2 CONCEITOS TEÓRICOS FUNDAMENTAIS

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1 2 CONCEITOS TEÓRICOS FUNDAMENTAIS Ese capíulo esá dividido em rês pares. A primeira é dedicada aos fundamenos da Teoria da Elasicidade, em paricular da Elasicidade Linear. A segunda pare raa dos conceios de concenração de ensões necessários para a aplicação da meodologia proposa em componenes conendo enalhes. E a erceira pare raa da aplicação do méodo de mínimos quadrados linear na solução de um sisema sobredeerminado Princípios da Teoria da Elasicidade A eoria da elasicidade linear esuda as ensões, deformações e deslocamenos de um corpo, considerado elásico, causadas pela ação de forças exernas (Timoshenko & Goodier, 1970). O comporameno das esruuras é descrio por meio de hipóeses básicas da eoria clássica quano à disribuição das ensões ou das deformações: a maéria de um corpo é disribuída coninuamene, i.e., não se considera a micro esruura do maerial com grãos de crisais, poros, vácuo, fissuras, ec; assim, as ensões, deformações e deslocamenos são conínuos; e a maéria é homogênea, i.e., o menor elemeno exraído do corpo possui as mesmas propriedades físicas que o odo, e isorópica, i.e., as propriedades elásicas são as mesmas em odas as direções Esado de Tensão A resisência de um maerial esá relacionada à sua capacidade de resisir às forças aplicadas eviando-se, desa maneira, fraura ou deformação acenuada. Quando uma força exerna age sobre um corpo sólido, uma força inerna dese corpo reagirá em igual magniude e em direção conrária àquela força exerna, esa força exerna é chamada de carga ou carregameno. Do pono de visa práico,

2 26 ensão é a reação de um deerminado maerial diane de um carregameno sendo direamene proporcional à carga aplicada e inversamene proporcional à geomeria (Meyers & Chawla, 1982). As ensões podem ser definidas de acordo com sua direção e magniude. Em relação à sua direção, as ensões podem ser classificadas em rês ipos: de ração, de compressão, ou de cisalhameno, e suas disribuições podem ser observadas aravés das deformações ocorridas no corpo. A ensão de ração é causada por uma carga que ende a disender ou alongar o corpo. A ensão de ração, ou raiva, é sempre acompanhada por uma deformação por ração. Se um corpo é submeido a uma força que ende a comprimi-lo ou encurá-lo, a resisência inerna a esa força ou carga é chamada de ensão de compressão que, por sua vez, é sempre acompanhada por uma deformação por compressão. Convenciona-se em Engenharia Mecânica que a ensão normal será posiiva quando produzir ração, e negaiva no caso de compressão. A ensão de cisalhameno ou de orção é definida como a ensão que ende a resisir ao movimeno de orção ou de deslizameno de uma porção do corpo sobre a oura. Considere um elemeno cúbico muio pequeno num pono P (Figura 2.1), com as faces paralelas aos eixos coordenados. Figura 2.1 Elemeno cúbico sujeio a ensões nas faces (Timoshenko & Goodier, 1970).

3 27 As leras σ e τ são uilizadas para represenar a ensão normal e a ensão cisalhane sendo que, para idenificar a direção do plano no qual a ensão esá auando, são usados índices subscrios a esas leras Esado de Deslocameno e Deformação Considere-se uma esruura sob efeio de uma soliciação genérica. Devido a esa mudança da configuração inicial, a esruura alera a sua forma que, de maneira ilusraiva, é mosrada na Figura 2.2. Figura 2.2 Esruura original e deformada (Fone: Laier e Barreiro, 1983). A mudança inicial de um pono B que possa represenar a configuração geomérica de uma peça esruural plana em relação a um sisema de referência fixo para uma nova posição B, como mosra a Figura 2.2, é chamado de Esado de Deslocameno. O deslocameno do pono B para B pode não apenas gerar uma ranslação de corpo rígido de oda a peça, mas ambém alerar a configuração geomérica naural da esruura, fazendo com que a peça se deforme. Com isso, ocorre um novo esado denominado Esado de Deformação. Enende-se por deformação a mudança da configuração espacial ao longo da variação do empo de um corpo em relação a um referencial, mediane esforços e ensões exernos aplicados a ese objeo. Supondo-se haver coninuidade anes e depois da deformação, pode-se afirmar que exisem duas funções conínuas u(x, y) e v(x, y) que descrevem os movimenos dos ponos da esruura no caso plano e, para um caso ridimensional, o veor de deslocameno de cada parícula do corpo deformado apresena as rês componenes definidas como u, v, w paralelos aos eixos de coordenadas x, y, z, respecivamene. Porano, um pono que esiver

