MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM COMPUTACIONAL

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERA DO RIO GRANDE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODEAGEM COMPUTACIONA UM PROBEMA DE DISPERSÃO DE POUENTES EM RIOS E CANAIS POR MEIO DO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS por Chro Sivira Nvs Dissração para obção do Tíuo d Msr m Modagm Compuacioa Rio Grad ouubro d.

2 UM PROBEMA DE DISPERSÃO DE POUENTES EM RIOS E CANAIS POR MEIO DO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Por Chro Sivira Nvs Graduada m icciaura m Mamáica Dissração submida ao Corpo Doc do Programa d Pós-Graduação m Modagm Compuacioa PPGMC da Uivrsidad Fdra do Rio Grad FURG como par dos rquisios cssários para obção do Tíuo d Msr m Modagm Compuacioa Ára d Cocração: Muidiscipiar Oriador: Prof. Dr. Mario Rocha Ramoso Cooriadora: Prof. Dra. Bárbara Dico do Amara Rodriguz (FURG) Baca d Avaiação: Prof. Dra. Camia Pio da Cosa (UFP) Prof. Dr. Eizado Domigus dos Saos (FURG) Rio Grad ouubro d. ii

3 Ddico s rabaho aos mus pais Sadra Aoio Nvs ao mu amor Mauricio Prira. iii

4 AGRADECIMENTOS Agradço a Dus por r rihado o mu camiho fio com qu coisas boas pssoas maravihosas pudssm cruzar o msmo. Para qu dssa forma u pudss ss momo agradcê-as ambém. Porao agradço aos mus pais Aoio Sadra pa vida po amor pa ducação pos mpos d ddicação prsvraça. Ao mu sposo Mauricio po amor amizad compahirismo. Aos mus profssors Mario Ramoso Bárbara Rodriguz oriador cooriadora rspcivam por r acrdiado a miha compêcia pa paciêcia pos siamos. Ao mu irmão pa amizad icivo. A ouros aos amigos qu d aguma forma ajudaram a raização dss rabaho: Mariéia Maria Ruh Ea Igrid Nahaia Josa. Aos mmbros da baca por aciarm o covi d paricipar da dfsa d miha dissração. iv

5 RESUMO UM PROBEMA DE DISPERSÃO DE POUENTES EM RIOS E CANAIS POR MEIO DO MÉTODO DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS. Ns rabaho obém-s uma soução aaíica para a quação d advcção-difusão apicada a probmas d disprsão d pous m rios caais. Para ao cosidram-s os casos uidimsioais bidimsioais m rgim rasi com coficis d difusividad vocidads cosas. A abordagm uiizada para a rsoução ds probma é o méodo d Sparação d Variávis. Os modos rsovidos foram simuados uiizado o Maab. Aprsam-s os rsuados das simuaçõs uméricas m formao gráfico. Os rsuados d agumas simuaçõs uméricas ism a iraura pudram sr comparados. O modo proposo mosrou-s cor m ração aos dados cosidrados. Para ouras simuaçõs ão foram corados comparaivos a iraura odavia sss probmas govrados por quaçõs difrciais parciais msmo iars ão são d fáci soução aaíica. Sdo qu muias das rprsam imporas probmas d mamáica física com divrsas apicaçõs a gharia. Dssa forma é d grad imporâcia a dispoibiidad d um maior úmro d probmas-s para avaiação d dsmpho d formuaçõs uméricas cada vz mais ficazs já qu souçõs aaíicas ofrcm uma bas mais sgura para comparação d rsuados. Paavras-Chav: soução aaíica disprsão d pous mio aquáico sparação d variávis. v

6 ABSTRACT A PROBEM OF DISPERSION OF POUTANTS IN RIVERS AND CHANNES THROUGH THE METHOD OF SEPARATION OF VARIABES. I his papr a aaica souio is obaid for a advcio-diffusio quaio appid o disprsio of pouas i rivrs ad chas. Thrfor i is cosidrd h odimsioa ad o-dimsioa cass i rasi sa ih diffusio cofficis ad cosa spds. Th approach usd o sov his probm is h mhod of sparaio of variabs. Th mods r simuad usig Maab. Th rsus of umrica simuaios ar prsd i a graphica forma. Th rsus of som umrica simuaios is i h iraur ad h coud b compard. Th proposd mod shod o b cosis ih h cosidrd daa. For ohr simuaios isd iraur as o foud; hovr hs probms govrd b paria diffria quaios v iar ar o as o aaica sov. Big ha ma of hm rprs impora probms i Mahmaics ad Phsics ih ma appicaios i Egirig. Thus i is of gra imporac h avaiabii of a argr umbr of s-probms o vaua h prformac of umrica formuaios ach im mor ffciv sic h aaica souios provid a safr basis for compariso of rsus. Kords: aaica souio disprsio of pouas aquaic virom sparaio of variabs. vi

7 SUMÁRIO CAPÍTUO I... INTRODUÇÃO.... Esruura do Trabaho Rvisão Bibiográfica Objivos... CAPÍTUO II... FUNDAMENTOS TEÓRICOS.... Disprsão d Efus.... Dscrição dos Modos....3 A Equação d Advcção-Difusão O Méodo d Sparação d Variávis... 6 CAPÍTUO III... 8 MODEO UNIDIMENSIONA EM REGIME TRANSIENTE Caracrização do probma uidimsioa Modo Uidimsioa m Rgim Trasi Equação Uidimsioa para a Difusão Pura Codiçõs d Cooro Homogêas Codiçõs d Cooro Não Homogêas Equação Uidimsioa Difusiva-Advciva... 8 CAPÍTUO IV... 3 MODEO BIDIMENSIONA EM REGIME TRANSIENTE Caracrização do Probma... 3 vii

8 4.. Modo Bidimsioa o Pao ogiudia Trasvrsa Modo Bidimsioa o Pao ogiudia Vrica Modo Bidimsioa m Rgim Trasi Equação Bidimsioa Difusão Pura Codição d Cooro Homogêa Codição d Cooro Não Homogêa Caso Equação Bidimsioa Difusão Pura Não Homogêa Cooro Homogêa Caso Equação Bidimsioa Difusão-Advcção... 5 CAPÍTUO V RESUTADOS E ANÁISES Compuação Simbóica Rsuados do Modo Uidimsioa Caso Difusão Pura Caso Advcção-Difusão Caso Difusão Pura Caso Advcção-Difusão Rsuados do Modo Bidimsioa Caso Difusão Pura Caso Difusão Pura CAPÍTUO VI... 7 CONCUSÕES... 7 viii

9 CAPÍTUO VII REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS i

10 ISTA DE SÍMBOOS OD DBO GITT GITT KDV R Oigêio Dissovido Dmada Bioquímica Graizd Igra apac Trasform Tchiqu Gra Igra Trasform Tchiqu Korg-d Vris Númro d Rods V Vocidad ( m / s) Dimsão caracrísica ( m) v ~ Viscosidad cimáica (m / s) C C ( ( Cocração do pou (kg / m ) C Cocração do pou ( kg / m) Tmpo dcorrido dsd o dspjo do pou ( s) Disâcia a dirção ogiudia do fuo ( m) Disâcia a dirção rasvrsa do fuo ( m) ( ) u u M Prfi d vocidad do fuo a dirção ( m / s) ( ) v v N Prfi d vocidad do fuo a dirção ( m / s) K Cofici d difusão ara a dirção (m / s) Cofici d difusão ara a dirção (m / s) MSV Méodo d Sparação d Variávis X ( ) ( ) Y Fuçõs provis do méodo d sparação d variáv

11 T ( EDP Equação Difrcia Parcia C Cocração iicia do pou (kg / m ) f ( ) ( ) F ( ) f Codição iicia do probma d disprsão d pou m Coadors Comprimo do rio ( m) A A Coficis d Fourir m ( ( ( v g h ( ( Fuçõs d cocração d pou (kg / m ) h Codiçõs d cooro φ ( ) Fução d corrção M P Cosa d dcaimo (s ) argura do rio ( m) i

12 ISTA DE SÍMBOOS GREGOS λ Cosa d dcaimo (s ) ( ) ε ε Cofici d difusão ara a dirção (m / s) ( ) ε ω Cofici d difusão ara a dirção (m / s) ρ σ τ Auovaors Variáv do irvao d igração µ γ θ Coficis da pocia rsua da advcção ( ( ϕ ψ Fuçõs d cocração d pou (kg / m ) ii

13 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 5.: Gráfico d comparação d rsuados para o modo uidimsioa - difusão pura Figura 5.: Gráfico d comparação d rsuados para o modo uidimsioa - advcçãodifusão Figura 5.3: Modo uidimsioa d difusão pura para ε.5 m/s Figura 5.4: Modo uidimsioa d difusão pura para ε.3 m/s Figura 5.5: Modo uidimsioa d difusão pura para ε.7 m/s Figura 5.6: Modo uidimsioa d difusão pura para ε. m/s Figura 5.7: Cocração do pou dura h... 6 Figura 5.8: Modo uidimsioa d advcção-difusão para λ. s... 6 Figura 5.9: Modo uidimsioa d advcção-difusão para λ.5 s... 6 Figura 5.: Modo uidimsioa d advcção-difusão para λ. s Figura 5.: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u.7 m/s Figura 5.: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u.5 m/s Figura 5.3: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u.8 m/s Figura 5.4: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u. m/s Figura 5.5: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε.5 Figura 5.6: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε.3 Figura 5.7: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε.7 Figura 5.8: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε Figura 5.9: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. Figura 5.: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. Figura 5.: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. Figura 5.: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. m / s m / s m / s m / s m / s m / s m / s m / s Figura 5.3: Modo bidimsioa d difusão pura para 44 s... 7 iii

14 Figura 5.4: Modo bidimsioa d difusão pura para 88 s... 7 Figura 5.5: Modo bidimsioa d difusão pura para 43 s... 7 Figura 5.6: Modo bidimsioa d difusão pura para 576 s... 7 Figura 5.7: Modo bidimsioa d difusão pura para 7 s... 7 Figura 5.8: Modo bidimsioa d difusão pura para 864 s... 7 Figura 5.9: Modo bidimsioa d difusão pura para dias... 7 iv

