Palavras-chave: Análise de Séries Temporais; HIV; AIDS; HUJBB.

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1 Análise de Séries Temporais de Pacienes com HIV/AIDS Inernados no Hospial Universiário João de Barros Barreo (HUJBB), da Região Meropoliana de Belém, Esado do Pará Gilzibene Marques da Silva ¹ Adrilayne dos Reis Araújo ² Galafre Guemberg da Cosa Filho ¹ ¹ Curso de pós Graduação Lao Sensu em Bioesaísica ² Insiuo de Ciências Exaas e Naurais Universidade Federal do Pará, Belém, Brasil Resumo Ese esudo em como objeivo comparar os modelos de Hol-Winers e decomposição adiivo e muliplicaivo e verificar qual deles se adequou melhor aos dados. Para ano uilizou-se a écnica esaísica denominada Análise de Séries Temporais. O rabalho apresenará uma abordagem dos pacienes com HIV do Hospial Universiário João de Barros Barreo, uma conexualização e conceios da análise de séries emporais, suas principais caracerísicas. Após aplicação dos modelos auomáicos de séries emporais, o modelo que melhor se ajusou a série, foi o de decomposição sazonal adiivo com um erro percenual absoluo médio de 9,83%. Palavras-chave: Análise de Séries Temporais; HIV; AIDS; HUJBB.. Inrodução No Final da década de 8 e início dos anos 9 a epidemia de AIDS assume um perfil diferene daquele de sua descobera, no qual a maioria dos casos ocorriam por ransmissão sexual, especialmene enre homossexuais do gênero masculino e por ransmissão sanguínea, na maioria das vezes por ransfusão de sangue e hemoderivados e uso de drogas injeáveis. A epidemia do vírus HIV compleou no ano, vine anos. Segundo Rouquayrol (3) e inúmeras pesquisas realizadas, revelam que a ransmissão heerossexual passou a ser a principal via de ransmissão do HIV, a qual vem apresenando maior endência de crescimeno em anos recenes, acompanhada de expressiva paricipação das mulheres na dinâmica da epidemia e de um imporane percenual de casos por ransmissão maerno-infanil. Observa-se, ainda, nos úlimos anos, uma consane ransformação que ainge, principalmene, segmenos populacionais de classes menos favorecidas. Essa ransformação vem em um desigual processo de ineriorização, com maiores rimos de crescimeno em municípios pequenos, com menos de mil habianes. Além disso, vale ressalar que hoje o HIV esá chegando à cidades onde sua presença ainda não havia sido regisrada. Haja visa que a pauperização da epidemia, que endo início nos esraos sociais de maior insrução, aualmene cresce enre as pessoas de menor grau de escolaridade.

2 2. Meodologia 2.. A Técnica Esaísica Análise de Séries Temporais A écnica esaísica Análise de Séries Temporais possui basicamene dois enfoques uilizados, sendo que em ambos, o objeivo é consruir modelos para as séries de dados. A análise é feia no domínio do empo e os modelos podem ser paraméricos e não-paraméricos. Esses incluem a descrição e enendimeno do mecanismo gerador da série, a previsão de valores fuuros e o conrole óimo de um sisema. Em séries emporais a ordem dos dados é crucial, diferene por exemplo, dos modelos de regressão que a ordem das observações é irrelevane para a análise Objeivos da Análise de Séries Temporais Segundo Morein e Toloi (4) uma série emporal Z ), K, Z ( ) observada nos insanes, K,, pode ser uilizada para n ( n Invesigar o mecanismo gerador da série emporal; Fazer previsões de valores fuuros da série; sendo que as previsões podem ser a curo e longo prazo; Descrever apenas o comporameno da série, nese caso a consrução de hisogramas e diagramas de dispersão, enre ouros, podem ser ferramenas úeis; Verificar a exisência de endências, ciclos e variações sazonais; Procurar periodicidades relevanes nos dados; nese caso, a análise especral, pode ser de grande uilidade Esacionariedade Para Morein e Toloi (4) uma série é esacionária quando se desenvolve no empo aleaoriamene em orno de uma média consane, refleindo alguma forma de equilíbrio esável. Porém, na práica a maioria das séries apresenam alguma forma de não-esacionariedade Tese de Normalidade O Tese de normalidade é uilizado para observar o comporameno da série de dados em esudo, ou seja, deermina se os dados seguem uma disribuição normal. Para isso exisem diversos eses e vários méodos, sendo que para esse esudo, paricularmene, uilizou-se o gráfico de probabilidade normal e o ese de Anderson- Darling. O Tese de Anderson-Darling verifica se a disribuição se ajusa aos dados e para isso a menor esaísica em o melhor ajuse para os dados. Usa-se o nível descriivo

