Licio H. Bezerra Fermín S. V. Bazán. Álgebra Linear II

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1 Licio. Bezerra Fermí S. V. Bazá Álgebra Liear II Floriaópolis, 008

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3 Uiversidade Federal de Sata Cataria Cosórcio ReDiSul Campus Uiversitário Tridade Caixa Postal 476 CEP Floriaópolis SC Reitor: Alvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distâcia: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Esio de Graduação: Yara Maria Rauh Muller Departameto de Educação à Distâcia: Araci ack Catapa Pró-Reitora de Pesquisa e Extesão: Débora Peres Meezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: José Roberto O Shea Pró-Reitor de Desevolvimeto umao e Social: Luiz erique Vieira Silva Pró-Reitor de Ifra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assutos Estudatis: Cláudio José Amate Cetro de Ciêcias da Educação: Carlos Alberto Marques Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: Méricles Thadeu Moretti Cetro de Filosofia e Ciêcias umaas: Maria Juracy Filgueiras Toeli Cursos de Liceciaturas a Modalidade à Distâcia Coordeação Acadêmica Matemática: Neri Tereziha Both Carvalho Coordeação de Ambietes Virtuais: Nereu Estaislau Buri Coordeação de Ifra-Estrutura e Pólos: Vladimir Arthur Fey Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

4 Coordeação Pedagógica das Liceciaturas à Distâcia UFSC/CED/CFM Coordeação: Roseli Ze Cery Núcleo de Formação Resposável: Nilza Godoy Gomes Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Material Resposável: Isabella Befica Barbosa Desig Gráfico e Editorial: Carlos A. Ramirez Righi, Diogo erique Ropelato, Mariaa da Silva. Adaptação Desig Gráfico: Diogo erique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior. Produção Gráfica e ipermídia: Thiago Rocha Oliveira Desig Istrucioal: elle da Silva Zago Revisão Ortográfica: Toy Roberso de Mello Rodrigues Preparação de Gráficos: Laura Martis Rodrigues Editoração Eletrôica: Laura Martis Rodrigues Núcleo de Pesquisa e Avaliação Resposável: Claudia Regia Flores Copyright 008, Uiversidade Federal de Sata Cataria / Cosórcio RediSul Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia. Ficha Catalográfica B574a Bezerra, Licio eraes Álgebra Liear II / Licio eraes Bezerra, Fermí S. Viloche Bazá. - Floriaópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, p. ISBN Álgebra liear I. Bazá, Fermí S. Viloche. II. Título. Elaborada pela Bibliotecária Eleoora M. F. Vieira CRB 4/786 CDU 68.3:5

5 Sumário Produto Itero Defiição e exemplos.... Norma defiida a partir de um produto itero Âgulo etre vetores Ortogoalidade Método de Gram-Schmidt Projeção ortogoal de um vetor sobre um subespaço vetorial Matrizes ortogoais....7 Reflexões de ouseholder Matriz de um produto itero em relação a uma base... 8 Autovalores e Autovetores de um Operador Liear Autovalores e autovetores Poliômio característico e Poliômio miimal Operadores diagoalizáveis Matrizes hermitiaas Trasformações uitárias e forma caôica de Schur Formas Multilieares Formas bilieares Forma biliear simétrica: forma quadrática associada Diagoalização de formas quadráticas A fução determiate... 79

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7 Apresetação Caro aluo, A Álgebra Liear desevolve-se detro de espaços vetoriais, os quais são estruturas muito simples, que cotêm apeas soma e produto por escalar, e é impressioate como a teoria desevolve-se com tão pouco. É istigate descobrir como problemas associados ao cotidiao das pessoas são descritos elegatemete pela Álgebra Liear. Problemas como distribuição de eergia elétrica, ou de logística para istalação de telefoes em grades cidades, evolvem resolução de sistemas lieares cujas matrizes são eormes; problemas de compressão de dados, derivados tato de áudio como de imagem, têm o cálculo de autovalores como ferrameta básica para sua resolução. A substituição do aalógico pelo digital embute a real substituição da realidade físicoquímica pela simulação matemática. Pode-se pergutar por que um liceciado aprede Álgebra Liear se ele pretede pricipalmete atuar em escolas de esio fudametal e médio. Respodemos a essa questão assim: com a Álgebra Liear, você, liceciado, deixa as portas abertas para o futuro do cohecimeto tecológico, ao mesmo tempo em que solidifica seu cohecimeto do presete para ateder às demadas dos vários aluos que lhe ecotram, que estão a cada dia mais imersos esse mudo veloz. Cremos ser possível viver em um mudo atural, com florestas, aimais e pessoas tetado viver em harmoia, ledo livros (estes uca serão substituídos por images digitais, assim como ciema ão é icompatível com teatro), com tempo para o ócio e o prazer, com a Álgebra Liear resolvedo problemas de poluição ambietal, logística de policulturas agrícolas etc. A disciplia Álgebra Liear II é a cotiuação atural da disciplia Álgebra Liear I, que lhe itroduziu a teoria de matrizes e o desevolvimeto da estrutura algébrica dos espaços vetoriais sobre um corpo. Desta vez, muimos os espaços vetoriais de um produto itero para que se cofigure eles uma geometria e possamos, dessa maeira, falar de âgulo etre vetores, de tamaho de vetor etc. Na seqüêcia, apresetamos mais um problema que a Álgebra Liear tipicamete estuda: o problema dos autovalores de operadores lieares.

8 Fialmete, defiimos a oção de formas multilieares para formalizar rigorosamete o estudo de determiates. Dividimos, assim, este livro em três Capítulos: produto itero, autovalores e formas multilieares. Esperamos que você utilize este livro como um mapa para descobrir um pouco da Álgebra Liear. Licio. Bezerra Fermí S. V. Bazá

9 Produto Itero

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11 Produto Itero Neste capítulo, iremos muir um espaço vetorial, que é uma estrutura puramete algébrica, de uma geometria, que os permite falar de âgulo etre vetores, projetar um vetor ortogoalmete sobre outro, comparar vetores por tamaho etc.. Defiição e exemplos Quado estudamos vetores o espaço, em Geometria Aalítica, somos apresetados ao produto itero de dois vetores u e v, deotado por u, v, o qual é defiido por u, v = u v cos, em que é o meor âgulo etre os vetores, 0. A partir dessa defiição, demostram-se algumas propriedades do produto itero: simetria ( u, v = v, u ), positividade ( u, u 0 e u, u = 0 u = 0 ) e biliearidade ( ku+ u', v = k u, v + u', v e u, kv+ v' = k u, v + u, v' ). Uma coseqüêcia dessas propriedades é que, dada { i, j, k } uma base ortoormal do espaço, se os vetores u e v escrevem-se, essa base, como u = x i+ y j+ zk e v= x i+ y j+ z k, temos que u, v = x x + y y + z z. Por coseguite, se w= x i+ y j+ zk, w x y z = + +. O coceito de produto itero é geeralizado para um espaço vetorial qualquer de um modo usual em Matemática: a partir da abstração de algumas propriedades de um modelo (o caso, o produto itero de vetores do espaço euclidiao). Defiição: Seja V um espaço vetorial real. Se, :V V Ré uma fução tal que ) ( v V) v, v 0 e v, v = 0 v= 0; ) ( v, w V) v, w = w, v ;

