3 Processos Estocásticos e Aplicações em Projetos na Indústria Siderúrgica

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1 3 Processos Esocásicos e Aplicações em Projeos na Indúsria Siderúrgica 3.1 Inrodução As decisões de invesimeno ano em ações e derivaivos financeiros, como em projeos corporaivos, são afeadas por incerezas de diversos ipos. Uma forma de raar ais incerezas é aravés do esudo dos processos esocásicos que descrevem o comporameno dos preços desses aivos no empo. É possível definir processos esocásicos como variáveis que evoluem discreamene ou coninuamene no empo de forma imprevisível ou, no mínimo, parcialmene aleaória. De maneira mais formal, considere-se Ω um conjuno represenando a aleaoriedade, onde w Ω consise de um esado da naureza e seja f uma função que represena um processo esocásico. Tem-se enão que f : R Ω R ou f(x,w), sendo x R e w Ω, com a propriedade que dado w Ω, f ( º,w) orna-se função de x. Tal definição implica que definido w Ω e x R represenando o empo, enão f(x,w 1 ) e f(x,w 2 ) consisem de rajeórias (ou realizações do processo) que dependenes dos esados da naureza que forem revelados, como exemplificado na figura 2: f(x,w) f(x,w 1 ) f(x,w 2 ) Figura 2 - Realizações de um Processo Esocásico. Fone: Auor x

2 52 Exisem formas disinas de classificar os processos esocásicos. Há processos que evoluem em Tempo Conínuo e ouros que evoluem em Tempo Discreo. Os processos podem ser Esacionários, que são aqueles que possuem propriedades esaísicas (1º e 2º momenos da disribuição) que não se modificam no empo; Esriamene Esacionários, onde odos os momenos da disribuição se maném consaes no empo; ou ainda Não-Esacionários, que jusamene não possuem consância nos momenos da disribuição. Exise ainda uma 3ª forma de classificar que se relaciona ao Esado que pode ser Conínuo, nos casos em que a variável objeo possa assumir valores num inervalo conínuo, ou Discreo, quando a variável objeo pode assumir somene valores ponuais. Uma quesão chave para muios modelos de avaliação em Finanças é a escolha do processo que melhor descreva a rajeória dos preços do aivo objeo que esiver sendo avaliado. Nesa análise devem ser levadas em consideração quesões como: as caracerísicas econômicas e o empo de vida do aivo, as dificuldades na esimação de parâmeros do modelo esocásico escolhido, a aplicabilidade do processo escolhido nas soluções (analíicas ou numéricas) dos modelos usados para valoração, enre ouros faores. De uma forma geral, se o empo de vida do aivo (ou derivaivo) for relaivamene curo, o aprofundameno na pesquisa para deerminação do processo esocásico pode ser considerado uma quesão de menor relevância, permiindo sua escolha em função da facilidade de obenção de parâmeros e da consrução do modelo de avaliação. Em ouros casos, porém, principalmene quando a vida do aivo for longa, a busca por um processo que mais se fidedigno ao desempenho do aivo será crucial na deerminação do seu valor, podendo, no enano, exisir um preço a ser pago pela dificuldade na esimação de parâmeros e na deerminação de soluções para valoração do aivo. Nese capíulo serão raados os principais modelos de processos esocásicos uilizados em finanças, apresenando suas caracerísicas e discuindo sua aplicabilidade na avaliação de projeos no seor siderúrgico. Inicialmene serão comenados modelos mais simples e gerais, como o Movimeno Browniano e Movimeno de Reversão à Média Ariméica, e na sequência serão apresenados modelos mais recenes e sofisicados, que incorporam mais de um faor

3 53 esocásico, como os modelos proposos nos arigos Schwarz (97) e Schwarz & Smih (2000). Na seção final dese capíulo, após uma breve discussão sobre os modelos abordados, serão avaliadas alernaivas para aplicação na análise de opções reais em projeos do seor siderúrgico. 3.2 Processos Markovianos e o Processo de Wiener Processos de Markov são processos esocásicos onde unicamene o úlimo valor observado do processo em relevância na previsão dos valores fuuros, caracerísica consisene com a Forma Fraca da Eficiência de Mercado. Comumene, na modelagem do preço de aivos financeiros (como coações de ações, meais precioso, ec.) uilizam-se Processos Markovianos. Denre os Processos Markovianos, um dos mais populares em finanças é o Processo de Wiener, ambém conhecido como Movimeno Browniano, ipo específico de processo onde os incremenos são imprevisíveis e ocorrem de forma conínua no empo. Inicialmene usado na física, passou poseriormene a ser uilizado em finanças na modelagem do comporameno do preço de aivos financeiros. Segundo Dixi & Pindyck (94), o Processo de Wiener possui rês imporanes propriedades: 1. É um Processo Markoviano, o que implica que oda informação necessária para elaboração de previsões fuuras esá no valor aual da variável e sua disribuição de probabilidade. Dessa forma, considerando que w() seja um Processo de Wiener, emos que a relação enre Δw e Δ é dada por Δw=ε (Δ) 1/2, onde ε ~N(0,1). 2. Os incremenos do processo são independenes, implicando na não correlação serial enre ε e ε s para s e ainda que para dois quaisquer inervalos de empo os valores de Δw são independenes. 3. Normalidade nas variações do processo sobre qualquer inervalo de empo, com variância crescendo linearmene proporcional ao amanho do inervalo de empo: dw~n(0, d ½ ) e w T ~N(w 0, T).

4 Movimeno Ariméico Browniano (MAB) O Movimeno Ariméico Browniano deermina que o processo de uma variável x pode ser definido em ermos de um incremeno de Wiener e um ermo de endência, como definido na equação abaixo: dx = αd + ζdz Onde: dz = ε d ½ ; ε ~ N(0,1); α é o parâmero drif; ζ é o parâmero de variância; Sendo ambos, α e ζ, consanes no empo. Considerando um inervalo infiniesimal de empo d, a variação em x (dx) erá disribuição normal, sendo os dois primeiros momenos da disribuição: E(dx) = αd ; Var(dx)= ζ 2 d. Dessa forma, considerando a daa =0, a previsão (valor esperado) para o valor de x T (em =T) e a variância correspondene são dados por: E(x T ) = x 0 + αt ; Var(x T ) = ζ 2 T. Caso enhamos um derivaivo escrio sobre um aivo x que segue um MAB, o seu diferencial esocásico pode ser deerminado por inermédio da aplicação do Lema de Iô. Seja F(x,) um derivaivo escrio sobre x(), emos pelo Lema de Iô que: df = F/ x dx + F/ d + ½ 2 F/ x 2 dx 2

5 55 O problema da uilização do MAB na deerminação de rajeória do valor de aivos é que ele possibilia o surgimeno de valores negaivos, o que seria uma caracerísica indesejável para os preços. 3.4 Processos de Iô e Movimeno Geomérico Browniano (MGB) O Processo de Iô consise da generalização do Movimeno Browniano, o qual permie o esabelecimeno de parâmeros de drif e variância variando no empo, conforme apresenado na equação abaixo: dx = a(x,)d + b(x,)dz Temos que dz é um incremeno de Wiener e a(x,) e b(x,) funções deerminísicas do empo e esado auais, correspondenes aos parâmeros drif e variância do processo. Um caso paricular do Processo de Iô é o Movimeno Geomérico Browniano (MGB), o qual é muio uilizado na modelagem do preço de aivos como ações, produos e ouras variáveis econômicas axas de juros e índices de preço (inflação), por exemplo. Os parâmeros drif e variância do MGB são dados pelas fórmulas: a(x,) = αx; b(x,) = ζx. O que deermina a seguine equação para o modelo: dx =αxd + ζxdz O grande problema do MGB é o fao de que ele pode divergir, fazendo com que os preços endam para o infinio à medida que o inervalo de empo seja aumenado, propriedade indesejável quando se esá lidando com aivos de longa mauridade.

