Integrais triplas. Numeramos os paralelepípedos de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos

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1 Seja,,z Itegrais triplas w uma ução cotíua deiida uma região echada e limitada do espaço Podemos associar a um sólido o espaço Subdividimos em pequeos paralelepípedos traçado-se plaos paralelos aos plaos coordeados Cosidere apeas os paralelepípedos o iterior de, como mostra aigura abaio Numeramos os paralelepípedos de até Em cada um dos pequeos paralelepípedos,,,,,, z, escolhemos um poto itero Formamos a soma de iemma,,z V do paralelepípedo, ode V z é o volume Isto é eito de maeira arbitrária, mas de tal modo que a maior aresta dos paralelepípedos teda a zero quado Se eistir lim,,z V, ele é chamado de itegral tripla da ução,,z sobre o sólido e represetamos por,,z dv ou,,z dddz Etão lim,,z V,,z dddz Obs: dv pode assumir qualquer uma das seis ormas abaio dddz, ddzd, dddz, ddzd, dzdd, dzdd

2 Propriedades da itegral tripla As itegrais triplas satisazem as seguites propriedades: a),,z dv,,z dv, sedo uma costate real b),,z g,,z dv,,z dv g,,z dv c),,z dv,,z dv,,z dv mostra a igura abaio, ode como Cálculo da itegral tripla As itegrais triplas podem ser calculadas de orma aáloga ás itegrais duplas, através de itegrações sucessivas Teorema: Seja,,z ieriormete pela superície g, e superiormete pela superície g, w uma ução cotíua deiida sobre um sólido do espaço limitado z z Seja a projeção de o plao Etão:,,z dv g,,,z dz da g, Observe que a primeira itegração é eita em relação a variável z Desta orma, resta uma ução as variáveis e que é etão itegrada a região do plao

3 O sólido pode ser também projetado os plaos z e z Nestes casos, as superícies que limitam ieriormete e superiormete são uções da orma g,z e g,z, respectivamete O cálculo da itegral tripla é etão eito de orma aáloga g,z d da g,z Projeção de o plao z:,,z dv,,z g,z d da g,z Projeção de o plao z:,,z dv,,z Eemplo: Calcule,,z dv, sedo,,z z limitado pelo cilidro z e pelos plaos e e é o sólido o primeiro octate Esboço do sólido : A projeção do sólido o plao é a região triagular descrita por, e ou, e 3

4 O sólido é limitado ieriormete pela superície z e superiormete por Usado a região triagular descrita por, temos: z,,z dv z dz da zdzdd 8 Usado a região triagular descrita por, temos:,,z dv z dz da zdzdd 8 ********** Se a projeção de osse o plao z, obteríamos as seguites ormas: 3, z e ou 4, z z e Neste caso, o sólido é limitado ieriormete pela superície e superiormete por Usado a região triagular descrita por 3, temos:,,z dv z d da zddzd 8 3 Usado a região triagular descrita por 4, temos:,,z dv z d da zdddz 8 4 z ********** Se a projeção de osse o plao z, obteríamos as seguites ormas: 5, z e ou 6, z z e Neste caso, é limitado ieriormete pela superície e superiormete por z Usado a região triagular descrita por 5, temos: 4

5 z z,,z dv z d da zddzd 8 5 Usado a região triagular descrita por 6, temos: z,,z dv z d da zdddz 8 6 z z Como você pode otar, podemos calcular uma itegral tripla de seis ormas possíveis A escolha da projeção do sólido deve ser eita de orma que as itegrais sejam as mais simples de serem resolvidas, miimizado assim os cálculos Calculado volumes com itegrais triplas Se izermos,,z, etão lim,,z V = lim V dv Poderemos calcular o volume de um sólido como Eercícios: Vol () = dv Usado itegral tripla, mostre que o volume de um cilidro circular reto de raio de base a e altura h é dado por V a h Usado itegral tripla, mostre que o volume de uma esera de raio a é dado por V 4a 3 3 Usado itegral tripla, mostre que o volume de um coe circular reto de raio de base a e altura h é dado por V a h 3 Veja a equação e o gráico do coe abaio 3 Equação do coe: z h a 4 Calcule o volume da região do espaço itera ao cilidro 9, acima do plao e abaio do hemisério z 5 Esboce o sólido /3 5

