Modelos para títulos de desconto e considerações sobre calibragem

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1 Modelos para íulos de descono e considerações sobre calibragem Fabricio Tourrucôo April 25, 2007 Absrac Uilizando méodos de perurbação regulares são obidas fórmulas aproximadas para o preço de um íulo de descono. Invesigam-se algumas esraégias de calibragem. São feias simulações numéricas para ober evidências da validade da aproximação assinóica. Palavras-chave: Maemáica de Finanças, Méodos de Perurbação, Apreçameno, Calibragem. 1 Inrodução Uilizando méodos de perurbação regulares 1, são obidas fórmulas aproximadas para o preço de um íulo de descono. Ese insrumeno é caracerizado por não er pagamenos periódico de cupons e por ser vendido com um descono relaivamene ao seu valor de face. O comprador recebe uma obrigaçãoqueseráresgaadapelovalordefacenadaadevencimenodoíulo. A imporância de uma fórmula (exaa ou aproximada) para um insrumeno de descono simplifica o apreçameno de insrumenos mais complexos que envolvam desconos de fluxos fuuros. Calibragem corresponde ao ajuse dos parâmeros do modelo a dados exógenos. O modelo deve ser livre de arbiragem frene, em especial, à esruura a ermo das axas de juro. Consideram-se possibilidades de calibragem dos modelos obidos. A equação para o preço é discreizada obendo-se uma aproximação numérica. Esa aproximação é comparada a aproximação analíica com o inuio de ober evidências da validade desa. 1 Cf. [1], [3], [5]. 1

2 Salvo algumas seções adicionadas, ese rabalho apresena alguns dos resulados obidos em [7]. No que segue: =0corresponde à daa presene; e denoamos um íulo de descono por ZCB. 2 Modelagem Seja V ovalordeuminsrumenoderendafixa com daa de vencimeno T. O modelo generalizado de Black-Karasinski (gbk) é definido por V (, x; T )=E ne R T r(x( 0 ))d 0 V (T,X(T )) X() =x}, (1a) com 0 T, onde a variável de esado X() segue o processo de Ornsein- Uhlenbeck dx =[θ() κ()x] d + ε α()dw, (1b) X(0) = 0, ε 1, com W um processo de Wiener, ou movimeno Browniano e a axa de juro de curo prazo r é uma função explícia g da variável de esado X r = g(x) :=r 0 (1 + νx) 1/ν, (1c) onde r 0 := r(0) é o valor aual da axa de juro de curo prazo e ν = 1 q com q N. Os casos pariculares ν = 1 e ν = 1 são conhecidos como, 2 respecivamene, os modelos de Hull-Whie (HW) e CIR. O caso limie de r ao ν 0 (q ), r= r 0 e X, é conhecido como o modelo de Black Karasinski (BK). Esse caso limie é uilizado para esender a definição em (1c) para incluir o caso ν =0. Embora ese rabalho se focalize nesses casos pariculares, a consrução é válida para qualquer ν = 1,q N. q Seja X() o valor esperado de X() X() :=E {X() X(0) = 0}. (2) De (1b, 2) X saisfaz o processo deerminísico µ θ() κ() X d X d = κ() X(0) = 0., (3a) (3b) De (3a) pode-se ver que X revere para a média θ() com velocidade κ(). κ() Para referência fuura, escreve-se a solução de (3) como Z θ(s) X() =λ() λ(s) ds, (4a) 0 λ() :=e R 0 κ(s)ds. (4b) 2