15 ÍNDICE DE TABEAS Taba : Caso difusão pura Taba : Caso advcção-difusão Taba 3: Caso difusão pura Taba 4: Caso difusão pura... 6 Taba 5: Caso advcção-difusão... 6 Taba 6: Caso difusão pura Taba 7: Caso - difusão pura Taba 8: Caso - difusão pura v

16 CAPÍTUO I INTRODUÇÃO Nas úimas décadas vm aumado cosidravm a procupação mudia com a missão d coamias m rios caais. D acordo com Braga a. (3) a pouição é uma aração idsjáv as caracrísicas físicas químicas ou bioógicas a amosfra iosfra ou hidrosfra qu caus ou possa causar prjuízo à saúd à sobrvivêcia ou às aividads dos srs humaos ouras spécis ou aida driorar mariais. Apsar d a água sr uma das subsâcias mais comus a aurza s corar dispoív m divrsas formas pricipam o sado íquido a dispoibiidad da água doc o paa é imiada. Em virud diso a pouição das águas é um ma cuja discussão crsc d forma sigificaiva. No Brasi os maiors probmas ambiais racioados com a pouição das águas surgiram a década d 7 juo com o dsvovimo idusria. Aigam a diuição aura dos cursos d água ra sufici para prmiir a maução d um sisma saisfaório mas auam iso já ão é possív uma vz qu há uma crsc dmada o cosumo d água. D acordo com Barros (4) são faors qu coribum para a dgradação dos corpos hídricos a faa d saamo básico idicado como o maior pouidor o açamo d fus idusriais raados idvidam projos d irrigação a poração dos rcursos hídricos para fis rgéicos. A vrificação mdição dos parâmros d quaidad da água é a pricipa frrama uiizada para a avaiação da msma od os pricipais parâmros aaisados são: oigêio dissovido (OD) dmada bioquímica (DBO) irogêio fósforo (GARCIA 9). O ív d bacérias coiforms m sua imporâcia racioada ao coro d doças rasmissívis a saúd púbica. As cocraçõs d OD DBO são parâmros qu rprsam o quiíbrio do cossisma aquáico a sobrvivêcia d spécis aimais vgais prss o ambi hídrico.

17 A urofização é o crscimo cssivo das paas aquáicas ao pacôicas quao adridas a ívis ais qu sjam cosidrados como causadors d irfrêcias com os usos dsjávis do corpo d água (THOMANN MUEER 987). O pricipa faor d símuo é um ív cssivo d uris o corpo d água pricipam irogêio fósforo. Es probma vm s orado mais críico dvido à prsça d ais uris m vadas cocraçõs m fus idusriais qu scoam para rios rsrvaórios impacado sss sismas. A quaidad da água sá form igada à quaidad d água is para dissovr diuir rasporar as subsâcias qu prjudicam a saúd dos srs humaos (BRAGA a. 3). Os cursos d água possum a capacidad d auodpuração dsd qu as cargas pouidoras rspim o pocia dpurador dss maacia prmiam a maução da vida bioógica. Fora dss imis a quaidad das águas cora-s compromida. D acordo com Garcia (9) a aáis das rasformaçõs físicas químicas bioógicas ocorridas o mio aquáico a formuação mamáica d ais procssos prmim a cosrução d um modo mamáico d quaidad da água qu racio a cocração d subsâcias parâmros dsjados com as caracrísicas hidroógicas do sisma m sudo. Os parâmros d quaidad grad par das subsâcias óicas êm sus imis fiados m gisaçõs spcíficas qu drmiam o ív d quaidad da água m um sisma hídrico dsigam o ipo d uso da água prmiido para os ocais avaiados. Dsa forma surgiu a cssidad a ív mudia d s obr um coro quaiaivo quaiaivo das águas. Com s crsc irss várias aáiss d impaco ambia o coo da disprsão d pous m rios caais são sdo fias cofiado m modos mamáicos compuacioais. O dsvovimo d modos compuacioais m sido d grad irss a comuidad ciífica uma vz qu ss modos aprsam cusos mors qu os d modos com primos. Aém disso êm a vaagm d s adapar d maira fáci rápida a ovos probmas siuaçõs. Isso impica o dsvovimo d ovas écicas modos para aborar-s uma abordagm mais rigorosa adicioado-s compibiidads a formuação do probma qu sjam d imporâcia física.

18 A simaiva da cocração d pous m rios córrgos é drmiada pa aboração d modos d disprsão. Um modo d disprsão é uma prssão mamáica qu rprsa os fios das águas sobr os pous. D acordo com os probmas ocasioados pa pouição da água é cssário sudar dr o procsso d disprsão dsss coamias para prvr as possívis cosquêcias d impaco da pouição sobr os divrsos cossismas. Ess modos mamáicos são isrumos paricuarm úis o dimo dos fômos qu coroam o raspor a disprsão a rasformação físico-química dos coamias imrsos os rios caais. Tais modos prmim vaidar o ív obsrvado d pous bm como a quaidad da água m um drmiado ugar. Poddo ambém simar o impaco d ovas fos pouidoras. Prcbdo a dificudad m rsovr aaiicam quaçõs difrciais parciais com coficis cosas agus auors (MACHADO 6) uiizam méodos uméricos como sdo um camiho araivo para a produção d rsuados aproimados. Er ss méodos podmos ciar o d difrças fiias o d mos fiios o d voums fiios. Tais méodos podm sr corados m Maiska (4) Paakar (98) Hughs (987). O méodo d difrças fiias aproima as drivadas parciais das quaçõs difrciais por quocis d difrças d vaors das variávis icógias scohidos m poos discros do domíio do cácuo. Dpddo da forma como são obidas as quaçõs d difrças o squma umérico pod sr pício ou impício. No squma picio as variávis icógias êm sus vaors dfiidos m cada poo do spaço m fução dos vaors cohcidos dos irvaos d mpos ariors. Quado iso ão acoc o squma é impício rsuam m sismas d quaçõs agébricas od as variávis icógias são rsovidas simuaam a cada irvao d mpo gram m uma iha d spaço com codiçõs d cooro dfiidas. O méodo dos mos fiios há uma vrsaiidad a rprsação d gomrias compas uma vz qu possui gradors auomáicos d mahas riaguars hagoais. Dsa forma s méodo prmi uma variação o amaho dos mos qu compõm a maha as codiçõs d cooro podm sr facim impmadas. 3

19 Já o méodo d voums fiios sá iriscam igado ao cocio d fuo r rgiõs ou voums adjacs od o fuo d uma gradza como massa ou rgia é a quaidad dssa gradza qu aravssa uma drmiada froira ou voum d coro. A apicação física dira rsua da apicação d a méodo bm como a possibiidad d apicá-o diram sobr mahas com spaçamos ão uiforms são duas d suas vaags. Porém ambos os méodos dm a r um cuso compuacioa ao dpddo da compibiidad do modo mamáico dvido à grad quaidad d mmória ao vado mpo d procssamo. Machado (6) uiizou o méodo d voums fiios para modar ridimsioam a disprsão d pous m rios. Ns sudo o méodo foi uiizado para aproimar as quaçõs d massa d cosrvação da quaidad d movimo d spéci química. A propagação d pous a água é um probma ípico d raspor advcivodifusivo para o qua a uiização d méodos aaíicos híbridos é paricuarm vaajosa m ração às formuaçõs uméricas possibiiado a obção d souçõs m forma fchada dsd qu o campo d vocidads do corpo hídrico m sudo sja prviam cohcido. Nss casos o pou ão afa o comporamo fuido-diâmico do scoamo.. Esruura do Trabaho A prs dissração sá sruurada m s capíuos. No Capíuo I é fia uma rvisão bibiográfica. São aprsados rabahos rfrs à modagm d disprsão d pous m mio aquáico. No Capíuo II aprsa-s uma brv rvisão dos fudamos óricos ao da quação d advcção-difusão a qua moda o fômo d disprsão como ambém do méodo d Sparação d Variávis uiizado para a rsoução da quação. 4

20 Em sguida o Capíuo III é formuado o caso uidimsioa ao para a hipós da difusão pura quao para a d difusão advcção do pou. Nsa úima hipós é fia uma rdução ao probma d difusão pura aravés d uma scoha adquada d variávis. O caso bidimsioa m rgim rasi é aprsado rsovido o Capíuo IV. Ns caso ovam mdia uma scoha adquada d variávis codiçõs iiciais d cooro cosguimos rduzir osso probma ao caso d difusão pura. A vaidação dos rsuados bm como a comparação com ouras écicas corams o capíuo V. Rsuados gráficos são aprsados. As cocusõs sugsõs para rabahos fuuros são aprsadas o Capíuo VI.. Rvisão Bibiográfica Várias souçõs uméricas da quação d advcção-difusão podm sr coradas a iraura. Todavia a busca d souçõs aaíicas para s probma aida é uma das pricipais dirçõs d psquisa sa ára pois odos os parâmros aparcm piciam a soução prmiido a ivsigação d suas ifuêcias. Sdo assim sa sção é aprsada uma sís dos modos d disprsão d pous aquáicos bm como uma rvisão bibiográfica d rabahos vovdo souçõs uméricas híbridas aaíicas da quação d advcção-difusão apicadas m rios caais. Esss rabahos foram dsvovidos aravés d difrs écicas méodos d soução. Modos uidimsioais para a soução da quação d advcção-difusão êm sido sivam usados d forma a obr a soução aaíica dss modos. Na sua maioria assumm prfi d vocidad coficis cosas. D acordo com Poro a (99) uma das maiors coribuiçõs para o sudo da quação d advcção-difusão d pous foi a irodução do cocio d disprsão ogiudia qu busca o uso d quaçõs mais simps com formuação aproimada. Modos uidimsioais são uiizados quado o mpo após o açamo d um pou é suficim grad. Mas para qu iso ocorra é cssário um cohcimo prévio da simaiva do mpo cssário para qu os djos s disribuam uiformm ao 5

