Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT/SBM. Cálculo no Ensino Médio: área sob o gráfico de uma curva

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1 Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal - PROFMAT/SBM Cálculo o Esio Médio: área sob o gráfico de uma curva Fábio Luís Orietador: Marcelo Viaa - IMPA Coorietador: Victor Giraldo - UFRJ IMPA - 213

2 ... Em Matemática, o difícil é um somatório de várias coisas que ão são difíceis.. (Professor Marcelo Viaa, em uma de suas aulas o PROFMAT)

3 Agradecimetos: Um agradecimeto mais que especial ao professor Elo Lages Lima, pela implemetação de programas de idiscutível relevâcia para melhoria do esio de Matemática o Brasil como o PAPMEM e o PROFMAT. Aos professores Marcelo Viaa e Victor Giraldo pela oportuidade, pela cofiaça, pela dispoibilidade, pelas orietações e pelo icetivo depositado para realização deste trabalho. Aos amigos professores coautores: Nascimeto e Orlado Silva Jr. Luiz Amorim, Bruo Viaa, Dailo Aos professores Eduardo Dias Correa e Demetrius Melo de Souza pelas coversas das quais pude extrair ideias para composição deste trabalho. À todos os colegas da Turma PROFMAT IMPA-211, em especial à Armada Salgado (ossa etera represetate) e ao Josimar Silva, por quem miha admiração se faz cada dia maior.

4 Dedicatória... À Naza, miha mãe, e ao Severio, meu pai, por quem teho a mais profuda gratidão. Nuca desistiram, sempre acreditaram. Os meus professores de vida. À Adriaa, miha esposa, sempre ao meu lado, me apoiado em tudo.

5 Resumo A grade preocupação com os altos ídices de reprovação a disciplia Cálculo Diferecial e Itegral as Istituições Superiores os fazem refletir sobre os vários problemas ecotrados o esio de Matemática o Brasil. Cada vez mais trabalhos abordado o tema surgem, com a missão de apotar tais problemas e as possibilidades de solução. Um movimeto crescete de pesquisadores idicam a iserção dos coceitos de Cálculo o Esio Médio como uma das saídas para o problema. Por essa motivação abordamos o tópico Itegral como sedo um coceito pleamete possível de ser aplicado, maipulado, assimilado e etedido pelos estudates o Esio Médio. Seu sigificado é apresetado e o estudate é covidado a cohecer a simbologia de uma ferrameta que resolve o problema de ecotrar a área sob o gráfico de uma curva. Cotamos com ferrametas tecológicas cada vez mais acessíveis que podem e devem ser usadas para ajudar a fixação dos coceitos e, quado possível, a comprovação de resultados. Palavras-Chave: Itegral, Área sob o Gráfico, Soma de Riema e Cálculo.

6 Ídice I Itrodução Geral 8 II Itrodução 1 III Maual do Professor 12 1 Recomedações ao Professor: Objetivo: Público Alvo: Pré-requisitos: Descrição da Atividade: Recursos Necessários: Atividade Versão do Professor 14 3 Atividade Versão do Professor 2 4 Atividade Versão do Professor Leitura: A Itegral Defiida Atividade Versão do Professor 28 IV Plailha Para o Cálculo de Si e de Ss 32 V Si e Ss com o GeoGebra 34 VI Soma de Quadrados 37 VII Cosiderações Fiais 39 VIII Apêdice 4 6 Atividade Atividade Atividade Leitura: A Itegral Defiida

7 9 Atividade Bibliografia 58 7

8 Capítulo I Itrodução Geral A Educação Básica brasileira vem sofredo mudaças ao logo do tempo. Muitas dessas mudaças foram desecadeadas por políticas públicas que priorizam o desevolvimeto social, cultural e tecológico brasileiro. A criação do Parâmetro Curricular Nacioal regulametado em pela Lei de Diretrizes e Bases (LDB), serviu para uificar o esio em todo país, respeitado as difereças culturais e sociais de cada Estado. Porém, apesar de as mudaças serem em diversos âmbitos, ão se discutia uma ova reformulação dos compoetes curriculares de matemática ao fim do Esio Básico, mais precisamete o Esio Médio. Segudo o artigo 22 da LDB, a seguir Art 22. A educação básica tem por fialidade desevolver o e- ducado, assegurar-lhe a formação comum idispesável para o e- xercício da cidadaia e forecer-lhe meios para progredir o trabalho e em estudos posteriores. É fudametal que o Esio Médio realmete faça a pote etre o Esio Fudametal e o Esio Superior, oferecedo aos discetes, um embasameto real e fidedigo aos compoetes curriculares da maioria dos Cursos Superiores. É fato que a falta do esio de Cálculo Diferecial e Itegral o Esio Médio deixa uma lacua eorme para a maioria dos futuros graduados, pois praticamete 5% deles terão alguma disciplia referete ao estudo dos limites, das derivadas e da itegral. Afirmamos isso, baseados em um pequeo estudo realizado por este autor, que coferiu dois documetos sobre as codições de acesso à Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro em Foram aalizados o quadro de vagas oferecidas e a grade curricular de cada curso dispoibilizado pela UFRJ em Com isso costatamos que: das vagas oferecidas pela UFRJ 2 366, destiam-se a turmas que terão Cálculo Diferecial e Itegral o decorrer do curso das 15 turmas previstas 53 delas terão aulas de Cálculo Diferecial e Itegral o decorrer do curso Seguem os gráficos abaixo: 8

9 Dados obitdos em: LINK: Grades Curriculares e LINK: Edital 225 SiSu 1 A ossa proposta ão é iserir Cálculo Diferecial e Itegral o Esio Médio em sua completude e sim ambietar ossos estudates a iteragirem de modo diâmico com ideias que têm o ituito de desevolver aptidões para uma melhor compreesão dos coceitos abordados o estudo dos limites, derivadas e itegral. Propomos um estudo livre de formalizações e muito mais prático, algo que fuja das técicas e priorize a reflexão dos coceitos por parte dos aluos, familiarizado-os com ovas simbologias, e que desperte a curiosidade as iúmeras aplicações dessa disciplia. Foi com base esses objetivos que elaboramos um projeto que vem ao ecotro da atual situação político-ecoômica do osso país, em que a carêcia de profissioais a área de exatas, faz com que importemos cohecimeto cietífico ao ivés de produzirmos. Esperamos que este estudo cotribua as discussões do Programa Esio Médio Iovador (ProEMI), istituído pelo MEC através da Portaria o 971, de 9 de outubro de 2 9, e que itegra as ações do Plao de Desevolvimeto da Educação PDE, como estratégia do govero federal para iduzir a reestruturação dos currículos do Esio Médio. Maiores iformações, podem ser obtidas através do: LINK: ProEMI 2 1 Acesso em: 11 de fev Acesso em: 11 de fev

