Value at Risk aplicado nos maiores mercados de capitais do mundo: uma análise comparativa de modelos de volatilidade

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1 Value a Risk aplicado nos maiores mercados de capiais do mundo: uma análise comparaiva de modelos de volailidade Auoria: Luiz Eduardo Gaio, Tabajara Pimena Júnior Resumo Durane os úlimos anos, em havido muias mudanças na maneira como as insiuições financeiras avaliam o risco. As regulações êm ido um papel muio imporane no desenvolvimeno das écnicas de medição do risco. Em sua essência, o VaR visa esimar as perdas máximas possíveis por um invesidor denro de um inervalo de probabilidade.ele se ornou um dos mais imporanes mecanismos de mensuração uilizados por diversos ipos de insiuições, incluindo bancos, gesores de risco e adminisradores de careiras. O bom gerenciameno das oscilações do mercado deixa de ser uma preocupação somene das insiuições financeiras e passou a fazer pare das análises dos invesidores que buscam segurança e proeção conra quedas repeninas de preços.diane das diversidades de écnicas de esimação e análise de risco uilizadas pelas bolsas de valores e de fuuros, nacionais e inernacionais, bem como as Clearings de conrole de risco, ese esudo propôs uma análise comparaivo de modelos de volailidade para o cálculo do Value-a-Risk (VaR) aplicados aos principais índices de ações do mercado financeiro inernacional. Uilizou-se os modelos de volailidade condicional da família ARCH levando em consideração a presença de longa dependência em seus reornos (memória longa) e assimeria na volailidade. Em específico, uilizaram-se os modelos GARCH, EGARCH, APARCH, FIGARCH, FIEGARCH, FIAPARCH e HYGARCH esimados a parir de quaro diferenes disribuições, Normal, - Suden, G.E.D. e -Suden Assimérica. Analisaram-se os índices dos principais mercados de ações do mundo, sendo: Dow Jones, S&P 500, Nasdaq, Ibovespa, FTSE e Nikkei 5. Tesou-se ambém a capacidade prediiva do modelo Riskmerics desenvolvido pelo J.P. Morgan para o calculo do VaR, comparado com os modelos de volailidade. Os resulados obidos no esudo sugerem que o pacoe desenvolvido pelo J.P.Morgan não se aplica adequadamene à realidade do mercado acionário mundial, como ferramena de gesão e conrole do risco das oscilações dos preços das ações de empresas negociadas nas bolsas de Nova Iorque, Nasdaq, BM&FBOVESPA, bolsa de Londres e bolsa de Tóquio. Os modelos que consideram o efeio de memória longa na volailidade condicional dos reornos dos índices do mercado de capiais mundial, em especial o modelo FIAPARCH (1,d,1), foram os que obiveram melhor ajuse e desempenho prediivo do risco de mercado (Value-a-Risk), conforme valores apresenados pelo ese de razão de falha proposo por Kupiec (1995). 1 INTRODUÇÃO Durane os úlimos anos, o modo como as insiuições financeiras avaliam seus riscos vem sofrendo grandes mudanças. Esudos sobre análise de risco de mercado êm sido um dos principais focos de pesquisas relacionadas ao mercado de capiais, e denre elas o Value-a- Risk (VaR) vem ganhando grande desaque no mundo acadêmico. Em sua essência, o VaR visa esimar as perdas máximas possíveis por um invesidor denro de um inervalo de probabilidade.ele se ornou um dos mais imporanes mecanismos de mensuração uilizados por diversos ipos de insiuições, incluindo bancos, gesores de risco e adminisradores de careiras. O bom gerenciameno das oscilações do mercado deixa de ser uma preocupação somene das insiuições financeiras e passou a fazer pare das análises dos invesidores que buscam segurança e proeção conra quedas repeninas de preços. Diane da necessidade de desenvolver ferramenas consisenes e de fácil manipulação de gerenciameno de risco o grupo J.P. Morgan desenvolveu em 1994 o modelo Riskmerics para mensuração do VaR de um mercado. 1

