Mirian Buss Gonçalves Daniel Gonçalves. Elementos de Análise

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1 Miria Buss Goçalves Daiel Goçalves Elemetos de Aálise Floriaópolis, 009

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3 Uiversidade Federal de Sata Cataria Cosórcio ReDiSul Campus Uiversitário Tridade Caixa Postal 476 CEP Floriaópolis SC Reitor: Alvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distâcia: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Esio de Graduação: Yara Maria Rauh Müller Pró-Reitora de Pesquisa e Extesão: Débora Peres Meezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo Pró-Reitor de Desevolvimeto Humao e Social: Luiz Herique Vieira Silva Pró-Reitor de Ifra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assutos Estudatis: Cláudio José Amate Cetro de Ciêcias da Educação: Wilso Schmidt Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: Tarciso Atôio Gradi Cetro de Filosofia e Ciêcias Humaas: Roselae Neckel Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Coordeação de Curso: Neri Tereziha Both Carvalho Coordeação de Tutoria: Jae Crippa Coordeação Pedagógica/CED: Roseli Ze Cery Coordeação de Ambietes Virtuais/CFM: Nereu Estaislau Buri Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

4 Laboratório de Novas Tecologias - LANTEC/CED Coordeação Pedagógica Coordeação Geral: Adrea Lapa, Roseli Ze Cery Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regia Flores Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Materiais Desig Gráfico Coordeação: Laura Martis Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico: Diogo Herique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior Diagramação: Kallai Boelli, Thiago Rocha Oliveira, Laura Martis Rodrigues, Natália de Gouvêa Silva Ilustrações: Kallai Boelli, Cristiae Amaral Desig Istrucioal Coordeação: Juliaa Machado Desig Istrucioal: Dayitti Vetura de Jesus Revisão Gramatical: Christiae Maria Nues de Souza, Marcos Eroi Pires Copyright 009, Uiversidade Federal de Sata Cataria / Cosórcio RediSul Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Ficha Catalográfica G635e Goçalves, Miria Buss Elemetos de aálise / Miria Buss Goçalves, Daiel Goçalves - Floriaópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, p ISBN Elemetos de aálise I Goçalves, Daiel II Título CDU 57 Elaborada pela Bibliotecária Eleoora M F Vieira CRB 4/786

5 Sumário Noções Topológicas em 9 O espaço Euclidiao Espaços Métricos 5 3 Métricas em 7 4 Um Exemplo de Métrica um Cojuto de Fuções 9 5 Métrica Iduzida 6 Diâmetro de um Cojuto; Distâcias etre Cojutos 7 Bolas Abertas 6 8 Cojutos Abertos 30 9 Cojutos Fechados 35 0 Potos de Acumulação 37 Fecho de um Cojuto 40 Covergêcia 53 Sequêcias de Números Reais 55 Sequêcias em um Espaço Métrico 59 3 Limite de uma Sequêcia 60 4 Subsequêcias 67 5 Sequêcias Limitadas 69 6 Caracterização dos Coceitos do Capítulo, através de Sequêcias 7 7 Algus Resultados Iteressates em 78 7 O Cojuto de Cator 78 7 Pricípio dos Itervalos Ecaixados 8 73 Outra Versão do Teorema de Bolzao-Weierstrass 8 8 Sequêcias de Cauchy 83 9 Espaços Métricos Completos 86 3 Cotiuidade 93 3 Fuções Cotíuas 96 3 Cojutos Compactos Cotiuidade Uiforme 3 34 Cojutos Coexos 6 35 Teorema do Valor Itermediário Respostas dos Exercícios 9 Referêcias 57

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7 Apresetação Caro Leitor, Seja bem-vido ao estudo de Aálise Matemática Provavelmete esta é uma das últimas disciplias que faltam para você se graduar em Matemática Os coteúdos apresetados este livro aprofudam o seu cohecimeto aterior e têm como pricipal fialidade ampliar sua ituição matemática e seu raciocíio lógico Para isso, você será itroduzido a liguagem formal da Matemática, ode os coceitos, proposições etc são tratados com formalismo e rigor No etato, a liguagem matemática clara e precisa que vamos usar ão será carregada em demasia, de forma a ão prejudicar o desevolvimeto das ideias e o próprio apredizado Sem descuidar do rigor matemático, procuramos apresetar os coteúdos de uma maeira evolvete, de forma a lhe propiciar uma apredizagem autôoma e agradável Caberá a você a busca do etedimeto dos coceitos, das demostrações, bem como a resolução dos exercícios propostos Os coceitos explorados são: oções básicas de topologia em espaços métricos, com êfase para os espaços Euclidiaos; covergêcia de sequêcias em espaços métricos, explorado algus resultados relevates em ; cotiuidade, destacado-se os teoremas mais importates utilizados o estudo de Cálculo A fim de torar a otação utilizada mais leve e simples, iicialmete apresetamos os coceitos o cotexto de um espaço métrico geral No etato, o decorrer de todo o texto, a maior parte dos exemplos e aplicações é desevolvida os espaços Euclidiaos, =,, 3 Mesmo que os coteúdos possam lhe parecer difíceis em algus mometos, efrete o desafio Estude com afico e dedicação

8 Acreditamos que esta disciplia vai lhe proporcioar uma visão mais abragete da Matemática, lhe abrido horizotes como professor desta bela e desafiadora área do cohecimeto humao Se você gostar do estudo de Aálise, você é um forte cadidato a seguir uma carreira acadêmica em Matemática, cursado um mestrado e, quiçá, um doutorado Quado fializar a disciplia, guarde seu livro, pois ele aida poderá lhe ser útil em seu camiho profissioal Miria Buss Goçalves Daiel Goçalves

9 Noções Topológicas em

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11 Noções Topológicas em Neste capítulo você vai adquirir cohecimetos básicos de Topologia o, com êfase para =,, 3 Isso oportuizará a você uma visão mais ampla e mais fudametada das disciplias do esio médio, quado lecioá-las Em particular, vamos explorar o coceito de métrica, que os permite medir distâcias, tais como distâcia etre dois potos e distâcia etre cojutos Veremos também as oções de cojuto aberto, cojuto fechado, iterior, fecho e froteira de um cojuto Ates de iiciar o capítulo, vejamos o que Cator e Hilbert afirmaram sobre o estudo de cojutos: Por cojuto etedemos a etidade formada quado colocamos certos objetos, defiidos e distitos m, da ossa ituição ou pesameto Estes objetos são chamados os elemetos de M (G Cator, 895, Werke, p 8, apud [6, Hairer-Waer]) Niguém os expulsará do paraíso que Cator criou para ós (Hilbert, Math A, vol 95, p 70, apud [6, Hairer-Waer]) Embarcaremos agora o paraíso criado por Cator, muidos pricipalmete de ossa ituição geométrica, a qual será ossa guia durate toda esta uidade Não esqueça que durate o seu estudo é de extrema importâcia que você resolva os exercícios propostos este livro, utilizado uma liguagem matemática clara e precisa O espaço Euclidiao [] É muito util cosiderar úmeros complexos, ou úmeros formados por várias uidades [] (Peao, 888a, Math A, vol 3, p450, apud [6, Hairer-Waer])

