AVALIAÇÃO DE OPÇÕES AMERICANAS DE TAXA DE JURO: O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS DE MONTE CARLO

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1 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSIUO COPPEAD DE ADMINISRAÇÃO CLAUDIA DOURADO CESCAO AVALIAÇÃO DE OPÇÕES AMERICANAS DE AXA DE JURO: O MÉODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS DE MONE CARLO RIO DE JANEIRO 008

2 11 AVALIAÇÃO DE OPÇÕES AMERICANAS DE AXA DE JURO: O MÉODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS DE MONE CARLO Claudia Dourado Cescao Disseração de Mesrado apresenada ao Insiuo COPPEAD de Adminisração, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como pare dos requisios necessários à obenção do íulo de Mesre em Ciências (M. Sc.) Orienador: Eduardo Facó Lemgruber Rio de Janeiro Ouubro de 008

3 1 Cescao, Claudia Dourado. Avaliação de opções americanas de axa de juro: o méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo / Claudia Dourado Cescao. Rio de Janeiro, f.: il Disseração (Mesrado em Adminisração) Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, Insiuo COPPEAD de Adminisração, 008. Orienador: Eduardo Facó Lemgruber. 1. Opções Americanas.. axa de Juro. 3. Finanças eses. I. Lemgruber, Eduardo Facó. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Insiuo COPPEAD de Adminisração. III. íulo.

4 13 AVALIAÇÃO DE OPÇÕES AMERICANAS DE AXA DE JURO: O MÉODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS DE MONE CARLO Claudia Dourado Cescao Disseração de Mesrado submeida ao Insiuo COPPEAD de Adminisração, da Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, como pare dos requisios necessários à obenção do íulo de Mesre em Ciências (M. Sc.) Aprovado por: Prof. Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D. (COPPEAD/UFRJ) Prof. Eduardo Saliby, Ph.D. (COPPEAD/UFRJ) Prof. Claudio Barbedo, D.Sc. (COPPEAD/UFRJ) Rio de Janeiro 008

5 14 Aos meus queridos pais, Sergio e Naly

6 15 AGRADECIMENOS Ao meu orienador Eduardo Facó Lemgruber, pelo apoio, orienação e ensinamenos ransmiidos durane a realização dessa pesquisa. Aos professores Eduardo Saliby e Claudio Barbedo, pelas críicas e sugesões que muio conribuíram para o enriquecimeno desse rabalho. Ao Banco Cenral do Brasil, que me deu a oporunidade de realizar o mesrado, e ao meu orienador écnico João Maurício de Souza Moreira, pelo auxílio e incenivo ao longo do curso. Aos meus familiares e amigos, pelo carinho e companheirismo.

7 16 RESUMO CESCAO, Claudia Dourado. Avaliação de Opções Americanas de axa de Juro: o Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo. Rio de Janeiro, 008. Disseração (Mesrado em Adminisração) Insiuo COPPEAD de Adminisração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 008. O presene esudo em o propósio de verificar a eficácia e a aplicabilidade do méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo na avaliação de opções americanas de axa de juro. Os resulados enconrados sugerem que esse méodo é uma alernaiva promissora de avaliação de opções de renda fixa com possibilidade de exercício anecipado, pois fornece esimaivas precisas e muio próximas dos resulados da aplicação do modelo binomial. Além disso, verificou-se que, uma vez implemenada, essa écnica pode ser facilmene adapada para acomodar diferenes dinâmicas de axa de juro. al flexibilidade evidencia a imporância do méodo para a avaliação de opções e derivaivos sujeios ao risco de mercado, uma vez que não há consenso enre os agenes financeiros sobre as dinâmicas que devem ser uilizadas para modelar o comporameno da axa de juro. Palavras-chave: Opções Americanas. axa de Juro. Simulação.

8 17 ABSRAC CESCAO, Claudia Dourado. Ineres Rae American Opion Valuaion: Leas- Squares Mone Carlo Mehod. Rio de Janeiro, 008. Disseração (Mesrado em Adminisração) Insiuo COPPEAD de Adminisração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 008. he purpose of his sudy is o verify he efficiency and applicabiliy of Leas- Squares Mone Carlo mehod for pricing ineres rae american opions. Resuls sugges his echnique is a promising alernaive o evaluae fixed income american opions, because i provides accurae esimaes which have proven o be very close o resuls provided by binomial ree. Besides ha, acual implemenaion showed his mehod can be easily adaped o accep differen ineres rae models. his flexibiliy shows he imporance of his mehod for pricing opions and derivaives subjec o marke risk, since here is no consensus beween financial agens abou which processes mus be used o model ineres rae behavior. Keywords: American Opions. Ineres Rae. Simulaion.

9 18 SUMÁRIO 1 INRODUÇÃO MOIVAÇÃO OBJEIVOS DA PESQUISA...1 REVISÃO DE LIERAURA OPÇÕES DE AXA DE JURO MODELOS DE ESRUURA A ERMO DA AXA DE JURO Modelo Rendleman e Barer Modelo Vasicek Modelo Cox, Ingersoll e Ross....3 O MODELO BINOMIAL E A SUA UILIZAÇÃO NA AVALIAÇÃO DE... OPÇÕES DE AXA DE JURO Árvore Binomial do Modelo Rendleman e Barer Árvore Binomial do Modelo Vasicek Árvore Binomial do Modelo CIR O MÉODO DE MONE CARLO E A SUA UILIZAÇÃO NA AVALIAÇÃO... DE OPÇÕES COM POSSIBILIDADE DE EXERCÍCIO ANECIPADO MEODOLOGIA O MÉODO DE MONE CARLO Apresenação do Méodo de Mone Carlo Roeiro Uilizado na Avaliação das Opções Européias de axa de Juro...57

10 19 3. O MÉODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS DE MONE CARLO Apresenação do Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo Exemplo Simplificado Roeiro Uilizado na Avaliação das Opções Americanas de axa de Juro RESULADOS OPÇÕES EUROPÉIAS DE AXA DE JURO Opções de Compra Opções de Venda OPÇÕES AMERICANAS DE AXA DE JURO Opções de Compra Opções de Venda Análise das Esaísicas das Regressões Efeuadas pelo... Méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo CONCLUSÃO...96 REFERÊNCIAS...99 ANEXO I...10 ANEXO II ANEXO III ANEXO IV...107

11 0 1 INRODUÇÃO 1.1 MOIVAÇÃO Diariamene, surgem nos mercados financeiros produos cada vez mais complexos e sofisicados, muias vezes de difícil avaliação. Esão incluídos nessa caegoria os diversos insrumenos financeiros que possuem opções de resgae anecipado, ais como os CDBs com liquidação anecipada, os bônus de execuivos e as debênures com opções de resgae. Apesar da crescene variedade de produos que coném opções de resgae americanas ou bermudas, não exise uma fórmula fechada para o apreçameno dessas opções e poucas écnicas de avaliação são capazes de lidar com elas de forma saisfaória. A valoração de opções com possibilidade de exercício anecipado ainda é uma quesão não resolvida na área de Finanças, especialmene quando o valor dessas opções é impacado por mais de um faor de risco. Esse é o caso, por exemplo, de uma opção americana sobre uma ação, quando se considera que a axa de juro é variável. Apesar da axa de juro de curo prazo ser reconhecida como um faor de risco que afea o valor de grande pare dos insrumenos negociados no mercado, muios agenes financeiros desconsideram o impaco das suas oscilações na avaliação de opções. O problema é que, quando se considera a premissa mais realisa de que a axa de juro é variável, grande pare das opções exisenes no mercado passa a depender de dois ou mais faores de risco, o que exige écnicas de avaliação mais flexíveis.