2 Segundo Dowd (1998), o Riskmerics eve origem por iniciaiva do ex-presidene do conselho de adminisração do banco nore americano J.P. Morgan, Dennis Weahersone, que soliciou aos seus funcionários que elaborassem um relaório diário conendo um valor referene à exposição que o banco esava sofrendo ao risco de mercado em odas suas aplicações. Esse relaório deveria ser enregue odos os dias ponualmene às 4 horas e 15 minuos da arde, após o fechameno do mercado. Após iniciaivas do J.P. Morgan, pesquisadores de economeria financeira enaram desenvolver diversos modelos de mensuração e cálculo do risco de mercado que superaram a capacidade prediiva do Riskmerics. Denre as várias linhas de pesquisa, esudos de risco de mercado adenraram o campo da esaísica com a Teoria dos Valores de Exremos, rabalharam com modelos de volailidade condicional da Economia, abordaram aspecos do fenômeno da memória longa em séries emporais, provindos das eorias físicas, rabalharam com simulações compuacionais e eses de sress, denre ouros. No enano, aé o presene momeno não exise ainda uma eoria, ou écnica unificada que consiga dominar o problema da mensuração dos riscos provindos das oscilações dos mercados inernacionais, de forma simples, rápida e parcimoniosa. Grande pare dos esudos em se concenrado em esimar o VaR a parir de méodos de regressão pela modelagem da volailidade condicional, geralmene uilizando os modelos com Heeroscedasicidade Condicional Auoregressiva, popularmene conhecido como modelos da família ARCH, inicialmene desenvolvido por Engle (198), como é o caso dos esudos de Chrisoffersen, Hahn e Inoue (001), Lee e Saloglu (00), Gio e Lauren (003a), Gio e Lauren (003b), Gio e Lauren (004), Huang e Lin (004), Angelidis, Benos e Degiannakis (004), So e Yu (006), Tang e Shieh (006), Wu e Shieh (007) e Niguez (008). Tais modelos em ido grande apelo acadêmico devido à forma de esimação eficiene, boa capacidade prediiva e parcimonialidade. No enano, à medida que as ciências esaísicas vêm se desenvolvendo, diversos novos modelos de volailidade condicional vêm surgindo, principalmene os modelos derivados da família ARCH. Ese fao é um apelo a esudos comparaivos da efeividade deses novos modelos aplicados a gesão de risco de mercado. Ese esudo visa responder a seguine quesão: denre diversos modelos de volailidade condicional exisenes aualmene, qual o que melhor se aplica à realidade dos mercados de capiais do mundo para se esimar o Value-a-Risk? Diane das diversidades de écnicas de esimação e análise de risco uilizados pelas bolsas de valores nacionais e inernacionais, bem como as Clearings House de conrole de risco, o objeivo do esudo é realizar uma análise comparaiva de modelos de volailidade condicional para o cálculo do Value-a-Risk (VaR) para os principais mercados de capiais do mundo, levando em consideração a presença de longa dependência em seus reornos (efeio de memória longa). REFERENCIAL TEÓRICO.1 Gesão de Risco O ermo risco pode ser enconrado com diversas definições na lieraura de economia e finanças. Para Bes (1998: p. ), o risco só em um senido verdadeiro à medida que resula em perdas financeiras, quer direa, quer indireamene. As insiuições financeiras enfrenam muios riscos, que podem, se não for conrolada, dar origem a riscos financeiros. Jorion (1997) comena que as organizações esão exposas a rês ipos gerais de risco. O risco de negócio, aqueles que as organizações assumem visando adquirir uma vanagem compeiiva e criar valor aos acionisas, ese risco esá vinculado às quesões de inovação

3 ecnológica, design do produo e markeing. O risco esraégico, geralmene influenciado pelas mudanças no ambiene econômico mundial. O risco financeiro, relacionados as perdas do mercado financeiro. De acordo com Jorion (1997), para avaliar o Value-a-Risk é necessário que se enha um compleo conhecimeno esaísico das disribuições dos dados. A idenificação do comporameno da série em que se esá manipulando é o que define qual a meodologia a ser rabalhada para aquele ipo de disribuição. Pela represenação maemáica, considerando W 0 o valor inicial de uma careira de invesimeno e R seu respecivo reorno, o valor esperado da careira no final do período será: W W0 (1 R ) (1) Como o ineresse é descobrir o valor menor da careira associado ao nível de confiança dado por (1-c)%, onde c é o nível de erro aceiável, a axa de reorno R resulane nese W menor valor da careira, pode ser dado por: W W0 (1 R ) () Considerando o reorno esperado por, obém-se a esimaiva do VaR em relação à média: VaR W0 (1 ) W0 (1 R ) (3) Simplificando a equação em-se: VaR W0 ( R ) (4) A idéia principal na obenção de uma esimaiva concisa do VaR reside na capacidade e possibilidade de mensurar com precisão o reorno R associada ao valor da careira W. Nese senido, para esa esimação é necessário o conhecimeno da disribuição de probabilidade dos reornos. É comum que, nas aplicações práicas do mercado financeiro, a assunção de que os reornos êm uma disribuição normal. Porém, no meio acadêmico já se consideram ouros ipos de disribuição, como é o caso da -Suden, -Suden Assimerico e GED (Generalized Erros Disribuion). Para fácil visualização, considerando o quanil Z da disribuição normal, para o qual a probabilidade c se siua à sua esquerda, pode ser ajusado numa disribuição com média µ e desvio padrão, para ober o reorno críico R : R Z (5) R Subsiuindo-se o valor por na expressão (5) obêm-se o Value-a-Risk paramérico-normal dado por VaR WoZ. Assumindo-se que os reornos seguem um comporameno independene e idenicamene disribuído (i.i.d.) com disribuição normal, o VaR é esimado apenas pela muliplicação do desvio padrão da careira, por um faor relaivo ao nível de confiança. A probabilidade adicional deverá ser capada pelas caudas, admiindo-se que os momenos da disribuição, em específico a variância, oscilam ao longo do empo. O uso de um modelo de disribuição condicional para exrair esa variação emporal da volailidade pode ser ajusado na esimação do VaR. Os modelos da família ARCH (Auoregressive Condiional Heeskedasic) podem ser usados para esimar esa volailidade condicional que, após ser aplicada na expressão (5) fornece o VaR. 3

