MECÂNICA DOS SÓLIDOS

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1 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 MECÂNICA DOS SÓLIDOS 05/6 Noas das aulas e problemas Versão 0. Prof. Luis Faria Prof. Luís Sousa Draf Pág.

2 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Problem Problem Problem Problem Leis Consiuivas Sólidos de Hooke Isoropia Core puro Tração uniaxial Exemplo 4. Relação enre módulos para maeriais isorópicos Sólidos de Hooke anisorópicos Anisoropia riclínica Anisoropia ororópica Isoropia ransversal Simeria cúbica Isoropia Problemas Resolvidos Exemplo 4. - Problema ensões/deformações e direções principais Exemplo 4.3 Equação de equilíbrio de uma barra Exemplo 4.4 Relação ensão/deformação Exemplo Barra anisorópica à ração Torção Secção Circular Exemplo 5. Secção Circular Secções não-circulares Exemplo 5. - Secção Elíica Exemplo Secção Triangular Exemplo Veio Circular com escael Exemplo Problema Proposo Secção Reangular Fina Secção Reangular Exemplo Secção Reangular Secção Fina Composa de Vários Segmenos Exemplo Secção em C Exemplo Secção em Z Draf Pág. 3

3 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Torção de perfis finos fechados Exemplo 5.9 Problema orção perfil fechado fino Torção de Perfis Finos Mulicelulares Exemplo Secção com células Exemplo 5. - Secção com 3 células Problemas sugeridos Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Cilindros espessos Problemas Resolvidos Exemplo 6. - Cilindro longo sob pressão inerna e exerna Exemplo 6. - Monagem de cilindros com apero Exemplo 6.3 Cilindro espesso com pressão inerna e plasicidade Placa com Furo em Elasicidade Plana Exemplo 7. - Placa com furo circular Exemplo 7. Placa com furo elíico Referências Índice Remissivo Draf Pág. 4

4 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Lisa de Figuras Figura 4-- Deformação de core puro Figura 4- Esado de Tensão numa viga Figura 5- Secções à orção Figura 5- Diagrama de corpo livre Figura 5-3 Equilíbrio na secção Figura 5-4 Deformação da secção ransversal num veio circular Figura Empeno de secções não circulares Figura 5-6 Deformações na secção ransversal Figura 5-7 Deslocameno e ensões de um pono da secção ransversal Figura 5-8 Tensões de core na secção Figura Secção Elíica Figura Isolinhas do empeno Figura 5-- Secção Elíica: simulação numérica Figura 5- - Veio circular com escael Figura Secção reangular fina à orção Figura Secção reangular à orção Figura 5-5- Viga reangular à orção Figura Troço 60 x 40 mm Figura Troço 40 x 30mm Figura Secção fina composa Figura Secção em "C" Figura secção em "z" Figura 5- - Perfil fechado oco à orção Figura 5- - Equilíbrio de forças numa parede elemenar Figura Fluxo de core Figura Momeno orsor em perfis finos fechados Figura 5-5 Figura do Exemplo Figura 5-6 Cálculo da área fechada Figura Perfil fino mulicelular Figura 5-8 Fluxo de core em perfis mulicelulares... 8 Figura 5-9 Secção do Exemplo Figura Fluxos de core do Exemplo Figura 5-3 Secção de 3 células Figura 5-3 Secção feia de chapas coladas enre si Figura Placa esruural Figura Secções em anel Figura 6- Cilindro com pressão inerne e exerna Draf Pág. 5

5 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Figura 6- Cilindros com apero Lisa de Tabelas Tabela 5. - Parâmeros de orção para secções reangulares Lisa de Exemplos 4..3 Exemplo 4. Relação enre módulos para maeriais isorópicos Exemplo 4. - Problema ensões/deformações e direções principais Exemplo 4.3 Equação de equilíbrio de uma barra Exemplo 4.4 Relação ensão/deformação Exemplo Barra anisorópica à ração Exemplo 5. Secção Circular Exemplo 5. - Secção Elíica Exemplo Secção Triangular Exemplo Veio Circular com escael Exemplo Problema Proposo Exemplo Secção Reangular Exemplo Secção em C Exemplo Secção em Z Exemplo 5.9 Problema orção perfil fechado fino Exemplo Secção com células Exemplo 5. - Secção com 3 células Exemplo 6. - Cilindro longo sob pressão inerna e exerna Exemplo 6. - Monagem de cilindros com apero Exemplo 6.3 Cilindro espesso com pressão inerna e plasicidade Exemplo 7. - Placa com furo circular Exemplo 7. Placa com furo elíico Draf Pág. 6

6 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 4 Leis Consiuivas As propriedades dos maeriais são especificadas por equações consiuivas, ambém chamadas leis consiuivas. Uma equação que relaciona as ensões com as deformações descreve as propriedades mecânicas de um maerial e é, porano, uma equação consiuiva. Exisem ouras equações consiuivas como as que descrevem as caracerísicas dos maeriais de ransmissão de calor, de resisência elérica, ec. (Bower 00). Nomenclaura: ij - Tensor das ensões ijkl E - ensor de rigidez e ij - Tensor das pequenas deformações S ijkl ensor de flexibilidade ij - Cossenos direores μ ij,kl coeficienes de Chencov λ, μ - consanes de Lamé η i,jk coeficienes de Rabinovich O ensor das ensões pode ser represenado em noação indicial σ ij, i, j=,, 3 ou maricial, Eq.(4.) 3 xx xy xz xx xy xz ij 3 yx yy yz yz yy yz zx zy zz zx zy zz em que x = x, x = y, x 3= z indicam as coordenadas caresianas relaivamene às quais as componenes do ensor das ensões são definidas. (4.) O ensor das deformações pode igualmene ser represenado em noação indicial e ij, i, j=,, 3 ou maricial exx xy xz e e e3 exx exy e xz e e e e e e e e ij 3 yx yy yz yz yy yz e 3 e3 e 33 ezx ezy e zz e zx zy zz As componenes do ensor das ensões ou do ensor das deformações mudam quando o referencial muda. (4.) No referencial x, x, x 3 com a mesma origem mas diferene orienação, as coordenadas esão relacionadas por: x' x (4.3) i ij j em que β ij são os cossenos direores do eixo x i relaivamene ao eixo x j. As componenes do ensor das ensões e do ensor das deformações esão relacionadas pela Eq. (4.4): ' ij ik jlkl e' ij ik jl ekl (4.4) Draf Pág. 44

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8 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Problem Problem Problem Problem Leis Consiuivas Sólidos de Hooke Isoropia Core puro Tração uniaxial Exemplo 4. Relação enre módulos para maeriais isorópicos Sólidos de Hooke anisorópicos Anisoropia riclínica Anisoropia ororópica Isoropia ransversal Simeria cúbica Isoropia Problemas Resolvidos Exemplo 4. - Problema ensões/deformações e direções principais Exemplo 4.3 Equação de equilíbrio de uma barra Exemplo 4.4 Relação ensão/deformação Exemplo Barra anisorópica à ração Torção Secção Circular Exemplo 5. Secção Circular Secções não-circulares Exemplo 5. - Secção Elíica Exemplo Secção Triangular Exemplo Veio Circular com escael Exemplo Problema Proposo Secção Reangular Fina Secção Reangular Exemplo Secção Reangular Secção Fina Composa de Vários Segmenos Exemplo Secção em C Exemplo Secção em Z Draf Pág. 3

9 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Torção de perfis finos fechados Exemplo 5.9 Problema orção perfil fechado fino Torção de Perfis Finos Mulicelulares Exemplo Secção com células Exemplo 5. - Secção com 3 células Problemas sugeridos Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Cilindros espessos Problemas Resolvidos Exemplo 6. - Cilindro longo sob pressão inerna e exerna Exemplo 6. - Monagem de cilindros com apero Exemplo 6.3 Cilindro espesso com pressão inerna e plasicidade Placa com Furo em Elasicidade Plana Exemplo 7. - Placa com furo circular Exemplo 7. Placa com furo elíico Referências Índice Remissivo Draf Pág. 4

