Área Temática: Finanças

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1 1 Área Temáica: Finanças Tíulo do Trabalho: Avaliação do Desempenho Prediivo de Modelos para a Volailidade: um Esudo para o Mercado Acionário Brasileiro enre 2000 e 2009 AUTORES PEDRO AUGUSTO ALVIM SABINO FACE pedraosabino@gmail.com AURELIANO ANGEL BRESSAN Universidade Federal de Minas Gerais bressan@face.ufmg.br Resumo: O presene esudo em por objeivo avaliar o desempenho prediivo de modelos de previsão de volailidade, subdivididos em modelos de volailidade hisórica e de volailidade condicionada, aplicados a uma amosra de aivos lisados na Bovespa, em uma freqüência diária enre janeiro de 2000 e janeiro de A amosra é subdividida em dois períodos, pré e pós crise dos mercados financeiros, de modo a verificar se exise diferença no desempenho prediivo enre os modelos em momenos de ala volailidade. Os criérios de esimação e previsão omam por base a proposição de Brooks e Persand (2003) do uso de uma janela móvel, e o desempenho prediivo é avaliado em ermos da Raiz do Erro Quadrado Médio para um horizone de um dia. Os resulados obidos indicam, de modo geral, um bom desempenho dos modelos GARCH (1,1) e EWMA, principalmene no período de menor volailidade. Para o período de ala volailidade observado enre Seembro de 2008 e Janeiro de 2009, consaase relaiva superioridade dos modelos GJR e EGARCH em relação aos demais, aspeco relevane para gesores de risco e agenes do mercado financeiro que necessiam de projeções de curo prazo da volailidade para o gerenciameno de suas posições no mercado. Palavras-chave: Volailidade, Modelagem GARCH, Efeio Alavancagem. Absrac: This sudy inends o evaluae de predicive performance of volailiy forecasing models, caegorized in hisorical volailiy and condiional volailiy models, applied o a sample of asses lised in Brazilian Bovespa sock marke, using a daily frequency beween January/2000 and January/2009. The sample is spli in wo periods, before and afer he financial markes crisis, in order o verify he exisence of differences in he predicive accuracy beween he models in high volailiy periods. The esimaion and forecas crieria follow he approach proposed by Brooks and Persand (2003) which consiss in he use of a rolling window, and he predicive performance is evaluaed in erms of Roo Mean Square Error in a single day basis. The esimaed resuls indicae ha, in general, he GARCH (1,1) and EWMA models presen good predicive performance, mainly in he lower volailiy period. In he high volailiy period, observed beween Sepember/2008 and January/2009, here is a relaive superioriy of he GJR and EGARH models among he ohers, an imporan

2 2 issue for risk managers and financial markes agens who need volailiy shor erm forecass in order o manage heir posiions in he marke. Keywords: Volailiy, GARCH Models, Leverage Effec.

3 3 1. Inrodução Durane o processo de omada de decisão, invesidores, gesores de careiras de aivos e analisas de mercado empregam as mais variadas écnicas a fim de quanificar as incerezas e compreender da melhor maneira possível os riscos presenes no mercado financeiro. Nesse conexo, a volailidade pode ser inerpreada como balizador do nível de incereza, fundamenal para decisões de seleção de porfólios, precificação de derivaivos e esraégias de hedging. Nessa perspeciva, a modelagem da variabilidade dos aivos financeiros permie não só a represenação da evolução do comporameno da variável, mas ambém a previsão de valores fuuros da mesma. A previsão consisene do comporameno fuuro dessa variável produzirá uma medida úil do risco que pode ser assumido por insiuições e invesidores no mercado financeiro. Diane do exposo, desenvolveu-se uma densa lieraura sobre a modelagem da previsão de volailidade durane as duas úlimas décadas, sobreudo a parir de 1996, com o acordo da Basiléia. Tal acordo esabeleceu os princípios que noreiam o gerenciameno de riscos financeiros, ornando compulsório o exercício da previsão de volailidade para as insiuições financeiras dos países envolvidos. Andersen e al (2006) sugerem que a volailidade em sido uma das áreas de pesquisa mais aivas e bem sucedidas em economeria de séries emporais e previsão econômica nas úlimas décadas. Como a volailidade é uma variável que não pode ser observada direamene no mercado, seu valor irá depender da escolha do modelo e dos parâmeros uilizados na sua esimação. Assim, mesmo que odos os modelos esejam raando de uma mesma variável derivada do mesmo período, da mesma freqüência e do mesmo aivo, haverá diferenças quano à previsão da volailidade. Diferenças esas que endem a aumenar à medida que a oscilação do mercado aumena (Alexander, 2001). A escolha de um modelo esá sujeia ao objeivo do usuário, e à capacidade de descrição do processo de volailidade caracerísico do mercado. Desa feia, ao se avaliar o poder prediivo, deve-se levar em cona as vanagens de modelos mais complexos em relação aos cusos de implemenação dos mesmos. 2. Problema de pesquisa e Objeivo Os preços dos aivos financeiros são considerados variáveis aleaórias com função de disribuição própria, que são omadas como lognormais devido à possibilidade eórica dos preços aingirem valores infinios e não poderem ser negaivos. Assim, variações nos preços desses aivos, ou seja, os reornos dos mesmos, seriam variáveis lognormalmene disribuídas. Conudo, uma vez que invesidores avaliam os aivos com base em seus reornos, é mais simples assumir que eses apresenam disribuição normal. Como em pequenos inervalos de