4 Exisem diversos méodos de esimação do VaR, dependendo das hipóeses formuladas sobre as disribuições de probabilidade dos reornos. Denre odos os méodos, o analíico (dela-normal), simulação hisórica, modelos de variância condicional e simulação de Mone Carlo são os mais uilizados pelos gesores de risco.. Modelos de Volailidade A modelagem da volailidade eve sua origem no esudo de Engle (198), em que foi proposo um modelo denominado ARCH (AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy) para expressar a variância condicional como uma defasagem disribuída do quadrado dos reornos passados. A idéia básica do modelo é que os reornos, que compõem a série emporal, sejam não-correlacionados serialmene, mas sua volailidade (variância condicional) dependa dos reornos passados, e respeiam uma função quadráica. Pode-se definir um modelo ARCH(p) por: R p R (7) R i1 i i onde é o reorno, é uma seqüência de variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas (i.i.d.) com média zero e variância um. A proposição original, elaborada por Engle (198), mereceu exensos debaes e diversos aperfeiçoamenos ao longo dos anos. A primeira, e mais significaiva, foi inroduzida por Bollerslev (1986) ao propor que a volailidade condicionada fosse função não apenas dos quadrados dos erros passados ( R ), como ambém dos seus próprios valores ( 1 ), passando os modelos assim consruídos a ser denominados Generalized ARCH (GARCH). Em ermos maemáicos, um modelo GARCH(p,q) pode ser expresso como: p q i R i i1 j1 j j v (8) onde é a consane, v é um ruído branco [ ~ 0,1 ] O próximo nível na evolução dos modelos ARCH foi o modelo EGARCH (Exponenial GARCH) proposo por Nelson (1991). O EGARCH foi uma inovação aos modelos de volailidade porque considera que os choques na variância êm um efeio exponencial, e não quadráico. Na forma simplificada o modelo EGARCH(p,q) pode ser exposo: p q R i Ri R i ln ai E i j ln j (9) i1 i i i j1 onde o parâmero i permie um efeio assimérico, se i =0, é um indicaivo de ausência de assimeria na volailidade. Um modelo mais simples para a capação do comporameno assimérico da volailidade nas séries financeiras foi apresenado por Glosen, Jagannahan e Runkle (1993) e poseriormene implemenado por Zakoian (1994), denominado por TARCH (Threshold ARCH). Esse novo modelo é um caso paricular do modelo ARCH não-linear, e para ele a volailidade segue a forma funcional: (6) 4

5 p i1 R i i R i d 1 q j1 j j onde d 1 é uma variável dummy que assume o valor igual a 1 se R 0 1 (más noícias), e valor igual a 0 se R 1 0 (boas noícias). Por fim, surgiu o modelo ARCH com Poência Assimérica (APARCH) proposo por Ding e. al.(1993). O modelo APARCH(p,q) pode ser represenado por: p q i Ri i R i i1 j1 j j (11) onde 0 e 1 < i <1. A idéia de Ding e. al. (1993) em desenvolver um modelo cuja poência não assumisse o valor, como os demais modelos, conribuiu não somene para corrigir o efeio alavancagem reornos negaivos proporcionam maior volailidade do que reornos posiivos mas ambém em a capacidade de corrigir o efeio assimérico nas séries de reornos. Por isso o nome Poência Assimérica..4 Modelo Riskmerics Desde 1994, o banco nore americano J.P. Morgan disponibilizou grauiamene, por meio da inerne, o sisema que poseriormene seria considerado como referência mundial na avaliação de risco de mercado, denominado de RiskMerics. A abordagem adoada no desenvolvimeno do modelo Riskmerics considerou que a volailidade condicional podia ser apurada pelo modelo GARCH (Equação 8). Segundo o modelo Riskmerics, a variância condicional óima é esimada por um modelo GARCH(1,1) com consane 0 igual a zero e a soma dos parâmeros e igual a unidade. Impondo-se esa resrição obém-se o processo formalmene conhecido por GARCH inegrado (IGARCH): ou R ( 1 ) 1 1 k ( 1 ) R k K 0 onde é um dado nível da variância no momeno inicial. A axa de declínio das ponderações exponenciais depende do decay facor-, expressando ese a persisência com que os efeios de um choque se fazem senir no fuuro (MORGAN, 1996). O manual écnico do Riskmerics sugere um decay facor- de 0.94 para reornos diários e 0.97 para reornos mensais. O fao de apenas ser necessário uilizar um parâmero,, facilia a esimação da volailidade condicional e proporciona robusez conra o erro de esimação, apesar da parcimoniosidade do modelo. (MORGAN, 1996) Vale ressalar, que esa meodologia vem sendo basane criicada na lieraura, devido ao seu erro de esimação. Porém, por se raar de um méodo de fácil implemenação, ainda é basane uilizado como medida de risco pelas bolsas nacionais e inernacionais. Em específico, as clearings da BM&FBOVESPA..5 Modelos de Memória Longa v (10) (1) (13) 5

6 O fenômeno da Memória Longa aconece quando a ocorrência de um choque gera uma série efeios por longos períodos de empo. Por exemplo, uma noícia ruim para uma cera empresa, ocasionada por alguma crise, pode gerar um impaco nos preços de suas ações, ocasionando um aumeno repenino na sua volailidade, como reflexo das incerezas quano ao comporameno fuuro dos preços. O efeio da Memória Longa vai esar presene na série emporal dos preços desa ação se o impaco causado pela noícia se repercuir na volailidade por um longo período de empo. Ou seja, se o impaco hoje iver repercussão por vários dias, semanas, ou aé por vários anos. Em busca de criar um modelo que conseguisse capar a presença de memória longa Hosking (1981) e Granger (1980) incorporaram ao processo ARMA(p,q) o operador de diferenciação fracionária 1 B d, sendo 0 d 1, em que B represena o operador de defasagem. Assim, obém-se um processo ARFIMA(p,d,q) (auorregressivo fracionalmene inegrado médias-móveis), cuja sua especificação é dada por, d B1 B X B (14) onde é um ruido branco e B e B são polinômios em B de graus p e q, respecivamene. O operador de diferenciação fracionária pode ser descrio como: d d k 1 B B k 0 k (15) db dd 1B dd 1d B...! 3! Iso poso, para imiar o comporameno do correlograma observado para a volailidade das séries, Baillie e. al. (1996) inroduziram o modelo GARCH fracionalmene inegrado (FIGARCH) que busca capar a memória longa na variância condicional. A parir da formulação de um processo IGARCH(p,q) desenvolvido por Engle and Bollerslev (1986) dado por: B 1 B X 1 B X (16) onde, B 1 B B1 B 1, o processo FIGARCH(p,d,q) pode ser obido subsiuindo o operador de primeira diferença 1 B pelo operador de diferença fracionária 1 B d. Assim, a variância condicional do FIGARCH(p,d,q) é dada por: B 1 1 B B1 B 0 i1 i X B d, com 0 d 1. i ou B X BX Segundo Baillie e. al. (1996) a ampliude (S) do processo FIGARCH é s 1 1. Assim o ermo 0 eria a mesma inerpreação válida para o modelo IGARCH. X Consequenemene, o segundo momeno da disribuição incondicional de seria infinio e o processo FIGARCH não fracamene esacionário. Em conraparida, Davidson (004) demonsrou como a resrição arbirária ( S 1 1 ) explica o esranho comporameno da memória do processo FIGARCH. Em paricular, Davidson (004) colocou que a duração da memória aumena à medida que d ende (17) 6