4 28 inicialmene na posição (x, y, z) se moverá ao pono (x+u, y+v, z+w). Em geral u, v, w são funções de x, y, z. O alongameno ou encurameno de um corpo por unidade de comprimeno é chamado de deformação linear (є) ou alongameno uniário (Popov, 1978). Sendo ln, a função logarímica em base e, a deformação real em um pono é definida como a relação enre o incremeno oal e o comprimeno inicial, i.e, l ε = ln(1 + ) (2.1) l o onde: l, variação do comprimeno do corpo; e l o, valor inicial de comprimeno do corpo. Deformação é um valor adimensional, geralmene expresso mm/mm ou em µm/µm, mas ambém pode ser represenada em porcenagem. As deformações podem ser ano elásicas como plásicas (ou permanenes), ou uma combinação desas duas. As deformações elásicas são reversíveis e desaparecem quando a força é removida. Já as deformações plásicas são irreversíveis e relacionadas com o deslocameno dos áomos inernos do maerial Componenes de Deformação em Coordenadas Caresianas Considere um corpo sólido e conínuo sujeio a uma deformação provocada por um conjuno de forças, que o faz passar de um esado inicial para um esado final. Assuma um sisema ridimensional em que o elemeno original é um prisma reangular de dimensões dx, dy e dz (Fig. 2.3). Figura 2.3 Elemeno infiniesimal de um corpo elásico (Timoshenko & Goodier, 1970).

5 29 Na Fig. 2.4 observa-se o que aconece com ese corpo após sofrer deformação no plano xy, onde: : é o deslocameno linear de A na direção x ; u + dx x v : é o deslocameno linear de B na direção y; v + dy y : é o deslocameno angular de B na direção x; u + dy y v : é o deslocameno angular de A na direção y; v + dx x u : é a componene do deslocameno de P na direção x; v : é a componene do deslocameno de P na direção y; Figura 2.4 Deformações no plano xy (Timoshenko & Goodier, 1970). Inicialmene, os ponos P e A esão separados por uma disância inicial de dx. Eses ponos, como resulado da força, são deslocados aos ponos P' e A'. O deslocameno de A na direção x é u + dx x (2.2)

6 30 enquano que o deslocameno do pono P na direção x é o deslocameno u da origem. O aumeno do comprimeno do elemeno PA devido à deformação é, porano, a diferença enre os deslocamenos de A e P, ( / x) dx (2.3) Consequenemene, o alongameno uniário ou deformação linear uniária no pono P na direção x, assumindo-se que dx é infiniesimal, vale ( / x) dx ε x = ln[1 + ] = ln(1 + ) x x x (2.4) do mesmo modo, os alongamenos uniários nas direções y e z podem ser deduzidos. Verifica-se ainda que o ângulo inicialmene reo APB sofreu uma redução proporcional a v + x y (2.5) esa grandeza represena a deformação angular enre os planos xy e yz, e chama-se ambém de deformação por cisalhameno ou disorção, e é represenada pela lera grega γ. Da mesma maneira, podem-se ober as disorções enre os planos xy e xz e enre os planos yx e yz. Porano, um esado de deformação pode ser caracerizado pelas seis componenes do veor deformação associadas às rês direções no espaço. Esas componenes são definidas de acordo com o campo de deslocamenos (u, v, w): ε x = x (2.6) v ε y = y (2.7) w ε z = z (2.8)