6 56 Quando se assume que o preço de um aivo (x) segue um MGB, comumene efeua-se o uso do diferencial do logarimo naural do preço (dlnx), que pode ser facilmene obido por inermédio do Lema de Iô, conforme demonsrado abaixo: dlnx = F/ x dx + F/ d + ½ 2 F/ x 2 dx 2 dlnx = 1/x dx + 0 d + ½ ( 1/x 2 ) ζ 2 x 2 d dlnx = (α ½ ζ 2 )d +ζdz É rivial observar que dlnx é um MAB com o parâmero de drif (α ½ ζ 2 ), que possui como 2 primeiros momenos: E[dlnx]= (α ½ ζ 2 )d; Var[dlnx] = ζ 2 d Prova-se que os 2 primeiros momenos de x(t) são: E(x T ) = x 0 e αt ; Var(x T ) = x 2 0 e 2αT (e ζ2t 1). Temos enão que: x T ~ LN(x 0 e αt, x 2 0 e 2αT (e ζ2t 1)) Como facilmene pode ser verificado nas fórmulas do valor esperado e variância do MGB, à medida que o empo cresce, E(x()) e Var(x()) endem ao infinio, conforme havía sido comenado aneriormene. O procedimeno adoado para esimação dos parâmeros do MGB inicia com a obenção da série de ln(x ), sobre a qual é aplicada uma regressão linear para obenção dos parâmeros da equação: ln(x ) = a + b ln(x -1 ) + ε De posse do erro padrão da série serão uilizadas as seguines fórmulas para esimação dos parâmeros: Var[ln(x )-ln(x -1 )] = Var[ε ] = ζ 2 /N

7 57 α = N{Média[ln(x /x -1 )] + ½ ζ 2 /N} O ese padrão para o processo é efeuado a parir da análise da hipóese nula (Ho) de que o coeficiene (b) de ln(x -1 ) na regressão seja uniário, procedimeno conhecido como ese da raiz uniária de Dickey-Fuller. A práica demonsra que normalmene é difícil rejeiar Ho e, por conseguine, a hipóese que o processo segue um MGB, o que não significa, porém, que não exisa ouro processo mais adequado para descrever o comporameno dos preços. Um caso de ineresse ocorre quando b<1, o que, mesmo sem a rejeição do MGB, indicaria a possibilidade de presença de um Movimeno de Reversão à Média. Oura forma de efeuar o ese de Dickey-Fuller é aravés da regressão: ln(x ) ln(x -1 ) = a + (b-1)ln(x -1 ) + ε Nesse caso a hipóese nula (Ho) do ese seria que o coeficiene (b-1) na regressão seria igual a zero, equivalene a dizer que b=1. O MGB Neuro ao Risco pode ser obido a parir de uma das duas formulações apresenadas abaixo: dx/x = (r-δ)d +ζdz* ou dx/x = (α-π)d +ζdz* Onde: α é o drif de um processo real; δ é o dividend (ou convenience) yield; π é o prêmio pelo risco do aivo; r é a axa livre de risco da economia; dz* é um processo de Wiener sob a medida equivalene maringal

8 58 No caso em que se rabalha com dlnx, a formulação do MGB neuro ao risco será dada por: dlnx = (α ½ ζ 2 π)d +ζdz 3.5 Processos de Reversão à Média Comumene em finanças quando se ena descrever o comporameno de preços de aivos financeiros como ações e meais preciosos, por exemplo, o modelo preferencialmene escolhido é o Movimeno Geomérico Browniano. O MGB é o caso base uilizado na maioria dos modelos de opções financeiras e opções reais e em enre ouras caracerísicas desejáveis uma pequena quanidade de parâmeros a serem esimados. Em algumas siuações, porém, esse processo pode não ser considerado uma boa alernaiva. Um dos problemas na uilização do MGB é o fao de que ese processo pode divergir levando os preços para o infinio, gerando modelos evenualmene não muio realisas em caso de aivos de longa duração comuns nas opções reais. Adicionalmene, esudos realizados como o de Schwarz (97), aponam que preços de commodiies como o cobre e o peróleo, por exemplo, podem vagar aleaoriamene no curo prazo, mas no longo prazo endem a convergir para o cuso marginal de produção. Nesses casos pode ser considerada mais adequada a uilização de oura família de Processos de Iô que seriam os Processos de Reversão à Média. Na sequência serão apresenados alguns dos modelos mais conhecidos de Processos de Reversão à Média Movimeno de Reversão à Média Ariméico (MRA) de Ornsein- Uhlenbeck O modelo mais básico de reversão a média é o MRA de Ornsein Uhlenbeck, que comumene é definido pela equação abaixo: dx = η(ẋ x)d + ζdz Onde:

9 59 dz é um incremeno de Wiener; η é o parâmero que indica a velocidade da reversão; ẋ é o nível normal ou média de longo prazo de x. Apesar do MRA de Ornsein-Uhlenbeck ser um Processo de Markov ele não possui incremenos independenes, dado que a variação esperada em x é função da diferença enre a média de longo prazo e a úlima observação do processo. Prova-se que os 2 primeiros momenos de x() são: E(x )=ẋ (x 0 ẋ) e η( o) ; Var(x )= ζ 2 /2η (1 e 2η( o) ). Na comparação do MRA com o MGB é ineressane observar os efeios do empo e da magniude do parâmero de reversão (η), nos 2 primeiros momenos de sua disribuição. Tem-se que quando, o valor esperado e a variância de x() endem para: lime(x ) = ẋ limvar(x ) = ζ 2 /2η Também se verifica que quando η, serão enconrados: lime(x ) = ẋ η limvar(x ) = 0 η E quando η 0, serão enconrados: lime(x )= x 0