4 4 empo é possível aproximar a diferença dos preços pela diferença dos logarimos dos preços, considera-se que o reorno no empo é definido por: r = log p log p 1. Assim, o reorno é avaliado como sendo normalmene disribuído. Por conseguine, suas caracerísicas são definidas simplesmene pelo primeiro e pelo segundo momeno amosrais, ou seja, pela média e pela variância. Porano, a volailidade é uma medida de dispersão, raando-se da raiz quadrada do segundo momeno da função de densidade de probabilidade do reorno. Na lieraura sobre volailidade, porém, a variância é comumene descria de oura forma, que além de não ser enviesada, ambém fornece melhores previsões; na sua forma amosral ela é definida por n i= 1 ( r 2 ) / n 1. Chrisoffersen (2003) define os seguines faos esilizados associados ao reorno de séries financeiras: Reornos diários são fracamene auocorrelacionados, o que orna quase impossível sua previsão, logo sua média condicional é omada como consane. A disribuição incondicional dos reornos diários possui a cauda mais grossa do que uma disribuição normal, principalmene no lado esquerdo. Esse excesso de curose e a assimeria negaiva indicam maior probabilidade de reornos negaivos do que uma disribuição normal sugere. O mercado de ações ocasionalmene exibe muias quedas acenuadas, mas movimenos de ala não ão acenuados assim, o que gera uma disribuição assimérica do reorno. O desvio padrão domina compleamene a média do reorno em horizones curos como o diário, sendo impossível rejeiar um reorno médio igual a zero. A variância, medida pelo reorno ao quadrado, possui auocorrelação posiiva. Um aspeco já bem discuido na lieraura é a grande persisência que a volailidade possui, gerando efeio de longa memória, e a auocorrelação das funções de reorno é lena ao decair. Assim, modelos de séries emporais buscam formalizar aproximações do verdadeiro processo de volailidade, enando capurar essa persisência. Para o caso específico de ações, ais assimerias são em geral aribuídas a efeios de alavancagem (onde reornos negaivos afeam mais a variância do que efeios posiivos de mesma magniude, ou seja, a variância e os reornos possuem correlação negaiva), pois uma queda no valor da ação gera um aumeno na relação dívida/capial próprio, uma vez que a dívida permanece consane no curo prazo. A empresa fica enão mais 1 É comum omar o desvio de zero baseado na observação de que reornos médios diários e semanais em mercados especulaivos são próximos de zero. Figlewski (1997) noou que calcular os desvios-padrão ao redor de zero ao invés da real média, aumena a precisão da previsão de volailidade.