12 1 Para que o risco de axa de juro seja realmene considerado no apreçameno de opções, cresce em imporância o esudo de ferramenas de avaliação flexíveis, capazes de lidar não apenas com a possibilidade de exercício anecipado como com vários faores de risco e diversos ipos de processos esocásicos. Uma dessas ferramenas é a écnica de simulação de Mone Carlo, que se desaca dos demais méodos numéricos por suporar nauralmene múliplos faores esocásicos sem perder eficiência compuacional. No modelo binomial, por exemplo, é praicamene inviável lidar com rês ou mais faores de risco, uma vez que o número de nós da árvore binomial cresce exponencialmene com o número de faores. No méodo de Mone Carlo, a axa de convergência independe do número de faores esocásicos, o que explica a adequação dessa écnica aos problemas de avaliação de opções com vários componenes de risco. A flexibilidade do méodo de Mone Carlo orna-o basane úil não só à avaliação de opções de axa de juro como a qualquer opção sujeia ao risco de mercado, uma vez que não há consenso enre acadêmicos e paricipanes do mercado sobre os processos esocásicos que devem ser uilizados para modelar o comporameno da axa de juro. De acordo com Boyle (1977), a flexibilidade desse méodo é ão grande que, uma vez implemenado, pode ser facilmene adapado para acomodar diferenes processos esocásicos do aivo-objeo. al flexibilidade não é enconrada no modelo binomial e em ouros méodos numéricos. O propósio desse esudo é verificar a eficácia do méodo de Mone Carlo na avaliação de opções européias e americanas de axa de juro. No segundo caso, não será

13 uilizado apenas o méodo de Mone Carlo, mas uma meodologia que conjuga a écnica de simulação de Mone Carlo com um algorimo de oimização baseado em regressão: o méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo. A avaliação de opções de renda fixa exige a seleção de um modelo que represene o comporameno da axa de juro. Nessa pesquisa, serão uilizadas rês dinâmicas já consagradas e basane uilizadas no mercado inernacional: os modelos Rendleman e Barer, Vasicek e CIR. O presene esudo não se propõe a criicar as caracerísicas dessas dinâmicas, uma vez que não exise um modelo ideal, mas o melhor modelo para uma deerminada aplicação em uma deerminada época (Rebonao, 1998). Dessa forma, o moivo da uilização, no presene esudo, das dinâmicas mencionadas é verificar a eficácia do méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo sob diferenes dinâmicas de comporameno da axa de juro. 1. OBJEIVOS DA PESQUISA O objeivo principal dessa pesquisa é verificar a eficácia do méodo dos Mínimos Quadrados de Mone Carlo na avaliação de opções americanas de axa de juro, aravés da comparação das esimaivas fornecidas pelo referido méodo com os resulados da aplicação do modelo binomial. A pesquisa ambém em o propósio de explicar como o méodo de Mone Carlo pode ser uilizado para avaliar opções de axa de juro com ou sem possibilidade de exercício anecipado.

14 3 REVISÃO DE LIERAURA Ese capíulo esá esruurado da seguine forma: a Seção.1 inroduzirá o conceio de opção de axa de juro; a Seção. abordará os modelos de comporameno de axa de juro uilizados nesse esudo; a Seção.3 apresenará o modelo binomial e a sua uilização na avaliação de opções de axa de juro e a Seção.4 abordará a écnica de simulação de Mone Carlo e a sua uilização na avaliação de opções com possibilidade de exercício anecipado..1 OPÇÕES DE AXA DE JURO Opções de axa de juro são insrumenos cujos payoffs dependem de alguma forma do nível da axa de juro. Um exemplo desse ipo de derivaivo é uma opção embuida em um íulo de renda fixa, cujo preço reflee a expecaiva do comporameno fuuro de uma pare da esruura a ermo da axa de juro, mais precisamene o período enre o vencimeno da opção e o vencimeno do íulo. De acordo com Hull (003), as opções de axa de juro são mais difíceis de avaliar em comparação às opções de ações, porque o comporameno da axa de juro é mais complexo do que o comporameno do preço de uma ação. Além disso, a avaliação de muias dessas opções exige a escolha de um modelo que represene o comporameno da axa de juro. Segundo Vieira Neo (1999), a modelagem de insrumenos de renda fixa possui caracerísicas próprias que a disinguem da modelagem de ações, moeda esrangeira e commodiies. Essas caracerísicas são resumidas a seguir:

15 4 a) As axas de juro endem a apresenar reversão à média, ou seja, endem a reornar para um esado de equilíbrio. al endência enconra respaldo na eoria econômica, na medida em que forças políicas e econômicas pressionam as axas de juro para baixo sempre que elas aingem paamares excessivamene alos e, consequenemene, provocam impacos negaivos sobre o défici público, o consumo agregado e o nível de emprego. A mesma lógica opera, com senido inverso, no caso de axas de juro excessivamene baixas. b) Ao conrário da modelagem do preço de uma única ação, commodiy ou axa de câmbio, os modelos de axa de juro cosumam englobar a descrição do processo esocásico de oda uma curva de juros, devido à enorme variedade de prazos de vencimeno de íulos exisene no mercado. Cabe ressalar que o formao dessa curva de juros pode mudar com o passar do empo. c) As volailidades nos diversos ponos da esruura a ermo da axa de juro (vérices) cosumam diferir; e as correlações enre os diferenes vérices de axa de juro não são perfeias, decrescendo na medida em que aumena a disância enre os mesmos. d) Ao conrário do preço de ações, commodiies e moedas esrangeiras, o preço de um íulo de renda fixa possui valor fixo e conhecido em sua daa de vencimeno. Em qualquer modelo de axa de juro, o processo esocásico seguido pelos preços dos íulos em que aender a essa caracerísica básica, além de ser sempre posiivo.