12 Os úmeros complexos aos quais Peao se refere são o que hoje cohecemos por vetores (omeclatura sugerida por Hamilto (853)) Sua importâcia matemática é eorme e seu estudo deslachou em meados do século 9, quado matemáticos tiveram a ideia de deotar pares de úmeros (ou -uplas) por apeas uma letra, por exemplo x= ( x, x,, x ), e cosiderar os mesmos como ovos objetos matemáticos Começaremos agora osso estudo, com toda a precisão ecessária para um bom etedimeto das ideias O espaço Euclidiao de úmeros reais Simbolicamete, temos: cosiste de todas as -uplas ordeadas = {( x, x,, x )/ x, x,, x } Um elemeto do espaço é deotado por x= ( x, x,, x ) e os referimos a ele como um poto de Em podemos defiir as operações adição e multiplicação por escalar, como segue: Adição: Dados dois potos de y = ( y, y,, y ), defie-se:, x= ( x, x,, x ) e x+ y = ( x, x,, x ) + ( y, y,, y ) = ( x + y, x + y,, x + y ) Multiplicação por escalar: Dado a e x= ( x, x,, x ), defie-se: ax = a( x, x,, x ) = ( ax, ax,, ax ) Observação Com as operações de adição e multiplicação por escalar o espaço é um espaço vetorial É iteressate você relembrar as propriedades de um espaço vetorial Retome o texto da disciplia Álgebra Liear Como é um espaço vetorial, podemos itroduzir o coceito de orma

13 Defiição Uma orma em é uma fução : tal que para quaisquer x, y e, valem as seguites propriedades: A orma de dada por N: x 0 e x = 0 x= 0; N : x = x ; N3: x+ y x + y que mais vamos utilizar é a orma Euclidiaa, : x= ( x, x,, x ) x = x + x + + x Observação Veremos que outras ormas podem ser defiidas em Sempre que ão fizermos uma referêcia explícita à orma, estaremos subetededo que a orma usada é a orma Euclidiaa No osso estudo, de forma geral, vamos trabalhar os espaços, =,, 3 Isso os permite visualizar geometricamete os coceitos que vamos explorar Exemplo Idetifique, o espaço X = { x / x < }, o cojuto Observe que o espaço ada mais é que o cojuto dos úmeros reais, que idetificamos geometricamete com a reta real Temos x = x < < x< Portato, X é o itervalo aberto (, ), represetado a figura 0 x Figura Exemplo Idetifique o espaço S = { x= ( x, x )/ x < } o cojuto 3

14 Geometricamete o espaço é o plao cartesiao Se ecessário, reveja a seção 37 do livro texto de Itrodução ao Cálculo Temos x = x + x < x + x < Portato, S é o cojuto dos potos iteriores à circuferêcia de cetro em (0,0) e raio, ilustrada a figura x x Figura Exemplo 3 Idetifique o espaço S = { x= ( x, x, x )/ x = } 3 3 o cojuto 3 é o espaço cartesiao, que você utilizou o estudo da Geometria Aalítica e o Cálculo para represetar figuras geométricas espaciais como cubos, esferas e outras superfícies Temos x = x + x + x = x + x + x = 3 3 Assim, este caso, S é o cojuto dos potos de uma esfera de cetro a origem (0, 0, 0) e raio, como mostra a figura 3 x 3 x x Figura 3 4

15 A oção de espaço métrico foi itroduzida em 906 por Maurice Fréchet e desevolvida e batizada por Felix Hausdorff em 94 Espaços Métricos Ituitivamete, um espaço métrico é um cojuto o qual temos uma maeira de medir a distâcia etre seus potos Qual a sua oção de distâcia etre dois potos o plao cartesiao? Provavelmete, você vai visualizar a figura 4 e cocluir que a distâcia etre potos é o comprimeto do segmeto de reta que os ue, ou seja: d( x, y) = ( y x ) + ( y x ) x y y x x x y x Figura 4 Isso está correto No etato, podemos ter mais que uma maeira de medir a distâcia Algumas propriedades devem ser satisfeitas: M: A distâcia etre dois potos uca é egativa e só é zero a distâcia de um poto a ele mesmo M: A distâcia é simétrica, isto é, a distâcia de x até y é igual à distâcia de y até x M3: A distâcia etre potos x e z é sempre meor ou igual à soma das distâcias de x até y e de y até z, ode y é um poto qualquer Nota Qualquer fução que satisfaz estas propriedades pode ser usada para medir distâcias Temos a seguite defiição: 5

16 Defiição Seja M um cojuto Uma métrica em M é uma fução d : M M, ode M M é o produto cartesiao de M por M : M M = {( x, x) / x, x M}, tal que para quaisquer x, y, z M, temos: M: d( x, y) 0 e d( x, y) = 0 x= y; M: d( x, y) = d( y, x); M3: d( x, z) d( x, y) + d( y, z) O par ( M, d ), ode M é um cojuto e d uma métrica, é chamado um espaço métrico Exemplo 4 M =, A partir das propriedades dos úmeros reais podemos verificar facilmete que d é uma métrica em Temos: M: d( x, y) = y x 0 Essa é a métrica que você utilizou as disciplias de Cálculo, quado estudou, por exemplo, limite de sequêcias Se ecessário, reveja a seção 34 do texto de Cálculo I [5, Gimeez-Starke] d( x, y) = 0 y x = 0 y x= 0 x= y; M: d( x, y) = d( y, x), pois y x = x y ; M3: d( x, z) = z x = z y+ y x z y + y x = y x + z y = d( x, y) + d( y, z) 0, se x= y Exemplo 5 Seja M qualquer A fução d( x, y) =, s e x y satisfaz as propriedades de métrica, sedo deomiada métrica trivial ou métrica 0 Qual a deficiêcia que você idetifica esta métrica? Ela ão diferecia a distâcia etre potos distitos Por exemplo, se M =, d (4,9) =, d (5, 7 ) =, etc 6

17 Exercício Resolvido ) A fução d( x, y) x xy = + é métrica em? Justifique Resolução: Note que d ão é uma métrica em, pois ão satisfaz a propriedade M Por exemplo, d(, 3 ) = 5 < 0 3 Métricas em Sejam x= ( x, x,, x ) e y = ( y, y,, y ) potos de As métricas usualmete utilizadas o espaço são: i) Métrica Euclidiaa d : d( x, y) = ( y x ) + ( y x ) + + ( y x ) Nota Observe que para esta métrica, a distâcia de x até y é dada pela orma euclidiaa de x y, isto é, d( x, y) = x y ii) Métrica Retagular ou de Âgulo Reto d : d ( x, y) = y x + y x + + y x iii) Métrica do Máximo d : d ( x, y) = max{ y x, y x,, y x } Observações ) Em osso estudo a Métrica Euclidiaa será cosiderada a métrica usual de ) Pode-se provar que d ( x, y) d( x, y) d ( x, y) kd ( x, y), ode k é uma costate Devido a estas desigualdades, dizemos que as três métricas são equivaletes A equivalêcia é o setido de que elas vão produzir os mesmos abertos e fechados em 7

18 É importate você visualizar geometricamete essas medidas de distâcia Para isso vamos utilizar o espaço Retomado a figura 4, vemos que a distâcia Euclidiaa etre dois potos é a distâcia medida em liha reta As figuras 5 e 6, respectivamete, ilustram a métrica retagular e a métrica do máximo x y x x y x y x A métrica retagular também é cohecida como Métrica Metropolitaa ou de Mahatta, devido às redes de trasporte a forma de grades retagulares que ocorrem em muitas cidades americaas e mesmo brasileiras Em muitos casos ela é a métrica mais adequada para medir as distâcias dos deslocametos os cetros urbaos Figura 5 x y y x x x y x Figura 6 Exercício Resolvido ) Usado as três métricas ateriores, idetifique os potos de tais que sua distâcia até a origem seja igual a Resolução: Sejam o = (0, 0) e x= ( x, x) 8