10 Capítulo II Itrodução No Brasil, já há algum tempo se discute o regresso do esio do Cálculo Diferecial e Itegral o Esio Médio. Devido a iegável importâcia dessa Disciplia as mais diversas áreas do cohecimeto, esses movimetos gaham cada vez mais força, amparados pelas mais diversas razões, sedo possivelmete a pricipal delas o fracasso dos estudates de Cálculo os aos iiciais de cursos superiores. E a preocupação com o histórico baixo ídice de aprovação a Disciplia é pertiete. Vários estudos e trabalhos vem sedo publicados esse setido, revelado a grade preocupação iserida o tema. Etretato, o Esio Básico esses movimetos ão produzem eco, por diversas razões: a ecessidade de resultados os vestibulares e o ENEM (Exame Nacioal do Esio Médio) pricipalmete as escolas particulares, e como Cálculo ão faz parte dos coteúdos cobrados os vestibulares de quase a totalidade das Istituições Superiores o Brasil, ão precisa ser esiado; o cumprimeto de um programa exteso e muitas vezes presos ao excesso de regras e mecaismos de cálculos sem sigificado prático, algumas vezes sem sigificado algum; mas talvez a pricipal delas seja justamete o temor que o Cálculo Diferecial e Itegral traz cosigo, eraizada os pesametos de muitos professores de Matemática do Esio Básico. Abre-se etão o embate de iteresses (ou da falta de iteresses); esiar ou ão esiar Cálculo o Esio Médio? Para defeder o Cálculo o Esio Médio fomos buscar ode tópicos de Cálculo Diferecial e Itegral se ecotram (ou poderiam ser ecotrados) em coteúdos aplicados o Esio Médio, e ecotramos. Sem os aprofudar em demostrações e em teoremas, é possível pescar em coteúdos esiados a Escola Básica as ideias de ifiitésimo e de cotiuidade, pilares do Cálculo. Buscamos este trabalho iserir a ideia por traz do cálculo da Itegral Defiida usado áreas e o gráfico de uma fução, coteúdos já presetes o Esio Médio, tedo como motivação iicial a Ciemática, também presete os coteúdos de Física. Para calcular uma Itegral, determiamos a área etre o gráfico da curva de uma fução f, ão egativa, e o eixo horizotal um itervalo [ a ; b ], repartido essa região em pequeos retâgulos com a mesma altura da curva da fução, e somado as áreas de todos esses retâgulos obtidos; quado a quatidade de retâgulos tede a ifiito, o comprimeto das bases tede a zero e o somatório das áreas desses retâgulos coverge para um valor, que é a Itegral Defiida da Fução f o itervalo [ a ; b ]. Para que o resultado seja o esperado, precisaremos de muitos retâgulos e 1

11 o processo tora-se peoso. Para isso cotaremos com a ajuda de Plailhas Eletrôicas, que os darão valores cada vez mais próximo do desejado. Não há porque ão utilizar ferrametas computacioais em sala de aula. Tecologias fazem parte do osso cotidiao há muito tempo, e usar essas ferrametas as aulas tora o apredizado prazeroso e diâmico. Para uma melhor visalização dos resultados, podemos também utilizar softwares de Geometria Diâmica. Neste trabalho, usamos o GeoGebra. Mesmo assim, com a ajuda dos programas computacioais e aalisado os resultados obtidos, percebemos que esses resultados apeas se aproximam de um úmero, que represeta a área da região desejada. Mas aida é uma aproximação. Para termos certeza do resultado, teremos que pedir ajuda a uma ferrameta mais poderosas a Matemática: a Álgebra. Ela os dará o resultado esperado, e ão só as aproximações obtidas com os softwares se cofirmarão, como um resultado surpreedete será revelado: uma fórmula para calcular a área desejada. A partir da fórmula obtida, podemos abrir mão dos recursos computacioais e trabalhar esses resultados em outras fuções poliomiais, ão egativas os itervalo cosiderados. O mecaismo de cálculo de uma Itegral Defiida para fuções poliomiais é extremamete acessível aos aluos do Esio Médio, com a eorme vatagem de ter um sigificado: a obteção da área sob a curva do gráfico daquela fução. A simbologia usada ão é complicada e abrem-se as portas para que, o Esio Superior, esse simbolismo ão seja uma ovidade e pricipalmete, teha sigificado. Em ehum mometo deste trabalho usou-se a Derivada como suporte para defiir a Itegral, como usualmete é feito os cursos de Cálculo. Não é essa a proposta. Não recorremos aos teoremas, em às demostrações, embora sejam importatíssimos para a validação dos resultados. Julgamos ão ser o mometo para isso, esse ível de Esio. O que se quer é apresetar a simbologia, o mecaismo de cálculo, o sigificado e exemplos de aplicações da Itegral, plausíveis ao Esio Médio. 11

12 Capítulo III Maual do Professor 1 Recomedações ao Professor: Prezado colega professor, o material a seguir é parte compoete do trabalho desevolvido com o ituito de resgatar a disciplia Cálculo Diferecial e Itegral o Esio Médio. As quatro atividades propostas visam criar um campo propício para apresetação do símbolo da Itegral, a maipulação desse símbolo e pricipalmete, o que o seu resultado represeta: a área sob o gráfico de uma fução ão egativa o itervalo defiido. As atividades propostas seguem o seguite roteiro: a Atividade 1, a partir da resposta do problema desejamos obter, através de outro processo, aproximações que os coduzam a essa resposta. Em seguida, a Atividade 2, realizamos o camiho iverso: obter por aproximações, uma estimativa da resposta do problema e buscar por outra ferrameta, a Álgebra, uma cofirmação do resultado ecotrado. Ampliaremos o método de obteção desse resultado a Atividade 3, fazedo surgir esse mometo a simbologia e o sigificado da Itegral. Seu mecaismo de cálculo e exemplos de aplicações serão expostas logo a seguir, a Atividade 4. É importate a leitura ateta e atecipada da aplicação das Atividades. Na versão do professor, foram colocadas as respostas, passos de resolução e cometários a margem da folha para melhor orietá-lo a codução dos trabalhos. Suportes computacioais foram dispoibilizados e podem ser baixados diretamete o computador: Plailhas para cálculo das aproximações e um arquivo em GeoGebra para visualização diâmica do que está sedo calculado. Caso em sua avaliação seja iteressate costruir essas ferrametas juto com seus aluos, os passos estão descritos o capítulos IV e V. Ciemática está presete como ferrameta motivadora. Abre-se a possibilidade para um trabalho iterdiscipliar com Física, ode Cálculo pode cotribuir de maeira sigificativa. A oção de Limite deve estar bem fudametada juto aos aluos. Por isso, fazemos referêcia frequete à [7] e à [11]. Importate ressaltar que em ehum mometo usamos a Derivada para justificar os resultados obtidos com a Itegral. A proposta é apresetar a simbologia, o mecaismo e o sigificado da Itegral, proveiete de um Limite. Abre-se assim a possibilidade de justificar resultados futuros com essa outra importate ferrameta do Cálculo. 12

13 1.1 Objetivo: Apresetar a simbologia da Itegral Defiida de uma fução ão egativa f o itervalo [ a ; b ], recohecedo que ela represeta a área sob o gráfico dessa fução f o itervalo cosiderado. 1.2 Público Alvo: A partir da 1 a série do Esio Médio. 1.3 Pré-requisitos: Cálculo de Áreas de Figuras Plaas, Costrução de Gráficos de Fuções Afim e Quadrática, Progressões Aritméticas e Série de Potêcias, Cálculo de Limites, Ciemática - Movimeto Uiforme e Movimeto Uiformemete Variado. 1.4 Descrição da Atividade: As atividades propostas foram divididas em quatro aulas de dois tempos de 4 à 5 miutos cada aula. 1.5 Recursos Necessários: Calculadoras, Computadores com Iteret, Plailha Eletrôica e GeoGebra istalados. 13

14 2 Atividade Versão do Professor Vamos cosiderar um móvel com velocidade costate v = 5m/s. Desejamos determiar o deslocameto desse móvel o itervalo de t = 3s a t 1 = 7s. Solução: Como a velocidade do móvel é costate, temos que a velocidade média é a própria velocidade do movimeto. Neste caso temos que: v = s t Como queremos o deslocameto, reorgaizamos a fórmula: s = t v Substituido os dados forecidos, temos: s = (7 3) 5 s = 4 5 s = 2m. Resposta: o deslocameto do móvel foi de 2 metros. Um fato que ão podemos deixar passar desapercebido ocorre quado obtemos a relação s = t v. Observado o gráfico velocidade x tempo, temos que o deslocameto do móvel o itervalo cosiderado correspode umericamete à área da região limitada pelo itervalo sob o gráfico da fução. Assim, temos que s = Área. 14