16 5. MODELOS DE ESRUURA A ERMO DA AXA DE JURO De acordo com Vieira Neo (1999), os modelos de esruura a ermo da axa de juro se enquadram em duas abordagens: direa e indirea. Os modelos de abordagem direa parem da especificação direa do processo esocásico dos preços dos íulos primários, ao invés de derivarem ese processo de conceios mais primiivos, ais como a axa de juro de curo ou a relação de preferência dos agenes econômicos. Quano aos modelos de abordagem indirea, parem da especificação do processo esocásico seguido pela axa de juro de curo prazo ou pela axa forward. Segundo Vieira Neo, a maior pare dos modelos de esruura a ermo uiliza-se da abordagem indirea, que se subdivide em duas classes: modelos indireos endógenos (ou modelos de equilíbrio) e modelos indireos exógenos (ou modelos de nãoarbiragem). Nos modelos indireos endógenos, a esruura a ermo da daa correne e os preços dos íulos são obidos, endogenamene, como função dos parâmeros do processo da axa de juro de curo prazo e do valor correne dessa variável. Exemplos conhecidos de modelos que perencem a essa classe são as dinâmicas Rendleman e Barer (1980), Vasicek (1977) e CIR (1985), que serão abordadas nesse esudo. Já os modelos indireos exógenos omam a esruura a ermo inicial como um dado, ao invés de a derivarem. Nesses modelos, o processo da axa de juro de curo prazo é escolhido de al forma que a curva de juros relaiva à daa correne gerada pelo modelo seja exaamene igual àquela observada no mercado. Alguns exemplos de modelos de nãoarbiragem são os modelos Ho-Lee (1986) e Hull-Whie (1990).

17 6 Os primeiros modelos de axa de juro apresenados na lieraura foram os modelos de equilíbrio, denre os quais se desacam os modelos Vasicek e CIR. De acordo com Brigo e Mercurio (001), o sucesso dos modelos de equilíbrio foi em grande pare ocasionado pela possibilidade de avaliação analíica de alguns insrumenos financeiros, ais como íulos de renda fixa e opções européias de axa de juro. Apesar de erem alcançado uma enorme popularidade, esses modelos produzem uma esruura a ermo de axa de juro endógena, que não é compaível com a esruura a ermo observada no mercado, uma vez que o reduzido número de parâmeros exisene nesses modelos é insuficiene para reproduzir de forma saisfaória a esruura a ermo correne. A parir da década de 80, alguns modelos de equilíbrio começaram a ser ransformados em modelos de não-arbiragem. Segundo Brigo e Mercurio, a esraégia básica uilizada pelos pesquisadores para ransformar um modelo de axa de juro endógeno em um modelo exógeno é a inclusão de parâmeros dependenes do empo na endência do processo. Hull e Whie (1990) uilizaram essa esraégia no desenvolvimeno dos modelos Vasicek Esendido e CIR Esendido, nos quais a endência da axa de juro é uma função do empo. Em 199, Heah, Jarrow e Moron (HJM) desenvolveram um sisema (framework) para a modelagem da esruura a ermo genérico e promissor, no qual a principal variável de esado é a axa forward insanânea, ao invés da axa de juro de curo prazo. O sisema HJM ornou-se popular no mercado, graças à sua capacidade de acomodar simulaneamene um grande número de íulos e axas forward com esruuras de volailidade e vencimenos disinos, que não eram suporados pelos modelos aneriores. De acordo com Brigo e Mercurio, no sisema HJM, as dinâmicas das axas

18 7 forward são compleamene especificadas pelas suas funções de volailidade. Dessa forma, o comporameno dos preços dos íulos na medida neura ao risco não depende da endência das axas forward, mas apenas da volailidade dessas axas. Segundo Brigo e Mercurio, a imporância do modelo HJM esá no fao de que qualquer modelo de esruura a ermo exógeno pode ser derivado a parir do sisema HJM, ou seja, odo modelo de não-arbiragem é um modelo HJM. Os auores mosraram que o modelo Vasicek Esendido é equivalene ao modelo HJM com um faor em que a volailidade da axa forward é uma função com decaimeno exponencial. Chiarella e Kwon (1998) provaram que os modelos CIR Esendido, Black-Karasinski e Hull-Whie com dois faores são casos especiais do modelo HJM. De acordo com esses auores, a derivação de modelos de axa de juro a parir do sisema HJM não apenas fornece uma melhor compreensão dos parâmeros do modelo, como ambém resula em dinâmicas auomaicamene ajusadas à esruura a ermo correne...1 Modelo Rendleman e Barer No modelo Rendleman e Barer, a dinâmica de comporameno da axa de juro de curo prazo na medida neura a risco (Q) é o movimeno geomérico Browniano, represenado pela seguine equação diferencial esocásica: dr µ rd + σrdz ( 1) Onde: r é a axa de juro de curo prazo; d é o inervalo de empo infiniesimal;

19 8 µ é o parâmero de endência (drif) da dinâmica; σ é o parâmero de volailidade da dinâmica; e dz é o componene aleaório, reirado de uma disribuição Normal com média zero e variância d (processo de Wiener). A Figura 1 mosra o gráfico de uma única rajeória e o gráfico da média de rajeórias da axa de juro de curo prazo no modelo Rendleman e Barer, considerando-se que o parâmero de volailidade (σ) é igual a 0% a.a., o parâmero de endência é igual a % a.a. (σ /), a axa de juro de curo prazo correne é igual 15% a.a. (capialização conínua) e o inervalo de empo é igual a 0,001 ano. Figura 1 Exemplo de uma única rajeória e gráfico da média de rajeórias da axa de juro de curo prazo no modelo Rendleman e Barer, considerando-se que o parâmero de volailidade (σ) é igual a 0% a.a., o parâmero de endência é igual a % a.a. (σ /), a axa de juro de curo prazo correne é igual 15% a.a. (capialização conínua) e o inervalo de empo é igual a 0,001 ano axa de Juro de Curo Prazo (% a.a.) empo (anos)

20 9.. Modelo Vasicek No modelo Vasicek, o processo da axa de juro de curo prazo na medida neura a risco (Q) é represenado pela seguine equação diferencial esocásica: dr a( b r) d + σdz () Onde: r é a axa de juro de curo prazo; d é o inervalo de empo infiniesimal; b é uma consane que represena a axa de juro de longo prazo; a é uma consane que represena a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo; σ é o parâmero de volailidade da dinâmica; e dz é o componene aleaório, reirado de uma disribuição Normal com média zero e variância d (processo de Wiener). O modelo Vasicek incorpora o fenômeno de reversão à média, ou seja, quando a axa de juro de curo prazo fica abaixo da axa de juro de longo prazo, o ermo (b r) se orna posiivo, o que faz com que a axa de juro de curo prazo vole a se aproximar da axa média de longo prazo. Analogamene, quando a axa de juro de curo prazo fica acima da axa de juro de longo prazo, é auomaicamene reverida para a axa média de longo prazo. Uma peculiaridade do modelo Vasicek é que ele permie que as axas de juro se ornem negaivas. Jamshidian (1989) propôs as seguines fórmulas de

