Guia do Professor. Conteúdos Digitais. Audiovisual 05. A ordem na desordem. Série Mundo da Matemática

Transcrição

1 Guia do Professor Coteúdos Digitais Audiovisual 05 A ordem a desordem Série Mudo da Matemática

2 Coordeação Geral Elizabete dos Satos Autores Bárbara Nivalda Palharii Alvim Souza Karia Alessadra Pessôa da Silva Lourdes Maria Werle de Almeida Luciaa Gastaldi Sardiha Souza Márcia Cristia de Costa Tridade Cyrio Rodolfo Eduardo Vertua Revisão Textual Elizabeth Safelice Coordeação de Produção Eziquiel Meta Projeto Gráfico Juliaa Gomes de Souza Dias Diagramação e Capa Alie Setoe Juliaa Gomes de Souza Dias Realização Secretaria de Estado da Educação do Paraá DISTRIBUIÇÃO GRATUITA IMPRESSO NO BRASIL

3 Audiovisual O mudo da matemática Episódio 5 A ordem a desordem Itrodução O audiovisual A ordem a desordem, episódio 5 do programa O Mudo da Matemática, apreseta situações que podem desecadear discussões sobre as características de um fractal (auto-semelhaça, complexidade ifiita: iterações), e sobre o cálculo da área e do perímetro de um fractal, utilizado progressão geométrica (PG), como um caso particular de uma fução expoecial.. O coceito de fractal e as ceas do vídeo Os fractais são formas geométricas que apresetam uma característica especial: idepedetemete da escala de observação, a forma origial de um fractal é matida. Em outras palavras, as partes meores coservam a aparêcia do todo (auto-semelhaça). Podemos observar a auto-semelhaça a atureza, por exemplo: a) a samambaia reda portuguesa Figura : Foto de uma samambaia do tipo Reda Portuguesa jardieiro.et/br/baco/davalia_fejeesis.php,acessado em

4 b) a couve-flor Figura : Foto de uma couve flor files/arquivos/imagem/ ceasaouveflor.jpg, acessado em c) o brócolis Figura : Foto de um brócolis com.br/alfa/brocolis/images/ brocolis-9.jpg, acessado em O termo fractal foi criado por Beoit Madelbrot a década de 70 do século passado e origiou-se do latim: o verbo fragere sigifica quebrar, fraturar, daí o adjetivo fractus (quebrado).

5 Algus fractais podem ser descritos por meio de regras simples, em geral recursivas (iteração), aplicadas ifiitas vezes. Nas primeiras ceas, em que Rafael pede que Júlia observe uma samambaia a busca de exemplificar a auto-semelhaça, é importate chamar a ateção dos aluos para o fato de que em toda samambaia tem essa característica (iclusive a que é apresetada o vídeo). O professor deve-lhes mostrar a samambaia reda portuguesa (Figura ), e evideciar a cea em que esta é apresetada (imagem de computador que mostra a samambaia em braco). Na sequêcia de fotos que Rafael faz do turista com a plata, é possível observar que a imagem da camiseta se modifica, apresetado algumas iterações da costrução de um Triâgulo de Sierpisky. O Triâgulo de Sierpisky é um fractal criado a partir de um triâgulo equilátero, da seguite maeira: divide-se cada lado do triâgulo ao meio, uem-se estes potos médios e forma-se um ovo triâgulo equilátero. A seguir, retira-se o triâgulo cetral de acordo com a Figura. Figura : Iteração 0 e iteração da costrução do Triâgulo de Sierpiski Em seguida, repete-se esse mesmo procedimeto em cada um dos triâgulos restates (Figura 5). Figura 5: Iteração 0, iteração e iteração da costrução do Triâgulo de Sierpiski Descrevemos a seguir algumas atividades que podem ser propostas aos aluos. Objetivos Costruir o Triâgulo de Sierpiski. Compreeder processo de iteração. Calcular o perímetro dos triâgulos obtidos as diversas iterações do Triâgulo de Sierpiski. Calcular a área dos triâgulos obtidos as diversas iterações do Triâgulo de Sierpiski. Coceito de limite (opcioal). 5