7 31 γ xy v = + y x (2.9) γ xz w = + z x (2.10) γ yz v w = + z y (2.11) Componenes de Deformação em Coordenadas Polares A fim de deerminar os deslocamenos em coordenadas polares, úil em problemas axissiméricos, vamos definir u e v como os parâmeros dos deslocamenos nas direções radiais e angenciais, respecivamene (Figura 2.5). Figura 2.5 Deslocamenos em coordenadas polares xy (Timoshenko & Goodier, 1970). Se u é o deslocameno radial do lado ad do elemeno abcd (Figura 2.5), o deslocameno radial do lado bc é u + ( / r) dr. Enão, o alongameno uniário do elemeno abcd na direção radial é definido por: ( / r) dr ε r = ln[1 + ] = ln(1 + ) r r r (2.12) A deformação na direção angencial depende não só do deslocameno v, mas ambém do deslocameno radial u. Assumindo, por exemplo, que os ponos a e d do elemeno abcd êm apenas o elemeno u do deslocameno radial, o novo comprimeno do arco ad é (r + u) dθ e a deformação angencial é, porano, ( r + u) dθ rdθ u = (2.13) rdθ r

8 32 A diferença no deslocameno angencial dos lados ab e cd do elemeno abcd é ( v / θ) dθ, e a deformação angencial, devido ao deslocameno v é, nesse senido, ( v / r θ). A deformação angencial oal é, porano, ε θ u v = + (2.14) r r θ Agora, considerando a ensão cisalhane, vamos denoar como a b c d a posição do elemeno abcd após deformação. O ângulo enre a direção ad e a b é devido ao deslocameno radial u e é igual a / r θ. Da mesma forma, o ângulo enre a b e ab é igual a v / r. Deve-se noar que apenas uma pare dese ângulo (sombreada na figura) represena o deslocameno angular devido à roação do elemeno abcd como um corpo rígido em orno do eixo aravés de O. Porano, a mudança oal no ângulo dab, represenando a ensão cisalhane, é γ rθ v v = + r θ r r (2.15) Analogamene, as ensões ambém podem ser represenadas em coordenadas polares, resulando nas componenes normais σ r e σ θ e cisalhane τ rθ (Timoshenko & Goodier, 1970) Concenração de Tensões As fórmulas clássicas da análise radicional de ensões (ou da resisência dos maeriais) só servem para se calcular as chamadas ensões nominais σ n, as quais desprezam os efeios localizados nas ransições geoméricas bruscas. Esas equações só são válidas nas regiões da peça que fiquem longe das ransições bruscas de geomeria e dos ponos de aplicação das cargas concenradas, pelo princípio de Sain Vénan (Casro & Meggiolaro, 2009). E.g., as ensões nas proximidades do pono de aplicação de cargas concenradas são muio maiores que a ensão média ao longo da peça. Ese fao ambém ocorre em desconinuidades na geomeria, como furos, enalhes, ou qualquer variação brusca de seção. A concenração de ensões é um efeio exremamene localizado. Para efeio de dimensionameno, faz-se necessário conhecer a ensão máxima auane

9 33 na peça, e esa ensão deve ser inferior à ensão admissível do maerial. Para a deerminação desa ensão máxima, uiliza-se a ensão nominal e um coeficiene K, chamado de faor de concenração de ensões, definido como a razão enre a ensão máxima e a ensão nominal, deerminado experimenalmene para diversos casos. O K é definido por (Casro & Meggiolaro, 2009) K σ σ n max = (2.16) Disribuição de Tensões da Placa infinia com Furo Circular Se uma placa com um pequeno furo circular em seu cenro for racionada, esa irá apresenar uma concenração de ensões próxima ao furo. A sua disribuição de ensões na vizinhança do furo será alerada, o que poderá ser quanificado quando o campo de ensões for calculado (Casro & Meggiolaro, 2009). Figura 2.6 Geomeria de uma placa infinia com um furo circular cilíndrico submeido a uma ensão remoamene uniforme. Uma placa com um furo de raio R e uma ensão normal uniforme σ aplicada em um campo de ensões não uniforme nas proximidades furo, que pode ser represenado em coordenadas polares em função de r e θ. por: Noe que, as relações enre coordenadas polares e reangulares esão dadas r = x + y ( x, y) ( r, θ ) y θ = arcan x