10 60 η 0 limvar(x )= ζ 2 T η 0 Com base nas equações apresenadas, pode-se concluir que quando o valor esperado do processo MRA de Ornsein-Uhlenbeck irá convergir para ẋ e a variância para um valor consane, ζ 2 /2η, diferene do MGB cujo valor esperado e a variância de x() endem a crescer indefinidamene. Quando η valor esperado do MRA ambém irá convergir para ẋ, sua variância, no enano, irá convergir para zero. Já quando η 0, o MRA ende para o Movimeno Browniano Simples. Oura maneira de verificar ese resulado é subsiuir η por zero na equação do MRA e com isso será obida a equação do Movimeno Browniano. A esimação dos parâmeros do modelo de Ornsein-Uhlenbeck pode ser efeuada a parir de informações em empo discreo do hisórico de preços pela regressão: x x -1 = a + bx -1 + De posse dos valores de a, b e ζ (erro padrão da regressão) é possível ober os parâmeros da fórmula dx = η(ẋ x)d + ζdz por inermédio das equações: ẋ = a/b; η = ln(1+b); 2ln(1 b) (1 b) 2 1 O ese para um Processo de Reversão à Média segue um procedimeo similar adoado para o MGB. A parir da série ln(x) será aplicada a regressão: ln(x ) = a + bln(x -1 ) + ε

11 61 Como comenado aneriormene, nos casos em que se em 0<b<1 observase indícios de um movimeno de reversão a média. Conforme comenado aneriormene o ese ambém pode ser efeuado pela regressão: ln(x ) ln(x -1 ) = a + (b-1)ln(x -1 ) + ε Nesse caso, verificam-se indícios de reversão à média no caso do coeficiene (b-1) < 0. Oura análise comumene efeuada em processos de reversão à média é a chamada meia vida do processo (H), que consise do empo necessário para que o processo percorra meade da diferença do seu valor aual e da média de longo prazo. Essa medida pode ser calculada pela equação: ln(2) H Modelo de Reversão à Média Geomérico (MRG) de Dixi & Pindyck (1994) Ese modelo foi apresenado no livro de Dixi & Pindyck (1994) e consise de uma alernaiva ao MRA. dx = ηx(ẋ x)d + ζxdz Todos os parâmeros do modelo são similares aos apresenados no MRA de Ornsein-Uhlenbeck. Para obenção da média e variância do processo é mais conveniene o rabalho com o logarimo do preço (ln(x)), o que rivialmene pode ser obido com o uso do Lema de Iô e, por conseguine, permie a conversão do MRG em um MRA. Um pono posiivo do modelo é que esse não permiirá o surgimeno de valores negaivos no processo. No enano, a paramerização do modelo é problemáica, dado que nas fórmulas dos parâmeros de reversão e média de longo prazo do MRA do ln(x) eríamos funções com ermos em x/lnx que não são

12 62 consanes, condição essencial para esimação. Uma alernaiva para solução desse problema é sugerida por Dias (2008), que indica o uso de um valor médio para o preço x Modelos de Schwarz (1997) Schwarz (1997) propõe e compara 3 modelos que objeivam reraar o comporameno esocásico de preços baseados em movimenos de reversão à média, ressalando a relevância da análise dos processos dos preços das commodiies na deerminação do valor de conraos de derivaivos escrios sobre essas e na avaliação de projeos de aivos de produção. O primeiro modelo coném apenas 1 faor esocásico que é o logarimo do preço, que consise de um processo de reversão à média. O segundo modelo possui 2 faores esocásicos correlacionados: convenience yield, que obedece um processo de reversão à média, e preço seguindo um MGB. O erceiro modelo possui 3 faores esocásicos correlacionados: convenience yield e axas de juros obedecendo processos de reversão à média e preço seguindo um MGB. Modelo de 1 Faor Esocásico de Schwarz (1997) O modelo consise de um MRG que usa como ermo para reversão à média o logarimo do preço no inerior dos parêneses: ds = κs(µ lns)d + ζsdz Usando o lema de Iô podemos enconrar dx, sendo X=lnS: dx = κ(α X)d + ζdz Sendo: α = µ ζ 2 /2κ; κ>0 é o parâmero de reversão à média; α é a média de longo prazo do log do preço; dz é um incremeno de Wiener.

13 63 O modelo não apresena o problema de esimação dos parâmeros de velocidade de reversão e média de longo prazo (κ e α no caso), ocorrido no MRG de Pindyck e ainda preserva a propriedade de não gerar valores negaivos para o preço do aivo (S). O desenvolvimeno e demais formulações do Modelo de 1 Faor Esocáico de Shwarz esão disponíveis no Apêndice V. Modelo de 2 Faores de Schwarz (1997) Nese modelo emos a presença de 2 faores esocásicos correlacionados: o preço spo da commodiy (S) seguindo um MGB e o convenience yield (δ) seguindo um MRA. As equações apresenadas a seguir apresenam os processos e descrevem seu relacionameno: ds = (µ-δ)sd + ζ 1 Sdz 1 dδ = κ(α-δ)d + ζ 2 dz 2 dz 1.dz 2 =ρd Sendo: µ é o parâmero de crescimeno dos preços da commodiy; ζ 1 é o parâmero da volailidade do processo de preços da commodiy; dz 1 é o incremeno de Wiener do processo de preços da commodiy; κ>0, parâmero de reversão para à média do convenience yield esocásico; α a média de longo prazo do log convenience yield esocásico; ζ 2 é o parâmero da volailidade do processo do convenience yield; dz 2 é o incremeno de Wiener do processo de preços do convenience yield; ρ é o parâmero da correlação enre os incremenos dos 2 faores. O desenvolvimeno e demais formulações do Modelo de 2 Faores Esocáico de Shwarz esão disponíveis no Apêndice V. Modelo de 3 Faores de Schwarz (1997) Nese modelo Schwarz conempla a presença de 3 faores esocásicos correlacionados, sendo 2 os

14 64 mesmos apresenados no Modelo de 2 Faores e o 3º a axa de juros esocásica, seguindo ambém um MRA: ds = (r-δ)sd + ζ 1 S dz 1 * dδ = κ(α*-δ)d + ζ 2 dz 2 * dr = a(m*-r)d + ζ 3 dz 3 * Sendo: dz 1 *.dz 2 * =ρ 1 d; dz 1 *.dz 3 * =ρ 2 d; dz 2 *.dz 3 * =ρ 3 d Onde: a é o coeficiene de ajuse da velocidade de reversão; m* é a média da axa de juros de curo prazo ajusada ao risco do processo da axa de juros. Todos os demais parâmeros são semelhanes aos apresenados no Modelo de 2 Faores. O desenvolvimeno e demais fomulações do Modelo de 3 Faores Esocáico de Shwarz esão disponíveis no Apêndice V. Um pono exremamene relevane raado no arigo é referene à dificuldade da implemenação empírica de modelos de preços de commodiies em função da exisência de faores não direamene observáveis. Em muios casos o próprio preço spo da commodiy não é perfeiamene observável obrigando a uilizados de preços de conraos fuuros com mauridade mais próxima como proxy. Ouras variáveis, enre elas o convenience yield insanâneo, são ainda mais difíceis de serem esimadas. De forma diversa, conraos fuuros são negociados em várias moedas e seus preços são mais facilmene observáveis. Para solucionar o problema apresenado, parindo de séries hisóricas de conraos fuuros e das formulações apresenas, Schwarz uilizou o Filro de Kalman para obenção de esimaivas das séries das variáveis de esado e dos parâmeros relaivos aos modelos. Para ano, primeiramene precisou conseguir represenações em Espaço-Esado dos modelos proposos. Essa abordagem é a ferramena adequada para lidar com siuações que variáveis de esado não são

