Insper Instituto de Ensino e Pesquisa Programa de Mestrado Profissional em Economia. Bruno Russi

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1 Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa Programa de Mesrado Profissional em Economia Bruno Russi ANÁLISE DA ALOCAÇÃO ESTRATÉGICA DE LONGO PRAZO EM ATIVOS BRASILEIROS São Paulo 200

2 Bruno Russi Análise da alocação esraégica de longo prazo em aivos brasileiros Disseração apresenada ao Programa de Mesrado Profissional em Economia do Insper Insiuo de Ensino e pesquisa, como pare dos requisios para a obenção do íulo de Mesre em Economia. Área de concenração: Finanças e Macroeconomia Aplicada Orienador: Prof. Ricardo Dias de Oliveira Brio Insper São Paulo 200

3 Russi, Bruno Análise da alocação esraégica de longo prazo em aivos brasileiros / Bruno Russi; orienador Ricardo Dias de Oliveira Brio São Paulo: Insper, f. Disseração (Mesrado Programa de Mesrado Profissional em Economia. Área de concenração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas) Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa.. Alocação de aivos 2. Demanda por proeção

4 FOLHA DE APROVAÇÃO Bruno Russi Análise da alocação esraégica de longo prazo em aivos brasileiros Disseração apresenada ao Programa de Mesrado Profissional em Economia do Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa, como requisio parcial para obenção do íulo de Mesre em Economia. Área de concenração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas Aprovado em: junho/200 Banca Examinadora Prof. Ricardo Dias de Oliveira Brio Orienador Insiuição: Insper Assinaura: Prof. Marco Lyrio Insiuição: Insper Assinaura: Prof. Marco Anônio César Bonomo Insiuição: EPGE FGV Assinaura:

5 DEDICATÓRIA Dedico ese rabalho a minha mãe Mara Maria Russi por sempre me incenivar a buscar odos os sonhos e realizações acadêmicas, profissionais e pessoais.

6 AGRADECIMENTOS Ao orienador, Prof. Ricardo Dias de Oliveira Brio, pela paciência, incenivo e sugesões na realização dese rabalho. Aos professores do INSPER, pelos conhecimenos ransmiidos que permiiram consruir e elaborar esa disseração de mesrado. Aos amigos do mesrado, pelo companheirismo demonsrado em odos os momenos durane o curso. desa obra. Aos colegas de rabalho da Ques Invesimenos pelas sugesões e apoio na elaboração À minha namorada Andreini Emanueli Fonseca pela compreensão e dedicação durane o período do mesrado. A odos aqueles que, embora não ciados, conribuíram direa ou indireamene para a execução dese rabalho.

7 RESUMO RUSSI, Bruno. Análise da alocação esraégica de longo prazo em aivos brasileiros f. Disseração (Mesrado) Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 200. Ese rabalho consise na aplicação de Campbell, Chan e Viceira (2003) [ A mulivariae model of sraegic asse allocaion. Journal of Financial Economics 67, p. 4-80] para a análise da alocação esraégica de longo prazo em aivos brasileiros, uilizando dados mensais de 2002 a Os resulados enconrados diferem significaivamene daqueles obidos para o caso americano. Condicionado ao padrão de reornos observado, os invesidores brasileiros deveriam concenrar seus recursos em renda fixa. Ademais, a axa de juros nominal de curo prazo e a razão preço/lucro do índice de ações IBX são variáveis imporanes na previsão de variações emporais das oporunidades de invesimeno e sua consideração implica numa demanda adicional por renda fixa como forma de proeção ineremporal. Uma análise poserior da composição das careiras dos fundos de pensão brasileiros indica que a gesão desas pode esar sendo feia de uma maneira míope. Ou seja, a demanda por proeção ineremporal de aivos parece esar sendo ignorada pelos gesores desses fundos. Código JEL: C32, G Palavras-chave: Alocação de aivos; demanda por proeção; fundos de pensão

8 ABSTRACT RUSSI, Bruno. Sraegic asse allocaion on Brazilian asses f.. Disseraion (Masership) Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 200. This paper applies Campbell, Chan e Viceira (2003) [ A mulivariae model of sraegic asse allocaion. Journal of Financial Economics 67, p. 4-80] o analyze he long erm sraegic asse allocaion in Brazilian asses using monhly daa from 2002 o The resuls found differ significanly from he American case. Given he paern of reurns deeced, Brazilian invesors should allocae heir wealh enirely in fixed income. Moreover, he shor-erm nominal ineres rae and he IBX equiy index P/E raio are imporan variables in predicing invesmen opporuniies shocks, making hem relevan o increasing he mean fixed income demand as a way o hedge wealh ineremporally. Furher evidence on he analysis of he breakdown of Brazilian pension funds porfolios suggess ha hese porfolios may be managed using myopic allocaion rules. Thus, he ineremporal hedging demand for asses may have been ignored by hese funds managers. JEL classificaion: C32, G Keywords: asse allocaion; hedging demand; pension funds

9 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA DEFINIÇÃO DO MODELO Aivos Dinâmica das Variáveis de Esado Preferências METODOLOGIA DE SOLUÇÃO Escolha do Porfólio Óimo Consumo Óimo ANÁLISE EMPÍRICA Descrição dos Dados Esimação do VAR Alocação Esraégica de Aivos Análise da Careira Consolidada dos Fundos de Pensão CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 36

10 LISTA DE TABELAS Tabela Esaísicas da Amosra... 8 Tabela 2 Teses de Raiz Uniária... 2 Tabela 3 VAR Resulados da Esimação Tabela 4 Demanda Média dos Aivos Tabela 5 Demandas Míopes... 33

11 LISTA DE FIGURAS Figura Evolução dos Aivos ao Longo do Tempo... 9 Figura 2 Evolução da Taxa de Juros Nominal de Curo Prazo Figura 3 Evolução do P/E ao Longo do Tempo Figura 4 Evolução dos Reornos Logarímicos Mensais do BRL... 2 Figura 5 Alocação Óima em Renda Fixa Figura 6 Alocação Óima em Ações Figura 7 Careira Consolidada por Tipo de Aplicação... 32

