A HIPÓTESE DOS GRANDES NÚMEROS E A MECÂNICA QUÂNTICA

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1 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 0 (0): 07-, 004 A HIPÓTESE DOS GRANDES NÚMEROS E A MECÂNICA QUÂNTICA Saulo Careiro Istituto de Física - UFBA. Itrodução Uma das coicidêcias mais curiosas etre a Física de Partículas e a Cosmologia é a possibilidade de obter gradezas cosmológicas, como massa (M), raio (R) e idade (T) de osso uiverso, escaloado os valores típicos de massa (m), raio (r) e vida-média (t) característicos da Física de Partículas, 8 4 por fator de escala Λ ~0. Este fato coduziu a importates idéias e desevolvimetos, como a hipótese de Dirac de que os parâmetros cosmológicos variam com a idade do [ ] [ 5] uiverso e a Gravitação Forte, que teta derivar as propriedades dos hádros a partir de um escaloameto de teorias gravitacioais, tratado partículas como soluções tipo buracoegro. O formalismo da Gravitação Forte se baseia a ivariâcia de escala da Relatividade Geral, também presete a Eletrodiâmica Clássica: as S a u l o equações gravitacioais e eletromagéticas são ivariates sobre uma formação de escala dos itervalos de tempo e distâcias, cotato que ós também escaloemos as costates de acoplameto correspodetes. Com esta filosofia, podemos pesar o Uiverso como uma estrutura autosimilar, com as mesmas leis físicas aparecedo em diferetes escalas [. Não obstate, este atraete quadro da Natureza aparetemete se quebra quado cosideramos o comportameto quâtico do microcosmos: a itrodução da costate de Plack defie uma escala bem particular, a qual, distitamete do que ocorre para grades escalas, os efeitos quâticos devem ser cosiderados. Em liguagem matemática, ós podemos dizer que as equações quâticas, como as de Schrödiger e Dirac, ão são ivariates de escala, devido à preseça de h. O propósito pricipal deste 7

2 A Hipótese dos Grades Números e a Mecâica Quâtica Saulo Careiro trabalho é explorar o quadro mecioado acima e esteder a ivariâcia de escala ao comportameto quâtico. O preço a pagar é o escaloameto da costate de Plack, coduzido à quatização de grades estruturas, até etão tratadas como clássicas. Este procedimeto pode parecer bastate especulativo, mas coduz a coicidêcias tão impressioates que ós devemos pergutar que verdade cotém. Um propósito adicioal é mostrar que parece existir outra ivariâcia de escala, itermediária, além da cosiderada pela Hipótese dos Grades Números. Como será mostrado, o ovo escaloameto os leva das partículas às estrelas típicas e buracos egros, do mesmo modo que o escaloameto origial os leva das partículas ao Uiverso observado.. A Quatização em Larga Escala. As gradezas cosmológicas M, R e T podem ser relacioadas a m, r e t pelas relações de escala T t = R r = M m = Λ [] 8 4 com Λ ~0. Como massa, tempo e comprimeto são tudo que ós precisamos para costruir um sistema completo de uidades, a relação () defie completamete a trasformação de escala do mudo das partículas para o cosmológico. Com ajuda de () ós podemos, por exemplo, escaloar h para obter a ivariâcia de escala das equações quâticas. A partir de uma aálise dimesioal simples, temos H h = Λ [] o que coduz a um quatum escaloado de ação dado por H~0 8 J.s, 8 se ós escolhermos Λ ~0. Qual o sigificado de tal quatização? Uma possível resposta é que o mometo agular de um uiverso em rotação deve ser ordem de 80 H/π~0 J.s. Aida ão há ehuma evidêcia coclusiva de que o Uiverso gira, embora possam ser feitas especulações sobre evidêcias idiretas, como a [7] rotação de galáxias e coglomerados e [8,9] o campo magético itergalático. Mas o poto importate aqui é que, se o Uiverso gira, deve fazê-lo com mometo agular da ordem de H/π, próximo do valor obtido para as solues cosmológicas rotatórias das equações [7] gravitacioais de Eistei e do limite de Kerr para um buraco-egro em rotação com massa da ordem de 50 0 Kg. Também é importate otar que esta ordem de magitude para o mometo agular do Uiverso está detro dos limites obtidos a partir de medidas de aisotropia da radiação [0] cósmica de fudo e é próximo do valor obtido a partir de medidas da 8