7 a zero. Ese é um conrase a inerpreação convencional, a qual sugere que a duração da memória aumena quando d cresce. Seguindo, porano, esa linha de raciocínio, Davidson (004) desenvolveu o processo GARCH hyperbólico (HYGARCH), como sendo a generalização do modelo FIGARCH. O modelo HYGARCH inroduz um ouro parâmero no lag polinomial. Porano o modelo HYGARCH(1,d,1) pode ser expresso como: d 1 B1 1 B 1 1 X 1 1 B (18) S 1 1 desde que d > 0, a ampliude do modelo HYGARCH(1,d,1) é. O modelo HYGARCH, porano, não impõe a resrição da ampliude ser igual a um. Vale ressalar que os modelos FIGARCH e HYGARCH não conseguem capar a assimeria na volailidade da série, o que levou Tse (1998) a esender o processo FIGARCH para o processo FIAPARCH usando a aproximação do modelo ARCH com poência assimérica (APARCH) de Ding e al. (1993). O modelo FIAPARCH (1,d,1) pode ser expresso como: B1 B 1 1 B d X X (19) onde 1 1 e 0. Quando 0, emos que choques negaivos causam maior impaco na volailidade do que choques posiivos. O inverso ocorre quando 0. O processo FIAPARCH, porano, capura a assimeria da volailidade pela poência da equação de heeroscedasicidade. O modelo FIAPARCH se reduz ao processo FIGARCH quando 0 e. A parir desa idéia de inegração fracionária ouros modelos em sido desenvolvidos a parir das exensões dos modelos GARCH, incluindo o EGARCH fracionalmene inegrado (FIEGARCH) do Bollerslev e Mikkelsen (1996) e o modelo FIAPARCH de Tse (1998). Similarmene ao processo GARCH(p,q), o modelo EGARCH(p,q) equação (9) pode ser esendido para os processos com memória longa pelo faor auoregressivo polinomial 1 B B1 B d onde as raízes de B 0 esão fora do círculo uniário. O modelo FIEGARCH(p,d,q) é especificado como: 1 d B 1 B 1 Bg X ln (0) O modelo TARCH, conudo, não foi desenvolvido em uma forma que cape a memória longa na volailidade da série, uma vez que o modelo FIAPARCH é uma generalização de vários ouros modelos da classe ARCH incluindo o modelo TARCH de Zakoian (1994). 3 METODOLOGIA Nesa seção são relaadas o méodo, e écnicas de pesquisa uilizado nese esudo, demonsrando os dados uilizados, o passos para a análise dos dados e as ferramenas esaísicas uilizadas. 1 7

8 3.1 Dados da Pesquisa Nese esudo foram uilizadas as coações diárias de fechameno dos reornos dos principais índices dos maiores mercados de capiais do mundo e ambém do índice Ibovespa, do mercado de capiais brasileiro. Os índices esão apresenados na Tabela 1. Tabela 1: Principais índices inernacionais Índice País Dow Jones Esados Unidos S&P 500 Esados Unidos Nasdaq Esados Unidos Ibovespa Brasil FTSE 100 Inglaerra Nikkei Japão Os dado são referenes ao período de 1º de janeiro de 000 a 1 o de janeiro de 008. O período de oio anos escolhido para a análise é o que esá compreendido enre a Crise Financeira de 1999 e a Crise Financeira de 008. As crises financeiras geram fores insabilidades no mercado e ampliam a volailidade dos preços dos aivos e índices, podendo, porano causar falhas na esimação dos parâmeros dos modelos de volailidade. Para o esudo de análise e mensuração do risco dos índices inernacionais, foram calculados os reornos diários oferecidos pelas coações dos índices conforme a expressão; P R ln lnp lnp 1 (1) P 1 onde P represena a série de fechameno das coações dos índices e R a série do reorno A uilização da série de reornos como enrada para os eses esaísicos é basane uilizada no meio acadêmico por se raar de dados já esacionários com média zero e variância. Assim, a série de reornos subsiuiu a série original de coações do índice. Os dados foram raados excluindo-se sábados, domingos, feriados e dias sem negociação. Para as modelagens esaísicas foi uilizado o pacoe esaísico G@RCH,3 do sofware Ox, sugeridos por Lauren e Peers (00). Maiores dealhes da operacionalização do sofware são fornecidos por Doornik (001). Os eses de acurácia prediiva e esaísicas descriivas foram realizados pelos sofwares E-views e R. 3. Análise dos Dados O primeiro passo da invesigação empírica consiui-se de uma análise das esaísicas descriivas das séries e aplicação dos eses de normalidade, esacionariedade e linearidade. As aplicações deses eses são imprescindíveis em função dos pressuposos dos modelos de séries emporais que exigem a esacionaridade dos dados. Para esar a normalidade foi aplicado o ese de Jarque-Bera (Jarque e Bera, 1987), acompanhado de seu p-valor, ou seja, a probabilidade de não rejeiar a hipóese nula de que a série segue um padrão normal. O nível de confiança definido foi o de 95%. O ese de esacionariedade foi feio aravés dos eses de raiz uniárias Dickey e Fuller Aumenado (ADF) (Dickey e Fuller, 1979), Phillips e Perron (1988) (PP) e KPSS (Kwiakowski e al., 199), ambém, acompanhado de seu p-valor, ou seja, a probabilidade da série apresenar uma raiz uniária. No caso do ese KPSS, a hipóese nula é inversa dos eses ADF e PP. KPSS em como hipóese nula a esacionariedade da 8