12 -) Inrodução A lieraura sobre alocação de aivos de longo prazo indica que os invesidores de longo prazo deveriam alocar pare de sua riqueza em aivos com risco, como em ações. Ações deveriam demandar um maior reorno de forma a compensar pelo seu maior risco. Assim, combinando aivos com risco e sem risco, podem-se formar careiras de invesimeno de acordo com a aversão ao risco do invesidor. Paralelamene a iso, se as oporunidades de invesimeno variam com o empo, os invesidores de longo prazo deveriam se preocupar ano com choques em suas riquezas quano com choques nas oporunidades de invesimeno, fazendo surgir uma demanda por proeção ineremporal de aivos financeiros. Esa demanda por proeção ineremporal de aivos fez surgir o ermo alocação esraégica de aivos ( sraegic asse allocaion ). Ese ermo pode ser enendido como uma forma de incorporar as variações nas oporunidades de invesimeno nas decisões de alocação dos invesidores. As alocações de longo prazo podem ser significaivamene diferenes das alocações de curo prazo, principalmene quando as oporunidades de invesimeno variam ao longo do empo. Esa quesão foi muio bem discuida por Campbell e Viceira (2002) para o mercado americano, onde os resulados obidos indicam que os invesidores de longo prazo daquele país deveriam alocar grande pare de sua riqueza em ações. Conudo, muio pouco em sido feio e analisado para ouros mercados, em especial, para o caso brasileiro. O objeivo dese rabalho consise em analisar a alocação esraégica de longo prazo em aivos brasileiros uilizando o méodo proposo por Campbell e al. (2003). Ese méodo se baseia num modelo de veores auo-regressivos (VAR), que descreve a dinâmica de variáveis de esado, de forma a auxiliar na resolução do problema de alocação óima de porfólio. A parir dos resulados obidos, conseguimos observar como deveria ser a alocação de longo prazo para um invesidor brasileiro, bem como as variáveis relevanes que influenciam esa decisão, de forma a compará-la com o resulado obido para o caso americano. Curiosamene, os resulados indicam que a alocação em renda fixa é relevane e predominane sobre ações no período analisado para o caso brasileiro. Eses resulados são diameralmene oposos àqueles obidos para o caso americano, onde a alocação em ações é predominane. Pode-se observar ainda que a axa de juros nominal de curo prazo e a razão preço sobre lucro do índice de ações IBX (quando analisada conjunamene com o aivo Veja Brennan e al. (997)

13 ações ) são variáveis imporanes na deerminação da alocação média em renda fixa, pois elas aumenam consideravelmene a demanda por proeção ineremporal por esse aivo. Uma análise poserior da composição das careiras dos fundos de pensão brasileiros indica que a alocação dos aivos nessas careiras pode esar sendo feia de uma maneira míope, iso é, uilizando uma esraégia média-variância, cujo enfoque, por consrução, é de curo prazo. Além disso, o horizone de invesimeno é de um único período. Comparando os resulados obidos do modelo proposo com a composição das careiras desses fundos, conclui-se que a demanda por proeção ineremporal de aivos parece esar sendo ignorada pelos gesores desses fundos. O presene rabalho esá organizado em seis seções além desa inrodução. A segunda seção apresena uma revisão da lieraura sobre o ema. A erceira seção descreve o modelo proposo por Campbell e al. (2003), a dinâmica das variáveis de esado e as preferências dos invesidores. A quara seção apresena a meodologia de solução resumida do modelo apresenado na erceira seção. A quina seção apresena os resulados empíricos para o modelo aplicado ao caso brasileiro. A sexa seção conclui e apresena alguns comenários e recomendações para rabalhos fuuros. 2

14 2-) Revisão Bibliográfica O problema da alocação óima de aivos numa careira de invesimenos sempre foi um ópico de exremo ineresse por acadêmicos e profissionais que auam na área de finanças. Baseados no célebre rabalho de Markowiz (952), os pesquisadores vêm desenvolvendo modelos que buscam aprimorar as écnicas já comumene conhecidas. Enreano, o modelo de Markowiz (952) é esáico; iso é, ele assume que os invesidores se preocupam apenas com sua riqueza um período à frene, ou seja, eles possuem uma esraégia míope. Meron (969) mosrou que a solução de um problema de alocação de múliplos períodos pode ser bem diferene da solução de um problema de alocação esáico. Especificamene, Meron (969) examinou o problema conjuno de alocação óima de porfólio e consumo de um indivíduo, onde sua renda provém do reorno de aivos. Dessa forma, Meron (969) derivou as equações óimas para um problema de alocação em empo conínuo, quando os reornos dos aivos seguem um processo de Wiener (movimeno browniano). Samuelson (969) desenvolveu um modelo similar em empo discreo para formas mais gerais de disribuições de probabilidades. Infelizmene, o modelo ineremporal de Meron é difícil de resolver uilizando uma solução analíica que não resule numa solução esáica. Muios rabalhos desenvolveram formas aproximadas do modelo de Meron aravés de uma discreização do modelo muliperíodo (Lynch (200)) ou para casos pariculares de funções uilidade como em Campbell e Viceira (999). Conudo, esses rabalhos falham em resolver casos complexos do modelo de Meron; ou seja, o invesidor raramene pode invesir num número variado de aivos ou os algorimos não convergem na presença de muias variáveis de esado. Campbell e al. (2003) procurou remediar ese problema aravés de uma meodologia aproximada para o caso mulivariado, do méodo desenvolvido por Campbell e Viceira (999). Aravés de um modelo de veores auo-regressivos (VAR), que descreve a dinâmica de variáveis de esado, e considerando que não há resrições de emprésimo e vendas a descobero dos aivos, ese rabalho desenvolve um méodo que raa os pesos do porfólio óimo como uma função linear e o consumo como uma função quadráica das variáveis de esado. As variáveis de esado são divididas em aivos e variáveis predioras. Os aivos compreendem a axa de juros real de curíssimo prazo, o excesso de reorno da ação em relação à axa livre de risco e o excesso de reorno da renda fixa em relação à axa livre de risco. As variáveis predioras englobam variáveis que foram idenificadas pela 3

15 lieraura como sendo capazes de prever os reornos dos aivos. Elas são: a axa de juros nominal de curo prazo, uilizada em rabalhos como Fama e Schwer (977) e Campbell (987); a razão dividendo sobre preço da ação (dividend yield), como em Campbell e Shiller (988) e a inclinação da esruura a ermo da axa de juros, uilizada em rabalhos como em Campbell e Shiller (99). O modelo assume ainda que o invesidor possui preferências definidas por uma função uilidade de Epsein-Zin (989) sobre uma série de consumo num período de empo infinio. Ese méodo é resolvido de forma rápida uilizando méodos numéricos simples. Já Hoevenaars e al. (2008) esudou a alocação esraégica de aivos considerando não só o aivo, como ambém o passivo de um invesidor. O passivo do invesidor esá sujeio não só ao risco de inflação, como ambém ao risco da axa de juros. Ademais, o modelo incorporou a classe de invesimenos alernaivos (commodiies, hedge funds enre ouros) aos aivos elegíveis para invesimeno. Os auores ambém adicionaram a variável spread de crédio ao conjuno das variáveis predioras uilizadas por Campbell e al. (2003) como uma forma de prever mudanças nos ciclos de crescimeno. Embora a meodologia de cálculo da alocação óima de porfólio uilizada por esses auores seja diferene daquela uilizada por Campbell e al. (2003), os resulados dese rabalho mosram que a classe de invesimenos alernaivos oferece valor para invesidores de longo prazo e que os benefícios da alocação de longo prazo são maiores quando se considera ambém o passivo do invesidor. No Brasil, a maioria dos rabalhos uiliza ou o enfoque esáico ou a programação esocásica na resolução de problemas de alocação de longo prazo. Tais abordagens são ambém uilizadas quando se analisa a alocação das careiras dos fundos de pensão. Leal e al. (2002) desenvolveu um modelo de oimização média-variância de aivos de forma a avaliar as alocações dos fundos de pensão brasileiros no período de 996 a 2000, levando em consideração as resrições legais sobre a composição das careiras imposas pela regulamenação do seor. O méodo uilizado visa reduzir o impaco dos erros de esimação dos parâmeros de enrada (reornos esperados e mariz de covariância dos aivos) e esabilizar a oimização. A meodologia consise basicamene em uma simulação Mone Carlo de froneiras eficienes, de modo que cada froneira simulada era esaisicamene equivalene à froneira eficiene original. Jolig (2003) esuda a gesão de longo prazo dos recursos de um plano de previdência complemenar, do ipo conribuição definida, aravés de um modelo de múliplos períodos de 4

