Sistemas Digitais (SD) Álgebra de Boole

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1 Sistems Digitis (SD) Álgebr de Boole

2 Aul Anterior N ul nterior: Sistems de numerção Bse 10 Bse 2 Bse 8 e 16 Operções ritmétics básics Mudnç de sistem de numerção Códigos Prof Nuno Rom Sistems Digitis 2012/13 2

3 Plnemento SEMANA TEÓRICA 1 TEÓRICA 2 PROBLEMAS/LABORATÓRIO 20/Fev 24/Fev Introdução Sistems de Numerção 27/Fev 03/Mr CARNAVAL Álgebr de Boole 06/Mr 10/Mr Elementos de Tecnologi Funções Lógics P0 13/Mr 17/Mr Minimizção de Funções Minimizção de Funções L0 20/Mr 24/Mr Def Circuito Combintório; Análise Temporl Circuitos Combintórios P1 27/Mr 31/Mr Circuitos Combintórios Circuitos Combintórios L1 03/Abr 07/Abr Circuitos Sequenciis: Ltches Circuitos Sequenciis: Flip-Flops P2 10/Abr 14/Abr FÉRIAS DA PÁSCOA FÉRIAS DA PÁSCOA 17/Abr 21/Abr Crcterizção Temporl Registos L2 24/Abr 28/Abr 01/Mi 05/Mi 08/Mi 12/Mi 15/Mi 19/Mi 22/Mi 26/Mi 29/Mi 02/Jun 25 DE ABRIL Contdores P3 Síntese de Circuitos Sequenciis Síncronos Síntese de Circuitos Sequenciis Síncronos Eercícios Teste 1 Síntese de Circuitos Sequenciis Síncronos P4 Máq Estdo Microprogrmds: Circuito de Memóris Ddos e Circuito de Controlo Circuitos de Controlo, Trnsferênci e Máq Estdo Microprogrmds: Microprogrm Processmento de Ddos de um Processdor Lógic Progrmável P6 L5 L3 L4 P5 3

4 Sumário Tem d ul de hoje: Álgebr de Boole Operções básics Proprieddes Ports Lógics Leis de DeMorgn Simplificção lgébric Bibliogrfi: M Mno, C Kime: Secções G Arroz, J Monteiro, A Oliveir: Secção 21 4

5 Álgebr de Boole A lógic como um sistem binário: Em 1854, George Boole, Professor de Mtemátic d Universidde de Cork, Irlnd, publicou o livro An Investigtion on The Lws of Thought, on which re founded the Mthemticl Theories of Logic nd Probbilities Este trblho, mis trde refindo por Jevons (1869, 1890), Peirce (1880), Schröder (1890) e Huntingdon (1904), consider um sistem lógico binário, ie, com dois objectos que se podem designr por: sim-não, verddeiro-flso, ou ind 1-0 5

6 Álgebr de Boole Operções Básics: Boole define ind três operções básics: AND, OR, NOT Considere-se dus vriáveis boolens:,y {0,1}, ie,,y {flso,verddeiro} AND (Produto lógico) X Y X Y O resultdo é verddeiro se X for verddeiro E (AND) Y for verddeiro OR (Som lógic) X Y X+Y O resultdo é verddeiro se X for verddeiro OU (OR) Y for verddeiro NOT (Complemento) X X Negção (NOT) d firmção 6

7 Álgebr de Boole Operções Básics: Boole define ind três operções básics: AND, OR, NOT Considere-se dus vriáveis boolens:,y {0,1}, ie,,y {flso,verddeiro} verddeiro y verddeiro AND (Produto lógico) OR (Som lógic) NOT (Complemento) O resultdo é verddeiro se X for verddeiro E (AND) Y for verddeiro O resultdo é verddeiro se X for verddeiro OU (OR) Y for verddeiro Negção (NOT) d firmção 7

