mthemticl Anlysis nd Computtions, John Wiley & Sons, Inc., d Hrtree, D.R., Numericl Anlysis, Oxford University ' Press, 1952.

56 . 50. Q8^] - Householder, A.S., Principles of Numericl Anlysis, McGrw-Hill Book Compny, Inc., C 9 H - Bickley, W.G., nd Thompson, R.S.H.G., Mtrices, their Mening nd Mnipultion, The English Universities Press Ltd., Cl0Z3 ~ Heilmnn, H.P., Apontmentos de uls de Clculo Numérico ministrds n Fculdde de Filosofi, Ciêncis e Letrs d U.S.P., C^Zl ~ V r g> R.S., Mtrix Itertive Anlysis, Prentice-Hll, Inc., ^12^3 - Householder,'A.S., The Theory of Mtrices in Numericl Anlysis, Blisdell Publishing Compny, [^133 - Kopl, Z., Numericl Anlysis, John Wiley & Sons, Inc., LTl^Zl - Aitken, A.C., Determinnts nd Mtrices, Oliver nd Boyd, London, [~ Hehl, M.E., Estudos N9 1 e 7, desenvolvidos no Lbortó rio Ncionl de Argonne (U.S.A.), [jl6] - Rlston, A. nd Wilf, H.S., editors, Mthemticl Methods for Digitl Computers, John Wiley & Sons, Inc., C17Ü - Frzer, R.A., Duncn, W.J., nd Collr, A.R., Elementry Mtrices nd Some Applictions to Dynmics nd Differentil Equtions, Cmbridge University Press, 1952.

57 . 51. Ql83i - Crout, P.D., A Short Method for Evluting Determinnts nd Solving Systems of Liner Equtions with Rel or Complex Coefficients, Trns. AIEE, 60: (1941). Ql^I] ~ Coburn, N., Vector nd Tensor Anlysis, The Mcmilln Compny, Q203 - McCormick, J.M., nd Slvdori, M.G., Numericl Methods in Fortrn, Prentice-Hll, Inc., I 2l33 - McCrcken, D.D., nd Dorn, W.S., Numericl Methods nd Fortrn Progrmming, John Wiley & Sons, Inc., Q22J - Fddeev, V.N., Computtionl Methods of Liner Algebr. Trnslted from the Russin by CD. Benster, Dover Publictions, Q233] - Givens, W., Numericl Computtion of the Chrcteristics Vlues of Rel Symmetric Mtrix, Ok Ridge Ntionl Lbortory, Report ORNL 1574, Februry _243 - Givens, W., Computtion of Plne Unitry Rottions Trnsforming Generl Mtrix to Tringulr Form, J.Soc. Indust. Appl. Mth., vol. 6 (1958). *********************