16 oimização dinâmica, que maximizava a uilidade de um indivíduo obida a parir do nível de consumo ao longo de oda sua vida. Gomides (2004) aplicou um modelo de aivo/passivo (Asse Liabiliy Model) em um fundo de pensão. O modelo de oimização esocásica visa enconrar uma careira de invesimeno que oferecesse a menor volailidade do faor de solvência de um fundo de pensão, definido como sendo igual à razão enre aivos e passivos do fundo, sujeio a resrição de que o valor esperado dese faor de solvência fosse superior a uma consane prédeerminada. Ao modelar não só o aivo, como ambém o passivo do invesidor, como uma variável esocásica, o modelo consegue selecionar careiras mais adequadas aos objeivos de longo prazo desses invesidores. O objeivo dese rabalho consise em aplicar o rabalho desenvolvido por Campbell e al. (2003) para o mercado brasileiro. Esa abordagem difere das aneriores na medida em que ela fornece uma forma correa, por incorporar as variações nas oporunidades de invesimeno, e mais simples de analisar as alocações de longo prazo, aravés da modelagem dada pelo modelo VAR. Dessa forma, o modelo VAR é desenvolvido uilizando variáveis de esado, que são divididas em aivos e variáveis predioras. Os aivos compreendem a axa de juros real de curíssimo prazo, o excesso de reorno da ação em relação à axa livre de risco e o excesso de reorno da renda fixa em relação à axa livre de risco, como em Campbell e al. (2003). Já as variáveis predioras foram adequadas ao caso brasileiro, principalmene devido ao fao de muias vezes enconrarmos séries emporais curas ou com enorme volailidade devido a períodos de crise. Elas são: i ) axa de juros nominal de curo prazo, ii ) razão preço sobre lucro (P/E) uilizada como uma proxy para a razão dividendo sobre preço da ação (dividend yield) por geralmene apresenar um poder de previsão similar ao dividend yield 2 e iii ) reorno da axa de câmbio enre o real e o dólar americano (USD/BRL). A variável inclinação da esruura a ermo da axa de juros ambém foi esada no modelo proposo para o caso brasileiro. Enreano, devido a problemas de convergência do méodo numérico na resolução da alocação óima do porfólio, opou-se por não incluir esa variável no rabalho e uilizar o reorno do USD/BRL como sendo uma erceira variável prediora. A escolha desa variável se deve à escassez de variáveis predioras no mercado brasileiro com uma série hisórica relaivamene longa. 2 Veja Hoevenaars e a. (2008) 5

17 Um rabalho similar feio no Brasil é o de Maciel Júnior (2004). O auor aplicou o méodo desenvolvido por Campbell e al. (2003) em aivos brasileiros uilizando dados mensais de julho de 998 a junho de 2004 com um enfoque diferene. Enquano Campbell e al. (2003) uilizaram as mesmas variáveis de esado no exercício empírico, Maciel Júnior (2004) uilizou quaro combinações diferenes de variáveis de esado. Ademais, a análise da relevância e do efeio incremenal que a adição de uma variável ao modelo VAR possui nas alocações médias, bem como o impaco que a variação da olerância ao risco possui nas demandas oal e míope, não foram plenamene discuidas Maciel Júnior (2004) se concenrou mais na explicação dos resulados obidos, uilizando combinações diferenes de variáveis de esado, e na esimação das alocações óimas fora da amosra. Ese rabalho busca preencher essas lacunas de forma que uma grande pare do rabalho de Campbell e al. (2003) possa ser comparado com uma aplicação em aivos brasileiros. Dessa forma, buscou-se ao máximo seguir os passos descrios no arigo original, modificando apenas a especificação das variáveis de esado para se adequarem ao caso brasileiro. 6

18 3-) Definição do Modelo O modelo é elaborado em empo discreo. Além disso, o horizone de invesimeno é considerado infinio e assume-se que o invesidor possui preferências recursivas do ipo Epsein-Zin (989) definidas sobre uma série de consumos fuuros. 3. Aivos O invesidor aloca a sua poupança em n aivos disponíveis para invesimeno. O reorno real do porfólio do invesidor R p, + é dado por: n = i, ( Ri, + R, + ) R, R α () p, i= 2 onde α i, é o peso do aivo i no porfólio. O primeiro aivo é a axa de juros de curíssimo prazo, cujo reorno real é R, +. Embora o reorno nominal seja livre de risco, o reorno real não é livre de risco devido ao fao dese esar sujeio a riscos inflacionários. Na análise empírica dese rabalho, uilizaram-se dois ouros aivos: ações e renda fixa. Desa forma, emos que n = Dinâmica das Variáveis de Esado A dinâmica das variáveis de esado é modelada aravés de um veor auo-regressivo de primeira ordem ou um VAR(). Em princípio, o uso do VAR() não é resriivo dado que qualquer veor auo-regressivo pode ser reescrio como um VAR() aravés da expansão do veor de variáveis de esado. Definindo: x + r2, = r3, rn, r r M r, +, +, + (2) 7

