Material Teórico - Módulo de Lei dos Senos e dos Cossenos. Razões Trigonométricas em Triângulos Retângulos. Primeiro Ano do Ensino Médio

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1 Mtril Tórico - Módulo d Li dos Snos dos ossnos Rzõs Trigonométrics m Triângulos Rtângulos Primiro no do Ensino Médio Prof. ntonio minh M. Nto

2 1 Rcordndo triângulos rtângulos Em tudo o qu sgu, ddo um triângulo, dnotmos os comprimntos d sus ldos por = c, = =. Rcordmos qu é rtângulo m s o ângulo é rto, qur dizr, s  = 90 (cf. figur 1). Nss cso, dizmos qu é o vértic do ângulo rto os ldos são os cttos do triângulo. Já o ldo oposto o vértic, isto é, o ldo, é chmdo d hipotnus do triângulo. c Figur 1: o triângulo rtângulo. Sj rtângulo m. omo som ds mdids dos ângulos d todo triângulo é 180, tmos Â+ +Ĉ = 180. Ms, como  = 90, sgu d rlção cim qu +Ĉ = 180  = = 90. ssim, concluímos qu, m todo triângulo rtângulo, som ds mdids dos ângulos difrnts do ângulo rto é igul 90. Sndo ind rtângulo m, o Torm d Pitágors nsin como clculr o comprimnto d hipotnus m trmos dos comprimntos dos cttos : = +. D outr form, sndo (como cim) =, = c =, o Torm d Pitágors diz qu = +c. ssim, = +c >, d modo qu >. nlogmnt, > c, concluímos qu m todo triângulo rtângulo, hipotnus é o ldo d mior comprimnto. Vjmos dois xmplos d plicção do torm d Pitágors qu nos srão útis mis dint. Pr o primiro dls, rcord qu um triângulo (não ncssrimnt rtângulo) é isóscls s tivr dois ldos iguis (cf. Figur : um triângulo isóscls. figur ). Nss cso os ângulos opostos os ldos iguis (os ângulos, n figur ) tmém são iguis. Exmplo 1. Sj um triângulo rtângulo m isóscls (cf. figur ). Então, como hipotnus é o mior ldo d, os ldos iguis d dvm sr sus cttos. Dnotndo = = l, o torm d Pitágors fornc = + = l +l = l. Portnto, = l, mostrmos qu s os cttos d um triângulo rtângulo isóscls mdm l, ntão su hipotnus md l. ind sor o triângulo, rtângulo m isóscls, prcisrmos mis dint do sguint fto: como =, tmos qu = Ĉ; ms, como +Ĉ = 90, sgu qu = Ĉ = 45. l l Figur : hipotnus d um triângulo rtângulo isóscls. Pr o próximo xmplo, rcord (cf. figur 4) qu um triângulo é quilátro s sus ldos form todos iguis. Nss cso, iguldd = implic iguldd  =, nqunto iguldd = implic iguldd = Ĉ. Portnto,  = = Ĉ, como Â+ +Ĉ = 180, tmos  = = Ĉ = 60. Exmplo. S é quilátro M é o ponto médio do ldo (cf. figur 5), ntão, pr os triângulos M M, tmos = M = M. 1 mtmtic@omp.org.r