15 65 observáveis, porém é sabido que são geradas por um processo de Markov. Uma vez que o modelo foi colocado na abordagem Espaço-Esado, o filro de Kalman, combinado esimadores de máxima verossimilhança, pode ser uilizado para esimar os parâmeros do modelo e as séries emporais das variáveis de esado não observáveis. No arigo em quesão o méodo foi aplicado para esimação dos 3 modelos em preços de 3 commodiies disinas: cobre, peróleo e ouro. As formulações do Modelo Espaço-Esado Linear esão disponíveis no Apêndice V. As análises efeuadas revelaram uma fore reversão à média nos preços do cobre e peróleo, o mesmo não ocorrendo nos preços do ouro. A parir dos parâmeros esimados foram analisadas implicações de cada modelo na precificação de conraos fuuros, derivaivos financeiros e ainda possíveis decorrências na monagem de esraégias de coberura (hedging) de enregas fuuras. Foram avaliadas ambém as implicações da escolha do processo esocásico assumido para a commodiy subjacene na valoração de projeos de aivos deenores de opções reais. Para ano, foram efeuadas comparações do valor e a regra de decisão para projeos simples, assumindo diferenes premissas sobre os processos esocásicos para os preços. O esudo sugere que é basane imporane considerar à reversão à média dos preços na avaliação de projeos, pois o criério do fluxo de caixa induz a invesimenos muio cedo e a abordagem das opções reais implica em invesimenos muio ardios quando a reversão à média é negligenciada nos preços Modelo de 2 Faores de Schwarz & Smih (2000) Schwarz & Smih (2000) propõem um modelo com 2 faores esocásicos correlacionados não observáveis para descrição do comporameno dos preços de commodiies, que somados formam o logarimo do preço do aivo (lns ). O 1º faor, idenificado por, refleiria no modelo os desvios de curo prazo dos preços sendo esse um Movimeno de Reversão à Média Ariméico com média nula. O 2º faor do modelo, idenificado por, seguiria por sua vez um MAB, endo o papel de refleir a evolução para o nível de equilíbrio dos preços. Em ermos econômicos, a presença do 1º faor definido como um MRA de Ornesein-

16 66 Uhlenbeck se jusificaria, por exemplo, pelo fao de que no curo prazo os preços das commodiies seriam influenciados por variações na demanda devidas a mudanças climáicas ou choques na ofera por cona de inerrupções de suprimeno, afeados ainda pela capacidade de resposa dos agenes no ajuse dos níveis de esoques às novas condições de mercado. O racional para inclusão do 2º faor, deriva da idéia que aspecos como expecaivas de exausão na ofera da commodiy, melhorias nas écnicas uilizadas na sua exploração ou ainda quesões como a inflação e evenuais incerezas políicas e regulaórias definiriam a endência para os níveis de preços para o longo prazo. De forma diversa a ouros modelos, não é uilizado como faor nessa proposição o convenience yield esocásico, como nos modelos de 2 e 3 faores de Schwarz (1997). As principais formulações apresenadas no arigo foram: ln S Onde: S o preço spo da commodiy; o faor que represena os desvios de curo prazo nos preços; o faor que deermina a endência de longo prazo dos preços. seriam: Por sua vez, as formulações correspondenes aos processos esocásicos d d dz d d dz dzξ.dzχ = ρd. Onde: é o parâmero de reversão à média do MRA; é a volailidade do desvio de curo prazo nos preços;

17 67 dz é o incremeno de Wiener do desvio de curo prazo nos preços; é o parâmero do drif da endência de longo prazo dos preços; é a volailidade da endência de longo prazo dos preços; dz é o incremeno de Wiener da endência de longo prazo dos preços; ρ é o parâmero da correlação enre os incremenos dos 2 faores. O desenvolvimeno e demais formulações do modelo de Schwarz & Smih (2000) esão disponíveis no Apêndice VI. Pelo fao dos 2 faores do modelo não serem observáveis, os auores adoaram o mesmo expediene uilizado por Schwarz (1997): após conseguirem formulações que permiiram a colocação do modelo em uma represenação espaço de esado, uilizando o Filro de Kalman e esimadores de máxima verossimilhança foi possível esimação das séries emporais das variáveis de esado e dos parâmeros correspondenes aos processos definidos. Teses empíricos do modelo foram efeuados uilizando bases de preços fuuros e conraos à ermo de peróleo, uilizadas ambém no arigo de Schwarz (1997). Adicionalmene foram elaborados exemplos ilusraivos do uso do modelo em projeos com opções reais, que demonsram sua praicidade em ermos de aplicação Modelos de Pindyck (1999) Pindyck (1999) analisa o comporameno dos preços de 3 ipos de commodiies do seor de energia peróleo, carvão e gás naural uilizando séries de 127 anos de dados e propõe, baseado no desempenho hisórico, formas alernaivas para sua modelagem esocásica. O auor comena que idealmene o comporameno dos preços dessas commodiies deveria poder ser explicado em ermos esruurais pelos movimenos de ofera e demanda no mercado e as variáveis que os deerminam no enano pondera que os modelos esruurais não são devidamene aplicáveis para elaboração de previsões de longo prazo, em função da dificuldade inerene a projeção das variáveis explicaivas dos modelos.

18 68 Como resulado, as projeções de longo prazo de preços de energia são efeuadas muias vezes assumindo que esses preços crescem em ermos reais a axas fixas, buscando refleir a depleção das reservas desses recursos naurais. Tipicamene nesses casos, adicionamene a endência de crescimeno, são incorporados choques esocásicos com a inenção de refleir a incereza dos preços fuuros, o que, em ermos práicos corresponderia assumir que os preços se assemelhariam a um Passeio ao Acaso com Tendência ou um MGB. Alernaivamene, em muios casos é assumido que no curo prazo os preços possam vagar aleaoriamene em função de pressões momenâneas de ofera e demanda, mas que no longo prazo endam a convergir para seu cuso marginal de produção, o que por sua vez seria equivalene a dizer que os preços se assemelhariam a um MRM. A idenificação e escolha do processo que melhor represene o comporameno dos preços de ais commodiies êm sérias implicações na avaliação de invesimenos, principalmene nos casos em que esiverem sendo consideradas opções reais nos projeos. Os eses efeuados com as séries preços aponaram apesar da dificuldade de negar a presença de uma raiz uniária (equivalene a negar o MGB) a presença de componenes de reversão à média no comporameno dos preços. Dessa forma, o auor propõe um modelo de reversão à média com endência deereminísica para descrever o comporameno de preços de ais commodiies, e ainda o esende para um modelo de múliplos faores esocásicos, onde a endência de longo prazo seria ambém considerada esocásica. Pindyck propõe o Filro de Kalman como modelo adequado para esimação de parâmeros no caso do modelo mulifaorial. A formulação abaixo foi apresenada na seção 4 do arigo corresponde ao modelo de reversão a média com endência quadráica para o log do preço de commodiies do seor de energia, sobre o qual poseriormene foram efeuadas exensões para modelos mulifaoriais: 2 dp ( p ) 2 ] d dz [ Onde: p é o log do preço da commodiy;, são parâmeros da endência quadráica do log dos preços; 0 1, 2