15 Cosidere um objeto movedo-se em liha reta o qual sua velocidade, em m/s, é descrita pela relação: v = t + 1. Vamos determiar o deslocameto do objeto o itervalo que vai de t = s até t 1 = 1s. No movimeto uiformememte variado (cohecido pela sigla M.U.V.), a expressão da velocidade v em relação ao tempo t é dada por v = v + a t, ode v é a velocidade iicial do móvel e a é a aceleração. 1a) Comparado v = t + 1 com v = v + a t, determie v e a. Resposta: v = 1m/s e a = 1m/s 2. No M.U.V., a expressão da posição s do móvel em relação ao tempo t é dada por s = s +v t+ a t2 2, ode s é a posição do móvel o iício do deslocameto. 1b) Determie a expressão da posição s do objeto. Resposta: Substituido os valores ecotrados, temos: s = s + t + t2 2. O deslocameto s é dado por s = s s. 1c) Determie o deslocameto s do objeto em fução do tempo t. Resposta: Subtraido s os dois membros da equação da posição s, temos: s = t + t2 2. 1d) Calcule o deslocameto s do objeto o itervalo de tempo que varia de t = s até t 1 = 1s. Resposta: De t = s até t 1 = 1s, o tempo t de deslocameto do objeto é de 1s. Aplicado t = 1 a expressão obtida o item aterior, temos: s = t + t2 2 s = s = 1, 5m Logo, o objeto se deslocou 1,5 metros. 15

16 Vamos agora resolver o problema da págia aterior com uma outra abordagem. Cosidere a fução f defiida por f(x) = x + 1 o itervalo [ ; 1 ] represetada a figura abaixo. 1e) Determie a área da região S, abaixo do segmeto e acima do eixo horizotal, compreedida o itervalo cosiderado. Professor, este exercício é itrodutório e de fácil resolução. Servirá para que tehamos um resultado que será usado as Atividades seguites. Alerte seus aluos a compararem os resultados da págia aterior com o obtido aqui. Resposta: A área da região S vale 1,5. 1f) Este resultado é umericamete igual ao deslocameto do objeto do problema da págia aterior? Sim. 16

17 Vamos aproveitar o resultado obtido para a área o gráfico aterior e apreder outro processo para obteção de áreas. 1g) Cosidere o itervalo [ ; 1 ] dividido em 5 subitervalos de mesmo comprimeto. Na figura abaixo, tem-se 5 faixas retagulares, cujas bases têm comprimeto 1 5 e alturas iguais à imagem da fução f o iício de cada subitervalo (faixas iferiores). Complete o quadro: Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área i1,,2,2 1,,2 i2,2,4,2 1,2,24 i3,4,6,2 1,4,28 i4,6,8,2 1,6,32 i5,8 1,,2 1,8,36 Determie a soma das áreas das faixas iferiores. Resposta:,2 +,24 +,28 +,32 +,36 = 1,4. Para completar a colua ALTURA, basta aplicar o valor iicial de cada faixa em f(x) = x + 1. Efatize que o resultado ecotrado é meor que o obtido a Atividade 1e. 17

18 1h) Cosidere agora o itervalo [ ; 1 ] dividido ovamete em 5 subitervalos de mesmo comprimeto. Na figura abaixo, tem-se 5 faixas retagulares, cujas bases têm comprimeto 1 5 e alturas iguais à imagem da fução f o fial de cada subitervalo (faixas superiores). Complete o quadro: Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área s1,,2,2 1,2,24 s2,2,4,2 1,4,28 s3,4,6,2 1,6,32 s4,6,8,2 1,8,36 s5,8 1,,2 2,,4 Determie a soma das áreas das faixas superiores. Resposta:,24 +,28 +,32 +,36 +,4 = 1,6. ATENÇÃO: a colua ALTURA agora deve ser completada aplicado o valor fial de cada faixa em f(x) = x + 1. O resultado agora supera o obtido em 1e. 18

19 A área da região S está compreedida etre as somas das áreas das faixas iferiores (deotaremos do Si) e as somas das áreas das faixas superiores (deotaremos do Ss). Dividido o itervalo [, 1 ] em mais faixas, a tedêcia é de que Si e Ss se aproximem cada vez mais do valor da área S. Vamos dividir o itervalo em mais faixas e calcular essas áreas. Só que agora usado uma plailha eletrôica. 1i) Usado a plailha dispoível em TABELA 1, determie Si e Ss para o úmero de faixas cosiderado em cada caso: 28 faixas 34 faixas 1 faixas faixas Si= 1, , ,4995 1,49986 Ss= 1, ,5147 1,55 1,514 No capítulo IV há um pequeo maual de costrução da Plailha 1j) Coforme o úmero de faixas vai aumetado, o que acotece com os valores obtidos para Si? Resposta: Ficam cada vez maiores. 1k) E o que acotece com os valores obtidos para Ss? Resposta: Ficam cada vez meores. 1l) Podemos afirmar que, coforme o úmero de faixas aumeta, os valores de Si e de Ss covergem para um mesmo valor limite? Resposta: Sim. 1m) E qual é esse valor limite? Resposta: 1,5. 1) Esse valor limite é o mesmo resultado ecotrado o item 1e? Resposta: Sim. Iteressates atividades e discussões sobre covergêcia podem ser ecotradas em [7] e em [11]. 19

20 3 Atividade Versão do Professor Cosidere a fução f defiida por f(x) = x 2 o itervalo [ ; 1 ] represetada a figura abaixo (faixa de parábola). Determiar a área da região compreedida etre a faixa de parábola e o eixo horizotal Ox. Diferetemete da atividade aterior, agora ão temos uma fórmula para o cálculo da área dessa região. Iremos estimar o resultado usado aproximações cada vez melhores por retâgulos. 2a) Cosidere o itervalo [ ; 1 ] do domíio da fução f dividido em 5 faixas de mesmo comprimeto. Complete os quadros abaixo, determiado em cada caso os valores de Si e de Ss: Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área i1,2,2,, i2,2,4,2,4,8 i3,4,6,2,16,32 i4,6,8,2,36,72 i5,8 1,,2,64,128 O valor de Si é:, +,8 +,32 +,72 +,128 =,24. Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área s1,2,2,4,8 s2,2,4,2,16,32 s3,4,6,2,36,72 s4,6,8,2,64,128 s5,8 1,,2 1,,2 O valor de Ss é:,8 +,32 +,72 +,128 +,2 =,44. Chame ateção dos aluos para o cuidado o preechimeto da colua ALTURA em ambos os casos. Comete sobre o fato de que este exemplo, os valores de Si e de Ss estão muito distates e que serão ecessárias mais subdivisões para uma melhor aproximação. 2

21 2b) Com o auxílio de uma plailha eletrôica dispoível em TABELA 2, determie Si e Ss para o úmero de faixas cosiderado em cada caso: 28 faixas 34 faixas 1 faixas faixas Si=,31569,33186,33283,33319 Ss=,3514,33481,33383, c) Para qual valor a área da região S está covergido este caso? Resposta:, A Atividade 2 os mostra que é possível estimar a área de uma região curva com a precisão que desejarmos. Estamos usado a ideia básica de obter essa área através de retâgulos, cujo cálculo da área é simples. Na fução f dada por f(x) = x 2, o itervalo [ ; 1 ] do domíio foi subdividido em faixas, que formarão as bases dos retâgulos. O comprimeto da base de cada retâgulo (tato iferior quato superior) será igual a 1. Já a altura de cada retâgulo será a imagem da fução o valor iicial (para retâgulos iferiores) ou fial (para retâgulos superiores) de cada faixa. A área A da região procurada ficará compreedida etre a soma das áreas dos retâgulos iferiores Si e a soma das áreas dos retâgulos superiores Ss. Teremos etão que: Si < A < Ss Como Si = i 1 + i 2 + i i (soma das áreas dos retâgulos iferiores) e Ss = s 1 + s 2 + s s (soma das áreas dos retâgulos iferiores), obtemos: i 1 + i 2 + i i < A < s 1 + s 2 + s s A área de cada retâgulo é o produto da base pela respectiva altura. Etão: A partir daqui usaremos a Álgebra para obter o resultado correto. Faça uma exposição dos passos, é importate que cada passo seja explicado com calma. Covoque os aluos à participação, essa troca é fudametal. 1 ( ) ( ) ( 1 ) 2 < A < 1 21 ( ) ( ) ( ) 2