5 5 alavancada e o seu fuuro mais incero, fazendo com que o preço das ações fique mais voláil. Iso resula do fao de que os deenores de ações, que assumem o risco residual da firma, percebam que seu fluxo de caixa fuuro é relaivamene mais arriscado (Brooks (2002); Alexander (2001)). A correlação enre os aivos aparenemene é variane no empo, aumenando muio em quedas de mercado voláeis e exremamene em quebras do mercado. Mesmo após serem padronizados por medidas de volailidade variane no empo, os reornos apresenam caudas mais grossas do que uma disribuição normal. À medida que o horizone do reorno aumena, a disribuição incondicional do reorno muda e se aproxima de uma disribuição normal. Além disso, como descrio por Alexander (2001) e amplamene confirmado pela lieraura vigene desde as observações de Mandelbro (1963), a auocorrelação posiiva da volailidade indica que ela se apresena em clusers. Assim, volailidades alas endem a esar mais próximas, valendo o mesmo para níveis de volailidade mais baixas. Uma vez que a disribuição incondicional dos reornos não é normal, a esimação por Máxima Verossimilhança fornece parâmeros para a média e a variância que convergem para os parâmeros verdadeiros à medida que a amosra orna-se suficienemene grande. É nessa perspeciva que o problema de pesquisa do presene esudo é definido: É possível idenificar o melhor modelo, em ermos de precisão prediiva, para a previsão da volailidade dos reornos de aivos no mercado acionário brasileiro de forma generalizada? O objeivo básico do esudo consise em avaliar o desempenho prediivo de modelos de previsão de volailidade mais aplicados, ano pelos acadêmicos quano pelos usuários de mercado, a uma amosra de aivos lisados na Bolsa de Valores de São Paulo Bovespa. Para ano, adoa-se procedimenos de reamosragem e simulação omando por base a proposição de Brooks e Persand (2003) do uso de uma janela móvel. O uso de criérios operacionais, com méodos de avaliação da performance dos modelos de previsão em aplicações pariculares al como sugerido por Alexander (2001) e Poon e Granger (2005) permie acessar o desempenho de um modelo prediivo de volailidade denro de um conexo, só que ambém ermina por gerar a necessidade de enconrar um modelo para cada uso 2. Dessa forma, jusifica-se a resrição da avaliação a criérios esaísicos apenas de al forma que a avaliação da capacidade de generalização dos resulados seja manida. Levando em cona a influência do período amosral sobre o desempenho dos modelos como descrio na inrodução, preende-se ainda avaliar como o período recene de crise financeira afea o desempenho dos modelos. Dese modo, a amosra avaliada e subdividida em duas, uma primeira, correspondene ao período esável e uma segunda, onde apresena-se maior volailidade. 2 Exemplos de aplicação do criério operacional são as avaliações de modelos de previsão no conexo do VaR em Brooks e Persand (2003) e Sadorsky (2005).

6 6 3. Revisão Bibliográfica Poon e Granger (2003) realizaram uma exensa revisão da lieraura sobre esudos de modelos para volailidade publicados aé Foram revisados 93 arigos, que pesquisaram vários ipos de aivos com horizones de previsão que variaram de uma hora a um ano. Desses 93 arigos, 66 realizaram comparações enre grupos de modelos. A análise desses arigos permiiu que os auores fizessem uma comparação enre quaro famílias de modelos de previsão de volailidade, sendo rês de séries-emporais e um de previsões baseadas na volailidade implícia derivada dos preços das respecivas opções. Assim, de acordo com ese levanameno, os modelos de volailidade implícia (ISD) fornecem melhores previsões, seguidos pelos de volailidade hisórica (baseados no desviopadrão dos reornos) e os da família GARCH. O número de esudos sobre volailidade esocásica, referene à quara família de modelos, foi considerado pequeno demais para poder esabelecer qualquer conclusão sobre o desempenho relaivo dos mesmos. Assim, diane de anos resulados divergenes, é difícil aceiar que uma única meodologia irá aender eficienemene a odos os propósios. Nesse senido, como os próprios auores sugerem, as comparações feias neses úlimos arigos são baseados em pesquisas cujas caracerísicas amosrais e pressuposos (aivos, períodos, horizones de previsão, freqüências e medidas de avaliação) são disinos, inerferindo na análise sobre a performance prediiva dos modelos. Ainda é imporane ressalar que, mesmo que a ISD venha a ser melhor de acordo com Poon e Granger (2003), as opções são escrias em um número limiado de aivos e são negociadas apenas algumas bolsas. Dessa forma, alguns aivos imporanes de mercados emergenes (al como no Brasil, por exemplo) podem ser excluídos por essa forma de previsão. Além disso, exisem indícios (Frennberg e Hansson, 1995) de que a ISD não funciona ão bem para index opions de mercados menores. Neely (2009) ainda argumena que muios auores êm invesigado o viés proveniene de modelos de previsão da volailidade implícia e ainda conclui que esa meodologia possui fore evidencia esaísica de viés e ineficiência. Para ano, ele demonsra que: ao conrário dos resulados obidos por Poeshman (2000), medidas de ala freqüência para a volailidade não reduzem o viés aparene e mesmo a precificação da volailidade em modelos de risco uilizando a volailidade implícia, como recomendado por Chernov (2002), não elimina o viés. Já o modelo SV, apesar de ser mais flexível que os demais modelos de séries emporais devido ao ermo de inovação v, possui a inerferência direa de muio mais complexa devido à inrodução dese ermo de inovação. Logo, deve-se levar em cona o alo cuso de implanação dese diane do número ainda escasso de pesquisas empíricas quano à eficiência dos mesmos. Conseqüenemene, relacionado ao objeivo de generalização, os modelos ISD e SV não foram avaliados no presene rabalho.