9 séries (ausência de raiz uniária). No ADF e PP a hipóese nula é de não esacionariedade da série (presença de raiz uniária). O inervalo de confiança adoado será, assim como no ese de normalidade, de 95%. A linearidade foi esada a parir da esaísica de BDS, proposa por Brock e. al. (1996), para as dimensões fixadas em, 5, 10 e 0. A hipóese nula é de que os dados seguem um comporameno i.i.d. (independene e idenicamene disribuídos), ou seja, são nãoesacionários e não-lineares. É esada a presença do efeio de heeroscedasicidade condicional, faor deerminane para a aplicação dos modelos da classe ARCH. Para iso, aplica-se o ese ARCH-LM proposo por Engle (198) na série de reornos ou nos resíduos dos modelos ARMA, conforme descrio aneriormene. Após a análise descriiva e ese, são ajusados os modelos de variância condicional nas bases de dados a parir do modelo Riskmerics e modelos da classe ARCH (GARCH, EGARCH e APARCH), para diferenes disribuições (Gaussiana, -Suden, -Suden Assimérica e Generalized Error Disribuion) e diferenes regimes (Memória cura e longa). A esimação dos parâmeros dos modelos de volailidade foi feia pelo méodo de máxima verossimilhança, minimizando-se as possilibilidades de máximos locais ao invés de globais da função de Log-máxima verossimilhança, ajusando-se um processo de convergência ieraivo para 0,00005 com o máximo de 8000 ierações. O algorimo uilizado para oimização foi o Bernd-Hall-Hall-Hausman (BHHH), proposo por Bernd e al. (1974), dando preferência para a precisão e não para velocidade. Depois foi feia a esimação dos riscos de mercado. Para iso, foram calculados os valores em risco (VaR) em posições vendidas, quanis de 0.95, e 0.99, e posições compradas, quanis de 0.05, 0.05 e A previsão uilizada nas esimaivas refere-se à previsão diária um passo a frene, com a janela de 55 dados. Por fim, o quino e úlimo passo é o cálculo da esaísica de Kupiec (1995), para cada esimaiva de Value-a-Risk, com o inuio de verificar a acurácia dos VaRs calculados e definição da melhor meodologia de mensuração de risco para o mercado financeiro. 3.3 O Tese de Kupiec Os modelos de VaR são úeis quando se conseguem prever os riscos de forma razoável. Dessa forma, a uilização dos modelos deve ser sempre acompanhada de um processo de validação. A validação de um modelo em por função verificar se ele é ou não adequado para prever riscos. Iso pode ser feio com o um conjuno de ferramenas, denre elas, o backesing. Segundo Jorion (1997), o bsckesing é uma imporane ferramena esaísica para se verificar a coerência enre as perdas observadas e as perdas previsas. Iso implica em comparar as perdas esimadas pelo VaR com os reorno observados. Ese processo é denominado de confrono com a realidade. Os gesores de risco uilizam esa ferramena para verificar se suas esimaivas de VaR esão bem calibradas. A ferramena esaísica de backesing mais conhecida foi desenvolvida por Kupiec (1995). Para se esar o desempenho de um esimador do VaR, Kupiec (1995) desenvolveu um ese baseado na quanidade de falhas na previsão do risco de mercado, comparados com o inervalo de confiança esabelecido a priori. Sendo o inervalo de confiança esabelecido no calculo do VaR. O ese LR Kupiec visa esar a hipóese nula de que H 0 : f conra a hipóese alernaiva H 0 : f onde f é a axa de falha. Se o modelo esiver correamene especificado f deve ser igual a. A axa de falha pode ser esimada conforme expressão: 9

10 f x N () onde x é o número de reornos que excedem o VaR calculado e N é o número oal da amosra. De acordo com Kupiec (1995), x segue uma disribuição x ~ Binomial( N, f ) cujaa probabilidade de x N N x x na amosra N é dado por P( x, f, N) C x (1 f ) f. Kupiec (1995) propôs o ese baseado na razão de verossimilhança que pode ser empregado a esimaiva de uma amosra ponual esaisicamene consisene com o modelo VaR. A esaísica de ese é dado por: LR ln[(1 ) N x x ] ln[(1 f ) N x f x ] ~ (1) (3) O ese segue uma disribuição de qui-quadrado com um grau de liberdade. 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES A Tabela 1 apresena os valores da esaísica descriiva, dos Teses de Raiz Uniária (esacionaridade) ADF, PP e KPSS, dos eses de heeroscedasicidade (ARCH-LM) e do Tese de Linearidade (BDS) aplicados as séries de reornos dos índices Dow Jones, S&P500, Nasdaq, Ibovespa, FTSE 100 e Nikkei 5. Tabela 1: Esaísicas descriivas, eses de Esacionaridade, heeroscedasicidade e linearidade dos reornos dos índices Dow Jone, S&P500, Nasdaq, Ibovespa, FTSE100 e Nikkei 5. Período da amosra de 01 de janeiro de 000 a 30 de dezembro de 007. Dow Jones S&P500 Nasdaq Ibovespa FTSE 100 Nikkei 5 Média Desvio Padrão Incodicional Máximo Mínimo Assimeria Curose Jarque-Bera Tese Esacionaridade ADF PP KPSS Tese ARCH-LM Tese () Tese (50) Tese (100) Tese BDS Dimensão () Dimensão (6) Dimensão (8) Dimensão (10)