3 Com o propósio de ilusrar a relação enre r e a variável de esado X, considere-se, em paricular, o modelo para r (1b, 1c) com ν =1, ou seja, omodelohw.nesecasoaaxadejurodecuroprazor esá relacionada linearmene à variável de esado X, ou seja, r() =r 0 (1 + X()). Aevolução de r() é dada em orno de seu valor aual r 0, sendo corrigido de acordo com a evolução de X(). Pode-se ver o faor de correção X() comoasomadeuma componene deeminísica, X(), edeouraaleaória. Comoacomponene aleaória possui um parâmero de escala ε 1, o desvio em orno do valor esperado X() possui variância local pequena. Para enender o efeio de mudar ν nomodeloparaaaxadejurodecuro prazo, examina-se a mudança local de r r(x) em orno de r 0 r X=0. Dado que r 0 = r0r ν 1 ν e r 00 =(1 ν)r0 2ν r 1 2ν, em-se r 0 r=r0 = r 0 e r 00 r=r0 = (1 ν)r 0. Diminuindo ν, aparirdeν =1, assumindo-se r 0 > 0, adiciona convexidade ao modelo pois r 0 r=r0 não depende de ν e r 00 r=r0 > 0. Noe ambém que, para um r 0 > 0 dado, a convexidade aumena à medida que se diminui ν. A seguir, invesigam-se as condições de monoonicidade, relaivamene à variável de esado, e de não negaividade da axa de juro de curo prazo pelo modelo (1c). Nesa discussão, assume-se r 0 > 0 e noa-se que a derivada de r r(x) de ordem n é dada por r (n) = n 1 Q (1 kν)r0 nν r 1 nν para n N. k=1 Se ν =0, isoé,paraomodelobk,r é uma função monóona crescene de X e r>0. Deouraforma,BKemaspropriedadesdemonoonicidadee denãonegaividadedaaxadejurodecuroprazoverificadas globalmene. Para ν = 1,q N, enreano, ais propriedades são verificadas somene q em pare do domínio. Verifica-se que r>0 e r 0 > 0 para X> 1. Se X ν 1 diz-se que, por diferenes moivos, o modelo (1c) não possui significado ν físico. Exise a possibilidade de o modelo gerar uma axa de juro zero, especificamene, r( 1)=0.Seν = 1, q N, ν q r(q) 1 ν > 0 e r (k) 1 ν =0, para k<qe k N. Ou seja, para X< 1,ré decrescene se q éparer<0 ν se q éímpar. As limiações do modelo (1c) aponadas aneriormene são compensadas se variância local é pequena, advinda das condições ε 1 e ser limiado superiormene, e se X() possui valores, suficienemene, maiores que 1. Uma ν caracerização mais precisa das afirmações aneriores esá fora do ineresse principal dese rabalho. Para simplificar o modelo (1) para um insrumeno de renda fixa, define-se Y () por X() = X()+λ()Y (). (5) 3

4 Em ermos de Y,omodelogBKé V (, y; T )=E ne R T r( 0,Y ( 0 ))d 0 V (T,Y (T )) Y () =y }, (6a) e r = r(, Y ) édadopor r(, Y )=g( X()+λ()Y ). (6b) Para mosrar que a variável aleaória Y,definida via (5), é um maringale basa diferenciar (5) para ober dx = d X + Ydλ+ λdy =[θ κ(x λy )] d κλy d + λdy, onde foram usados (4, 5). Usando (1b) conclui-se que a variável de esado Y () segue o processo dy = εα()dw, Y (0) = 0, (6c) (6d) com α() := α() λ(). (6e) Dado que Var Y () =ε R 2 0 α2 (s)ds, enende-se α como um conrole no modelo para a variância local da variável de esado Y. Considera-se (6) para caso paricular do apreçameno de um ZCB sob o modelo gbk. Seja Z(, y; T ) ovalordeumzcb na daa, comvencimeno na daa T, dado que a variável de esado Y é y na daa. Oproblemade apreçameno é Z(, y; T )=E ne R T r( 0,Y ( 0 ))d 0 o Y () =y, (7) junamene com (6b-6e). Por Feynman Kac 2, Z(, y) verifica a equação de Kolmogorov Z + rz = 1 2 ε2 α 2 Z yy, em [0,T) R, (8a) Z(T,y; T )=1, y R, (8b) onde r = r(, y) é dada em (6b). O problema (8) será resolvido usando écnicas de perurbações regulares. Embora não seja relevane para a expansão 2 Cf. [4]. 4