12 3) ( v, w, w' V)( k R ) v, kw+ w' = k v, w + v, w' etão, é dito um produto itero em V. Observe que uma coseqüêcia direta do item 3 dessa defiição é que o produto itero de um vetor v qualquer com o vetor ulo resulta em zero, pois v,0 = v,0. v = 0. v, v = 0. v v =. Va- v Exemplo : Seja V =R. Sejam u, v R, mos defiir u, v = uv + + uv. u u =, u É fácil ver que essa fução é um produto itero em V, chamado de produto itero usual. Note que uv + + uvv é a úica etrada da matriz v u, que é uma matriz. Usado o fato de que os T espaços vetoriais R e R são isomorfos, assim como R e R, T podemos escrever que v u é o produto itero usual dos vetores u e v, em R. Exemplo : Sejam u = ( u, u) e v= ( v, v) dois vetores do R. Seja u, v = uv + uv+ uv + 4uv. Afirmamos que essa fução é um produto itero em R. Para provar isso, temos que verificar se essa fução satisfaz os três ites da defiição: i) u, u = uu + uu + uu + 4uu = u + uu + 4u = u + uu + + u + 3u = ( u + u ) + 3u 0. Além disso, temos que u, u = 0 ( u + u ) + 3u = 0 u + u = 0, u = 0 u = 0, u = 0 u = 0 ii) u, v = uv + uv + uv + 4uv = vu + vu + vu + 4 vu = v, u iii) u, kv + v ' = u ( kv + v ') + u ( kv + v ') + u ( kv + v ') + 4 u ( kv + v ') = = kuv + uv' + kuv + uv' + kuv + uv' + k4uv + 4 uv' = = kuv ( + uv + uv + 4 uv) + uv' + uv' + uv' + 4 uv' = = k u, v + u, v' Logo, a fução defiida ateriormete é um produto itero em R.

13 Exemplo 3: Sejam u = ( u, u) e v= ( v, v) dois vetores do R. Seja u, v = uv + uv. Afirmamos que essa fução ão é um produto itero em R, pois, apesar de satisfazer os ites ii e iii da defiição, a fução ão é positiva. Como cotra-exemplo, tomemos o vetor u = (, ) : u, u =.( ) + ( ). = < 0. Exemplo 4: Seja V = C[ a, b] o espaço vetorial das fuções reais cotíuas em [ a, b ], a< b. Sejam f e g duas fuções de V. Vamos defiir a seguite fução de V V em R : b f, g = f( x) g( x) dx. a Note que, como f e g são fuções cotíuas em [ a, b ], o seu produto também é cotíuo em [ a, b ] e, logo, itegrável esse itervalo. Verificamos, facilmete, que as propriedades (ii) e (iii) são satisfeitas por essa fução. Para mostrar que (i) é verdadeira, precisamos de um pouco de Aálise. A primeira parte de (i) é satis- feita porque, para toda fução cotíua f, ( f ( x)) dx m( b a), em que m é o valor míimo de f o itervalo [ a, b ]. Para mostrar que f, f = 0 f = 0 (a recíproca é óbvia), vamos supor que f 0. Assim, como f é cotíua, existe um itervalo [ c, d ], c< d, cotido em [ a, b ], tal que f( x) 0 para todo x [ c, d]. Logo, f ( x ) > 0 para todo x [ c, d] e, como f também é cotíua, pelo Teorema do Valor Itermediário, existem m, M > 0 tais que m f ( x) M para todo x [ c, d]. Assim, b a b c d ( f ( x)) dx = ( f ( x)) dx + ( f ( x)) dx + a a c b d ( f ( x)) dx ( f ( x)) dx m( d c) 0 d c. + > Ou seja, f, f 0. Esse produto itero é chamado de produto itero usual em C[ a, b ]. Exercício : Verifique se as seguites fuções defiidas em são produto itero ou ão. a) u, v = uv + u v + uv + u v ; b) u, v = uv u v uv + 4u v ; c) u, v = uv + u v + 4u v ; R 3

14 d) u, v = uv u v ; m + e) uv, = uv + uv + uv + uv, em que m é um iteiro m positivo; m + f) uv, = uv uv uv + uv, em que m é um iteiro m positivo; g) u, v = uv + 4u v ; h) u, v = uv.. Norma defiida a partir de um produto itero No produto itero defiido o espaço euclidiao, vimos que a orma de um vetor u satisfaz à equação u = u, u. Na geeralização do coceito de produto itero, defiiremos orma, dado um produto itero, utilizado essa equação. Defiição: Seja V um espaço vetorial real. Seja, :V V R um produto itero. A orma iduzida por esse produto itero é defiida pela equação seguite: u = u, u Exemplo 5: Seja V =R. Cosidere o produto itero etre dois vetores u = ( u, u) e v= ( v, v) defiido por u, v = uv + u v + uv + 4u v. A orma iduzida por esse produto itero é u = u + uu + 4u. Exemplo 6: Seja V = C[ a, b] o espaço das fuções reais cotíuas em [ a, b ], a< b. Cosidere o produto itero usual de duas b fuções de V, f e g (que é dado por f, g = f( x) g( x) dx). A a orma iduzida por esse produto itero é b f = ( f ( x)) dx a 4

15 .3 Âgulo etre vetores Para defiir âgulo etre vetores de um espaço vetorial real V, vamos demostrar primeiro a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Proposição (Desigualdade de Cauchy-Schwarz): Seja V um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Assim, para todos os vetores u e v de V, temos u, v u v Prova: A desigualdade é verdadeira se um dos vetores é o vetor u, v ulo. Vamos supor, etão, que u 0 e v 0. Seja w= v u, logo: u uv, uv, ww, = wv, w, u = vv, uv, u u uv, uv, uv, v, u + u, u = u u u,,, = v u v + u v = v u v. Como u u u w, w = w 0, temos que: v u, v u 0 Ou seja, u, v u v. Vamos defiir, agora, âgulo etre dois vetores. Defiição: Seja V um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Assim, dados vetores u e v de V, ambos ão-ulos, o âgulo etre esses vetores é o que satisfaz as seguites codições: u, v cos = u v, 0. Se um dos vetores for ulo, dizemos que o âgulo etre eles é zero. 5

16 Note que, por Cauchy-Schwarz, essa defiição faz setido, uma vez que u, v u v..4 Ortogoalidade A defiição de âgulo etre vetores permite-os falar em cojutos de vetores ortogoais, em que o âgulo etre cada dois vetores é igual a. Defiição: Seja V um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Sejam v,..., v vetores de V. Dizemos que v,..., v são ortogoais se, para todos i e j tais que i j, v, v = 0. i j É importate otar que a ortogoalidade depede do produto itero: dois vetores ão-ulos podem ser ortogoais em relação a um produto itero, mas o âgulo etre eles pode ser diferete de em relação a outro produto itero. Uma observação iteressate é que o vetor ulo é o úico vetor ortogoal a todos os vetores de um espaço vetorial com produto itero. Um resultado iteressate é o seguite: Proposição: Sejam v,..., v vetores ão-ulos de V, um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Se v,..., v são ortogoais (em relação a esse produto itero) etão são liearmete idepedetes. Prova: Supoha que existam a,..., a R tais que av + + av = 0. Logo, para todo ídice i, av + + av, vi = 0, vi = 0. No etato, av + + a v, v = a v, v a v, v = a v, v = a v i i i i i i i i pois os vetores são ortogoais dois a dois. Assim, como os vetores são ão-ulos, para todo ídice i, a i = 0, isto é, escreve-se o vetor zero de uma úica maeira como combiação liear dos vetores v,..., v, que é a combiação trivial. Dessa maeira, v,..., v são liearmete idepedetes., 6