3 calculado a parir da esaísica de Anderson-Darling para esar se os dados vêm da disribuição em esudo. A hipóese de nulidade só é rejeiada se o ese fornecer valor inferior ao nível de significância adoado, ou seja, se p < α, os dados não seguem uma disribuição normal. O cálculo é ponderado com pesos maiores na cauda da disribuição. As hipóeses a serem esadas são dadas por H : Os dados seguem disribuição de probabilidade normal; versus H : Os dados não seguem disribuição de probabilidade normal, onde a esaísica ese para omada de decisão é dada por n 2 (2i ) A = n ln[ F( xi ) + ln( F( xn+ i ))] (2.) i= n em que F é a função de disribuição acumulada da disribuição específica, n é o amanho amosral e x i, i =, K, n represenam os dados ordenados (Sephens, 974) Modelos para Séries Temporais Para Makridakis (998) uma série emporal é uma sequência de valores de uma variável observada em inervalos de empo igualmene espaçados. Morein e Toloi (4) dizem que os modelos uilizados para descrever séries emporais são processos esocásicos, iso é, processos conrolados por leis probabilísicas Méodo de Decomposição Para Morein e Toloi (4) um modelo de decomposição consise em descrever Z como uma soma de rês componenes não-observáveis, Z = T + S + a, (2.2) onde T e S represenam a endência e a sazonalidade, respecivamene, enquano a é uma componene aleaória, de média zero e variância consane σ. Nese esudo serão esudados o modelo adiivo Z = T + S + a adequado quando S não depende de T e o modelo muliplicaivo Z = T. S. a adequado quando as ampliudes sazonais variam com a endência Alisameno Exponencial de Hol-Winers (HW) Para Morein e Toloi (4) exisem dois ipos de procedimenos, na qual o méodo de HW considera o faor sazonal F como sendo muliplicaivo ou como sendo adiivo, cuja uilização depende das caracerísicas da série considerada. Tais procedimenos são baseados em rês equações com consanes de suavização diferenes, que são associadas a cada uma das componenes do padrão da série: nível, endência e sazonalidade. 2 a

4 a) Série Sazonal Muliplicaiva Considere uma série sazonal qualquer com período s. A variane mais usual do méodo de Hol-Winers considera o faor sazonal F como sendo muliplicaivo, enquano a endência permanece adiiva, iso é, b) Série Sazonal Adiiva Z = F T + a, =,, N. (2.3) O procedimeno apresenado não Seção 3.3.7, (Iem.a) pode ser modificado para raar com siuações onde o faor sazonal é adiivo com Z = F + T + a. (2.4) Previsões do Modelo de Hol-Winers por As previsões dos valores fuuros da série para os dois procedimenos são dadas a) Previsões no Modelo Muliplicaivo Z ( h) = ( h ) ), h,2..., s, Z + T F = + h s Z ( h) = ( h ) ), h s,...,2 s, Z + T F = + + h 2s (2.) (2.6) São feias as aualizações das previsões quando emos uma nova observação Z +, E assim emos a nova previsão para a observação Z + h que será Z ( h ) = ( + ( h ) ), h =,2,..., s +, Z + T F (2.7) + + h s Z ( h ) = ( + ( h ) ), h = s + 2,...,2s +. Z + T F (2.8) + + h 2 s b) Previsões no Modelo Adiivo Nesse modelo as equações são modificadas para Z F + Z Z = D( ) + ( D) F s, (2.9) F + Z + = A( ) + ( A)( + ), (2.) s Z T e As aualizações são feias e a nova previsão para o valor Z + será Z ( h ) = ( + ( h ) ), h =,2,..., s +, Z + T F (2.) + + h s Z ( h ) = ( + ( h ) ), h = s + 2,...,2s +. + Z + T F (2.2) + + h 2 s h