6 Sugestões de atividades Após assistir ao vídeo, o professor pode propor atividades que permitam aos aluos refletir, questioar e aprofudar cochecimetos sobre os coteúdos abordados. A seguir apresetamos algumas sugestões. Atividade - Costrução de um Triâgulo de Sierpiski No iício do século XX, o matemático poloês Waclav Sierpiski (88-969) estudou uma figura geométrica que ficou cohecida por Triâgulo de Sierpiski, que se obtém como limite de um processo iterativo. Costrua um Triâgulo de Sierpiski, pelo processo de remoção de triâgulos, a partir das iformações a seguir.. Costrua um triâgulo equilátero.. Em seguida, determie os potos médios de cada um dos lados do triâgulo.. Ligue os potos médios, para obter quatro triâgulos equiláteros meores.. Retire o triâgulo cetral. 5. Cotiue o processo por mais duas vezes, a partir do segudo passo, para os triâgulos restates. Cometários para o professor: Seguido as istruções os aluos vão obter algo semelhate ao da Figura 6. Iteração 0 Iteração Iteração Iteração Figura 6 Primeiras iterações de costrução do Triâgulo de Sierpiski pelo Processo de Remoção de triâgulos Atividade Explorado o Triâgulo de Sierpiski A partir da costrução feita a atividade aterior, preecha o quadro a seguir. Para tato, cosidere que o comprimeto do lado do triâgulo iicial é igual a uidade, lembre-se de que o perímetro é a soma dos lados da figura (utilize represetação fracioária), e de que a progressão deve represetar a expressão do perímetro em forma de potêcia. Iteração Cofiguração Comprimeto do lado Perímetro Progressão I 0 P I I Quadro : Exploração da costrução do Triâgulo de Sierpiski Sugere-se um triâgulo equilátero por motivo estético e de simplicidade, mas poderia ser feito com triâgulo qualquer. É importate chamar a ateção do aluo para o fato de que o Triâgulo de Sierpiski o processo se repete ifiitamete. 6

7 Iteração Cofiguração Comprimeto do lado Perímetro Progressão I I I 5 figura limite Cometários para o professor: O professor deve chamar a ateção dos aluos para o que é solicitado em cada uma das coluas do quadro. A primeira colua diz respeito à iteração. A iteração é processo de repetir uma ou mais ações. Na iteração 0, o triâgulo está a forma origial. Na iteração, processo é iiciado e é feito uma vez. Na iteração, o procedimeto é repetido uma vez, a iteração, o processo é repetido vezes e assim por diate. A seguda colua traz a cofiguração do triâgulo, coforme a iteração idicada. A terceira colua diz respeito ao comprimeto do lado. É de extrema importâcia que o comprimeto do lado seja colocado em forma de fração para que o aluo possa chegar à geeralização (última liha do quadro).. A quarta colua diz respeito ao perímetro da figura costruída por último (de acordo com a iterações). A última colua diz respeito à progressão (expressão do perímetro em forma de potêcia), que auxiliará o aluo a visualizar a fórmula geral (última liha do quadro). A seguir, apresetamos o Quadro preechido. Iteração Cofiguração Comprimeto do lado Perímetro Progressão I 0 P P 0 I I I I I 5 figura limite 8 6 P9. P. P. P. P. + P. P.9. P P Quadro : Exploração da costrução do Triâgulo de Sierpiski preechido 7

