Matemática Em Nível IME/ITA

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1 Caio dos Satos Guimarães Matemática Em Nível IME/ITA Volume 1: Números Complexos e Poliômios 1ª Edição São José dos Campos 007 SP

2 Prefácio O livro Matemática em Nível IME/ITA tem como objetivo ão somete dar a base aos aluos que desejam ecarar as difíceis provas de vestibular do IME e do ITA, mas também ajudar a aumetar a barra de dificuldade das matérias de matemática lecioadas o esio médio, a fim de atigir o ível exigido essas provas. A leitura desse material também é idicada a professores de cursos preparatórios para pré-vestibular, pricipalmete aqueles com êfase os vestibulares militares. Compilamos este livro um material que cotém tato a carga teórica que o aluo pode precisar para cosulta, quato séries de exercícios (e muitos!), com resoluções, que darão a ele a cofiaça ecessária para ecarar o vestibular militar. Neste primeiro volume, abordamos dois assutos de extrema importâcia, e pricipalmete, reicidêcia as provas tato do IME quato do ITA: Números Complexos e Poliômios. O osso objetivo, este volume, é de, juto à teoria básica desses assutos, também mostrar diferetes aplicações dos mesmos, bem como diversas situações problemas que podem ser pedidas o grade dia da prova e os grades truques de como se comportar frete a ela. O autor, Caio dos Satos Guimarães São José dos Campos, SP - 007

3 Como Estudar o Livro? O livro é muito voltado a resoluções de questões do ível IME/ITA. Portato, a teoria apresetada é direcioada a resultados que serão bastate úteis a resolução das questões do gêero. O livro ão é destiado àqueles que uca estudaram o assuto ates. Embora abraja todo coteúdo, para a melhor compreesão do material, é acoselhável que o aluo/professor já teha tido cotato com o assuto previamete. As questões do IME e do ITA, em geral, abragem mais de um assuto em um mesmo euciado, portato comumete as questões que aqui são propostas, será requerido que o aluo/professor saiba o básico de outros ramos da matemática (progressões aritméticas e geométricas, geometria aalítica, etc.). Quado isso for requisitado em algum segmeto da parte teórica, mecioaremos o assuto que deve ser pesquisado (por fora) para a total compreesão do segmeto. Recomedamos que o aluo/professor leia toda a parte teórica (mais de uma vez, se ecessário) para a fixação das idéias destacadas (lembre-se que todo o coteúdo aqui apresetado será importate, ão sedo acoselhável que parte alguma seja descartada). Dê uma ateção especial aos exemplos resolvidos, que servirão de base para a resolução dos Exercícios de Fixação. Tedo feito isso, o aluo/professor deve passar etão para a parte dos Exercícios de Fixação. Nessa seção você ão ecotrará exercícios fáceis (todos têm o estilo de questões IME/ITA), porém ecotrará algus exercícios mais difíceis que os outros. Para melhor orietação criamos o seguite código: - Nível Médio/Difícil - Nível Isao Muitas das questões acompaham o ome de ode foram tiradas (algum vestibular, ou livro citado a bibliografia). Em algus casos é comum ver a palavra adaptada juto à referêcia. Isso acotece os casos em que a questão é a mesma que caiu o vestibular citado, porém com alguma alteração, torado-a mais iteressate para o osso assuto (em algus casos, a adaptação é torar uma questão múltipla-escolha em discursiva). Recomedamos que, tedo resolvido as questões propostas em cada capítulo, o leitor olhe as resoluções cometadas o Capítulo 7 para coferir suas respostas e cofirmar se ão houve algum descuido a hora de formular sua solução. Lembramos aos leitores que orgaização é fudametal a hora de resolver uma questão uma prova (a baca precisa eteder seu raciocíio), etão recomedamos que o leitor se baseie o estilo de formulação das soluções propostas o capitulo 7 para treiar sua escrita. Bos estudos!