21 ogo das dirçõs (rasvrsa) z (vrica). Dsa forma modos uidimsioais podm sr úis para uma primira simaiva. Gadofi a () uiizou um modo uidimsioa d disprsão advcção dcaimo com coficis cosas para o raspor d souos m um rio formuado um probma com uma fo poua variáv o mpo rsovido aaiicam aravés do uso da Trasformada d apac. Dias (3) mosrou sus sudos para um modo uidimsioa a obção d uma soução aaíica da quação d advcção-difusão com dcaimo d primira ordm po méodo da rasformação d simiaridad graizada. O méodo proposo proporcioa uma forma sismáica d corar as variávis d simiaridad qu rduzm o probma a uma quação difrcia ordiária com soução cohcida o qu compa a obção da soução dsjada. Muio mbora o modo uidimsioa sja basa uiizado dvido a sua simpicidad habiidad m s obr rsuados saisfaórios é basa imiado. Em siuaçõs mais críicas como o açamo d um pou químico as do oca od o procsso d disprsão comc a ocorrr a formuação uidimsioa ora-s iadquada. Ouro aspco a sr cosidrado é qu modos ogiudiais uidimsioais ão dvm sr apicados para simuar o procsso iicia d dscarga d um pou m um caa. Nss casos uiizam-s com mais frquêcia modos com duas ou aé rês dimsõs. O ipo d fo pouidora ambém é vado m cosidração para s drmiar qua modo d disprsão dvrá sr uiizado. Eism basicam rês ipos d fos a paa iar ou poua. A forma dssas fos pouidoras m imporâcia fudama os sudos d impaco ambia. As fos pouais são as qu aigm o aquífro aravés d um poo. O mpo mais comum ds ipo d fo é o das idúsrias. Esas fos são rsposávis por pouiçõs aam cocradas a forma d pumas. Já as fos iars são provocadas pa ifiração d águas suprficiais d rios caais coamiados. A possibiidad dsa pouição ocorrr dpdrá do sido do fuo hidráuico is r o curso d água o aquífro subjac. Por fim as fos paas ou difusas são as qu coamiam áras 6

22 sas. A pouição provi das fos difusas caracriza-s por sr d baia cocração aigir grads áras. As apicaçõs d modos bidimsioais ridimsioais dpdm ambém da cofiguração gomérica do rio do rcho o qua s dsja aaisar das razõs d aspcos r a profudidad a argura (BARROS 4). Trabahos com modos bidimsioais podm sr corados a iraura ss modos podm sr divididos m procssos d raspor od são cosidrados o raspor o pao (dirção ogiudia) (dirção rasvrsa) procssos com raspor o pao (dirção ogiudia) z (dirção vrica). A scoha dss dois modos dpd do ipo d fo pouidora da ordm d gradza dos fuos difusivos. Modos bidimsioais para o caso d dirçõs ogiudiais rasvrsais são uiizados para rios muio argos /ou para os casos m qu o fuo difusivo a dirção vrica é muio mor qu o fuo a dirção rasvrsa. Es ipo d modo assum qu o pou ao sr dspjado o rio s difud isaaam para o io do rio. Trabahos como o d Viha a (985) aprsam a soução para modos bidimsioais. Ns rabaho prima com o objivo d vaidar o modo bidimsioa órico a quação abordada aprsa coficis cosas vocidad cofici d difusão urbua uiforms a écica mprgada foi a Trasformada d apac. A hipós para o modo bidimsioa a dirção horizoa d qu haja misura compa do pou a sção rasvrsa só é váida quado a razão d aspco da argura pa profudidad sja grad qu o fio da disribuição d vocidads a dirção ara sja mais sigificaivo qu o fio do prfi d vocidads a profudidad (BASHA 997). Zabada a (6) aprsaram rsuados para probmas difusivos bidimsioais m rgim prma uiizado méodos híbridos m mio aquáico. Esss méodos apicam variávis compas a fim d cuar mapamos sobr a quação difrcia a sr rsovida bm como sobr o domíio cosidrado. O mapamo sobr a quação difrcia covr o oprador apaciao bidimsioa m uma drivada cruzada d sguda ordm a 7

23 variáv spacia. O mapamo do domíio rasforma com ficácia rgiõs d formao compo m rgiõs raguars. Poffa (5) sudou dois méodos aaíicos para obção d souçõs m forma fchada da quação advcivo-difusiva m coordadas carsiaas qu dscrv probmas d disprsão d pous ao a água quao a amosfra. Um dos méodos sá basado m rgras d maipuação d pociais d opradors difrciais o ouro cosis a apicação d simrias d i admiidas por uma quação difrcia parcia iar. Nas apicaçõs rfrs à disprsão d pous a água rsov-s a quação advcivodifusiva bidimsioa com coficis variávis raizado uma mudaça d variávis d modo a rscrvê-a m rmos do pocia vocidad da fução corr corrspods ao rspcivo scoamo pocia sddo a soução para domíios d cooros arbirários. Fradz (7) mosrou sudos uiizado as rasformaçõs d Bäckud ssas rasformaçõs produzm mapamos r souçõs d duas quaçõs difrciais. S a soução aa d uma quação difrcia domiada quação auiiar é cohcida oras possív rasformá-a m soução d uma oura quação difrcia domiada quação avo pa apicação d opradors difrciais.quado a quação auiiar a quação avo são idêicas s procdimo é domiado rasformação auo-bäckud. Ns rabaho souçõs aas da quação advciva-difusiva bidimsioa m rgim sacioário foram obidas po mprgo d rasformaçõs auo-bäckud a fim d simuar a disprsão d pous m corpos hídricos. Ribiro a (9) aprsaram um ova formuação aaíica para a rsoução d probmas d pouição aquáica. O méodo apicado basava-s o mprgo da rasformada d Fourir od codiçõs d cooro d sguda spéci ram icuídas a formuação a fim d qu pudssm sr obidas disribuiçõs d cocração subsâcias químicas m corpos hídricos com formao compo. Ns rabaho foi aborado um agorimo híbrido qu uiiza a Trasformada d Fourir a obção d souçõs aproimadas m forma aaíica para a quação d disprsão m duas dimsõs. Ribiro a () aprsaram um ovo méodo aaíico uiizado rdução d ordm para a rsoução d probmas m pouição aquáica. O méodo raiza a simuação 8

24 uiizado duas rsriçõs difrciais d primira ordm a parir das quais são coradas rasformaçõs auo-bäckud para a quação advciva-difusiva bidimsioa m rgim sacioário. Busk a () aprsaram uma soução aaíica da quação bidimsioa d advcção-difusão o pao ogiudia vrica m rgim prma para a disprsão d coamias a água. Ns sudo foi apicado a écica GITT (Graizd Igra apac Trasform Tchiqu). Habiuam cosuma-s uiizar modos ridimsioais próimos a fo pouidora uma vz qu o pou s difud para o fudo o dcorrr do procsso spaha-s a dirção rasvrsa do rio dvido ao procsso d difusão qu suaviza os gradis d cocração. Um modo qu icua iformaçõs sobr a variação do campo d vocidads é d grad irss. Ns sido agus rabahos como por mpo o d Wag a. (978) já êm aprsado modos qu icuam ssa ão uiformidad a vocidad. Porém aida é scasso a iraura modos qu icuam variaçõs ambém o campo da difusividad urbua m modos para rios rasos. Ns caso a sruura urbua do fuo d água m rios rasos é caracrizada pa isêcia d urbuêcia. Barros (4) sudou modos muidimsioais para a disprsão d coamias m rios caais aravés d souçõs híbridas por rasformação igra. Em su rabaho foi uiizada a écica GITT (Técica da Trasformada igra Graizada) com um rgim prma d disprsão. Dpddo das caracrísicas físicas do rio a sr aaisada o rcho imdiaam a jusa do açamo do pou pod dfiir o comporamo disprsivo do pou. Normam o procsso d disprsão ss casos os rchos iiciais m caracrísicas ridimsioais. Ess procsso ridimsioa pod s sdr por quiômros aé qu s or bidimsioa subsqum uidimsioa. Ns caso dvm-s mprgar modos mamáicos qu coham iformaçõs sobr odas as dirçõs spaciais. Garcia (9) aprsou souçõs aas para um modo difusivo d disprsão d pous basado a quação KDV (Korg-d Vris). O méodo uiizado basia-s m 9

25 rês rsriçõs difrciais d primira ordm a parir das quais são coradas rasformaçõs auo-bäckud para a quação advciva-difusiva ridimsioa m rgim sacioário. Fia a rvisão bibiográfica foi possív cocuir aspcos imporas para o probma d disprsão d pous m rios caais. Er s podmos ciar qu rsuados primais corados a iraura idicam qu os coficis d difusão variam a dirção ogiudia do scoamo assim como a dirção vrica rasvrsa. Não há uiformidads o campo d vocidad uma vz qu a disribuição da vocidad ao ogo d uma margm para a oura podm aprsar assimria dvido a opoogia do rio ou caa pod isir a variação o prfi d vocidad m cros rchos do caa od a profudidad varia. Porao o prs rabaho o procdimo d modagm do probma d disprsão d pous m rios caais sguirá as sguis apas. A parir do probma ra um modo físico srá idaizado aravés d hipóss srão discuidas para adicioar a compibiidad cssária para s obr rsuados mais raísicos qu coribuam com o probma ra iicia. Após sa apa o modo físico srá raduzido m quaçõs qu dscrvm o fômo qu s caso é a quação d advcção-difusão. O méodo uiizado para a soução das quaçõs srá o d sparação d variávis já ciado ariorm sguido da impmação do agorimo compuacioa uiizado a iguagm d programação Maab. Fiam os rsuados srão comparados com os já iss a iraura..3 Objivos Dvido à imporâcia do probma m qusão prdu-s sa dissração sdr a apicação do méodo d sparação d variávis para modar a disprsão d pous m rios caais. Dsa forma srá cosidrado um probma d uma cra rgéica disprsado sus coamias m um rio aaisado aqui com prfi raguar. Prd-s s rabaho obr uma soução para a quação d advcção-difusão ao para o modo uidimsioa quao para o bidimsioa ambos m rgim rasi aprsado prfi d vocidad coficis d difusão cosas.

26 Aprsam-s duas formuaçõs para o modo uidimsioa. O primiro caso raa d um probma cujas codiçõs d cooro ão homogêas são cosas. Es caso srv para vaidar o méodo d soução já qu ism rsuados a iraura qu prmim a sua comparação. Já os dmais casos cujos rsuados ão foram corados a iraura rprsam ovas rcomdaçõs qu podm sr usadas a vrificação d modos uméricos. Porao o sgudo caso uidimsioa mosra um probma cujas codiçõs d cooro êm caracrísicas iars. Para as formuaçõs do modo bidimsioa ambém são aprsados dois casos. O primiro raa d um probma cujas codiçõs d cooro ão homogêas são iars o sgudo caso possui codiçõs d cooro d forma qu a cocração vari paraboicam. Dsa maira aprsamos souçõs aaíicas para a cocração d pous m mio aquáico. Esas prssõs aaíicas foram impmadas o sofar Maab cujas vaags coram-s o su baio cuso compuacioa m virud das iúmras bibiocas ofrcidas po programa.