3 Figur 4: um triângulo quilátro. omo M é ldo d mos sss triângulos, concluímos, plo cso LLL d congruênci d triângulos, qu ls são triângulos congrunts: M M. Em prticulr, sgu qu M = M. Ms, como M + M = 180, dvmos tr M = M = 90. Dizmos qu M é um ltur do triângulo quilátro. (Osrv qu tm mis dus lturs; fç um figur dsnh sss outrs dus lturs.) gor, sndo = = = l, tmos M = M = l. plicndo o Torm d Pitágors o triângulo M (o qul smos sr rtângulo m M), otmos M = M = l, dí, M = l M ( ) l = l 4 Figur 5: lturs d um triângulo quilátro. omo um rciocínio nálogo é válido pr s outrs dus lturs d, cmos d mostrr sguint propridd: s os ldos d um triângulo quilátro mdm l, ntão sus lturs mdm l. ind sor o triângulo quilátro, prcisrmos mis dint do sguint fto: como M M, tmos tmém qu ÂM = ÂM; ms, como ÂM + ÂM = Â = 60, sgu qu ÂM = ÂM = 0. Trigonomtri m triângulos rtângulos onsidrmos novmnt um triângulo rtângulo m, como n figur 6. Dnotndo = β (lê-s t) Ĉ = γ (lê-s gmm), smos qu β + γ = 90, logo, 0 < β,γ < 90. ssim, os ângulos d são gudos. γ c Figur 6: o sno, o cossno tngnt dos ângulos gudos d um triângulo rtângulo. sguir, ssocirmos cd um dos ângulos d três númros ris positivos, conhcidos como sus rcos trigonométricos. onform vrmos o longo dss módulo, introdução dsss númros muits vzs simplificrá stnt o studo d gomtri d triângulos, msmo dquls qu não são rtângulos. O primiro dos rcos trigonométricos ssocidos um ângulo gudo d é su sno, o qul é dfinido como o quocint sno = comprimnto do ctto oposto o ângulo comprimnto d hipotnus do triângulo. O cossno dss ângulo é dfinido como o quocint cossno = β comprimnto do ctto djcnt o ângulo comprimnto d hipotnus do triângulo. Por fim, tngnt dss msmo ângulo é dfinid como o quocint tngnt = comprimnto do ctto oposto o ângulo comprimnto do ctto djcnt o ângulo. rvindo sno por sn, cossno por cos tngnt por tg, tmos, ns notçõs d figur 6, qu o psso qu snβ =, cosβ = c tgβ = c, (1) snγ = c, cosγ = tgγ = c. () Vj qu, como,c < (pois é o comprimnto d hipotnus), tmos 0 <, c < 1, isto é, 0 < snβ,cosβ < 1. (Evidntmnt, tmém tmos 0 < snγ,cosγ < 1.) mtmtic@omp.org.r

4 Exmplo. S, n figur 6, tivrmos = c = 4, ntão o Torm d Pitágors grnt qu = +c = +4 = 5 = 5. Portnto, nss cso, trmos snβ = 5 = cosγ, cosβ = 4 5 = snγ tgβ = 4, tgγ = 4. iguldd d snos cossnos do xmplo cim não é mr coincidênci. D fto, s rlçõs (1) () nos dão snβ = cosγ, cosβ = snγ tgβ = 1 tgγ, () omo β + γ = 90, tmos γ = 90 β, d modo qu muits vzs scrvmos s iguldds cim como { snβ = cos(90 β) cosβ = sn(90 β) tgβ = 1 tg(90 β). (4) Rsumimos m plvrs s iguldds cim d sguint form: o sno d um ângulo gudo é o cossno d su complmnto, vic-vrs; tngnt d um ângulo é o invrso d tngnt d su complmnto. Rtommos, gor, os xmplos 1. Exmplo 4. Ns notçõs d figur, sj rtângulo m isóscls, com = = l. Vimos qu = l = Ĉ = 45. Portnto, sn45 = sn = = l l = 1, cos45 = cos = = l l = 1 tg45 = tg = = l l = 1. Ns notçõs d figur 5, s é quilátro d ldo l M é o ponto médio d, vimos qu  = = Ĉ = 60 M = l. omo o triângulo M é rtângulo m M tl qu M = 60, tmos sn60 = M = l / l =, cos60 = M = l/ = 1 l tg60 = M M = l / =. l/ Por fim, podmos clculr o sno, o cossno tngnt d 0 ou como cim (usndo o fto d qu ÂM = 0 fç isso!), ou invocndo s rlçõs (), com β = 0 90 β = 60 : sn0 = cos60 = 1, cos0 = sn60 = tg0 = 1 tg60 = 1. Pr uso futuro, rsumimos n tl ixo os vlors clculdos no xmplo ntrior: β snβ cosβ tgβ Nos cálculos do xmplo ntrior, tomndo um comprimnto l qulqur, otivmos smpr os msmos vlors pr o sno, o cossno tngnt d 0, Isso sugr vlidd d sguint propridd: os rcos trigonométricos d um ângulo gudo só dpndm d mdid do ângulo, não do tmnho do triângulo rtângulo utilizdo pr clculá-los. Pr ntndr porqu firmção cim é vrddir, tommos (cf. figur 7) dois triângulos, rtângulos m tis qu = = β. omo  = c β β Figur 7: rcos trigonométricos só dpndm do ângulo.  = 90 = = β, os triângulos são smlhnts, plo cso (ângulo-ângulo) d smlhnç d triângulos. Portnto, = =. (5) Trocndo os mios d proporcão dd pl primir iguldd cim, otmos = c mtmtic@omp.org.r