7 7 Pesquisas recenes (Andersen e Bollerslev (1998); Andersen, Bollerslev, Diebold e Labys (2003) e Andersen, Bollerslev e Meddahi (2005) por exemplo) indicam que realizações de volailidade diária calculadas a parir da inegração de reornos quadráicos inradiários (inervalos de 5 ou 15 minuos) produzem esimaivas mais precisas para a volailidade aual e suas previsões. Conudo, essa meodologia requer dados de reornos inradiários de ala qualidade, o que orna difícil consruir uma boa amosra para qualquer mercado durane um período mínimo necessário. Alernaivamene, Chrisoffersen (2003) uiliza a ampliude diária do logarimo dos preços como proxy para previsões mais precisas da volailidade diária. Uma vez que essa meodologia possui uma clara vanagem em mercados menos líquidos, ela ambém será empregada nesse rabalho. Ghysels, Sana-Clara e Valkanov (2006) uilizam várias amosras de dados misuradas para avaliar o poder prediivo de modelos de volailidade para várias formas de regressores, como reorno quadrado, reorno absoluo e ampliude do reorno, ano para reornos diários quano para inradiários. Segundo eses, surpreendenemene, o uso direo de dados de ala freqüência não melhorou o exercício da previsão da volailidade. Além da classificação enre grupos de modelos, como sugerido por Poon e Granger (2003), exisem formulações híbridas ais como o modelo de suavização exponencial adapaivo sobre o GARCH desenvolvido em Taylor (2004). Oura possibilidade é o uso de modelos mulivariados. Sadorsky (2006), no enano, enconra resulados para conraos fuuros de peróleo onde o uso de modelos como espaço de esados (VAR e GARCH bivariado) não supera a abordagem GARCH padrão. 4. Meodologia Esa seção apresena uma breve descrição dos modelos uilizados no esudo, subdivididos em dois grupos: os modelos esaísicos de volailidade hisórica e os modelos volailidade condicionada a heerocedasicidade. Segundo Alexander (2001), modelos de volailidade hisórica raam a volailidade como o simples desvio-padrão dos reornos para períodos. Sendo invariane no empo, esses desviospadrão referem-se apenas à volailidade incondicional, ou seja, à raiz do parâmero de variância de uma disribuição incondicional de um processo esacionário do reorno. Dessa forma, o ermo volailidade hisórica é aplicado a previsões esaísicas, as quais são baseadas em médias móveis igualmene ponderadas. Conudo, de acordo com o levanameno feio por Poon e Granger (2003), enquadram-se nesa caegoria odos os modelos que esimam a volailidade direamene, ou seja, omiindo a aderência das esimaivas à disribuição dos reornos ou a qualquer oura variável, como por exemplo o preço de opções. Para eses auores, a formula geral dos modelos de volailidade hisórica é dada por: ^ σ = α σ... α σ α 2σ (1)

8 8 Porano, classificam-se os modelos: passeio aleaório, média hisórica, ARMA e várias formas de suavização que dependem de α. Assim, diferenes previsões de volailidade podem ser obidas devido às várias formas de se calcular a volailidade hisórica e dos diferenes amanhos de amosra de dados. Esses modelos são alamene dependenes da forma como são calculados, do período da amosra, da freqüência dos dados e da presença de ouliers. O fenômeno de aglomeração de volailidade levou, a parir do modelo ARCH de Engle (1982), ao desenvolvimeno de modelos cujas volailidades são auoregressivas condicionadas às volailidades realizadas em períodos aneriores. Assim, modelagens ais como a família ARCH (Auoregressive Condional Heerocedasiciy) são capazes de conrolar a heerocedasicidade da volailidade. Eses modelos parem de funções de reorno simples, geralmene nese arigo), sendo µ o reorno médio e o reorno residual, com r = µ + (caso adoado = σ z, sendo σ a variância condicional e z o reorno residual padronizado ( z ~ N(0,1 ) ), definindo a equação da média. A abordagem concenra-se enão na variância condicional (a variância de uma disribuição condicional no empo que governa o reorno nesse mesmo insane), pois, uma vez que a variância incondicional é ida como consane, var( r r 1, r 2,...) = var( 1, 2,...). Se a variância de uma série emporal depende do passado, dizemos que a série é condicionalmene heerocedásica. Uma vez que E( ) = 0, a 2 2 variância condicional de, denoada σ, é represenada por: σ = var( / 1, 2,...) = E[( E( )) / 1, 2,...] = E[ / 1, 2,...] (2) O úlimo resulado esabelece que a variância condicional de uma variável aleaória com média zero é igual à esperança condicionada do quadrado de. Se a dependência em relação a valores passados pode ser expressa por uma média móvel, iso gera o modelo ARCH. A formulação geral aribuída a esse grupo por Brooks e Persand (2003) é: p q α jσ j + j= i k = 1 σ = ω + β (3) k 2 k Sendo ω uma consane, p o número de ermos auoregressivos e q o número de ermos de média móveis. Em sua forma complea, (3) corresponde à formulação do GARCH simérico, inicialmene proposo por Bollerslev (1986). A modelagem GARCH, onde o EWMA e o ARCH são casos especiais, incorpora a dependência emporal na deerminação das esimaivas de volailidade, permiindo ainda diversas variações, que podem capar, por exemplo, assimerias na volailidade e mudanças de regime 3. Dessa forma, essa classe busca represenar o comporameno auoregressivo (i.e., a dependência da volailidade ao longo do empo) de 3 Uma inrodução aos procedimenos básicos é apresenada em Brooks (2003) e desenvolvimenos mais elaborados em Enders (2004) e Tsay (2002).