22 ( 1) < A < Colocado o fator 1 em evidêcia, temos: 3 1 [ ( 1) 2] < A < 1 3 [ ] Detro de cada colchete acima temos a soma de potêcias de expoete 2. Essas expressões podem ser reescritas usado a otação de somatório: k 2 < A < 1 3 k= Usado os fatos de que ( 1) 2 = e que k=1 k 2 É uma oportuidade iteressate para apresetar o símbolo de somatório = , obtemos a seguite desigualdade: No Capítulo VI [ 1 1 há a demostração para esse ] 6 < A < 1 [ ] 6 Multiplicado o fator 1 3, temos: }{{ 6 2 < A < 1 } }{{ 6 2 } Si Ss Note que quato maior for a quatidade de retâgulos, tato iferiores quato superiores, maior será o valor de. A soma das áreas Si irá crescer se aproximado cada vez mais do valor da área A e a soma das áreas Ss irá decrescer se aproximado também cada vez mais do valor da área A. 2d) Calcule os limites de Si e de Ss para tededo ao ifiito: ( 1 lim lim ( ) = 1 3 ) = 1 3 2e) Neste caso, coforme tede a ifiito, para qual valor a área A está covergido? 2f) Resposta: 1 3. É o mesmo resultado obtido o item 2c? Resposta: Sim. 22 resultado. julgue apresete-o aluos. Atividades evolvedo Caso ecessário, aos Limites o Esio Médio podem ser ecotradas em [7] [11]. Para a atividade 2e, dispoibilizamos um arquivo em GeoGebra que ajudará a assimilação resultados. prefira dos Caso costruir o arquivo juto com seus aluos, os passos estão dispoiveis o Capítulo V. Para acessar o arquivo, clique AQUI

23 4 Atividade Versão do Professor Cosidere a fução f defiida por f(x) = x 2 o itervalo [ ; b ]. Determie a área A da região compreedida etre o gráfico de f e o eixo horizotal, o itervalo [ ; b ]. 3a) Dividido [ ; b ] em itervalos, qual o comprimeto de cada subitervalo (partição)? Atete para a mudaça o itervalo de defiição da fução. Resposta:. b A sequêcia x =, x 1 = b, x 2 = 2b, x 3 = 3b,..., x 1 = x = b = b represeta os potos de subdivisão do itervalo. ( 1)b, 3b) Complete o quadro abaixo, determiado a altura, e a área de cada retâgulo iferior. x Altura dos Retâgulos Iferiores Área dos Retâgulos Iferiores A altura de cada retâgulo é calculada através da imagem do valor iicial de cada partição a fução y = x 2. b 2b 3b 4b ( ) 2 ( ) 2 b b b = b3 3 ( ) 2 ( ) 2 2b b 2b = 22 b 3 3 ( ) 2 ( ) 2 3b b 3b = 32 b 3 3 ( ) 2 ( ) 2 4b b 4b = 42 b ( 1)b ( ( 1)b ) 2 b ( ) 2 ( 1)b = ( 1)2 b 3 3c) Determie a expressão da soma das áreas dos retâgulos iferiores: Si = + b b b b ( 1)2 b

24 3d) Coloque o fator b3 em evidêcia e reescreva a expressão: 3 Si = b3 3 ( ( 1) 2) 3e) Use o fato de que ( 1) 2 = e aplique-o a expressão obtida do item 3d: ( Si = b ) 6 b33 b3 = 2 + b3 6 2 A área A da região é maior que Si. Etretato, quato maior for o úmero de partições ( tededo ao ifiito) melhor será a aproximação da área desejada. 3f) Determie o limite de Si quado tede a ifiito: ( ) b 3 A = lim Si = lim 3 b3 2 + b3 6 2 = b3 3. 3g) Complete o quadro abaixo, determiado a altura, e a área de cada retâgulo superior. Lembrado agora que o quadro, a altura de cada retâgulo é calculada através da imagem do valor fial de cada partição a fução y = x 2. x Altura dos Retâgulos Superiores Área dos Retâgulos Superiores b 2b 3b 4b ( ) 2 ( ) 2 b b b = b3 3 ( ) 2 ( ) 2 2b b 2b = 22 b 3 3 ( ) 2 ( ) 2 3b b 3b = 32 b 3 3 ( ) 2 ( ) 2 4b b 4b = 42 b 3 3 ( ) 2 ( ) 2 5b b 5b = 52 b ( 1)b ( ) 2 b = b 2 b ( ) 2 b = 2 b

25 3h) Determie a expressão da soma das áreas dos retâgulos superiores: Ss = b b b b i) Coloque o fator b3 em evidêcia e reescreva a expressão: 3 Ss = b3 3 ( ). 3j) Use o fato de que = e aplique-o a expressão obtida do item 3i: ( Si = b ) 6 b33 b3 = b k) Determie o limite de Ss quado tede a ifiito: ( ) b 3 A = lim Ss = lim 3 b3 2 + b3 6 2 = b3 3. 3l) Observado os resultados obtidos os ites 3f e 3k, a área A da região compreedida etre o gráfico da fução f dada por f(x) = x 2 o itervalo [ ; b ] e o eixo horizotal é dada por: A = b3 3. Mostre que o A área A da região é meor que Ss. Etretato, quato maior for o úmero de partições ( tededo ao ifiito) melhor será a aproximação da área desejada. resultado ecotrado a Atividade 2e é verificado para o caso particular quato b = 1. 25

26 4.1 Leitura: A Itegral Defiida O cálculo da área de uma região curva ão é tão imediato de ser obtido. Etretato, a Atividade 2 os mostra que podemos estimar a área com qualquer precisão desejada usado a ideia básica de costruir retâgulos cuja soma total das áreas seja bem próximada área da região desejada (usamos para isso o auxílio de uma plailha eletrôica). A Atividade 3 os mostra que é possível obter o valor limite dessa soma, que correspode à área da região. Seja f uma fução ão egativa e cotíua o itervalo [ ; b ]. Ao dividirmos o itervalo em subitervalos de mesmo comprimeto ( iteiro positivo), teremos partições. Cada partição será a base de um retâgulo e vamos chamar de x o comprimeto dessa base. Tomado em cada partição um poto x k, teremos a altura f(x k ) de um retâgulo cuja área a k = f(x k ) }{{}}{{} x fica compreedida etre as áreas de i k Altura Base e s k (retâgulos iferior e superior, respectivamete, da partição cosiderada). Sedo x 1 = e x = b, a soma das áreas dos retâgulos será dada por: S() = f(x 1 ) x + f(x 2 ) x + f(x 3 ) x + + f(x 1 ) x + f(x ) x S() = [f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) + + f(x 1 ) + f(x )] x S() = f(x k ) x k=1 Esta soma é chamada de Soma de Riema 3 e os forece uma aproximação para a área sob a curva f(x), de x = até x = b, para f ão egativa e cotíua em [ ; b ]. Quado o úmero de subitervalos tede a ifiito, o comprimeto x de cada partição tede a e a Soma de Riema tede para um valor correspodete à área sob a curva (etre a curva e o eixo x) o itervalo delimitado. Assim, a área etre a curva e o eixo x, de x = até x = b, de uma fução f ão egativa e cotíua o itervalo [ ; b ], é defiida por: A = lim S() = k=1 f(x k ) x Essa área é deomiada Itegral Defiida e represetamos simbolicamete por:. A = f(x) dx 3 Berhard Riema, matemático alemão que viveu o século XIX. 26