8 Na última liha do quadro, os aluos devem chegar à represetação para a -ésima iteração do triâgulo, ou seja, à regra geral para o comprimeto do lado e para o perímetro.do triâgulo. +. P Se os aluos tiverem dificuldades para chegar à fórmula geral, é melhor pedir a eles o perímetro para uma iteração grade, por exemplo, pedir o perímetro a iteração 0, 79, etc. E depois pedir a -ésima. Depois que eles costruirem a fórmula geral, o professor pode cometar como ficaria o perímetro se o úmero de iterações tedesse a ifiito. Para isso, deve-se calcular o seguite limite: + lim P lim. x x Este cálculo pode ser feito separado as potêcias da seguite forma: lim P lim. x x Como >, este limite vai para ifiito, comprovado que o perímetro do Triâgulo de Sierpisky é ifiito. (Para maiores iformações sobre o cálculo do limite lim ( a) ver x o aexo o fial deste guia.) Atividade Cálculo da área do Triâgulo de Sierpiski Calcule a área para cada uma das iterações (para a figura que fica após a retirada dos triâgulos cetrais). Você pode acrescetar uma ova colua o quadro aterior, para registrar a área. Cometários para o professor: Para o cálculo da área do Triâgulo de Sierpisky, pode-se utilizar o mesmo quadro da atividade aterior, só que agora calculado-se a área da região restate (após a retirada dos triâgulos cetrais). Iteração Cofiguração Comprimeto do lado Área de triâgulo hachurado Número de triâgulos hachurados Área total I 0 I I 9 I I I 5 figura limite 5 + Quadro : Exploração da costrução do Triâgulo de Sierpiski com área 8

9 Podemos reescrever a iteração -ésima como:... A Fazedo teder a ifiito, teremos a área tededo a zero, pois (Ver aexo). é meor que. Atividade Cotruido outros fractais Pesquise outros tipos de fractais e calcule seu perímetro. Cometários para o professor: O vídeo abre a oportuidade para se estudar o perímetro de outros fractais, como por exemplo, o carpet de Sierpisky: Figura 7 Iterações de costrução do Carpet de Sierpiski Este fractal é costruído da seguite maeira: divide-se cada lado em três partes iguais: uem-se os potos obtidos e retira-se o retâgulo cetral. Pode-se supor que o quadrado iicial teha dado uidade e proceder de modo aálogo ao do triâgulo. O perímetro também vai teder ao ifiito. Avaliação A avaliação pode ser realizada durate todo o desevolvimeto das atividades, por meio de questioametos e preechimeto dos quadros. O professor pode aproveitar as respostas dos aluos para fazer as iterveções que julgar ecessárias. 5 Sugestões de sítios Os sítios a seguir podem oferecer iteressates motivações para pesquisas:

10 6 Idicações de leituras BARBOSA, Ruy Madse. Descobrido a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Horizote, Autêtica Editora, 00. BENNETT, G. Chaos, sel-similarity, musical phrase ad form. Dispoível em: < computermusic.ch/files/articles/chaos,self-similarity/chaos.html>. Acesso em: Abr 008. FRACTAIS NO ENSINO MÉDIO. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática / Revista do Professor de Matemática, º quadrimestre, 005. RICIERI, Aguialdo Pradii. Fractais e Caos A Matemática de Hoje. São Paulo: Editora Parma Ltda., 990. SANTOS, G. M. A Essêcia dos Fractais. Moografia apresetada ao Curso de Especialização em Educação Matemática da Uiversidade Estadual de Lodria. Lodria, 998. VARANDAS, José. Págia elaborada o âmbito da disciplia de Iterdiscipliaridade ciêcias-matemáticas do curso de Esio de Matemática. Faculdade de Ciêcias Uiversidade de Lisboa: Dispoível em Acesso em: 05.ju.007. BENNETT, G. Chaos, sel-similarity, musical phrase ad form. Dispoível em: < computermusic.ch/files/articles/chaos,self-similarity/chaos.html>. Acesso em: Abr

11 7 Aexo a lim,se a> 0, se a< Demostração: º. Caso: Seja a>. Portato, a pode ser escrito como Assim: a+t, t>0 ( ) a + t + t + t ( ) a + t + t + t + t... a ( + t)... 0 t + t t t a ( + t) + t + t t < + t 0 0 Como a seqüêcia +t tede a ifiito quado tede a ifiito, a seqüêcia a + t + t t que é meor que a aterior, tede a ifiito também. º. Caso: Se, e faz-se a demotração aalogamete. a<, a >

12 Realização: Codigital