3 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 0 (0): 07-, 004 rotação do plao de polarização da [,] radiação cósmica eletromagética. Além disso, () e () se ajustam bem à relação de Regge para galáxias e [9] coglomerados, J = h( M / M ) ode, aqui, M se refere à massa do objeto em cosideração. É fácil verificar que esta relação está de acordo com () e () quado M é a massa do Uiverso para λ, M ' e H ', podemos deduzir a relação M ' = m H ' = h 4 λ [4] que, juto com (), defie completamete a ova trasformação de escala. A equação (4), por outro lado, está em acordo com a relação de Regge [9 para estrelas e plaetas ],. A Escala Itermediária. J 4 = h( M / M ). Nós podemos iferir aida uma escala itermediária de quatização, relacioadas aos mometos agulares das estrelas, cujos valores se cocetram em toro 4 [9] de H '/π~0 J.s, próximo do limite de Kerr para um buraco-egro em 0 rotação com massa M ' ~0 Kg. Com estes valores, obtemos o fator de escala T ' R' H ' M ' λ = = ~ 0 9 [] t r h m ode a primeira igualdade vem aturalmete da ivariâcia de Loretz, equato a seguda é obtida, ovamete, de uma simples aálise dimesioal. Além disso, com estes valores De (), podemos estimar os valores de R' e T ' e tetar achar algum sigificado físico para eles. Partido da 4 escala de Fermi, obtemos R ' ~0 m e 4 T ' ~0 s. O primeiro pode ser comparado com o raio gravitacioal de 0 uma estrela típica: com M ' ~0 Kg, temos r ~0 g = GM '/ c m. O segudo pode ser comparado com o tempopróprio de colapso da estrela, 5 τ ~ r g / c ~ 0 s. Tetemos eteder por que o quatum escaloado coicide com o limite de Kerr para o mometo agular de buracos-egros os dois casos ( Λ e λ ). As equações ()-(4) podem ser postas a forma uificada R r M = m H = h + [5] 9

4 A Hipótese dos Grades Números e a Mecâica Quâtica Saulo Careiro com = o caso Λ e = o caso λ. Da aálise dimesioal, ós obtemos para as costates gravitacioais correspodetes G M = g m [6] ode g é a costate gravitacioal forte. Igualado o limite de Kerr Kerr J = GM / c com H / π dado por (5) e usado (6), chegamos ao iteressate resultado gm / hc =. Assim, a Kerr coicidêcia etre H / π e J pode ser baseada o fato experimetal de que a costate de estrutura forte é da ordem da uidade. Ou, ivertedo o raciocíio, mostra que os hádros podem ser cosiderados como buracosegros em seu limite de rotação. É importate otar que a escala itermediária de comprimeto e tempo é igual à média geometria etre a escala de Fermi e a escala cosmológica. De fato, ( Rr ) = rλ = rλ = R'. É este fato que garate a uicidade da costate gravitacioal, ão importado se estamos lidado com estrelas ou agrupametos de galáxias. Realmete, se G' e G são as costates gravitacioais as escalas Λ e λ, respectivamete, temos, de (6), G / G' = G / g g / G' = λ / Λ = ( )( ). 4. A Quatização do Sistema Solar Até agora cosideramos apeas ordes de magitude que, por isso, ão podem prover uma base sólida o bastate para a cojetura de quatização em larga escala. Não [4] obstate, em um recete trabalho, Oliveira Neto (e, mais recetemete, [5] Agese e Festa ), apresetou resultados impressioates cocorretes à quatização do Sistema Solar, em ótimo acordo quatitativo com os dados observacioais. Para órbitas circulares, a gravitação ewtoiaa os dá v = GM / r, ode v é a velocidade orbital, M é a massa de Sol e r é o raio da órbita. Substituido esta equação a codição de quatização de Bohr ( λ - escaloada) L = mvr = H' / π (m é a massa do plaeta), obtemos H ' r = [7] 4π GMm [5] Agese e Festa ajustaram todas as órbitas plaetárias à relação r = r, com r = u.a.. Assim, com G = m / Kg. s, 0 6 M =.99 0 Kg e m =.0 0 Kg ( a massa média dos plaetas do sistema solar), obtemos, de (7), 4 H ' = (4π GMm r ) =. 0 J.s, quer dizer, o quatum escaloado de ação obtido, de () e (4), o cotexto da cojetura de ivariâcia de escala. 5. A Quatização dos redshifts Uma aálise estatística de dados 0