19 69, d são respecivamene o empo e a variação infiniesimal do empo é o parâmero de voalilidade; dz é um incremeno de Wiener. Para melhor enendimeno do modelo e comparações e desenvolvimenos fuuros ainda nesa ese, podemos simplificá-lo para: dp ( p) d d dz Onde: d 2 ) d ( 1 2 Nesa equação o ermo A corresponde a endência quadráica de longo prazo de preços e a inclusão do ermo d, correspondene ao diferencial de A, se faz necessária para que o processo revera para o correo nível de equilíbrio de preços como demonsrado por Dornier e Queruel (2000). 3.6 Processos de Poisson Processos de Poisson são processos Markovianos (não são Processos de Iô) nos quais emos a ocorrência de salos discreos e infreqüenes no empo, muio uilizados na modelagem de evenos raros como, por exemplo, a ocorrência de sinisros na indúsria de seguros, o efeio de crises gerando salo nos preços do peróleo, ec. Nesse processo a chegada dos salos segue uma disribuição de Poisson, sendo possível rabalhar com salos de amanho fixo ou variável (seguindo uma deerminada disribuição). É comum em finanças a combinação de Processos de Poisson com Processos de Iô. Definição Formal: Seja x um processo esocásico de Poisson, no qual oda a aleaoriedade do processo é concenrada na chegada de salos que possuem

20 70 amanho deerminado pela função g(x,). O Processo de Poisson pode ser descrio pela equação diferencial: dx = f(x,)d + g(x,)dq Sendo: f(x,) e g(x,) funções deerminísicas e conhecidas; dq um incremeno de Poisson. Os parâmeros ípicos do Processo de Poisson são: λ que corresponde a axa média da ocorrência do salo por período de empo; λd correspondene a probabilidade de ocorrência do salo; 1 λd a probabilidade de não-ocorrência do salo; u indicando o amanho do salo; q represenando a aleaoriedade do Processo de Poisson. Exisem diferenes ipos de processos de Poisson. Os processos de Poisson podem ser Homogêneos, que consisem de processos de Markov com evenos aleaórios e incremenos independenes e esacionários, que somene dependem da variação do empo. O número de salos em disribuição de Poisson e o empo de ocorrência de evenos em Δ em disribuição exponencial com média 1/λ. Ouro ipo seria os processos de Poisson Não-Homogêneos, nos quais é dispensado o suposo esacionariedade dos incremenos, sendo ainda a freqüência de ocorrência dos salos uma função do empo. Exisem ambém os processos de Poisson Composos, nos quais verificamse, adicionalmene a aleaoriedade na ocorrência dos salos (seguindo um processo de Poisson), salos com amanho esocásico obedecendo a uma deerminada disribuição de probabilidade.

21 71 Por fim, denre os processos mencionados, enconram-se os processos de Poisson Compensados, que são obidos pela subração da endência do processo deerminando a sua conversão num maringal. 3.7 Processos Misos de Difusão com Salos É possível fazer uma combinação de um Processo de Iô e um Processo de Poisson, considerando que dx compore-se da maneira: dx = a(x,)d + b(x,)dz + g(x,)dq Sendo: dz um Processo de Wiener; dq um Processo de Poisson independene de dz. Meron (1976) jusificou esse modelo para ações, considerando que em caso de noícias normais x segue um processo de difusão MGB e no caso de noícias anormais (raras e com muio impaco) ocorreria um salo de Poisson, enconrando uma solução analíica para opções européias, considerando uma disribuição lognormal para o amanho dos salos. Uilizou-se ainda um Processo de Poisson Compensado para ransformar o diferencial em um maringal: dx = [a(x,) λk]d + b(x,)dz + g(x,)dq Sendo: E[dq] = E[ɸ]λd = kλd; a(x,) = αx. Dias & Rocha (1998) desenvolveram um modelo similar subsiuindo o MGB por um MRG: dx/x =[η(ẋ x) λk]d + ζdz + dq

22 72 Nese modelo, de forma similar ao modelo anerior de Meron (1976), noícias normais causam ajuses marginais no preço, enquano noícias anormais causam salos discreos. De acordo com Dias (2008), um dos principais benefícios no uso de processos de difusão com salos, é que eses parecem descrever melhor a realidade, por explicarem fenômenos empíricos enconrados em séries emporais, ais como assimeria de reornos e disribuição com caldas longas. Adicionalmene, eviam o excesso de previsibilidade no caso da combinação com um processo de reversão à média. Como desvanagem, é ciado que a exisência de salos eoricamene impossibilia a consrução de um porifólio sem risco, a menos que os salos sejam descorrelacionados com a economia (sem risco sisemáico) como suposo por Meron (1976). Oura desvanagem seria o aumeno do número de parâmeros a ser esimado (axa de ocorrência e amanho dos salos), o que no caso de evenos raros, orna-se um problema adicional pela escassez de informações. 3.8 Discussão sobre Processos Esocásicos e a Análise de Opções Reais em Projeos no Seor Siderúrgico Como definido no início dese capíulo, o objeivo dese esudo é de analisar os principais processos esocásicos uilizados em finanças, com inuio de definir um modelo adequado e aplicável à avaliação de projeos no seor siderúrgico. Na escolha desse modelo, enende-se que diversos aspecos devem ser considerados, com desaque para as caracerísicas econômicas do seor siderúrgico e os impacos nos preços do aço; a vida úil dos projeos na siderurgia; a disponibilidade de informações para esimação de parâmeros do modelo esocásico; e a aplicabilidade do processo escolhido nas soluções (analíicas ou numéricas) dos modelos usados para valoração. De uma forma geral, se o empo de vida do aivo for relaivamene curo, o aprofundameno na pesquisa para deerminação do processo esocásico pode ser considerado uma quesão de menor relevância, permiindo sua escolha em função