19 i) Para a métrica Euclidiaa, temos d( x, o) = ( x 0) + ( x 0) = x + x = ii) Para a métrica retagular, vem d ( x, o) = x 0 + x 0 = x + x = iii) Para a métrica do máximo, temos d( xo, ) = max{ x 0, x 0 } = max{ x, x } = A figura 7 ilustra as 3 situações x x x x x x (i) (ii) Figura 7 (iii) Exercício Proposto ) Refaça a figura 7, usado as equações obtidas em (i), (ii) e (iii) e sobrepodo as 3 figuras o mesmo sistema de coordeadas 4 Um Exemplo de Métrica um Cojuto de Fuções É importate você revisar bem a seção 6, que explora os coceitos de supremo e ífimo, o texto de Itrodução ao Cálculo [4, Gimeez-Starke] Seja X um cojuto ão vazio Seja M o cojuto das fuções f : X limitadas, isto é, tais que existe uma costate positiva k, de tal forma que f( x) k, x X A fução d : M M é uma métrica em M 9

20 A figura 8 ilustra a métrica dada para X = [ a, b] x g d ( f, g) f a Figura 8 b x Observe que para todo x X, temos um úmero real g( x) f( x) O supremo do cojuto desses úmeros é a distâcia de f a g (ote que este supremo existe, pois f e g são limitadas) Vamos verificar as propriedades de métrica Sejam f, g, h M M: d( f, g) 0 pela própria defiição da métrica d( f, g) = 0 sup{ g( x) f( x) } = 0 x X M: d( f, g) = d( g, f) g( x) f( x) = 0, x X f( x) = g( x), x X É imediata pelas propriedades de módulo de úmeros reais M3: Seja x X Temos g( x) f( x) = g( x) h( x) + h( x) f( x) g( x) h( x) + h( x) f( x) = h( x) f( x) + g( x) h( x) sup h( x) f( x) + sup g( x) h( x) x X x X = d( f, h) + d( h, g) 0

21 Cocluímos, assim, que d( f, h) + d( h, g) é uma cota superior do cojuto { g( x) f( x), x X} Segue que d( f, g) = sup g( x) f( x) d( f, h) + d( h, g) x X Cabe a você agora resolver o exercício que segue Exercício Proposto ) Seja X = [ 0, ] Determiar d( f, g ), sedo: a) f( x) = x e g( x ) = ; b) f( x) = x e g( x) = x 5 Métrica Iduzida Sejam ( M, d ) um espaço métrico e L um subcojuto de M A restrição da métrica d a L L é uma métrica sobre L Esta métrica em L é a métrica iduzida por d sobre L Exemplo 6 Seja L = [ 0, ], ode [ 0, ] é o itervalo fechado [ 0, ] A figura 9 ilustra o espaço L x L x Figura 9 Podemos medir distâcias esta faixa de (isto é, em L ) usado qualquer das métricas defiidas sobre, por exemplo, a mé- trica Euclidiaa

22 6 Diâmetro de um Cojuto; Distâcias etre Cojutos Cosideremos os subcojutos de : A= { ( x, x ) / x + x } ; B= { ( x, x ) / ( x 3) + x } ; C = [ 0, ] [ 0, ] Observe que C é o produto cartesiao do itervalo fechado [ 0, ] por ele mesmo: a) Qual a maior distâcia possível etre potos do cojuto A? b) Qual a meor distâcia possível etre um poto de A e um poto de B? c) Qual a maior distâcia possível etre dois potos de C? d) Qual a meor distâcia possível etre a origem e um poto de B? e) Se substituirmos A por B por A' = { ( x, x ) / x + x < } e B' = { ( x, x ) / ( x 3) + x < }, as respostas serão as mesmas? É provável que para respoder estas questões você teha represetado geometricamete os cojutos dados, coforme a figura 0 x x x x 3 4 x x A B C Figura 0

23 Aalisado a figura, podemos obter facilmete as respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) As respostas para o item (e) ão são tão imediatas Vejamos as defiições que seguem Defiição 3 (Diâmetro de um cojuto) Sejam ( M, d ) um espaço métrico e A M, A Dizemos que o cojuto A é limitado se existir um úmero real k > 0, tal que d( x, y) k, x, y A Se A é limitado, chamamos de diâmetro de A, e deotamos por diam( A ), o úmero real diam( A) = sup{ d( x, y) / x, y A} Exemplo 7 Em, o diâmetro do itervalo fechado [ a, b ] é igual ao diâmetro do itervalo aberto ( a, b ), sedo igual a b a, isto é, diam([ a, b]) = diam(( a, b)) = b a Exemplo 8 Os diâmetros dos cojutos A, B e C, represetados a figura 0 são: diam( A ) = ; diam( B ) = ; diam( C ) = Na figura, represetamos os cojutos A ' e B ' x x x 3 4 x A B Temos diam( A') = diam( B') = Figura 3

24 Defiição 4 (Distâcia de um poto a um cojuto) Sejam ( M, d ) um espaço métrico, A M, A e p um poto de M A distâcia de p até A é o úmero real que deotamos por d( p, A ), dado por d( p, A) = if{ d( p, x)/ x A} Nota ) O ífimo existe, pois d( p, x) 0, x A ) Se p A, etão d( p, A ) = 0 Exemplo 9 Cosidere o cojuto C, represetado a figura 0 Dados P ( 0, ), P, e P 3 (, ), determiar a distâcia d( Pi, C ), i =,, 3 Temos que, pois ; e Defiição 5 (Distâcia etre dois cojutos) Sejam ( M, d ) um espaço métrico, A, B M, A e B Defiimos a distâcia de A até B como sedo o úmero real { } d( A, B) = if d( x, y) / x A e y B Comprove este resultado, raciociado geometricamete Nota ) Se A B, etão d( A, B ) = 0 ) A B= ão implica que d( A, B ) > 0 De fato, tome, por exemplo, os itervalos A = [0,) e B = [,] em Temos A B e d( A, B ) = 0 Exemplo 0 Sejam: A= {( x, y) / y = 0} e B = { ( x, y) / x > 0 e xy = } Mostrar que a distâcia etre A e B é zero A figura ilustra os cojutos A e B em e B é o gráfico da fução y =, x > 0 x 4 A é o eixo dos x

25 y B A x Figura Queremos mostrar que d( A, B ) = 0 Para isso, de acordo com a -caracterização de ífimo, devemos mostrar que: Para todo > 0, existem p A e q B tais que d( p, q) < Dê > 0 Etão, pela propriedade Arquimediaa de, existe um x0 tal que x0 > Tomamos p = ( x0,0) e q = x0, x 0 Temos e p A e q B d( p, q) = ( x0 x0) + 0 = < x0 x0 Logo, d( A, B) = if{ d( x, y) / x A e y B} = 0 Exercício Proposto 3) Dê exemplos de cojutos A e B, tais que: a) d( A, B ) = 3em ; b) d( o, A ) = em c) d( A, B ) = em ; ode o é a origem e em 3 5

26 7 Bolas Abertas Vamos agora itroduzir a oção de bola aberta, que é muito importate para itroduzir o coceito de cojuto aberto e outras oções topológicas Defiição 6 Sejam ( M, d ) um espaço métrico e x M Seja r um úmero real positivo A bola aberta de cetro x e raio r é defiida por B( x, r) = { y M / d( y, x) < r} Em, podemos escrever B( x, r) = { y / y x < r} Exemplo Idetifique, geometricamete, as bolas abertas: ) B( a, ) em ) B( a, ) em Temos:, para as 3 métricas itroduzidas ) Em, com a métrica usual, a bola aberta de cetro em a e raio é o itervalo aberto ( a, a+ ), ilustrado a figura 3 0 a ε a a+ε Figura 3 ) A figura 4 (a), (b) e (c) mostra as bolas abertas em, para as métricas Euclidiaa, retagular e do máximo, respectivamete x x x a a a a x a x a x (a) (b) (c) Figura 4 6

