EXPLORANDO OS NÚMEROS FIGURADOS POR MEIO DE ATIVIDADES INVESTIGATIVAS

Transcrição

1 EXPLORANDO OS NÚMEROS FIGURADOS POR MEIO DE ATIVIDADES INVESTIGATIVAS Vailde Bisogi - Uifra 1 Maria do Carmo Barbosa Trevisa - Uifra Resumo Esse trabalho tem por objetivo descrever os resultados de uma pesquisa realizada com aluos da disciplia de Fudametos de Álgebra do Curso de Mestrado profissioalizate em Esio de Física e de Matemática tedo como foco a itegração e implemetação de atividades de ivestigação matemática como alterativa metodológica para o estudo de sucessões uméricas por meio dos úmeros figurados que permitem uma visualização geométrica dos termos da seqüêcia. A pesquisa teve como propósito ivestigar o processo de implemetação de atividades de ivestigação a sala de aula e perceber como os aluos desevolveram a criatividades e a represetação de idéias matemáticas. Como resultado verificou-se o desevolvimeto de cohecimetos gerais do esio de tópicos da Aálise Real itegrada com a geometria; o desevolvimeto das capacidades de ituir, deduzir, cojecturar, geeralizar e comuicar; o desevolvimeto de valores e atitudes como autoomia, resposabilidade e cooperação. Palavras-chave: Seqüêcias uméricas; úmeros figurados; esio e apredizagem de matemática. Itrodução Os diagramas, as figuras e os esquemas assumem, a Matemática um papel prepoderate, pois todos cotêm iformações que permitem a visualização dos coceitos e processos matemáticos evolvidos as operações. A abordagem visual desempeha um papel importate o trabalho com os coceitos matemáticos, pois pode gerar sigificados para a apredizagem dos mesmos. 1 Professora do curso de Mestrado Profissioalizate em Esio de Física e Matemática do Cetro Uiversitário Fraciscao. Professora do Cetro Uiversitário Fraciscao de Sata Maria.

2 Os métodos possuem um coteúdo visual que permitem uma represetação geométrica, cuja utilização é bastate proveitosa, tato para a articulação etre os coceitos e os métodos, quato para a resolução de determiadas situações-problema. Portato, é essecial para a compreesão de um determiado coceito matemático que se proceda a sua exploração de todas as formas possíveis. Assim, se proporcioará aos aluos formas variadas de represetação de uma idéia matemática e será permitido o desevolvimeto de images metais, que cotribuem para o desevolvimeto do pesameto matemático. Do poto de vista do esio e da apredizagem da Matemática, as represetações feitas pelos aluos sobre determiados coceitos permite ao professor aalisar o modo de pesar e raciociar e, dessa forma, detectar erros e corrigi-los. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacioais (1997) a disciplia de Matemática tem por fialidade: - desevolver capacidades para usar a Matemática com o ituito de iterpretar e itervir o mudo real; - desevolver capacidades de criar e formular problemas; - cotribuir para uma atitude positiva frete a esta ciêcia; - cotribuir para o desevolvimeto de atitudes de autoomia e resposabilidade. A ivestigação matemática, equato metodologia de trabalho a sala de aula, permite a criação de um ambiete de apredizagem que colabora para o desevolvimeto das capacidades previstas os PCNs (1997). A ivestigação matemática caracteriza-se pela proposição de uma questão, cujo euciado está pouco defiido e, a partir de um cojuto de dados e iformações, procura-se formular questões mais precisas e propor cojecturas. A medida que essas cojecturas são testadas, elas gaham credibilidade e, assim, são validadas, somete etão, é que se comuica o resultado da ivestigação. Esse processo assume um papel fudametal a apredizagem do aluo, pois ele se tora co-resposável pelo trabalho a ser realizado. De acordo com Pereira (004), a difereça etre problema e ivestigação matemática é pouco evidete. Em um problema, a perguta é bem precisa, feita pelo professor e o objetivo é buscar um camiho para solucioá-lo. Na ivestigação a questão é aberta e cabe ao aluo defiir a sua formulação, em que o objetivo é explorar o maior úmero de camihos a partir da mesma situação. Existem quatro etapas que são características de uma ivestigação matemática, defiidas por Pote, Oliveira, Bruheira, Varadas e Ferreira (1999): - formular a questão de ivestigação;