21 cálculo para os prêmios das opções européias sobre um íulo de renda fixa sem cupom com base no modelo Vasicek: 30 c p [ VF. F (, ). N ( d ) K. N ( )] P( 0, ) 0 1 d [ K. N ( d ) VF. F (, ). N ( )] P( 0, ) 0 d1 (3) (4) d d 1 [ VF. F (, ) / K ] P P ln 0 + σ / (5) σ [ VF. F (, ) / K ] ln 0 σ P / d1 σ P. a. a.( (1 e ) P (1 e ) σ σ ). (7) a. a σ P (6) P(, ) B(, ). r( ) A(, ). e (8) 1 e B(, ) a a.( ) ( B(, ) A(, ) exp (9) + )( a a. b σ / ) σ. B(, ) 4. a ) ( 10) Onde: c é o prêmio da opção de compra; p é o prêmio da opção de venda; é o prazo de vencimeno da opção; é o prazo de vencimeno do íulo; VF é o valor de face do íulo;

22 31 P(,) é o preço, no insane, de um íulo sem cupom com valor de face igual a $1 e vencimeno em ; P(0,) é o preço correne de um íulo sem cupom com valor de face igual a $1 e vencimeno em ; F0(, ) é o preço forward de um íulo sem cupom com valor de face igual a $1 com início em e vencimeno em ; N(x) é a função de disribuição acumulada Normal padrão; K é o preço de exercício da opção; a é a consane que represena a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo; b é a consane que represena a axa de juro de longo prazo; e σ é o parâmero de volailidade da dinâmica. A Figura mosra o gráfico de uma única rajeória e o gráfico da média de rajeórias da axa de juro de curo prazo no modelo Vasicek, considerando-se que: o parâmero de volailidade é igual a 0% a.a.; a axa de juro de longo prazo é igual a 15% a.a. (capialização conínua); a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de longo prazo é igual a 80%; a axa de juro de curo prazo correne é igual 15% a.a. (capialização conínua) e o inervalo de empo é igual a 0,001 ano.

23 Figura Exemplo de uma única rajeória e gráfico da média de rajeórias da axa de juro de curo prazo no modelo Vasicek, considerando-se que: o parâmero de volailidade é igual a 0% a.a.; a axa de juro de longo prazo é igual a 15% a.a. (capialização conínua); a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de longo prazo é igual a 80%; a axa de juro de curo prazo correne é igual 15% a.a. (capialização conínua) e o inervalo de empo é igual a 0,001 ano 3 axa de Juro de Curo Prazo (% a.a.) empo (anos)..3 Modelo Cox, Ingersoll e Ross No modelo Cox, Ingersoll e Ross (CIR), o processo da axa de juro de curo prazo na medida neura a risco (Q) obedece a seguine equação diferencial esocásica: dr a( b r) d + σ rdz (11) Onde: r é a axa de juro de curo prazo; d é o inervalo de empo infiniesimal; b é uma consane que represena a axa de juro de longo prazo;

24 33 a é uma consane que represena a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo; σ é o parâmero de volailidade da dinâmica; e dz é o componene aleaório, reirado de uma disribuição Normal com média zero e variância d (processo de Wiener). O modelo CIR é uma exensão do modelo Vasicek, e êm sido uma referência há muios anos por ser raável analiicamene e por impedir que as axas de juros se ornem negaivas. Nese modelo, o componene de volailidade é proporcional a r. Dessa forma, quando a axa de juro se aproxima de zero, o componene de volailidade ambém se aproxima de zero, cancelando o efeio da aleaoriedade e assegurando que as axas de juros permaneçam posiivas. Oura caracerísica relevane desse modelo é que ele incorpora o fenômeno de reversão à média, da mesma forma que o modelo Vasicek. Cox, Ingersoll e Ross (1985) apresenaram as seguines fórmulas de cálculo para os prêmios das opções européias sobre um íulo de renda fixa sem cupom com base no modelo CIR: c VF. P(0, ). F0 (, ). χ ( p1, p, p3) X. P(0, ). χ ( p4, p5, p6 ) (1) p VF. P(0, ). F0 (, ).[ χ ( p1, p, p3) 1] X. P(0, ).[ χ ( p4, p5, p6 ) 1] (13) P(, ) B(, ). r ( ) A(, ). e (14) h.( ).( e 1) B(, ) h.( ) h + ( a + h).( e 1) (15)

25 34 A(, ). h. e h + ( a + h).( e ( a+ h).( h.( ) ) / 1) ab / σ (16) h a +. σ ( 17) p. r *.( ρ + ψ + B(, )) (18) 1 r * ln( A(, ) / B(, ) X ) (19) ρ. h h.( σ.( e ) 1) a + h ψ σ 4. a. b p σ p 3 (1) () h.( ). ρ. r0. e ρ + ψ + B(, ) (0) (3) p. r *.( ρ + ) ( 4) 4 ψ p p 5 4. a. b σ (5) p 6 h.(. ρ. r0. e ρ + ψ ) (6) Onde: c é o prêmio da opção de compra; p é o prêmio da opção de venda; é o prazo de vencimeno da opção;

26 35 é o prazo de vencimeno do íulo; VF é o valor de face do íulo; P(,) é o preço, no insane, de um íulo sem cupom com valor de face igual a $1 e vencimeno em ; P(0,) é o preço correne de um íulo sem cupom com valor de face igual a $1 e vencimeno em ; F0(, ) é o preço forward de um íulo sem cupom com valor de face igual a $1 com início em e vencimeno em ; χ é a função de disribuição acumulada Qui-quadrada não cenralizada; X é o preço de exercício da opção; a é a consane que represena a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo; b é a consane que represena a axa de juro de longo prazo; σ é o parâmero de volailidade da dinâmica; r 0 é o valor da axa de juro de curo prazo no período zero; e r* é o valor críico da axa de juro de curo prazo, abaixo do qual a opção de compra é exercida. A Figura 3 mosra o gráfico de uma única rajeória e o gráfico da média de rajeórias da axa de juro de curo prazo no modelo CIR, considerando-se que: o parâmero de volailidade é igual a 0% a.a.; a axa de juro de longo prazo é igual a 15% a.a. (capialização conínua); a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de longo prazo é igual a 80%; a axa de juro de curo prazo correne é igual 15% a.a. (capialização conínua) e o inervalo de empo é igual a 0,001 ano.