27 Propriedades das bolas abertas Seja ( M, d ) um espaço métrico Propriedade B O diâmetro de B( x, r ) satisfaz diam( B( x, r)) r De fato, sejam y, z B( x, r) Etão, d( y, x) < r e d( z, x) Usado a propriedade M 3, segue que < r d( y, z) d( y, x) + d( x, z) < r+ r = r Assim, r é uma cota superior do cojuto das distâcias etre potos quaisquer da bola e, etão, o seu diâmetro satisfaz: diam( B( x, r)) = sup{ d( y, z) / y, z B( x, r)} r Exemplo Em, diam( B( x, r)) = r, valedo, assim, a igualdade a propriedade B Exemplo 3 Seja M =, com a métrica zero-um Se r <, B( x, r) = { x} (cojuto uitário) Logo, diam( B( x, r )) = 0 e vale, este caso, a desigualdade estrita a propriedade B Propriedade B Dadas as bolas B( x, r ) e B( x, r ), r r B( x, r) B( x, r ) Observação A prova é trivial Faça uma represetação geométrica em, com a métrica usual Propriedade B3 Dado um poto qualquer y B( x, r), existe um úmero real r, tal que B( y, r) B( x, r) Prova: Seja y B( x, r) Tome r = r d( x, y), como represetado a figura 5, para com a métrica usual 7

28 y r r x d(x,y) Figura 5 Seja z B( y, r ) Temos que d( z, x) d( z, y) + d( y, x) < r + d( y, x) = r d( x, y) + d( y, x) = r Logo, z B( x, r) e, portato, B( y, r) B( x, r) Propriedade B4 Sejam B( x, r ) e B( y, r ), tais que Se z B x r B y r B( x, r) B( y, r ) (, ) (, ), etão existe uma bola aberta com cetro em z cotida a iterseção B( x, r) B( y, r) com a métrica usu- A figura 6 ilustra esta propriedade para al r z y r x Figura 6 8

29 Prova: Seja z B( x, r) B( y, r) Pela propriedade B3: > 0 tal que B( z, ) B( x, r) ; () > 0 tal que B( z, ) B( y, r) () Tome = mi{, } Por B, B( z, ) B( z, ) e B( z, ) B( z, ) Por () e (), cocluímos que B( z, ) B( x, r) B( y, r ) Propriedade B5 Sejam B( x, r ) e B( y, r ) Se r + r d( x, y), etão B( x, r) B( y, r ) = A figura 7 ilustra esta propriedade para com a métrica usual x r r y d(x,y) Figura 7 Prova (Por cotradição): Vamos supor que existe um poto z B( x, r) B( y, r ) Etão d( x, z) < r e d( y, z) < r, e, portato, d( x, y) d( x, z) + d( z, y) < r + r, o que cotraria a hipótese 9

30 8 Cojutos Abertos Estudaremos esta seção os cojutos que são chamados de abertos A omeclatura provém do estudo dos itervalos abertos de Em, é possível caracterizar os cojutos abertos como aqueles que podem ser escritos como uma uião disjuta, eumerável de itervalos abertos Ifelizmete ão temos uma caracterização como esta para cojutos abertos de um espaço métrico qualquer e, portato, precisamos de uma defiição que fucioe em todos os casos Para isto, utilizaremos o coceito de bola aberta Vamos trabalhar, em geral, um espaço métrico ( M, d ), o que será omitido sempre que estiver claro o cotexto Vejamos: Defiição 7 (Iterior de um Cojuto) Seja A M, A Dizemos que um poto x A é um poto iterior de A, se existir uma bola aberta cetrada em x e cotida em A O cojuto de todos os potos iteriores de A é deomiado Iterior de A e é deotado por It( A ) Simbolicamete, escrevemos x It( A) B( x, r) A Exemplo 4 Cosidere, em, o cojuto A= {( x, x ) / ( x ) + ( x ) } Quais os potos de A que são potos iteriores? Existem potos de A que ão são iteriores? Quais? A figura 8 ilustra este exemplo x x Figura 8 30

31 Todos os potos iteros à circuferêcia de cetro em (, ) e raio são potos iteriores Os potos sobre a circuferêcia pertecem ao cojuto A, mas ão são potos iteriores Exemplo 5 Em, cosidere os itervalos: a) Itervalo aberto ( a, b ); b) Itervalo fechado [ a, b ]; c) Itervalo aberto ilimitado ( a, + ); d) Itervalo fechado ilimitado [ a, + ) Em (a), todos os potos são potos iteriores Em (b), temos que It([ a, b]) = ( a, b) Os potos a e b ão são potos iteriores Em (c), todos os potos são potos iteriores Em (d), temos que It([ a, + ]) = ( a, + ) O poto a ão é poto iterior Exercício Proposto 4) Idetifique, represetado geometricamete, It( A ), sedo: a) b) A= {( x, x ) / x x} ; A= {( x, x ) / x x < 0} ; c) A= {( x, x ) / x > e x }; d) A= {( x, x ) / x > 0 e x < l x} ; e) A = (cojuto dos iteiros em ); f) A=, = em Defiição 8 (Cojuto Aberto) Seja A M Dizemos que A é aberto se todo poto de A é um poto iterior de A Nota O iterior de A sempre está cotido em A Logo, se A It( A), etão A é aberto 3

32 Exemplo 6 Toda bola aberta é um cojuto aberto De fato, esse resultado é uma cosequêcia imediata da propriedade B3 Exemplo 7 O cojuto A= { x / 0 < x< } é aberto em, mas o cojuto B= {( x, x ) / 0 < x <, x = 0} ão é aberto em A figura 9 ilustra esta situação x 0 A x B x Figura 9 Observe que, com a métrica Euclidiaa, uma bola aberta em é um itervalo aberto e em é o iterior de um círculo Em geral, provar que um cojuto, mesmo de, é aberto ão é tarefa tão fácil Às vezes precisamos ter alguma boa ideia para fazer isto Veja o exemplo abaixo: Exemplo 8 Mostrar que o cojuto A= { ( x, y) / x> y + } é aberto (ver figura 0) usado a defiição de cojuto aberto y A x x=y + Figura 0 3

33 Para ver isto, seja ( a, b) A Sem perder a geeralidade, supor b 0 Tomar > 0 tal que a b > ( + ) + + A existêcia de pode ser provada usado a fórmula de Bhaskara Vamos mostrar que B(( a, b), ) A Fazedo isso, segue que A é aberto Seja etão ( x, y) B(( a, b), ) Temos ( ) ( ) (, ) (, ) x a + y b = x y a b < e isto implica que x a < e y b < Assim, Ou, Logo, < x a<, < y b< a < x< a+, b < y< b+ x a > b+ + + = b+ + > y + ( ) ( ) Isto é, x> y + Isso diz que ( x, y) A e, portato, B(( a, b), ) A Propriedades dos Cojutos Abertos: Propriedade Ab O cojuto vazio e o espaço todo M são abertos Prova: É imediata Propriedade Ab A iterseção de dois abertos quaisquer é um aberto Prova: Sejam A e A cojutos abertos e A = A A 3 Se A 3 =, ada temos a provar Seja z A 3 33