19 onde r i, + ln( + Ri, + ) para odo i e x + é o veor de excesso de reornos logarímicos. Nese rabalho, r, + é a axa de juros real de curíssimo prazo ex-pos, r 2, + refere-se ao reorno real das ações e r 3, + refere-se a o reorno real da renda fixa. Além dos aivos, o veor de variáveis de esado coném ouras variáveis s +, idenificadas pela lieraura como sendo capazes de prever os reornos dos aivos, como a axa de juros nominal de curo prazo. Agrupando odas as variáveis r, +, x+ e s + num único veor z +, cuja dimensão é m, emos: r, + z = + x+ (3) s + Assume-se que o veor z + segue um processo auo-regressivo de primeira ordem. Dessa forma, podemos represenar o veor z + da seguine forma: + = Φ 0 + Φz + v+ z (4) onde Φ 0 é o veor de inercepos cuja dimensão é m, Φ é uma mariz m m de coeficienes de inclinação e v + são os choques das variáveis de esado que saisfazem a seguine disribuição: v i. i d + ~. N, ( 0 ) v ( v ) v Var + 2 σ = σ x σ s σ ' x xx xs ' σ s ' xs ss (5) dessa forma, permiimos aos choques erem correlação cruzada, mas assumindo que eles são homocedásicos e idenicamene disribuídos ao longo do empo. 8

20 O modelo VAR capura a dependência dos reornos esperados dos vários aivos, uilizando seus valores passados, bem como suas relações com as ouras variáveis do modelo. A evolução esocásica dessas ouras variáveis s + ambém é deerminada pelo sisema. 3.3 Preferências O modelo assume que o invesidor possui preferências recursivas definidas sobre uma série de consumo que podem ser descrias por uma função uilidade de Epsein-Zin (989). Esa função uilidade possui a propriedade desejável de que a noção de aversão ao risco é separada da elasicidade de subsiuição ineremporal. De acordo com Epsein e Zin (989), podemos definí-la da seguine forma: / θ [ ( ) ] θ / ( γ ) + ( γ )/ θ γ ( C E ( U )) = ( δ ) C δ E ( U ) U (6), + + onde C é o consumo no empo, γ > 0 é o coeficiene de aversão relaiva ao risco, ψ > 0 é a elasicidade de subsiuição ineremporal, 0 < δ < é o faor de descono, ( γ )/( ψ ) θ e E( ) é o operador de expecaiva condicional. A função uilidade do ipo CRRA é um caso especial desa função uilidade quando assumimos uilidade logarímica é obida quando impomos a resrição adicional γ = ψ =. γ =ψ. A função No empo, o invesidor uiliza oda a informação disponível para fazer uma decisão óima sobre quano consumir e quano poupar. A resrição orçamenária ineremporal pode ser escria da seguine forma: ( W C )( R ) W (7) + = + p, + onde C é o consumo e W é a riqueza no empo. Epsein e Zin (989) nos mosra ambém o resulado para a equação de Euler para o consumo, considerando a resrição orçamenária acima: 9

21 / ψ θ C + ( θ ) E,, = δ R p + Ri + (8) C para odo aivo i, incluindo o porfólio p. As decisões óimas de consumo e invesimeno devem saisfazer a equação (8). Quando as oporunidades de invesimeno são consanes, o invesidor oma sua decisão como se o horizone de invesimeno fosse apenas um período. Enreano, quando as oporunidades de invesimeno dependem do empo, não há soluções analíicas disponíveis, exceo para alguns valores específicos de γ e ψ. Campbell e al. (2003) desenvolveu uma meodologia, descria abaixo, para enconrarmos as alocações óimas quando as oporunidades de invesimeno dependem do empo aravés de uma solução aproximada para o caso mulivariado do méodo elaborado por Campbell e Viceira (999). 0

22 4-) Meodologia de Solução Nesa seção, uilizou-se a meodologia desenvolvida por Campbell e al. (2003) para a deerminação das alocações óimas do porfólio de um invesidor quando as oporunidades de invesimeno dependem do empo para o caso mulivariado. Uilizando o resulado obido por Campbell e Viceira (999), pode-se aproximar o reorno logarímico do porfólio pela equação abaixo: r ' p, + = r, + + α x+ ' + α 2 2 ( σ α ) x xx (9) σ x diag xx é o veor dos elemenos da diagonal de xx, a variância dos excessos 2 onde ( ) de reorno e α é o veor de pesos dos excessos de reorno dos aivos. A resrição orçamenária dada pela equação (7) é não-linear, pois o consumo é subraído da riqueza anes que o reorno do porfólio muliplique o reso. De acordo com Campbell (993), pode-se aproximar a resrição orçamenária ao redor da média da razão consumo-riqueza. Dividindo (7) por W, em-se: W W + ( + R ) C p, W = + (0) Aplicando logs na equação (0), obemos: ( ( c w )) w + = rp, + + log exp () O segundo ermo do lado direio da equação () é uma função não linear do log da razão consumo-riqueza. Se esa razão não é muio variável, ela pode ser aproximada usando uma expansão de Taylor de primeira ordem ao redor de sua média. A expressão resulane é: w + rp, + ( c w ) + k (2) ρ +

23 onde é o operador diferença, ρ exp( E[ ]) e k log( ρ ) + ( ρ) log( ρ) / ρ. c w Esa forma de resrição orçamenária é exaa se a elasicidade de subsiuição ineremporal ψ =. Nese caso, ( c ) é consane e ρ = δ. w Aplicando uma expansão de Taylor de segunda ordem na equação de Euler (8) ao redor das médias condicionais c +, r p, + e r i, +, obêm-se: θ θ θ logδ E c + ( θ ) Erp, + + E ri, + + Var c + ( θ ) rp, + + ri, ψ 2 (3) ψ 0 = + Esa equação de Euler loglinearizada é exaa se o consumo e os reornos dos aivos são conjunamene disribuídos pela disribuição lognormal, que é o caso quando a elasicidade de subsiuição ineremporal ψ =. Fazendo i = na equação (3) e subraindo o resulado da forma geral dada pela c w, obêm-se para i = 2, K, n : + = c w + equação (3) e lembrando que ( + + ) + E 2 θ ψ ( r r ) + Var ( r r ) = ( σ σ ) + γ ( σ σ ) ( σ σ ) i, +, + i, +, + i, c w,, c w, i, p,, p, i,,,, (4) onde σ i, c w, = Cov ( ri, +, c+ w + ), σ, c w, = Cov ( r, +, c+ w + ), i, p, = Cov ( ri, +, rp, + ) σ Cov ( r r ), σ Cov ( r r ) e σ Var ( r )., p, =, +, p, + i,, = i, +,, +,, =, + σ, A equação acima relaciona o prêmio pelo risco do aivo i, ajusado pela desigualdade de Jensen, ao seu excesso de covariância com o crescimeno do consumo, ao seu excesso de covariância com o reorno real do porfólio e à covariância dos excessos de reorno com o reorno real da axa de juros de curíssimo prazo. Para descobrir a solução do problema de alocação óima do porfólio, Campbell e al. (2003) assumem que a alocação óima e o consumo possuem a seguine forma: α (5) = A + 0 A z ' ' c w = b0 + Bz + z B2 z (6) 2