5 assinóica, como será viso adiane, é necessário considerar o comporameno de Z em y =. Essa consideração é necessária para a resolução numérica de (8) que, por sua vez, será uilizada para a validação da expansão assinóica. Considere-se [0,T) fixo. Dado que r + ao y +, para ν = 1 q, q N e ν =0, de (7) pode-se esperar Mas, como lim r(, y) = y [0,T ), fixo de (7) poderia esperar-se lim Z(, y; T )=0. y [0,T ), fixo lim Z(, y; T )= y [0,T ), fixo 0, se ν =0,, se 1 épar, ν se 1 éímpar ν 3 Perurbações regulares Resolve-se (8) assumindo-se Z da forma 1, se ν =0 0,, se 1 épar. ν se 1 éímpar ν Z(, y; T )=e φ(,y;t ), (9) pois esa descreve melhor a naureza de descono conínuo da variável Z. Resolver um problema de perurbação na variável φ será chamado, nese exo, de ópica geomérica, mas ambém é conhecido por WKB. Em ermos da nova variável dependene φ deve-se resolver a equação não-linear Assume-se a expansão regular φ + r(, y) = 1 2 ε2 α 2 φ 2 y φ yy, [0,T) R, (10a) φ(t,y; T )=0, y R. (10b) φ(, y; T )=φ (0) (, y; T )+ε 2 φ (2) (, y; T )+ε 4 φ (4) (, y; T )+, (11) e calculam-se os rês primeiros ermos, ou seja aé O(ε 4 ). 5

6 Oermodominaneφ (0) saisfaz φ (0) + r(, y) =0, em [0,T) R, φ (0) (T,y; T )=0, y R, cuja solução pode ser facilmene obida como φ (0) (, y; T )=R(, y; T ), R(, y; T ):= r(s, y)ds. Os ermos O(ε 2 ) fornecem a equação para a correção φ (2) φ (2) = 1 h φ 2 α2 (0) 2 i y φ (0) yy, in [0,T) R, φ (2) (T,y; T )=0, y R, (12a) (12b) cuja solução é com φ (2) (, y; T )= 1 2 α 2 (s)k (2) (s, y; T )ds, (12c) K (2) (s, y; T ):= R yy R 2 y (s, y; T ). (12d) Os ermos O(ε 4 ) fornecem a equação para a segunda correção φ (4) cuja solução é dada por φ (4) = 1 2 α2 2φ (0) y φ (2) y φ (2) yy, in [0,T) R, φ (4) (T,y; T )=0, y R. onde e φ (4) (, y; T )= 1 4 K (4) (s, y; T ):= s 2R y (s, y; T ) α 2 (s)k (4) (s, y; T )ds, α 2 (s 0 )K (2) yy (s 0,y; T )ds 0 s (12e) α 2 (s 0 )K (2) y (s 0,y; T )ds 0, (12f) K yy (2) (s 0,y; T ):=[R yyyy 2R yyy R y 2Ryy 2 (s 0,y; T ), (12g) K y (2) (s 0,y; T ):=[R yyy 2R yy R y ](s 0,y; T ). (12h) 6

