NÚMEROS COMPLEXOS NA GEOMETRIA MARCIO COHEN COLÉGIO PONTO DE ENSINO

Transcrição

1 NÚMEROS COMPLEXOS NA GEOMETRIA MARCIO COHEN COLÉGIO PONTO DE ENSINO + = EQUAÇÃO DA RETA: k cte (onde k e cte têm seus significdos geométricos evidencidos n demonstrção ixo) Sej um complexo perpendiculr ret r, e p o rel tl que p r r p p p p + = + = p OBSERVAÇÕES: (i) A ret pssndo por dois complexos e tem direção -, de modo que podemos tomr = ( ) i (ii) Note que um ret perpendiculr r é d form (trocndo por i ) k = cte' (iii) N prátic, ddos pontos, determin-se k e então sustitui-se um ponto qulquer d ret e encontr-se cte LEMAS IMPORTANTES: CORDA NO CÍRCULO UNITÁRIO: + = + Se e são tis que = =, então : Como = = : ( ) i ( ) i k = = = = ( ) ( i) ( ) ( i) E, r cte = + = + Os: Fendo =, otém-se equção d tngente circunferênci em = ) + DIVISÃO DE SEGMENTO NUMA RAZÃO t DADA: ( t t =, pois são vetores de mesm direção e mesmo módulo (um) t t Isolndo, otemos expressão cim 3 PONTO MÉDIO DE UM ARCO DO CÍRCULO UNITÁRIO: = ± o o ng < o, o >= ng < o, o > rg = rg o o t O - t Como e têm tmém o módulo (um), eles são iguis: = = = ±

2 3 PONTOS NOTÁVEIS: + + c 3 BARICENTRO G de um c: G = c + c + c + Bst oservr que G = = + = + = c +, de form que G está ns três medins 3 ORTOCENTRO H de um c inscrito no círculo unitário: H = + + c c : + c = + c Perpendiculr s c: c = cte' c Altur por : s cte' = c = Trocndo com, otém-se ltur h, e dí o sistem: h h c : c = c : c = Multiplicndo primeir por, segund por e sutrindo: ( ) = ( ) c ( ) Dividindo por otém-se H (não é difícil concluir que H hc ) 33 INCENTRO I de um D c inscrito no círculo unitário: I = c c c c c Inicilmente, note que podemos escolher,, c de modo que os pontos médios interiores tenhm sempre o sinl de menos como n figur Equções ds issetries: : c = c : c = c Resolvendo, I = c = ( c + c + ) c : c = c 4 QUADRILÁTEROS INSCRITÍVEIS: Os complexos,, c, d são vértices (ness ordem) de um ( d ) ( d c) qudrilátero inscritível se e somente se R+ ( ) ( c) cd inscritível ng < d > + ng < cd >= π d c d c rg + rg = π (mod π ) d c d c ( d ) ( c) rg = π (modπ ) R d c ( ) ( d c) Os: Mis importnte do que o resultdo é noção de como podemos trtr ângulos de form simples usndo complexos! Note que identiddes como rg = rg, permitem otermos lgums expressões equivlentes

3 5 ÁREA DE POLÍGONO CONVEXO de vértices,,, n : = Im{ } (Os: vértices nesse item são sempre tomdos no sentido nti-horário) S 3 n LEMA: O triângulo de vértices o,, tem áre S = sen( θ θ ) = Im{ } Se origem o for interior o polígono, ligndo- os vértices e somndo otemos expressão cim Se esse não for o cso, st fer um trnslção (que preserv áres) que o coloque origem dentro do polígono e notr que expressão nterior não mud se trocrmos por + w (pois R pr todo k, e w w R ), de modo que fórmul continu vlendo k + k 6 EXERCÍCIOS TRADICIONAIS: (PTOLOMEU) Ddos 4 pontos A, B, C, D no plno, tem-se AB CD + BC DA AC BD, com iguldde se e somente se os pontos são cocíclicos (no sentido horário ou nti-horário) (CARACTERIZAÇÃO DE TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS) Os complexos,, c são vértices de um triângulo equilátero sse + w + w c = ou + w + wc =, onde w é um ri cúic d unidde 3 (RETA DE SIMPSON) Mostre que os pés ds perpendiculres trçds de um ponto D um triângulo ABC são colineres sse D está no circuncírculo de ABC 4 (CÍRCULO DOS 9 PONTOS) Ddo um triângulo ABC, mostre que os pés ds 3 lturs, os pontos médios dos ldos e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro cd um dos vértices pertencem um mesmo círculo (Sugestão: Colocndo o circuncentro n origem, tente mostrr que esses 9 pontos equidistm do ponto (++c)/) 5 (RETA DE EULER) O circuncentro, o ricentro, o ortocentro e o centro do círculo dos 9 pontos de um triângulo são sempre colineres 6 (FEUERBACH) O círculo dos 9 pontos de um triângulo é tngente o seu incírculo (Os: Nesse exercício e no próximo deve ser necessário encontrr um expressão explícit pr o inrio) 7 (MORLEY) As interseções dos pres djcentes de trissetries (cevins que dividem o ângulo em 3 prtes iguis) de um triângulo ritrário formm um triângulo equilátero 8 Sejm R e r o circunrio e o inrio de um triângulo ABC, e d distânci entre o centro desses dois círculos Mostre que d = R( R r) 9 (IME) Sej ABC um tringulo e P, Q, R s interseções ds tngentes o circuncírculo nos vértices com s extensões dos respectivos ldos opostos Mostre que os pontos P, Q, R são colineres (MOSCOU) Cd ldo de um polígono é extendido de dus vees o seu comprimento em um de sus ponts seguindo sempre direção nti-horári Mostre que se o polígono formdo pelos vértices desss extensões é regulr então o polígono originl tmém é 7 PROBLEMAS OLÍMPICOS: (MOP) Sej H o ortocentro do triângulo ABC O círculo de diâmetro CH intercept os ldos BC e AC nos pontos P e Q respectivmente Mostre que s tngentes esse círculo nos pontos P e Q interceptm-se no ponto médio de AB 3