10 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Lisa de Figuras Figura 4-- Deformação de core puro Figura 4- Esado de Tensão numa viga Figura 5- Secções à orção Figura 5- Diagrama de corpo livre Figura 5-3 Equilíbrio na secção Figura 5-4 Deformação da secção ransversal num veio circular Figura Empeno de secções não circulares Figura 5-6 Deformações na secção ransversal Figura 5-7 Deslocameno e ensões de um pono da secção ransversal Figura 5-8 Tensões de core na secção Figura Secção Elíica Figura Isolinhas do empeno Figura 5-- Secção Elíica: simulação numérica Figura 5- - Veio circular com escael Figura Secção reangular fina à orção Figura Secção reangular à orção Figura 5-5- Viga reangular à orção Figura Troço 60 x 40 mm Figura Troço 40 x 30mm Figura Secção fina composa Figura Secção em "C" Figura secção em "z" Figura 5- - Perfil fechado oco à orção Figura 5- - Equilíbrio de forças numa parede elemenar Figura Fluxo de core Figura Momeno orsor em perfis finos fechados Figura 5-5 Figura do Exemplo Figura 5-6 Cálculo da área fechada Figura Perfil fino mulicelular Figura 5-8 Fluxo de core em perfis mulicelulares... 8 Figura 5-9 Secção do Exemplo Figura Fluxos de core do Exemplo Figura 5-3 Secção de 3 células Figura 5-3 Secção feia de chapas coladas enre si Figura Placa esruural Figura Secções em anel Figura 6- Cilindro com pressão inerne e exerna Draf Pág. 5

11 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Figura 6- Cilindros com apero Lisa de Tabelas Tabela 5. - Parâmeros de orção para secções reangulares Lisa de Exemplos 4..3 Exemplo 4. Relação enre módulos para maeriais isorópicos Exemplo 4. - Problema ensões/deformações e direções principais Exemplo 4.3 Equação de equilíbrio de uma barra Exemplo 4.4 Relação ensão/deformação Exemplo Barra anisorópica à ração Exemplo 5. Secção Circular Exemplo 5. - Secção Elíica Exemplo Secção Triangular Exemplo Veio Circular com escael Exemplo Problema Proposo Exemplo Secção Reangular Exemplo Secção em C Exemplo Secção em Z Exemplo 5.9 Problema orção perfil fechado fino Exemplo Secção com células Exemplo 5. - Secção com 3 células Exemplo 6. - Cilindro longo sob pressão inerna e exerna Exemplo 6. - Monagem de cilindros com apero Exemplo 6.3 Cilindro espesso com pressão inerna e plasicidade Exemplo 7. - Placa com furo circular Exemplo 7. Placa com furo elíico Draf Pág. 6

12 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 4. Sólidos de Hooke Nese capíulo iremos apresenar as equações que descrevem o comporameno mecânico dos sólidos linearelásicos, ambém chamados sólidos de Hooke porque obedecem à Lei de Hooke (Skrzypek and Ganczarski 05). Essa lei assume que o ensor das ensões é proporcional ao ensor das deformações infiniesimal. ij Eijkl e kl e ij Sijkl kl (4.5) em que os ensores de quara ordem E ijkl e S ijkl são ensores de consanes ou módulos elásicos (independenes do esado de ensão e deformação) designados respeivamene por ensor de rigidez e ensor de flexibilidade. Esses ensores são definidos por 3 4 = 8 consanes pois i, j, k, l =,, 3. A simeria dos ensores da ensão e da deformação, σ ij = σ ji e e ij = e ji, implica E ijkl E jikl E ijlk S ijkl S jikl Sijlk (4.6) Devido a esas condições de simeria, das 8 componenes dos ensores de rigidez e flexibilidade apenas 36 são independenes. Alem disso, devido a propriedades ermodinâmicas, mosra-se que, em geral, dessas 36 consanes apenas são independenes. 4. Isoropia Quando as propriedades mecânicas de um maerial não dependem da direção diz-se que ese é isorópico. Caso conrário é anisorópico. Podemos imaginar que rodamos uma amosra de um maerial e realizamos um ensaio mecânico nessa amosra. Se o resulado for igual ao que obivemos se a amosra não fosse rodada (sublinhe-se, para qualquer roação), enão o maerial é isorópico. Para dar uma definição precisa de isoropia uilizamos a equação consiuiva: um maerial é isorópico se a sua lei consiuiva fica inalerada quando sujeia a ransformações de coordenadas orogonais. Por exemplo, se a lei consiuiva for ij E ijkl ekl, enão no novo referencial, relacionado com o primeiro por uma ransformação orogonal, ' ij E ijkl e' kl. Iso implica que E ijkl im jnko lp Emnop (4.7) para odas as marizes orogonais (β ij). Pode-se mosrar que a isoropia permie reduzir a especificação de E ijkl a duas consanes λ e μ, al que em que δ ij é o dela de Kronecker. A lei consiuiva fica com a forma E ijkl ijkl ik jl (4.8) ij e kk ij eij (4.9) Esa relação pode ser inverida, dando a deformação (e ij) que corresponde a um esado de ensão (σ ij) e ij ij kk ij 3 Os parâmeros do maerial λ e μ designam-se por consanes de Lamé. (4.0) Draf Pág. 45

13 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Algumas soluções pariculares permiem relacionar as consanes maeriais G, E e ν usadas em engenharia com as consanes de Lamé. 4.. Core puro O campo de deslocamenos é dado por: u = γ a, u = u 3 = 0; conforme a Figura 4-. v D x g E C A B x u Figura 4-- Deformação de core puro. os ensores das deformações e das ensões são e ij 0 0 ij 0 0 (4.) com. A resposa ao core do corpo é deerminada por μ que se designa em Mecânica dos Maeriais por G, o módulo de core. 4.. Tração uniaxial Nese caso é preferível uilizar a lei consiuiva inverida para dar deformações em função das ensões. Para o esado de ensão dado por ij o ensor das deformações correspondene é dado por (4.) e 0 0 e 0 e 0 ij 0 0 e (4.3) com e = σ / E. O módulo de Young E é o quociene enre a ensão σ e a deformação longiudinal e originada pela ensão; o coeficiene de Poisson ν é o quociene enre a conração laeral e a deformação longiudinal numa barra em ração uniaxial. Esas duas consanes maeriais relacionam-se com as consanes de Lamé por E 3 (4.4) A relação consiuiva para maeriais elásicos, lineares e isorópicos pode agora ser escria uilizando o módulo de Young e o coeficiene de Poisson Draf Pág. 46

14 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 e ij ij kk ij E (4.5) E e e ij ij kk ij 4..3 Exemplo 4. Relação enre módulos para maeriais isorópicos. (4.6) Considere uma placa fina feia de maerial que obedece à lei de Hooke isorópica. O carregameno da placa dá origem ao seguine esado de ensão xx yy (consane) e odos os ouros componenes nulos. Deermine a ensão e a deformação num plano a 45º com os eixos x e y para concluir que G = E / ( ( + ν)) num maerial isorópico. Resolução A parir do esado de ensão e aplicando a Lei de Hooke, obemos as deformações: xx yy Subraindo uma da oura: xx xx yy E E E yy xx yy E E E xx yy E Rodando 45º o esado de ensão (90º no plano de Mohr), obemos um esado de ensão de core puro: xy Com a relação enre a ensão de core e a disorção: xy xy G G A fazendo agora o círculo de Mohr para as deformações, obemos: xx yy xy xy xx yy e porano G E 4.3 Sólidos de Hooke anisorópicos O conceio de isoropia é úil para descrever maeriais policrisalinos ou maeriais compósios com parículas (não com fibras) já que reduz ao máximo o número de consanes independenes do maerial. Nouros casos é necessário considerar o maerial como anisorópico e as componenes dos ensores de rigidez E ijkl e de flexibilidade S ijkl dependem do referencial uilizado. Faremos nesa secção uma classificação de maeriais anisorópicos em relação a simerias dos ensores elásicos. Draf Pág. 47

15 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Como referido aneriormene, esses ensores êm 8 componenes das quais independenes. Para simplificar a descrição desses ensores uiliza-se uma noação maricial, represenando os ensores da ensão e da deformação como veores coluna com 6 componenes: xx xx e xx xy xz yy yy xx xy xz zz zz yz yy yz yz e yy yz yz yz zx zy zz xz xz zx zy e zz xy xy As relações ensão-deformação escrevem-se na forma maricial, uilizando xx E E E3 E4 E5 E6 xx E E E E E E yz E4 E4 E43 E44 E45 E46 yz xz E5 E5 E53 E54 E55 E 56 xz xy E 6 E6 E63 E64 E65 E 66 xy yy yy zz E3 E3 E33 E34 E35 E 36 zz xx S S S3 S4 S5 S6 xx yy S S S3 S4 S5 S 6 yy zz S3 S3 S33 S34 S35 S 36 zz yz S4 S4 S43 S44 S45 S46 yz xz S5 S5 S53 S54 S55 S 56 xz xy S 6 S6 S63 S64 S65 S 66 xy (4.7) (4.8) (4.9) 4.3. Anisoropia riclínica Nese caso as marizes de rigidez e de flexibilidade são cheias e êm a seguine represenação Draf Pág. 48