8 Álgebr de Boole Álgebr de Boole binári: A etensão o trblho de George Boole por Jevons (1869, 1890), Peirce (1880), Schröder (1890) e Huntingdon (1904), define: Um Álgebr de Boole binári é um sistem lgébrico B 2 = (A={0,1},,+, ) formdo por um conjunto gerdor A e por dus operções bináris,, +, designds por produto lógico e som lógic, e por um operção designd por complemento, tl que: Propriedde de Fecho:, ( yay AyA )( )() A O resultdo d plicção de um ou mis operções básics sobre o conjunto gerdor A, é um vlor binário pertencente o espço do conjunto gerdor A 8

9 Álgebr de Boole Proprieddes básics: Considere-se s vriáveis boolens:,y,z A Identidde + 0 = 1 = Idempotênci + = = Aniquilção + 1 = 1 0 = 0 Opostos + = 1 = 0 Comuttividde + y = y + y = y Associtividde + y + z = + y + z y z = y z Distributividde y + z = y + z + y z = + y + z DeMorgn + y = y y = + y Adjcênci y + y = + y + y = 9

10 Álgebr de Boole Princípio d dulidde: Qulquer epressão válid num álgebr de Boole tem um epressão dul, tmbém válid ness álgebr, que se obtém por troc do símbolo opertório + com o símbolo opertório e do limite universl 0 com o limite universl 1 Eemplo: 1 = é epressão dul de + 0 = Prof Nuno Rom Sistems Digitis 2012/13 10

11 Álgebr de Boole Outros teorems: Considere-se s vriáveis boolens:,y,z A Dupl negção = Absorção + y = + y = Consenso y + y z + z = y + z + y + z = z + y y + y z = y + z + y y + z + z = + y + z y + z = + z + y + y + y + z = + y + z Prof Nuno Rom Sistems Digitis 2012/13 11

12 Álgebr de Boole Demonstrção ds leis de DeMorgn Generlizção pr n vriáveis: 12 y y y y Verificção por Tbels d Verdde y + y + y y y y n n n n

13 Álgebr de Boole Aplicção sucessiv ds leis de DeMorgn Eemplo: 13 z b z b z b z b z b z b

14 Álgebr de Boole Ports Lógics: N prátic os sistems digitis bseim-se n Álgebr de Boole, sendo implementdos prtir de um conjunto de ports lógics bse Simbologi (IEC 617): 1 & 1 OR AND NOT Ns tecnologis mis comuns, o circuito lógico distingue 2 intervlos distintos de tensão, os quis são interpretdos como um ou zero 1 0 5V 3,5V 1,5V 0 Volts Prof Nuno Rom Sistems Digitis 2012/13 14

15 Álgebr de Boole Função Boolen (eemplo): f b c ā b e c são os termos d função ā, b e c são os literis Tbel d Verdde b c ā b f Circuito Lógico: b c NOT AND A A B OR A B + C f Prof Nuno Rom Sistems Digitis 2012/13 15

16 Álgebr de Boole Simplificção lgébric Eemplo 1: d e b d b e c d c e y Relizção 2 níveis (som de produtos) f d e bd be cd ce d e bdbe cd ce y b cd b ce y b c d e y b cd e y b c d e y Relizção Multinível y Prof Nuno Rom Sistems Digitis 2012/13 16

17 Álgebr de Boole Simplificção lgébric Eemplo 2: f yz yz z X Y Z F f yz y yz z z z y1 z z y z X Y F Z 17

18 Álgebr de Boole Simplificção lgébric: A simplificção e mnipulção lgébric ds funções lógics tem vários benefícios: Permite reduzir compleidde de circuitos, o que lev um redução no número de erros n montgem do circuito Permite reduzir o tempo de propgção dos sinis o longo do circuito de cálculo (e: processdores mis rápidos) Permite reduzir potênci consumid (e: processdores energeticmente mis eficientes) 18

19 PRÓXIMA AULA 19

20 Próim Aul Tem d Próim Aul: Elementos de Tecnologi Circuitos integrdos Fmílis lógics Funções lógics Circuitos com ports NAND Circuitos com ports NOR 20

21 Agrdecimentos Algums págins dest presentção resultm d compilção de váris contribuições produzids por: Nuno Rom Guilherme Arroz Horácio Neto Nuno Hort Pedro Tomás 21