10 34 x = r cosθ ( r, θ ) ( x, y) y = rsenθ No caso da placa infinia com furo cenral (que na práica descreve bem o campo de ensões ao redor de um furo muio pequeno em relação às dimensões da placa), as ensões em um pono (r, θ) dependem exclusivamene da ensão nominal e de parâmeros geoméricos, em paricular do ângulo θ e da razão r / R, e independem do maerial. Pode-se concluir ambém que, pelo princípio de Sain- Vénan, as ensões devem ender aos valores nominais em disâncias que são grandes em comparação com o raio do furo (R), iso é, em ponos com disâncias e.g. maiores que 5 vezes o raio (i.e., as ensões se aproximam muio ao valor nominal para r / R > 5), vide Fig. 2.7 (Casro & Meggiolaro, 2009). Figura 2.7 Disribuição de σ r (r,π/2) e de σ θ (r,π/2) (Casro & Meggiolaro, 2009). O campo de ensões em coordenadas polares para a placa infinia com furo é represenado por σ n R 4R 3R σ r = 1 1 cosθ r r r (2.17) 2 2 σ n R 3R σθ = 1 1 cosθ r r (2.18) τ rθ 2 4 σ n 2R 3R = 1+ cosθ r r (2.19)

11 35 As relações lineares enre as componenes de ensão e as componenes de deformação dese problema podem ser obidas pela Lei de Hooke. No caso de um esado plano de ensão em coordenadas polares, ou seja, quando auam no corpo somene as componenes de ensão σ r, σ θ e τ rθ, é possível ober as componenes de deformação ε r, ε θ e γ rθ por 1 εr = ( σr νσ θ ) (2.20) E 1 εθ = ( σθ νσr ) (2.21) E γ rθ τ rθ 2(1 + ν ) τ rθ = = (2.22) G E onde: v é o coeficiene de Poisson; E é o módulo de elasicidade ou módulo de Young; e G é o módulo de elasicidade ransversal ou ao cisalhameno, ou módulo de core, com G = E / (2 + 2ν) Solução de Mínimos Quadrados de Sisemas Lineares Considere o sisema Ax = b de m equações independenes em n variáveis. Se m > n, o sisema é definido como sobredeerminado. É possível enconrar uma solução aproximada aravés do méodo de mínimos quadrados (Anon & Rorres, 2001). Seja r = (Ax b) o veor-erro ou resíduo das aproximações. Se as m equações foram obidas a parir de m medições associadas a um veor r = (r 1, r 2, r 3... r m ), enão uma solução x = x mq no senido de mínimos quadrados é aquela que minimiza r = Ax b (2.23)

12 36 Porano, preende-se esimar os parâmeros de x que minimizem a soma dos erros quadráicos dada por m r = r + r + r (2.24) O veor solução x mq é chamado de solução aproximada de mínimos quadrados Inerpreação Geomérica A minimização por mínimos quadrados em por objeivo achar o pono imagem A x mq ϵ Im(A) mais próximo do veor b. Assim, o ajuse óimo é alcançado quando A x mq for a projeção orogonal de b sobre o subespaço Im(A). Figura 2.8 Inerpreação geomérica da solução por mínimos quadrados (Anon & Rorres, 2001) Cálculo da Solução por Mínimos Quadrados Como viso acima, a solução dese sisema de equações no senido de mínimos quadrados é aquela que minimiza a norma Euclidiana r do erro. Para enconrar x mq, resolvemos o problema minimizando a função 2 r = x A Ax 2b Ax + b b (2.25) onde A represene a mariz ransposa de A. A minimização é obida igualando-se a zero o gradiene em relação a x: 2 x r = 2A Ax 2A b = 0 (2.26) e obendo assim A Ax = A b (2.27)

13 37 Ese sisema é chamado sisema normal associado a Ax = b, e as equações que o compõem são chamadas equações normais associadas a Ax = b. Assim, o problema de enconrar uma solução de mínimos quadrados foi reduzido a enconrar uma solução exaa do sisema normal associado. Se A é uma mariz mxn com veores-coluna linearmene independenes enão, para cada mariz b de amanho nx1, o sisema linear Ax = b em uma única solução de mínimos quadrados. Esa solução é dada por = ( ) (2.28) 1 xmq A A A b Noe que: a solução depende linearmene de b; a mariz ( A A) 1 A b chama-se pseudo-inversa de A; e se por acaso b solução exaa., que fornece a solução ao problema aproximado, = Ax, ou seja, se b Im(A), enão = ( ) = é a 1 xmq A A A b x No próximo capíulo são apresenados os fundamenos de visão compuacional relevanes à disseração.