27 Figura 3 Exemplo de uma única rajeória e gráfico da média de rajeórias da axa de juro de curo prazo no modelo CIR, considerando-se que: o parâmero de volailidade é igual a 0% a.a.; a axa de juro de longo prazo é igual a 15% a.a. (capialização conínua); a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de longo prazo é igual a 80%; a axa de juro de curo prazo correne é igual 15% a.a. (capialização conínua) e o inervalo de empo é igual a 0,001 ano 36 axa de Juro de Curo Prazo (% a.a.) empo (anos).3 O MODELO BINOMIAL E A SUA UILIZAÇÃO NA AVALIAÇÃO DE OPÇÕES DE AXA DE JURO Os primeiros acadêmicos que uilizaram o modelo binomial para avaliar opções de axa de juro foram Rendleman e Barer (1980). Os auores aplicaram esse modelo na avaliação de opções européias e americanas sobre íulos de renda fixa, com base na premissa de que a axa de juro segue um movimeno geomérico browniano. Dez anos mais arde, Nelson e Ramaswamy (1990) apresenaram a écnica da árvore binomial como uma ferramena úil à avaliação de opções de axa de juro, já que poderia ser aplicada a odas as dinâmicas comumene uilizadas em modelos financeiros.

28 37 A écnica de consrução de árvores binomiais desenvolvida por Nelson e Ramaswamy é baseada nos esudos de Cox e Ross (1976). Apesar de não erem sugerido que o modelo binomial poderia ser uilizado para avaliar opções de axa de juro, Cox e Ross mosraram que esse modelo é um méodo versáil de avaliação de opções, pois é compaível com diversos processos esocásicos. Os auores publicaram uma abordagem genérica do modelo binomial, na qual apresenaram fórmulas gerais de cálculo para a probabilidade e magniude do movimeno muliplicaivo de subida do aivo-objeo, que poderiam ser aplicadas a uma enorme variedade de processos esocásicos. Aé a década de 80, a abordagem genérica de consrução de árvores binomiais proposa por Cox e Ross era considerada pouco úil à avaliação de opções de axa de juro. O moivo é que essa abordagem gerava, muias vezes, árvores binomiais nãorecombinanes, uma vez que grande pare das dinâmicas de axa de juro não apresena uma volailidade consane. 1 Como a quanidade de nós de uma árvore binomial nãorecombinane cresce exponencialmene, ela se orna um fardo do pono de visa compuacional e, consequenemene, um méodo ineficaz para avaliar opções de axa de juro. Aravés do desenvolvimeno de uma solução definiiva para o problema das árvores binomiais não-recombinanes, Nelson e Ramaswamy forneceram uma enorme conribuição para que o modelo binomial se ornasse uma ferramena de avaliação de opções de axa de juro práica e eficaz. Aravés da elaboração de uma écnica genérica 1 Árvores binomiais não-recombinanes são aquelas em que os ramos não se reconecam, ou seja, um movimeno de subida seguido por um movimeno de descida da axa de juro não gera o mesmo valor que um movimeno de descida seguido por um movimeno de subida da axa de juro.

29 38 de consrução de árvores binomiais recombinanes, os auores provaram que o modelo binomial pode ser aplicado a odas as dinâmicas geralmene uilizadas para modelar o comporameno da axa de juro, ais como os modelos Vasicek e CIR. A seguir serão apresenados os procedimenos de consrução de árvores binomiais recombinanes para os modelos de axa de juro uilizados nesse esudo..3.1 Árvore Binomial do Modelo Rendleman e Barer A árvore binomial do modelo Rendleman e Barer é basane similar à árvore binomial de Cox-Ross-Rubisein (1979). No modelo Rendleman e Barer, o comporameno da axa de juro de curo prazo em cada período é descrio pelos seus movimenos muliplicaivos de subida e descida, dados por: u e σ ( 7) d e σ ( 8) Onde: u e d são as magniudes dos movimenos muliplicaivos de subida e descida da axa de juro, σ é o parâmero de volailidade da dinâmica Rendleman e Barer e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial. As probabilidades de subida e descida da axa de juro de curo prazo são calculadas aravés das seguines fórmulas:

30 39 q u µ. e d u d ( 9) q 1 ( 30) d q u Onde: q u e q d são as probabilidades de subida e descida da axa de juro, u e d são as magniudes dos movimenos muliplicaivos de subida e descida da axa de juro, µ é o parâmero de endência da dinâmica Rendleman e Barer e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial. A seguir será apresenado um exemplo simplificado de aplicação da árvore binomial do modelo Rendleman e Barer na avaliação de uma opção de venda americana embuida em um íulo de renda fixa sem cupom. O Quadro 1 apresena os valores dos parâmeros uilizados nesse exemplo. A opção pode ser exercida em qualquer período, com exceção do período zero. Quadro 1 Sínese dos Dados Uilizados no Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Rendleman e Barer VF Valor de face do íulo de renda fixa $ 100 Prazo de vencimeno do íulo de renda fixa 0,50 ano (16 dias úeis) Prazo de vencimeno da opção de venda 0,5 ano (63 dias úeis) K Preço de exercício da opção de venda $ 95 N Número de períodos aé o vencimeno do íulo 6 de renda fixa N 1 Número de períodos aé o vencimeno da opção 3 de venda americana r 0 axa de juro de curo prazo anual no período 15% a.a. zero (capialização conínua) σ Parâmero de volailidade do modelo 0% a.a. Rendleman e Barer µ Parâmero de endência do modelo Rendleman e Barer % a.a. (σ /)

31 40 O primeiro passo da consrução da árvore binomial do modelo Rendleman e Barer é o cálculo dos valores de, u, d, q u e q d. Os cálculos desses parâmeros são apresenados a seguir. N 0,50 6 0,0833 u e σ e 0,0 0,0833 1,0594 d e σ e 0,0 0,0833 0,9439 q u µ. e d u d 0,0 0,0833 e 0,9439 0,50 1,0594 0,9439 q d u 1 q 1 0,50 0,50 Em seguida, a parir dos valores de u e d, mona-se a árvore binomial da axa de juro de curo prazo (Figura 4). Figura 4 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Rendleman e Barer: Árvore da axa de Juro de Curo Prazo 6 5 0,1 4 0,0 3 0,19 0,19 0,18 0,18 1 0,17 0,17 0,17 0 0,16 0,16 0,16 axa de Juro 0,15 0,15 0,15 0,15 0,14 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,1 0,1 0,11 0,11

32 41 O próximo passo é a consrução da árvore binomial do íulo de renda fixa (Figura 5). Nos nós correspondenes ao sexo período, o preço do íulo é igual ao seu valor de face. Nos demais nós, o preço do íulo de renda fixa é calculado aravés da seguine fórmula: B j u u d d r. j ( q. B + q. B ). e (31) Onde: q u e q d são as probabilidades de subida e descida da axa de juro, B j é o preço do íulo no j-ésimo nó do período, B u é o preço do íulo no período seguine associado ao movimeno de subida da axa de juro, B d é o preço do íulo no período seguine associado ao movimeno de descida da axa de juro, r j é a axa de juro de curo prazo anual no j-ésimo nó do período (capialização conínua) e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial. Figura 5 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Rendleman e Barer: Árvore do íulo de Renda Fixa , , ,90 100,00 95,63 98,5 1 94,53 97,3 100, ,57 96,10 98,68 íulo 9,75 95,11 97,53 100,00 94,5 96,5 98,83 95,63 97,80 100,00 96,89 98,95 98,03 100,00 99,07 100,00