17 Corolário (Teorema de Pitágoras Geeralizado): Sejam u e v dois vetores ortogoais em um espaço vetorial real V muido de um produto itero. Assim: u+ v = u + v. Prova: É deixada para você, leitor, como exercício. Em geral, falamos em cojuto ortogoal de vetores para dizer que os vetores do cojuto são ortogoais. Por exemplo: dizemos que uma base de um espaço vetorial é ortogoal, sigificado que os vetores da base são ortogoais. Uma perguta que emerge aturalmete é se sempre existem bases ortogoais para qualquer espaço vetorial real. Vamos respoder a essa perguta feita o caso do espaço ser fiitamete gerado de uma forma cocreta: vamos costruir uma base ortogoal a partir de uma base qualquer. Um método prático para isso é o método de Gram-Schmidt, descrito a seguir..4. Método de Gram-Schmidt Sejam v,..., v de V, um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Vamos defiir, a partir desses vetores, um cojuto ortogoal de vetores w,..., w tais que [ v,..., v ] = [ w,..., w ]. i) ii) w = v v, w w = v w w v, w v, w iii) w = v w w w w ) v, w v, w v, w w = v w w w w w w Note que, para todo i, wi 0, pois os vetores v,..., v são liearmete idepedetes. A prova de que esses vetores são ortogoais é feita por idução: 7

18 ,,, = v w, =, v w, = 0 w w I) w w v w w v w w w II) Seja k >. Supoha que para todos os ídices i e j, i j, tais que i, j < k, temos wi, w j = 0. Assim, para todo i, percebe-se que: vk, w vk, w vk, wk wk, wi = vk w w w k, wi = w w w k vk, w vk, w vk, wk = vk, wi w, wi w, wi w k, wi = w w w k vk, wi = vk, wi w, 0 i wi = w i Observe que, por costrução, [ v,..., vi] = [ w,..., wi] para todo i (mostre isso, por idução). Assim, o eésimo passo, chegamos a uma base ortogoal. Corolário: Todo espaço vetorial de dimesão fiita com produto itero admite uma base ortogoal. 3 Exemplo 7: Cosidere V =R, muido do produto itero usual, v = (,, 0 ), v = (, 0, ), v 3 = (0,,). Aplicado o método de Gram- Schmidt a esses vetores, temos: w = (,,0); w = (, 0,) (,, 0) = (,,) ; w3 = (0,,) (,,0) ( ) +. (,,) = (,, ). ( ) ( ) Você pode verificar, calculado os produtos iteros, que o cojuto { w, w, w 3} é ortogoal. Exercício : Ache, pelo método de Gram-Schmidt, uma base ortogoal para V, muido do produto itero explicitado, a partir das bases dadas a seguir: 8

19 V =R v = (, ) ; a), muido do produto itero usual, (, ) v =, 3 b) V =R, muido do produto itero usual, v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,,); V =R v = (, 0, 0,), v 3 = (,, 0, ), v 4 = (3,, 0, ) ; 4 c), muido do produto itero usual, (,,, ) v =, d) V = C[, ], muido do produto itero usual, f ( x ) =, f ( x) = x, f ( x) = x. 3 A seguir, apresetamos algumas defiições. Defiição: Seja V um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Seja W um subespaço vetorial de V. Seja v um vetor de V tal que v W. Dizemos que v é ortogoal a W se v é ortogoal a todo vetor de W. Exercício 3: Sejam v,..., v vetores de V, um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Seja W = [ v,..., v ]. Seja v um vetor de V tal que v W. Mostre que v é ortogoal a W se, e somete se, para todo i, v é ortogoal a v i. Defiição: Seja V um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Sejam W e W subespaços vetoriais de V. Dizemos que W é ortogoal a W se, para todo vetor w de W e todo vetor w de W, w, w = 0. Se, além disso, W+ W = V, etão dizemos que W é o complemeto ortogoal de W e deotamo-lo por W. Observe que, como W é ortogoal a W, W W = {0} e, logo, W W = V. Defiição: Dizemos que um cojuto de vetores é ortoormal se os vetores do cojuto são ortogoais (dois a dois) e uitários (isto é, de orma igual a ). Exercício 4: Trasforme as bases ecotradas os exercícios ateriores em bases ortoormais. 9

20 .5 Projeção ortogoal de um vetor sobre um subespaço vetorial Defiição: Seja V um espaço vetorial real ão-ulo muido de um produto itero. Seja W um subespaço vetorial de V, W V. Seja v V. Um vetor w W é dito uma projeção ortogoal de v sobre W se ( v w) for ortogoal a todo vetor de W. Proposição: Se existe uma projeção ortogoal de v sobre W, etão ela é úica. Prova: Sejam w e w dois vetores de W tais que ( v w) e ( v w) são ortogoais a todo vetor de W. Em particular, como ( w w) W, 0 = v w, w w = v w, w w. Desevolvedo os cálculos, cocluímos que w, w w = w, w w e, logo, w w, w w = 0. Ou seja, w= w. Vamos mostrar que, se W é um subespaço de dimesão fiita de um espaço vetorial real V com produto itero, etão a projeção ortogoal de qualquer vetor de V sobre W existe e, logo, é úica. Seja { v,..., v } uma base de um subespaço W de um espaço vetorial real V, com produto itero,. Seja v V. A projeção ortogoal de v sobre [ v,..., v ] é um vetor v [ v,..., v ] tal que v v é ortogoal a [ v,..., v ]. Vamos mostrar que esse vetor v existe. Para isso, seja { w,..., w } uma base ortoormal de [ v,..., v ], obtida a partir do método de Gram-Schmidt. Procuramos por um vetor v = aw + + aw tal que v v seja ortogoal a [ w,..., w ], que é igual a [ v,..., v ], isto é, tal que v v seja ortogoal a todo vetor da base { w,..., w }. Assim, para todo i, temos: 0 = v v, w = v aw + a w, w = v, w a w, w = v, w a, i i i i i i i i ou seja, ai = v, wi. Assim, a projeção ortogoal de v sobre [ v,..., v ] existe e é o vetor v v = v w w + + v w w.,, o v Figura. - Projeção ortogoal de um vetor sobre um subespaço. 0