9 9 variáveis que apresenam heerocedasicidade (variância não-consane), de onde vem o nome GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasic). Já o modelo ARCH é uma abordagem pouco aplicada devido à necessidade de inclusão de várias defasagens e a capacidade do GARCH de modelar um processo ARCH infinio. Por isso, nesse rabalho avaliou-se apenas a forma mais simples do ARCH, pois uma análise da dos resíduos seguida da modelagem apropriada pode significar a adoção de um ouro modelo, o que vai conra a proposa de ese de odos os modelos pra odos os aivos. O mesmo criério foi adoado para os demais modelos perencenes a ese grupo. Ressala-se ainda o fao esilizado pela lieraura a respeio, de que, o modelo GARCH não só é superior ao ARCH, como ambém, o GARCH (1,1), ou vanilla GARCH, apresena maior desempenho em ermos de previsão de curo prazo, dado a sua eficiência e parcimônia apesar da relaiva simplicidade em relação às formas com mais defasagens. Uma das resrições básicas dos modelos GARCH é que os mesmos consideram uma resposa simérica da volailidade a choques posiivos e negaivos. No enano, a lieraura mosra que choques negaivos em séries financeiras endem a gerar um aumeno na volailidade que é maior que um choque posiivo de mesma magniude. O que vai de acordo com o efeio de alavancagem mencionado no problema de pesquisa. Duas formulações exploradas em esudos empíricos que buscam incorporar eses efeios são o modelo GJR ou TARCH de Glosen, Jagannahan e Runkle (1993) e o EGARCH (GARCH exponencial) de Nelson (1991). O quadro 1 a seguir apresena as especificações dos modelos uilizados no esudo. Quadro 1 Especificações Básicas dos Modelos de Previsão de Volailidade Modelo Equação para a previsão Passeio Aleaório Média Hisórica Média Móvel (a) ARIMA EWMA ARCH (1) GARCH (1, 1) GJR (1,1) EGARCH (1, 1) Fone: Elaboração dos auores.

10 10 No presene rabalho, foram uilizados os períodos de um ano, um mês e uma semana para a esimação dos modelos de média móvel. Para os demais períodos, uiliza-se 75% da amosra como base para a esimação dos parâmeros. Assim, aplica-se um procedimeno de janela móvel a parir do qual se realiza a previsão denro da amosra para odos os modelos, em paralelo aos demais 25% da amosra, que serão uilizados para comparar o desempenho prediivo dos modelos. Cabe ressalar ainda que o modelo de Médias Móveis Exponencialmene Ajusadas ou EWMA (Exponenially Weighed Moving Average) é uilizado como modelo de suavização. Ese é um procedimeno relaivamene simples e cuja meodologia VaR desenvolvida pelo RiskMerics TM uiliza uma esimaiva de 0,94 para o parâmero, sendo amplamene aplicado no mercado. Esa abordagem permie que a volailidade varie de um período para o ouro, incorporando movimenos de mercado de modo mais rápido que a medida radicional expressa pelo desvio-padrão. No enano, nese esudo, o peso λ foi esimado por Máxima Verossimilhança de modo a minimizar o erro enre a previsão e as volailidades observadas denro da amosra de ineresse. Já para a esimação do modelo ARIMA, recorreu-se à meodologia de Box & Jenkins (1976) para a amosra inicial no procedimeno de janela móvel Criério de Avaliação do Desempenho Prediivo A medida de erro de previsão a ser uilizada como criério de avaliação do desempenho prediivo dos modelos é a Raiz do Erro Quadrado Médio (RMSE), proposa como referência de análise por Tsay (2002) e Brooks (2002), e que é definida formalmene por: RMSE = T + h = T + 1 ( yˆ y ) 2 / h (4) Sendo que ŷ é o valor previso no empo ; y é o valor observado no empo ; e h é o número de observações diárias previsas à frene. Essa medida, como afirma Andersen e Bollerslev (1998) é a medida mais empregada na lieraura a respeio para a avaliação da previsão de volailidade. A busca pela melhor forma de avaliação consise num ramo próprio de discussão na lieraura especializada Dados Para a consecução dos objeivos do presene esudo, foram coleados dados referenes às coações de fechameno diárias de uma amosra inencional de empresas lisadas na Bovespa, a parir da base de dados Economáica. Foram selecionados os aivos com maior paricipação no índice Ibovespa, além do próprio índice. Além disso, foram excluídos os aivos com pelo menos dois dias sem negociação. Resaram enão os seguines aivos: AMBV4, ARCZ6, 4 Para avaliações mais precisas, veja, por exemplo, Diebold e Mariano (1995).