23 73 da facilidade de obenção de parâmeros e da consrução do modelo de avaliação. Dixie & Pindyck (1994) demonsram que em períodos curos de empo, processos de preços são dominados prioriariamene por choques esocásicos, enquano, à medida que o empo passa o processo passa a ser mais influenciado pelo componene que deermina sua endência. Dessa forma, como em grande pare dos modelos apresenados a aleaoriedade esá represenada por incremenos de Wiener, a busca de um processo esocásico mais adequado ao comporameno de preços pode ser considerada uma arefa de alo cuso frene aos benefícios a serem obidos. De cera maneira, esa pode ser considerada uma das principais razões da popularidade do Movimeno Geomérico Browniano nos modelos adoados na precificação de derivaivos financeiros, como fuuros e opções escrios sobre ações. As grandes vanagens do MGB frene aos demais modelos são: sua simplicidade maemáica, o reduzido número de parâmeros para esimação e a maior facilidade de obenção de soluções analíicas na valoração de aivos. O fao, porém, de seus dois primeiros momenos poderem divergir à medida que o empo evolui, pode acarrear a geração de cenários não-realísicos para preços no longo prazo, o que consisiria de um problema no caso de projeos de longa mauração. O aço é uma commodiy de grande variabilidade de preços. Como verificado em ouras commodiies como peróleo, cobre, açúcar e álcool, enendese que seus preços possam ser guiados parcialmene por um componene de reversão à média, que faz com que eses (preços) vaguem aleaoriamene no curo prazo em função de pressões de ofera e demanda, mas no longo prazo endem a convergir para o cuso marginal de produção. Esa análise pode ser deerminane para avaliação de projeos, pois, como comenado em Schwarz (1997), a abordagem das opções reais pode implicar em invesimenos muio ardios quando a reversão à média é negligenciada nos preços. Ocorre, porém, como considerado por Dias (2008), que um processo puro de reversão à média para um nível fixo pode se demonsrar demasiadamene previsível e por isso ser evenualmene pior que o MGB. Como alernaiva, para melhoria do Movimeno de Reversão à Média, sugere combiná-lo com ouros processos, por exemplo: com o MGB para o nível de equilíbrio, como feio nos modelos 2 e 3 de Schwarz (1997), Pindyck (1999) e Schwarz & Smih (2000) ou

24 jan/00 jul/00 jan/01 jul/01 jan/02 jul/02 jan/03 jul/03 jan/04 jul/04 jan/05 jul/05 jan/06 jul/06 jan/07 jul/07 jan/08 jul/08 jan/09 74 com um Processo de Poisson, como efeuado por Dias & Rocha (1998). Dias & Rocha classificam ais modelos como Modelos Esocásicos Mais Realisas. A análise de algumas quesões econômicas ligadas à produção de aço leva a acrediar que além do componene de reversão à média, os processos de preços dos produos siderúrgicos podem possuir ambém componenes de endência ascendene, que em ermos práicos elevaria a média de longo prazo à medida que o empo evolui. Imporanes insumos para produção do aço, como minério de ferro, carvão e energia vêm no decorrer dos úlimos anos sofrendo progressivas elevações de preço, o que consequenemene alera o cuso marginal de produção do aço. Eses aumenos possuem razões adicionais aos descompassos momenâneos de ofera e demanda (capurados pelo MRM), sendo devidos ambém a mudanças esruurais nos mercados produores dos insumos, a progressiva escassez dos recursos naurais e ainda em função de cusos incremenais provenienes do aumeno de exigências das legislações ambienais. Tal fao pode ser observado no gráfico 14, referene à evolução índice de preço da placa de aço divulgado no período de janeiro de 2000 a julho de Índice IBS de Preços de Placas de Aço (IBS) Jan/2000 a Abr/ Gráfico 13 - Placas de aço - Índice de Preços de Placas de Aço. Fone: IBS, elaborado pelo auor. Dessa forma, após a análise comparaiva dos diversos modelos apresenados, enende-se que os modelos 2 e 3 de Schwarz (1997) e Schwarz & Smih (2000), que combinam faores MGB e MRM, possuem caracerísicas que o ornariam bons candidaos para descrever o comporameno dos preços do aço na

25 75 modelagem das opções reais em projeos de invesimeno na siderurgia. No enano, exise uma dificuldade na adoção desses modelos no caso dos preços dos produos siderúrgicos, em função da carência de dados esaísicos de boa qualidade para esimação de seus parâmeros. Conforme comenado aneriormene, para obenção da esimaiva dos parâmeros Schwarz (1997) e Schwarz & Smih (2000) seriam necessários preços fuuros de commodiies, uilizando a abordagem espaço-esado/filro de Kalman. Ocorre, porém, que a exisência de preços fuuros de aço em mercados organizados é exremane recene, sendo esses conraos definidos para roas e especificações muio resrias e com poucas opções de mauridade. Mais especificamene, dois conraos à ermo de aço, um com vencimeno em 3 meses e ouro com 15 meses, são negociados desde maio de 2008 na Bolsa de Meais de Londres (London Meal Exchange LME), para as regiões do Medierrâneo e Exremo Oriene. Cabe ainda observar, que no processo de esimação de parâmeros de endência recomenda-se geralmene o uso de séries longas de empo. Dias (2008) jusifica al procedimeno aponando que a variância do esimador do drif é inversamene proporcional ao empo, o que deermina que com períodos mais exensos os esimadores endem a ser mais eficienes. Adicionalmene, Dias comena que muios rabalhos em sido efeuados uilizando dados de períodos curos (2 a 5 anos) para esimação de parâmeros reversão à média, o que o auor considera um erro, chamando ais esimadores de não-confiáveis. No caso em quesão, além do período ser exremamene curo, pouco mais de 2 anos aé a presene daa, os dados poderiam esar viesados endo em visa a crise econômica que assolou o mundo no 3º rimesre de 2008 e que ainda não eve seus efeios oalmene dissipados. Como é possível observar no gráfico 14, a endência esimada para o período considerado seria foremene negaiva, o que conrariaria a eoria de que os preços enderiam a subir à medida que o empo passa e os próprios resulados obidos a parir de séries de preço spo mais longas.

26 76 Gráfico 14 - LME Seel Bille Far Fas 3 monhs seller. Fone: LME London Meal Exchange É possível, porém, ober uma alernaiva no que se refere à incorporação de uma endência ascendene ao MRM, parindo de preços spo hisóricos de produos siderúrgicos e sem a uilização do modelo Espaço-Esado/Filro de Kalman, como efeuado para preços de peróleo e carvão em Pyndick (1999)). Essa abordagem alernaiva corresponderia a inclusão de um componene de endência deerminísico no modelo 1 de Schwarz (1997), sendo possível a esimaiva dos parâmeros a parir de séries de preços spo por inemédio do méodo dos Mínimos Quadrados Não-Lineares e se diferencia fundamenalmene do modelo de Schwarz & Smih (2000) no fao de que nesse úlimo o drif consise de um processo esocáico (MGB). Na sequência (seções e 3.8.2) serão apresenadas as formulações do modelo proposo, bem como os passos para sua discreização e obenção de parâmeros. Na seção são descrios 3 ipos de Medidas de Aderência, que serão uilizadas poseriormene para análise comparaiva dos processos. Na seção será apresenada a base de dados de preços de produos siderúrgicos. Na seção serão apresenados os resulados das esimações dos parâmeros de rês modelos disinos de processos esocáicos: MGB, MRM (modelo 1 de Schwarz (1997)) e a nova abordagem que será denominada de MRM com Tendência. Por fim, ainda na seção 3.8.5, serão apresenados eses comparaivos