34 Devemos mostrar que existe uma bola aberta B( z, r ) tal que B( z, r) A Como z A e A é aberto, existe r > 0 tal que 3 B( z, r) A Da mesma forma, r > 0 tal que Seja r = mi{ r, r} B( z, r ) A Etão, B( z, r) B( z, r) A e B( z, r) B( z, r) A Logo, B( z, r) A A e, assim, A A é aberto Propriedade Ab3 A uião arbitrária de cojutos abertos é um aberto Prova: Sejam { A } uma coleção de abertos e A Seja z A Etão, z A, para algum = Como A é aberto, existe uma bola aberta B( z, r) A A A Logo, A é aberto Exercício Proposto 5) Usado idução matemática, mostre que a iterseção fiita de abertos é um aberto, isto é, se A, A,, A são cojutos abertos, etão A= A é aberto, i= i Nota A iterseção de uma coleção ifiita de abertos pode ão ser um aberto Se ecessário revise o capítulo 5, Pricípio de Idução do texto de Fudametos de Matemática I [, Carvalho-Gimeez] Exemplo 9 Em, tome A = x / < x<, Etão, = A = { 0 }, que ão é aberto 34

35 9 Cojutos Fechados O triâgulo de Sierpiski é uma geeralização do cojuto de Cator (o qual estudaremos mais tarde) Se você quiser saber mais, sugerimos uma busca a iteret com as palavras Triâgulo de Sierpiski ou, em iglês, Sierpiski triagle Cojutos fechados são defiidos simplesmete como cojutos cujo complemetar é aberto No decorrer deste capítulo veremos algumas outras caracterizações de cojutos fechados Porém, vale a pea ressaltar que, mesmo em, descrever completamete quais são os cojutos fechados de um espaço métrico é um problema complicado Abaixo você pode ver o deseho do triâgulo de Sierpiski em e (figura ) Ambos são cojutos 3 fechados (pois os complemetares são abertos) e dão uma ideia de quão complicados os cojutos fechados podem ser Figura Defiição 9 Seja F M Dizemos que F é fechado se o seu complemetar, C( F ), for aberto Exemplo 0 O cojuto em F = { ( x, x ) / x + x } é fechado Exemplo Os itervalos [ a, b ], (, b] e [ a, + ) são cojutos fechados Exemplo O cojuto 3 fechado em F = { ( x, x, x ) / x + x + x } é Nota Assim como defiimos bola aberta, podemos defiir bola fechada B[ x, r] = { y M / d( y, x) r} é uma bola fechada em M Em, podemos escrever: B[ x, r] = { y / y x r} 35

36 Exercício Proposto 6) Mostre que toda bola fechada é um cojuto fechado Na liguagem cotidiaa, quado os referimos a portas, jaelas, livros etc, as palavras aberto e fechado são atôimos Porém, quado aplicadas a subcojutos de elas ão o são e são abertos e fechados simultaeamete Em um espaço métrico discreto (a métrica 0-) todo cojuto é aberto e fechado ao mesmo tempo Isto segue do fato que B( x, ) = { x } Existem muitos cojutos que ão são abertos em fechados Um exemplo simples é o cojuto dos úmeros racioais em Propriedades dos Cojutos Fechados: Propriedade Fe O cojuto e o espaço todo M são fechados Prova: É imediata, pois e M são abertos Propriedade Fe A uião de dois cojutos fechados é um cojuto fechado Prova: Sejam F e F cojutos fechados e F = F F Temos que C( F) = C( F F ) = C( F) C( F ) Como F e F são fechados C( F ) e C( F ) são abertos, pela propriedade Ab, segue que C( F ) é aberto Logo, F é fechado Propriedade Fe3 A iterseção de qualquer coleção de cojutos fechados é fechada 36

37 Prova: Sejam { F } uma coleção de cojutos fechados e F = F Temos C( F) = C( F ) = [ C( F )] Como F é fechado, C( F ) é aberto Pela propriedade Ab3, segue que C( F ) é aberto Logo, F é fechado Exercícios Propostos 7) Mostre que a uião fiita de fechados é um fechado (use idução matemática) 8) Em todo cojuto uitário é fechado? E todo cojuto fiito? Esses resultados são válidos para qualquer espaço métrico? 9) Através de um exemplo, mostre que a uião de uma família arbitrária de fechados pode ão ser fechada 0 Potos de Acumulação Ituitivamete, um poto x é um poto de acumulação de um cojuto A se existirem outros potos de A arbitrariamete próximos de x Temos a seguite defiição: Defiição 0 Seja A M Um poto x M é um poto de acumulação de A se toda bola aberta cetrada em x cotiver algum poto de A, que seja distito de x Deotamos o cojuto dos potos de acumulação de A por Simbolicamete, escrevemos: x A' r > 0, B( x, r) { A { x}} A ' Observe que x ão precisa pertecer a A para ser poto de acumulação Mesmo sem ter sido usada esta omeclatura, você já etrou em cotato com o coceito de poto de acumulação, quado você estudou limite de fuções 37

38 A ota da págia 79 do texto de Cálculo I [5, Gimeez-Starke], [] calcular o limite de uma fução um poto b é examiar o comportameto da fução em potos extremamete próximo de b [], traz implícita a exigêcia de que o poto b deve ser um poto de acumulação do domíio da fução Exemplo 3 Em um cojuto uitário ão tem potos de acumulação Um cojuto fiito também ão tem potos de acumulação A ' é o iter- Exemplo 4 Seja A o itervalo ( 0, ) em Etão, valo fechado [ 0, ] Exemplo 5 Seja A =,,,,, em Etão, A ' = { 0 } 3 Exemplo 6 Cosidere, em, o cojuto dos racioais Qual é o cojuto '? A resposta é, isto é, todo úmero real a é um poto de acumulação de De fato, seja x e r > 0 Devemos mostrar que a bola aberta B( x, r) = ( x r, x+ r) cotém pelo meos um racioal distito de x Como o cojuto dos úmeros aturais é ilimitado em, tal que > ou, reescrevedo, r r < Os racioais p, p dividem a reta real em itervalos de comprimeto < r, como ilustrado a figura Figura 38

39 Logo, pelo meos um desses úmeros racioais estará etre x r e x+ r e será distito de x, pois o comprimeto do itervalo ( x r, x+ r) é r > Proposição F M é fechado se, e somete se, F' F Prova: ) F fechado F' F Vamos usar a seguite propriedade de cojutos A B C( B) C( A), ode C( A ) deota o complemetar de A em M Seja x C( F) Como C( F ) é aberto, existe B( x, r) C( F) Portato, B( x, r) F =, o que implica que x C( F') (x ão é poto de acumulação de F ) Logo, F' F ) F' F F é fechado Vamos mostrar que C( F ) é aberto Seja x C( F) Como F' F, etão x F' Portato, existe r > 0 tal que B( x, r) F =, o que implica que B( x, r) C( F) Logo, x It( C( F)) e, dessa forma, C( F ) é aberto Segue que F é fechado Exercícios Propostos 0) Ecotrar S ', sedo S = { ( x, y) / y< x } ) Decida quais dos seguites cojutos são fechados em : a) b) A =,,,,, ; 3 B = 0,,,,,, ; 3 39

40 c) d) C =,,,,,, ; D =,,,, ; e) Domíio de f, sedo f) Imagem de g, sedo f( x) = x ; g( x) = x + x+ Fecho de um Cojuto Em liguagem cotidiaa (ou coloquial), podemos pesar o iterior de um cojuto A como o maior aberto cotido em A De forma aáloga, podemos pesar o meor fechado que cotém A Temos a defiição: Defiição Seja A M O fecho de A, deotado por A, é o cojuto obtido pela uião de A com seus potos de acumulação Simbolicamete, escrevemos: i) A= A A' ; ii) a A r > 0, B( a, r) A Proposição O fecho de qualquer cojuto é sempre um cojuto fechado Prova: Seja X M Vamos mostrar que C( X ) é aberto Seja a C( X) Etão a X e a X ' e, portato, existe r > 0 tal que B( a, r) X =, isto é, B( a, r) C( X) Vamos mostrar, agora, que B( a, r) C( X) De fato, seja y B( a, r) Pela propriedade de bolas abertas B3, existe r > 0 tal que B( y, r) B( a, r) C( X) Assim, B( y, r ) X =, o que implica que y ão é poto de acumulação de X Segue que y C( X) 40