5 3. Aplicação Nesa pare do arigo apresenam-se os resulados obidos a parir da aplicação em dados de pacienes poradores do vírus HIV do HUJBB, na Região Meropoliana de Belém, no período de janeiro de a dezembro de 7, da écnica esaísicas, Análise de Séries Temporais. 3.. Tese de Normalidade A Figura 3. mosra os resulados do ese de normalidade fornecidos pelo méodo de Anderson-Darling para a série de pacienes que iveram ala com o diagnósico de HIV/AIDS onde o nível descriivo é maior que o α adoado de %, porano não se pode rejeiar a hipóese de que os dados seguem uma disribuição normal. 99, Mean 8,4 SDev 6,387 N 96 AD,438 P-Value,289 Percenual 8 7 6, Pacienes com o diagnósico de HIV/AIDS Figura 3. Gráfico de Probabilidade Normal e Tese de Normalidade de Anderson- Darling para a série de pacienes que iveram ala com o diagnósico de HIV no HUJBB, no Período de Janeiro de e Dezembro de 7, na Região Meropoliana de Belém do Pará Modelo de Decomposição Adiivo Para verificar a exisência de caracerísicas imporanes, como endência, sazonalidade e não-esacionariedade. Fenômenos eses que podem esar presene em odo o período, enão ploou-se o gráfico da série em esudo, pois para análise de qualquer série emporal, é essencial que, primeiramene seja feio um gráfico assim como esse na figura 3.2, iem (a) que apresena a série original dos pacienes que iveram ala com o diagnósico de HIV/AIDS na região meropoliana de Belém. A fim

6 de ober uma visão geral do seu comporameno, como pode ser observado na mesma a presença de endência, sazonalidade e não-esacionalidade na série. Coninuando, observa-se, que há uma fluuação considerável na série, que pode esar sendo causada por movimenos sazonais. A série apresena um aumeno cada vez mais acenuado, sinalizando a presença da componene endência. Eses indícios revelam uma nãoesacionariedade na série. Além disso, a Figura 3.2 mosra o gráfico da série após a aplicação do modelo de decomposição adiiva, apresenando o comporameno da série dos pacienes que iveram ala com o diagnósico de HIV/AIDS no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7. O gráfico (b) mosra a série em esudo sem a componene de endência, ou seja, os dados aparenemene não ser influenciados pela componene de endência. O gráfico (c) A série em esudo apresena-se sem a componene de sazonalidade, e percebe-se que houve uma suavização na mesma, ou seja, os dados são influenciados pela componene de sazonalidade. O gráfico (d) A série em esudo apresena-se sem as componenes de endência e sazonalidade, pois houve suavização da série em esudo. a) b) - - c) 9 d) Figura 3.2: Decomposição adiiva da série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7. A Figura 3.3, observa-se o comporameno original e o ajusado da série em orno da rea média de endência. Com base no modelo esimado de decomposição e dos valores de endência da série, podemos noar que a variação esá fluuando em orno de uma inclinação posiiva, ou seja, o número de pacienes com o Vírus HIV no HUJBB ende a aumenar no decorrer do empo. Onde pode-se verificar um ajuse na variação dos valores observados e uma leve endência nos valores de previsão feia para os próximos 2 meses. Porano, prevê-se um leve aumeno do número de pacienes com o vírus HIV no HUJBB na Região meropoliana de Belém-Pará, no período de Janeiro de