27 Esta otação foi itroduzida por Leibiz 4. O símbolo é deomiado Sial de Itegral e ada mais é do que a letra S alogada (e a letra S idicaria que a Itegral é um limite de somas) e o símbolo dx substitui x para idicar que x tede a zero. Mas, se em vez do itervalo [ ; b ], cosiderarmos o itervalo [ a ; b ], como calcularíamos essa área? Observe as figuras: A primeira figura represeta a área o itervalo [ ; b ], ou melhor, f(x) dx. Como queremos a área A defiida o itervalo [ a ; b ] (coforme idica a seguda figura), devemos retirar a área A, que está defiida o itervalo [ ; a ]. Mas A = a f(x) dx. Logo: A = f(x) dx a f(x) dx Deotado a Itegral da fução f defiida o itervalo [ a ; b ] por temos: a f(x) dx, a f(x) dx = f(x) dx a f(x) dx Usado o resultado obtido a Atividade 3, item l, temos que a área A da região compreedida etre o gráfico da fução f dada por f(x) = x 2 o itervalo [ a ; b ] e o eixo horizotal será dada por: A = a A = x 2 dx = a x 2 dx a x 2 dx = b3 3 a3 3 x 2 dx 4 Gottfried Leibiz, matemático e filósofo alemão que viveu o século XVII. 27

28 5 Atividade Versão do Professor Usado o resultado: 4a) 1 x 2 dx = = 1 3 a x 2 dx = b3 3 a3, calcule as seguites itegrais: 3 4b) 4c) 4d) 4e) x 2 dx = = 39 x 2 dx = = x 2 dx = 53 3 ( 3)3 = x 2 dx = 3 3 ( 1)3 = Até aqui, calculamos a Itegral da fução y = x 2. Vamos aumetar o osso campo de possibilidades, calculado a Itegral uma fução a forma y = x p, ode p é diferete de 1, como por exemplo: y = x, y = x 3, y = x 8, y = x 1/2,... A Itegral Defiida para a fução ão egativa f o itervalo [ a ; b ] dada por f(x) = x p é: 4f) 4g) 4h) 4i) 4j) Cotiue calculado: x dx = = 18 x dx = = 8 x 3 dx = = x 3 dx = = 156 x 4 dx = 45 5 ( 1)5 = 25 5 a x p dx = bp+1 p + 1 ap+1 p Aqui expadimos o osso resultado para o cálculo da Itegral. Não apresetaremos a demostração para esse resultado mas, caso julgue ecessário, costrua o gráfico das fuções dos ites 4f e 4g, calculado a área da região cosiderada e utilize as ferrametas da Plailha e do Excel em 4h, 4i e 4j, para determiar aproximações da área da região pedida, comparado sempre com o resultado obtido quado aplicamos a fórmula da Itegral.

29 Propriedades operatórias da Itegral: P1) Para uma fução costate: a k dx = k(b a) P2) Para uma costate multiplicado uma fução: k f(x) dx = k a a f(x) dx P3) Para adição/subtração de fuções: [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± a a a g(x) dx 4k) 4l) 4m) 4) 4o) 4p) Cotiue calculado: dx = 5(6 2) = 2 3 dx = 3(1 4) = 18 3x dx = 3 2x 3 dx = 2 (x+1) dx = ( ) ( ) 7 2 x dx = = 3 = (6x 2 +2x) dx = 6 ( ) ( ) 3 4 x dx = = 2 = x dx x 2 dx + 2 [ dx = ] + [1(1 )] = = 3 2 Essas visam maipular mecaismo atividades apeas o de cálculo da Itegral. Chame a ateção que o item 4o é a mesma fução da Atividade 1, e que o resultado é o mesmo. [ ] [ ] 3 3 x dx = = = 6 2 4q) Um móvel parte do repouso e durate t = 15s descreve uma trajetória retilíea, a qual sua velocidade, em metros por segudo, é regida pela equação v(t) = t 2. Determie o deslocameto desse móvel. O deslocameto do móvel é umericamete igual à área sob o gráfico da fução. Aplicado a Itegral, temos: A = v(t) dt = t 2 dt = = = 1125 Logo, o deslocameto do móvel foi de metros. 29

30 4r) Uma iteressate questão do Vestibular da UFRJ do ao de 29. Um móvel parte do repouso e descreve uma trajetória retilíea durate um itervalo de tempo de 5s, com a aceleração idicada o gráfico a seguir. a) Faça um gráfico da velocidade do móvel o itervalo de até 5s. De acordo com o gráfico dado para a aceleração, o movimeto é uiformemete variado o itervalo de a 2s com aceleração 2, m/s 2. Como o móvel começa o movimeto com velocidade ula, sua velocidade o istate 2s é 2m/s 2 2s, ou seja, 4m/s. Desse istate até 5s, de acordo com o gráfico, o movimeto é uiformemete variado com aceleração de 1, m/s 2, de modo que sua velocidade o istate 5s é (4m/s) (1, m/s 2 ) (5s 2s), ou seja, 1m/s. Com esses dados, obtemos o seguite gráfico: b) Calcule a distâcia percorrida pelo móvel esse itervalo. A distâcia em metros percorrida pelo móvel o itervalo de a 5s é umericamete igual à área sob o gráfico da velocidade etre esses istates. Vamos usar Itegral para calcular a área. Neste caso, devemos ates determiar a lei de associação fução: para o itervalo s até 2s: f 1 (t) = 2t para o itervalo 2s até 5s: f 2 (t) = t + 6 Aplicado a Itegral essas fuções os itervalos dados, temos: 75 A 1 = A 2 = [ ] 2 2 2t dt = 2 t dt = = = [ 5 2 ( t+6) dt = t dt+ 6 dt = 2 A = A 1 + A 2 = = 115 Logo, a distâcia percorrida, em metros, é igual a Neste ] +[6(5 2)] = procuramos exemplo, atacar o problema usado a ferrameta de Itegral. Aida que o resultado possa ser obtido usado área de figuras plaas, é oportuo apresetar solução a usado Itegral e mostrar que, idiferete do camiho adotado, os resultado fial é o mesmo. Efatize que a aplicação da Itegral idepete do ome dado à variável. Nas atividades usamos x, já aqui e em 4q, a variável é t. 3

31 4s) A etrada de uma livraria em um shoppig é um arco de parábola, cuja altura máxima mede 3, m, e os potos A e B, situados a base do arco, distam 4, m um do outro. As bases das portas de vidro da etrada da loja medem 1, m cada uma. Determie a área de cada porta de vidro. Iicialmete, temos que determiar uma fução quadrática que descreve a parábola da figura. Para isso, colocamos um sistema de eixos cartesiaos coveietes, como a figura abaixo: Existem outras possibilidades de escolha para posição dos eixos cartesiaos. Etretato, para o cálculo da área é coveiete que o eixo horizotal coteha os potos A e B. Nesse sistema, a parábola passa pelos potos (; ), (2; 3) e (4; ), e a fução é dada por f(x) = 3x2 + 3x para x 4. A área de uma das portas pode 4 ser calculada pela Itegral da fução o itervalo [ 1 ; 2 ]. A = 2 1 ) ( 3x x dx 2 2 A = 3 x 2 dx + 3 x dx A = 3 [ ] [ ] A = 2, 75 Observe que, esse sitema de eixos escolhido, poderíamos também tomar o itervalo [ 2 ; 3 ] para o cálculo da área de uma das portas, obtedo o mesmo resultado. Comete com os aluos sobre essa possibilidade. Logo, a área de cada porta é igual a 2, 75m 2. 31