16 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 yx zx yz,x xz,x xy,x Exx Eyy Ezz G yz G xz G xy xy zy yz,y xz,y xy,y xx Exx Eyy Ezz G yz G xz G xy xx yy xz yz yz,z xz,z xy,z yy E zz xx Eyy Ezz G yz G xz G xy zz yz x,yz y,yz z,yz xz,y z xy,yz yz xz Exx Eyy Ezz G yz Gxz Gxy xz xy y,xz yz,xz xy,xz xy x,xz z,xz Exx Eyy Ezz G yz G xz G xy x,xy y,xy z,xy yz,xy xz,xy Exx Eyy Ezz G yz G xz G xy Podemos idenificar 5 ipos de consanes elásicas: (4.0) E ii 3 módulos axiais (generalização do módulo de Young) G ij 3 módulos de core em planos paralelos aos planos do referencial (i j) ν ij 3 coeficienes de Poisson, caraerizando conração na direção j quando é aplicada ensão na direção i (i j) μ ij,kl 3 coeficienes de Chencov, caraerizando deformações de core em planos kl paralelos aos planos do referencial devido a ensões de core auando em planos ij (ij kl) η i,jk 9 coeficienes de Rabinovich, caraerizando deformações de core em planos jk devido a ensões normais aplicadas na direção i O número oal de consanes referidas é. As ouras consanes apresenadas na mariz de flexibilidade não são independenes pois obêm-se pelas condições de simeria: ij ji ij,kl kl,ij i, jk jk,i (4.) E E G G E G ii jj ij kl ii jk A anisoropia riclínica corresponde ao caso mais geral de anisoropia em que não exise nenhum referencial para o qual se consegue anular qualquer componene das marizes de consanes elásicas Anisoropia ororópica A maioria dos maeriais de engenharia possui propriedades de simeria que implicam uma redução do número de consanes do maerial diferenes de zero. Nesse caso, em deerminado referencial que reconheça essa simeria, as marizes de rigidez e flexibilidade deixam de ser cheias e passam a er muios elemenos nulos. É o caso de um maerial fibroso em que as fibras esão alinhadas na direção dos eixos x, y e z. Tal maerial em 3 planos orogonais de simeria e designa-se ororópico. Pode-se mosrar que nesse caso ano os 9 coeficienes de Rabinovich η i,jk como os 3 coeficienes de Chencov μ ij,kl são nulos e porano não exise acoplameno enre Draf Pág. 49

17 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 ensões de core e exensões longiudinais, e as deformações de core são produzidas exclusivamene por ensões de core que auam nesses planos, conduzindo à seguine mariz de flexibilidade: com as seguines condições de simeria: yx zx Exx Eyy Ezz xy zy E xx xx Eyy Ezz yy xz yz zz Exx Eyy E zz yz xz G yz xy G xz G xy xx yy zz yz xz xy (4.) yx xy zx xz zy yz (4.3) E E E E E E yy xx zz xx zz yy No caso de ororopia o número de consanes independenes é 9: 3 módulos de Young generalizados, 3 módulos de core generalizados e 3 coeficienes de Poisson generalizados. 4.4 Isoropia ransversal Ese modelo de lei consiuiva é mais simples que o anerior e jusifica-se em muias aplicações. Volando ao exemplo de maerial fibroso, se não exisirem fibras no plano xy, ou se as fibras esiverem disribuídas ao acaso nesse plano, o maerial é isorópico no plano xy. Nesse caso E E G G xx xx yy xz yz xz yz G xy (4.4) ( xy) E Draf Pág. 50

18 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 xy zx Exx Exx Ezz xy zx xx Exx Exx Ezz xx yy xz xz yy zz Exx Exx Ezz zz yz yz G xz yz xz xy xy G yz G xy No caso de isoropia ransversal o número de consanes independenes é 5. (4.5) 4.5 Simeria cúbica Nese caso é possível uma redução adicional do número de consanes independenes para 3 uma vez que Exx Eyy Ezz E Gxz Gyz Gxy G xz yz xy (4.6) E E E xx xx E E E yy yy zz E E E zz yz yz xz G xz xy xy G G Conudo não exise relação enre E, G e ν. (4.7) Um exemplo de maeriais com esa simeria são as ligas de níquel monocrisal uilizadas para as urbinas dos moores de avião. 4.6 Isoropia Nese caso duas consanes caraerizam as propriedades mecânicas do maerial. Enre E, G e ν exise a relação G = E / ( ( + ν)). A lei de Hooke isorópica oma a forma Draf Pág. 5

19 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Com as relações adicionais: E E E xx E E E xx yy yy zz E E E zz yz yz E xz xz xy xy E E E E E G k G em que k é o módulo de compressibilidade volumérica. 3 (4.8) (4.9) No caso paricular de ensão plana no plano xy, a mariz de rigidez e a mariz de flexibilidade podem ser reduzidas às seguines marizes de 3X3 zz 0 zz xx yy xz yz 0 E E 0 xx xx E E yy 0 yy xy xy E E E xx xx yy 0 yy E E xy xy 0 0 E (4.30) (4.3) (4.3) Draf Pág. 5

20 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Problemas Resolvidos 4.7. Exemplo 4. - Problema ensões/deformações e direções principais O esado de ensão num pono P é MPa 0 a) Ober as ensões principais e as respeivas direções principais de ensão b) Ober a máxima ensão de core no pono P c) A direção normal ao plano onde ocorre a máxima ensão de core d) Escrever o ensor das ensões no referencial de c) e) Calcular o ensor das deformações para um maerial com E=70GPa and 0.3 Resolução: a) Resolver I 0 para ober as ensões principais 0 I Ou, usando o círculo de Mohr, considerar apenas o plano XZ, pois Y já é direção principal de ensão (não há ensão de core em associada à linha e coluna ). Assim, emos: e,e 3 cener,0, Radius 4 5 C R 5 3 C R 3 Como se pode ver, ambos os méodos deram os mesmos resulados. Direções principais de ensão: Draf Pág. 53

21 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Resolver para : 0 n 0 I n n n 0 3 n n3 0 n n n3 n 0 n 0 normalizing n 0 n 0 5 n 4n3 0 n3 Como já sabíamos que n 0 0 O erceiro veor próprio pode facilmene ser obido por n n n 0 0 e e e b) A máxima ensão de core é max Que corresponde ao raio do círculo de Mohr maior. Relembrar de que em 3D, emos 3 círculos de Mohr correspondenes a cada plano: c) Sabemos anecipadamene que a máxima ensão de core aua num plano perpendicular ao plano definido por n, n rodado 45 em orno do eixo n. A normal n s pode ser obida por n s / / (n n ) n s / / ( 0 3) n s ( 0 3) 0 d) A parir do círculo de Mohr de b) facilmene se escreve o ensor das ensões:: Draf Pág. 54

22 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Cener 0 Radius MPa Radius 0 Cener 5 0 Noar o valor -Radius da convenção dos senidos ao desenhar no plano de Mohr E e) A equação consiuiva para maeriais elásicos é e Nese exemplo ( ) 0 kk ij ij ij kk, e porano e ij E ij eij E Exemplo 4.3 Equação de equilíbrio de uma barra Ober a equação de equilíbrio da barra com carregameno axial. Px ( ) p ( x) P( x dx) x x dx x dx Resolução Fazendo o equilíbrio na direção x: Dividindo por dx: Fx 0 P(x dx) P(x) p dx 0 x P(x dx) P(x) p 0 dx x P E fazendo o limie quando dx 0 : p x 0 x u Como se em P P A (Ee )A EA x xx A xx xx x E subsiuindo na equação de equilíbrio, obemos a equação diferencial: u x x x EA px 0 x Noe-se que EA pode ser exraído de se, e só se, forem consanes ao longo da barra. Draf Pág. 55