7 a Dezembro de 7. O modelo obeve um erro percenual absoluo médio previso (MAPE) de 9,83%. 3 Variable Acual Fis Trend Forecass Pacienes 2 Accuracy Measures MAPE 9,8332 MAD 3,2 MSD 6, Figura 3.3: Decomposição Adiiva e Linha de Tendência da série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7. A equação do modelo de decomposição adiivo é dada por Z = T + F + a, (3.) onde Z é a série em esudo, T é a componene de endência, F a componene de sazonalidade, a é o erro. O modelo de Decomposição adiivo para previsão foi calculado aravés da componene de endência como polinômio de grau um, ou seja, esimou-se um modelo linear, gerando uma equação de endência com deerminados parâmeros na qual se pode observar um crescimeno no número de pacienes com AIDS. A rea obida foi, Z =,67 +,667*. (3.2) 3.3. Modelo de Decomposição Muliplicaivo A Figura 3.4 mosra o gráfico da série após a aplicação do modelo de decomposição Muliplicaivo, apresenando a série dos pacienes que iveram ala com o diagnósico de HIV/AIDS no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7. Na qual podemos observar que o gráfico (a) apresena a série original dos pacienes que iveram ala com o diagnósico de HIV na região meropoliana de Belém.

8 O gráfico (b) mosra a série em esudo sem a componene de endência e isso mosra que os dados sofrem influencia da componene de endência. O gráfico (c) apresena a série em esudo sem a componene de sazonalidade, nela observamos que houve uma suavização, ou seja, os dados são influenciados pela componene de sazonalidade. O gráfico (d) mosra a série em esudo sem as componenes de endência e sazonalidade. Nese caso persebemos que os dados somene foram influenciados pela componene de sazonalidade devido a suavização da série em esudo. a) b) Observaçôes 9 Observaçôes c) d) Observaçôes 9 Observaçôes Figura 3.4: Decomposição Muliplicaiva da série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7. Na Figura 3., observa-se o comporameno original, o ajusado e uma previsão da série em quesão. Com base no modelo esimado de decomposição e dos valores de endência da série, podemos noar que a variação esá próxima, fluuando em orno da rea média de endência formando uma inclinação posiiva. Enão prevê-se um leve aumeno do número de pacienes com o vírus HIV/AIDS no HUJBB na Região meropoliana de Belém-Pa, no ano de 8. O modelo obeve um erro percenual absoluo médio previso (MAPE) de,28%.

9 Pacienes 3 2 Variable A cual Fis Trend Forecass A ccuracy Measures MA PE.28 MA D MSD Figura 3.: Decomposição Muliplicaiva e Linha de Tendência da série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7. A equação do modelo de decomposição muliplicaivo é dada por Z = T*F+a, (3.3) onde Z, Tf, F e a êm o mesmo significado do modelo de decomposição adiivo, porém o modelo de decomposição muliplicaiva gera uma equação com parâmeros diferenes Alisameno Exponencial de Hol-Winers (HW) Z =,397 +,68939*, (3.4) Os dados da série em esudo apresenam presença de endência e sazonalidade apropriado para uilização do méodo de Hol Winers. Sendo que ouros méodos podem ser uilizados para previsões como é o caso de medias móveis simples (MMS), suavização exponencial simples (SES), suavização exponencial de hol (SEH). Nese caso ele é mais indicado quando a série apresena endência. Assim, a presença de sazonalidade na série não permie a uilização de méodos mais simples. Na suavização exponencial de Hol- Winers exisem rês equações e dois procedimenos. Sendo que a primeira possui consanes de suavização diferenes a cada componene da série, nível, endência e sazonalidade e a segunda de pendendo das caracerísicas que a série possui. Sendo que a sazonalidade pode possuir efeio adiivo e muliplicaivo. a) Modelo Adiivo A Figura 3.6 observa-se o comporameno original, o ajusado e uma previsão da série em esudo do méodo exponencial adiivo de Hol- Winers, na qual observa-se que a variação esá próxima da rea média de endência formando uma inclinação posiiva. Enão prevê-se um leve aumeno do número de pacienes com o vírus HIV/AIDS no HUJBB na Região meropoliana de Belém-Pará, no ano de 8.

