Dado um grafo G, é possível encontrar uma representação gráfica para o grafo tal que não

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1 13 - Gros Plnrs Nst ul qurmos rsponr à suint qustão: Do um ro G, é possívl nontrr um rprsntção rái pr o ro tl qu não hj ruzmnto rsts? Consir por xmplo o ro K 4 rprsnto rimnt ns iurs i1, i2 i3.: i. 1 i. 2 i. 3 Dinição 1 Um ro G é ito plnr s pur sr rprsnto rimnt no plno tl orm qu não hj ruzmnto sus rsts. Cso ontrário o ro é ito não-plnr. Usrmos o trmo ro plno pr um rprsntção plnr um ro plnr. Exmplo: o ro i 1 é um ro plnr, o ro s i. 2 i. 3 são ros plnos. S xistir um rprsntção o ro m um supríi sm qu hj ruzmnto rsts, izmos qu xist um imrsão o ro n supríi. Como trminr ntão s um o ro é plnr? Existm ois ros não plnrs qu são muito importnts no stuo plnri. Ests ois ros são hmos Gros Kurtowski srão prsntos suir. Gros Kurtowski Torm 1 O ro K 5 é um ro não plnr. Prov pr mostrr st torm usrmos um mtooloi qu po sr stnt útil n otnção um rprsntção plnr um ro plnr ou n prov qu tl rprsntção não po sr nontr. Vmos onsirr o ro K 5. Sjm v1,v2,v3,v4, v5 os ino vértis st ro. Como o ro é omplto, pomos nontrr um iruito hmiltonino m G. Sj por xmplo o suint iruito: v 1 v 1 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 v 2 v 3 v 4 v 5 v 4 v 5 v 4 v 5 Vmos rsntr Arsntno rst rst (v 2, v 3): (v 2,, v 5): Arsntno s rsts (v 4, v 1): (v 4, v 3) osrvmos qu não tmos solh qu é nssário inlui-ls xtrnmnt: Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP

2 Ao tntrmos inluir últim rst o ro (v 5, v 1 ) vriimos qu não é possívl inlui-l sm qu hj ruzmnto rsts. Portnto o ro K 5 é não plnr. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Pr prsntr o próximo ro Kurtowski vmos rlmrr inição ro iprtio. Gro Biprtio Um ro G(V,A) é iprtio quno o su onjunto vértis, V, pur sr prtiiono m ois onjuntos V1 V2 tis qu to rst G tm um xtrmi m V1 outr m V2. Um ro iprtio omplto possui um rst pr pr vértis v i V1 v j V2. S n1 é o númro vértis m V1 n2 é o númro vértis m V2, o ro iprtio omplto é noto por K n1,n2. Exmplos: K 2,3 K 2,2 K 3,3 Torm 2 O ro K 3,3 é um ro não plnr. Prov: É possívl monstrr st torm usno o msmo rumnto prov o torm 1. O qu sts ois ros possum m omum? 1) São ros rulrs 2) Os ois são não plnrs 3) A rmoção um rst ou um vérti torn o ro plnr 4) K5 é não plnr om o mnor númro vértis 5) K3,3 é não plnr om o mnor númro rsts Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP

3 Fórmul Eulr Osrv qu um ro plno ivi o plno m ivrss riõs, hms s O ru um i ( i ) é iul o númro rsts onti n trilh h qu in. O númro s () um ro plnr é smpr o msmo inpn rprsntção plnr oti. Como rst G prtn no máximo us s istints, ou st inluí us vzs n trilh h qu in um, tmos o suint rsulto: i 1 ( i ) 2 m. Exmplo: ( 1 )= 8 ( 2 )= 3 ( 3 )= 9 ( 4 )= 4. O númro s um ro tmém st rliono omo númro rsts vértis o ro trvés o torm ixo. Torm 3 S G é um ro onxo plnr om m rsts n vértis, ntão qulqur rprsntção plnr G possui m n 2 s. Exmplo Qunts s xistm m ro plnr om 10 vértis, um om ru 3? Iniilmnt prismos inir qunts rsts o ro possui. 10 v ( i ) 2m m i 1 Aplino órmul Eulr: m n smos qu o ro trá 7 s. Corolário 1 Sj G um ro simpls onxo plnr om m rsts n vértis, ntão: m 3n 6, m 1. Prov. Osrvmos ntriormnt qu o ru é ini plo numro rsts m um trilh h. Em um ro simpls G um trilh h é ompost por plo mnos três rsts. Além isso, rst prtn à no máximo us s um ro. Assim pomos stlr suint rlção: 2m ( i ) 3 3 i 1 i 1 Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP

4 3 2m, 2 3 m usno st rlção n órmul Eulr tmos: m n m m 3n 6. Osrv qu o ro K 5 não stisz o orolário 1 portnto não é plnr. O ro K 3,3 stisz o orolário porém não é plnr. Assim tmos um onição nssári ms não suiint. Como zr ntão pr trminr s um o ro é plnr? O loritmo rução ixo po uxilir nst tr. Dinição 2 Dus rsts stão m séri s ls possum xtmnt um vérti m omum st vérti tm ru ois. Dinição 3 A usão us rsts inints m um vérti v j, (v i, v j ) (v j, v k ), é it liminno s us rsts rino rst (v i, v k ). Proimnto 1 Proimnto rução Psso 1 Dtrmin s omponnts o ro. G = { G 1, G 2,..., G k }. Tst omponnt G i o ro. Psso 2 Rmov toos os loops Psso 3 Elimin s rsts prlls, ixno pns um rst ntr pr vértis. Psso 4 Elimin os vértis ru ois trvés usão us rsts. (Arsts m séri não tm plnri). Rpit os pssos 3 4 nqunto or possívl. Exmplo Vmos plir o proimnto rução o suint ro: Psso 2 G não possui loops Psso 3 - G não possui rsts prlls. Psso 4 Vmos zr usão s rsts : 1, ,6 Rptino: Psso 3, vmos rmovr s rsts 1, 2 5,6. O ro rsultnt é: Psso 4 tmos: 3,7 4 Rptino: Psso 3 tmos o suint ro ruzio: 4 Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP

5 D um mnir rl, pós plir o proimnto 1 um s omponnts G i, qul srá o ro ruzio, H i? Torm 3 O ro ruzio H i é: ) um rst; ou ) um ro omplto om 4 vértis; ou ) um ro simpls om n 5 m 7. S toos os ros ruzios H i stisizrm os itns ) ou ), o ro G é plnr. Cso ontrário é nssário vriir s m 3n 6. S o ro ruzio não stisz st inqução ntão o ro G é não plnr. S inqução or stisit, é nssário zr tsts iionis. Usno o Proimnto 1 o Torm 3 pomos intiir lrmnt plnri um ro pr sos on o ro tm mnos qu 5 vértis mnos qu 7 rsts. Pr ros om n 5 m 7 qu stisçm onição o Corolário 1 prismos outros rsultos. Dinição 4 A suivisão rst (v,w) um ro G é um oprção qu trnsorm rst (v.w) m um minho trvés ição vértis ru 2. Por xmplo, rst: v w po sr suivii m: v w vértis ru 2 iionos. Dinição 5 Suivisão um ro - Um ro G 2 é um suivisão um ro G 1 quno G 2 pur sr otio G 1 trvés um squêni ivisõs s rsts G 1. G 1 G 2 Dizmos qu G 2 é um oniurção G 1. i1 i2 Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP

6 O ro iur 1 é o K 3,3 o ro iur 2 é um oniurção o K 3,3 O Torm ixo oi monstro pl primir vz plo mtmátio polonês Kurtowski m Torm 4 Um ro G é plnr s somnt s não ontém um suro qu é um oniurção o ro K 5 ou o ro K 3,3. Vmos vriir s o ro ixo é plnr. h Pomos plir o proimnto rução pois o ro ontém vértis ru 2. Vmos ntão liminr o vérti h trvés usão s rsts (,h) (h,). O ro rsultnt é: Vmos vriir o Corolário 1. m 3n 6, 12 3( 8) 6 18, omo o ro stisz o orolário não pomos irmr n. Vmos ntão plir o proimnto onstrução iruitos tntr otr um rprsntção plnr pr st ro. Vmos trminr o iruito mis lono nst ro: Sj o iruito: {,,,,,,,}: Vmos iniir o proimnto insrino, por xmplo, rst (,). Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP

7 Pr insrir rst (,) tmos pns um opção, insrir or o iruito. osrv or qu rst (,) não po sr snh or, ou ntro o iruito. Assim pomos izr qu o ro o não é plnr. G Vmos or nontrr um oniurção o K 3,3 ou o K 5 no ro G. D oro om o torm 4 s o ro é não plnr vmos nontrr um. Como zr? Pr intiir oniurção o K 3,3, vmos liminr o suro G os vértis ru 2, trvés usão s rsts (,) (,). G O ro ruzio G é o K 3,3. Bst tomr V 1 = {,, } V 2 = {,, }. O suro G qu é um oniurção o K 3,3 é ntão: Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP

8 h Aloritmos pr vriir s um o ro é plnr m so positivo xiir um rprsntção plnr o ro : 1) Aloritmo Hoprot Trjn m Tori o ros Aloritmos, Antonio Luiz Furto, Livros Ténios intíios itor, ) Aloritmo Dmouron t l. m: "Alorithmi Grph Thory", J.A. Mhuh, Prnti Hll, Nots ul Tori os Gros Pro. Mri o Soorro Rnl DMAp/UNESP