5 c ou, o qu é o msmo, = c. Portnto, dfinição d cosβ, plicd o triângulo ou o triângulo, dácomorsultdonúmrosrisiguis( c noprimirocso c no sgundo cso). Trocndo os xtrmos d proporção dd pl sgund iguldd m (5), otmos = ou, o qu é o msmo, =. Portnto, dfinição d snβ, plicd o triângulo ou o triângulo, tmém fornc dá númros ris iguis como rsultdo. Por fim, tmém sgu d (5) qu =. Trocndo os xtrmos dss proporção, otmos = concluímos qu dfinição d tg β tmém indpnd do triângulo qu considrrmos, ou. discussão cim dá um mnir simpls d, conhcndo o sno ou o cossno d um ângulo, clculr sus outros dois rcos trigonométricos. Vjmos como fzr isso no próximo xmplo. Exmplo 5. Sndo qu snβ = 1, clcul cosβ tgβ. Solução. Pl discussão cim, pr clculr cos β tg β podmos tomr um triângulo d tmnho qulqur, contnto qu  = 90 = β. Suponhmos, pois (cf. figur 1), qu = 1, sjm = = c. omo snβ = = 1, tmos 1 = 1, d modo qu =. Portnto, plo Torm d Pitágors, sgu qu c = = = 1 = 8, dí, c = 8 =. Logo, cosβ = c = tgβ = 1 c = 1. onform o próximo xmplo dix clro, o fto d os vlors do sno, cossno tngnt d β não dpndrm do triângulo rtângulo m scolhido, ms somnt do fto d qu = β, tmém é um ds rzõs d importânci prátic do studo d Trigonomtri (i.., dos rcos trigonométricos) d um triângulo rtângulo. Exmplo 6. Em um mnhã d domingo, Mrcos siu pr um pssio no cmpo, no mio do cminho, dcidiu suir o flnco mnos íngrm d um grnd colin, qu tm o formto proximdo d um rmp rtilín, inclind d 0 m rlção à horizontl. El cminhou por proximdmnt 10 minutos, à vlocidd médi d 4km/h, té chgr o topo d colin. o chgr lá, l olhou pr ixo ficou imprssiondo com ltur m qu s ncontrv. lcul, proximdmnt, o vlor dss ltur. Solução. omo 10 minutos quivl 1 6 d hor, Mrcos cminhou proximdmnt 4 km h 1 6 h = km. N figur 8, km 0 Figur 8: cminhd d Mrcos. rprsnt o pé d colin, su topo o ponto, o nívl d, imditmnt ixo d. Então, conform mostrdo n figur, tmos qu  = 90 é ltur do topo d colin. omo = 0 sn0 = 1, plicndo dfinição do sno d o triângulo, otmos = sn0 = 1. Ms, como km, sgu qu 1 km = 1 km = m. rlção fundmntl d Trigonomtri Voltndo (1), osrv qu (ns notçõs d figur 6) snβ cosβ = / c/ = c = c = tgβ. Portnto, s já tivrmos clculdo o sno o cossno d um ângulo, podmos clculr su tngnt simplsmnt clculndo o quocint ntr o sno o cossno, rspctivmnt. Em sum, tgβ = snβ cosβ. (6) sguir, isolmos outr propridd importnt do sno do cossno d um ângulo gudo, qul é conhcid como rlção fundmntl d Trigonomtri. 4 mtmtic@omp.org.r