23 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Exemplo 4.4 Relação ensão/deformação Para um sólido elásico, linear e isorópico, E= 00 GPa, = 0.3 e o esado de ensão é dado por: [MPa] a) Deermine o ensor das deformações no corpo. b) Invera a Eq. (4.5) para ober as componenes do ensor das ensões em função das componenes do ensor das deformações. Apresene o resulado em ermos das consanes G = τ/γ e ν, em vez de E e ν. c) Considere a viga encasrada represenada na Figura 4-, sujeia a uma força P. Esabeleça as condições de froneira de ensão nas cinco faces onde exisem ensões aplicadas (que podem ser nulas). Figura 4- Esado de Tensão numa viga. 3P d) Deermine as consanes A e B para a disribuição de ensões σ xx= A x y, τ xy= B + 3 4c verifica odas as equações e condições. y da alínea c), que Resolução A) Tendo e E Onde kk raço 8MPa ij ij ij kk 9 obém-se eij E eij E E B) De e E ij ij ij kk fazendo o ermo Draf Pág. 56

24 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 E 3 E e Ee e kk kk kk kk kk kk kk Subsiuindo em kk E obém-se e ij ij ij kk E eij ij ij ekk eij ij ij ekk E E E ij eij ij ekk ij eij ij ekk E Fazendo G E E ij E E ij eij ij Gij G (para i j) emos E finalmene ij Geij ij ekk c) nas quaro faces longiudinais o veor ensão é nulo. Assim: y c : 0 z : 0 faces yy yx yz zz zx zy Na face onde esá aplicada a força P, emos n 0 0, e da fórmula de Cauchy: z xx yx zx xx yc Ti jin j xy yy zy 0 xy emque xx 0 xz 0 xy P yc z xz yz zz 0 xz 3P d) As ensões são xx A x y xy B y 3 4 c Da equação de equilíbrio ji i x j b 0, na ausência de forças volúmicas: xx yx 3P 3P 0 Ay y 0 A 3 3 x y c c Da condição de froneira yx 0 em y c vem 3P 3P 4 c 4 c B c 0 B 3 Draf Pág. 57

25 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Exemplo Barra anisorópica à ração X Exemplo adapado de (Lekhniskii 98). O Y Considere a barra prismáica (de área da secção ransversal A) feia de um maerial homogéneo e anisorópico, de acordo com a figura. A barra esá fixa na face superior e sujeia à força P na exremidade livre. L O maerial obedece à Lei de Hooke generalizada sendo S ij as consanes elásicas. Admie-se válido o Princípio de Sain-Venan. O P Z Admie-se que a força P e a reação na face superior são uniformemene disribuídas nas respeivas secções, assim: P zz xx yy yz xz xy 0 A A lei de Hooke generalizada é: xx s s s3 s4 s5 s6 xx yy s s s3 s4 s5 s 6 yy zz s3 s3 s33 s34 s35 s 36 zz yz s4 s4 s34 s44 s45 s46 yz xz s5 s5 s35 s45 s55 s 56 xz xy s 6 s6 s36 s46 s56 s 66 xy Como a única ensão não nula é zz P/ A, obemos xx s3 yy s 3 zz P s33 yz A s34 xz s 35 xy s 36 E como u v w xx yy zz x y z v w u w u v yz yz xz xz xy xy z y z x y x Draf Pág. 58

26 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Por inegração pode-se ober, onde,, 3, u0, v0, w0 são consanes provenienes de deslocamenos de corpo rígido, que não conribuem para a deformação: P u s3 x s36 y s35 z z 3y u0 A P v s3 y s34 z 3x z v0 A P w s33 z y x w 0 A,, 3 esão relacionados com roações em orno dos eixos coordenados e u0, v0, w 0 com deslocamenos ao longo desses eixos. Admiindo que para x=y=z=0 se em u v v u u v w (sem roação) z z x y obemos P u s3 x s36 y A P v s36 x s3 y A P w s35 x s34 y s33 z A yz O Y As expressões aneriores significam que, no caso de anisoropia, a barra não só aumena o comprimeno, reduz na secção ransversal, mas ambém em disorção em planos paralelos mãos planos coordenados. L A disorção vem dos ermos S 34, S 35 e S 36. O O' As secções ransversais permanecem planas, mas inclinam para linha de ação da força, de forma que um paralelepípedo reangular ransforma-se num paralelepípedo oblíquo. P Z Draf Pág. 59

27 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 5 Torção O problema da orção em sido esudado há algumas cenenas de anos (Timoshenko 934). Por uma quesão de simplicidade o esudo da orção começa pelas secções cheias, circulares e não circulares, depois as secções finas (fechadas e aberas), incluindo as mulicelulares (Figura 5-). Considera-se em odos os casos que o maerial é isorópico. X X X X X Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z Figura 5- Secções à orção. Nomenclaura: - Ângulo de roação/unidade de comprimeno xy, - Função de empeno (warping) - Função de ensão de Prandl J - Consane de orção (Torsional Consan) T, M - Momeno orsor (orque) GJ - Rigidez à orção (Torsional siffness) 5. Secção Circular O problema da deerminação das ensões num caso da orção de um veio de secção circular resula num problema esaicamene indeerminado. Considerando a secção ransversal no pono C (Figura 5-), o diagrama de corpo livre mosra que em cada pono dessa secção exise uma força elemenar df a qual é perpendicular ao raio (r) em cada pono (Figura 5-3), e que resula de ensões de core ( ) que auam no plano da secção. Y Y T' X df T' X r df T Z df Z Figura 5- Diagrama de corpo livre Figura 5-3 Equilíbrio na secção Assim, a equação de equilíbrio de momenos é: T M r df r da Area Area (5.) Sendo o problema esaicamene indeerminado (como varia a ensão de core na área?), é possível de deerminar o campo de ensões omando em consideração a deformação associada. Draf Pág. 60

28 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 As hipóeses básicas da deformação são simples de compreender uma vez que a simeria e o carregameno são axissiméricos. Considera-se que durane a deformação (Oden and Ripperger 98): Secções ransversais perpendiculares ao eixo longiudinal permanecem planas; Essas secções não disorcem no seu próprio plano. Y D z Y T' X T T Z R DF g X Z a A roação da secção ransversal será dada por: Figura 5-4 Deformação da secção ransversal num veio circular. z z r z r (5.) z Em que z é a disorção no elemeno x e o incremeno de roação da secção. Designado o z ângulo de orção por unidade de comprimeno, e aplicando a relação consiuiva ensão de core-disorção ( G ), em-se: z z Subsiuindo na Eq. (5.): G Gr (5.3) z z M r da r G r da G r da G J M Area Area Area M G J GJ Noe-se que no caso da secção circular J coincide com o momeno polar de inércia: (5.4) 4 R J r da (5.5) Area Em que G é o Módulo de Elasicidade Transversal (Shear Modulus) e J é a Consane de Torção (Torsion consan). O ermo GJ designa-se por Rigidez à Torção (Torsional siffness). As equações (5.6) e (5.7) são essenciais na orção de veios circulares: Mr J z (5.6) M (5.7) GJ Draf Pág. 6

29 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Exemplo 5. Secção Circular Y Considere o veio oco de aço (G=80GPa) com diâmero exerior 40mm e espessura de parede 6mm, sujeio a um momeno orsor de 600 N.m. Z X Calcule o ângulo de orção por unidade de comprimeno. Represene graficamene a ensão de core na secção, e obenha o valor máximo. Resolução M a) Da expressão precisamos apenas de calcular GJ R 4 R J 90983mm 9 0 m ex in Para ober o resulado M rad / m.5º / m 9 9 GJ b) O valor máximo da ensão de core é Y x máx 3 Mr ex J Pa 6.8 MPa X Noe-se que a disribuição de ensões de core é linear na espessura da parede do ubo. 5. Secções não-circulares Para secções não-circulares deixa de exisir a simeria axial, e consequenemene algumas das considerações aneriores deixam de ser válidas, paricularmene a secção ransversal deixa de ser plana, aparecendo o efeio de empeno da secção (warping), como no exemplo da Figura 5-5. Para secções não circulares consideram-se as seguines aproximações,(ugural and Fenser 995) : Roação da Secção ransversal, como num movimeno de corpo rígido, deslocamenos u e v; Empeno da secção, idênico para odas as secções ao longo do comprimeno do veio, deslocameno w. Draf Pág. 6