24 onde A 0, A, b 0, B e B 2 são marizes de coeficienes a serem deerminados. O modelo assume que a alocação óima é linear no veor das variáveis de esado do VAR, mas o consumo óimo é quadráico. A solução dese problema envolve reescrever os momenos condicionais que aparecem na equação (4) como função dos parâmeros do VAR e dos parâmeros a serem esimados das equações (5) e (6). Dessa forma, lembrando que o veor de excesso de reornos é dado por expecaivas condicionais do lado esquerdo da equação (4) são escrias como: x, as E 2 2 ( x ) Var ( x ) = H Φ + H Φ z + σ x 0 x x (7) 2 onde esado. H x é uma mariz que seleciona o veor de excesso de reornos do veor de variáveis de O apêndice de Campbell e al. (2003) nos mosra que as rês covariâncias condicionais do lado direio da equação (4) podem ser escrias como funções lineares das variáveis de esado. Em noação maricial: [ σ i, c w, σ, c w, ] = Λ 0 + z c w, σ, c w, ι Λ i= 2, K, n σ (8) [ σ i, p, σ, p, ] = xx α x σ + p, σ, p, ι σ i= 2, K, n [ σ i,, σ,, ] x σ =, σ,, ι σ i= 2, K, n (9) (20) onde ι é um veor de s, Λ 0 e Λ são marizes de coeficienes a serem deerminados. 4.-) Escolha do Porfólio Óimo em-se: Resolvendo a equação de Euler (4) para as alocações do porfólio e reagrupando, θ ( x ) + Var ( x ) + ( γ ) σ + ( σ σ ι ) α = xx + + x xx c w,, c γ 2 γ ψ E w, (2) 3

25 E e σ c w, σ, c w, ι são funções lineares de z, dada pela 2 onde ( x ) Var ( x ) equações (7) e (8), respecivamene. A escolha do porfólio óimo dada pela equação (2) pode ser visa como a soma de dois componenes. O primeiro ermo a direia da equação (2) é o componene míope da alocação óima. Devido a sua naureza míope, ese componene não depende da elasicidade de subsiuição ineremporal ψ. O segundo ermo a direia da equação (2) é o componene da demanda por proeção ineremporal. No modelo, o conjuno das oporunidades de invesimeno depende do empo, dado que os reornos esperados dos diferenes aivos dependem do esado em que eles se enconram. Meron (97) mosra que um invesidor racional mais avesso ao risco que um invesidor com uilidade logarímica irá se proeger conra mudanças adversas nas oporunidades de invesimeno. Subsiuindo as equações (7) e (8) em (2) e reagrupando os ermos, emos: α (22) A + 0 A z onde: 2 Λ ( ) + 0 A 0 = xx H x Φ 0 + σ x + γ σ x xx (23) γ 2 γ ψ Λ Φ + A = xx H x xx (24) γ γ ψ A equação (22) confirma a forma inicial dos pesos assumida na alocação óima do porfólio. Além disso, esa equação expressa as marizes de coeficienes A 0 e A como funções dos parâmeros, descrevendo as preferências e a dinâmica das variáveis de esado. O apêndice de Campbell e al. (2003) ambém nos mosra que dado o parâmero ρ, as 0 marizes de coeficiene e ( Λψ ) ( ψ ) Λ são independenes da elasicidade de subsiuição ineremporal ψ. Iso implica que a alocação óima do porfólio é independene de ψ, dado 4

26 ρ. A elasicidade de subsiuição ineremporal ψ afea a alocação óima via deerminação do parâmero ρ, pois ρ exp( E[ ]) e [ ] c w E c w é função de ψ. Na análise empírica descria a seguir, foi considerado o caso onde ψ =. Dessa forma, o valor de ρ é conhecido e é igual ao faor de descono ineremporal δ. 4.2-) Consumo Óimo Fazendo i = p na equação (3) e reagrupando, emos: E ( c ) = δ + χ ψe ( r ) ψ (25) + log p, + p, + θ onde: Var ( c ψr ) χ p, = + p, + é o ermo de poupança precaucionária. 2 ψ Campbell e al. (2003) nos mosra que combinando a equação (25) com a resrição orçamenária loglinearizada dada pela equação (2), obêm-se uma equação para c w : c w ( ψ ) E ( r ) + ρk + ρe ( c w ) = ρψ δ ρχ ρ (26) log p, + p, onde ano ( ) E r p, + quano p, χ são funções quadráicas das variáveis de esado do modelo VAR. A equação (26) confirma a forma inicial da razão consumo-riqueza como uma função quadráica das variáveis de esado na alocação óima do porfólio. Dessa forma, podemos deerminar os coeficienes b 0, B e B 2. 5

27 5-) Análise Empírica Nesa seção, uilizaremos o modelo apresenado aneriormene para esudar o caso de como os invesidores que diferem em preferências de consumo e aversão ao risco alocam o seu porfólio enre rês classes de aivos brasileiros: caixa, ações e renda fixa. As oporunidades de invesimeno são descrias por um modelo VAR que inclui a axa de juros real ex-pos de curo prazo, o excesso de reorno de ações e o excesso de reorno da renda fixa, além de variáveis predioras: axa de juros nominal de curo prazo, a razão preço sobre lucro e a variação do reorno da moeda USD/BRL. As alocações óimas foram calculadas para diferenes valores de aversão ao risco (γ ), assumindo elasicidade de subsiuição ineremporal consae e uniária ( ψ = ) e faor de descono igual a 97,0% em ermos rimesrais ( δ = ). Dessa forma, emos a solução enconrada por Giovannini e Weil (989), onde a razão consumo-riqueza é consane e igual a δ. Iso implica que o parâmero ρ exp( E[ c w ]) é igual a δ. A escolha de ψ = é conveniene, mas não necessária para os resulados. Campbell e al. (2003) calcularam as alocações óimas para o caso onde ψ = 0. 5 uilizando um procedimeno numérico recursivo e enconraram resulados similares àqueles quando ψ =. O valor do faor de descono δ foi esimado por Araújo Júnior (2005) uilizando dados rimesrais brasileiros de 974 a 999 para a função uilidade Epsein Zin (989). O valor enconrado foi δ = em ermos rimesrais. Ese valor equivale a um juro real de 2.9 % ao ano aproximadamene. No caso americano, foi uilizado um faor de descono δ = 0.92 em ermos anuais, correspondendo a um juro real de 8.70 % ao ano aproximadamene, durane o período do século XX. 5.-) Descrição dos Dados O exercício empírico uilizou dados mensais de julho de 2002 aé junho de 2009, oalizando 84 observações. O índice de preços uilizado foi o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) medido pelo Insiuo Brasileiro de Geografia e Esaísica (IBGE). Todos os dados foram obidos do erminal Bloomberg. As variáveis de esado foram definidas da seguine forma: 6

