Derivada fracionária no sentido de Caputo-Hadamard

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1 Trblho prsntdo no CNMAC, Grmdo - RS, Procding Sris of th Brzilin Socity of Computtionl nd Applid Mthmtics Drivd frcionári no sntido d Cputo-Hdmrd Dnil dos Sntos d Olivir 1 Edmundo Cpls d Olivir 2 Instituto d Mtmátic, Esttístic Computção Cintífic, Unicmp, Cmpins, SP Rsumo O cálculo d ordm não intir, tmbém conhcido como cálculo frcionário, pod sr visto como um gnrlizção d intgrção difrncição ordináris, isto é, pssgm d ordm intir pr não intir ou té msmo complx. Vmos nos concntrr n formulção d Cputo-Hdmrd, rcntmnt introduzid. Aprsntrmos su dfinição lgums d sus propridds, bm como o torm fundmntl do cálculo frcionário l ssocido. Como plicção, obtmos solução d um prticulr qução difrncil frcionári. Plvrs-chv. Drivd frcionári, Cputo-Hdmrd, torm fundmntl do cálculo frcionário, qução difrncil frcionári 1 Introdução O cálculo frcionário CF) nom populrizdo pr cálculo intgrl difrncil d ordm não intir é d msm époc qu o cálculo intgrl difrncil conform proposto, indpndntmnt, por Nwton Libniz. É costum mncionrmos um corrspondênci trocd por Libniz l Hôpitl dtd do no d 1695, como sndo o possívl início do qu viri s constituir n futur tori. Nst corrspondênci l Hôpitl qustionv Libniz sobr drivd d ordm não intir, m prticulr, drivd d ordm mio. Libniz rspond m tom profético, qu isto ind viri grr um long séri d studos psquiss [1, 5]. Existm mnirs distints d introduzir o concito d intgris drivds frcionáris, porém não ncssrimnt sts coincidm [6]. Introduzimos s intgris drivds frcionáris sgundo Hdmrd [4] um modificção pr sts drivds dndo ssim origm às drivds d Cputo-Hdmrd [3]. Nst trblho, primirmnt, prsntmos s intgris drivds frcionáris no sntido d Hdmrd. N sção 2 introduzimos s intgris drivds no sntido d Cputo-Hdmrd fim d discutir lgums propridds, m prticulr, um similr torm fundmntl do cálculo frcionário pr sts intgris drivds. Aprsntmos, sguir, dfinição ds intgris drivds d ordm não intir proposts por Hdmrd. 1 r142310@im.unicmp.br 2 cpls@im.unicmp.br DOI: / SBMAC

2 2 Dfinição 1.1 Intgris frcionáris sgundo Hdmrd). Sjm,b) 0 < b ) um intrvlo limitdo ou ilimitdo d R + Rα) > 0. As intgris frcionáris d Hdmrd d ordm α C, à squrd à dirit, são dfinids, rspctivmnt, por J α +ϕx) := 1 Γα) ln x ) α 1ϕt) dt t t, < x < b 1) Jb α 1 ϕx) := Γα) b x ln t ) α 1 ϕt) dt, < x < b. 2) x t Dfinição 1.2 Drivds frcionáris sgundo Hdmrd). As drivds frcionáris d Hdmrd d ordm α C, ond Rα) 0 m,b), < x < b, são dfinids, à squrd à dirit, rspctivmnt, por D+ϕx) α := δ n J+ n α ϕx) = x d ) n 1 dx Γn α) ln x ) n α 1ϕt) dt t t 3) Db α ϕx) := δn J n α b ϕx) = x d ) n 1 dx Γn α) b x ln t ) n α 1 ϕt) dt x t, 4) ond [Rα)] é prt intir d Rα) n = [Rα)]+1. A fim d dixr o trblho utoconsistnt, prsntmos o lm sguir qu srá utilizdo n dmonstrção do torm fundmntl do cálculo frcionário ssocido às intgris drivds frcionáris no sntido d Cputo-Hdmrd. Lm 1.1 Propridd d smigrupo ds intgris drivds frcionáris sgundo Hdmrd). Sjm α,β C tis qu Rα) > Rβ) > 0 i) S 0 < < b < 1 p <, ntão pr ϕx) L p,b), D β + J +ϕx) α = J α β + ϕx) Dβ b J b α α β ϕx) = J ϕx); 5) b ii) J+J α β α+β + ϕx) = J+ ϕx) J b α J β α+β b ϕx) = Jb ϕx). 6) 2 Drivd frcionári no sntido d Cputo-Hdmrd A sguir, prsntmos dfinição d drivd d ordm não intir sgundo Cputo- Hdmrd, qul surgiu trvés d um modificção n drivd frcionári conform propost por Hdmrd [2, 3]. No dcorrr dst trblho, considrrmos o conjunto N 0 = {0,1,2,...} AC[,b] o spço d funçõs bsolutmnt contínus no intrvlo [,b]. DOI: / SBMAC