27 CAPÍTUO II FUNDAMENTOS TEÓRICOS Ns capíuo aprsa-s uma brv rvisão dos fudamos óricos para a quação qu moda a disprsão d pous m rios córrgos bm como para o méodo d sparação d variávis qu é usuam uiizado para rsovr probmas com quaçõs difrciais ordiárias parciais.. Disprsão d Efus A disprsão é dfiida como o fômo d raspor d fus causado pa ocorrêcia cojua d difusão mocuar /ou urbua da covcção (ambém chamada d advcção). O raspor difusivo ocorr quado as moécuas do fu s disprsam r as camadas do fuido dvido ao gradi d cocração is r as difrs rgiõs do scoamo. Os parâmros qu vam m cosidração a difusão do fu são chamados coficis d disprsão. Já a disprsão covciva ocorr dvido às compos d vocidads iss. A covcção ocorr por mpo m rgims urbuos dvido à isêcia d vocidads paraas mas pod isir o rgim amiar ambém. Embora ss fômos sjam smpr prss dura a disprsão dos fus ism siuaçõs m qu apas um prdomia.. Dscrição dos Modos Os probmas d maior irss m pouição aquáica são divididos m dois cojuos d cários ípicos d disprsão d pous. O primiro cojuo d cários dscrv probmas d driva d macha iso é cários rasis os quais um dspjo isaâo é fuado m um drmiado oca do corpo hídrico produzido uma macha

28 qu é rasporada pa corrza sofrdo simuaam difusão vuam dgradação vaporação ou prcipiação. Sgudo Garcia (9) os modos rasis são uiizados m drramamos d pous advidos d acids o raspor rodo hidroviário m rompimos d ubuaçõs d aqus d armazamo d subsâcias químicas d saçõs d raamo d fus íquidos. Aém d simar a corra duração d uma mrgcia irrupção da capação das águas d um corpo hídrico aigido por drramamos acidais haja visa os rasoros da pura simps suspsão do abascimo os modos mamáicos para dscargas acidais são ssciais à aáis d riscos d fos pociais d dgradação ambia para dfiição das mhors mdidas d savaguardas. O sgudo cojuo d cários é dscrio por probmas ipicam sacioários os quais duos d sgoo d raspor d subsâcias químicas fuam o açamo d carga coíua um drmiado oca do corpo hídrico produzido uma puma. Os modos sacioários são mprgados as siuaçõs m qu o campo d vocidads pod sr cosidrado prma. Nsss casos é possív rsovr a quação d advcção-difusão sm o rmo d variação mpora da cocração. Obdo-s assim a soução da quação d raspor d massa rsua rprsada pa disribuição spacia d cocraçõs das subsâcias d irss o domíio corrspod. Em ambos os casos s faz cssário qu as souçõs da quação advcivo-difusiva coham apas uma fução arbirária d um argumo spcífico. Iso ocorr por qu ss cários a quação advcivo-difusiva sá sujia a duas codiçõs d cooro sdo qu apas uma das spcifica a fução arbirária. A primira codição d cooro d primira spéci dscrv a coformação aproimada d um dspjo isaâo o caso d cários vovdo acids com cargas óicas ou a coformação da sção rasvrsa da puma qu dscrv um açamo coíuo m rgim sacioário. Essa codição d cooro paricuariza a fução arbirária prs a soução. A sguda codição d cooro spcifica o mcaismo d propagação do pou juo às margs do corpo hídrico corrspodm a codiçõs d sguda ou rcira 3

29 spéci coform o ipo d irfac água-soo cosidrado. Essa codição d cooro spcifica apas cosas arbirárias qu vuam figurm a soução obida..3 A Equação d Advcção-Difusão O probma sudado é abordado po pricípio da cosrvação d massa do pou rasporado os scoamos d maior irss para os psquisadors m gra êm carár urbuo como é o caso d caais ocaos agos. Nss casos é cssário qu s obha uma quação qu govr o procsso d misura do pou com o mio. O scoamo urbuo m por caracrísicas a irrguaridad a difusividad aos úmros d Rods a ridimsioaidad da voricidad a dissipação o scoamo coíuo caracrísicas do scoamo (MÖER SIVESTRINI 4). Uma vz qu o procsso d raspor d massa ocorra m um scoamo urbuo as disribuiçõs ao para a cocração do pou quao para a vocidad são irrguars. Essa irrguaridad dificua o cácuo ao isaâo do pocia fazdo com qu sus vaors d isa a isa oscim muio m oro d sus vaors médios. Em virud ds probma Rods (MAISKA 4) propôs um modo cociua m 985 com uma abordagm saísica ampam uiizada aé os dias d hoj. O cohcido Númro d Rods prmi avaiar o ipo d scoamo ou sja a sabiidad do fuo ou sja é um parâmro para msurar a ração r força moriz (advcção gradi d cocração) sobr as forças viscosas. Es úmro pod sr dduzido por: V R v~. Od: V é a vocidad ( m / s) ; é a dimsão caracrísica ( m) ; 4

30 v ~ é a viscosidad cimáica (m / s). Para o caso spcífico d duos caais o scoamo é dio amiar s o úmro d Rods for mor qu (R < ) é dio urbuo s s úmro for maior qu 3 (R > 3)(SCHIICHTING 979). Dsa forma uiiza-s o pricípio d cosrvação da massa para prvr o raspor d coamias m corpos d água. Es pricípio pod sr dscrio cociuam como a variação por uidad d mpo d massa d coamia dro do voum d coro é igua ao fuo d rada mos o fuo d saída mais a massa rsua das raçõs d produção ou cosumo o irior do voum a uidad d mpo (DE AMEIDA a. 997). Em ihas grais assumido um caso rasi bidimsioa o baaço d massa do coamia é rprsado pa sgui quação govra d advcção-difusão (BARROS 4): C u C C C C. ( ) v( ) ε ( ) ε ( ) λc Od: C é a cocração (kg / m ) ; é a disâcia a dirção do fuo ( m) ; é a disâcia a dirção rasvrsa ( m) ; é o mpo dcorrido dsd a missão do coamia ( s) ; ( ) u é o prfi d vocidad do fuo a dirção ( m / s) ; ( ) v é o prfi d vocidad do fuo a dirção ( m / s) ; ( ) ε é o cofici d difusão ara a dirção (m / s) ; 5

31 ( ) ε é o cofici d difusão ara a dirção (m / s) ; λ é a cosa d dcaimo (s ). A propagação do pou pod sr dividida m duas imporas fass do raspor d massa. Do ado squrdo da quação o sgudo o rciro rmos dscrvm o raspor dvido à advcção. Iso é o movimo das parícuas dvido ao movimo goba do fuido od as parícuas são carrgadas po próprio movimo do scoamo. Já o ado dirio o primiro o sgudo rmos rprsam a difusão urbua ou sja é o movimo d parícuas dvido à difrça do gradi d cocração mocuar..4 O Méodo d Sparação d Variávis O probma cra das quaçõs difrciais m sua forma mais simps é drmiar qua é a fução cuja drivada é cohcida. Ns sido agus méodos são uiizados para rsovr s probma porém s são apicados d acordo com as caracrísicas d cada quação difrcia. A modoogia mprgada s rabaho para rsovr ao o modo mamáico uidimsioa quao o modo mamáico bidimsioa para a disprsão d coamias m rios córrgos é o Méodo d Sparação d Variávis (MSV). Es méodo é d grad uiidad para rsovr probmas d vaor d cooro o campo da física-mamáica para probmas homogêos foi dahadam dscrio m Ozisik (993). Ta méodo foi formuado com bas os cocios procssos físicos qu govram o fômo é váido para prfis d vocidads difusividad cosas ao para o modo uidimsioa quao para o modo bidimsioa. D acordo com ihod (994) s méodo pod sr rsumido da sgui maira: o Méodo d Sparação d Variávis subsiui a fução iicia as dpd d duas variávis por um produo d duas ovas fuçõs cada uma das dpd som d uma variáv. Assim a fução do probma cra ds sudo pod sr rprsada por: 6

32 C ( X ( ) T(. A sraégia para apicar o méodo dá-s da sgui maira:. S Ω ( a b) ( c d ) ( Ω ão procurarmos souçõs cássicas C C( ão uas do ipo: C ( ) X ( ) T( a qu X : ( a b) R T ( c d ) R : são fuçõs com a msma cass d difrciabiidad qu a quação difrcia parcia (EDP) rqur.. Dvrmos drmiar as fuçõs X T. 3. Após drmiarmos as fuçõs X T obrmos uma soução cássica para a EDP. 4. O méodo pod sr apicado idpd do úmro d variávis idpds vovidas dssa forma fucioa para probmas com uma duas rês variávis spaciais poddo icusiv sr graizada para mais variávis. Er as codiçõs cssárias para a apicação do MSV ig-s a iaridad da quação difrcia parcia a homogidad as codiçõs d froira. Erao sa úima codição pod sr coorada coao qu s adicio uma ova fução auiiar qu s rsposabiiz pa obdiêcia às codiçõs ão homogêas. A parir do mprgo ds méodo samos buscado uma soução aaíica para a quação d advcção-difusão do probma d disprsão d pous m rios caais rssaado qu as compos d vocidad a difusividad sjam cosas bm como os coficis vovidos. 7

33 CAPÍTUO III MODEO UNIDIMENSIONA EM REGIME TRANSIENTE 3. Caracrização do probma uidimsioa Modos uidimsioais são usuam mprgados para obção da soução da quação d advcção-difusão quado o mpo após o açamo d um pou é suficim grad. O açamo dos djos passa d caracrísicas ridimsioais o iício do procsso d disprsão pod sdr-s por quiômros passado para um modo bidimsioa aé chgar a um modo uidimsioa (BARROS 4). Todavia os modos uidimsioais são basa úis para uma primira simaiva m virud d sua simpicidad habiidad m s obr rsuados saisfaórios. 3. Modo Uidimsioa m Rgim Trasi Cosidrmos o modo d disprsão d pous uidimsioa m rgim rasi sdo os coficis d difusividad o d vocidad cosas. D acordo com Ozisik (993) a quação d advcção-difusão qu moda a disprsão d pous é dada por: C C u C ε λc. (3.) As codiçõs iiciais d cooro d osso irss srão: ( ) C para < < (3.) ( C C para > (3.3) ( C para > (3.4) Es é um caso gra com codiçõs d cooro ão homogêas da quação d advcção-difusão para um modo uidimsioa. Para quacioar a soução dss probma 8