7 4 Reproduzindo uma curva de descono observada Define-se um íulo de descono como um íulo que oferece $1, sem risco de inadimplência, na daa T fuura, negociado na daa presene, = 0, por D(T ). Um conínuo de íulos de desconos em T formam a chamada curva de descono. Assume-se que a curva de descono D(T ) é conhecida para odos os vencimenos T em =0. Esa siuação corresponderia à curva D(T ) ser dada apriori, possivelmene inerpolada, para odos os valores de T. Porano se a condição D(T )=Z(0, 0; T ) (13) é saisfeia para odo T, implica que o modelo reproduz a curva de descono observada em =0. Considere-se, por um momeno, o caso deerminísico do modelo gbk, iso é, quando X = X, ou Y =0. Denoando por Z d o valor de um ZCB dado pelo modelo deerminísico, a condição Z d (, T )=Z(, 0; T ), deve ser saisfeia para odo e T. Se Y =0pode-se subsiuir, sem perda de generalidade, ε =0.Issoimplicaque(10)emasoluçãoexaaφ d (, T )=R(, 0; T ). Dado que φ d (, T )=R(0, 0; T ) R(0, 0; ), pode-se escrever Z d como Z d (, T )= Z(0,0;T ) Z(0,0;).Usando(13),Z d pode ser reescria como Z d (, T )= D(T ) D(). (14) Com (14) por moivação, reescreve-se (9, 11) como Z(, y; T )= D(T ) D() e φ(,y;t ), (15a) onde φ(, y; T ):=φ(, y; T ) (φ(0, 0; T ) φ(0, 0; )), (15b) ou seja, a formulação (15) separa duas componenes principais: uma dada por um modelo deerminisic model e oura na fora de uma correção e φ que diz respeio à naureza esocásica da axa de juro. Dado que (10b) é válida para qualquer T > 0, pela coninuidade de φ, obem-se φ(0, 0; 0) = 0. Com =0e y =0em (15a), e usando D(0) = 1 pode-se observar que a condição (13) é verificada. Porano, ao reescrever a solução na forma (15), assegura-se que a esruura a ermo do ZCB para =0reproduz a curva de descono observada. 7

8 A aparene calibragem auomáica obida com (15) deve ser discuida em mais dealhes. Considere-se, de momeno, o caso deerminísico. Como anes, seja Z d o valor de um ZCB dado por esse modelo. Pode ser direamene observado de (7) que Z d (, T )=e R T g( X(s))ds. (16) Combinando (14, 16) obém-se a seguine relação enre X e D no caso deerminísico g( X(T )) = D0 (T ) D(T ). (17) Isso implica que os parâmeros κ e θ no modelo deerminísico esão relacionados à curva de descono observada, descarando, porano, a aparene calibragem auomáica em (15) de Z relaivamene a D. A principal diferença enre as formulações (9) e (15a) reside no fao de elas fornecerem a curva de descono de forma exaa ou aproximada. A formulação (9) fornece a curva de descono com origem no modelo, iso é, Z(0, 0; T ), enquano que a formulação (15a) a subsiui pela curva de descono D(T ) observada. 5 Uma solução exaa: HW ParaomodeloHWr = r(, y) é dada por r(, y) =r 0 1+ X()+λ()y. Em paricular, r y = r 0 λ() e r yy =0, que implica que odas as derivadas em y de ordem superiores são zero. Examinando-se as fórmulas obidas aneriormene, noa-se que φ (4) =0e, conseqüenemene, qualquer correção de ordem superior é zero. Para ese caso paricular a aproximação assinóica fornece uma solução exaa de (9, 10) que pode ser facilmene verificada subsiuindo-a na equação original (8). Escreve-se a seguir as fórmulas obidas aneriormene para o caso paricular onde exise uma solução exaa. Aprimeiraformaé onde φ (0) é e o ermo de correção φ (2) é Z(, y; T )=e (φ(0) (,y;t )+ε 2 φ (2) (;T )), φ (0) (, y; T )= φ (2) (; T )= 1 2 r2 0 r(s, y)ds, µ 2 α 2 (s) λ(s 0 )ds 0 ds. s (18a) (18b) (18c) 8