32 Capítulo IV Plailha Para o Cálculo de Si e de Ss A Plailha Eletrôica usada a Atividade 1 (item d) dispoível em TABELA 1 foi cotruída usado o programa Excel. Seguem os passos para a costrução do modelo usado. Julgamos importate, caso haja dispoibilidade, que o professor costrua juto com os aluos a Plailha. a) Abra o Excel (ou qualquer outro software compatível). b) Digite os textos como idicado a figura abaixo: c) Na célula B3, digite =(B5 B4)/B2. d) Preecha as coluas com os valores iiciais e fiais de cada faixa. Usado as fuções da plailha, iguale o valor iicial da faixa i1 (célula E5) ao valor iicial do itervalo (célula B4). Para as demais células da colua, basta acrescetar o comprimeto de cada faixa (valor obtido a célula B3). Para os valores fiais de cada faixa (colua F), o procedimeto é aálogo, assim como os valores iiciais e fiais das faixas superiores (coluas M e N). e) Na célula G5 digite = F5 E5. Para o cálculo da altura de cada faixa iferior (colua H), devemos cosiderar a imagem da fução f para o valor iicial de cada faixa (colua E). Como a fução é y = x + 1 e os valores das abscissas ecotram-se a colua E, a célula H5 digite = E

33 f) Para o cálculo da área de cada faixa iferior (colua I), basta multiplicar a base pela altura de cada faixa. Em I5 digite = G5 * H5. g) Somado as áreas das faixas iferiores (colua I), ecotramos o valor de Si (célula J4). Bastaria digitar em J4 a fução = SOMA(I5:I14). Mas usaremos essa Plailha para calcular a soma com mais parcelas. Por isso, para que ão haja problemas, em J4 digite = SOMA(I5:I1). Assim a Plailha fica preparada caso queira aumetar a quatidade para quase 1. faixas. h) Proceda de forma aáloga para as faixas superiores, lembrado que para o cálculo da altura de cada faixa superior (colua P), devemos cosiderar a imagem da fução f para o valor fial de cada faixa (colua N). Em P5, digite = N i) Para calcular as somas Si e Ss usado a mais faixas, usaremos do seguite procedimeto: selecioe as células que vão de D8 até Q14 (importate, ão selecioe a partir de I5). Usado a ferrameta de rastro (posicioe o poteiro o cato iferior direito, precioe o botão esquerdo do mouse e arraste a região selecioada para baixo), aumete a quatidade de parcelas até a quatidade desejada. A própria Plailha idica uma pequea caixa em qual faixa está a última liha da região selecioada. Mas ateção, os valores de Si e de Ss aparecerão com erro; e ode está esse erro? É que ão podemos os esquecer que aumetamos a quatidade de retâgulos, mas ão alteramos a célula B2 essa quatidade. Portado, altere a célula B2 a mesma quatidade de faixas cosideradas após efetuar o rastro. Caso veha a cotruir a Plailha juto com seus aluos, é uma iteressate questão que pode ser feita. Não só esta, mas durate o processo de costrução da Plailha, istigue seus aluos sobre o que está sedo feito em cada etapa. Já a Plailha Eletrôica TABELA 2 usada a Atividade 2 (item b), pode ser aproveitada da aterior. Basta mudar a fução y = x + 1 por y = x 2 as células das coluas H e P. Em H5, digite = E5ˆ2 e em P5, digite = N5ˆ2, fazedo o rastro até a liha desejada. 33

34 Capítulo V Si e Ss com o GeoGebra Segue um pequeo roteiro de como costruir as Somas de Riema usado o recursos de Geometria Diâmica. Usaremos o software GeogGebra. a) Abra o GeoGebra. b) Isira a Jaela de Visualização o Cotrole Deslizate. c) Na de caixa CONTROLE DESLIZANTE, assiale NÚMERO, coloque o ome, em INTERVALO coloque em mi 1, em max 1, em icremeto 1 e clique em APLICAR. d) Na caixa de ENTRADA do GeoGebra (o rodapé do programa), digite f(x) = xˆ2 e depois ENTER. Aparecerá a Jaela de VISUALIZAÇÃO o gráfico da fução quadrática f (parábola). e) Selecioe o ícoe PONTO EM OBJETO. 34

35 Clique sobre o eixo horizotal Ox (espere até o programa mostrar a caixa de aviso Eixo X e clique em qualquer lugar sobre o eixo x). Aparecerá o poto A. Repita o procedimeto, determiado o eixo horizotal o poto B, de preferêcia, à direita do poto A. f) Na caixa de ENTRADA, digite a = x(a) (este será o valor fial do itervalo [ a ; b ] ) e depois ENTER. Em seguida, digite b = x(b) (este será o valor fial do itervalo [ a ; b ] ) e depois clique em ENTER. g) Posicioe o poto A em x = e o poto B em x = 1. h) Na caixa de ENTRADA, digite SomaDeRiemaIferior [< Fução>,<Valor de x Iicial>,< Valor de x Fial>, <Número de Retâgulos>] (repare que, coforme o comado vai sedo digitado, o próprio programa apresetará algumas opções. Selecioe a desejada). Faça as seguites substituições: o lugar de <Fução>, digite f; o lugar de <Valor de x Iicial>, digite a; o lugar de <Valor de x Fial>, digite b; o lugar de <Número de Retâgulos>, digite. i) Aparecerá a Jaela de ÁLGEBRA o Número c. Posicioe o mouse em cima de c a Jaela de ÁLGEBRA, clique com o botão direito e selecioe RENOMEAR. Na caixa de Reomear, substitua c por Si. 35

36 j) Posicioe o cursor sobre o cotrole deslizate e mova-o, faça deslizar sobre o segmeto, variado seu valor. Perceba que a quatidade de retâgulos varia juto com a variação de. Note a Jaela de ÁLGEBRA a variação dos valores de Si. Caso queira que o resultado apresetado para Si teha mais casas decimais, clique o MENU do programa em OPÇÕES, depois em ARREDONDAMENTO e por fim escolha a quatidade de casas decimais que for mais coveiete. Para obter as Somas das Áreas dos Retâgulos Superiores, digite a caixa de ENTRADA SomaDeRiemaSuperior [< Fução>,<Valor de x Iicial>,< Valor de x Fial>, <Número de Retâgulos>] e faça os procedimetos aálogos ao descritos os item h e i, lembrado agora de reomear como Ss. Explore as fucioalidades deste comado o GeoGebra. Altere o itervalo de defiição da fução, altere a própria fução. As possibilidades são iúmeras. 36

37 Capítulo VI Soma de Quadrados Segue uma pequea demostração para a soma dos quadrados dos primeiros iteiros positivos (deotaremos por S q ()). O objetivo é determiar, em fução de, a expressão que descreve a soma:. S q () = ( 1) Da relação (1 + a) 3 = 1 + 3a + 3a 2 + a 3, podemos obter as seguites igualdades: (1 + 1) 3 = (1 + 2) 3 = (1 + 3) 3 = (1 + 4) 3 = (1 + ) 3 = Fazedo a soma telescópica, o termo (1 + 1) 3 do primeiro membro da primeira igualdade se cacela com a parcela 2 3 do segudo membro da seguda igualdade. O termo (1 + 2) 3 se cacela com a parcela 3 2 e assim sucessivamete. Restarão: (1 + ) 3 = ( ) + 3 ( ) + 3 (1 }{{}}{{} ) + 1 }{{} (1+) 2 S q() (1 + ) 3 (1 + ) = S q () S q () = (1 + ) 3 (1 + ) 3 (1 + ) 2 Desevovedo a expressão, obtemos: S q () =

38 Agora, se subtrairmos 2 dos dois lados da igualdade, teremos: Que resulta em: S q () 2 = S q ( 1) = Para uma apresetação mais lúdica, pode-se usar o exemplo da figura abaixo, para o caso particular quado = 5: Essa e outras apresetações visuais evolvedo soma de quadrados podem ser ecotrados em [14]. 38