41 Cocluímos, assim, que a It( C( X)) Logo, C( X ) é aberto e, portato, X é fechado Formalmete, a oção de que o fecho de A é o meor fechado que cotém A é descrita pelo teorema abaixo, cuja prova pode ser ecotrada em [6, Rudi] Etão, A é o meor fechado que co- Teorema Seja A M tém A, isto é, A= F A F F fechado Exercício Resolvido 3) Determie os potos de acumulação e o fecho de cada um dos seguites subcojutos de a) Resolução: Note que ão possui poto de acumulação, pois para todo, B, = Disto segue que = (veja defiição ) e, portato, é fechado b) Resolução: Note que =, pois dado um úmero real x qualquer, toda bola aberta B( x, ) cotém racioais diferetes de x Pela defiição, segue que = c) (0, ) Resolução: Primeiro observe que se x [0, ] etão existe um > 0 tal que B( x, ) (0, ) e, portato, x ão é poto de acumulação de (0, ) Por outro lado, é fácil ver que se x [0,], etão B( x, ) (0, ) para todo > 0 Logo, (0,) = [ 0,] Segue da defiição que (0, ) = [0, ] Exercícios Propostos ) Determie o fecho dos seguites cojutos em : 4

42 a) b) A =,,,, ; 3 4 B=, = 3) Mostre que A B A B Dê um exemplo para mostrar que a iclusão o outro setido ão é válida Exercício Resolvido 4) Seja A M Mostrar que x A if{ d( x, y) / y A} = 0 Prova: ) Sejam x A e = if{ d( x, y) / y A} Se x A, etão = 0 (trivial) Se x A mas x A', etão r > 0, B( x, r) A Assim, r > 0, existe y A tal que d( x, y) < r Como r > 0 é qualquer, segue de = 0 ) Seja x M tal que = if{ d( x, y) / y A} = 0 Se x A, ada a provar Se x A, pela defiição de ífimo, para qualquer r > 0, existe y A tal que d( x, y) < r Segue que y A B( x, ) e, etão, x A' A Usado o coceito de fecho de um cojuto, podemos facilmete itroduzir a defiição de cojuto deso Vejamos: Defiição Seja A M Dizemos que A é deso em M se, e somete se, A= M Ituitivamete, um cojuto A é deso em M quado seus potos estiverem espalhados por toda parte de M Em, um cojuto A é deso quado todo itervalo aberto, por meor que seja o seu comprimeto, cotiver potos de A 4

43 Exemplo 7 é deso em Exemplo 8 é deso em Exemplo 9 e ão são desos em Vamos fializar esta uidade com o coceito de froteira de um cojuto Este coceito pode ser visualizado ituitivamete o, ode para muitos cojutos a froteira desempeha o papel de limitate, como pode ser observado o mapa da figura 3 RORAIMA AMAPÁ MACAPÁ MANAUS BELÉM AMAZONAS PARÁ MARANHÃO PERU ACRE RIO BRANCO PORTO VELHO RONDÔNIA MATO GROSSO PALMAS TOCANTINS Froteira etre Brasil e Bolívia DISTRITO FEDERAL BOLÍVIA CUIABÁ GOIÂNIA GOIÁS MATO GROSSO DO SUL CAMPO GRANDE MINAS GERAIS BELO HOR SÃO PAULO PARAGUAI PARANÁ SÃO PAULO Figura 3 Temos a seguite defiição Defiição 3 Seja A M, A Dizemos que um poto x M é um poto de froteira de A se toda bola aberta cetrada em x cotém potos de A e do complemetar C( A ) M A Fr(A) O cojuto de todos os potos de froteira de A é deomiado Froteira de A e é deotado por Fr( A ) Simbolicamete, escrevemos x Fr( A) r > 0, B( x, r) A e B( x, r) C( A) A figura 4 ilustra esta defiição Figura 4 Exemplo 30 Ecotrar Fr( A ), sedo A, o cojuto: A= { ( x, y) / x y < } 43

44 O cojuto A está represetado a figura 5 Observe que x y = é a equação de uma hipérbole A froteira de A é o gráfico desta hipérbole, isto é, F r ( A) = { ( x, y) / x y = } y y x A Fr(A) x Figura 5 Exemplo 3 Seja A um cojuto uitário Veja que este caso, Fr( A) = A Exercícios Propostos 4) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seteças: a) A B Fr( A) Fr( B) ; b) x Fr( A) x A', isto é, x é um poto de acumulação de A ; c) Fr( A B) Fr( A) Fr( B) 5) Idetifique e represete geometricamete a froteira dos seguites cojutos: a) A= { ( x, y) / x + y } ; b) It( A ) (sedo A o cojuto do item a); c) A = [ 0, ] em ; d) B = [ 0, ] em ; 44

45 e) C = {( x, y) / y > x 4 x+ 3} Propriedades da Froteira: Propriedade Fr Fr( A) = A C( A) Prova: Bxr (, ) A x A x Fr( A) r > 0, e e x A C( A) Bxr (, ) CA ( ) x C( A) Propriedade Fr A= It( A) Fr( A) Prova: ) Seja x It( A) Fr( A) Se x It( A), ada a provar, pois It( A) A A Se x It( A) e x Fr( A), temos que > 0, B( x, ) A Logo, x A Cocluímos, etão, que It( A) Fr( A) A ) Seja x A Temos duas possibilidades exclusivas i) x A, ou ii) x A e x A' i) x A Novamete temos duas possibilidades exclusivas x It( A) ou x It( A) Se x It( A), ada a provar Supoha que x It( A) Etão, toda bola aberta cetrada em x cotém potos do complemetar de A Como x A, temos B( x, r) Logo, x Fr( A) ii) x A e x A' A e B( x, r) C( A), r > 0 45

46 Como x é poto de acumulação de A, qualquer bola aberta cetrada em x cotém potos de A Como x A, o mesmo ocorre com C( A ) Logo, x Fr( A) Cocluímos, etão, que A It( A) Fr( A) Propriedade Fr3 Para todo cojuto A M, Fr( A ) é um cojuto fechado Prova: Vamos provar que o complemetar é aberto Pela propriedade Fr, temos C(Fr( A)) = C( A C( A)) = C( A) C( C( A)) Como A e C( A ) são fechados, seus complemetares são abertos Pela propriedade Ab3, segue que C(Fr( A )) é aberto Logo, Fr( A ) é fechado Para fializar, observe a figura 6, ode está represetado o subcojuto de, A= { ( x, y) / x> } y A x Figura 6 46

47 Temos F r ( A) = { ( x, y) / x= } I t ( C( A) ) = { ( x, y) / x< } p, exatamete uma das três possi- Dado um poto qualquer bilidades a seguir ocorre: p It( A) ou p Fr( A) ou p It( C( A)) Esse resultado pode ser geeralizado Proposição 3 Seja A M Dado p M, tem-se 3 possibilidades exclusivas: p It( A) ou p Fr( A) ou p It( C( A)) Assim, a ideia ituitiva de que a froteira desempeha um papel de limitate etre um cojuto e seu exterior, como ilustrado a figura 3, vale para qualquer cojuto de um espaço métrico Exercícios Propostos 3, idetifica- 6) Dê exemplos de cojutos A em, do: It( A ), e A ', A, Fr( A ), C( A ), It( C( A )) 7) Dê exemplos para ilustrar que: a) Fr( A) Fr( B) mas A B; b) Um poto de froteira ão é poto iterior Exercícios Complemetares ) Verifique quais das seguites fuções são métricas em : a) d( x, y) = x+ y ; b) d( x, y) = x y ; c) d( x, y) = x y ; d) d( x, y) ( x y) = 47