11 11 BBDC4, BBAS3, BRTP3, BRTP4, BRTO4, BRKM5, CLSC6, CMIG4, CGAS5, CPLE6, ELET3, ELET6, EMBR3, GGBR4, GOAU4, ITAU4, ITSA4, KLBN4, LIGT3, LAME4, NETC4, PCAR4, PETR3, PETR4, SBSP3, SDIA4, CSNA3, CRUZ3, TNLP3, TNLP4, TLPP4, TCSL3, TCSL4, TRPL4, USIM5, VCPA4, VALE3, VALE5, VIVO4 e o próprio índice Ibovespa (IBOV). O período de análise envolve o reorno e a volailidade diária dos aivos enre 1/1/2000 e 31/01/2008, com a aplicação de uma janela de 1572 (75%) observações para análise do desempenho prediivo dos modelos, uilizando o sofware Saa A análise é realizada não só para oda a amosra, como ambém para duas pares da mesma em separado. Essa parição é realizada para avaliar não só a capacidade de ajuse do modelo para períodos de ala volailidade, mas ambém para capacidade de ajuse dos mesmos a rápidas mudanças no conexo voláil do mercado. Como marco para a divisão das subamosras, recorreu-se à daa da noícia de quebra do banco Lehman Brohers (16 de seembro de 2008). A figura a seguir orna clara a mudança do padrão de volailidade após esa daa. Figura 1 - Volailidade do Ibovespa - Jan/2000 a Jan/2009 0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 Daa do anúncio da quebra do banco Lehman Brohers 0,01 0, /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/2009 Fone: Adapado a parir de dados exraídos da base Economáica. 5. Análise dos Resulados A análise dos resulados oma por base o back esing dos modelos, ou seja, as previsões de volailidade fornecidas pelas esimaivas no procedimeno de janela móvel foram comparadas com as volailidades observadas para cada dia. Cabe ressalar ainda que grande pare dos rabalhos realiza a análise para séries de índices de mercado ais como o S&P 500 e o índice Dow Jones, os quais são inerpreados como proxies para o mercado como um odo, ornando assim possível comparar o desempenho geral dos modelos. Já no presene rabalho, o desempenho dos modelos é avaliado ano relação ao índice de mercado (Ibovespa) quano ao desempenho médio dos modelos denro da amosra de 41 aivos selecionados. A segunda forma de avaliação é uilizada por melhor se aproximar do objeivo de generalização do desempenho prediivo dos modelos. Para ano, adoou-se o RMSE como criério de desempenho prediivo.