11 Noa: Os eses de Jarque-Bera, Esacionaridades, ARCH-LM e BDS esão represenados pelos p-valores de inerpreação direa. A ese Jarque-bera em como hipóese nula a normalidade dos dados. A hipóese nula dos eses ADF e PP é de que exise raiz uniária (não esacionaridade). O ese KPSS em como hipóese nula a ausência de raiz uniária (esacionaridade). No ese ARCH-LM a hipoese nula é de que exise o efeio ARCH nas séries emporais, presença de heeroscedasicidade no dados. O ese BDS em como hipóese nula a independência e disribuição idênica dos reornos (i.i.d.). O ese ARCH-LM foi feio para rês níveis de defasagens,, 50 e 100. Com base nos valores apresenados na Tabela 1, observa-se que odas as séries de reornos apresenam um comporameno não-normal, percebido a parir do ese de normalidade de Jarque-Bera (1987), rejeiados ao nível de 1% da hipóese de normalidade, considerado pelos p-valores iguais a zero. O excesso de curose (valores superiores a rês) é um dos principais faores que podem er gerado a rejeição da hipóese de normalidade. Os resulados empíricos do Tese de Esacionaridade (ese de raiz uniária) apresenados pela Tabela 1 aponam para a esacionaridade de odas as séries de reornos dos índices, a hipóese nula de raiz uniária pode ser rejeiada ao nível de 1%, nos ese ADF e PP e aceia ao nível de 1% no ese KPSS. No que se refere à presença do efeio de heeroscedasicidade nas séries de reorno, a Tabela 1 evidencia que em odos os índices de ações os reornos são heeroscedásicos, com variância inconsane no decorrer dos períodos. Os p-valores menores que 0,01, nos rês níveis de defasagens (, 50 e 100), rejeiam a hipóese nula de homocedasicidades nos dados. A esaísica ARCH-LM esa a presença de auocorrelação dos resíduos quadráicos da série de reornos. Os p-valores do ese BDS reporados na Tabela 1 indicam que em odos os índices, os reornos não seguem um comporameno i.i.d (independene e idenicamene disribuído). Os baixos p-valores se colocam em uma região de rejeição da hipóese nula de i.i.d., com exceção dos reornos Ibovespa e Nikkei na dimensão dois. A Tabela apresena os p-valores referene à esaísica de falha do Tese LR proposo por Kupiec (1995) para se esar a qualidade de esimação do value-a-risk, por meio dos modelos GARCH (1,1), EGARCH (1,1), APARCH (1,1), FIGARCH (1,d,1), FIEGARCH (1,d,1), FIAPARCH (1,d,1), HYGARCH (1,d,1) e RiskMerics. Buscou-se esar qual dos modelos de volailidade possui melhor capacidade prediiva do Value-a-Risk dos índices mundiais de ações Dow Jones, S&P 500, Nasdaq, Ibovespa, FTSE 100, Nikkei 5, admiindo que o invesidor assuma posições compradas e vendidas neses mercados. Os inervalos de confiança analisados para a esimação do Value-a-Risk foram, 95%, 97,5% e 99% para posições vendidas e 5%,,5% e 1% para posições compradas. Tabela : Taxa de razão de falha (Tese Kupiec) VaR para posições vendidas VaR para posições compradas 95% 97,5% 99% 5%,5% 1% Dow Jones GARCH(1,1) EGARCH (1, 1) APARCH (1, 1) FIGARCH (1, d, 1) FIEGARCH (1, d, 1) FIAPARCH (1, d, 1) HYGARCH (1, d, 1) RiskMerics S&P500 11

12 GARCH(1,1) EGARCH (1, 1) APARCH (1, 1) FIGARCH (1, d, 1) FIEGARCH (1, d, 1) FIAPARCH (1, d, 1) HYGARCH (1, d, 1) RiskMerics Nasdaq GARCH(1,1) EGARCH (1, 1) APARCH (1, 1) FIGARCH (1, d, 1) FIEGARCH (1, d, 1) FIAPARCH (1, d, 1) HYGARCH (1, d, 1) RiskMerics Ibovespa GARCH(1,1) EGARCH (1, 1) APARCH (1, 1) FIGARCH (1, d, 1) FIEGARCH (1, d, 1) FIAPARCH (1, d, 1) HYGARCH (1, d, 1) RiskMerics FTSE100 GARCH(1,1) EGARCH (1, 1) APARCH (1, 1) FIGARCH (1, d, 1) FIEGARCH (1, d, 1) FIAPARCH (1, d, 1) HYGARCH (1, d, 1) RiskMerics Nikkei 5 GARCH(1,1) EGARCH (1, 1) APARCH (1, 1) FIGARCH (1, d, 1) FIEGARCH (1, d, 1) FIAPARCH (1, d, 1) HYGARCH (1, d, 1) RiskMerics Noa: Os valores acima correspondem aos p-valores da esaísica de Kupiec, cuja hipóese nula é a adequação do modelo. Os resulados da Tabela evidenciam que a maioria dos modelos ajusados possui bons desempenhos. O percenual de reornos fora da froneira VaR deve ser igual ao inervalo de confiança esado, ou seja, para um 0, 95 ou 95%, espera-se que apenas 5% dos reornos não sejam capados pelo modelo VaR. Se isso não ocorrer, diz-se que ese modelo 1