30 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Figura Empeno de secções não circulares. Assim, o campo de deslocamenos de um pono P (Figura 5-7) numa secção ransversal à coa z, é dado genericamene pela Eq. (5.8): u z y v z x w (5.8) onde é o ângulo de orção por unidade de comprimeno, xy, z é o ângulo de roação da secção. O deslocameno w (warping) é independene de z. xy, é a função de empeno. Admiindo pequenas deformações, as componenes do ensor das pequenas deformações, dado por (5.9), resula na Eq. (5.0). Noese que: Não há exensões normais ( e e e 0 ); xx yy zz Não há disorção no plano da secção ( exy 0 ) Y Y u a v X x y X Figura 5-6 Deformações na secção ransversal u u i j e aj a i xz exx eyy ezz exy y x 0 0 e xz yz ezx zx y e 0 0 e yz x x y ezx ezy 0 zx zy. 0 ezy zy x 0 sim y (5.9) (5.0) Draf Pág. 63

31 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Y T Y P' ß P (x,y,z) Z o X zy zx T y X x Figura 5-7 Deslocameno e ensões de um pono da secção ransversal Considerando maeriais isorópicos, aplicando a relação consiuiva, obém-se: 0 xx yy zz xy zx G zx G y x zy G zy G x y 0 0 G y x 0 G x y sim. 0 (5.) Subsiuindo nas equações de equilíbrio (, F 0 ) e considerando nulas as forças volúmicas ( F 0 ), permie ober as Eqs (5.). ji j i xx yx zx 0 zx 0 x y z z xy yy zy zy 0 0 x y z z yz xz yz xz zz 0 0 x y z x y (5.) As duas primeiras mosram que as ensões de core são independenes de z. Pegando nas Eqs (5.) e diferenciando zx em ordem a x e zy em ordem a y e colocando na erceira equação de (5.), obemos a Eq. (5.3) designada como Equação de Laplace. i x y 0 Definindo a Função de Tensão de Prandl (, Eq. (5.4)) como: (5.3) xz y yz x (5.4) Draf Pág. 64

32 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 obemos a Eq. (5.5): G y G x (5.5) y x x y Diferenciando a primeira em ordem a y e a segunda em ordem a x, eliminando obemos a Eq. (5.6): x y G Uma equação do ipo da Eq. (5.6) designa-se por Equação de Poisson. (5.6) Desa forma o problema da orção passa a ser a deerminação da Função de Tensão de Prandl,, com as necessárias condições de froneira. A dedução das condições de froneira pode ser consulada em (Boresi, Schmid e al. 993) ou (Timoshenko 934), sendo aqui apresenadas no seu resulado final: dy dx xz ( m) yz ( n) d 0 y ds x ds ds (5.7) O que significa que é consane ao longo da froneira da secção. Os ermos m e n são os cossenos direores do veor normal à curva em cada pono. No caso de domínios simplesmene conexos a consane pode ser qualquer (por exemplo nula), o que significa que o problema da orção consise na deerminação de que saisfaz as Eqs. (5.8) e (5.9): x y G (5.8) 0 na froneira da secção (5.9) Para que o equilíbrio se manenha na secção êm de se verificar as Eqs. (5.0)-(5.): Fx 0 zx dxdy 0 dxdy 0 y (5.0) Fy 0 zy dxdy 0 dxdy 0 x (5.) M z T xzy yzx dx dy T x y dx dy T (5.) Observando a Figura 5-8 (c) e considerando uma ira fina de espessura dy, como a ensão não varia com y, a Eq. (5.) fica: x d dx ( B) x y dx dy dy dx dy d dy( B) ( A) 0 (5.3) ( A) uma vez que é nula na froneira. De modo análogo se procede com a Eq. (5.0). A Eq. (5.) é inegrada por pares em cada um dos ermos, enre A e B para iras em dy, e enre C e D para iras em dx : Draf Pág. 65

33 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 T x y dx dy x dx dy y dx dy x y x y xb xa ( B) ( D) d d dy x dx dx y dy dy x d dx y d dx dy ( A) ( C) xb y D dy x B A dx dx y D C dy xa yc yd dy dx dx dy yc Somando (inegrando) odas as iras e noando que ambos os ermos são idênicos, obém-se a Eq. (5.5): (5.4) T dxdy (5.5) Recuperando a Eq. (5.4), podemos escrever a expressão que nos dá a Consane de Torção (J): T G J J dxdy G (5.6) S Y dy ds n za zx zy n dx x Y S o dx s a X dy dx ds C D o B dy yax Figura 5-8 Tensões de core na secção. Nas soluções dos problemas seguines, irá deerminar-se a função que saisfaz as Eqs. (5.8) e (5.9). Começase por enconrar a equação que raduz a curva da froneira na forma F x, y 0 (a qual saisfaz imediaamene a condição de ser nula na froneira) e sugerir uma função na forma C F x, y em que C é uma consane a deerminar resolvendo a Eq. (5.8). 5.. Exemplo 5. - Secção Elíica Considere a secção elíica da Figura 5-9. Deermine as expressões para: a) Função de Tensão de Prandl b) Consane de Torção, J c) Tensões de core na secção d) Deslocamenos u, v e w na secção ransversal e) Apresene de forma gráfica o empeno da secção Figura Secção Elíica Draf Pág. 66

34 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Resolução: a) Começa-se por escrever a equação que define a froneira de uma secção elíica: x y 0 a b A Eq. (5.8) pode ser saisfeia considerando como função de Tensão de Prandl a expressão: x y C a b em que C é uma consane. Subsiuindo na Eq. (5.8) e resolvendo em ordem a C, C ab a b obemos G e finalmene a b G x y a b a b b) Subsiuindo em (5.5) e fazendo as inegrações, obemos: onde J M a b a x 3 3 a b G x y a b G a b dydx a a x a b a a b a b 3 3 a b G ab ab dxdy G inverendo: a b M 3 3 E finalmene podemos ambém escrever a Função de Tensão de Prandl em função do momeno orsor aplicado. M x y ab a b c) As componenes da ensão são calculadas direamene das expressões da definição: My Mx xz 3 yz 3 y ab x a b O ângulo de orção por unidade de comprimeno é dado por: a b 3 3 M a b G Caso b<a, a máxima ensão de core ocorre nos ponos da froneira mais próximos do cenróide x 0, y b M max ab d) Os deslocamenos podem ser obidos por inegração, apresenando-se aqui o resulado final: a b a b u z y M 3 3 z y v z x M 3 3 z x a b G a b G w b a M x y a b G xy, 3 3 Draf Pág. 67

35 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 e) Graficamene, o empeno pode ser represenado por isolinhas (hipérboles x. y = consane, Figura 5-0) Figura Isolinhas do empeno Na Figura 5- pode-se ver o resulado da simulação numérica (com elemenos finios usando SolidWorks Simulaion), da orção de uma secção elíica. Pode-se ambém observar as isolinhas do deslocameno axial, empeno. 5.. Exemplo Secção Triangular Considere a secção riangular equiláera à orção. a) Obenha a função de ensão dese problema Figura 5-- Secção Elíica: simulação numérica b) Calcular as ensões de core. Represene xz na linha x=0. c) O empeno é dado por w x 3 3xy cxy c x. c Represene as linhas de conorno desa função. Resolução a) Os lados do riângulo são dados pelas equações das linhas y 0; y 3x c, pelo que a função de ensão pode ser dada por: 3 3 A y y c x y c x onde A=consane Draf Pág. 68

36 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Subsiuindo a função na equação x y G obemos: 6Ay A y c 3x A y c 3x Ay 4Ac 4Ac G x y G A c b) as ensões são dadas por: xz yz G 3y 3x 4c y c y c 3G xy x c Noe-se que as ensões são nulas nos vérices e no cenróide (0,c/3), e são máximas a meio de cada um dos lados, ou seja nos ponos da froneira mais próximos do cenróide. c) Sendo o empeno w x 3 3xy cxy c x, a c represenação é a da figura juna Exemplo Veio Circular com escael A função de ensão de Prandl para a secção circular com escael (keyway), Figura 5-, é dada por: Y C x y a Rx x Ra x y a R X Figura 5- - Veio circular com escael Draf Pág. 69

37 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 a) Mosre que é uma função de ensão e calcule a consane C b) Calcule as ensões de core na secção c) A Figura 5- (b) represena isolinhas da função de ensão com a/r=0.. Indique o pono onde a ensão de core é mais elevada. Jusifique com a figura. d) Obenha a máxima ensão de core com a/r=0.. e) Calcule o faor de concenração de ensões, comparando com uma secção circular de raio R. Resolução a) A função de ensão deve saisfazer: x y G x y x x y C x R Ra C x R Ra x x y x y Ra x 4 x y x y x 4 8Ra x x y Ra x C Ra C 4 3 x x y x y x y x y xy C y 4Ra y x y xy x y y x 4Ra x 6Ra xy C 4Ra 4Ra C 4 3 y x y x y x y x y fazendo G... 4C G C x y Na froneira eremos: Consan x R y R x y Rx Na circunferência maior: Subsiuindo em C x y a Rx x Ra x y obemos Ra x Ra x C x y a Rx C Rx a Rx 0 x y Rx Draf Pág. 70