33 4 Em seguida, mona-se a árvore binomial da opção de venda americana embuida no íulo de renda fixa (Figura 6). Nos nós correspondenes ao vencimeno (Período 3), o valor da opção de venda é calculado aravés da seguine fórmula: p j Max 0, K B ] ( 3) [ j Onde: p j é valor da opção de venda no j-ésimo nó do período de vencimeno, K é o preço de exercício da opção e B j é o preço do íulo no j-ésimo nó do período de vencimeno da opção. Nos períodos aneriores ao vencimeno, com exceção do período zero, o valor da opção de venda americana em cada nó é dado por: p j Max [( K B j ),( q u. p u + q d. p d ). e r. j ] (33) No período zero, como não há possibilidade de exercício, o valor da opção de venda americana é dado por: p 0 ( q. p u u + q d. p d ). e r. 0 (34) Onde: p j é valor da opção de venda no j-ésimo nó do período, p 0 é valor da opção de venda no período zero, K é o preço de exercício da opção, B j é o preço do íulo no j- ésimo nó do período, q u e q d são as probabilidades de subida e descida da axa de juro, p u é o valor da opção no período seguine associado ao movimeno de subida da

34 43 axa de juro, p d é o valor da opção no período seguine associado ao movimeno de descida da axa de juro, r j é a axa de juro de curo prazo anual no j-ésimo nó do período (capialização conínua), r 0 é a axa de juro de curo prazo anual no período zero (capialização conínua) e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial. Figura 6 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Rendleman e Barer: Árvore da Opção de Venda Americana 3 0,00 1 0,47 0 1,43 0,00 Opção Americana 1,07 0,00 0,75 0,00 0,00 0,00 Nesse exemplo, ocorre exercício anecipado no primeiro nó do Período, com payoff igual a $ 0,47, e em odos os nós do Período Árvore Binomial do Modelo Vasicek Em 1990, Nelson e Ramaswamy apresenaram uma écnica de consrução de árvores binomiais recombinanes para o modelo Vasicek. De acordo com os auores, a árvore binomial do modelo Vasicek pode ser consruída dividindo-se o prazo de vencimeno de um insrumeno financeiro qualquer em n períodos discreos com duração e assumindo que, em qualquer inervalo, a axa de juro de curo prazo sobe ou desce com uma magniude consane r, dada por: r σ. ( 35)

35 44 A Figura 7 ilusra uma árvore binomial do modelo Vasicek com dois períodos. As probabilidades de subida e descida da axa de juro em cada nó são calculadas aravés das seguines fórmulas: q u a.( b r) σ ( 36) q 1 ( 37) d q u Onde: q u e q d são as probabilidades de subida e descida da axa de juro em um deerminado nó da árvore binomial, a é a consane que represena a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo no modelo Vasicek, b é a consane que represena a axa de juro de longo prazo no modelo Vasicek, σ é o parâmero de volailidade do modelo Vasicek, r é a axa de juro de curo prazo anual em um deerminado nó da árvore binomial e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial. Figura 7 Árvore Binomial do Modelo Vasicek com Dois Períodos

36 45 O exemplo a seguir ilusra a aplicação da árvore binomial do modelo Vasicek na avaliação de uma opção de venda americana embuida em um íulo de renda fixa sem cupom. O Quadro exibe os valores dos parâmeros uilizados no exemplo. A opção de venda pode ser exercida em odos os períodos, com exceção do período zero. Quadro Sínese dos Dados Uilizados no Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Vasicek VF Valor de face do íulo de renda fixa $ 100 Prazo de vencimeno do íulo de renda fixa 0,50 ano (16 dias úeis) Prazo de vencimeno da opção de venda 0,5 ano (63 dias úeis) K Preço de exercício da opção de venda $ 95 N Número de períodos aé o vencimeno do íulo de 6 renda fixa N 1 Número de períodos aé o vencimeno da opção 3 de venda americana r 0 axa de juro de curo prazo anual no período zero 15% a.a. (capialização conínua) σ Parâmero de volailidade do modelo Vasicek 0% a.a. b axa de juro de longo prazo anual (capialização 15% a.a. conínua) a Velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo 80% Os cálculos dos parâmeros e r são apresenados a seguir. N 0,50 6 0,0833 r σ. 0,0. 0,0833 0,06 Primeiramene, mona-se a árvore binomial da axa de juro de curo prazo (Figura 8), a parir do valor de r.

37 Figura 8 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Vasicek: Árvore da axa de Juro de Curo Prazo 6 5 0,50 4 0,44 3 0,38 0,38 0,3 0,3 1 0,7 0,7 0,7 0 0,1 0,1 0,1 axa de Juro 0,15 0,15 0,15 0,15 0,09 0,09 0,09 0,03 0,03 0,03-0,0-0,0-0,08-0,08-0,14-0,0 46 O próximo passo é a consrução da árvore binomial da probabilidade de subida da axa de juro de curo prazo, aravés do cálculo de q u em cada nó (Figura 9). Figura 9 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Vasicek: Árvore da Probabilidade de Subida da axa de Juro de Curo Prazo 5 a 6 4 a 5 0,33 3 a 4 0,37 a 3 0,40 0,40 1 a 0,43 0,43 0 a 1 0,47 0,47 0,47 Probab. Subida 0,50 0,50 0,50 0,53 0,53 0,53 0,57 0,57 0,60 0,60 0,63 0,67 Em seguida, mona-se a árvore binomial do íulo de renda fixa (Figura 10). Nos períodos aneriores ao vencimeno, o preço do íulo de renda fixa é calculado aravés da seguine fórmula:

38 47 B j uj u uj d r. j ( q. B + (1 q ). B ). e (38) Onde: B j é o preço do íulo no j-ésimo nó do período, q uj é a probabilidade de subida da axa de juro no j-ésimo nó do período, B u é o preço do íulo no período seguine associado ao movimeno de subida da axa de juro, B d é o preço do íulo no período seguine associado ao movimeno de descida da axa de juro, r j é a axa de juro de curo prazo anual no j-ésimo nó do período (capialização conínua) e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial. Figura 10 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Vasicek: Árvore do íulo de Renda Fixa , , ,97 100,00 9,50 97, ,88 95,73 100,00 0 9,01 95,03 98,8 íulo 9,8 95,14 97,53 100,00 95,97 97,63 99,3 98,51 99,36 100,00 100,30 100,19 101,3 100,00 101,16 100,00 Finalmene, mona-se a árvore binomial da opção de venda americana embuida no íulo de renda fixa (Figura 11). Nos nós correspondenes ao vencimeno (Período 3), o valor da opção de venda é calculado aravés da seguine fórmula: p j Max 0, K B ] ( 39) [ j