39 Capítulo VII Cosiderações Fiais O objetivo deste trabalho foi torar presete um camiho para apresetar ao aluo do Esio Médio a simbologia, o mecaismo de maipulação e o sigificado da Itegral de uma fução ão egativa um itervalo defiido. Não é ossa pretesão esgotar este trabalho todas as discusões sobre o tema, mas sim apresetar ideias que possibilitem a itrodução do coteúdo Itegral esse ível de esio, sem ocorrer em prejuízo de tempo a aplicação dos demais coteúdos, com a eorme vatagem de iserir o discete a costrução do cohecimeto através das Atividades, de uma ferrameta que resolve um problema difícil, calcular a área abaixo do gráfico de uma curva, usado coceitos que ão são difíceis, subdividir a região em retâgulos. O coceito de Limite aqui empregado justificar o resultado, é mais uma das possibilidades de aplicação de outro coceito fudametal presete em Cálculo. A Ciemática presete os problemas iiciais são motivadoras para começarmos osso estudo. Após os aluos serem apresetados à Itegral, a Física pode se valer dessa ferrameta para ampliar os coceitos. Por ão usarmos a Derivada para justificar os resultados, abrem-se as portas para que este trabalho gere a possibilidade de coexão futura com esse coceito, criado assim a pote Itegral-Derivada, preparado o aluo a ter os primeiros cotatos com o Teorema Fudametal do Cálculo. As Atividades aqui propostas ão foram aplicadas em sala de aula; gostaríamos de covidar os docetes de Matemática do Esio Médio à aplicação das mesmas, avaliado potos positivos e egativos, para que possamos aprimorar as Atividades e cotribuir cada vez mais para melhoria do esio. Acreditamos ser possível que o Cálculo Diferecial e Itegral volte a fazer parte do currículo de Matemática o Esio Médio, com liguages e abordages adequadas a esse público, sem grades formalismos, teoremas e demostrações, mas com uma simbologia perfeitamete acessível e pricipalmete, com justificativa para seu sigificado, de modo que futuramete tehamos a possibilidade de melhorar os ídices de aprovação o Esio Superior de Cálculo Diferecial e Itegral. 39

40 Capítulo VIII Apêdice 6 Atividade - 1 Vamos cosiderar um móvel com velocidade costate v = 5m/s. Desejamos determiar o deslocameto desse móvel o itervalo de t = 3s a t 1 = 7s. Solução: Como a velocidade do móvel é costate, temos que a velocidade média é a própria velocidade do movimeto. Neste caso temos que: v = s t. Como queremos o deslocameto, reorgaizamos a fórmula: s = t v Substituido os dados forecidos, temos: s = (7 3) 5 s = 4 5 s = 2m. Resposta: o deslocameto do móvel foi de 2 metros. Um fato que ão podemos deixar passar desapercebido ocorre quado obtemos a relação s = t v. Observado o gráfico velocidade x tempo, temos que o deslocameto do móvel o itervalo cosiderado correspode umericamete à área da região limitada pelo itervalo sob o gráfico da fução. Assim, temos que s = Área. 4

41 Cosidere um objeto movedo-se em liha reta o qual sua velocidade, em m/s, é descrita pela relação: v = t + 1. Vamos determiar o deslocameto do objeto o itervalo que vai de t = s até t 1 = 1s. No movimeto uiformememte variado (cohecido pela sigla M.U.V.), a expressão da velocidade v em relação ao tempo t é dada por v = v + a t, ode v é a velocidade iicial do móvel e a é a aceleração. 1a) Comparado v = t + 1 com v = v + a t, determie v e a. Resposta: No M.U.V., a expressão da posição s do móvel em relação ao tempo t é dada por s = s +v t+ a t2 2, ode s é a posição do móvel o iício do deslocameto. 1b) Determie a expressão da posição s do objeto. Resposta: O deslocameto s é dado por s = s s. 1c) Determie o deslocameto s do objeto em fução do tempo t. Resposta: 1d) Calcule o deslocameto s do objeto o itervalo de tempo que varia de t = s até t 1 = 1s. Resposta: 41

42 Vamos agora resolver o problema da págia aterior com uma outra abordagem. Cosidere a fução f defiida por f(x) = x + 1 o itervalo [ ; 1 ] represetada a figura abaixo. 1e) Determie a área da região S, abaixo do segmeto e acima do eixo horizotal, compreedida o itervalo cosiderado. Resposta: 1f) Este resultado é umericamete igual ao deslocameto do objeto do problema da págia aterior? Resposta: 42

43 Vamos aproveitar o resultado obtido para a área o gráfico aterior e apreder outro processo para obteção de áreas. 1g) Cosidere o itervalo [ ; 1 ] dividido em 5 subitervalos de mesmo comprimeto. Na figura abaixo, tem-se 5 faixas retagulares, cujas bases têm comprimeto 1 5 e alturas iguais à imagem da fução f o iício de cada subitervalo (faixas iferiores). Complete o quadro: Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área i1,,2,2 i2,2,4,2 i3,4,6,2 i4,6,8,2 i5,8 1,,2 Determie a soma das áreas das faixas iferiores. Resposta:. 43

44 1h) Cosidere agora o itervalo [ ; 1 ] dividido ovamete em 5 subitervalos de mesmo comprimeto. Na figura abaixo, tem-se 5 faixas retagulares, cujas bases têm comprimeto 1 5 e alturas iguais à imagem da fução f o fial de cada subitervalo (faixas superiores). Complete o quadro: Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área s1,,2,2 s2,2,4,2 s3,4,6,2 s4,6,8,2 s5,8 1,,2 Determie a soma das áreas das faixas superiores. Resposta:. 44

45 A área da região S está compreedida etre as somas das áreas das faixas iferiores (deotaremos do Si) e as somas das áreas das faixas superiores (deotaremos do Ss). Dividido o itervalo [, 1 ] em mais faixas, a tedêcia é de que Si e Ss se aproximem cada vez mais do valor da área S. Vamos dividir o itervalo em mais faixas e calcular essas áreas. Só que agora usado uma plailha eletrôica. 1i) Usado a plailha dispoível em TABELA 1, determie Si e Ss para o úmero de faixas cosiderado em cada caso: 28 faixas 34 faixas 1 faixas faixas Si= Ss= 1j) Coforme o úmero de faixas vai aumetado, o que acotece com os valores obtidos para Si? Resposta:. 1k) E o que acotece com os valores obtidos para Ss? Resposta:. 1l) Podemos afirmar que, coforme o úmero de faixas aumeta, os valores de Si e de Ss covergem para um mesmo valor limite? Resposta:. 1m) E qual é esse valor limite? Resposta:. 1) Esse valor limite é o mesmo resultado ecotrado o item 1e? Resposta:. 45

46 7 Atividade - 2 Cosidere a fução f defiida por f(x) = x 2 o itervalo [ ; 1 ] represetada a figura abaixo (faixa de parábola). Determiar a área da região compreedida etre a faixa de parábola e o eixo horizotal Ox. 2a) Cosidere o itervalo [ ; 1 ] do domíio da fução f dividido em 5 faixas de mesmo comprimeto. Complete os quadros abaixo, determiado em cada caso os valores de Si e de Ss: Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área i1 i2 i3 i4 i5 O valor de Si é:. Faixa Valor Iicial Valor Fial Base Altura Área s1 s2 s3 s4 s5 O valor de Ss é:. 46