38 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Na circunferência menor: x y a Subsiuindo em C x y a Rx x Ra x y obemos Ra x Ra x C x y a Rx C a a Rx 0 x y a Concluindo-se porano que a função dada cumpre os requisios. b) As ensões são dadas por: xz yz 4Ra xy Ra x C y Gy y x y x y x y x y C x R Ra G x R Ra x x y x y c) A ensão de core máxima ocorre no pono (a,0). Tal deve-se ao faco de a ensão de core ser angene (é a derivada) às curvas de nível e na direção perpendicular a essas curvas, porano a máxima ensão de core ocorre onde as curvas esão mais próximas umas das ouras. d) as ensões no pono (a,0) são: xz a,0 Ra x Gy 0 x y a,0 x y a yz G x R Ra G a R Ra G a R,0 a x y a a,0 para a/r=0., obemos a yz G a R G R G R0..8G R a,0 R e) Para uma secção circular, a máxima ensão de core (ver Eq. (5.6)) é dada pela expressão: Draf Pág. 7

39 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 circular max TR JG R G R J J Assim o faor de concenração de ensões é (aqui o sinal negaivo é irrelevane) yza,0.8g R k.8 GR circular max 5..4 Exemplo Problema Proposo M Ma saisfaz e zx onde I max p é o momeno polar de inércia GI I Verificar que Cx y a da secção ransversal, onde a é o raio do círculo. Resolução p p A equação em de saisfazer x y G G 4C G C x y G x y a assim 4 M a G JG a x a x a G a M dx dy x y a dydx G x y a dydx a a a x a x onde e assim 4 J a I p M GI p G M I e porano x y a x y a p As ensões são calculadas por xz y I M y p e o valor máximo é Ma zx max I p 5.3 Secção Reangular Fina Embora os perfis reangulares sejam usados sobreudo em ração/compressão uniaxial e em flexão, é ambém frequene que enham de suporar esforço de orção. Frequenemene eses perfis êm parede fina o que jusifica o seu esudo. Os dealhes desa maéria podem ser visos nas referências já mencionadas. Draf Pág. 7

40 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Considere-se a secção reangular c x b, em que c<<b (Figura 5-3). Usando a analogia da membrana (ver (Boresi, Schmid e al. 993) ou (Ugural and Fenser 995)), a Função de Tensão de Prandl sugerida na forma da Eq. (5.7). Esa função é aproximada, respeiando a condição de froneira em y=±c mas não respeia em x=±b. Gh y c (5.7) Y T Z o X T b c Pelo que as ensões são: O momeno orsor é: Figura Secção reangular fina à orção. zx G y zy 0 y x (5.8) c b y 3 b c c 3 (5.9) T dx dy G c dxdy G b c Como T JG, obém-se J b c 3 (5.30) 3 3T Ou ainda: (5.3) G b c A ensão de core máxima, obida em y=±c : 5.4 Secção Reangular 3 3T Tc máx (5.3) J bc O caso da secção reangular é aproximado a parir de um desenvolvimeno em série. Também aqui os dealhes devem ser consulados em (Boresi, Schmid e al. 993) ou (Timoshenko 934). De forma resumida, para uma secção reangular b x c (Figura 5-4), as expressões são semelhanes ao caso anerior. T (5.33) k 3 G b c Draf Pág. 73

41 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Y T Z o X T b c Figura Secção reangular à orção A ensão de core máxima, obida em y=±c : A consane de orção: 3 T máx (5.34) K b c J K b c (5.35) Os valores dos parâmeros K e K são reirados da Tabela 5.((Boresi, Schmid e al. 993)). Tabela 5. - Parâmeros de orção para secções reangulares b/c K K Exemplo Secção Reangular Considere a Figura 5-5. A viga é feia de um Aço (G=77.5 GPa) e esá sujeia a dois momenos orsores, T=750 N.m e T=400N.m. Considere que o supore impede a roação da secção ransversal mas não evia o empeno. Deermine a máxima ensão de core e o ângulo de orção na exremidade livre. Figura 5-5- Viga reangular à orção Draf Pág. 74

42 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Resolução b 30 Para a secção 60 x 40, emos.5. Da Tabela 5. reiramos k=0.96 e k=0.3. Esa secção (Figura c 0 5-6) esá sujeia ao momeno oal T T T 50 N. m. A ensão de core máxima será: máx T MPa K b c Figura Troço 60 x 40 mm b 0 Para a secção 40 x 30 (Figura 5-7), emos.33. Da Tabela 5. reiramos, por inerpolação linear, c 5 k =0.78 e k =0.3. Esa secção esá sujeia ao momeno oal T 400 N. m. A ensão de core máxima será: T 400 máx 9 K bc MPa O ângulo de orção oal será a soma do ângulo de orção de cada um dos roços: Ti Li rad GJ i i i Figura Troço 40 x 30mm. 5.5 Secção Fina Composa de Vários Segmenos No caso de a secção ransversal ser composa de vários segmenos (Figura 5-8), a consane de orção pode ser obida pela expressão: Draf Pág. 75

43 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 n J C b 3 i ci (5.36) 3 i Onde C é um coeficiene de correlação. Se b 0c para odos os segmenos da secção considera-se C, i caso conrário recomenda-se C=0.9. A ensão de core máxima é dada a parir da Eq. (5.3) por: i Em que máx é a espessura máxima na secção. T J máx máx (5.37) Figura Secção fina composa 5.5. Exemplo Secção em C 00 9 Calcular a ensão de core máxima e o ângulo de orção da viga juna (Figura 5-9), feia de um Aço com G=77.5GPa. O momeno orsor aplicado é de 600N.m Figura Secção em "C" Resolução n J C li mm 3 3 Para ese problema emos: onde C é o coeficiene de correlação. Nese caso C pois l 0 i i i i max T J max 97.6MPa T rad / m GJ Draf Pág. 76

44 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Exemplo Secção em Z 00 5 A secção da Figura 5-0 é exrudida numa liga de Alumínio. Qual o binário máximo que é possível aplicar sabendo que max =75MPa Figura secção em "z" Resolução Usando as expressões aneriores, emos: n J C li mm 3 3 i i l 90 5 Noe-se que para o segmeno inferior se em e porano C=0.9 5 T J max 3 max N. m 5.6 Torção de perfis finos fechados As secções finas fechadas consiuem aquilo que vulgarmene se designa por um ubo. De uma forma simplificada, a orção de perfis finos fechados pode ser esudada a parir do equilíbrio de forças provenienes das ensões de core exisenes na parede do ubo. Considere-se o ubo ao qual é aplicado um momeno orsor T, Figura 5-. Y D z Z T' B A X T Figura 5- - Perfil fechado oco à orção. Isolando um pedaço da parede desse ubo (Figura 5-) a uma disância longiudinal erá de ser nula, Eq. (5.38). z, a soma das forças na direção Draf Pág. 77

45 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 B F B B A F A Dz A Figura 5- - Equilíbrio de forças numa parede elemenar. Fz 0 FA FB 0 (5.38) z z A A B B A A B B Definindo a grandeza fluxo de core (shear flow) como q a Eq. (5.38) raduz que na parede do ubo se em o fluxo de core consane, Figura 5-3. Y Z T' X T Ds Figura Fluxo de core. Como não exisem forças a auar nas superfícies superior e inferior do elemeno (parede inerna e exerna do ubo), significa que a ensão de core é paralela à superfície da parede. O momeno dm 0 criado em orno do pono O é: dm p df pda p ds p q ds 0 Como a área p ds d, o momeno orsor pode ser expresso como (Figura 5-4) (5.39) ds df T dm 0 q d q (5.40) ds df o p p o dw W Figura Momeno orsor em perfis finos fechados. Draf Pág. 78