4 Ídice 01 Números Complexos : Itrodução 1.1 A história dos úmeros complexos Algumas Defiições e Propriedades Represetação Trigoométrica do Complexo Represetação Expoecial do Complexo Propriedades Importates Raízes -ésimas da uidade Exercícios de Fixação Números Complexos: Geometria e os Complexos.1 O complexo como vetor A Geometria Plaa Represetação de Lugares Geométricos Exercícios de Fixação Números Complexos: Aplicação em Somatórios 3.1 Somatórios Biomiais Outras Somas Iterpretação Geométrica Produtórios Exercícios de Fixação Resoluções Cometadas Resoluções Cometadas Referêcias Bibliográficas Referêcias bibliográficas Bibliografia Bibliografia Referêcias a iteret

5 Distâcia etre Dois Números Complexos A difereça dos vetores represetates dos complexos z e w, respectivamete os dá o vetor represetate do complexo z w. O módulo desse complexo os dará a distâcia etre os afixos de z e de w (vide a represetação geométrica da Figura 1..). d z,w z w Defiição 1..3 OBS: Atetado-se à desigualdade triagular o triâgulo ao lado, temos: z z w w Ou aida, fazedo u z w, sedo z e u dois complexos quaisquer, vale: Fig. 1.. z u z u z,u Fórmula 1..1 Argumeto do Número Complexo O âgulo que o vetor represetate do úmero complexo faz com o eixo real é chamado de argumeto de um úmero complexo e é deotado por arg(z). Sedo o arg(z) o meor âgulo positivo que os dá a abertura etre o vetor represetate de z e a reta real, podemos defiir o cojuto de argumetos de z como sedo: A(z) arg(z).k. k O meor desses âgulos, isto é, arg(z), é dito argumeto pricipal do complexo.

6 z.cos.cis Ou seja: z 1 cis.cos.cis Fórmula O complexo z tem argumeto igual à metade de.cos Fazedo o mesmo com w: w 1 cis 1 cos i.se e módulo igual a.se² i..se.cos.se. se i.cos Ao cotrário do caso aterior, a expressão detro dos colchetes ão é exatamete c is. Vamos tetar fazer com que se tore algo do tipo. Multiplicado em cima por i.i = 1, ão alteramos o valor de w: w 1 cis.se. se i.cos.( i.i).i.se. i.se cos.i.se. cos i.se.i.se. cis cis Ou seja: w 1 cis.i.se.cis Fórmula 1.3.

7 Autor: Não é ecessário que o aluo decore essas duas expressões mostradas acima, mas é importate saber que é possível represetar os complexos z e w de módulo uitário a forma trigoométrica, pois isso terá um papel importate a resolução de muitos dos exercícios que veremos aida. A dedução, uma vez etedida, poderá ser facilmete reproduzida pelo aluo ao ser requisitado que a mesma seja utilizada. 1.4 Represetação Expoecial dos Complexos

8 Radiciação de Complexos Trata-se do processo de extração de raízes de complexos. z w r.cis s.cis r,s 0 z w z w r.cis. s.cis r. s r s.k. 0 k ; k.k. z s.cis z s.cis 0 k ; k Formula Autor: Restrigimos que k esteja etre 0 e, pois qualquer valor maior que esse de k correspoderá a valores repetidos para z.

9 Demostração: z 1,z,z 3 formam um triâgulo eqüilátero zz1 e zz3 formam um âgulo de 60 z3 z.cis z1 z 3 z1 z. cis 1 z 3.cis cis w z z.w z.w ² 0 Exemplo.a (Putam 67) Seja ABCDEF um hexágoo iscrito em uma circuferêcia de raio r. Mostre que se AB,CD,EF r, etão os potos médios de BC,DE,FA são os vértices de um triâgulo eqüilátero. Fig. I Solução: Cosideremos a origem do plao complexo o cetro da circuferêcia. Sabedo que os afixos B, D, F correspodem, respectivamete, às extremidades dos vetores rotacioados de 60 represetates dos afixos A, C, E, podemos escrever: B A.cis ; D C.cis ; F E.cis 3 3 3