3 3 Dfinição 2.1 Drivd frcionári sgundo Cputo-Hdmrd). Sjm Rα) 0, n = [Rα)]+1 ϕ AC n δ [,b], 0 < < b <. Então, C D+ϕx) α C Db α ϕx) xistm m [,b] são dfinids, à squrd à dirit, rspctivmnt, por C D α +ϕx) := D α + C D α b ϕx) := Dα b [ [ ϕx) ϕx) δ k ϕ) 1) k δ k ϕb) ] ln x ) k 7) ln b ) ] k, 8) x ond AC n δ [,b] = {ϕ : [,b] C : δ ϕx) AC[,b],δ = x d dx }. Em prticulr, s 0 < Rα) < 1, tmos C D+ϕx) α = D+ϕx) D α +ϕ), α 9) C Db α ϕx) = Dα b ϕx) Dα b ϕb). 10) 3 Propridds torm fundmntl do cálculo frcionário pr s drivds frcionáris sgundo Cputo-Hdmrd Algums propridds d drivd frcionári d Cputo-Hdmrd são prsntds bm como o torm fundmntl do cálculo frcionário l ssocido. Proposição 3.1. S Rα) > 0, Rβ) > 0, 0 < < b <, ntão, tmos qu [ i) J+ α ln x ) ] β 1 = Γβ) ln x β+α 1, Γβ +α) ) Rβ) > n, [ ii) C D+ α ln x ) ] β 1 = Γβ) ln x β α 1, Γβ α) ) Rβ) > n. S β = k +1, tmos qu Em prticulr, C D α + ln x ) k = 0, k = 0,1,...,. 11) C D α +1 = 0. 12) O torm sguir mostr um outr form d scrvr drivd d ordm não intir sgundo Cputo-Hdmrd. Torm 3.1. Sj Rα) 0, n = [Rα)]+1 ϕx) AC n δ [,b], 0 < < b <. Então, C D+ϕx) α C Db α ϕx) xistm m [,b] DOI: / SBMAC

4 4 i) s α / N 0 C D α +ϕx) = C D α b ϕx) = 1 Γn ) 1) n Γn α) b ln x ) n α 1δ n ϕt) dt t t = J + n α δn ϕx), 13) ln t ) n α 1 δ n ϕt) dt x t = 1)n J n α b δn ϕx);14) ii) s α = n N 0, C D α +ϕx) = δ n ϕx), C D α b ϕx) = 1)n δ n ϕx). 15) Em prticulr, C D+ϕx) 0 = C Db 0 ϕx) = ϕx). 16) Dmonstrção. Pr dmonstrr primir prt dst torm dvmos dmitir, n dfinição d drivd d Hdmrd à squrd, Eq.3), qu função ϕt) srá dd pl Eq.7). Assim, dvmos intgrr por prts, considrndo u = ϕt) δ k ϕ) ln ) t k dv = ln x ) n α 1 dt t t, logo pós drivr. Dst form, obtrmos um xprssão qul dvrmos intgrr, por prts, novmnt, considrndo o msmo dv tmbém drivá-l. Fzndo isto n vzs, sgu o rsultdo. Após prsntr os oprdors d intgrção difrncição frcionários no sntido d Cputo-Hdmrd, vmos nuncir dmonstrr o torm fundmntl do cálculo frcionário ssocido sts oprdors [2, 3]. Pr tnto, considrmos o oprdor d intgrção sgundo Hdmrd o oprdor d difrncição sgundo Cputo-Hdmrd. Est torm srá utilizdo pr obtr solução d um qução difrncil frcionári. Torm 3.2 Torm Fundmntl do Cálculo Frcionário). Sjm α C com Rα) 0, n = [Rα)]+1 ϕx) AC n δ [,b], 0 < < b <. i) S Φx) = J+ϕx) α ou Φx) = Jb α ϕx), x [,b], ntão 17) C D α +Φx) = ϕx), C Db α Φx) = ϕx). 18) ii) J α b C D α +)Φx) = Φb) Φ), Jb α C Db α )Φx) = Φ) Φb). 19) DOI: / SBMAC