12 12 A abela 1 abaixo sineiza os resulados obidos, apresenando as médias das medidas de erro de previsão dos modelos esudados para cada um dos aivos lisados, além dos resulados obidos para a série do Ibovespa. Tabela 1 Desempenho prediivo dos modelos analisados Modelo Amosra Toal Pare 1 Pare 2 Médio Ibovespa Médio Ibovespa Médio Ibovespa Passeio Aleaório 3.428E E E E E E-03 Média Hisórica 2.653E E E E E E-03 Média Anual 2.586E E E E E E-03 Média Mensal 2.483E E E E E E-03 Média Semanal 2.606E E E E E E-03 ARIMA 2.794E E E E E E-03 EWMA 2.482E-03** 1.502E-03** 1.136E-03* 5.475E E E-03** ARCH 2.590E E E E E E-03 GARCH 2.474E-03* 1.504E E-03** 5.433E E E-03 GJR 2.488E E-03* 1.173E E-04** 5.310E-03** 3.446E-03* EGARCH 2.633E E E E-04* 5.296E-03* 3.538E-03 Legenda: * - Menor RMSE; ** - 2º Menor RMSE. Fone: Resulados da Pesquisa. Os resulados obidos demonsram a superioridade dos modelos paraméricos - sejam eses os esimados pela abordagem hisórica ou pela abordagem condicional - em relação ao modelo de passeio aleaório, que apresenou o pior desempenho prediivo no período. Numa visão geral, o modelo EWMA apresena bons resulados prediivos para o horizone de 1 dia na maioria das caegorias amosrais analisadas. Deve-se observar, no enano, que eses resulados são similares aos do vanilla GARCH, o que impede esabelecer uma relação de superioridade enre ambos. Observa-se ainda a superioridade deses em relação à esimação da média hisórica, o que demonsra a ineficiência do criério de ponderar igualmene odas as observações na esimação da volailidade, não imporando o quão disane uma observação eseja da daa de esimação. Tal resulado esá associado à já conhecida auocorrelação posiiva da variância (um dos faos esilizados das séries financeiras), associados a agrupamenos (clusers) de volailidade. Quando se avalia a série do Ibovespa, a comparação do desempenho prediivo expõe a relaiva superioridade do modelo EGARCH e, principalmene, do modelo GJR revelando que ouro fao esilizado o efeio alavancagem o qual é associado a uma assimeria negaiva na série dos reornos ao quadrado, influencia nos resulados dos modelos de previsão de volailidade. Porém, quando a avaliação é feia em ermos da média dos demais aivos, ese úlimo resulado não é passível de generalização. Isso indica que, apesar da caracerísica de assimeria negaiva das séries de aivos como um odo, a aplicação, indiferene do período de análise e do aivo em quesão, de modelos para séries assiméricas pode ser penalizada de al forma que a aplicação de modelos mais simples apresenem resulados generalizados mais consisenes.

13 13 Um úlimo pono quano ao desempenho dos modelos que capam a assimeria negaiva das séries esá associado à aplicação dos mesmos em períodos mais voláeis. A análise dos resulados para a sub-amosra pós quebra do Banco Lehman Brohers indica bons resulados para os modelos EGARCH e GJR, não só para a série do Ibovespa como ambém, de forma generalizada, para os demais aivos. Como resulado geral analisando-se a amosra como um odo observa-se ambém um bom desempenho dos modelos condicionados, aí incluídos os modelos que baseiam sua especificação na dinâmica de curo prazo ais como os modelos EWMA e GARCH (1,1) além dos já ciados modelos GJR e EGARCH sendo eses úlimos os mais adequados para períodos de ala insabilidade nas coações dos aivos analisados, aspeco relevane para gesores de risco e agenes do mercado financeiro que necessiam de projeções da volailidade para o gerenciameno de suas posições no mercado. 6. Conclusão Diane da diversidade de resulados na lieraura no que ange ao desempenho de modelos de previsão de volailidade, o presene esudo apresena algumas conribuições à avaliação da aplicação de modelos de volailidade condicionada no mercado brasileiro. Em períodos de ala volailidade, observa-se um bom desempenho do modelo GJR devido à sua capacidade de capar o efeio da alavancagem na volailidade como já desacado na lieraura. O modelo EGARCH ambém apresenou bons resulados, mas sem diferença esaísica relevane em relação ao primeiro. Já os modelos GARCH (1,1) e EWMA apresenaram desempenho equivalene aos dois aneriormene desacados, em especial no período compleo, onde a influência da correlação serial de primeira ordem se mosra mais relevane. No presene rabalho, foram avaliados de forma generalizada os modelos mais uilizados no mercado e no meio acadêmico para a previsão de volailidade. No enano, ainda há ouros modelos que não foram abordados que podem ser objeo de pesquisas fuuras. Como exemplo, desacam-se os modelos de volailidade implícia, os quais apresenam resulados ineressanes, al como desacado por Poon e Granger (2003). Adicionalmene, a aplicação das projeções de volailidade em conexos ais como o gerenciameno de risco em posições de renda variável e derivaivos abre espaço para novas formas de avaliação do desempenho prediivo dos modelos e, conseqüenemene, novos esudos relacionados ao ema no Brasil. 7. Bibliografia ALEXANDER, C. Marke models: a guide o financial daa analysis. New York, Wiley, ANDERSEN, T. G.; BOLLERSLEV, T. Answering he skepics: yes, sandard volailiy models do provide accurae forecass. In.: Inernaional Economic Review, v. 39, n. 4, p , 1998.