6 Proposição 7. Sj um triângulo rtângulo m. S = β, ntão (snβ) +(cosβ) = 1. (7) Prov. Novmnt ns notçõs d figur 6, tmos snβ = cosβ = c. Por outro ldo, plo Torm d Pitágors, tmém tmos +c =. Portnto, (snβ) +(cosβ) = ( ) ( c + = ) + c = +c = = 1. s rlçõs (6) (7) são importnts, dntr outrs rzõs, porqu ls nos prmitm utilizr Álgr lmntr pr clculr o sno, o cossno tngnt d um ângulo s conhcrmos somnt um dsss númros. Vjmos como fzr isso m dois xmplos, o primiro dos quis rvisit o xmplo 5. Exmplo 8. Em um triângulo rtângulo m, tmos = β. Sndo qu snβ = 1, clcul cosβ tgβ. Solução. Sgu d (7) qu (cosβ) = 1 (snβ). Sustituindo snβ = 1, otmos, dí, (cosβ) = 1 cosβ = Por fim, sgu d (6) qu ( ) 1 = = = = 9. tgβ = snβ cosβ = 1/ / = 1 = 1. Pr simplificr notção, scrvmos x = snβ y = cosβ, d modo qu x y = 1 x +y = 1. primir iguldd nos dá x = y. Sustituindo ss rlção n sgund iguldd, otmos ( ) y 1 = x +y = +y = y ( ) +y = y 8 +y. omo y 8 +y = 9y 9y 8, sgu qu 1 = 8 ou, ind, y = 8 9. Portnto, lmrndo qu y é positivo, otmos Então, y = = = 9. x = y = / = 1 = 1. Trminmos ss ul prsntndo mis um xmplo, qu mostr como podmos utlizr o qu prndmos té qui pr clculr sn15, cos15 tg15. Exmplo 10. N figur 9, tmos = = 0. Portnto, = cos0 = = = sn0 = 1 = 1. D x 1 x E 0 Exmplo 9. Em um triângulo rtângulo m, tmos = β. Sndo qu tgβ = 1, clcul snβ cosβ. Solução. Nss cso, (6) (7) nos dão s iguldds snβ cosβ = 1 (snβ) +(cosβ) = 1. Portnto, pr clculr snβ cosβ, tmos d vr sss dus iguldds como um sistm d quçõs cujs incógnits são snβ cosβ; m sguid, tmos d rsolvr ss sistm, lmrndo qu snβ,cosβ > 0. Figur 9: clculndo tg 15. Sj D o ponto sor o sgmnto tl qu D issct ss ângulo, isto é, tl qu D = D = 15. Tmém, sj E o pé d prpndiculr ixd do ponto D à hipotnus, d sort qu o triângulo DE é rtângulo m E. omo DĈE = Ĉ = 90 = 90 0 = 60, trigonomtri do triângulo D nos dá E D = cos60 = mtmtic@omp.org.r

7 Logo, fzndo D = x, sgu d iguldd cim qu E = D 1 = x. Por outro ldo, nos triângulos D ED, tmos qu D é um ldo comum, D = E D = 15 DÂ = DÊ = 90. Portnto, tis triângulos são congrunts, plo cso L d congruênci d triângulos. Sgu qu E = =, dí,. O. Dolc J. N. Pompu. Os Fundmntos d Mtmátic Elmntr, Volum 9: Gomtri Pln. São Pulo, tul Editor, 01. = = E + E = x +. Rsolvndo qução cim, otmos x = ( ). Por fim, D = D = 1 x = 1 ( ) =, trigonomtri do triângulo D fornc tg15 = D = =. prtir dí, dixmos como xrcício pr você imitr o xmplo ntrior pr otr sn15 = 1 cos15 = +1. Dics pr o Profssor Rsrv um sssão d 50min pr primir sção dus sssõs d 50min pr cd um ds outrs dus sçõs. N sgund sção, nftiz qu s rlçõs (4) tl d vlors do sno, cossno tngnt d ângulos notávis dvm sr mmorizds, pr uso futuro. Você tmém dv chmr tnção dos lunos pr importânci d indpndênci dos rcos trigonométricos m rlção dois triângulos rtângulos smlhnts, um vz qu ss propridd é qu rlmnt dá flxiilidd d plicção à Trigonomtri d triângulos rtângulos. Por fim, trcir sção trz um rsultdo muito importnt, qu é rlção fundmntl d Trigonomtri. Junto com l, os três xmplos d sção dvm sr rsolvidos m dtlh. rfrênci [], sguir, contém xmplos xrcícios simpls, qu podm judá-lo n condução ds sssõs. rfrênci [1] (tmém sguir) xpnd o mtril qui discutido, trzndo vários prolms mis difícis. Sugstõs d Litur omplmntr 1.. minh. Tópicos d Mtmátic Elmntr, Volum : Gomtri Euclidin Pln. Rio d Jniro, Editor S..M., mtmtic@omp.org.r