5 5 Dmonstrção. i) A prtir do lm 2.4 m [3] podmos notr qu, s intgris frcionáris proposts por Hrdmrd s drivds frcionáris no sntido d Cputo-Hdmrd são oprdors invrsos, isto é, C D+J α +)ϕx) α = ϕx) C Db α J b α )ϕx) = ϕx). 20) Assim, s Φx) = J+ϕx) α ou Φx) = Jb α ϕx), obtmos, imditmnt, s xprssõs n Eq.18). ii) Utilizndo Eq.13), podmos scrvr J α + C D α +)Φx) = J α +J n α + δn )Φx). 21) Nst cso, utilizmos primir qução d 6), ou sj, Em prticulr, s n = 1, tmos qu J α + C D α +)Φx) = J n +δ n )Φx). 22) o qu implic m J+ α C D+)Φx) α = J+δ 1 1 )Φx) 1 x dt = t d ) Φt) Γ1) t dt ) d = dt Φt) dt J α b C D α +)Φx) = A prtir do lm 2.5 d [3], tmos b J+ α C D+)ϕx) α = ϕx) = Φx) Φ), 23) ) d dt Φt) dt = Φb) Φ). 24) δ k ϕ) ln x ) k. 25) Em prticulr, s 0 < Rα) < 1, ntão n = 1 Φx) AC δ [,b] ou Φx) C δ [,b]. Assim, J α + C D α +Φx) = Φx) Φ). 26) Sgu qu, J α b C D α +)Φx) rsult n primir qução d 19). DOI: / SBMAC

6 6 4 Aplicção Nst sção rsolvmos um qução difrncil frcionári trvés do torm fundmntl do cálculo frcionário ssocido às drivds sgundo Cputo-Hdmrd. Considr o problm d vlor inicil frcionário C D α +ϕx) = c, ϕ) = 0, ond c são constnts não nuls, x > 0 0 < Rα) < 1. Aplicndo o oprdor d intgrção frcionário à squrd J α +, sgundo Hdmrd, n qução difrncil utilizndo Eq.26), tmos qu J+ α C D+ϕx) α = J+c α c ϕx) ϕ) = ln x α. Γ1+α) ) Not qu, pr clculr J+c α bst dmitir β = 1 n Proposição 3.1, itm i). Sgu qu solução é dd por c ϕx) = ln x α. 27) Γ1+α) ) Qundo c = = 1, tmos como solução ϕx) = [lnx)]α Γ1+α). 28) A sguir, o gráfico pr solução 28) com lguns vlors d α Α 0.5 Α 0.7 Α 0.9 Α Figur 1: Função ϕx) = [lnx)]α Γ1+α). DOI: / SBMAC

7 7 5 Conclusõs Introduzimos s drivds frcionáris no sntido d Cputo-Hdmrd fim d dmonstrr o chmdo torm fundmntl do cálculo frcionário ssocido à intgrl à drivd d Cputo-Hdmrd. Rssltmos qu, num rcnt trblho foi discutido o torm fundmntl do cálculo, m su vrsão frcionári, nvolvndo s drivds no sntido d Rimnn-Liouvill no sntido d Cputo [7]. Como plicção dss torm, rsolvmos um simpls qução difrncil frcionári nvolvndo drivd d Cputo-Hdmrd. Um continução nturl dst trblho é discutir solução d um qução difrncil frcionári ond função d Mittg-Lfflr mrg nturlmnt. Rfrêncis [1] R. Figuirdo Cmrgo E. Cpls d Olivir. Cálculo frcionário, Editor Livrri d Físic, São Pulo, [2] Y. Y. Gmbo, F. Jrd, D. Blnu nd T. Abdljwd. On Cputo modifiction of th Hdmrd frctionl drivtiv, Advncs in Diffrnc Equtions, Springr, volum 2014, númro 1, pgs 1 12, [3] F. Jrd, T. Abdljwd nd D. Blnu. Cputo-typ modifiction of th Hdmrd frctionl drivtiv. Advncs in Diffrnc Equtions, Springr, volum 2012, númro 1, pgs 1 8, [4] A. A. Kilbs. Hdmrd-typ frctionl clculus. Journl of th Korn Mthmticl Socity, volum 38, númro 6, pgs , [5] K. S. Millr nd B. Ross. An introduction to th frctionl clculus nd frctionl difrntil qutions, John Wily & Sons, Wily Intrscinc, Nw York, [6] E. Cpls d Olivir nd J. Tnriro Mchdo. A rviw of dfinitions for frctionl drivtivs nd intgrl, Mthmticl Problms in Enginring, volum 2014, pgs 1 6, Articl ID [7] E. Conthrtz Grigoltto nd E. Cpls d Olivir. Frctionl vrsions of th fundmntl thorm of clculus, Appl. Mth., volum 4, pgs 23 33, DOI: / SBMAC