21 Operar com uma base ortoormal é muito coveiete. Para justificar esse adjetivo, vamos ver como ficaria o cálculo com a base { v,..., v }, que é qualquer. Uma vez que sabemos que o vetor v existe e é úico, como v [ v,..., v ], existe um úico vetor ( b,, b ) R tal que v = bv + bv. Como v v é ortogoal a [ v,..., v ], v v, v i = 0, i = :. Assim, obtemos: v, v b v, v + + b v, v = 0 v, v b v, v + + b v, v = 0, ou seja, a forma matricial, v, v v, v b v, v =. v, v v, v b v, v E passat locução adverbial; ligeira e circustacialmete. Ex: Mecioou-lhe o ome e passat. Como esse sistema tem úica solução (pois a projeção ortogoal existe e é úica), essa matriz é iversível para qualquer base = { v,..., v } (lembre-se que um sistema de equações lieares a variáveis é possível e determiado se, e somete se, a matriz de coeficietes é iversível). Essa matriz é dita matriz de Gram (ote que a matriz de Gram defiida em espaços vetoriais reais é uma matriz real e simétrica). Para achar v utilizado-se de uma base ão-ortoormal, temos que resolver o sistema apresetado, o que é muito trabalhoso se a matriz ão for diagoal (ote que a matriz do sistema em questão é diagoal se a base é ortogoal). E passat, demostramos a seguite proposição: Proposição: Uma matriz de Gram é uma matriz iversível. Outro modo de se provar essa proposição é verificar que o sistema homogêeo associado à matriz G apresetada ateriormete só admite a solução zero. Realmete, Gx = 0 x T Gx = 0. Note que T x Gx = w, em que w= bv + + bv e x= ( w). Logo, w = 0, ou seja, bv + + bv = 0. No etato, { v,..., v } é uma base. Assim, a úica solução possível é b = = b = 0, isto é, a úica solução possível da equação matricial Gx = 0 é a solução trivial x = 0. Por coseguite, G é iversível.

22 m Observe que, se estamos trabalhado em R com o produto itero usual, o referido sistema ão-homogêeo pode ser reescrito como A Ax = A v, em que A é a matriz cujas coluas são as T T coordeadas caôicas dos vetores da base { v,..., v } e x é a colua formada por b,, b. A solução desse sistema é dada por ( T T x= A A) A v. Logo, a projeção ortogoal de um vetor v sobre um subespaço [ v,..., v ] é dada por: ( T T v A A A) A v =. Observe que, se v [ v,, v ], v = v. Exercício 5: Em cada item a seguir são dados v,..., v e v, vetores de V, um espaço vetorial real muido de um produto itero, :V V R. Seja W = [ v,..., v ]. Ache a projeção ortogoal de v sobre W. i) V =R, muido do produto itero usual, v = (, ) ; v = (, ) ; ii) 3 V =R, muido do produto itero usual, (,, ) v = (,,); v = ; 3 iii) V =R, muido do produto itero usual, v = (,, ), v = (,, ) ; v = (,,); 4 iv) V =R, muido do produto itero usual; v = (,,, ), v = (, 0, 0,) ; v = (3,, 0, ) ; 4 V =R, muido do produto itero usual; (,,, ) v) v =, v = (, 0, 0,), v 3 = (,, 0, ) ; v = (3,, 0, ) ; vi) V = C[, ], muido do produto itero usual, v ( x ) =, v ( x) = x; v( x) = x ; vii) V = C[, ], muido do produto itero usual, v ( x ) =, v ( x) = x, v ( x) = x ; 3 3 v( x) = x..6 Matrizes ortogoais m Seja V =R. Vimos que a projeção ortogoal de um vetor v sobre o subespaço gerado por uma base { v,..., v } é dada pela fórmula ( T T v = A A A) A v. Se os vetores da base forem ortoormais, essa T T fórmula se reduz a v = A A v, pois A A= I, a matriz idetidade

23 (verifique). Matrizes, cujas coluas são vetores ortoormais, partilham dessa propriedade. Note que, se A for uma matriz quadrada, A é a iversa de A. Essas matrizes são ditas ortogoais T (cuidado para ão fazer cofusão: matrizes ortogoais têm coluas ortoormais). Defiição: Uma matriz A T R é ortogoal se. A A= I. Proposição: As seguites seteças são equivaletes: a) é ortogoal; A R b) As coluas de A R são ortoormais; c) As lihas de A R são ortoormais; d) A R e ( x R ) Ax = x ; T T T e) e (, ) A R x y R y A Ax = y x. A prova dessa proposição pode ser vista, por exemplo, em offma e Kuze (970). Note que a seteça (d) caracteriza uma matriz ortogoal como sedo uma matriz que preserva a orma de um vetor quado multiplicada por ele; a seteça (e) descreve uma matriz ortogoal como uma matriz que preserva o produto itero de dois vetores (e, de quebra, preserva o âgulo etre cada dois vetores). Exercício 6: Mostre que o produto de matrizes ortogoais é uma matriz ortogoal. Exercício 7: Mostre que a iversa de uma matriz ortogoal é, também, ortogoal. Exercício 8: Mostre que, se Q R é uma matriz ortogoal, a q q matriz ( + ) ( + ), pertecete a R, é uma matriz 0 q q ortogoal. 3

24 .7 Reflexões de ouseholder As matrizes de reflexão em relação a um subespaço de R são exemplos de matrizes ortogoais. As reflexões de ouseholder são as reflexões em relação a um subespaço de co-dimesão (ou seja, de dimesão ). Elas surgiram a costrução de um ovo processo de ortoormalização de vetores, diferete do método de Gram-Schmidt: o método de ouseholder. Nesse processo, busca-se uma reflexão que leva um vetor v dado a um vetor a direção do vetor caôico e = (,0,,0). É claro que, como uma reflexão preserva a orma dos vetores (ver o item d da proposição aterior), há duas possibilidades para v : ou v = v e ou v = v e. é dito uma reflexão de ouseholder se o subespaço em relação ao qual a reflexão age é o hiperplao bissetor de um dos dois âgulos que v faz com a reta gerada por e, isto é: ou é o hiperplao cuja ormal é o vetor = v v e, ou é o hiperplao cuja ormal é = v+ v e. π v.e v v o v π v.e Figura. - Reflexões de ouseholder Vamos achar uma fórmula para essas reflexões. Seja uma das ormais descritas ateriormete, associada ao hiperplao. Note que = [ ]. Logo, R = [ ]. Assim, dado um vetor u qualquer, u pode ser escrito de uma úica forma como soma de um vetor de com um vetor de [ ]: u = u + u[ ]. Dessa maeira, u = u u[ ] = u u[ ], etretato u [ ] é a projeção ortogoal de u sobre [ ]. Ou seja, T T T u[ ] =.(. ) u = u. 4