28 - Aivos -) Caixa: uilizou-se o reorno real logarímico ex-pos calculado como sendo igual à diferença enre a axa dada pelo Swap Pré X CDI de mês e a inflação mensal em log. 2-) Ação: uilizou-se o excesso de reorno logarímico calculado como sendo igual a diferença enre o reorno logarímico mensal do índice IBX e o reorno logarímico do Swap Pré X CDI de mês. O IBX é um índice que compreende as 00 ações mais negociadas na BOVESPA, ano em relação ao número de negócios quano ao volume financeiro negociado. O peso que cada ação exerce sobre a composição do índice é ponderado por seu respecivo valor de mercado. As ações selecionadas para compor ese índice apresenam ampla represenaividade na economia e, porano, represenam uma boa diversificação de risco. 3-) Renda Fixa: uilizou-se o excesso de reorno logarímico calculado como sendo igual à diferença enre o reorno logarímico mensal do Swap Pré x CDI de 5 anos (o aivo em quesão consise num íulo hipoéico com prazo consane de 5 anos) e o reorno logarímico do Swap Pré X CDI de mês. Para o cálculo do reorno mensal logarímico do Swap Pré x CDI de 5 anos, foi uilizada a seguine fórmula: + = y n )( y + y ) (27) n, n ( n, n r onde ( R ) r ln + é o reorno enre o período e + de comprar um íulo sem n, + + n, cupom com axa igual a y ln( + Y ) disso, foi feia a aproximação y n, + = yn, +. n, n, mauridade n, em e vendê-lo em +. Além - Variáveis Predioras -) Taxa de Juros Nominal de Curo Prazo (Juro Curo): uilizou-se a axa de juros logarímica do Swap Pré X CDI de 3 meses como uma referência da axa de juros nominal de curo prazo. 2-) Razão Preço sobre Lucro (P/E): indicador preço sobre lucro em log do índice IBX. Consise num múliplo que mede o preço das ações das empresas que compõem o índice IBX com relação aos lucros anuais por ação dessas empresas nos úlimos 2 meses. Quano maior o valor do P/E, mais os invesidores esão pagando por uma unidade de lucro dessas empresas. 7

29 Ou seja, ese múliplo nos diz como esá a demanda dos invesidores pelas ações dessas empresas. 3 -) BRL: ulizou-se o reorno logarímico da axa de câmbio enre o real e o dólar americano. 5.2-) Esimação do VAR A abela nos mosra um resumo do primeiro e segundo momenos das variáveis uilizadas. As variáveis caixa, ação, renda fixa e BRL esão em ermos mensais e em ponos percenuais. A variável juro curo esá em ermos anuais com capialização conínua e em ponos percenuais. Tabela Esaísicas da Amosra Amosra Mensal (Jul Junho 2009) Média Desvio Padrão Índice Sharpe Min Max Caixa Ação Renda Fixa Juro Curo P/E BRL Noa: i ) O índice Sharpe é um número que expressa o reorno por nível de risco de um aivo. Ele é definido como sendo igual à razão enre o excesso de reorno do aivo em relação à axa livre de risco e o desvio padrão do aivo. ii) Os aivos Ação e Renda Fixa esão definidos como excessos de reorno em relação à axa livre de risco. De acordo com os dados da abela, o reorno do caixa é aquele que apresenou um menor rendimeno médio real logarímico (0.67% ao mês), com pouca variabilidade. As ações iveram um excesso de reorno médio logarímico de 0.76% ao mês, comparado com um excesso de reorno médio logarímico de,22% ao mês da renda fixa. Além disso, embora a volailidade mensal da renda fixa seja maior que a de ações (8.37% conra 7,45%), o índice Sharpe da renda fixa é maior que o de ações (0.5 conra 0.0). 8

30 O valor médio da axa de juros nominal de curo prazo foi 4,95 % ao ano. O BRL apresenou valorização média de 0.44 % ao mês conra o dólar americano no período, enquano que o múliplo P/E apresenou valor médio de 2.4 em ermos logarímicos. Pode-se observar uma ala dispersão das variáveis aravés dos valores mínimos e máximos na abela. Iso decorre do fao da amosra conemplar o período de 2002, ano marcado por inensa volailidade nos mercados locais devido à dispua presidencial no país. Além disso, a amosra conempla ouro período urbuleno nos mercados financeiros mundiais com a crise do subprime americano, desencadeada mais noavelmene com a quebra do banco Lehman Brohers em seembro de A figura nos mosra a evolução das variáveis aivos, ao longo do empo, incluídas no modelo VAR. Caixa Excesso de Reorno de Renda Fixa Excesso Reorno de Ação 30.00% 20.00% 0.00% 0.00% -0.00% % % % Jul-02 Nov-02 Mar-03 Jul-03 Nov-03 Mar-04 Jul-04 Nov-04 Mar-05 Jul-05 Nov-05 Mar-06 Jul-06 Nov-06 Mar-07 Jul-07 Nov-07 Mar-08 Jul-08 Nov-08 Mar-09 Figura : Evolução dos aivos ao longo do empo Já a figura 2 mosra o hisórico da axa de juros nominal de curo prazo. 9

31 27.50% Juro Curo 25.00% 22.50% 20.00% 7.50% 5.00% 2.50% 0.00% 7.50% 5.00% Jul-02 Nov-02 Mar-03 Jul-03 Nov-03 Mar-04 Jul-04 Nov-04 Mar-05 Jul-05 Nov-05 Mar-06 Jul-06 Nov-06 Mar-07 Jul-07 Nov-07 Mar-08 Jul-08 Nov-08 Mar-09 Figura 2: Evolução da axa de juros nominal de curo prazo A figura 3 nos mosra a evolução do múliplo P/E em ermos logarímicos. P/E (LOG) Jul-02 Nov-02 Mar-03 Jul-03 Nov-03 Mar-04 Jul-04 Nov-04 Mar-05 Jul-05 Nov-05 Mar-06 Jul-06 Nov-06 Mar-07 Jul-07 Nov-07 Mar-08 Jul-08 Nov-08 Mar-09 Figura 3: Evolução do P/E ao longo do empo Já a figura 4 nos mosra o gráfico dos reornos logarímicos mensais do BRL. 20