4 (IMO-3) Considere um qudrilátero ABCD inscritível Os pés d perpendiculr por D às rets AB, BC, CA são P, Q, R respectivmente Mostre que ret AC e s issetries dos ângulos ABC e CDA são concorrentes sse RP=RQ 3 (IMO-) Sej BC um diâmetro de um círculo de centro O, e A um ponto n circunferênci tl que AOC > 6 A cord EF é meditri de AO, e D é o ponto médio do menor rco AB Sej J o ponto de interseção de AC com ret prlel AD pssndo por O Mostre que J é incentro do triângulo CEF 4 (EUREKA) Considere um qudrdo MNPQ interior um qudrdo ABCD como ilustrdo n figur nex Demonstre relção entre áres S + S 3 = S + S 4 D S 4 P S Q S 3 N M S A C B 5 (IMO-) A A A 3 é um triângulo gudo O pé d ltur de A i é K i e o incírculo τ toc o ldo oposto A i em L i A ret K K é refletid n ret L L Anlogmente, s rets K K 3 e K 3 K são refletids ns rets L L 3 e L 3 L respectivmente Mostre que esss três novs rets formm um triângulo inscrito no círculo τ 6 (BANCO IMO) Sej ABC um triângulo tl que ACB = ABC Sej D o ponto do ldo BC tl que CD = BD Prolong-se o segmento AD té um ponto E tl que AD = DE Mostre que ECB + 8 = EBC 7 (EUREKA) Dd um circunferênci Γ, trce s tngentes el por um ponto exterior, A, tocndo- em M e N Trce ret r pssndo por A e tocndo Γ em B e C Se D é o ponto médio de MN, prove que MN é issetri de BDC 8 (PUTNAM-3) Sej ABC um triângulo equilátero com circuncentro O Mostre que pr todo ponto P interior o circuncírculo existe um triângulo de ldos PA, PB,PC e áre desse triângulo depende pens de PO 9 (BANCO IMO) Sej ABCD um qudrilátero convexo com AB não prlelo CD, e sej X interior ABCD tl que ADX = BCX < 9 e DAX = CBX < 9 Se Y é o ponto de interseção ds meditries de AB e CD, mostre que AYB = ADX (OBM) Sej ABCD um losngo Sejm E, F, G e H pontos sore os ldos AB, BC, CD e DA, respectivmente, e tis que s rets EF e GH são tngentes à circunferênci inscrit no losngo Prove que s rets EH e FG são prlels 8 ANEXO Os números complexos são um form eficiente de representr pontos no plno A cd ponto (,) ssocimos o complexo = + i, como ilustrdo n figur ixo Im() r = +i (,) Form Trigonométric: = rcisθ ( = r cosθ + i rsenθ) r = + θ = rctn ( módulo) (rgumento) θ Re() Esse números podem ser operdos conforme s regrs trdicionis de álger, usndo-se iguldde i = sempre que possível 4

5 PROPRIEDADES BÁSICAS: Sejm = + i = rcis θ, = + i = rcisθ (i) = r rcis( θ + θ) (ii) ng <, >= rg (PRG E (iii) r = = (onde = i é denomindo conjugdo de ) (iv) + + (com iguldde sse R ) / n / n θ + kπ (v) = r cis, k =,,, n n Demonstrções: Em (i), st multiplicr e usr s expressões pr sen(x + y) e cós(x + y) Em (ii), olhe pr fórmul trigonométric Amos os ldos vlem θ θ (iv) é equivlente desiguldde de Cuchy-Schwr E (v) si do fto de que dois complexos são iguis n form trigonométric sse tem mesmo módulo e mesmo rgumento módulo E A firmção (i) ilustr que girr um complexo de um ângulo θ equivle multiplicá-lo por cis ( θ ) El mostr principl vntgem de usrmos complexos n geometri, que é possiilidde de crcterirmos ângulos entre rets trvés de simples divisões/multiplicções n Um importnte corolário de (v) é que s ríes d equção = são os vértices do n-ágono regulr inscrito no círculo unitário EXERCÍCIOS DO ANEXO: Se,,, n são números complexos, então n + + n é rel sse =, e é imginário puro sse + = 3 + = 9 REFERÊNCIAS (i) Aplicções dos números complexos à geometri, Revist Eurek 6 Edmilson Mott (ii) Complex numers in geometry, Berkley Mth Circle Zvedelin Stnkov Frenkel (iii) Bnco de prolems: (iv) Complex numers & Geometry, The Mthemticl Assocition of Americ Ling Shin Hhn, 994 5