46 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 A expressão para o ângulo de orção /unidade de comprimeno pode ser obida por méodos energéicos, fora do âmbio dese exo, o seu resulado são as expressões (5.4) e (5.4). T T ds JG G 4 (5.4) S J 4 ds S (5.4) Nesas secções é frequene haverem diversos roços em que a espessura é consane, nesse caso o inegral da Eq. (5.4) é calculado como um somaório: ds S S... (5.43) S 5.6. Exemplo 5.9 Problema orção perfil fechado fino A secção simérica fechada da Figura 5-5 esá sujeia a um binário de 0 N.m. Supondo que o maerial em G=80GPa, calcular a ensão de core máxima e o ângulo de orção por unidade de comprimeno Figura 5-5 Figura do Exemplo 5.9 Resolução obemos T dm 0 q d q Sabendo que T 5 W Figura 5-6 Cálculo da área fechada. Draf Pág. 79

47 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Em primeiro lugar calcula-se a área delimiada pela linha média (a poneado na Figura 5-6) de cada roço da secção ( ): mm A máxima ensão de core ocorre onde a espessura é mínima ( min=mm): T MPa 0 50 max 3 6 A secção é consiuída por 3 segmenos com =mm, e por 5 segmenos com =mm. Para calcular o ângulo de orção por unidade de comprimeno usa-se a expressão: T T ds JG G 4 onde S J 4 ds S Nese caso o inegral pode ser calculado como S ds S S Obendo-se a consane de orção J 973mm ds 7.5 S 4 T 0 E finalmene rad / m 9 JG Torção de Perfis Finos Mulicelulares Ceros perfis usados em Engenharia são fechados e composos por várias células, sendo por isso designados perfis finos mulicelulares (Figura 5-7). Ao conrário dos perfis finos unicelulares, em que o problema era isosáico sendo possível deerminar o fluxo de core ao longo da parede do perfil, no caso das secções mulicelulares al não aconece. É assim necessário enconrar o conjuno de equações de compaibilidade de deformação que permia resolver o problema. ds i df i W i W W n Figura Perfil fino mulicelular. Draf Pág. 80

48 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Começa-se por reescrever a Eq. (5.40): E a Eq. (5.4) para a célula i: T n qii (5.44) i qi dsi i G (5.45) i Si Fazendo noar que na parede comum enre duas células (Figura 5-8) o fluxo de core em senidos oposos, enão o ângulo de orção/unidade comprimeno será dados pela Eq. (5.46). i ds ds ds q q q i i in i i n G i i i S Si i Sin in (5.46) Em que S i e S in são as paredes comuns enre a célula i e as células e n. Noe-se que o exemplo da Figura 5-8 pode ser generalizado obendo-se a Eq. (5.47), em que k é o número de paredes comuns com a célula i. Além disso, uma das hipóeses colocadas desde início é de que não há disorção no próprio plano da secção ransversal, o que implica que o ângulo de orção/unidade comprimeno de cada célula seja idênico i ds n ds k i ij i qi qj G i S j i i Sij ij ds i df i (5.47) q W q i W i W n q n Figura 5-8 Fluxo de core em perfis mulicelulares Exemplo Secção com células Um ubo longo (3m) numa liga de Alumínio (G=7.GPa), é sujeio a um momeno orsor T=KN.m. As dimensões da secção ransversal enconram-se na Figura Deerminar a máxima ensão de core e o ângulo de orção Figura 5-9 Secção do Exemplo 5.0 Draf Pág. 8

49 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Resolução O momeno orsor (T) relaciona-se com o fluxo de core ( q ) e com a área inerna de cada célula ( ) pela expressão (a). i i T n qi (a) i i Enquano o ângulo de orção/unidade de comprimeno em cada célula é dado por: qds i G (b) i si 0 W W A eq. (a) em duas incógnias (q e q ), pelo que eremos de enconrar mais uma equação. Como odas as células erão de orcer o mesmo ângulo/unidade de comprimeno, surge a equação de compaibilidade de orção enre elas: qds qds... G G (c) s s Que nos permie er as equações necessárias à obenção da solução do problema, os fluxos de core q i Finalmene o ângulo de orção/unidade de comprimeno é enão m ds ds q q G (d) i j sij i s j i Nese problema em concreo, emos: Da Eq. (a) m m T q q q q 000 (e) Da Eq. (c) obemos a expressão (g). Noe-se que na parede comum às duas células o fluxo de core é a diferença enre q e q, o qual será posiivo ou negaivo dependendo do senido da circulação q 0q q G q 0q q 6 G (g) q Figura Fluxos de core do Exemplo q Draf Pág. 8

50 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Simplificando os ermos obemos a equação q.338q (h) Resolvendo o sisema de equações (e) e (g), q q 000 q.338q Obemos q 99.4 N / mm q 49 N / mm q q E de seguida a ensão de core máxima: max 39.9 MPa 5 O ângulo de roação é m L ds ds L qi q j G s jr i s j i rad Onde L é o comprimeno do ubo (3m) e um dos ermos da expressão (g), já que o ângulo de orção de cada uma das células é idênico. max 5.7. Exemplo 5. - Secção com 3 células A secção fechada de parede fina em espessura uniforme (Figura 5-3). Mosrar que nas paredes BC, CD e CF as ensões de core devidas à orção são nulas. Resolução Como a espessura é consane, as áreas fechadas são: 3 As duas equações de compaibilidade que se aplicam são: b h b h q q q q q3 G b h b h q q q q q3 G b b h h q3 h q3 q q3 q G3 h/ h/ h/ h/ F b/ b/ B C D Figura 5-3 Secção de 3 células. q b/ b/ W F q B C W W 3 D q 3 Que resulam em: Draf Pág. 83

51 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 b h b h b h b h q q q q q q q q q q q q 3 3 b h b h b b h h q q q q q q h q q q q q q Como q q q3, significa que o fluxo de core nas paredes comuns circula em oposição e consequenemene as ensões de core são nulas. 5.8 Problemas sugeridos 5.8. Problema Deduza as expressões (5.8) para pequenos ângulos de roação Problema Considere um veio de parede fina de secção em U equiláera sujeio a um momeno orsor T, conforme se mosra na figura a). A espessura da parede é = a / 0: a) Deermine a ensão de core máxima e a rigidez orsional do veio. b) As abas vericais foram dobradas um pouco mais de forma a que a secção resule num riângulo equiláero abero, figura b). Deermine a ensão de core máxima e a rigidez orsional do veio nese caso. c) Realizou-se de seguida uma soldadura para que a secção resule num riângulo equiláero fechado de parede fina, figura c). Deermine a ensão de core máxima e a rigidez orsional do veio nese caso. d) Para aumenar a rigidez orsional da alínea anerior, soldou-se uma placa de espessura e alura a no inerior do perfil anerior ligando um vérice ao meio do lado oposo, figura d). Qual a variação de rigidez orsional conseguida? Problema 3 Figura a) Figura b) Figura c) Figura d) Mosre que a Função de Tensão de Prandl (, Eq. (5.4)) saisfaz as Equações de equilíbrio xz y yz x Problema 4 R x x Considere a orção de uma barra circular de raio R. Mosre que a função Draf Pág. 84

52 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 é uma função ensão de Prandl. Calcule a rigidez orsional da barra, e mosre que J=I p. Calcule o esado de ensão associado e mosre que a ensão de core resulane nos opos da barra é radial Problema 5 Considere dois veios com a mesma área da secção ransversal e feios do mesmo maerial linear elásico, um de secção circular e ouro de secção elíica com relação : nos semieixos. Deermine o cociene enre as ensões de core máximas nos dois veios para: a) Igual momeno de orção aplicado nos dois veios b) Igual ângulo de orção nos dois veios Draf Pág. 85

53 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Problema 6 Considere a célula base cuja secção ransversal se mosra na Figura 5-3, obida a parir de 3 chapas coladas enre si nas superfícies de conaco. Todas as chapas êm mm de espessura. A chapa do meio é quinada a 60 em inervalos de 70mm. O processo indusrial de produção de placas esruurais consise na repeição desa célula num padrão como se mosra na Figura O maerial das chapas é Aço (G=70GPa). O momeno orsor aplicado é T=0 kn.m. Deermine: a) A consane de orção desa célula. Jusifique as aproximações que fizer. b) A ensão de core máxima e indique onde ocorre. Jusifique. c) O ângulo de orção/unidade de comprimeno. d) Sabendo que a ensão de core máxima dese Aço é 90MPa, calcule o número mínimo de células máx para suporar o momeno aplicado. Y Figura 5-3 Secção feia de chapas coladas enre si. 60 X Problema 7 Figura Placa esruural. Considere as secções ransversais da Figura 5-34, com as mesmas dimensões e feias do mesmo maerial linear elásico. Considere que a<<. Dados: G=45GPa R=50mm =mm Y Y Calcule: R R a) O momeno orsor máximo que se pode aplicar a cada um dos veios para que a ensão de core máxima não ulrapasse 00MPa. b) O ângulo de orção/unidade de comprimeno em cada caso da alínea anerior. X Figura Secções em anel. a X Draf Pág. 86