34 vamos dividi-o m probmas mais simps cujas souçõs coduzm à soução do probma aqui poso. 3.3 Equação Uidimsioa para a Difusão Pura Nsa sção raarmos d probmas com codiçõs d cooro homogêas d probmas com codiçõs d cooro ão homogêas. O objivo aqui é mosrar qu o probma cujas codiçõs d cooro são ão homogêas pod sr rduzido ao probma com codiçõs homogêas Codiçõs d Cooro Homogêas Para o caso d um modo uidimsioa d difusão pura a quação ão aprsa o cofici d advcção ogo passa a sr scria como: C C ε. (3.5) A quação (3.5) sá sujia à codição iicia: C ( ) f ( ) para < < (3.6) às sguis codiçõs d cooro: ( C para > (3.7) ( C para > (3.8) Para ss probma a soução é cássica corada por Fourir (FIGUEIREDO 987) para o probma da codução d caor uma barra homogêa. Vjamos su dsvovimo: 9

35 Mdia o procsso d sparação d variávis (OZISIK 993) podmos rscrvr a fução d cocração do pou como o produo d duas fuçõs provis do méodo a sabr: rmos: ( X ( ) T( C. (3.9) Subsiuido (3.9) m (3.5) dividido ambos os ados da quação por ε [ X ( ) T( ] ( ( T X ε T X ( ) ( ). (3.) Cosidrado qu a razão acima sja uma cosa mos qu: T ε T ( ( X X ( ) ( ) ρ (3.) d od iramos: T ε T X X ( ( ( ) ( ) D (3.) impica m: T ε ρ ( ρ ; (3.) ρ. (3.3). (3.4) A parir d (3.3) samos irssados a soução ão rivia qu saisfaça: X ρ (3.5) ( ) X ( ) ( ) X ( ) X (3.6) Poddo dsa forma cosidrarmos rês possibiidads: i) ρ Para s caso rmos X ( ) ii) ρ > a soução rivia qu ão os irssa.

36 Supomos ρ λ ão subsiuido m (3.5) mos: ( ) X ( ) X λ. (3.7) A soução gra para s caso é X λ λ ( ) A A. (3.8) D (3.6) impica qu A iii) ρ < A. Mais uma vz obmos a soução rivia ( ) X. Façamos ρ λ. Subsiuido ovam m (3.5) mos: ( ) X ( ) X λ. (3.9) A soução gra para s caso é dada por: X ( ) A ( ) A s( λ) λ cos. (3.) Apicado as codiçõs d cooro rmos: ( ) A X (3.) ( ) A s( ) X λ (3.) Para qu iso ocorra prcisamos qu ( ) s λ d od rsuará qu: λ (3.3) iso é λ (3.4) ou sja ρ. (3.5)

37 Assim: X ( ) A s para 3 K (3.6) Porao a soução gra para o probma (3.5) sujio a codição iicia (3.6) codiçõs d cooro (3.7) (3.8) é: C ( ) A ε s. (3.7) Para qu sja saisfia a codição iicia (3.6) dvmos sr capazs d drmiarmos os coficis A d modo qu: f ( ) ( ) C A s (3.8) qu d acordo com a orogoaidad das fuçõs vovidas forcrá os coficis A como: A f ( ) s d. (3.9) 3.3. Codiçõs d Cooro Não Homogêas O caso m sudo supodo a difusão pura cosis m um probma com codiçõs d froira ão homogêas dsa forma dvmos rduzi-o ao caso já cohcido com codiçõs d froira homogêas. homogêas: Para isso cosidrmos o probma para ( C cujas codiçõs d cooro são ão C C ε (3.3) ( h ( C m > (3.3)

38 ( h ( C m > (3.3) C ( ) f ( ) para < < (3.33) Cosidrarmos uma fução ( v qu possua drivadas parciais coíuas m ração à aé a sguda ordm drivada d primira ordm coíua m ração à qu aém disso saisfaça as codiçõs d froira (3.3) (3.3) iso é: v h m > (3.34) ( ) ( ) v h m > (3.35) ( ) ( ) A parir disso dfiamos a fução: ( C( v(. (3.36) Nss caso rmos: C v ε ε ε (3.37) parcia: C v. (3.38) Da quação (3.3) rsua qu a fução ( srá soução da quação difrcia v v ε ε (3.39) 4 g 43 ( ) sujia às codiçõs d froira: ( C( v( h ( h ( m > (3.4) ( C( v( h ( h ( à sgui codição iicia: m > (3.4) 3

39 ( ) C( ) v( ) f ( ) v( ). (3.4) Quado a própria fução ( (3.3) sujia a codição iicia: ( ) F( ) ão g ( ( v é ambém uma soução da quação difrcia parcia v (3.43) é a soução do probma homogêo fudama: U U ε (3.44) ( U (3.45) ( U (3.46) U ( ) f ( ) F( ) (3.47) iso é: U ( ) ( ) A ε s (3.48) sdo qu os coficis A são dados pa igra: A [ f ( ) F( ) ] s d. (3.49) Isso sigifica qu cohcmos a fução ( fução v ( a fução C ( v( (. Como assumimos sr cohcida a srá a soução procurada para o probma (3.3) sujio às codiçõs d cooro (3.3) (3.3) à codição iicia (3.33). Porém ão é uma arfa simps drmiar uma fução ( v qu saisfaça as codiçõs d cooro (3.3) (3.3) dadas m forma arbirária qu aida por cima saisfaça a quação difrcia parcia (3.3). Mas para cros ipos d fuçõs h ( ( h pod-s soucioar o probma d forma aé cro poo mar. Vjamos uma formuação qu abrag divrsos casos d codiçõs d cooro: 4

40 rmos: Assumido qu ( ( g façamos: [ h ( h ( ] ( v h (3.5) v [ h ( h ( ] h ( (3.5) v (3.5) Subsiuido (3.5) (3.5) m (3.39) rmos: [ h ( h ( ] ( ) ε h (3.53) Uma vz qu samos cosidrado qu g ( procuramos por: g ( g ( s (3.54) scrvmos: ( ( s (3.55) ispirados a soução (3.7) do probma fudama (3.6) (3.7) (3.8). Na quação (3.7) as compos ( são as fuçõs pociais acompahadas dos coficis A. Assim: ( ( s cos (3.56) (3.57) 5

41 6 ( ) s (3.58) Subsiuido (3.56) (3.58) (3.54) m (3.39) mos: ( ) ( ) ( ) s g s s ε. (3.59) Das raçõs d orogoaidad mos qu: ( ) ( ) ( ) g ε (3.6) ou sja: ( ) ( ) ( ) g ε. (3.6) Usado o faor igra ε rmos: ( ) ( ) ( ) g ε ε ε ε. (3.6) É o msmo qu dizr qu: ( ) ( ) d d g ε ε. (3.63) Igrado ambos os ados dsd τ aé τ como sgu: ( ) ( ) d d d d g τ τ τ τ ετ ετ. (3.64) Trmos: ( ) ( ) ( ) 3 d g ε ετ τ τ. (3.65)

42 Porao ( ε ( τ ) g ( τ ) Buscamos agora qum são os coficis da pasão. g ( [ h ( h ( ] dτ. (3.66) h ( g ( s. (3.67) Uiizado o méodo d projçõs orogoais qu prmi obr cada um dos coficis da pasão muipicarmos a quação (3.67) por ambos os ados rmos: i s com i fio d [ h ( h ( ] h b i a b i i a i [ ( ) ] ( ) gi ( i ( s d g ( a i [ ] ( ) b i gi ( ( ) i i i s s d (3.68) (3.69) (3.7) Porao Assim: { } g ( ) ( ) ( )( ) i i h h. (3.7) i ( ε ( τ ) i i { h ( τ ) h ( τ )( ) } dτ. (3.7) ogo a soução do probma (3.3) sujio às codiçõs d cooro (3.3) (3.3) com codição iicia (3.33) passa a sr: 7

43 C ( od ( é dado por (3.7). [ h ( h ( ] h ( ( s (3.73) v ( ) ( ) 3.4 Equação Uidimsioa Difusiva-Advciva Nsa sção abordarmos o caso mais gra do probma uidimsioa o qua há o rmo advcivo da fução d advcção-difusão. Cosidrarmos porao a quação: C C u C ε λc (3.74) sujia às codiçõs: ( ) C para < < (3.75) ( C C para > (3.76) ( C para > (3.77) Srá mosrado qu ss probma pod sr rduzido ao probma d difusão pura mdia uma scoha adquada d variávis com codiçõs iiciais d cooro adquadas. Para isso cosidra-s a quação: C KC MC NC (3.78) od K M N são cosas. Iroduz-s uma ova fução ϕ ( racioada com a fução ( C ( µ γ ϕ( C pa quação: (3.79) a qua µ γ são cosas a srm drmiadas. 8

44 Subsiuido-s (3.79) m (3.78) obmos: ( M µ K ) ϕ ( N Mµ Kµ γ )ϕ ϕ Kϕ. (3.8) sabr: Esa quação por sua vz s rduz ϕ Kϕ pa scoha adquada d µ γ a M 4KN M µ γ. (3.8) K 4K Porao o probma (3.74) d advcção-difusão pod sr rduzido ao probma d difusão pura cosidrado u 4ελ u µ γ. (3.8) ε 4ε C Quao às codiçõs d froira (3.76) (3.77) as srão saisfias por ( µ γ ϕ( s som s: C C ( ) γ γ ϕ( ϕ ou sja ϕ( ϕ µ γ ( ϕ( ou sja ( (3.83) ϕ. (3.84) Dv sr rssaado qu o probma com as cosidraçõs dscrias acima foi rasformado um probma mamaicam mais simps d raar smha ao probma d difusão pura mas o qua as codiçõs d froira ão são homogêas aida dpds do mpo mbora sja homogêa a codição iicia. A iraura cosuada (FIGUEIREDO 987) ambém aborda ssa formuação d maira saisfaória podmos rsovr ss probma aida mdia a écica d sparação d variávis. 9