32 20.00% BRL 5.00% 0.00% 5.00% 0.00% -5.00% -0.00% -5.00% % % Jul-02 Nov-02 Mar-03 Jul-03 Nov-03 Mar-04 Jul-04 Nov-04 Mar-05 Jul-05 Nov-05 Mar-06 Jul-06 Nov-06 Mar-07 Jul-07 Nov-07 Mar-08 Jul-08 Nov-08 Mar-09 Figura 4: Evolução dos reornos logarímicos mensais do BRL Anes de efeuarmos a esimação do modelo VAR, é necessário garanir a esacionariedade das séries do modelo. A abela 2 nos mosra a esaísica dos eses de raiz uniária Augmened Dickey-Fuller (ADF), Phillips-Perron (PP) e Kwiakowski-Phillips- Schmid-Shin (KPSS) para odas as séries. Tabela 2: Teses de Raiz Uniária Noa: i ) Teses realizados com a inclusão dos ermos inercepo e endência. ii ) *,**,*** significam rejeição da hipóese Η 0 a %, 5 % e 0 % de significância, respecivamene. Os resulados da abela 2 indicam que à 5% de significância, odas as variáveis, com exceção do P/E, rejeiam a hipóese Η 0 de raiz uniária dos eses ADF e PP. À 0% de significância, a variável P/E rejeia a hipóese Η 0 de raiz uniária dos eses ADF e PP. Com 2

33 relação ao ese KPSS, cuja hipóese Η 0 é de esacionariedade, apenas as variáveis Caixa e P/E rejeiaram a hipóese Η 0 a 0% de significância. Logo, pode-se garanir a esacionariedade das séries uilizadas no modelo. A abela 3 nos mosra os resulados do VAR uilizando os dados mensais de julho de 2002 aé junho de 2009 para o modelo descrio. Os coeficienes esimados enconram-se junamene com suas esaísicas em colchees. Além disso, ambém é apresenado o valor do 2 R, junamene com o p-value do ese F de significância conjuna, para cada equação esimada do VAR. Na pare inferior da abela 3, enconra-se a mariz de correlação dos resíduos do VAR. Os números acima da diagonal principal são as correlações enquano que os números da diagonal principal são os desvios-padrões muliplicados por 00. Tabela 3: VAR Resulados da Esimação Noa: i) As raízes inveridas do modelo siuam-se denro do círculo uniário. Logo, o modelo VAR é esacionário. ii) Os criérios de informação de Schwarz (SC) e Hannan-Quinn (HQ) indicam a defasagem como sendo a ordem adequada do modelo VAR. iii) O ese LM de correlação serial indicou a rejeição da hipóese Η, de ausência de correlação serial, na segunda defasagem à 5% de significância. 0 Enreano, opou-se por uilizar o VAR() dado os resulados dos criérios de informação e a meodologia de solução dos porfólios óimos desenvolvida por Campbell e al. (2003), onde eles assumem que o modelo VAR() descreve a dinâmica das variáveis de esado. Dessa forma, em-se um modelo aplicado ao 22

34 caso brasileiro comparável àquele aplicado ao caso americano. Ademais, a uilização de um modelo auoregressivo com mais defasagens dificularia a análise econômica dos resulados; iso é, o impaco que cada variável em nela mesma e nas ouras variáveis de esado. A primeira linha da abela 3 corresponde à equação da variável caixa. As variáveis caixa defasado e ação apresenam esaísica acima de 2,0 (em módulo) na previsão da variável caixa um período à frene. A segunda linha da abela 3 corresponde à equação do excesso de reorno de ações. Como em Campbell e al. (2003), prever o excesso de reorno de ações é difícil: esa equação foi aquela que apresenou o menor valor para o 2 R denre odas as equações. Além disso, nenhuma variável apresenou esaísica acima de 2,0 (em módulo) na equação. A erceira linha da abela 3 é a equação para o excesso de reorno de renda fixa. O juro curo com um coeficiene posiivo e a variável BRL com um coeficiene negaivo foram aquelas que apresenaram uma esaísica maior e igual que 2,0 (em módulo) na previsão do excesso de reornos fuuros da renda fixa. As ouras rês linhas da abela 3 reporam os resulados obidos para as variáveis predioras. As variáveis juro curo e P/E possuem uma dependência fore com seus valores defasados um período, haja visa o alo valor da esaísica dos coeficienes dessas variáveis defasadas. A abela 3 ambém apresena a mariz de correlação dos resíduos do modelo VAR. Pode-se inferir que o excesso de reorno inesperado de ações possui uma correlação posiiva ala com choques no múliplo P/E, conforme esperado, e uma correlação posiiva com choques no BRL, ou seja, uma desvalorização no BRL leva a um excesso de reorno inesperado negaivo em ações e vice-versa. Da mesma forma, o excesso de reorno inesperado da renda fixa possui uma correlação negaiva com choques na axa de juros de curo prazo e uma correlação posiiva com choques no BRL, ou seja, uma desvalorização no BRL leva a um excesso de reorno inesperado negaivo em renda fixa e vice-versa. Vale ressalar ainda a correlação posiiva do excesso de reorno inesperado de ações com renda fixa. Observa-se que esses resulados esão em linha com àqueles obidos por Campbell e al. (2003). No caso americano, o excesso de reorno inesperado de ações possui uma correlação negaiva ala com choques no dividend yield. O excesso de reorno inesperado da renda fixa possui uma correlação negaiva com choques na axa de juros de curo prazo. Vale mencionar ainda a correlação posiiva exisene enre o excesso de reorno inesperado de ações e renda fixa. 23

35 5.3-) Alocação Esraégica de Aivos Conforme mosrado aneriormene, a alocação óima do porfólio é linear no veor das variáveis de esado. Dessa forma, a alocação óima do porfólio muda com o empo. Os resulados obidos foram calculados aravés de uma alocação média para cada aivo, ano para a demanda oal quano para a demanda míope e por proeção, para diferenes especificações do veor de variáveis de esado. O procedimeno numérico para o cálculo das alocações óimas é descrio com dealhes no apêndice de Campbell e al. (2003) Foram calculados cinco modelos VAR, de forma que o número de variáveis aumena seqüencialmene. Os resulados obidos foram enão uilizados para o cálculo das alocações médias para ψ =, δ = em ermos rimesrais e γ =, 2, 5 e 20. O procedimeno numérico para o cálculo das alocações óimas foi simulado uilizando o sofware MATLAB 3. A abela 4 apresena os resulados. O primeiro modelo VAR (Consane) considera apenas o ermo consane em cada regressão, correspondendo ao caso onde o prêmio pelo risco é consane, iso é, as oporunidades de invesimeno não variam com o empo. O segundo modelo (AR) inclui além do ermo inercepo, as variáveis definidas como aivos. O erceiro modelo (Juro Curo) engloba as variáveis do segundo modelo mais a variável juro curo. Adicionando seqüencialmene as variáveis P/E e BRL, foram esimados cinco modelos VAR. 3 O algorimo em MATLAB pode ser fornecido aravés de conao com o auor. 24