54 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 6 Cilindros espessos Considere um cilindro cuja secção em as dimensões indicadas na Figura 6-: raio inerno r i, raio exerno r e e alura h << r i. O maerial do cilindro é homogéneo e isorópico e segue a lei de Hooke. A pressão inerna que aua em r i é designada por p i e em r e aua a pressão exerna p e. Preende-se deerminar os deslocamenos, ensões e deformações causados por esas pressões (Timoshenko 934). Y p e r r e p i OO rr rr O X r i OO Figura 6- Cilindro com pressão inerne e exerna. Para resolver ese problema é conveniene uilizar coordenadas cilíndricas. Como o cilindro é fino e não em soliciações nas bases podemos admiir um esado de ensão plana com zz zr z 0 e odos os ouros campos independenes de z. A geomeria do cilindro, o seu carregameno (as pressões) e o maerial de que é feio êm simeria axial. Enão a solução ambém em simeria axial, sendo independene de. Analisando as equações de equilíbrio em coordenadas polares verifica-se r 0 no cilindro pois nas soliciações na froneira do cilindro não há ensões de core aplicadas. Em conclusão, as únicas componenes do ensor das ensões não nulas são rr e e dependem apenas da coordenada r; as únicas componenes do veor deslocameno não nulas são u r e u z e dependem igualmene apenas da coordenada r, ou seja ur r (ver-se-á depois que u z é consane). O conjuno de equações (em coordenadas cilíndricas) a resolver é o seguine: Equações de equilíbrio d dr r rr rr 0 (6.) Lei de Hooke (ensão plana) E e e / ( ), e / Relações deformação-deslocameno rr rr E e ( ) rr e rr du dr u r r r e (6.) Draf Pág. 87

55 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 Subsiuindo a úlima equação na penúlima e depois na primeira obemos a equação diferencial d ur du r u r 0 (6.3) dr r dr r cuja solução é ur Ar A / r A e A são consanes a deerminar a parir das condições de froneira. Nas superfícies cilíndricas auam, como se viu pressões p i e p e. As condições nas froneiras r i e r e são, respeivamene, σ rr = - p i e σ rr = - p e. Escrevendo σ rr em função de u r obém-se um sisema de equações para A e A cuja solução é, C pir i per e / r e ri A C / E, C ( p i p e) ri r e / r e ri A C / E As ensões são dadas por noar que rr é consane no cilindro o que implica u z consane. rr C C / r (6.4) C C / r (6.5) Vários problemas se podem resolver com os resulados aneriores a) Cilindro maciço. Nese caso r i = 0 o que implica A = C = 0 b) Cilindro só com pressão inerna c) Cilindro só com pressão exerna d) Cilindros monados com apero e) Cilindro com condições de froneira de deslocameno por esar fixo na sua froneira inerna ou exerna. NOTA IMPORTANTE Nos exercícios seguines er em aenção que a denominação das grandezas esá de acordo com as respeivas figuras, não seguindo as expressões acima. Draf Pág. 88

56 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 6. Problemas Resolvidos 6.. Exemplo 6. - Cilindro longo sob pressão inerna e exerna Um cilindro longo esá sujeio a pressão inerna p a e exerna p b, com as dimensões da figura juna. Ober as equações da solução dese problema em elasicidade. Resolução Nese problema aplicam-se as seguines hipóeses: - A disância enre duas secções ransversais permanece consane u z=0, deformação plana - Da simeria do problema, o deslocameno é apenas radial e só depende de r, u ur ( r) u 0 - As equações deformação-deslocameno em coordenadas polares (cilíndricas) são: dur ur u u zz err e ezz dr r r z u du u u u u u r dz r r r r z zz r r zz rz r z que se simplificam nese caso para dur ur err e rz r z ezz 0 dr r - A Lei de Hooke generalizada para maeriais isorópicos é G e e e rr rr zz G e e e G e e e zz zz rr rr r rz z E r rz z onde G G G G zz rr Pelo que a equação de equilíbrio simplificada em coordenadas polares fica: d rr 0 dr r Draf Pág. 89

57 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 E após subsiuição das relações deformação-deslocameno nas relações consiuivas (Lei de Hooke) resula em d u r r du u 0 r dr r dr r C Cuja solução em a forma geral ur Cr r As condições de froneira não aparecem em ermos dos deslocamenos ( u ), mas em ermos das pressões inerna e exerna, as quais podem ser relacionadas com A solução da equação diferencial anerior é rr r : r a p r b p rr a rr b u r p b p a r p p a b b a b a b a G b a G r rr p b p a p p a b b a b a r b a b a p b p a p p a b b a b a r b a b a zz pbb p a G b a a esa ensão exise porque ezz Exemplo 6. - Monagem de cilindros com apero Um reservaório de pressão consiuído por dois cilindros monados com apero e feios do mesmo maerial (com E=07GPa) esá sujeio a uma pressão inerna p i=07mpa, Figura 6-. A inerferência de conaco é de 0.mm. Ober a ensão angencial e a ensão radial nas rês superfícies, e comparar com um cilindro único com parede de espessura igual à soma dos dois aneriores. Desprezar o Figura 6- Cilindros com apero. efeio axial. Represenar graficamene o resulado. Resolução Ese problema pode ser resolvido usando as expressões do Exemplo 6.. Noe que para cada cilindro A e B, são conhecidos odos os valores exceo a pressão de conaco na inerface comum (aqui designada como p conac ). Draf Pág. 90

58 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/06 As condições de froneira são: (r 00 mm) p 07MPa rrb i i rra (r 00 mm) 0 e (r 50 mm) (r 50 mm) p rra 0 rrb 0 conac Na superfície da inerface, os deslocamenos relaivos enre os dois cilindros são ua ub 0.mm (r0 50mm) (Eq.) Uma maneira fácil de verificar esa equação é considerar o cilindro A indeformável (rígido), e a seguir fazer o mesmo com o cilindro B. Facilmene se chega à Eq.. A parir das equações do Exemplo 6., obemos as equações para os dois cilindros: p r p r r p p r r u (r r ) conac 0 i i conac i 0 i B 0 r0 ri G r0 ri G r conac 0 conac 0 e A 0 re r0 G re r0 G r p r r p r r E u (r r ) Subsiuindo na Eq., obemos a pressão de conaco na inerface, pconac 76.4MPa Sabendo a pressão de conaco, aplicamos as expressões aneriores para ober os resulados das abelas seguines. Resulados para os dois cilindros (monagem com apero): R=00 r B 07 B 63 R=50 r B 76.4 B 3.4 r A 76.5 A 73 R=00 r A 0 A 96.5 Caso de cilindro único de espessura de parede igual à soma das espessuras dos cilindros A e B R=00 r R=50 r R=00 r 0 38 Observando graficamene os resulados, podemos ver que a ensão radial rr é próxima nos dois casos, mas a ensão angencial é significaivamene superior no cilindro único. Assim, pode-se concluir que esa monagem com apero alivia as ensões máximas na esruura, permiindo assim suporar maiores pressões inernas anes de enrar em cedência. Draf Pág. 9

59 Deparameno de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos 05/ Exemplo 6.3 Cilindro espesso com pressão inerna e plasicidade. Considerar o cilindro espesso apenas com pressão inerna. a) Ober a disribuição de ensões no regime oalmene plásico. b) A pressão úlima. Resolução a) Para o caso em que apenas exise pressão inerna (p i<0, nas equações do Exemplo 6.), as equações simplificam-se para: u p a r p a b i i r b a G b a G r p ia pi a b pia b rr b a b a r b a r p ia pi a b pia b b a b a r b a r (negaiva->compressão) (posiiva->ração) Para um maerial dúcil, a cedência ocorre por limie na ensão de core: em que yield é a ensão de cedência obida num ensaio de ração uniaxial. rr Assim, da equação de equilíbrio (ver Eq.(6.)): Cuja solução é lnr C rr yield 3 rr max d d rr dr r dr r rr yield 0 0 yield Draf Pág. 9