48 ) Verifique quais das seguites fuções são métricas em a) d x y y x y x (, ) = ; b) d x y x y x y (, ) = ; sedo x= ( x, x) e y = ( y, y) : 3) Seja f : uma fução estritamete crescete Seja d : defiida por d( x, y) = f( x) f( y) Mostre que d é uma métrica sobre 4) Seja X um cojuto ão vazio e M = { f : X / f é limitada} Em M cosidere a métrica d( f, g) = sup{ f( x) g( x) } Tomado X = [, 3 ], d( f, g ) x X = x e g( x) x f( x) = +, determie 5) Em, cosidere a métrica usual Verifique que valem as igualdades: a) d( p, ) = 0, p ; b) d(, ) = 0; Se a métrica cosiderada sobre fosse a zero-um, estas igualdades cotiuariam válidas? 6) Seja A um cojuto ão vazio de um espaço métrico Mostre que diam( A) = 0 A é uitário 7) Cosidere com a métrica usual Verifique que 0 d( a, ), a, ode é o cojuto dos iteiros 8) Sejam p um poto de um espaço métrico e Prove que a iterseção das bolas abertas de cetro em p e raio é o cojuto uitário { p }, isto é, B p, = { p} = 48

49 9) Seja A= {( x, y) / y 0} Tomado com a métrica usual e A com a métrica iduzida, desehe as bolas abertas e fechadas que seguem: a) B( o, ) ; b) BA( o, ) ; c) B[ o, ] ; d) BA[ o, ] ; ode B A deota uma bola em A e o deota a origem 0) Determie o iterior dos seguites cojutos em : a) = {,, 3, } ; p b) = x= / p, q e q 0 ; q c) ; d) Itervalo aberto (,) ; e) (, ) ; f) Itervalo [,) ; g) Itervalo fechado [,] ; h) [,] {3} ) Idetifique quais dos seguites subcojutos de, com a métrica usual, são abertos e/ou fechados ou em abertos em fechados: a) b) c) d) e) f) A= {( x, y) / x 4 x+ y 0} ; B= {( x, y) / y > 0} ; C = {( x, y) / x < e y } ; D= {( x, y) / x= 0 e y = 0} ; E = { ( x, y) / x } ; F = { ( x, y) / y x > } ; g) G = B(0,) B(,) 49

50 ) Determie os potos de acumulação e o fecho de cada um dos seguites subcojutos de :,,, (0, ), [0, ), [0, ], ( 0, ),,,,,, 3 3) Num espaço métrico qualquer ( M, d ), mostre que se A M é aberto e a M, etão A\{ a } é aberto 4) Sejam x ão vazios em Dê exemplos mostrado que F pode ser vazio se os = F forem apeas fechados ou apeas limitados 5) Seja X ' o cojuto dos potos de acumulação de X Dê exemplos de cojutos X tais que: a) X e X ' sejam distitos; b) X seja subcojuto próprio de X ' ; c) X ' seja subcojuto próprio de X ; d) X ' = X 6) Com suas palavras, dê o sigificado das expressões: a) a X ão é poto iterior de X ; b) X ão é um cojuto aberto; c) F ão é um cojuto fechado; d) a X ão é um poto de froteira; e) a X ão é um poto de acumulação de X 7) Dê exemplos, em, de: a) b) c) cojutos abertos; cojutos fechados; cojutos em abertos em fechados 8) Determie a froteira dos cojutos: a) Em : A = [ a; + ) ; A = [ 0, ) { 3 } ; A 3 = ; 50

51 b) Em : B = { ( x, y) / xy = } ; B {( x, y) / x 0 e y 0} = > > 9) Ecotre os potos de acumulação dos seguites cojutos em : a) A= {( m, ) / m, }; b) B= {( p, q) / p, q são racioais} ; c) C =, / ; d) D =, / m, ; m e) m D=, / m,, 0 0) Prove que, em, vale: a) it( A) = A \ Fr( A) ; b) A= \ it( \ A) ) Quais afirmações são verdadeiras em um espaço métrico M? Justifique suas respostas a) It( A) = it( A) ; b) A A= A; c) It( A) = A ; d) Fr( A) = Fr( A) ; e) Fr( A) M \ A se A é aberto ) Prove que em um espaço métrico, tem-se: a) Fr( A) = Fr( M \ A) ; b) A B A B; c) A B A B; d) It( A B) = It( A) It( B) ; e) It( A B) It( A) It( B) 5

52 Resumo Neste capítulo você se familiarizou com as oções topológicas básicas em um espaço métrico, tais como: bolas abertas, cojutos abertos, cojutos fechados, potos de acumulação, etc Muitos exemplos foram desevolvidos o espaço, em especial em e, de modo a desevolver a sua ituição geométrica Foram apresetados exercícios resolvidos e propostos, fudametais para o seu apredizado 5

53 Covergêcia

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55 Covergêcia Neste capítulo iremos estudar sequêcias Iiciaremos revedo brevemete o coceito de sequêcia de úmeros reais A seguir, itroduziremos a defiição de sequêcia em um espaço métrico Nosso iteresse é estudar o comportameto de uma sequêcia Em particular, queremos eteder o comportameto do -ésimo termo da sequêcia, quado tede a ifiito Para isso, precisamos defiir a oção de covergêcia Sequêcias de Números Reais Para motivar os estudos desta uidade, propomos o seguite problema: Que distâcia podemos atigir com uma pilha de livros (que pode ser ifiita) equilibrada sobre o beirado de uma mesa ates desta pilha cair? Assumiremos que todos os livros têm largura e peso e que podemos usar apeas um livro por adar Este problema é cohecido como o problema da Torre Icliada de Lire e possui mais de uma solução possível A primeira ideia que os vem é simplesmete empilhar os livros verticalmete e equilibrar o beirado da mesa, de forma que parte deles fique para fora da mesa (Figura ) MESA Figura Apesar de este método fucioar, iremos atigir uma distâcia de, o máximo, aproximadamete Poderíamos, etão, pesar em usar cotrapesos para atigir distâcias maiores Porém, o problema propõe que usemos apeas 55

56 um livro por adar e, portato, ão podemos seguir esta ideia Vamos, etão, atacar o problema usado a matemática que já apredemos os cálculos Primeiro, lembramos que o cetro de gravidade combiado c de dois objetos com massa M e M, localizados em x e x, respectivamete (Figura ), é dado por c = xm M + x M + M M M x c x Figura Para modelar osso problema, vamos imagiar uma reta real se extededo para a direita com origem exatamete o beirado da mesa (Figura 3) Mesa 0 3 Figura 3 Podemos assumir que ossa pilha de livros ão cairá desde que o cetro de gravidade da pilha com -livros, c, seja meor ou igual a zero Em particular, o mais à direita possível que o cetro pode estar é a origem Vamos, etão, empilhar ossos livros da seguite maeira: Começamos com a mesa vazia e colocamos um livro sobre a mesa, de forma que sua extremidade direita esteja o zero Como o livro tem largura e massa, o cetro de gravidade é - Podemos, etão, deslocar o livro para a direita até que o cetro de gravidade dele esteja sobre o zero e ele ão cairá da mesa (Figura 4) 56