45 CAPÍTUO IV MODEO BIDIMENSIONA EM REGIME TRANSIENTE 4. Caracrização do Probma Modos bidimsioais podm sr divididos m modos com paos ogiudia vrica modos com paos ogiudia rasvrsa. 4.. Modo Bidimsioa o Pao ogiudia Trasvrsa Ns caso os fuos d massa são maiors a dirção rasvrsa do qu a dirção vrica. Modos bidimsioais horizoais são os mais usados uma vz qu os modos bidimsioais vricais assumm uma homogidad ara prddo assim iformação gram rva do procsso d disprsão m rios. Os modos bidimsioais horizoais são uiizados com basa frquêcia a gharia ambia a scoha dss modo basia-s a cosaação d qu o pou dspjado d a s disribuir d forma muio mais rápida a dirção vrica do qu a horizoa. 4.. Modo Bidimsioa o Pao ogiudia Vrica Es é um modo bidimsioa d raspor ormam uiizado para rios ou caais cuja profudidad m um pap rva o procsso d difusão advcção da massa. Ess modos podm sr usados para rios srios profudos cuja difusão urbua ara é muio mor qu a vrica dpddo obviam do ipo d fo pouidora (BARROS 4). 3

46 4. Modo Bidimsioa m Rgim Trasi O modo d disprsão d pou bidimsioa uiizado srá o ogiudia rasvrsa srá apicado m rgim rasi cosidrado ao os coficis d difusividad quao os d vocidads cosas. A quação d advcção-difusão qu moda a disprsão d pous é dada por (OZISIK 993): C C u C v C ε C ω λc. (4.) O caso gra para a quação d um modo bidimsioa d advcção-difusão aprsa codiçõs d cooro ão homogêas. Para quacioar a soução dss probma vamos assim como o modo uidimsioa spará-o m probmas mais simps cujas souçõs coduzm à soução dss probma aqui poso. 4.3 Equação Bidimsioa Difusão Pura Nsa sção raarmos d probmas com codiçõs d cooro homogêas d probmas com codiçõs d cooro ão homogêas. O objivo aqui é mosrar qu o probma cujas codiçõs d cooro são ão homogêas pod sr rduzido ao probma com codiçõs homogêas Codição d Cooro Homogêa Srá sguido o msmo procdimo adoado o modo uidimsioa para corar a soução do modo bidimsioa puram difusivo com codiçõs d cooro homogêas. A quação qu rprsa s modo é dada por: 3

47 C C C ε ω (4.) sujia à sgui codição iicia: C ( ) f ( ) para < < < < (4.3) com as sguis codiçõs d cooro: ( C para > (4.4) ( C para > (4.5) ( C para > (4.6) ( C para > (4.7) Cosidra-s aqui qu ε ω são cosas iguais. D a forma qu a quação pass a sr scria como: C C C ε. (4.8) Mdia o procsso d sparação d variávis bm sucdido a rsoução do probma m uma dimsão spacia scrv-s: ( X ( ) Y ( ) T ( C. (4.9) Subsiuido (4.9) m (4.8) m-s: ( ) Y ( ) T ( [ X ( ) Y ( ) T ( X ( ) Y ( ) T ( ] X ε. (4.) Dividido ambos os ados da quação (4.) por [ X ( ) Y ( ) T ( ] ( ( ( ) ( ) T X Y ε T X Y ( ) ( ) ε rsuará:. (4.) Também aqui pas msmas razõs posas o caso uidimsioa dv-s r a razão acima cosa. Porao sja: 3

48 T ε T ( ( X X ( ) ( ) Y Y ( ) ( ) ρ. (4.) Eão: ε ρ impica qu T ( ( ρ T( ) T ε (4.3). Da msma razão iramos qu: ( ) ( ) ( ) ( ) X Y ρ (4.4) X Y ambém é uma cosa qu dsigarmos por γ. Iso é: X X ( ) ( ) Dss modo rmos: ( ) ( ) Y ρ γ. (4.5) Y X γ (4.6) ( ) X ( ) ρ γ (4.7) Y ( ) ( ) Y ( ) qu são quaçõs difrciais ordiárias iars d sguda ordm com coficis cosas. D modo aáogo ao caso uidimsioa ambém aqui s prova qu: i) Não podmos r γ C ; ii) Não podmos r γ R com γ ; iii) Ncssariam γ R γ <. Por razõs simiars: i) Não podmos r ρ γ C ; ii) Não podmos r ρ γ R com ρ γ ; 33

49 iii) Ncssariam ρ γ R ρ γ <. Dsigado γ λ ρ γ ρ λ µ. Com ssa oação as quaçõs difrciais ordiárias (4.6) (4.7) scrvm-s: X λ (4.8) ( ) X ( ) Y µ (4.9) ( ) Y ( ) Dssas cosidraçõs rsuará qu: X ( ) A ( ) A s( λ) λ cos (4.) ( ) B ( ) B s( ) Y cos µ µ (4.) r: Para qu as codiçõs d cooro (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) sjam saisfias dv-s ou quivam: ( X ( ) Y( ) T( X ( ) C (4.) X Aaogam: ( ) A cos( ) A s( λ) A λ. (4.3) ( X ( ) Y( ) T( X ( ) A s( ) C λ Como ão podmos r cssariam dv sr saisfia a codição: (4.4) A pois isso os varia a soução rivia ( ) X λ. (4.5) Por razõs iiram aáogas chga-s à cocusão d qu: ( X ( ) Y ( ) T ( Y ( ) C (4.6) 34

50 ou quivam: ( ) B cos( ) B s( ) B Y µ µ (4.7) d od sgu a razão B. ogo: Dss modo: ( µ ) µ m B s. (4.8) λ m µ. (4.9) Isso sigifica qu as cosas d sparação γ ρ saisfazm as raçõs: γ m ρ. (4.3) λ Dssa forma para cada par d iiros m m-s: A ( X ( ) Y ( ) T ( (4.3) m m m como soução da EDP com codiçõs d froira homogêas. Mdia o Pricípio d Suprposição a soução do probma é a séri: d modo qu: C ( m m ε A m m s s. (4.3) Para qu sja saisfia a codição iicia (4.3) dv-s drmiar os coficis f m m (4.33) m ( ) ( ) C A s s qu d acordo com a orogoaidad das fuçõs vovidas forcrá os coficis Am como: A m 35

51 A m 4 m f ( ) s s d d. (4.34) Porém o probma m sudo possui codiçõs d froira ão homogêas dsa forma assim como o modo uidimsioa dv sr rduzido ao caso aprsado com codiçõs d cooro homogêas Codição d Cooro Não Homogêa Nssa sção rsovrmos o probma: C C C ε (4.35) o râguo: {( ) R ; < < < < } Ω : (4.36) com codiçõs d froira: C ( A( para > (4.37) C ( B( para > (4.38) C ( D( para > (4.39) C ( E( com codição iicia: para > (4.4) C ( ) f (. (4.4) Supodo qu ( probma acima iso é: ψ sja uma fução qu saisfaça as codiçõs d froira do ψ para > (4.4) ( A( 36

52 37 ( ) ( ) B ψ para > (4.43) ( ) ( ) D ψ para > (4.44) ( ) ( ) E ψ para > (4.45) A parir disso dfii-s a fução ( ) od: ( ) ( ) ( ) C ψ. (4.46) Sujia às sguis codiçõs d cooro: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A C ψ (4.47) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B B C ψ (4.48) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D C ψ (4.49) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E C ψ (4.5) codição iicia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f C ψ ψ (4.5) as sguis propridads: C C ψ ψ ε ε ε (4.5) C ψ (4.53) d od dcorr qu: ( ) g ψ ψ ψ ε ε. (4.54)

53 Quado a própria fução ( (4.35) sujia a uma codição iicia: ( ) F( ) ψ é ambém soução da quação difrcia parcia ψ. (4.55) Eão g ( ( fudama. Iso é é a soução do probma bidimsioa homogêo ( m m ε A m m s s (4.56) sdo os coficis A m dados pas igrais: A m 4 m [ f ( ) F( ) ] s s d d. (4.57) ψ ( Porao cohcdo a fução ( a fução ( ( ( assumido sr cohcida a fução C ψ (4.58) srá a soução procurada para o probma (4.35) sujio às codiçõs d cooro (4.37) (4.38) (4.39) (4.4) à codição iicia (4.4) Caso Vjamos um probma formuado para simuar a difusão d drmiado pou para a siuação m qu as codiçõs d cooro variam iarm. Vamos cosidrar uma ova fução C ( cujas codiçõs d cooro são ão homogêas: C C C ε (4.59) 38

54 C( C( C( C( ( c a) a para > (4.6) ( d b) b para > (4.6) ( b a) a para > (4.6) ( d c) sujia à sgui codição iicia: c para > (4.63) C ( ) F( ) Sja ψ ( ). (4.64) idpd do mpo dfiida por: ( b a) ( d c) ( b a) ψ ( ) a c a. (4.65) ψ Prcb-s qu por sr idpd d. Aém disso caram mos: ψ ψ (4.66) porao: ψ ψ. (4.67) Aém disso: ( ) ( b a) ( ψ a C (4.68) ( ) ( d c) ( ψ c C (4.69) 39

55 4 ( ) ( ) ( ) C a c a ψ (4.7) ( ) ( ) ( ) C b d b ψ (4.7) Ou sja são saisfias as msmas codiçõs d cooro do probma formuado para ( ) C. Assim: ( ) ( ) ( ) C ψ (4.7) saisfaz o Probma Homogêo Fudama. Porao: ( ) ( ) ( ) ( ) m s s A a c a b c d a b a C m m m ε (4.73) com ( ) ( ) m a b a f A 4 ( ) ( ) dd m s s a c a b c d (4.74) srá a soução procurada para s probma bidimsioa Equação Bidimsioa Difusão Pura Não Homogêa Cooro Homogêa Chamarmos d probma d difusão pura ão homogêa codiçõs d cooro homogêas à EDP: ( ) g ε (4.75) sujio às codiçõs d cooro homogêas:

56 ( para > (4.76) ( para > (4.77) ( para > (4.78) ( à codição iicia: para > (4.79) ( ) f ( ). (4.8) S ão houvss a prsça do rmo g ( arior sabríamos qu a soução sria: a quação difrcia pa sção ( m m ε A m m s s. (4.8) Isso coduz a psar a soução do probma como do a forma: ( ( m m Isso va auram a psar a pasão m séri: g ( g ( m m Admiido-s para ( m s s. (4.8) m s s. (4.83) as codiçõs sgudo as quais é prmiida a drivação rmo-a-rmo da séri qu a dfi qu ssa séri d drivadas covrg para a rspciva drivada da fução ( obém-s: m m m ( m cos s m ( m s s (4.84) (4.85) 4

57 m m m m ( m m s cos m ( m s s (4.86) (4.87) Dssa forma: m m ( m s s. (4.88) ε ε pa orogoaidad das fuçõs: m m m m ( s s (4.89) obém-s para cada m: s m s (4.9) m ε m ( g m ( m ( (4.9) a qua é uma quação difrcia ordiária iar. Uma vz qu para m-s: ( ) ( ) m m m s s (4.9) va a codição iicia: m 4 ( ) F( ) m s s d d (4.93) coform já s sab da pasão d ( ) F m Séri d Fourir. Isso dá o apahado compo sobr o méodo d abordagm ao probma d difusão pura ão homogêa mas com codiçõs d cooro homogêas. 4

58 Caso Aqui formuamos um probma qu prd simuar a difusão d drmiado produo pou m um caa muio ogo mas cuja argura ão pod sr dsprzada. Há uma fo pouidora ocaizada o iício do rio qu joga para o io do rio produos pous com uma cocração C (. A cocração varia paraboicam com a posição o produo é priodicam açado o io do rio com 6 horas r uma missão oura. Nssas codiçõs podmos formuar o probma da sgui maira: C C C ε (4.94) sujio à: C φ (4.95) ( ) ( ) ( C (4.96) ( C (4.97) ( codição iicia: a qua: C (4.98) ( ) C (4.99) ( φ para < 88; (4.) φ ( s para 88 < 576 ; (4.) 88 ( φ para 576 < 864. (4.) Coform a sção arior dfiido: 43

59 ( ) ψ s. (4.3) 88 m-s: ψ s (4.4) 88 ψ (4.5) ψ s 88 (4.6) ψ s 88 (4.7) ψ cos (4.8) Façamos: g ψ ψ ψ ε. (4.9) ( Epiciado-as mos: ε g ( s cos (4.) Porao pas cosidraçõs da sção arior dvmos rsovr a quação difrcia parcia: ε g( (4.) sujio à: 44

60 ( (4.) ( (4.3) ( (4.4) ( codição iicia: (4.5) ( ). (4.6) Para rsovê-a dv-s prssar a fução g ( Fourir iso é: como uma Séri Dupa d ε s cos m g m ( s s m (4.7) Uiizado o méodo d projçõs orogoais qu prmi obr cada um dos coficis da pasão muipicarmos a quação (4.7) por ambos os ados rmos: i s com i fio d rsuará: ε s cos m i g m ( s s s m i s (4.8) Igra-s a quação (4.8) a variáv d aé o ado squrdo da quação 45

61 g ( i s d ε s cos i s d i (4.9) g ( i s d ε s i cos 88. (4.) A msma opração d igração o irvao (4.8) rsuará: o ado dirio da quação vz qu m g m ( m i s s s d. (4.) Aaisado a igra prs a quação (4.) prcb-s qu a s auará oda i graças a orogoaidad das fuçõs s i s. (4.) Uma vz qu é o ídic da séri d sos a variáv i foi fiado m agumas oporuidads rmos i porao o rsuado da igração srá:. Juado os rsuados das quaçõs (4.8) (4.) (4.) rsua: 46

62 ε s cos i m g im ( s. m (4.3) Rmbrado o procsso d projção orogoa sgudo cada compo soida da Séri d Fourir srá raizado ss procsso ovam. Para isso agora muipicarmos a j quação (4.3) por s igrarmos a variáv d aé. No ado squrdo da quação (4.3) rsuará: ε j s s d i j cos s d i j [ ] 3 j [ ( ) ] ( ) j 3 3 j (4.4) ε ij 3 j [ ( ) ] s ( ) ij j [ ] cos 88 (4.5) No ado dirio da quação (4.3) rsuará:. ( gim m g 4 i j ( m j s s s m j s m j (4.6) (4.7) Juado os rsuados das quaçõs (4.3) (4.5) (4.7) m-s: 3 j ε [ ( ) ] s cos g ( 3 ij ij 88 4 ij (4.8) 47

63 48 ou aida mais piciam: ( ) ( ) [ ] 88 cos ij s ij g j ij ε. (4.9) Dssa forma para drmiarmos a soução ( ) m forma d Séri d Fourir dvrá r sus coficis dpds apas d saisfazdo a EDO: ( ) ( ) ( ) [ ] 88 cos ij s ij j i j ij ij ε ε. (4.3) Para rsovê-a muipicamos po faor igra: τ ε j i (4.3) igramos dsd τ τ como sgu: ( ) ( ) ( ) [ ] 88 cos ij s ij j i j i j ij j i ij j i ε τ ε τ τ ε τ ε τ ε (4.3) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 88 cos τ τ ε τ τ τ ε τ ε τ ε j i j j i j ij j i ij s ij d d (4.33)

64 49 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] j i j j i j ij j i d ij d s ij d d d 3 88 cos τ τ τ τ ε τ τ τ τ ε τ ε τ ε (4.34) Dsigado para faciidad d scria: : ε β i i 88 : θ. (4.35) Eão: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ). cos j j ij d ij d s ij d d d τ θτ τ θτ ε τ τ τ βτ βτ βτ (4.36) As igrais são mars dpois d rsovidas rsuarão m: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ). cos 36 cos θ β β θ β θ θ θ β θ θ θ θ β ε τ β β β β β τ βτ s ij s ij j ij ij ij 3 (4.37) Porao m-s: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ). cos 36 cos θ β β θ β θ θ θ β θ θ θ θ β ε β β j ij s ij s ij (4.38)

65 Coform poso as coocaçõs das sçõs ariors a soução C ( do probma: C C C ε (4.39) sujio à: C φ (4.4) ( ) ( ) ( C (4.4) ( C (4.4) ( codição iicia: é a fução: C (4.43) ( ) C (4.44) ( ( ψ ( C (4.45) od ( é uma dupa Séri d Fourir d sos cujos coficis são os ( ( ψ é a fução auiiar já dfiida ariorm. ij 4.4 Equação Bidimsioa Difusão-Advcção Nssa sção mosrarmos qu o sudo do fômo com prsça d advcção pod sr rduzido ao sudo do modo d difusão pura por uma mudaça adquada d coordadas dsd qu sjam cosas as compos d vocidad d disprsão o modo advcivo-difusivo. 5

66 A quação qu dscrv o modo bidimsioa d difusão-advcção m rgim rasi é dada por: C C u C v C ε C ω λc. (4.46) sujia às codiçõs: C ( ) f ( (4.47) C ( A( para > (4.48) C ( B( para > (4.49) C ( D( para > (4.5) C ( E( para > (4.5) Como o modo uidimsioa prcisamos rduzir s probma a um probma d difusão pura mdia uma scoha adquada d variávis com codiçõs iiciais d cooro adquadas. Porao cosidr qu C C K M C C N C P QC (4.5) od K M N P Q são cosas. quação: Iroduzimos uma ova fução ϕ ( racioada com a fução C ( pa C µ γ θ ( ϕ( (4.53) a qua µ γ θ são cosas a srm drmiadas. Subsiuido-s (4.53) m (4.5) obmos 5

67 5 ( ) ( ) ( )C Q P N M K C P M C N K C M C K θ µ λ µ λ µ λ ϕ (4.54) Esa quação por sua vz s rduz a M K ϕ ϕ ϕ pa scoha adquada d µ γ θ a sabr: K N µ M P γ M P K N Q 4 4 θ. (4.55) Porao s probma pod sr rduzido a um probma d difusão pura cosidrado: ε µ u ω γ v ω ε λ θ 4 4 v u. (4.56) Quao às codiçõs d cooro (4.48) (4.49) (4.5) (4.5) as srão saisfias por ( ) ( ) C ϕ θ γ µ s som s: ( ) ( ) A C γ θ (4.57) ( ) ( ) B C θ γ µ (4.58) ( ) ( ) D C µ θ (4.59) ( ) ( ) E C θ γ µ (4.6) Novam dv-s rssaar qu o probma com cosidraçõs dscrias acima foi rasformado um probma mamaicam mais simps d raar smha ao probma d difusão pura. Porém as codiçõs d froira ão são homogêas aida dpds do mpo mbora sja homogêa a codição iicia.

68 CAPÍTUO V RESUTADOS E ANÁISES Uma vz obidos os modos proposos o prs capíuo m como objivo aprsar rsuados grados aravés da compuação simbóica. As simuaçõs foram raizadas o sofar Maab. Posriorm aprsarmos agumas comparaçõs com rsuados iss a iraura. 5. Compuação Simbóica D acordo com COTTA ET A. (997) a ciêcia da compuação foi form marcada com o dsvovimo da compuação simbóica. A grad vaagm do uso da compuação simbóica é qu a msma uiiza símboos para rprsar objos mamáicos as suas compuaçõs são aas d acordo com as rgras agébricas. Em ouras paavras sa avaiação auomáica d prssõs símbóico-aaíicas é d grad imporâcia pois forc uma imsa rdução d sforço dduivo humao. Esa rdução ora-s possív aravés da iguagm simbóica prs o sofar Maab (MOER 4). 5. Rsuados do Modo Uidimsioa 5.. Caso Difusão Pura Vjamos um probma formuado para simuar a difusão d um drmiado pou para uma siuação m qu as codiçõs d cooro são ão homogêas com caracrísicas cosas. Dada ( C mos: C C ε (5.) 53

69 C ( h ( B ( ) (cosa) m > (5.) C h B (cosa) m > (5.3) ( C ( ) f ( ) para < < (5.4) D acordo com as cosidraçõs do capíuo III a soução do probma com difusão pura é dada por: C ( ( B B ) ε B A s v ( ) ( ) (5.5) a qua: A ( B B ) f ( ) B s d. (5.6) Ess primiro caso s cosis uma dscarga d pou o iício d um rio. Esa dscarga é cosidrada coíua cosa. Cosidra-s aida qu o fia ds rio ão haja mais cocração d pou. O cofici d difusividad a dirção ogiudia é cosidrado cosa os dados d rada são dfiidos a aba : Dados d Erada B (m/s) B (m/s) (m) ε ( m / s ) Taba : Caso difusão pura O gráfico abaio iusra os rsuados obidos para a cocração do pou m isas d mpo arbirários d s s. 54