25 T T.. Logo, u = u u = ( I ) u, e assim cocluímos que: T. = I. Note que, por essa fórmula, obtemos as duas reflexões de ouseholder que trasformam o vetor dado em um vetor a direção do vetor caôico e. Por exemplo: supoha que 3 V =R, com o produto itero usual. Seja v = (,,), etão = v v e = (..) 3(, 0, 0) = (,, ) correspode à reflexão: T T T = = = = I I I equato = v+ v e = (,, ) + 3 (,0,0) = (4,, ) está associado à reflexão: T T T... = I = I = I = ; Note que essas matrizes são ortogoais (verifique) e simétricas, características das reflexões de ouseholder. Assim, se é uma reflexão de ouseholder, T = =. Como já dissemos ates, uma aplicação das reflexões de ouseholder é ortoormalizar bases. Por exemplo, vamos achar uma base ortoormal para o subespaço [(,,,),(0,0,,),(0,0,0,)] 4 do R. Para isso, primeiro costruímos a matriz A, cujas coluas são os vetores da base dada: A =. Agora, va- 0 mos achar uma reflexão de ouseholder que reflita o primeiro vetor da base dada a direção do primeiro vetor caôico do 4 R. Vamos escolher, etre as duas ormais possíveis, a ormal = (,,,) + (,,,) (, 0, 0, 0) = (3,,,). A reflexão de ouseholder correspodete a essa ormal é a seguite: 5

26 Logo, T T T = I = I = I = A =. Agora, vamos achar uma re flexão de ouseholder que reflita o vetor ( 3, 3, 3) a direção do primeiro vetor caôico do R. Vamos escolher 3 = ( 3, 3, 3) + ( 3, 3, 3) (,0,0) = ( 3, 3, 3). A reflexão de ouseholder correspodete a essa ormal é dada por: T T T = = = 3 = I I I.. Cosidere a matriz = , etão A = , ou seja, 0 A =. Fialmete, vamos achar uma reflexão de ouseholder que reflita o vetor ( , ) a direção do primeiro vetor caôico do R. Vamos tomar = (, ) + (, ) (,0) = (, ). A reflexão de ouseholder correspodete a essa ormal é dada por: = I = I =. T T 4 6

27 Cosidere a matriz =. Assim, = = A Logo, A = = = = = QR, 0 0 e, assim, as coluas de Q, que são ortoormais e geram o mesmo espaço que as coluas de A, formam uma base ortoormal para [(,,,),(0,0,,),(0,0,0,)]. Esse método método de ouseholder é muito eficiete para calcular, computacioalmete, uma base ortoormal para um subespaço vetorial do, o setido em que o método gera vetores quase ortogoais em aritmética de poto flutuate, ao cotrário do método de Gram-Schmidt, cujo resultado é um cojuto de vetores ão ortogoais. Quem cohece sistemas iterativos como OCTAVE, SCILAB e MATLAB (os dois primeiros são de domíio público) pode verificar isso fazedo testes com matrizes, por exemplo, da galeria de matrizes icorporadas a esses sistemas. 7

28 Exercício 9: Ache as duas reflexões de ouseholder que satisfazem o que é pedido em cada item a seguir: i) Que trasformem o vetor (,, ) em um vetor a direção do vetor (,0,0); ii) Que trasformem o vetor vetor (,, ) ; (,, ) em um vetor a direção do iii) Que trasformem o vetor (,, ) em um vetor a direção do vetor (,,); iv) Que trasformem o vetor (,, ) em um vetor a direção do vetor (0, 0,)..8 Matriz de um produto itero em relação a uma base Seja V um espaço vetorial real de dimesão fiita, muido de um produto itero, :V V R. Seja = { v,..., v } uma base de V. Cosidere v e w, dois vetores de V : v= av + + av, T w= bv + + bv. Assim, vw, = ab i j vi, vj = bga, em i, j= que G é a matriz de Gram, defiida por Gij = vi, vj = vj, vi, T T b = ( b b ) = ( w) e a = ( a a ) = ( v). Defiição: A matriz G é a matriz do produto itero em relação à base. Exercício 0: Achar a matriz de cada produto itero listado a seguir, em relação à base dada: V =R que v = (, ), v = (, ) ; i), muido do produto itero usual, = v v {, }, em ii) V =R, muido do produto itero u, v = xy+ xy+ xy + 4xy, em que u = ( x, x), v= ( y, y), = { v, v}, ode v = (, ), v = (, ) ; 3 iii) V =R, muido do produto itero usual, = { v, v, v3}, em que v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,,); 4 iv) V =R, muido do produto itero usual, = { v, v, v3, v4}, em que v = (,,, ), v = (, 0, 0,), v 3 = (,, 0, ), v 4 = (3,, 0, ) ; 8

29 v) V é o espaço das fuções poliomiais de grau meor ou igual a três, muido do produto itero usual, = { v, v, v3, v4}, em que v ( x ) =, v ( x) = x, v ( x) = x, v ( x) = x Fechamos este capítulo fazedo-os a seguite perguta: se, dada uma base, um produto itero fica determiado a partir de uma matriz, que propriedades essa matriz deve satisfazer? Uma resposta parcial é: a matriz deve ser simétrica e iversível. No etato só isso ão basta, porque a matriz A = é simétrica, é iversível e ão é matriz de ehum produto itero, ão importa que base ós tomamos. Por exemplo: digamos que V =R e que tomamos uma base = { v, v}. Seja v= v v. Assim, ( v ) = e, logo, v, v = ( ) =. Pela defiição de produto itero, porém, v, v 0. Dessa maeira, a resposta com- pleta é: uma matriz A é matriz de um produto itero em relação a uma base se, e somete se, a matriz A é simétrica e satisfaz a T desigualdade x Ax > 0 para todo vetor colua x, x 0. Se A é uma matriz simétrica tal que, para todo vetor colua x, x 0, T x Ax > 0, etão A é dita uma matriz simétrica defiida positiva. Note que, pela defiição, uma matriz A simétrica defiida positiva tem as seguites propriedades: As etradas diagoais de A são estritamete positivas pois, se o vetor colua e ( ) T k = é tal que a k- ésima etrada é, a = e T Ae > 0 ; kk k k As submatrizes pricipais A(: k,: k ), formadas pelas etradas pertecetes simultaeamete às k primeiras lihas e coluas de A, são também matrizes simétricas defiidas positivas (demostre); A é iversível (demostre). Exercício : Verifique se as matrizes abaixo são simétricas defiidas positivas. a) A = ; b) 5 A = ; c) A = ; 9

30 d) g) A = ; e) A = ; f) 4 A = ; 4 A = 0 ; h) 0 A = 0. Resumo Neste capítulo vimos a defiição de produto itero em um espaço vetorial real V. Cocluímos que, dados um produto itero, em V e uma base, existe uma úica matriz simétrica real A tal que, T quaisquer que sejam os vetores v e w de V, v, w = ( w) A( v). Essa matriz é iversível e é dita uma matriz de Gram. Defiimos, aida, o âgulo etre dois vetores e vimos que dois vetores são ortogoais em relação a um produto itero se o produto itero etre eles é zero. Em seguida, apresetamos um procedimeto que ortogoaliza uma base de um espaço vetorial real de dimesão fiita, ou seja, que resulta em um cojuto l. i. de geradores do espaço que sejam ortogoais dois a dois. Defiimos, depois, um cojuto de matrizes ditas ortogoais, que são matrizes associadas a operadores lieares, defiidos em espaços vetoriais reais com produto itero, que preservam âgulos etre vetores (ex.: as reflexões de ouseholder). Por fim, termiamos o capítulo dado uma caracterização às matrizes de um produto itero em relação a uma base matrizes simétricas defiidas positivas. 30