9 A segunda forma pode ser escria como Z(, y; T )= D(T ) e ( φ(0) (,y;t )+ε2 φ(2) (;T )), D() φ (0) (, y; T )=r 0 y φ (2) (; T )= 1 2 r Z 0 α 2 (s) λ(s)ds, ½Z λ(s)ds Z s 0 λ(s 0 )ds 0 ds α 2 (s)ds ¾ λ(s)ds (19a) (19b). (19c) Noe que (19) fornece uma dependência de Z relaivamene simples em ermos dos parâmeros do modelo, em especial, para o caso de parâmeros consanes. Isso é paricularmene úil para a calibragem. Especificamene, pode-senoarqueoparâmeroθ não se enconra presene nos ermos de correção, sugerindo que ele pode ser usado exclusivamene para calibrar o modelo a uma dada curva de descono D(T ), enquano que os ouros parâmeros podem ser reservados para a calibragem do modelo com ouros insrumenos. 6 Parâmeros consanes para HW O caso paricular com θ, κ, and α consanes fornecem fórmulas simples onde odas as inegrais podem ser avaliadas expliciamene. Escreve-se abaixo (19) para ese caso. Como λ() =e κ, X() = θ (1 λ()) e α() = α κ obém-se λ() Z(, y; T )= D(T ) D() e ( φ(0) (,y;t )+ε2 φ(2) (;T )), (20a) onde 1 λ(t ) φ (0) (, y; T )=r 0 λ() y, (20b) κ φ (2) (; T )= r2 0 α 2 1 λ(t ) 1 λ() 4 κ κ 3+λ(T ) λ()(1 λ(t )). (20c) κ 9

10 7 Simulações numéricas São apresenadas várias simulações numéricasqueusamasfórmulasobidas nas seções aneriores. Em paricular, são usados os modelos para r em (1c) que correspondem aos valores ν =0(BK), ν = 1 (CIR) e ν =1(HW). 2 As simulações usam κ and α consanes, e consideram dois casos para o parâmero θ(). O primeiro caso usa θ consaneeéusadoparadescrever as propriedades do modelo na sua versão mais simples. A segunda forma usa θ consaneemumnúmerofinio de inervalos e é o caso mais simples, depois do primeiro caso, que permie calibrar o modelo a uma dada curva de descono D(T ) que é conhecida somene em um número finio de vencimenos T = T i,i=1,,n. Se θ, κ e α são consanes, (4) reduz-se a X() = θ (1 λ()), κ λ() =e κ. Se θ é consane por inervalos e os demais parâmeros consanes, X() = 1 mx θ i+1 θ i θ m+1 λ() θ 1 +, κ λ(t i ) i=1 T i < onde m é o maior ineiro posiivo al que T m <e θ() =θ i, para T i 1 < T i, com T 0 := 0. Em qualquer um dos dois casos considerados para θ, X épelomenosc 0 e, dado que aparece primeiramene em (12b) como um inegrando, Z é pelo menos C 1 como função de. Procede-se lisando as quesões invesigadas nas seções seguines: 1. Qual é o procedimeno mais simples que permie uma ajuse exao a valores dados de axas de descono? 2. Qual é magniude de cada uma das correções para os diversos modelos? 8 Produzindo curvas de descono inerpoladas Taxas de descono não são conhecidas para odos os vencimenos T, sendo conhecidas apenas para um número finio de vencimenos T i. Apresena-se, a seguir, o caso mais simples que permie inerpolar os dados conhecidos, produzindo, assim, um inerpolador naural para axas de descono, iso é, um que é consisene com um modelo especificado. 10

11 O procedimeno assume que κ e α sãodadoseenconraθ() da forma θ() =θ i, para T i 1 < T i, (21) com T 0 := 0, sequencialmene selecionando θ i al que Z(0, 0; T i )=D(T i ), (22) para i =1,,n, onde n é o número oal de vencimenos para os quais as axas de descono são conhecidas. Esa simulação usa dados sobre a esruura a ermo das axas de juro de íulos públicos em US$, disponíveis em 9 de Maio de As axas são conhecidas para os vencimenos: 1, 3 e 6 meses e 1, 2, 3, 5, 7, 10, 20 e 30 anos. e são mosrados na abela 1. Table 1: Curva de Descono T i D(T i ) A olerância usada na solução de (22) é de Seleciona-se κ =20% e α =10%. Observa-se que, por conveniência, a escala de ε é incorporada, sem perda de generalidade, ao parâmero α, ou, de oura forma, nas fórmulas acima é feia a subsiuição ε α 7 α. Asabelas2,3e4mosramosparâmerosθ dos modelos HW, CIR e BK calibrados às axas de descono dadas. A figura1mosraosθ() para os modelos calibrados aé O(ε 2 ). As calibragens aé O(ε 4 ) produzem resulados similares, como foi viso nas abelas