6 Mudaça de variáveis as itegrais triplas Vimos que algumas itegrais duplas são mais áceis de calcular em coordeadas polares do que em coordeadas retagulares De maeira semelhate, algumas itegrais triplas são mais áceis de calcular em coordeadas cilídricas ou coordeadas eséricas do que em coordeadas retagulares Vamos estudar etão as itegrais triplas esses sistemas de coordeadas Sistema de coordeadas cilídricas Um poto o sistema retagular P,,z é represetado em coordeadas cilídricas por r,,z ode r ( r ) e ( ) são as mesmas variáveis das coordeadas polares P, Observe que a coordeada z é comum aos dois sistemas As equações que relacioam os dois sistemas são: Sistema cilídrico para retagular r cos rse z z Sistema retagular para cilídrico r arctg z z Eemplo: O poto o sistema retagular,,3 cilídricas P tem represetação P,, 3 em coordeadas 4 6

7 Equações de algumas superícies em coordeadas cilídricas Coe Cilidro Esera Parabolóide Coordeadas retagulares Coordeadas cilídricas z, a z a z, z r, r a z a r z r, Cálculo de uma itegral tripla em coordeadas cilídricas Seja um sólido cuja superície superior tem equação g r, equação g r, w,,z or cotíua em, etão z e cuja superície ierior tem z em coordeadas cilídricas Se or a projeção do sólido o plao e se,,z dv g r, r cos,rse,z dz gr, da, a qual a itegral dupla é calculada em coordeadas polares Em particular, se a projeção or como mostrado a igura abaio, etão a itegral tripla pode ser calculada como,,z dv r cos,rse r r g r, g r,,z dz rdrd Eercícios: Calcule z dv, ode é o sólido acima do plao e iterior simultaeamete ao cilidro e a esera z 4 Esboce o sólido esp: 7 4 Calcule o volume do sólido acima do plao, eterior ao parabolóide cilidro 6 Esboce o sólido esp:8 uv z e iterior ao 7

8 Sistema de coordeadas eséricas Um poto o sistema retagular P,,z é represetado em coordeadas eséricas por,, ode: P, é a distâcia de P até a origem; é o mesmo âgulo é o âgulo zop de coordeadas cilídricas; Observe que o âgulo é medido a partir do eio OZ As equações que relacioam os dois sistemas são: Sistema esérico para retagular Sistema retagular para esérico se se z cos cos se z arctg arccos z z Eemplo: O poto o sistema retagular,, coordeadas eséricas Q tem represetação Q 8,, em 4 8

9 Equações de algumas superícies em coordeadas eséricas Coe Cilidro Esera Parabolóide Coordeadas retagulares z, Coordeadas arctg / a cossec eséricas a a z a z, cotg cossec Cálculo de uma itegral tripla em coordeadas eséricas Se é um sólido o espaço tridimesioal, etão a itegral tripla em de uma ução cotíua w,,z é calculada similarmete à itegral tripla em coordeadas cilídricas Obtedo os limites de itegração apropriados a descrição de em coordeadas eséricas, pode-se mostrar que,,z dv secos, sese, cosρ seφddd Obs: No processo de partição do sólido em coordeadas eséricas o ator etra itegrado aparece de orma semelhate ao ator r em coordeadas cilídricas se o Eercícios: 4 Use coordeadas eséricas para calcular z z dzdd 4 4 Obs: Esboce o sólido para retirar de orma apropriada os limites de itegração em coordeadas eséricas esp: 64 9 Use coordeadas eséricas para calcular o volume do sólido limitado superiormete pela esera z 6 e ieriormete pelo coe z, como mostra a igura abaio 64 esp: 3 Bibliograia utilizada: Cálculo B, Diva Flemmig, e Cálculo Vol, Howard Ato 9