5 CADERNO DE FÍSICA DA UEFS, 0 (0): 07-, 004 astroômicos tem sugerido uma quatização dos redshifts [ 6 ] cosmológicos, um fato de explicação o cotexto do modelo padrão. Para galáxias, os dados mostram um itervalo de quatização [ 6,7] etre cz = 4Km/ s e cz = 7Km / s ; ou, em uma outra aálise, etre cz = 6,4 0 Km / s e 4 [ 8] cz =,8 0 Km / s. Estes resultados também são cofirmados, pelo meos o ível qualitativo, pela observação de que as galáxias tedem a se agrupar em paredes, deixado vastas regiões [9] vazias. Nós tetaremos agora estabelecer uma possível coexão etre tais observações e a cojetura de quatização em larga escala, com ajuda de algumas suposições simples. Se as galáxias são cosideradas em movimeto livre o espaço-tempo plao, é atural supor um limite superior para seus mometos dado por Mc, ode M é a massa do uiverso. Esta limitação do espaço de mometos de galáxias leva, via relações de icerteza escaloadas, à quatização de seu espaço-tempo, com um quatum dado por Δr ~ H / Mc. Usado H ~ J. s e M ~ 0 Kg, chegamos a Δr ~ 0 m, que correspode a um itervalo de velocidade dado por Δv ~ 00Km/ s. 6. Coclusão Apesar dos resultados curiosos mostrados este trabalho, a quatização em larga escala, se geuía, carece de explicação teórica. Nós estamos provavelmete loge de tal teoria, mas algumas observações podem ser feitas este setido. Uma possível explicação para a quatização das grades estruturas pode ser avetada com base em um poto de vista evolutivo: a atureza quâtica do Uiverso primordial (com escala de Fermi) determiou sua estrutura atual, aparetemete quatizada em larga escala. Esta hipótese pode ser razoável para o caso de galáxias e agrupametos. Mas é muito improvável que estruturas itermediárias como as estrelas e o sistema solar mateham a memória das codições iiciais. Além disso, seria ecessário explicar a existêcia de duas escalas diferetes de quatização, o que ão parece ser muito simples. Outra liha de raciocíio é explicar as várias faces da quatização em larga escala de modo fragmetado, o cotexto de diferetes abordages clássicos. Como exemplos, podemos [,] mecioar os modelos oscilates, itroduzidos para explicar a periodicidade dos redshifts das galáxias. Ou o modelo quâtico-mecâico de [4] Nottale para o Sistema Solar, baseado o caráter caóticos das órbitas [5] plaetárias. Embora distito da abordagem aqui apresetada, o modelo de Nottale também usa uma costate de Plack escaloada, de ordem de 4 0 J.s. Fialmete, o que parece ser a filosofia mais radical: ver o Uiverso, icluido seu comportameto quâtico, como realmete auto-similar e icorporar esta característica em qualquer descrição fudametal do mudo físico.

6 A Hipótese dos Grades Números e a Mecâica Quâtica Saulo Careiro 7. Agradecimetos Gostaria de agradecer a H. Arp, R. Muradia e E. Recami por importates sugestões. Meus agradecimetos também a M.C. Nemes pela leitura do mauscrito. Referêcias. [] DIRAC, P.; Nature. 9,, 97. [] SALAM, U., STRATHDEE, J.; Phys. Rev. D. 6, 668, 977. [] SALAM, U., STRATHDEE, J.; Phys. Rev. D. 8, 4596, 978. [4] CALDIROLA, P., PAVISIC, M., RECAMI, E.; Nuov. Cim. 48 B, 05, 978. [5] SIVARAM, C., SINHA K.; Phys. Reports. 5,, 979. [6] RECAMI, E. et al; Micro-uiverses ad strog blach-holes, i Gravitatio: the space-struture (proceedigs of Silarg- VIII). Cigapura: W.ª Rodrigues et al World Scietific, p. 55, 994. [7] NE EMAN, Y., SIJACKI, D.; Phys. Lett. B. 76, 7, 99. [8] GODEL, K.; Ver. Mod. Phys., 447, 949. [9] SURDIN, M.; Phys. Essays. 8, 8, 995. [0] MURADIAN, R.; Astrophys. SpaceSci. 69, 9, 980. [] KOGUT, U., HINSHAW, G., BANDAY, A.; Phys. Ver. D. 55, 90, 997. [] NODLAND, B., RALSTON, J.; Phys. Rev. Lett. 78, 04, 997. [] OBUKHOV, Y., KOROTKY, V., HEHL, F.; Astro-ph [4] KUHNE, R.; Astro-ph [5] NETO, M.; Ciêcia e Cultura. 48, 66, 996. [6] AGNESE, A., FESTA, R.; Phys. Lett. A 7, 65, 997. [7] TIFFT, W., COCKE, W.; Astroph. J. 87, 49, 984. [8] TIFFT, W., COCKE, W.; Astroph. J. 6, 8, 989. [9] GUTHRIE, B., NEPIER, W.; Mo. R. Astrr. Soc. 4, 4, 990. [0] GUTHRIE, B., NEPIER, W.; Mo. R. Astrr. Soc. 5, 5, 99. [] BROADHURST, T., ELLIS, R., KOO, D., SZALAY, A.; Nature. 4, 76, 990. [] GELLER, M., HUCHRA, J.; Sciece. 46, 897, 989. [] KARLSSON, K.; Astro. Astrophys. 58, 7, 977. [4] ARP, H., BI, H., CHU, Y., ZHU, X.; Astr. Astrophys. 9,, 990. [5] MORIKAWA, M.; Astrophys. J. Lett. 6, L7, 990. [6] MORIKAWA, M.; Astrophys. J. 69, 0, 99. [7] COLINA, C., STEINHARDT, P., TURNER, M.; Phys. Lett. B. 5, 4, 990. [8] NOTTALE, L.; Fractal space-time ad microphysics: towards a theory of scale relativity. Cigapura: World Scietific, pp. -, 99. [9] LASKAR, J.; Nature. 8, 7, 989. Sobre o Autor Saulo Careiro Doutor em Física, é professor adjuto do Istituto de Física da UFBA; Salvador BA.