14 14 ANDERSEN, T. G.; BOLLERSLEV, T.; DIEBOLD, F.X.; LABYS, P. Modeling and forecasing realized volailiy. In.: Economerica, v.71, n. 2, p , ANDERSEN, T. G.; BOLLERSLEV, T.; MEDDAHI, N. Correcing he errors: a noe on volailiy forecas evaluaion based on high-frequency daa and realized volailiies. In.: Economerica, v. 73, n. 1, p , ANDERSEN, T. G.; BOLLERSLEV, T.; CHRISTOFFERSEN, P. F.; DIEBOLD, F. X. Volailiy and correlaion forecasing. In.: ELLIOT, G.; GRANGER, C. W. J.; TIMMERMAN, A. Handbook of economic forecasing, Amserdam: Nosh-Holland, p , BOLLERSLEV, T. Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy. In.: Journal of Economerics, v. 31, n.3, p , BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. Time series analysis: forecasing and conrol. San Francisco: Holden Day, BROOKS, C. Inroducory economerics for finance. Cambridge, UK: Cambridge Universiy Press, BROOKS, C.; PERSAND, G. Volailiy forecasing for risk managemen. In.: Journal of Forecasing, v. 22, n. 1, p. 1 22, CHERNOV, M. On he role of volailiy risk premia in implied volailiies based forecasing regressions. Manuscrio não publicado, Columbia Universiy, CHRISTOFFERSEN, P. F.; DIEBOLD, F. X. How relevan is volailiy forecasing for financial risk managemen? In.: Review of Economics and Saisics, v. 82, n.1, p , CHRISTOFFERSEN, P. F. Elemens of financial risk managemen. Academic Press, Elsevier Science, DIEBOLD, F. X.; MARIANO, R. S. Comparing predicive accuracy. In.: Journal of Business & Economic Saisics, v. 13, n. 3, p , ENDERS, W. Applied economeric ime series. John Wiley & Sons, ENGLE, R. F. Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of Unied Kingdom inflaion. In.: Economerica, v. 50, n. 4, p , FIGLEWSKI, S. Forecasing volailiy. In.: Financial Markes, Insiuions and Insrumenes, v. 6, n. 1, p. 1-88, FRENNBERG, P.; HANSSON, B. An evaluaion of alernaive models for predicing sock volailiy. Evidence from a Small Marke. In.: Journal of Inernaional Markes, Insiuions and Money, v. 5, n. 2-3, p , 1995.

15 15 GHYSELS, E.; SANTA-CLARA, P.; VALKANOV, R. Predicing volailiy: geing he mos ou of reurn daa sampled a differen frequencies. In.: Journal of Economerics, v. 131, n. 1-2, p , GLOSTEN, L. R.; JAGANNATHAN, R.; RUNKLE, D. E. On he relaion beween expeced value and he volailiy of he nominal excess reurn on socks. In.: Journal of Finance, v. 48 n. 5, p , MANDELBROT, B. The sable pareian income disribuion when apparen exponen is near wo. In.: Inernaional Economic Review IV, p , NEELY, C. J. Forecasing foreign exchange volailiy: why is implied volailiy biased and inefficien? And does i maer? In.: Journal of InernaionalFinancial Markes, Insiuions and Money, v. 19, n. 1 p , NELSON, D. B. Condiional heeroskedasiciy in asse reurns: a new approach. In.: Economerica, v. 59, n.2, p , POON, S. H.; GRANGER, C. W. J. Forecasing volailiy in financial markes: a review. In.: Journal of Economic Lieraure, v. 41, n.2, 2003.,. Pracical issues in forecasing volailiy. In.: Financial Analys Journal, v. 61, n.1, POTESHMAN, A. M. Forecasing fuure volailiy from opions prices. Manuscrio não publicado, Deparmen of Finance, Universiy of Illinois a Urbana-Champaign, SADORSKY, P. Sochasic volailiy forecasing and risk managemen. In.:Applied Financial Economics, v. 15, p , SADORSKY, P. Modeling and forecasing peroleum fuures volailiy. In.: Energy Economics, v.28, n. 4, p , TAYLOR, J. W. Volailiy forecasing wih smooh ransiion exponenial smoohing. In.: Inernaional Journal of Forecasing, v. 20, p , TSAY, R. S. Analysis of financial ime series. New York: John Wiley & Sons, 2002.