31 Bibliografia Cometada OFFMAN, Keeth; KUNZE, Ray. Álgebra Liear. São Paulo: Polígoo, 970. Lício. Bezerra: esse livro é um dos meus livros prediletos de Álgebra Liear. Ifelizmete, ele está esgotado. Foi laçada uma seguda edição desse livro o Brasil, com muitas alterações, mas prefiro a primeira edição. Procure-o em sebos e compre-o. O tratameto é rigoroso e as provas são elaboradas. Cotém muitos exercícios, algus ão muito fáceis de resolver. LIMA, Elo L. Álgebra Liear. 3ª ed. Rio de Jaeiro: SBM, 998. á edições mais recetes desse livro, que apreseta a Álgebra Liear de forma clássica, como o livro de offma e Kuze (970). Recomedo esse livro para uma biblioteca de Matemática. Tem muitos exercícios. ANTON, oward; RORRES, Chris. Álgebra Liear com Aplicações. 8ª ed. Porto Alegre: Bookma, 00. Esse é um livro modero com tratameto clássico. É um livro muito bom para você, leitor que deseja se iserir o mudo tecológico, pois apreseta várias aplicações iteressates da Álgebra Liear: digitalização de images, programação liear etc. 3

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33 Autovalores e Autovetores de um Operador Liear

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35 Autovalores e Autovetores de um Operador Liear Lembramos que um operador liear é uma trasformação liear T : V V, em que V é um espaço vetorial sobre um corpo K. Se V é de dimesão e é uma base de V, etão existe uma matriz [ T ] associada a T com a propriedade de que todas as iformações sobre T podem ser obtidas a partir de cálculos sobre [ T ]. Neste capítulo itroduziremos o coceito de autovalores e autovetores de operadores lieares, mostrado que a extração de iformações de T pode ser simplificada sigificativamete desde que T admita uma base de autovetores, em cujo caso a matriz associada [ T ] é diagoal. No decorrer do capítulo assumiremos que V é um espaço vetorial real, a meos quado explicitamete dito em cotrário.. Autovalores e autovetores Em muitas situações práticas de ciêcias puras e aplicadas, dado um operador liear T : V V, deparamo-os com o problema de ecotrar vetores ão-ulos v tais que o vetor trasformado T( v ) seja múltiplo de v. Esse é o problema de autovalores, um tópico muito importate da Álgebra Liear. O termo autovalor provém do adjetivo germâico eige, que sigifica próprio ou característico de. Do poto de vista teórico, autovalores e autovetores cocetram iformações sobre a atureza do operador e toram-se importates porque os mostram como o operador fucioa. Defiição: Um úmero real é um autovalor ou valor próprio do operador liear T : V V se existe um vetor ão-ulo v V tal que T( v) = v. O vetor v é chamado de autovetor ou vetor próprio de T associado a. O cojuto V formado por todos os autovetores de T associados a um autovalor e pelo vetor ulo é um subespaço vetorial de V chamado subespaço próprio ou autoespaço associado a. 35

36 A partir daí, algumas pergutas que surgem de maeira atural são: quatos autovetores podemos associar a um autovalor? Quatos autovalores podemos ecotrar? O que podemos fazer para ecotrar autovalores e autovetores? Com o ituito de respoder a essas e outras pergutas que aparecerão o decorrer do capítulo, começamos com a observação de que se v é um autovetor de T associado a, etão o mesmo acotece com v para qualquer escalar arbitrário ão-ulo, já que T( v) = v T( v) = ( v). Ou seja, qualquer múltiplo escalar de v também V é um autovetor de T associado a. Para ilustrarmos como achar autovalores e autovetores correspodetes apresetamos algus exemplos a seguir. Exemplo : Seja T : R R, T( x, y) = ( x, x+ 3 y). Para procurar autovalores e autovetores de T resolvemos a equação T( x, y) = ( x, y) ou (pela defiição de T ) ( x, x+ 3 y) = ( x, y). Igualado compoetes obtemos o sistema de equações: x= x x + 3y = y Note que y ão pode ser zero, caso cotrário obteríamos x = 0 e daí (x,y) = (0,0) (ou seja, o vetor ulo v = (0, 0) ), o que ão pode acotecer pela defiição de autovetor. Agora podemos cosiderar dois casos: x 0 e x = 0. Se x 0, da primeira equação obtemos =, e, com esse valor a seguda equação, x=- y. Assim, = é um autovalor de T e v= ( x, - x) = x(, - ), x 0, é um autovetor correspodete. Nesse caso, o subespaço próprio associado a = é V = = { x(, -) / x R } = [(, - )] ou, em palavras, V = é o subespaço de R gerado pelo autovetor v = (, - ) que é a reta o plao que cotém v. Se x = 0, da seguda equação segue que = 3 e y pode ser arbitrário (ão-ulo). Portato, = 3 é outro autovalor de T, v= (0, y) = y(0,) é um autovetor associado, e V = 3 = [(0,)], que é a reta que passa pela origem e é perpedicular ao eixo Y, é o subespaço próprio associado. 36

37 O efeito de um operador liear é determiado facilmete e simples de se iterpretar geometricamete em R. Como ilustração, cosidere o operador T do exemplo e os vetores v = ( -, ), e u = (, 0 ). Dessa forma, T( v ) = (-,) = ( -,), isto é, v é trasformado em um múltiplo de si mesmo, pois v é um autovetor de T associado ao autovalor = (ver figura 3 a seguir). O efeito do operador sobre u é T( u ) = (, ). Obviamete, u ão é autovetor do operador, pois T( u ) ão é múltiplo de u. y T (v) = v y v T T (u) u x x Figura. - Efeito de um operador liear Observação: Embora o efeito de um operador em R seja simples de se calcular, a situação pode ser bem diferete quado a dimesão do espaço é elevada. No etato, se v é uma combiação de autovetores v,, vp de T, por exemplo, v= v+ + pvp, e se ambos j e v j são dispoíveis, o efeito de T sobre v pode ser calculado facilmete. De fato, como T é liear, segue que T( v) = T( v) + + pt( vp) e, assim, o efeito do operador pode ser calculado como T( v) = v+ + p pvp, um fato muito explorado em aplicações da álgebra liear a resolução de problemas práticos. Um poto importate a ser efatizado é que ão é raro ecotrar operadores lieares que ão possuam autovalores. Ilustramos isso com o exemplo a seguir: 37