10 Pacienes Variab le A cual F is F o recass,% P I Smo o hing C o nsans A lp ha (lev el), Gamma (rend),2 Dela (seaso nal), A ccuracy M easures M A P E 22,66 M A D 3,74 M SD 9, Observ ações Figura 3.6 Modelo exponencial de Hol-Winers Adiivo da Série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de janeiro de a dezembro de 7. A Tabela 3. Mosra os valores das consanes de alisameno do modelo Exponencial de Hol-Winers adiivo para o nível, endência e sazonalidade aplicado a série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB - a 7. Os valores das consanes foram aribuídos aravés da enaiva. Foi uilizado como referência o padrão do MINITAB, que admie valores iniciais para as consanes de,2.tendo como principio básico o erro percenual absoluo médio, deerminamos as consanes de suavização aé chegar no melhor modelo, ou seja, aquele que obeve o menor MAPE é o melhor modelo. Tabela 3. Consanes de Alisameno da série de pacienes como vírus HIV no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7 Hol- Winers Adiivo. Consane de Alisameno Valor Alfa (nível), Gama (endência),2 Dela (sazonalidade), Tabela 3.2 Medidas de Acurácia do modelo da série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de janeiro de a dezembro de 7 Hol- Winers Adiivo. Medidas de Acurácia Valor EPAM 22,66 DAM 3,74 DPM 9,738 A Tabela 3.2 mosra os valores das medidas de acurácia da série dos pacienes que receberam ala com o diagnósico HIV no HUJBB - a 7 Hol- Winers Adiivo. O valor do erro percenual absoluo médio (EPAM) é de 22,2%, do desvio absoluo médio (DAM) é de 3,7% e o desvio percenual médio (DPM) é de 9,7%.

11 b) Modelo muliplicaivo Nese modelo, consideramos o faor F como sendo muliplicaivo, porém a endência permanece adiiva. Conservando os aspecos e caracerísicas do modelo adiivo. A Figura 3.7 observa-se o comporameno original, o ajusado e uma previsão da série em esudo do méodo exponencial muliplicaivo de Hol-Winers, na qual observa-se que a variação esá próxima da rea média de endência formando uma inclinação posiiva. Enão prevê-se um leve aumeno do número de pacienes com o vírus HIV no HUJBB na Região meropoliana de Belém-Pa, no ano de 8. Pacienes com HIV Variable A cual Fis Forecass,% PI Smoohing C onsans A lpha (lev el), Gamma (rend),2 Dela (seasonal), A ccuracy Measures MA PE 22,38 MA D 3,643 MSD, Figura 3.7 Modelo exponencial de Hol-Winers Muliplicaivo da Série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de janeiro de a Dezembro de 7. A Tabela 3.3 mosra os mesmos valores das consanes obidos no modelo adiivo com relação ao nível, endência e sazonalidade aplicadas Série do número de pacienes com HIV/ AIDS, no modelo exponencial muliplicaivo de Hol-Winers. Na qual foram desenvolvidos pelo mesmo procedimeno do modelo adiivo de Hol- Winers. Tabela 3.3 Consanes de Alisameno da série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7 Hol- Winers Muliplicaivo. Consane de Alisameno Valor Alfa (nível), Gama (endência),2 Dela (sazonalidade),