47 2b) Com o auxílio de uma plailha eletrôica dispoível em TABELA 2, determie Si e Ss para o úmero de faixas cosiderado em cada caso: Si= Ss= 28 faixas 34 faixas 1 faixas faixas 2c) Para qual valor a área da região S está covergido este caso? Resposta: A Atividade 2 os mostra que é possível estimar a área de uma região curva com a precisão que desejarmos. Estamos usado a ideia básica de obter essa área através de retâgulos, cujo cálculo da área é simples. Na fução f dada por f(x) = x 2, o itervalo [ ; 1 ] do domíio foi subdividido em faixas, que formarão as bases dos retâgulos. O comprimeto da base de cada retâgulo (tato iferior quato superior) será igual a 1. Já a altura de cada retâgulo será a imagem da fução o valor iicial (para retâgulos iferiores) ou fial (para retâgulos superiores) de cada faixa. A área A da região procurada ficará compreedida etre a soma das áreas dos retâgulos iferiores Si e a soma das áreas dos retâgulos superiores Ss. Teremos etão que: Si < A < Ss Como Si = i 1 + i 2 + i i (soma das áreas dos retâgulos iferiores) e Ss = s 1 + s 2 + s s (soma das áreas dos retâgulos iferiores), obtemos: i 1 + i 2 + i i < A < s 1 + s 2 + s s A área de cada retâgulo é o produto da base pela respectiva altura. Etão: 1 ( ) ( ) ( 1 ) 2 < A < 1 47 ( ) ( ) ( ) 2

48 ( 1) < A < Colocado o fator 1 em evidêcia, temos: 3 1 [ ( 1) 2] < A < 1 3 [ ] Detro de cada colchete acima temos a soma de potêcias de expoete 2. Essas expressões podem ser reescritas usado a otação de somatório: k 2 < A < 1 3 k= Usado os fatos de que ( 1) 2 = e que = , obtemos a seguite desigualdade: k=1 [ ] 6 < A < 1 [ ] 6 Multiplicado o fator 1 3, temos: k }{{ 6 2 < A < 1 } }{{ 6 2 } Si Ss Note que quato maior for a quatidade de retâgulos, tato iferiores quato superiores, maior será o valor de. A soma das áreas Si irá crescer se aproximado cada vez mais do valor da área A e a soma das áreas Ss irá decrescer se aproximado também cada vez mais do valor da área A. 2d) Calcule os limites de Si e de Ss para tededo ao ifiito: ( 1 lim lim ( ) = ) = 2e) Neste caso, coforme tede a ifiito, para qual valor a área A está covergido? Resposta:. 2f) É o mesmo resultado obtido o item 2c? Resposta:. 48

49 8 Atividade - 3 Cosidere a fução f defiida por f(x) = x 2 o itervalo [ ; b ]. Determie a área A da região compreedida etre o gráfico de f e o eixo horizotal, o itervalo [ ; b ]. 3a) Dividido [ ; b ] em itervalos, qual o comprimeto de cada subitervalo (partição)? Resposta:. A sequêcia x =, x 1 = b, x 2 = 2b, x 3 = 3b,..., x 1 = x = b = b represeta os potos de subdivisão do itervalo. ( 1)b, 3b) Complete o quadro abaixo, determiado a altura, e a área de cada retâgulo iferior. x Altura dos Retâgulos Iferiores Área dos Retâgulos Iferiores b 2b 3b 4b ( ) 2 ( ) 2 b b b = b3 3 ( ) 2 ( ) 2 2b b 2b = 22 b 3 3 ( ) 2 ( ) 2 3b b 3b = 32 b ( 1)b 3c) Determie a expressão da soma das áreas dos retâgulos iferiores: Si = + b b b

50 3d) Coloque o fator b3 em evidêcia e reescreva a expressão: 3 Si = b3 3 ( e) Use o fato de que ( 1) 2 = e aplique-o a expressão obtida do item 3d: ( ) Si = b3 3 A área A da região é maior que Si. Etretato, quato maior for o úmero de partições ( tededo ao ifiito) melhor será a aproximação da área desejada. 3f) Determie o limite de Si quado tede a ifiito: ) A = lim Si =. 3g) Complete o quadro abaixo, determiado a altura, e a área de cada retâgulo superior. x Altura dos Retâgulos Superiores Área dos Retâgulos Superiores b 2b 3b 4b ( ) 2 ( ) 2 b b b = b3 3 ( ) 2 ( ) 2 2b b 2b = 22 b 3 3. ( 1)b.. 5

51 3h) Determie a expressão da soma das áreas dos retâgulos superiores: Ss = b b i) Coloque o fator b3 em evidêcia e reescreva a expressão: 3 Ss = b3 3 ( ). 3j) Use o fato de que = e aplique-o a expressão obtida do item 3i: ( ) Si = b3 3 A área A da região é meor que Ss. Etretato, quato maior for o úmero de partições ( tededo ao ifiito) melhor será a aproximação da área desejada. 3k) Determie o limite de Ss quado tede a ifiito: A = lim Ss =. 3l) Observado os resultados obtidos os ites 3f e 3k, a área A da região compreedida etre o gráfico da fução f dada por f(x) = x 2 o itervalo [ ; b ] e o eixo horizotal é dada por:. 51

52 8.1 Leitura: A Itegral Defiida O cálculo da área de uma região curva ão é tão imediato de ser obtido. Etretato, a Atividade 2 os mostra que podemos estimar a área com qualquer precisão desejada usado a ideia básica de costruir retâgulos cuja soma total das áreas seja bem próximada área da região desejada (usamos para isso o auxílio de uma plailha eletrôica). A Atividade 3 os mostra que é possível obter o valor limite dessa soma, que correspode à área da região. Seja f uma fução ão egativa e cotíua o itervalo [ ; b ]. Ao dividirmos o itervalo em subitervalos de mesmo comprimeto ( iteiro positivo), teremos partições. Cada partição será a base de um retâgulo e vamos chamar de x o comprimeto dessa base. Tomado em cada partição um poto x k, teremos a altura f(x k ) de um retâgulo cuja área a k = f(x k ) }{{}}{{} x fica compreedida etre as áreas de i k Altura Base e s k (retâgulos iferior e superior, respectivamete, da partição cosiderada). Sedo x 1 = e x = b, a soma das áreas dos retâgulos será dada por: S() = f(x 1 ) x + f(x 2 ) x + f(x 3 ) x + + f(x 1 ) x + f(x ) x S() = [f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) + + f(x 1 ) + f(x )] x S() = f(x k ) x k=1 Esta soma é chamada de Soma de Riema 5 e os forece uma aproximação para a área sob a curva f(x), de x = até x = b, para f ão egativa e cotíua em [ ; b ]. Quado o úmero de subitervalos tede para o ifiito, o comprimeto x de cada partição tede a e a Soma de Riema tede um valor correspodete à área sob a curva (etre a curva e o eixo x) o itervalo delimitado. Assim, a área etre a curva e o eixo x, de x = até x = b, de uma fução f ão egativa e cotíua o itervalo [ ; b ], é defiida por: A = lim S() = k=1 f(x k ) x Essa área é deomiada Itegral Defiida e represetamos simbolicamete por:. A = f(x) dx 5 Berhard Riema, matemático alemão que viveu o século XIX. 52

53 Esta otação foi itroduzida por Leibiz 6. O símbolo é deomiado Sial de Itegral e ada mais é do que a letra S alogada (e a letra S idicaria que a Itegral é um limite de somas) e o símbolo dx substitui x para idicar que x tede a zero. Mas, se em vez do itervalo [ ; b ], cosiderarmos o itervalo [ a ; b ], como calcularíamos essa área? Observe as figuras: A primeira figura represeta a área o itervalo [ ; b ], ou melhor, f(x) dx. Como queremos a área A defiida o itervalo [ a ; b ] (coforme idica a seguda figura), devemos retirar a área A, que está defiida o itervalo [ ; a ]. Mas A = a f(x) dx. Logo: A = f(x) dx a f(x) dx Deotado a Itegral da fução f defiida o itervalo [ a ; b ] por temos: a f(x) dx, a f(x) dx = f(x) dx a f(x) dx Usado o resultado obtido a Atividade 3, item l, temos que a área A da região compreedida etre o gráfico da fução f dada por f(x) = x 2 o itervalo [ a ; b ] e o eixo horizotal será dada por: A = a A = x 2 dx = a x 2 dx a x 2 dx = b3 3 a3 3 x 2 dx 6 Gottfried Leibiz, matemático e filósofo alemão que viveu o século XVII. 53