38 Exemplo : Seja T : R R, T( x, y) = (- y, x). Se é um autovalor de T e v= ( a, b) é um autovetor correspodete, etão T( v) = v ( - b, a) = ( a, b). Daí segue que + = 0, o que é impossível em R. Ou seja, como ão existe real tal que T( v) = v, cocluímos que o operador T ão tem em autovalores em autovetores. Outro operador T : R R que ão possui autovalores é aquele que produz rotações o plao, veja a lista de exercícios ao fial deste capítulo. A existêcia de autovalores de um operador liear ão depede da dimesão do espaço. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 3: Seja V = C( R ) o espaço das fuções cotíuas em R. Sabemos que V é um espaço vetorial real de dimesão ifiita. Seja T : V V o operador liear defiido por T f t ( ) ( ) t = f x dx. Afirmamos que o operador T ão possui ehum autovalor. De fato, vamos supor que R é um autovalor de T. Etão existe f 0 tal que Tf = f. Isto é, t f ( t) = f ( x) dx. Agora, já que pelo primeiro teorema fudametal do cálculo temos f ' = f, segue que 0, pois f 0. Por outro lado, ote que a equação ct diferecial f ' = f tem solução f( t) = e com c = /. Substituido essa solução a equação autovalor-autovetor segue que t ct cx ct e = e dx = e -, e assim = 0, o que cotradiz o fato de 0 ser 0. Logo, fica demostrado que o operador T ão tem autovalores. Sabemos que toda matriz real A defie um operador liear x x TA : R R dado por TA( v) = Av. Note que aqui v deota um x vetor colua em R e que a imagem do operador é calculada via produto matriz vetor. Assim, os autovalores e autovetores de A são, por defiição, os autovalores e autovetores do operador T A. Logo, é um autovalor de A se existe um vetor ão-ulo v em x R tal que Av = v. Portato, podemos cocluir que: 0 0 é um autovalor de A a equação (A - I) x = 0 em solução ão-trivial. 38

39 Observe que, essa equação, I deota a matriz idetidade. No etato, já que o sistema homogêeo ( A- I) x= 0 tem solução ão-trivial se e somete se A- I é uma matriz sigular, ou equivaletemete, se e somete se det ( A- I) = 0, temos que: a) Os autovalores da matriz são as raízes da equação det ( A- I) = 0 chamada equação característica, e p( ) = det ( A- I) é um poliômio em de grau chamado poliômio característico de A. Para ver que p ( ) é um poliômio de grau, basta observar que avaliado o determiate a - p( ) = det ( A- I) = det a a a - obtemos p( ) = ( a - ) ( a - ) + termos de grau meor que. Isso mostra que o poliômio característico de A é de grau. É importate observar que, se A é uma matriz real, etão p ( ) tem coeficietes reais e, portato, todas as suas raízes complexas vêm em pares cojugados. Assim, se = a + ib é raiz de p ( ), seu complexo cojugado = a - ib ( i = - ) também é raiz de p ( ). Formalmete, as raízes complexas de p ( ) são autovalores complexos da matriz A iterpretada como operador T A :, dado por ( ) TA x = Ax, x. Dessa forma, se,,, são os autovalores de A (reais ou complexos), etão o poliômio característico p ( ) pode ser escrito como p ( ) = ( - )( - ) ( - ). Cosiderado agora que p( ) = det ( A- I) e tomado = 0 essa equação, segue que = p(0) = det ( A). Outra coclusão imediata, que provém de comparar o coeficiete de (- - ) da expressão, que resulta de avaliar o deter- miate det ( A- I), com o coeficiete de (- - ) que aparece após desevolver os produtos ( - )( - ) ( - ), é que 39

40 40 j = a jj. j= j= A soma dos elemetos da diagoal pricipal de uma matriz quadrada A é chamada de traço de A e é deotada por tr ( A ). b) Para cada autovalor, os autovetores associados são soluções ão-triviais do sistema homogêeo ( A- I) x= 0. Observação: Uma dificuldade de ordem prática o cálculo de autovalores para matrizes, > 4, é que equações poliomiais de grau maior que 4 ão são solúveis por radicais, ou seja, essas equações ão podem ser solucioadas usado fórmulas aálogas àquelas usadas para equações de segudo ou terceiro graus. Por isso, a prática, o cálculo de autovalores é feito computacioalmete através de métodos iterativos. Métodos iterativos que usam trasformações ortogoais são implemetados em muitos sistemas iterativos como MATLAB, SCILAB, OCTAVE, MAPLE etc. Os exemplos a seguir ilustram o procedimeto para ecotrar autovalores e autovetores associados. 3 - A =, a equação carac- 0 Exemplo 4: Cosiderado a matriz terística é: 3- - det ( A- I) = = 0 (3 - )(0 - ) -(- ) = Daí vemos que os autovalores da matriz A são raízes da equação = 0: =, e =. Para ecotrar os autovetores associados a =, devemos ecotrar soluções ão-triviais do sistema homogêeo ( A- I) x= 0: 3- - x 0 = 0- x 0. Esse sistema reduz-se à expressão x- x = 0, da qual vemos que todas as soluções ão-triviais desse sistema, ou seus autovetores associados a =, são da forma x =, em que é qualquer

41 escalar ão-ulo. Procededo aalogamete, podemos verificar que os autovetores associados com = são da forma x = 0, sedo qualquer escalar ão-ulo. Exemplo 5: Neste exemplo cosideramos a matriz 3-0 A = Para esta matriz, a equação característica é: det ( A- I) = = = As raízes da equação característica forecem os autovalores =, = 3, 3 = 4. Para ecotrar o autovetor associado a =, resolvemos o sistema homogêeo ( A- I) x= 0, que esse caso tem a forma (3 - ) x- x = 0 - x + ( - ) x - x3 = 0 - x + (3 - ) x3 = 0 Escaloado, obtemos o sistema equivalete x- x + x3 = 0 x - x3 = 0 que possui grau de liberdade (ou seja, há uma variável livre). Tomado x 3 como variável livre, o autovetor associado a = tem a forma x3 x= x 3 x3 =, para x 3 ão-ulo e arbitrário. Pro- x 3 3 cededo aalogamete, para = 3 temos que o autovetor asso- ciado é x = 0, sedo ão-ulo, equato que para 3 = 4 - o autovetor é x = -, para ão-ulo arbitrário.. 4

42 Para cada matriz A, as seguites propriedades podem ser provadas (cosulte Noble e Daiel (998)): ) Existe pelo meos um autovetor associado com cada autovalor de A. ) Se {,, s } é um cojuto de autovalores distitos e se { p,, p s } é um cojuto de autovetores associados, etão { p,, p s } é liearmete idepedete. Coseqüetemete, se A tem autovalores distitos, etão existe um cojuto liearmete idepedete de autovetores e a matriz A pode ser decomposta como A= PΛ P -, em que P= [ p,, p ] é uma matriz cujas coluas p i são autovetores de A associados aos autovalores i, e Λ é uma matriz diagoal com os autovalores i a diagoal pricipal. Diferetes maeiras de ordear os autovetores a matriz P levam a diferetes decomposições da matriz A e, assim, a decomposição acima ão pode ser úica. Reciprocamete, se existe alguma matriz P, ão-sigular, e a decomposição acima vale com Λ diagoal, etão as coluas de P são autovetores de A associados respectivamete aos autovalores i, em que i é a i-ésima etrada da diagoal pricipal de Λ. Se existe uma matriz P ão-sigular tal que B - = P AP, etão B P APP AP P A P = =, B BB P APP A P P A P = = =, k k- - k B BB P A P = =, k. Quado A é ão-sigular, o mesmo ocorre com B, e a propriedade acima vale para qualquer iteiro egativo k. Se, em particular, B é diagoal (ex.: B =Λ), etão A = PΛ P -, e o cálculo da k k k -ésima potêcia de A requer apeas o cálculo das k -ésimas potêcias dos elemetos diagoais de Λ. 4