27 77 e análises das performances dos 3 modelos na previsão de preços de produos siderúrgicos Proposição de Modelo Nesa seção será proposo um modelo que denominarei Movimeno de Reversão à Média com Tendência. De maneira similar a Pyndick (1999) 1 nese modelo o nível para qual o processo revere é crescene no empo de forma deerminísica. A maior vanagem desa abordagem é a possibilidade da esimação de seus parâmeros a parir de preços spo hisóricos, não havendo a necessidade da uilização modelo Espaço-Esado/Filro de Kalman. Seja S o preço spo da commodiy um processo esocáico cujo logaríimo será denominado Y cuja formulação do diferencial é dada por: dy ( C Y ) d dc dz Onde: C é a endência de longo prazo linear em, deerminisica e não observável de Y ; é o parâmero da velocidade de reversão; é o parâmero da volailidade do processo; dz é um incremeno de Wiener. Como mosrado por Dornier e Queruel (2000), a inclusão do ermo dc se faz necessária para que o processo realmene revera para o nível de equilíbrio de preços C. Ese raameno é análogo ao uilizado por Pyndick (1999). Considerando que C é linear em, emos que dc cd o que possibilia ainda 1 Pyndyck (1999) propõe um modelo de reversão à média para preços de commodiies como peróleo e carvão, cujo nível de equilíbrio do logarimo dos preços apresena uma endência quadráica no empo.

28 78 simplificar a expressão do diferencial de formulação abaixo; Y, conforme demonsrado na dy X d cd dz Onde: X Y C Como Y em disribuição normal com média e variância dadas por: E 0 [ YT ] Var [ Y 0 T e X 0 C0 ] (1 e 2 T ct 2 ) 2 O preço spo S erá, por conseguine, disribuição log-normal, o que implica que seu valor esperado será dado por: E 0 [S T ] = exp(e 0 [Y T ] + ½ Var 0 [Y T ]) E [ S 0 T ] exp e T X 0 C 0 ct 1 (1 2 e 2T 2 ) 2 ou na forma de log: lne 0 [ S T ] e T X 0 C 0 ct 1 (1 2 e 2T 2 ) Modelo Empírico: Discreização, Esimação de Parâmeros e Simulação Neura ao Risco De forma disina aos modelos de Schwarz (1997) e Schwarz & Smih (2000), nos quais os parâmeros foram esimados a parir de preços fuuros de commodiies, por inermédio da aplicação do Filro de Kalman em conjuno com Esimadores de Máxima Verossimilhança, no caso em quesão os parâmeros

29 79 serão esimados pelo méodo dos Mínimos Quadrados Não-Lineares, a parir de preços spo. Os seguines parâmeros deverão ser esimados: C 0 - o valor inicial da endência de longo prazo dos preços; c - o parâmero de drif de C ; ζ - o parâmero da volailidade do processo; κ - o parâmero da velocidade de reversão à média do processo X. Considerando que: c C e X Y C X Y Pode-se chegar às seguines expressões referenes à diferença do logarimo dos preços em empo discreo: c X e Y Y Y 1 1 ) 1 ( c C Y e Y ) 1)( ( 1 1 c c C Y e Y 1)) ( 1)( ( 0 1 c c C Y e Y Y E )) 1 ( 1)( ( ) ( A esimação dos parâmeros, de maneira simulânea, pode ser feia mediane Mínimos Quadrados Não-Lineares (vide, por exemplo, Greene (2000), cap. 10), méodo que é implemenado pela escolha numérica dos valores dos parâmeros que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos. Clarificando: Seja ; ; ; 0 C c o veor de parâmeros do modelo presenes em ) ( 1 Y Y E. A esimaiva de mínimos quadrados de, denoada por ˆ, é, por definição, o pono de mínimo da seguine função:

30 80 n n 2 2 Y E( Y Y 1 ) Q. 2 2 Tal procedimeno, nesa Tese, foi implemenado pelo sofware E-Views ( Por fim, a esimaiva do parâmero da volailidade do processo ζ, pode ser obida direamene do erro padrão da regressão ou por inermédio da expressão: n 2 2 n 2 Y E( Y Y 1 )) 2 n 1 n 1 Para obenção da equação de simulação neura ao risco será necessário esimar o prêmio de risco normalizado do processo do logarimo dos preços (λ) e poseriormene subrai-lo do processo real. A esimação do prêmio de risco pode ser efeuada pelo méodo descrio por Hull (2006) (vide, Hull (2006, cap. 31) e uilizado nos rabalhos de Irwin (2003), Brandão e Saraiva (2007), Blank, Baidya e Dias (2009). O méodo esima o prêmio a parir da correlação dos reornos do aivo e dos reornos do mercado, da volailidade dos reornos do aivo, volailidade dos reornos do mercado e do prêmio de risco de mercado, conforme demonsrado na equação apresenada a seguir: i, m i i m m Onde: i é o prêmio de risco do processo de preços do aivo i; i,m é a correlação dos reornos do aivo i com mercado; i é a volailidade dos reornos do aivo i; m é a volailidade dos reornos do mercado; m é o prêmio de risco do mercado.

31 81 será dada por: De posse dos parâmeros esimados a simulação neura ao risco do modelo S exp X 2 k 1 e 1e C 1 c (1 e ) N (0,1) 2 Onde: é o prêmio de risco normalizado Medidas de Aderência Para análise comparaiva do MRM com Tendência com ouros modelos mais comumene uilizados na avaliação de opções reais MGB e MRM podem ser uilizadas Medidas de Aderência denro da amosra, que parem dos resulados esimados um passo à frene dos modelos e das observações das séries de preços correspondenes. Sugere-se a uilização de 3 meodologias: Pseudo R 2, Erro Médio Quadráico (EQM) e Erro Percenual Absoluo Médio (MAPE). O Pseudo R 2 consise do quadrado da correlação enre os valores das séries de preço e as previsões um passo à frene esimadas correspondenes ao mesmo período das observações de preço. Valores maiores (mais próximos a 1) do Pseudo R 2 indicam em ese uma maior aderência do modelo esado. A formulação do Pseudo R 2 é dada por: S, E( S S )) 2 2 Pseudo R ( 1 Onde: ( a, b) - correlação enre a e b; S - observações da série de preços; E( S S 1) - valores esimados um passo à frene das observações de preço.

32 82 A segunda medida de aderência proposa é o Erro Médio Quadráico, que consise da média dos quadrados da diferença enre os valores esimados um passo à frene e o valor real das observações da série de preços. Menores valores enconrados para o EQM indicariam uma melhor capacidade prediiva do modelo esado. A formulação do EQM é dada por: EQM Onde: Média 2 S E( S S1) EQM - Erro Médio Quadráico S - observações da série de preços; E( S S 1) - valores esimados um passo à frene das observações de preço. A erceira medida de aderência proposa é o e Erro Percenual Absoluo Médio, que consise da média dos módulos das diferenças dos valores esimados um passo à frene e os valores reais das observações da série de preços padronizados pelos valores reais das observações da série de preços. De forma similar ao EQM, menores valores enconrados para o MAPE indicariam uma melhor capacidade prediiva do modelo esado. A formulação do MAPE é dada por: MAPE Média S E( S S 1) S Onde: MAPE - Erro Percenual Absoluo Médio S - observações da série de preços; E ( S S 1) - valores esimados um passo à frene das observações de preço.