10 z.w z. 1 w z w ² z.w z.w² z Essa relação é exatamete igual à mostrada quado discutimos a codição para que o triâgulo fosse eqüilátero. OBS: Fica como exercício ao leitor provar que se u, v e w formam um triâgulo eqüilátero, etão: u² v² w ² u.v u.w v.w Resultado..5 Autor: Nós apresetamos aqui várias maeiras de testar se um triâgulo formado por afixos complexos é eqüilátero (ou até mesmo testar se eles formam uma reta o plao complexo). Cabe ao leitor decidir se essas expressões são ou ão práticas a hora da resolução de problemas. Algumas pessoas preferem decorar tais expressões, equato outras preferem deduzilas ovamete a hora da resolução do problema. O importate a se tirar como coclusão é que testar se os afixos formam uma reta, ou um triâgulo eqüilátero ão passa de um problema de geometria aalítica (usado vetores!).

11 Elipse é o lugar geométrico dos potos tais que a soma das distâcias desses potos a dois potos fixos (os focos da elipse) é costate e maior que a distâcia etre os mesmos dois potos fixos. Com essa defiição fica evidete que podemos represetar o cojuto de elipses o plao complexo como sedo: z F1 z F a Elipse de focos F 1 e F, e eixo maior a. F 1,F, a Algus casos particulares: Fig..3.4 Fig..3.5 Fig..3.6

12 Boa sugestão! Fazedo x i a expressão do biômio: i C. i C. i C. i... C. i C C. i C. 1 C. i C C C C... i. C C C C... De ode segue dois ovos resultados: C C C C... Re 1 i (I) C C C C... Im 1 i (II) Lembrado que: 1 i.cis.cis 4 4 Podemos explicitar matematicamete as partes real e imagiária de Re 1 i.cos 4 Im 1 i.se 4 1 i : Voltado o resultado do biômio de Newto (em I e II): C C C C....cos C C C C....se 4 Resultado Jutaremos esses dois ovos resultados, respectivamete, com os dois resultados e (já mostrados) C C C C C C...

13 Somado os resultados correspodetes e dividido por dois a soma, chegamos aos resultados fiais: C C C C....cos C C C C....se 4 Resultado Temos etão, o mometo, ferrametas para calcular somatórios biomiais com repetições em ciclos de, e de 4. Autor: A perguta é muito pertiete. Podemos dizer que um método matemático para a resolução de questões é eficiete quado coseguimos esteder o seu coceito às mais diversas situações, como é o osso caso agora.

14 Exemplo 3.c (SBM) Prove que: Solução: Vamos chamar: w cis se se se Cohecemos a soma das raízes sétimas da uidade: cis cis cis... cis Podemos aida reescrever essa soma, lembrado que: 6 1 w w² w³... w w w w w w w 0 A B O problema se resume a determiar A e B. Vamos calcular algumas coisas iteressates: (i) A B (ii) A.B w w w w w w w w w w w 3 w w w w w w w w w w 0 Ou aida, como B é a soma de termos os quadrates III e IV do plao: 1 i. 7 A (i) A B 1 (ii) A.B 1 i. 7 B A soma pedida é justamete a parte imagiária de A se se se 7 7 7

15 Capítulo 7 Resoluções Cometadas Exercício 1.6 Vimos que as raízes -ésimas da uidade são: , cis, cis, cis,..., cis Pegado quaisquer úmeros dessa seqüêcia, temos que a razão etre eles é sempre um mesmo úmero (Fórmula 1.5.) q cis Portato as raízes -ésimas da uidade formam uma P.G. de razão q dada acima. Exercício 1.7 Seja z r.cis : 5 z z r.cis r.cis r.cis 5 r.cis r.cis 5 cis.r.cis r.cis 5 r r, r 0 r.cis 5.k. r 1 ou r 0.k., k 0,1,,3, 4, , cis,i,cis,cis,cis,cis,cis Exercício 1.8 Sedo z de módulo uitário, z cis : z 1 z cis 1 cis Usado a Fórmula 1.3.1:

16 z cis cis 1 1 z 1 cis.cos.cis.cos Exercício 1.9 Lembremos as duas propriedades (Formulas 1.. e 1.5.5): Da Lei de De Moivre: 5 5 z z.re z z.z z z z z.cis 5.arg z z.cis arg5z z.cos 5.arg z Segue etão que o produtório aalisado é um produto de úmeros reais, que é real. Exercício a 1. 3 i 7.cis 6 a 4 i. 3 1 cis 3 É fácil otar que se os módulos estão em PG e os argumetos estão em PA, etão os termos da seqüêcia são complexos em P.G pois: a a.cis arga a. q.cis arga 1.r a.cis arga a.q Da lei de formação da PG: a4 a1q³ q³ cis cis 3 7 7cis 6 q.cis r 1 Da radiciação (Formula 1.5.7): q k cis 6 3 3

17 Quadrado da esquerda: AD AB.i D A i. 4 3i D A 4i 3 (0,0) D 3,4 AD BC D A C B 3, 4 0,0 C 4,3 C 1,7 Quadrado da direita: AD' AB. i D' A i. 4 3i D' A 4i 3 (0,0) D' 3, 4 AD' BC' D' A C' B 3, 4 0,0 C 4,3 C' 7, 1

18 AC. AD... A P cos i.se 1 1 cos i.se.csc 4.cos 1 c os.se AC. AD... A P csc ² 4 Exercício.13 Note que o umerador de w é real sempre (Fórmula 1..): z z.re(z) Basta etão que o radicado o deomiador seja maior que zero para que w seja real. Ou seja, a codição para que w seja real é: z 1 z 1 3 Seguido a teoria vista a Seção.3 (figuras.3.4 e.3.5), o cojuto represeta a parte exterior à elipse de focos os complexos 1 e -1 e comprimeto do eixo maior igual a 3 (o plao complexo). Represetação geométrica: Fig. Ex-.13

19 Rumoaoita.com O projeto Rumo Ao ITA foi criado com o ituito de auxiliar as pessoas iteressadas em estudar a sua camihada à aprovação os vestibulares mais difíceis do país, tedo como pricipal foco o ITA. Embora a iteret seja hoje um dos camihos mais fáceis à iformação, muita gete aida teta tirar proveito dessa ossa facilidade de trasmitir cohecimeto eletroicamete,. Por isso, algus aluos do ITA, do IME, e de outros lugares do Brasil, se jutaram para criar um portal eletrôico (totalmete gratuito) que dispoibilizaria provas, simulados, dicas, etre outros bizus para aqueles iteressados em igressar o ITA, o IME, etre outras istituições de acesso cosiderado difícil. A idéia foi cocretizada quado Julio Sousa (aluo de Macapá, Amapá) decidiu se jutar ao grupo de aluos do ITA/IME iteressados a criação do portal. Surgiu o edereço eletrôico (que também pode ser acessado via Acessado o portal você ecotrará muitas provas atigas (muitas com resoluções cometadas), diversos simulados (de cada matéria), dicas de aluos que já passaram por esses vestibulares, fotos do ITA, vídeo-aulas, etre outras utilidades. O site foi criado e é matido sem fis lucrativos pelos seus colaboradores e patrociadores (que cotribuem com a hospedagem e materiais para o site). O site sem dúvida é um acessório que ão deve faltar para ehum aluo iteressado em estudar. Não deixe de acessar! Queremos você como colaborador ao que vem aqui coosco o ITA, e, é claro, como colaborador do projeto Rumo Ao ITA.

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