70 Figura 5.: Gráfico d comparação d rsuados para o modo uidimsioa - difusão pura Vrifica-s qu há uma boa cocordâcia com os rsuados gráficos corados por Dias (3) como mosra a figura Caso Advcção-Difusão Vjamos o msmo probma acima mas agora com o rmo da advcção. Dada ( C mos: C C u C ε λc (5.7) C ( h ( B ( ) (cosa) m > (5.8) C h B (cosa) m > (5.9) ( C ( ) f ( ) para < < (5.) D acordo com as cosidraçõs do capíuo III a soução do probma com difusão pura é dada por: 55

71 C ( ( ) µ γ B B γ B ( s ( ) ( ) v (5.) a qua: ( γ ε γ ε ε γ. (5.) Para o caso do probma com advcção mos as msmas caracrísicas do probma d difusão pura sdo acrscado para ss caso o prfi d vocidad. Os dados d rada são dfiidos a aba : Dados d Erada B (m/s) B (m/s) (m) ε ( m / s ) u (m/s) Taba : Caso advcção-difusão O gráfico a sguir iusra os rsuados obidos para a cocração do pou m isa d mpo arbirário d s. 56

72 Figura 5.: Gráfico d comparação d rsuados para o modo uidimsioa - advcção-difusão Vrifica-s qu há uma boa cocordâcia com os rsuados gráficos corados por Dias (3) como mosra a figura 5.. A icusão d mais rmos a séri auaria aida mais as osciaçõs iss o prs rsuado Caso Difusão Pura Agora formuarmos um probma qu simu ovam a disprsão d um pou sob codiçõs d cooro ão homogêas porém dsa vz vamos fazr com qu ssas codiçõs d cooro varim iarm com o mpo. Dada ( C mos: C C ε (5.3) C h A B m > (5.4) ( ( ) C h A B m > (5.5) ( ( ) C ( ) f ( ) para < < (5.6) 57

73 Mais uma vz coform as cosidraçõs do capíuo III a soução para o probma acima é dada por: froira. C ( A B φ ( ) [( A B ) ( A B )] A ε Od φ ( ) é uma corrção à fução ( Porao a fução φ ( ) é dfiida por: φ ( ) ( A A ) A ( ) ( ). (5.8) s v d modo qu saisfaça as codiçõs d. (5.9) 6ε ε Como C ( ) f ( ) os coficis A são dfiidos por: A ( B B ) f ( ) B φ ( ) s d. (5.) O sgudo caso s a sr aaisado cosis ovam uma dscarga d pou o iício d um rio. As codiçõs d cooro êm comporamo iar. Cosidra-s aida qu o fia ds rio ão haja mais cocração d pou. O cofici d difusividad a dirção ogiudia é cosidrado cosa os dados d rada são dfiidos a aba 3: Dados d Erada A A B B (m) ( s) Taba 3: Caso difusão pura 58

74 Os gráficos abaio iusram os rsuados obidos para difrs coficis d difusão m isas d mpo arbirários qu variam d s aé s. Figura 5.3: Modo uidimsioa d difusão pura para ε.5 m/s Figura 5.5: Modo uidimsioa d difusão pura para ε.7 m/s Figura 5.4: Modo uidimsioa d difusão pura para ε.3 m/s Figura 5.6: Modo uidimsioa d difusão pura para ε. m/s Com sss rsuados gráficos podmos prcbr qu quao maior o cofici d difusão maior é a difusão do pou o mio aquáico. O qu corrobora a afirmação d qu o cofici d difusividad rprsa a faciidad com qu cada souo m paricuar s mov m um drmiado sov. 59

75 Cosidrado o comporamo da disprsão d um pou para o cofici d difusividad da figura 8 podmos agora cosruir um probma físico com um rio d m d comprimo 5 m d argura aida com os sguis dados d rada: Dados d Erada A A B B ε ( m / s ). ( s) 36 Taba 4: Caso difusão pura O gráfico abaio iusra o rsuado grado para a cocração d um pou d acordo com os dados acima: Figura 5.7: Cocração do pou dura h 6

76 Caso Advcção-Difusão Vjamos o msmo probma acima mas agora com o rmo d advcção. Dada ( ) C mos: C C C u C ε λ (5.) ( ) ) ( B A h C m > (5.) ( ) ) ( B A h C m > (5.3) ( ) ( ) f C para < < (5.4) D acordo com as cosidraçõs do capíuo III a soução do probma com difusão pura é dada por: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) v s B A B A B A C γ γ µ (5.5) a qua: ( ) ( ) [ ] γ ε γ γ ε γ γ γ ε γ ε ε. (5.6) Novam para o caso do probma com advcção mos as msmas caracrísicas do probma d difusão pura sdo acrscado para ss caso o prfi d vocidad. Os dados d rada são dfiidos a aba 5:

77 Dados d Erada A A B B (m) ε ( m / s ). u (m/s).7 ( s) Taba 5: Caso advcção-difusão Os gráficos abaio iusram os rsuados obidos para difrs vaors da cosa d dcaimo m isas d mpo arbirários qu variam d s aé s. Figura 5.8: Modo uidimsioa d advcçãodifusão para λ. s Figura 5.9: Modo uidimsioa d advcçãodifusão para λ.5 s 6

78 Figura 5.: Modo uidimsioa d advcção-difusão para λ. Os rsuados aprsados para difrs vaors da cosa d dcaimo cofirmam a dfiição d qu a cosa d dcaimo idica a vocidad com qu o maria orgâico é dgradado m mio ao rio. Quao maior o vaor da cosa mais rápido o maria orgâico é dgradado cosqum mhor é o dsmpho do procsso (COSTA a 7). Fiado a cosa d dcaimo m s λ.s assumido os msmos vaors da aba 5 os gráficos abaio iusram os rsuados obidos para difrs vaors d vocidad ovam m isas d mpo arbirários qu variam d s aé s. Figura 5.: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u.7 m/s Figura 5.: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u.5 m/s 63

79 Figura 5.3: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u.8 m/s Figura 5.4: Modo uidimsioa d advcção-difusão para u. m/s 5.3 Rsuados do Modo Bidimsioa 5.3. Caso Difusão Pura Dada ( C mos: C C C ε (5.7) C( C( C( C( ( c a) a para > (5.8) ( d b) b para > (5.9) ( b a) a para > (5.3) ( d c) c para > (5.3) sujia à sgui codição iicia: 64

80 C ( ) F( ). (5.3) D acordo com as cosidraçõs do capíuo IV a soução do probma com difusão pura é dada por: C ( a ( b a) ( d c) ( b a) m A m m ε c a m s s (5.33) a qua: A m 4 f ( ) a ( b a) ( d c) ( b a) m c a s s dd. (5.34) Es primiro caso s do modo bidimsioa raa ovam d uma dscarga d pou o iício d um rio. Esa dscarga é cosidrada coiua rgida iarm. Os coficis d difusividad as dirçõs ogiudia rasvrsa são cosidrados cosas os dados d rada são dfiidos a aba 6: Dados d Erada a b c d (m) 5 (m) 4 Taba 6: Caso difusão pura 65

81 Os gráficos abaio iusram os rsuados obidos para difrs vaors do cofici d difusividad. Figura 5.5: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε.5 m / s Figura 5.7: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε.7 m / s Figura 5.6: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε.3 m / s Figura 5.8: Modo Bidimsioa d Difusão Pura para ε m / s 66

82 5.3. Caso Difusão Pura Dada ( C mos: C C C ε (5.35) sujio à: C φ (5.36) ( ) ( ) ( C (5.37) ( C (5.38) ( codição iicia: C (5.39) ( ) C (5.4) D acordo com as cosidraçõs do capíuo IV a soução do probma com difusão pura é dada por: C 88 ( s ( m m m s s (5.4) a qua: m m 8ε β s [ ] ( θ θ cos( θ ( ( ) θ s m m ( θ β cos( θ β θ β β β θ. θ β. (5.4) 67

83 O sgudo caso s do modo bidimsioa raa d uma fo pouidora ocaizada o iício do rio a qua joga para o io do rio produos com uma cocração C ( d um drmiado pou. A cocração varia paraboicam com a posição o produo é priodicam açado o io do rio com 6 horas r uma missão oura. Os coficis d difusividad as dirçõs ogiudia rasvrsa são cosidrados cosas os dados d rada são dfiidos a aba 7: Dados d Erada (m) (m) 5 (s) 7 Taba 7: Caso - difusão pura Os gráficos abaio iusram os rsuados obidos para difrs vaors do cofici d difusão. Figura 5.9: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. m / s Figura 5.: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. m / s 68

84 Figura 5.: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. m / s Figura 5.: Modo bidimsioa d difusão pura para ε. m / s Novam sss rsuados gráficos mosram qu quao maior o cofici d difusão maior é a difusão do pou o mio aquáico. O qu corrobora a afirmação d qu o cofici d difusividad rprsa a faciidad com qu cada souo m paricuar s mov m um drmiado sov. Ouro aspco impora é vrificar como compora-s a cocração do pou m ração ao mpo. Os dados d rada são dfiidos a aba 8: Dados d Erada (m) (m) 5 ε ( m / s ). Taba 8: Caso - difusão pura Os gráficos abaio iusram os rsuados obidos para difrs vaors d mpo. 69

85 Figura 5.3: Modo bidimsioa d difusão pura para 44 s Figura 5.4: Modo bidimsioa d difusão pura para 88 s Figura 5.5: Modo bidimsioa d difusão pura para 43 s Figura 5.6: Modo bidimsioa d difusão pura para 576 s 7

86 Figura 5.7: Modo bidimsioa d difusão pura para 7 s Figura 5.8: Modo bidimsioa d difusão pura para 864 s Figura 5.9: Modo bidimsioa d difusão pura para dias Os rsuados gráficos acima mosram o comporamo da cocração do pou para um príodo iiro d dois dias. Ns sido podmos prcbr qu a cocração do pou fia-s próimo a fo uma vz qu ão mos o rmo d advcção. 7