39 48 Onde: p j é valor da opção de venda no j-ésimo nó do período de vencimeno, K é o preço de exercício da opção e B j é o preço do íulo no j-ésimo nó do período de vencimeno da opção. Nos períodos aneriores ao vencimeno, com exceção do período zero, o valor da opção de venda americana em cada nó é dado por: p j Max [( K B j ),( q uj. p u + (1 q uj ). p d ). e r. j ] (40) No período zero, o valor da opção de venda americana é dado por: p 0 ( q u0. p u + (1 q u0 ). p d ). e r. 0 (41) Onde: p j é valor da opção de venda no j-ésimo nó do período, p 0 é valor da opção de venda no período zero, K é o preço de exercício da opção, B j é o preço do íulo no j- ésimo nó do período, q uj é a probabilidade de subida da axa de juro no j-ésimo nó do período, q u0 é a probabilidade de subida da axa de juro no período zero, p u é o valor da opção no período seguine associado ao movimeno de subida da axa de juro, p d é o valor da opção no período seguine associado ao movimeno de descida da axa de juro, r j é a axa de juro de curo prazo anual no j-ésimo nó do período (capialização conínua), r 0 é a axa de juro de curo prazo anual no período zero (capialização conínua) e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial.

40 Figura 11 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo Vasicek: Árvore da Opção de Venda Americana 3,50 1 3,1 0,99 0,00 Opção Americana 1,48 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 49 Nesse exemplo, ocorre exercício anecipado no primeiro nó do Período, com payoff igual a $ 3,1, e no primeiro nó do Período 1, com payoff igual a $, Árvore Binomial do Modelo CIR Em 1990, Nelson e Ramaswamy desenvolveram uma écnica genérica de consrução de árvores binomiais recombinanes que se aplica não só à dinâmica CIR como a qualquer dinâmica de axa de juro cuja volailidade não é consane. Os auores sugeriram o uso de uma função ou ransformada da axa de juro de curo prazo cuja volailidade é consane. Esa abordagem foi poseriormene refinada por Nawalkha e Beliaeva (007). A écnica genérica de consrução de árvores binomiais recombinanes proposa por Nelson e Ramaswamy é apresenada a seguir. Considere que o processo esocásico da axa de juro de curo prazo é descrio pela seguine equação: dr µ ( r, ). d + σ ( r, ). dz (4)

41 50 Onde: r é a axa de juro de curo prazo, d é o inervalo de empo infiniesimal, µ(r,) é a função que represena a endência da axa de juro de curo prazo, σ(r,) é a função que represena a volailidade da axa de juro de curo prazo e dz é o componene aleaório (processo de Wiener). Seja X() f(r(), ) uma função (ou ransformada) da axa de juro de curo prazo. Aplicando o Lema de Iô a X: dx X r dr + X d + 1 X r ( dr ) ( 43) Subsiuindo a Equação 4 na Equação 43: dx µ ( X, ). d + σ ( X, ). dz ( 44) Onde: X X 1 X µ ( X, ) µ ( r, ) + + ( σ ( r, )) r r ( 45) X σ ( X, ) σ ( r, ) (46) r A sugesão de Nelson e Ramaswamy foi ornar a volailidade do processo X igual a 1, ou seja: X σ ( X, ) σ ( r, ) 1 (47) r

42 A resolução da Equação 47 fornece a fórmula genérica da ransformada X(), aplicável a qualquer dinâmica de axa de juro com volailidade variável: 51 X ( ) r ( ) 1. du σ ( u, ) (48) No caso específico da dinâmica CIR, sabe-se que: µ ( r, ) a.( b r) (49) σ ( r, ) σ. r (50) Onde: a é a consane que represena a velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo no modelo CIR, b é a consane que represena a axa de juro de longo prazo no modelo CIR, σ é o parâmero de volailidade do modelo CIR e r é a axa de juro de curo prazo. Logo, no caso do modelo CIR, a fórmula da ransformada X() é dada por: X ( ) r ( ) 1 r( ). du σ. u σ (51) A axa de juro de curo prazo é obida aravés da ransformada inversa do processo X, apresenada a seguir: r ( ) X ( ) σ 4 0, X, X 0 > 0 (5)

43 Com base nos resulados das Equações 47, 49, 50, 51 e 5, o processo esocásico de X é descrio por: 5 dx µ ( X, ). d + dz (53) Onde: 1 1 4b 1 µ ( X, ) a X ( ) (54) X ( ) σ A idéia cenral da écnica desenvolvida por Nelson e Ramaswamy consise em consruir uma árvore binomial recombinane para o processo X e em seguida uilizar a fórmula 5 para ober o valor da axa de juro em cada nó da árvore. A Figura 1 ilusra a árvore binomial de X, que começa em X 0 r 0 / σ. A cada período ou inervalo de empo, X sobe ou desce com uma magniude consane X, dada por: X (55) Figura 1 Árvore Binomial do Processo X com Dois Períodos

44 De acordo com Nelson e Ramaswamy, para que as probabilidades da árvore binomial do modelo CIR permaneçam enre 0 e 1, a seguine condição deve ser saisfeia: 53 r < r + a.( b r). < (56) d r u Embora essa condição seja aendida quando a axa de juro esá disane de zero, ela é violada quando a axa de juro esá próxima de zero, mesmo para inervalos de empo muio pequenos. Isso ocorre porque, no modelo CIR, quando a axa de juro se aproxima de zero, a sua volailidade ambém se aproxima de zero. Consequenemene, os valores de r d e r u não conseguem abarcar o valor da axa de juro mais a sua endência, e a condição acima é violada. Nelson e Ramaswamy conornaram esse problema permiindo que a axa de juro sale um número múliplo de nós na região da árvore em que a axa de juro é igual ou esá próxima de zero, de modo a aumenar o valor de r u. Os auores apresenaram uma fórmula de cálculo do número de salos que devem ser dados em cada nó da árvore binomial do modelo CIR, que mais arde foi corrigida por Nawalkha e Beliaeva. Além de corrigir a fórmula de cálculo do número de salos proposa por Nelson e Ramaswamy, Nawalkha e Beliaeva sugeriram que a árvore binomial do processo X fosse runcada nos nós em que X é menor ou igual a zero, para economizar empo de processameno. O algorimo da árvore runcada de Nawalkha e Beliaeva é subdividido em duas pares, que serão apresenadas a seguir. A primeira pare deermina a configuração da árvore quando a axa de juro é esriamene posiiva, enquano a segunda pare deermina a configuração da árvore quando a axa de juro é igual a zero.