12 Tabela 3.4 Medidas de Acurácia do modelo da série de pacienes com o vírus HIV no HUJBB, no período de Janeiro de a Dezembro de 7 Hol- Winers Muliplicaivo. Medidas de Acurácia Valor EPAM 22,38 DAM 3,643 DPM,72 A Tabela 3.4 Mosra os valores das medidas de acurácia da série de pacienes que receberam ala com o diagnósico HIV no HUJBB - a 7 Hol- Winers Muliplicaivo. O valor do erro percenual absoluo médio (EPAM) é de 22,39%, do desvio absoluo médio (DAM) é de 3,6% e o desvio percenual médio (DPM) é de,7%. Tabela 3. Mosra um comparaivo Enre os Modelos desenvolvidos para a série de pacienes com HIV no HUJBB, no período de janeiro de a dezembro de 7. Baseando-se no MAPE. Pode-se perceber que enre os modelos de HW e decomposição adiivo e muliplicaivo, o melhor modelo é o adiivo nos dois casos, porém, o de Decomposição possui um Erro Percenual Absoluo Médio menor que os ouros que é de 9,83%. Enão o melhor modelo que represena a série em esudo é o de decomposição adiivo. Tabela 3. Comparaivo Enre os Modelos desenvolvidos para a série de pacienes com HIV no HUJBB, no período de janeiro de a dezembro de 7. Medidas Decomposição Adiivo Decomposição Muliplicaivo H.W. Adiivo H.W. Muliplicaivo MAPE 9,8332,28 22,66 22,38 MAD 3,23 3,398 3,74 3,643 MSD 6,68 7,64 9,738,72 4. Conclusão Vale a pena ressalar que o HIV, de acordo com o esudo feio no domínio do empo, as possíveis previsões para o próximo ano com relação a doença são preocupanes. Pois, a mesma ende a aumenar coninuamene no decorrer do empo. Sendo o modelo que melhor represena a série em esudo é o de decomposição adiivo, pois foi o que apresenou menor erro percenual absoluo médio enre os modelos comparados. Mesmo endo o planejameno em saúde pública, eses agravos ainda represenam preocupação no cenário epidemiológico, os quais requerem aenção dos gesores de programas eficienes para seus conroles nas populações, pois é necessário sensibilizar os profissionais de saúde para realizarem as noificações dessa doença de forma oporuna e com qualidade. O conhecimeno precoce do Vírus HIV é fundamenal para garanir a implemenação de medidas de conrole em empo oporuno.

13 . Referências BUSSAB, W.O.; PEDRO, A.M. Esaísica Básica..ed. São Paulo: Saraiva, 4. DR.SHIRLEY DE CAMPOS Disponível em: hp://www.drashirleydecampos.com.br/noicias/9636. Acesso em: dez.8. MAKRIDAKIS, S.G. Forescasing: Mehods and Aplicaions. 3 h ediion, Jonh Wiley & Sons, 998. MINITAB BRASIL R.B. D Augosino e M.A. Sephens, Eds. (986). Goodness-of-Fi Techniques. Marcel Dekker. Disponível em: hp://www.miniabbrasil.com.br/faq/lsfaq.asp?codfaq=2. Acesso em: dez.8. MORETTIN, P.A. Ondas e Ondaleas: Da análise de Fourier à Análise de ondaleas. 2. ed. São Paulo: Ediora da Universidade de São Paulo, 999. MORETTIN, P.A; TOLOI, C.M. Séries Temporais. 2. ed. São Paulo Ediora Aual, 4. MOORE, D.S. A Esaísica Básica e sua Práica. Rio de Janeiro. Ediora L.T.C,. MINISTÉRIO DA SAÚDE Disponível em: hp://www.aids.gov.br/daa/pages/lumis3bde647ptbrie.hm. Acesso em se. 8. ORGANIZAÇÃO MUNDIAL DA SAÚDE Disponível em: Acesso em: dez.8. PROGRAMA NACIONAL DE DST E AIDS, MINISTÉRIO DA SAÚDE Disponível em: Acesso em dez. 8. ROUQUAYROL, M.Z.; Almeida Filho, N. Epidemiologia e Saúde. 6 a ed. Rio de Janeiro: Medsi, 3. SOARES, Francisco. HIVIDA. 2. e.d. Belém: Gráfica e Ediora Alves,. STEPHENS, M.A. Asynoic resuls for goodness of fi saisics wih unkown parameers. Annals of saisics, v.4, p , 9.

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