12 Table 2: θ() para HW. Calibragem aé O(1) e O(ε 2 ) T i θ i (HW 0 ) θ i (HW 2 ) Piecewise consan θ() HW CIR BK θ() θ() consane por inervalos para HW, CIR e BK. A figura 2 mosra a curva de descono inerpolada pelo modelo CIR. As curvas obidas pelos ouros modelos ajusam os dados de forma semelhane. 12

13 D(T) Table 3: θ() para CIR. Calibragem aé O(1), O(ε 2 ),eo(ε 4 ) T i θ i (CIR 0 ) θ i (CIR 2 ) θ i (CIR 4 ) Inerpolaed discoun curve (CIR) D(T ) i Z(0,0;T) T 2. Curva de Descono inerpolada por CIR A figura3mosraascurvasz(, 0; T ) como função de para os rês modelos considerados, com T fixo. Embora a calibragem seja realizada ao variar T com =0, as rês curvas enconram-se sobreposas, indicando a concordância enre os modelos quando é variado. 13

14 Z(,0;30) Table 4: θ() para BK. Calibragem aé O(1), O(ε 2 ) e O(ε 4 ) T i θ i (BK 0 ) θ i (BK 2 ) θ i (BK 4 ) Z(,0;T) for calibraed models HW ex 0.9 CIR 4 BK Z(, 0; 30) para BK, CIR e HW. Embora a condição de θ ser consane por inervalos enha se mosrado suficiene para resolver o problema da inerpolação, o procedimeno é limiado dado que apenas um parâmero é usado. A figura 4 mosra os diferenes modelos graficados sobre y. 14

15 Absolue correcions Z(0,y;30) 0.32 Z(0,y;T) for calibraed models HW ex 0.3 CIR 4 BK y 4. Z(0,y;30) para BK, CIR e HW. É necessário que os rês modelos concordem em y =0mas, em geral, somene isso pode ser esperado. Em paricular, para diferenes ν>0, observam-se diferenes inclinações em y =0 Z y (0, 0; T )= r 0 D(T ) λ(s) 1 ν ν 1+ν X(s) ds. 0 As figuras 5 e 6 mosram a magniude dos ermos de correção para os modelos BK e CIR Correcions (BK) O(ε 2 ) O(ε 4 ) y 5. Correções para BK. 15

16 Absolue correcions 10-2 Correcions (CIR) O(ε 2 ) O(ε 4 ) y 6. Correções para CIR. 9 Calibragem para o modelo HW A seção anerior resolveu o problema da calibragem, ornando o modelo gbk livre de arbiragem. Esa seção considera o caso paricular de HW para o qual é possível inverer, exaamene, o modelo para o parâmero θ(). Da mesma forma que na seção anerior, assume-se que κ e α são dados e enconra-se θ() da forma θ() = nx θ j I j (), (23) j=1 onde, I j () = ½ 1, se Tj 1 < T j 0, caso conrário, (24) com T 0 := 0, seqüencialmene selecionando θ j al que Z(0, 0; T i )=D(T i ), (25) para i =1,,n, onde n é o número oal de vencimenos para os quais as axas de descono são conhecidas. Para HW em-se λ() =e κ, α() = αe κ e X() =e R κ 0 θ(s)eκs ds. Em (18) pode-se ver que φ (2) não depende de θ e que, porano, isolando os ermos que dependem de θ em-se i log Di + φ X(s)ds (2) (0; T i ) = + T i. (26) r