33 jan/00 jan/01 jan/02 jan/03 jan/04 jan/05 jan/06 jan/07 jan/08 jan/ Descrição da Base de Dados A base de dados para eses do modelo proposo consise de séries hisóricas de índices mensais de preços spo do aço obidas juno ao IBS e à Bloomberg. As informações obidas juno ao IBS compreendem o período que vai de janeiro de 2000 a abril de 2009 e são referenes a 6 ipos disinos de índices de produos siderúrgicos comercializados no Brasil: Aços Planos Não Revesidos; Placas de Aço; Perfis de Aço; Lingoes, Blocos e Tarugos; Barras de Aço; Aços Planos Revesidos. Os valores dos 6 índices analisados podem ser visos no gráfico 15: 600 Índices de Preços do Aço - IBS - Jan/2000 a Abr/ Aços Planos Revesidos Lingoes, Blocos e Tarugos Placas de Aço Barras de Aço Perfis de Aço Aços Planos Não Revesidos Gráfico 15 - Índices de Preços do Aço no Período de Jan/2000 a Abr/2009. Fone: IBS, elaborado pelo auor. Para obenção de reornos em ermos reais, as 6 séries do IBS de índices foram deflacionadas pelo IGP-DI, conforme pode ser observado no gráfico 16:

34 84 Índices de Preços do Aço - IBS - corrigidos pelo IGP-DI Jan/2000 a Abr/ ,0 250,0 200,0 150,0 100,0 50,0 - ago/00 abr/01 Aços Planos Revesidos Lingoes, Blocos e Tarugos Placas de Aço dez/01 ago/02 abr/03 dez/03 ago/04 abr/05 dez/05 Barras de Aço ago/06 abr/07 dez/07 ago/08 Perfis de Aço Aços Planos Não Revesidos Gráfico 16 - Índices de Preços do Aço deflacionados pelo IGP-DI no Período de Jan/2000 a Abr/2009 Fone: IBS e BACEN, elaborado pelo auor. As informações obidas juno ao Bloomberg compreendem um período mais longo que vai de janeiro de 1996 a dezembro de 2009 e são referenes ao índice de Placas de Aço comercializado na América Laina. Os valores hisóricos (nominais e deflacionados) do índice analisado podem ser visos nos gráficos 17 e 18: Placas Índice de Preços Placas Aço - Bloomberg Jan/1996 a Dez/ jan/96 ago/96 mar/97 ou/97 mai/98 dez/98 jul/99 fev/00 se/00 abr/01 nov/01 jun/02 jan/03 ago/03 Placas mar/04 ou/04 mai/05 dez/05 jul/06 fev/07 se/07 abr/08 nov/08 jun/09 Gráfico 17 - Índice de Preços Placas de Aço no Período de Jan/1996 a Dez/2009. Fone: Bloomberg, elaborado pelo auor.

35 85 Índice de Preços Placas de Aço - Bloomberg - corrigido pelo IGP-DI Jan/1996 a Dez/ jan/96 ago/96 mar/97 ou/97 mai/98 dez/98 jul/99 fev/00 se/00 abr/01 nov/01 jun/02 jan/03 ago/03 Placas mar/04 ou/04 mai/05 dez/05 jul/06 fev/07 se/07 abr/08 nov/08 jun/09 Gráfico 18 - Índice de Preços Placas de Aço deflacionado pelo IGP-DI no Período de Jan/1996 a Dez/2009. Fone: Bloomberg e BACEN, elaborado pelo auor Resulados Empíricos: Parâmeros Esimados, Teses do Processo e Análise dos Resulados Como aplicação da meodologia proposa na seção foram esimados os parâmeros do Modelo de Reversão à Média com Tendência uilizando as séries de preços deflacionadas dos 6 índices de preços de aços disponíveis. Adicionalmene, uilizando a mesma base de dados, foram esimados os parâmeros supondo que os preços do aço se comporam como MGB e MRM (Modelo 1 de Schwarz (1997)), permiindo que fossem efeuadas comparações enre os 3 modelos analisados. Uilizando as séries de log-reornos dos 6 ipos de aços com índices preços deflacionados do IBS, foram esimados os parâmeros do drif (μ ζ 2 /2) e volailidade (ζ) supondo que os preços do aço seguissem um MGB. Na sequência, supondo que os preços seguissem um MRM (Modelo 1 de Schwarz (1997)) foram esimados os parâmeros (em ermos anuais): velocidade de reversão (κ), volailidade (ζ), média de longo prazo dos log-reornos (α) e meia vida do processo (H). Foi aplicado ambém o Tese de Dickey-Fuller Aumenado com Tendência a parir da regressão dos log-reornos (ΔlnS ) sobre os log dos preços defasados (lns -1 ). Os resulados obidos esão apresenados na abela 13.

36 86 Tabela 13 - Parâmeros dos Modelos MGB e MRM esimados a parir das séries de Índices de Preços do Aço (IBS) deflacionados pelo IGP-DI no Período de Jan/2000 a Abr/2009. MGB MRM Tese Dickey-Fuller Tipos de Aço μ-σ 2 /2 σ κ α σ H Sa Planos Revesidos 2,59% 8,01% 0,1940 0,0775 8,10% 3,57-2,800 Barras 3,74% 13,71% 0,3997 0, ,90% 1,73-1,747 Ling., Blocos e Tarugos 5,06% 19,83% 0,4016 0, ,11% 1,73-1,399 Perfis 4,74% 9,30% 0,1285 0,0544 9,42% 5,39-3,129 Placas 7,27% 34,32% 0,6699 0, ,10% 1,03-3,313 Planos Não Revesidos 5,56% 9,84% 0,1803 0,0770 9,94% 3,84-1,267 Fone: Elaborado pelo auor. Considerando um nível de significância de 90%, valores inferiores a para esaísica T (Sa T) sugeririam a rejeição da hipóese nula (Ho), caso não ocorrido em 5 das 6 séries esadas. A exceção foi obida no ese efeuado nas séries de placas de aço, produo com menor nível de valor agregado e diferenciação de odos os casos analisados e ambém que apresena o maior parâmero de velocidade de reversão à média (Gráfico 19). Log dos Preços da Série de Placas de Aço (IBS) Jan/2000 a Abr/2009 5,8 5,6 5,4 5,2 5 4,8 4,6 4,4 4, Gráfico 19 - Log dos Preços da Série de Placas de Aço (IBS) deflacionada pelo IGP-DI no Período de Jan/2000 a Abr/2009. Fone: Fone: Elaborado pelo auor. Aplicando a meodologia proposa na seção nas 6 séries deflacionadas de índices de preços de aços do IBS disponíveis, foram esimados os parâmeros em ermos anuais do Modelo de Reversão à Média com Tendência: o valor inicial da endência de longo prazo (C 0 ) o drif da endência de longo prazo dos preços (c), a velocidade de reversão (κ), a volailidade (ζ) e a meia vida do processo (H).

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