13 não possui boa qualidade prediiva. A hipóese de nulidade do ese é dada quando o for igual à razão de falha. Observando-se os resulados do índice Dow Jones (Tabela ), é possível noar que somene os modelos Riskmerics e FIEGARCH (1,d,1) não são adequados para esimação do VaR. O p-valor de 0,03 do modelo FIEGARCH (1,d,1) ao inervalo de 99% para posições vendidas, rejeia a hipóese nula de que o é igual à razão de falha. O mesmo aconece para o modelo Riskmerics, com p-valor igual 0,0 no inervalo de,5% na posição comprada. O modelo FIAPARCH (1,d,1) foi eficiene na esimação do VaR do índice Dow Jones. Além de ser um bom esimador da volailidade, o FIAPARCH (1,d,1) ambém é um excelene predior do risco de mercado. Os resulados do ese LR do índice S&P 500 demonsraram a ineficiência oal do modelo APARCH (1,1) para a mensuração do risco de mercado. Em odos os casos, o p-valor do modelo APARCH (1,1) é menor que 0,01, rejeiando a hipóese nula de igual à razão de falha. Os modelos FIEGARCH (1,d,1) e Riskmerics ambém apresenaram falhas na esimação dos riscos de mercado (Value-a-Risk), conforme os valores da abela. No caso do FIEGARCH (1,d,1) a falha ocorreu na esimação dos riscos em posição vendida nos inervalos 97,5% e 99%. Para o modelo Riskmerics a falha de esimação dos riscos ocorreu em posições compradas, nos inervalos de,5% e 1%. Novamene, o modelo FIAPARCH(1,d,1) foi bem eficiene na esimação do VaR do índice S&P 500, além de ser um bom esimador da volailidade. Para o índice Nasdaq, os resulados da Tabela demonsraram que poucos modelos são capazes de esimar o risco de mercado. De odos analisados, somene os modelos EGARCH (1,1), FIAPARCH (1,d,1) e Riskmerics obiveram boas esimaivas. Um fao curioso é que o modelo APARCH (1,1) não apresenou bom desempenho na previsão dos riscos de mercado. Em odos os casos, seu p-valor foi inferior a 0,01, rejeiando a hipóese nula de de igual à razão de falha. Apesar do modelo proposo por J.P.Morgan (Riskmerics) não er ido bom desempenho nos ouros índices nore-americanos, no caso da Nasdaq, o modelo foi saisfaório para odos os inervalos e posições assumidas. No mercado brasileiro, os resulados do ese LR de Kupiec (Tabela ) para o Ibovespa mosraram que odos os modelos de volailidade condicional são adequados para se esimar e prever o Value-a-Risk. O único modelo que não foi saisfaório é o Riskmerics do J.P. Morgan, para posições compradas. Observando os resulados do FTSE (abela ) é possível noar que os modelos GARCH (1,1), EGARCH (1,1), FIEGARCH (1,d,1) e Riskmerics não se mosraram saisfaórios para a esimação do VaR do mercado de ações inglês. O p-valor de 0,03 do modelo FIEGARCH (1,d,1) ao inervalo de 99% para posições vendidas, rejeiou a hipóese nula de que o é igual à razão de falha. O mesmo aconeceu para o modelo Riskmerics, com p-valor igual 0,0 no inervalo de,5% na posição comprada. O modelo FIAPARCH(1,d,1) foi eficiene na esimação do VaR do índice da bolsa de valores de Londres (FTSE). Além de ser um bom esimador da volailidade, viso por Gio e Lauren (003), o FIAPARCH (1,d,1) ambém se mosrou um excelene predior do risco de mercado. Por fim, a Tabela repora ambém os resulados das esaísicas de falhas do ese LR proposo por Kupiec (1995) para o índice de mercado de capiais japonês. Noe que somene os modelos EGARCH (1,1) e APARCH (1,1) obiveram bons desempenhos na esimação e previsão dos riscos de mercados, ano em posições vendidas quano compradas. 13