17 O cálculo explício do primeiro ermo da igualdade acima pode ser feio e resula em i X(s)ds = 1 nx θ j K ij, κ 0 j=1 onde, ( 0, se i<j K ij = ³ T j T j 1 e κt i e κt j e κt j 1, se i j. κ Como a mariz K = (K ij ) é riangular inferior, é fácil a inversão de Kθ = b para θ =(θ j ), com b =(b i ) sendo b i dado pelo segundo ermo da igualdade em (26). Especificamene θ 1 = κ b 1, K 11 Ã! θ j = κ j 1 X b j θ j K ji, para j =2,...,n. K jj i=1 Para complear o algorimo é necessário expliciar φ (2) (0; T i )= 1 µ r0 α 2 κ 2 T i 3 2κ + 2 κ e κt i 1 2κ e 2κT i 10 Validação das expansões assinóicas Para ν 6= 1resolve-se numericamene o problema, via diferenças finias implícias de segunda ordem, para ober evidências parciais dos erros presenes nas aproximações assinóicas. A aproximação numérica é comparada com a aproximação assinóica (9). Resolve-se o caso com θ, κ e α consanes. Os parâmeros uilizados são dados na abela 5.. Table 5: Parâmeros das simulações nas abelas 6-9 Caso θ κ α r 0 BK (ν =0) 9% 23% 5% 2% CIR (ν = 1 ) 10% 21% 7% 2% 2 HW (ν =1) 10% 20% 10% 2% As inegrais são calculadas usando algorimos adapaivos com olerância 10 9, escolhida al que as diferenças enre as aproximações numérica e assinóica sejam maiores que ela, para a maioria dos casos. As exceções, 17

18 nesa simulação, ocorrem para T pequeno, onde as diferenças endem a ser menores que a olerância especificada. Os resulados mosrados nas abelas 6-9 esão limiados à exaidão da aproximação numérica, mas fornecem evidências para confirmar a validade da aproximação assinóica. Table 6: Diferenças nas curvas de descono para BK T D(T ) num. D(T ) aé O(ε 2 ) Dif e e e e e-08 Table 7: Diferenças nas curvas de descono para BK T D(T ) num. D(T ) aé O(ε 4 ) Dif e e e e e-08 Table 8: Diferenças nas curvas de descono para CIR T D(T ) num. D(T )aé O(ε 2 ) Dif e e e e e Conclusão A diferença relaiva enre a discreização do problema e a aproximação assinóica é menor que %. Com base nos resulados das seções aneriores, pode-se dizer, de forma imprecisa, mas ilusraiva, que: o ermo dominane da aproximação 18

19 Table 9: Diferenças nas curvas de descono para CIR T D(T ) num. D(T ) aé O(ε 4 ) Dif e e e e e-07 assinóica esabelece a física correa do problema; a primeira correção (com valor máximo em orno de 1%) é responsável pela exaidão; e a segunda correção (menor que 0.005%) proporciona segurança. A condição de θ() ser consane por inervalos é suficiene para ober ajusesexaosparadadosdeaxasdedescono. References [1] J.D. Cole, Perurbaion Mehods in Applied Mahemaics, Blaisdell, [2] J. Hull, Opions, Fuures and Oher Derivaive Securiies, Prenice Hall, [3] M.H. Holmes, Inroducion o Perurbaion Mehods, Springer-Verlag, [4] I. Karazas, S.E. Shreve, Brownian Moion and Sochasic Calculus 2 nd ediion, Springer-Verlag, [5] J. Kevorkian, J.D. Cole, Muliple Scale and Singular Perurbaion Mehods, Springer, [6] R. Rebonao, Ineres-Rae Opion Models, Wiley, [7] F. Tourrucôo, Perurbaion Mehods in Mahemaical Finance: Zero- Coupon Bonds and Equivalen Volailiies Ph.D. Thesis,