36 Tabela 4: Demanda Média dos Aivos Noa: i ) As raízes inveridas siuam-se denro do círculo uniário para odos os modelos VAR. Logo, os modelos VAR são esacionários. ii) Os criérios de informação de Schwarz (SC) e Hannan-Quinn (HQ) indicam a defasagem como sendo a ordem adequada para odos os modelos VAR. iii) O ese LM de correlação serial indicou a rejeição da hipóese Η 0, de ausência de correlação serial, na segunda defasagem à 5% de significância para odo os modelos VAR. Enreano, opou-se por uilizar o VAR() dado os resulados dos criérios de informação e a meodologia de solução dos porfólios óimos 25

37 desenvolvida por Campbell e al. (2003), onde eles assumem que o modelo VAR() descreve a dinâmica das variáveis de esado. Dessa forma, em-se um modelo aplicado ao caso brasileiro comparável àquele aplicado ao caso americano. Ademais, a uilização de um modelo auo-regressivo com mais defasagens dificularia a análise econômica dos resulados; iso é, o impaco que cada variável em nela mesma e nas ouras variáveis de esado. Os valores obidos em cada coluna são alocações médias dos aivos em ponos percenuais quando o modelo VAR engloba a variável de esado de sua coluna bem como odas as variáveis à sua esquerda. No primeiro caso, coluna Consane, em-se o modelo VAR apenas com o ermo inercepo em cada regressão. No úlimo caso, coluna BRL, em-se o modelo VAR mais abrangene, com odas as variáveis de esado inclusas. A abela 4 nos permie analisar dois efeios nas demandas dos aivos. Ao comparar as alocações denro de uma mesma coluna, pode-se esudar como as demandas médias variam com o aumeno da aversão ao risco. Ao comparar as alocações numa mesma linha, podem-se analisar os efeios incremenais que a adição de uma variável no modelo VAR possui nas demandas médias. Primeiramene, podem-se analisar os efeios nas demandas médias denro de uma mesma coluna. A fim de simplificar a discussão, será considerado apenas o caso do modelo VAR com odas as variáveis inclusas (coluna BRL). O primeiro conjuno de dados repora os resulados para o invesidor com aversão ao risco γ =. Nesa siuação, emos que a função uilidade de Epsein-Zin (989) assume um caso especial, com γ = e ψ =. Ou seja, o invesidor possui uma função uilidade do ipo logarímica. Logo, sua alocação é puramene míope. A equação (2) avaliada com γ = nos diz que a alocação depende apenas do inverso da mariz de variância-covariância dos excessos de reornos inesperados e dos reornos esperados dos excessos de reornos de ações e renda fixa. Dessa forma, o invesidor possui uma posição aiva ano em ações como em renda fixa, sendo o percenual maior de sua alocação em renda fixa (22% conra 30%), o aivo com maior índice de Sharpe. Além disso, o invesidor possui uma posição passiva igual a -25% no caixa. O segundo conjuno de dados repora os resulados para o invesidor com aversão ao risco γ = 2. Nese caso, emos que o invesidor possui uma alocação aiva em renda fixa (682%) e passiva em ações (-22%). Além disso, o invesidor possui uma posição passiva igual a -460% no caixa. 26

38 O erceiro conjuno de dados repora os resulados para o invesidor com aversão ao risco γ = 5. Nese caso, emos que o invesidor possui uma alocação aiva em renda fixa (460%) e passiva em ações (-02%). Além disso, o invesidor possui uma posição passiva igual a -258% no caixa. O quaro conjuno de dados repora os resulados para o invesidor com aversão ao risco γ = 20. Nese caso, emos que o invesidor possui uma alocação aiva em renda fixa (50%) e passiva em ações (-32%). Além disso, o invesidor possui uma posição passiva igual a -8% no caixa. Invesidores com aversão ao risco γ > possuem uma demanda por proeção posiiva por renda fixa. Podem-se observar na abela 4, coluna BRL, que os valores crescem, aingem um pico e depois decaem com a aversão ao risco. Ademais, a demanda oal é sempre maior que a demanda míope para ese caso. A figura 5 ilusra ese fao para o modelo VAR original, coluna BRL. A equação (2) nos diz que a demanda míope é uma função linear do parâmero de olerância ao risco ( / γ ). Já a demanda oal é a soma das demandas míopes com a demanda por proeção. Logo, a demanda por proeção apresena um padrão gráfico semelhane à demanda oal. Alocação em Renda Fixa Demanda Toal Demanda Míope Tolerância ao Risco Figura 5: Alocação óima em renda fixa Dado que os reornos dos aivos variam com o empo, os invesidores procuram se proeger de variações nos reornos fuuros de seus invesimenos aravés da seleção de aivos que os proejam de cenários adversos, iso é, quando as oporunidades de invesimeno se 27

39 deerioram. O modelo VAR implica que os reornos esperados da renda fixa aumenam quando o juro curo aumena e quando há uma desvalorização do BRL. A abela 3 mosra que, dada a correlação negaiva exisene enre a renda fixa e o juro curo, reornos negaivos em renda fixa são correlacionados com uma melhora nas oporunidades de invesimeno fuuras. Da mesma forma, dada a correlação posiiva enre renda fixa e o BRL, reornos negaivos em renda fixa são correlacionados com uma melhora nas oporunidades de invesimeno fuuras. Logo, os invesidores conservadores procuram se proeger de choques adversos nas oporunidades de invesimeno fuuros da renda fixa comprando renda fixa. Analisando a figura 5, percebe-se que esa demanda por proeção ainge um valor máximo para valores inermediários de aversão ao risco. Iso se deve ao fao de que invesidores com aversão ao risco γ = não possuem demanda por proeção ineremporal, ao passo que invesidores exremamene conservadores não possuem ineresse nas oporunidades de invesimeno arriscadas disponíveis na renda fixa. Já a demanda por proeção por ações possui um padrão diferene daquela da renda fixa. A demanda por proeção dese aivo possui um padrão em forma de U, conforme se pode inferir da figura 6. Esa demanda por proeção é negaiva para odos os valores de aversão ao risco maior que um, sendo que ela ainge o mínimo para valores inermediários de aversão ao risco, quase que coincidindo com o valor máximo da demanda por proeção de renda fixa. Ese padrão pode ser explicado pelo fao de haver uma correlação posiiva enre os excessos de reornos inesperados de ações e renda fixa. Logo, os invesidores podem omar posições conrárias nos dois aivos (aivo em renda fixa e passivo em ações) de forma a minimizar o risco dos reornos fuuros de seus porfólios. Os gráficos obidos possuem um padrão semelhane àqueles obidos por Campbell e al. (2003). Conudo, percebe-se que enquano a demanda por proeção é negaiva para ações no caso brasileiro, esa demanda é posiiva para o caso americano. A mesma inversão ocorre quando analisamos a demanda por proeção em renda fixa. Logo, o modelo implica que a alocação esraégica de longo prazo para um invesidor brasileiro é oposa à alocação esraégica de longo prazo para um invesidor americano. 28