14 Assumindo posições compradas (calda esquerda da disribuição), somene o modelo Riskmerics foi insaisfaório, pois seu p-valor ficou abaixo 0,01 ao inervalo de 1% rejeia-se a hipóese nula de que o é igual à razão de falha. De forma geral, observa-se que o modelo Riskmerics, comparado aos modelos de variância condicional, é ineficiene na esimação do risco de mercado em âmbio mundial. A proposa de J.P. Morgan já se ornou obsolea, cabendo a reciclagem dos modelos e ferramenas de gesão de riscos uilizados pelas Clearing Houses e demais paricipanes do mercado de capiais do mundo. Isso apona que o pacoe disponibilizado pelo J.P.Morgan possui baixa validade para se uilizar como ferramena única de conrole de risco no mercado acionário. Porém, esse pacoe é um dos mais uilizados pelos profissionais de gesão de risco, devido seu fácil manuseio e rapidez na predição. A real conribuição do VaR esá relacionada à habilidade de se prever as possíveis quedas ou alas do preço das ações do mercado de capial, para que seus invesidores e gesores de careira possam ober maior conrole sobre o capial apurado nas ransações, eviando perdas bruscas. 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nese esudo foi proposa uma análise comparaiva de alguns modelos de volailidade condicional para o cálculo do Value-a-Risk (VaR) aplicados aos principais índices de ações dos mercados de capiais do mundo. Foram uilizados os modelos de volailidade condicional da família ARCH levando em consideração a presença de longa dependência em seus reornos (memória longa) e assimeria na volailidade. Em específico, uilizaram-se os modelos GARCH, EGARCH, APARCH, FIGARCH, FIEGARCH, FIAPARCH e HYGARCH esimados a parir de quaro diferenes disribuições, Normal, -Suden, G.E.D. e -Suden Assimérica. Analisou-se os índices dos principais mercados de ações do mundo, sendo: Dow Jones, S&P 500, Nasdaq, Ibovespa, FTSE e Nikkei 5. Preendeu-se fazer uma comparação enre modelos de exração da volailidade para o cálculo do VaR comparados com o modelo basane uilizado pelos gesores de risco desenvolvido pelo J.P. Morgan modelo Riskmerics - e disponibilizado grauiamene a qualquer insiuição financeira. Os resulados obidos sugerem que o pacoe desenvolvido pelo J.P.Morgan não se aplica adequadamene à realidade dos principais mercados de capiais do mundo e do mercado barsileiro, como ferramena de gesão e conrole do risco das oscilações dos preços das ações de empresas negociadas nas bolsas de Nova Iorque, Nasdaq,, de Londres, de Tóquio, e BM&FBOVESPA, do Brasil. Enreano, os modelos que consideram o efeio de memória longa na volailidade condicional dos reornos dos índices, em especial o modelo FIAPARCH (1,d,1), foram os que obiveram melhor ajuse e desempenho prediivo do risco de mercado (Value-a-Risk), conforme valores apresenados pelo Tese de Razão de Falha proposo por Kupiec (1995). A principal conribuição dese rabalho cenra-se no aspeco meodológico para as fuuras previsões de VaR a qualquer período de ineresse. No enano, essa medida de risco apresena bons resulados quando aplicada a um mercado com baixa volailidade. Para épocas de grandes insabilidades e ala volailidade, o VaR ende a subesimar eses valores e, porano, seria necessária alguma oura medida de risco, de forma a complemenar al análise. Sugere-se que, em rabalhos fuuros, possa ser explorada a ampliação dese esudo, levando-se em cona uma análise de caráer mulivariado. Uma aplicação do VaR em careiras de invesimeno e não somene a um aivo. Para isso, serão necessários esudos que comparem diferenes méodos de esimação da covariância enre os porfólios, uilizando, como proxy, os 14

15 modelos de volailidade mulivariados, como é o caso dos modelos VEC-GARCH, BEKK, GOGARCH, CCC, DCC, AG-DCC, DSTCC, proposos por Bollerslev e. al. (1988), Engle e Kroner (1995), Weide (00), Bollerslev (1990), Engle (00), Cappiello e. al. (006), Silvennoinen e Terasvira (007) respecivamene. Sugere-se, ambém, um esudo mais amplo incorporando não somene uma análise comparaiva com modelos de volailidade condicional, mas ambém, englobando as Teorias de Valores Exremos e Tese de Sress Referências ANGELIDIS, T.; BENOS, A.; DEGIANNAKIS, S. The use of GARCH models in VaR esimaion. Saisical Mehodology. v. 1, p BAILLIE, R. T.; BOLLERSLEV, T.; MIKKELSEN, H. O. Fracionally inegraed generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy. Journal of Economerics, Lousanne, v. 74, n. 1, p. 3-30, BERND, E.K.; HALL, B.H., HALL, R. E.; HAUSMAN, J.A. Esimaion and Inference in Nonlinear Srucural Models. Annals of Economic and Social Measuremen. v.3, p , 1974 BEST, P. Implemening Value-a-Risk. New York: John Wiley & Sons, BLACK, F; SCHOLES, M. The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. Journal of Poliical Economy. v. 81 n. 3, p , 1973 BOLLERSLEV, T. Generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy. Journal of Economerics, v. 31, p , BOLLERSLEV, T. Modelling he coherence in shor-run nominal exchange raes: A mulivariae generalized ARCH model. Review of Economics and Saisics, v. 7, p BOLLERSLEV, T.; ENGLE, R. F.; WOOLDRIDGE, J. M. A capial asse pricing model wih ime-varying covariances, The Journal of Poliical Economy, v. 96, p , 1988 BOLLERSLEV, T.; MIKKELSEN, H. O. Modelling and pricing long memory in sock marke volailiy. Journal of Economerics, v.73, p , BOLLERSLEV, T; WOOLDRIDGE, J. M. Quasi-maximun likelihood esimaion and inference in dynamic models wih ime-varying CoVaRiances. Economeric Reviews, v.11, n., p , 199. BROCK, W.; HSIEH,D.; SCHEINKMAN, J. A es for independence based on he correlaion dimension. Economeric Reviews, v. 15 n. 3, p , CAPPIELLO, L; ENGLE, R. F; SHEPPARD, K. Asymmeric dynamics in he correlaions of global equiy and bond reurns. Journal of Financial Economerics, V. 4, p , 006 CHRISTOFFERSEN, P.; HAHN, J.; INOUE, A. Tesing and comparing Value-a-Risk measures. Journal of Empirical Finance. v.8, p , 001 DAVIDSON, L. Momen and memory properies of linear condiional heeroscedasiciy models. Journal of Business and Economics Saisics, v., p. 16-9, 004. DICKEY, D. A.; FULLER, W. A. Disribuion of he Esimaors for Auoregressive Time Series wih a Uni Roo. Journal of he American Saisical Associaion. v. 74, p , DING, Z.; GRANGER, C. W. J.; ENGLE, R. F. A long memory propery of sock marke reurns and a new model. Journal of Empirical Finance, v. 1, p , DOORNIK, J. A. An Objec Oriened Marix Programming Language. Timberlake Consulan Ld., 4h ed DOWD, K. Beyond Value a Risk. John Wiley & Sons ENGLE. R. F. Auoregressive condiional heeroscedasiciy wih esimaes of he variance of Unied Kingdom inflaion. Economerica, v. 50, n. 4, p ,

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