57 Mesa 0 3 Figura 4 Portato, a extremidade deste livro já alcaçou a distâcia D = e o livro tem cetro de gravidade o 0 Para colocarmos o próximo livro, levatamos o livro existete verticalmete e colocamos o segudo livro como feito ateriormete, ou seja, com a sua extremidade direita a origem A pilha cotiuará equilibrada (Figura 5): Mesa 0 3 Figura 5 e o cetro de gravidade desta pilha de dois livros é: c xm M + cm ( ) M + = = = Agora, deslocamos esta pilha para a direita até que o seu cetro de gravidade esteja o 0, ou seja, podemos deslocar a pilha por e teremos alcaçado a distâcia D = + do beirado da mesa (Figura 6): Mesa 0 3 Figura 6 Procededo desta maeira sucessivamete, teremos que uma pilha de livros alcaça a distâcia de D = Este é o termo geral da sequêcia das somas parciais da série harmôica divergete (mas ão iremos estudar esta série este curso) = A divergêcia da mesma sigifica que, somado termos suficietes da mesma, podemos ultrapassar qualquer úmero real positivo Ou seja, podemos atigir qualquer distâcia com ossa pilha de livros, desde que tehamos paciêcia para empilhar o úmero suficiete de livros A tabela abaixo mostra a quatidade de livros ecessária para atigir determiada distâcia: 57

58 Distâcia Atigida Livros Necessários (N) N = 4 4 N = 3 0 N = 367 N = N = Na figura 7 temos uma foto de um experimeto feito com blocos de madeira Você pode tetar o mesmo em casa! Figura 7 Este exemplo ilustrou como o trabalho com sequêcias ifiitas é iteressate Esperamos que você fique etusiasmado e estude com afico os coteúdos que serão explorados esta uidade Uma sequêcia de úmeros reais ada mais é do que uma lista ifiita de úmeros reais, arrajados em uma certa ordem Mais precisamete, temos uma sequêcia (ifiita) se para cada úmero atural associamos um úmero real x, coforme defiição que segue D e fi iç ã o Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução f : x Deotamos: ( x, x,, x, ) ou simplesmete ( x ) Exemplo (, 4,6,8, ) = ( ) Exemplo (cos,cos,cos3, ) = (cos ) 58

59 Exemplo 3,,, = 3 Na disciplia de Cálculo I, você estudou as sequêcias de úmeros reais Ates de cotiuar seu estudo, é iteressate você revisar a seção 3 do livro-texto da referida disciplia Geeralizado, podemos pesar em sequêcias o, ou em um espaço métrico qualquer, 3,, Exemplo 4 f :, Os termos desta sequêcia são formados por pares ordeados de úmeros reais, como segue:,,,,,, Exemplo 5 f : 3,, Neste caso, os termos da sequêcia são formados por teras ordeadas de úmeros reais Temos (,, ),,,,,,, Sequêcias em um Espaço Métrico Defiição Seja ( M, d ) um espaço métrico Uma sequêcia em M é uma fução f : M x Notação Usamos a mesma otação utilizada para sequêcias de úmeros reais, ou seja: ( x, x,, x, ) ou ( x ) O cojuto dos termos da sequêcia será deotado por f ( ), ou { x, x, } 59

60 Nota Veja que o cojuto dos termos da sequêcia difere da sequêcia, como ilustrado o seguite exemplo: Sequêcia: ( + ( ) ) = (0,,0,, ) Cojuto dos termos: { 0, } 3 Limite de uma Sequêcia A figura 8, ao lado, mostra Weierstrass (à direita) explicado o coceito de covergêcia uiforme para Cauchy, que está meditado sobre o cotraexemplo de Abel A seguir, itroduziremos o coceito de covergêcia, porém o coceito de covergêcia uiforme (o qual é muito útil para o estudo de covergêcia de sequêcias e séries de fuções) só é visto em cursos mais avaçados Para a sequêcia de úmeros reais ( x ) =, temos lim x = lim = 0 Figura 8 - O coceito de covergêcia uiforme Ituitivamete, observado a figura 9, vemos que os termos da sequêcia toram-se arbitrariamete próximos de zero quado tede a ifiito Figura 9 x Formalmete, verifica-se a defiição: > 0, se 0 e 0, etão x 0 < para todo > 0 Esta defiição pode ser visualizada a figura 0 A partir de 0, todos os termos da sequêcia situam-se um itervalo aberto de cetro em 0 e raio 60

61 x, > 0 ( ) ε 0 ε x Figura 0 Também podemos dizer que, para > 0, a distâcia etre x e 0 é meor que Nota Lembre que x a os dá a distâcia de x até a Como podemos geeralizar a defiição de limite de uma sequêcia para um espaço métrico qualquer? Defiição 3 Sejam ( M, d ) um espaço métrico e ( x ) uma sequêcia em M Dizemos que ( x ) coverge para a M se para todo > 0 existir 0 tal que d( x, a) Escrevemos: lim x = a ou x a < para todo > 0, ou aida, lim x Se ( x ) ão coverge, ela é dita divergete = a Nota Utilizado bolas abertas, podemos escrever: lim x = a r > 0, existir 0 tal que x B( a, r) para todo > 0 A visualização geométrica é ilustrada a figura x x x, > 0 a r Figura 6

62 Exemplo 6 Seja ( M, d ) um espaço métrico A sequêcia ( x, x,, x, p, p, p, ) é dita sequêcia estacioária k Temos que x p De fato, dado qualquer > 0, basta tomar 0 = k Para todo > 0, temos d( x, p) = d( p, p) = 0< Exemplo 7 Seja M =, com a métrica usual A sequêcia 3 coverge para o úmero real Vejamos por quê: dê 3 + > 0 3 Devemos ecotrar 0 tal que > 0 < 3 + Agora, ote que as seguites desigualdades são equivaletes: 3 <, <, 3 + <, >, > 3 Assim, se tomarmos 0 como o primeiro atural maior que 3, temos que 3 > 0 <, como desejado 3 + Exemplo 8 Seja M =, com a métrica usual (isto é, a métrica Euclidiaa) A sequêcia cujo termo geral é o par ordeado ( ) ( x, y) = +, coverge para o par ordeado (, 0 ) Para simplificar a otação, deotamos: z = ( x, y ); a = (, 0 ) 6

63 Temos: d( z, a) = ( x ) + ( y 0) = + + = + = Nota Observe que ( d( z, a )) é uma sequêcia de úmeros reais que coverge para zero, pois é o produto da sequêcia (que coverge para zero) pela costate (ver teorema 7, da seção 34 do livro-texto de Cálculo I) ( ) Logo, +, (, 0 ) Exemplo 9 Seja ( M, d ) um espaço métrico A sequêcia ( x ) = ( a, b, a, b, a, b, ), ode a b é divergete Exemplo 0 Em Exercício Proposto, a sequêcia ( z ) =, (0,0) ) Usado a defiição, comprove o resultado do exemplo 0 Nota Segue da defiição de limite de sequêcia que, em um espaço métrico qualquer, uma sequêcia x a se, e somete se, a sequêcia de úmeros reais d( x, a) 0 Nos exemplos 8 e 0, temos sequêcias covergetes em Observe os resultados e se questioe: Em y e, uma sequêcia ( x, y) ( a, b) b? se, e somete se, x a A resposta é positiva Temos a seguite proposição: Proposição A sequêcia (( x, y),( x, y),,( x, y), ) coverge para ( a, b ) em se, e somete se, a sequêcia ( x ) coverge para a e a sequêcia ( y ) coverge para b em 63