45 54 Primeira Pare: X > 0 e r > 0 Nos nós em que X e r são posiivos, os valores de subida e descida de X são calculados aravés das seguines fórmulas: X u X d X + ( J + 1). Max ( 0, X + ( J 1). ) (57) Onde J é um ineiro al que: J Z Z + 1 se se Z Z é é par impar (58) Z FLOOR X σ (1 a. ) + 4ab X.σ σ (59) E FLOOR(y) é o valor ineiro resulane do arredondameno de y para baixo. As probabilidades de subida e descida da axa de juro são calculadas aravés das seguines fórmulas: q u a.( b r). + r r r u d r d (60) q 1 ( 61) d q u Onde: q u e q d são as probabilidades de subida e descida da axa de juro em um deerminado nó da árvore binomial, r é o valor da axa de juro em um deerminado nó

46 55 da árvore binomial, r u é o valor de subida da axa de juro, r d é o valor de descida da axa de juro e é o inervalo de empo (fração de ano) correspondene a um período da árvore binomial. Segunda Pare: X 0 e r 0 Nesse caso, o valor de X d é igual a zero e o valor de X u é o valor do nó mais próximo da linha X 0 que saisfaz à seguine condição: X u ab (6) σ As probabilidades de subida e descida da axa de juro são calculadas aravés das seguines fórmulas: q u a. b. r u (63) q 1 ( 64) d q u A seguir será apresenado um exemplo simplificado de aplicação da árvore binomial do modelo CIR na avaliação de uma opção de venda americana embuida em um íulo de renda fixa sem cupom. Nesse exemplo, será uilizada a abordagem da árvore runcada de Nawalkha e Beliaeva. Os valores dos parâmeros uilizados no exemplo esão lisados no Quadro 3. A opção de venda pode ser exercida em qualquer período, com exceção do período zero.

47 56 Quadro 3 Sínese dos Dados Uilizados no Exemplo da Árvore Binomial do Modelo CIR VF Valor de face do íulo de renda fixa $ 100 Prazo de vencimeno do íulo de renda fixa anos (504 dias úeis) Prazo de vencimeno da opção de venda 1 ano (5 dias úeis) K Preço de exercício da opção de venda $ 94 N Número de períodos aé o vencimeno do íulo 6 de renda fixa N 1 Número de períodos aé o vencimeno da opção 3 de venda americana r 0 axa de juro de curo prazo anual no período 5% a.a. zero (capialização conínua) σ Parâmero de volailidade do modelo CIR 30% a.a. b axa de juro de longo prazo anual (capialização conínua) a Velocidade de reversão da axa de juro de curo prazo à axa de juro de longo prazo 5% a.a. 80% O primeiro passo da consrução da árvore binomial do modelo CIR é o cálculo dos valores de e X 0. Os cálculos desses parâmeros são apresenados a seguir. N 6 0,3333 X 0 0 σ r 0,05 0,30 1,49 Em seguida, uilizando-se as fórmulas de cálculo de X u e X d e a Fórmula 5, são consruídas as árvores binomiais recombinanes de X e r (Figuras 13 e 14).

48 57 Figura 13 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo CIR: Árvore do Processo X Figura 14 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo CIR: Árvore da axa de Juro de Curo Prazo As seas ilusradas nas Figuras 13 e 14 indicam os salos do processo X e da axa de juro. Considere, por exemplo, o quaro nó do período 3 (N 34 ), em que o processo X e a axa de juro são iguais a zero. Nesse nó, o valor de X d é igual a zero e o valor de X u é o valor do nó mais próximo da linha X 0 que saisfaz à seguine condição: X u ab σ X u 0,80 0,05 0,3333 0,30 X u 0,77

49 Logo, no nó N 34, o processo X e a axa de juro salam para o erceiro nó do período 4 (N 43 ), que correspondem ao valores 1,49 e 0,05, respecivamene. 58 O próximo passo é a consrução da árvore binomial da probabilidade de subida da axa de juro de curo prazo (Figura 15), aravés do cálculo da probabilidade de subida da axa de juro em cada nó. No nó N 34, por exemplo, a probabilidade de subida da axa de juro (q u ) é calculada da seguine forma: q u a. b. r u 0,80 0,05 0,3333 0,05 0,7 Figura 15 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo CIR: Árvore da Probabilidade de Subida da axa de Juro de Curo Prazo Em seguida, mona-se a árvore binomial do íulo de renda fixa (Figura 16), uilizando-se a Fórmula 38. No nó N 34, por exemplo, o preço do íulo de renda fixa (B 34 ) é calculado da seguine forma: B 34 ( q u34. B u + (1 q u34 ). B d ). e r ,3333 B34 (0,7 96,73 + (1 0,7) 99,75). e 98,94

50 59 Figura 16 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo CIR: Árvore do íulo de Renda Fixa Finalmene, aravés das Fórmulas 39, 40 e 41, mona-se a árvore binomial da opção de venda americana embuida no íulo de renda fixa (Figura 17). Figura 17 Exemplo da Árvore Binomial do Modelo CIR: Árvore da Opção de Venda Americana Nesse exemplo, ocorre exercício anecipado no primeiro nó do Período (N 1 ), com payoff igual a $ 8,84, e no primeiro nó do Período 1 (N 11 ), com payoff igual a $ 5,9. O cálculo do valor da opção no nó N 11 é apresenado a seguir. p 11 Max [( K B 11 );( q u11. p u + (1 q u11 ). p d ). e r 11. ] p11 Max [(94 88,08);(0,3 8,84 + (1 0,3) 0,83). e p11 Max [5,9; 3,8] 5,9 0,10 0,3333 ]

51 .4 O MÉODO DE MONE CARLO E A SUA UILIZAÇÃO NA AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM POSSIBILIDADE DE EXERCÍCIO ANECIPADO 60 O apreçameno de opções por meio de simulação de Mone Carlo foi inicialmene proposo por Boyle (1977), que sugeriu que o preço de uma opção poderia ser esimado aravés da geração de várias rajeórias de preços para o aivo-objeo, considerando-se a premissa de neuralidade ao risco. Desde enão, o méodo de Mone Carlo em sido largamene uilizado na avaliação de diversos ipos de opções. De acordo com Saum (001), a écnica de simulação de Mone Carlo apresena várias vanagens em relação aos demais méodos numéricos: é fácil de aplicar, apresena um bom desempenho nos problemas com várias dimensões e fornece um inervalo de confiança para a esimaiva do prêmio da opção. Além disso, oura grande vanagem da simulação de Mone Carlo é a sua flexibilidade, pois raa-se de uma écnica que supora múliplos faores de risco e que pode ser facilmene modificada para acomodar diferenes ipos de dinâmicas para o aivo-objeo. De acordo com Kind (005), aé meados dos anos novena, o méodo de Mone Carlo era considerado inadequado para a avaliação de opções com possibilidade de exercício anecipado. No enano, os esudos de Bossaers (1989), Gran e. al. (1997), Broadie e Glasserman (1997, 004), Carriere (1996), Longsaff e Schwarz (001) e vários ouros auores conribuíram definiivamene para quebrar esse paradigma. Bossaers (1989) foi um dos primeiros auores a sugerir a uilização da simulação de Mone Carlo na avaliação de opções com possibilidade de exercício anecipado. Bossaers represenou o conjuno de esraégias ou regiões de exercício de uma opção