43 Defiição: Uma matriz quadrada B é dita semelhate a uma matriz A se existe uma matriz ão-sigular P tal que B = P AP. - Se B é semelhate a A, é dito que B é obtida de A por meio de uma trasformação de semelhaça. É imediato observar que matrizes semelhates têm o mesmo poliômio característico, e que a oção de semelhaça defie uma relação de equivalêcia o cojuto das matrizes quadradas o setido em que: a) A é semelhate cosigo mesma; b) Se B é semelhate a A, etão A é semelhate a B ; e c) Se C é semelhate a B e B é semelhate a A, etão C é semelhate a A. A primeira parte da afirmação será vista o cotexto geral de operadores lieares; a seguda parte é simples de se demostrar e fica como um exercício para você, leitor. Se observarmos os autovalores e autovetores correspodetes do exemplo 5, a otação do item, a matriz A pode ser decomposta como A= PΛ P -, com: Λ = 0 0 = = [,, ] = , P p p p3 3 3 A = PΛ P - etc, obviamete a ma- Também, como A = PΛ P - k k triz A é semelhate a Λ., O exemplo 6 a seguir mostra que, o caso de aparecerem autovalores repetidos, podem existir autovetores liearmete idepedetes associados ao mesmo autovalor. Exemplo 6: Cosidere agora a matriz 4-6 A =

44 Procededo como ates podemos ver que a equação característica para essa matriz é = 0 e que os autovalores são = = e 3 = 9. Agora procuraremos o(s) autovetor(es) associados ao autovalor repetido. A equação homogêea tem a forma (4- ) x- x + 6x3 = 0 x+ ( - ) x + 6 x3 = 0. x- x + (8 - ) x3 = 0 Após escaloameto, o sistema reduz-se à expressão x - x + 6x = 0. 3 Daí decorre que o sistema tem dois graus de liberdade (duas variáveis livres). Sedo assim, o cojuto de soluções ão-triviais pode ser escrito como x / -3 x= x = x + x 0, 3 x 3 0 sedo x e x 3 arbitrários, e ao meos um deles ão-ulo. Assim, para o autovalor repetido (duas vezes) = podemos associar um autovetor x que resulta de uma combiação liear de dois vetores liearmete idepedetes: v = [/ 0] T, v = [- 3 0 ] T. Esses por sua vez também são autovetores associados ao mesmo autovalor. É possível explicar tal afirmação devido ao fato de que, para o autovalor repetido =, podemos associar dois autovetores liearmete idepedetes. Como já sabemos achar os autovalores e autovetores de uma matriz, vamos estudar agora como ecotrar os autovalores de um operador liear qualquer defiido um espaço vetorial real de dimesão fiita. A chave do assuto vem a proposição a seguir. Proposição: Seja = { v,, v } uma base de um espaço vetorial real V e T : V V um operador liear, etão T e a matriz de T a base, [ T ], têm os mesmos autovalores. 44

45 Prova: Sabemos que para cada v V existem úmeros reais x j tais que v= xv + + xv. Sabemos também que, se x [ ] T v = x x, x etão existe um isomorfismo : V R defiido por ( v) = xv e que ( T( v)) = [ T] xv. Logo, se é um autovalor de T e v um autovetor associado, usado a otação acima e o isomorfismo segue que [ T] xv = ( T( v)) = ( v) = xv. Daí vemos que é autovalor de [ T ] e x v um autovetor correspodete, pois x v é ão-ulo. Reciprocamete, se é um autovalor x de [ T ] e x R um autovetor associado, via isomorfismo podemos ecotrar um úico v V tal que ( v) = x. Logo, ( T( v)) = [ T] x= x= ( v) = ( v). Isto é, ( T( v)) = ( v), e assim T( v) = v, pois é um isomorfismo.. Poliômio característico e Poliômio miimal Embora da proposição aterior fique claro que é autovalor de T é uma raiz do poliômio característico p ( ) da matriz [ T ], poderíamos os pergutar se p ( ) depede da base escolhida. O aspecto fudametal em relação a esse poto é que o poliômio em questão idepede da escolha da base. Para ver isto, vamos cosiderar duas bases e ' e lembrar que existe - uma matriz iversível P tal que [ T] = P [ T] ' P (ou seja, [ T ] é semelhate a [ T ] ' ). Logo, usado o fato de que det ( P) det ( P - ) = (esse resultado será mostrado o capítulo seguite), obtemos - det ([ T] I) det ( P ) det ([ T] I) det ( P) - = - = = - = -. - det ( P [ T] P I) det ([ T] ' I) Isso mostra que as matrizes [ T ] e T ' têm o mesmo poliômio característico. No que diz respeito aos autovetores, temos a equivalêcia Tv = v [ T] xv = xv, x em que xv R é o vetor de coordeadas do autovetor v de T a base. A discussão acima justifica a defiição a seguir. Defiição: Seja uma base de um espaço vetorial V de dimesão fiita. O poliômio característico de um operador liear T : V V é o poliômio característico da matriz [ T ]. 45

46 Vejamos agora algus exemplos que ilustram características associadas a autovalores e autovetores de operadores lieares aida ão observadas os exemplos ateriores. Exemplo 7: Seja V o espaço das fuções poliomiais de grau meor ou igual a e cosidere a base = { v, v} = { + x, 4 + x}. Seja o operador liear defiido por T( v ) = 5+ x, e T( v) =- (4 + x). Assim, já que T( v) = v+ v e T( v) =- v (verifique!), segue que 0 a matriz de T a base é [ T ] =, portato o poliômio - característico de T é p( ) = det([ T] - I) = (- )(-- ) e os autovalores são = e =-. A partir daí observamos facilmete que o autovetor de [ T ] associado a = é x= [3 b b] T, com b real ão-ulo e arbitrário. Usado o fato de que as compoetes do autovetor x são os coeficietes do autovetor de T expresso como combiação liear dos vetores da base, o autovetor de T associado a = é v = 3 bv+ bv = b(3( + x) + (4 + x)) = b(7 + 4 x), com b ão-ulo e arbitrário. Procededo aalogamete verificase que o autovetor de [ T ] associado a =- é Ax = [0 b] t, com b real ão-ulo e arbitrário. Assim, o autovetor de T associado a =- é x = 0v+ bv = bv, b ão-ulo, ou seja, o vetor v é um autovetor do operador associado ao autovalor =-. Exemplo 8: Supoha o exemplo aterior que, em lugar de T( v) =- (4 + x), o operador T satisfaz T( v) = (4 + x). Procededo da maeira usual, a matriz de T a base é 0 [ T ] =. Logo, o poliômio característico é p ( ) = ( - ) e os autovalores são = =. Ou seja, o operador tem dois autovalores repetidos. Busquemos agora os autovetores associados. Seja x= [ a b] T o autovetor procurado. Logo, ( - ) a+ 0b= 0 ([ T] - ) x= 0 a+ ( - ) b= 0 e esse sistema se reduz à expressão a = 0. Dessa forma, o autovetor associado a = = é x= [0 b] T, em que b é real e ão-ulo, e assim o autovetor de T associado a = = é v = 0 v + bv = b(4 + x). Note que, diferetemete do exemplo a- 46