3 - formular cojecturas relativas a essa questão; - testar as cojecturas e, se preciso, reformulá-las; - validar e comuicar os resultados. De acordo com Pote, Brocado e Oliveira (003) os exercícios são tarefas de pouca dificuldade e de estrutura fechada, equato que os problemas têm um grau de dificuldade maior, mas também tem uma estrutura fechada, e já as ivestigações matemáticas são tarefas de estrutura aberta e com grau mais elevado de dificuldade que os ateriores. Embora as abordages sejam muito próximas, é importate observar a difereça de atitude do professor e do aluo perate a resolução de problema e da realização de tarefa de ivestigação. No problema é o professor quem gerecia todo o trabalho, e a ivestigação é o aluo quem orieta todo o processo. O professor tem um papel de mediador e orietador, fazedo pergutas e levatado hipóteses. Nesse trabalho descreve-se os resultados de uma pesquisa que teve as seguites questões orteadoras: como itegrar atividades de ivestigação matemática a sala de aula e como a represetação visual de idéias matemáticas cotribui para a apredizagem de seqüêcias uméricas? Os dados da pesquisa foram obtidos por meio das observações e dos registros da professora resposável pela disciplia durate a realização das tarefas de ivestigação. A experiêcia com ivestigação matemática A experiêcia foi realizada com uma turma de 10 aluos, o segudo semestre de 006, e teve como objetivo o estudo de seqüêcias uméricas, utilizado-se represetações geométricas por meio dos úmeros figurados. No iício do trabalho foram estudados textos de autoria de Lorezato e Fioretii (006), os quais fudametaram teoricamete as atividades ivestigativas e relataram experiêcias de sala de aula com o uso dessa metodologia de trabalho. Os aluos foram reuidos em grupos, pois as atividades requeriam uma iteração permaete etre os aluos e o professor. A tarefa de ivestigação proposta foi a seguite: estude os úmeros figurados e ivestigue sobre as propriedades das sucessões que estão relacioadas com cada um deles. Descreva os resultados e o processo utilizado para chegar a coclusão. O primeiro passo dado pelos aluos foi descobrir os úmeros triagulares. A represetação geométrica proposta pelos grupos foi a seguite:

4 Figura 1 A perguta sobre qual é o termo dessa seqüêcia surgiu aturalmete. Imediatamete um grupo observou que uma forma de escrever poderia ser: a 1 0 a 1 a, IN Outro grupo observou que 1, 3, 6 etc. é a metade de, 6, 1 etc. e assim propôs que o termo geral pode ser escrito como: ( T, IN Observou-se esse passo que: Os aluos possuíam dificuldades em mausear represetações aalíticas. A professora etão idagou: o que represeta a soma dos primeiros úmeros triagulares? Do poto de vista geométrico os aluos tiham ecotrado a solução, mas do poto de vista algébrico precisaram demostrar por idução que: ( T O passo seguite foi explorar os úmeros quadragulares. Assim, primeiramete exploraram a represetação geométrica.

5 Figura Nesse caso o termo geral ão foi difícil de ecotrar e de forma atural cocluíram que Q A professora etão questioou: existe uma relação etre os úmeros triagulares e os úmeros quadragulares? Após diferetes tetativas chegou-se ao seguite resultado: Q ( ( T T 1 A exploração dos úmeros petagoais surgiu a partir das experiêcias ateriores. Geometricamete os aluos costruíram a seguite seqüêcia: Figura 3 A defiição do termo foi um processo complexo. As muitas tetativas dos grupos, os erros e com os questioametos da professora, os aluos coseguiram determiar o termo

6 geral da seqüêcia e, ao mesmo tempo, estabeleceram uma relação com os úmeros quadragulares e triagulares. O resultado foi o seguite: P ( 3 (3 Por outro lado P pode ser escrito P Q T 1 Com essa descoberta os aluos coseguiram decodificar que o termo geral da seqüêcia formada por úmeros hexagoais é dado por H P T 1 Com esse raciocíio, os aluos coseguiram estabelecer uma formula que descrevesse o termo geral de uma seqüêcia, descrita por úmeros figurados que formaram figuras geométricas com um úmero de lados. A partir dessa coclusão os aluos descobriram outras propriedades dos úmeros figurados, por exemplo: a soma dos primeiros iteiros impares, começado com 1, é o quadrado de. Isto pode ser visualizado geometricamete Figura 4

7 Algebricamete também pode ser provado. Seja S ( S ( ( 3) ( 5) Somado-se as expressões acima obtêm-se S ( 1 ( 3) 3... ( 1. Portato, S e assim ( Cosiderações fiais Durate o desevolvimeto das tarefas, observou-se que a maioria dos grupos evideciou a capacidade de se estabelecerem coexões etre vários coteúdos e diferetes raciocíios; fazer geeralizações e relacioar coteúdos de aálise com a geometria. A capacidade de se estabelecerem coexões e de fazer represetações está associada à capacidade de abstração, a qual cresce a medida em que os aluos alcaçam maturidade matemática. A criatividade foi outra capacidade que apareceu de forma explícita durate o desevolvimeto da tarefa. Isso ficou evidete as argumetações e as explicações dadas a costrução dos úmeros figurados. As represetações geométricas criaram, de fato, uma imagem metal que permitiu testar, geeralizar e validar as cojecturas feitas pela professora e pelos aluos. A socialização dos resultados obtidos em cada etapa da tarefa proposta permitiu a discussão de diferetes estratégias e a proposição de ovas pergutas, hipóteses e cojecturas. O trabalho permitiu a criação de um ambiete de cofiaça etre os aluos e a professora e, a medida em que as etapas foram sedo vecidas, observou-se que os aluos estavam mais idepedetes e autôomos.

8 Referêcias bibliográficas BRASIL. Parâmetros curriculares acioais: matemática. Secretaria de Educação Fudametal. Brasília: MEC/SEF, LORENZATO, S. A.; FIORENTINI, D. Ivestigação em educação matemática: recursos teóricos e metodológicos. Campias: Autores Associados, 006. PEREIRA, M. C. N. As ivestigações matemáticas o esio-apredizagem das sucessões: uma experiêcia com aluos do 11º ao de escolaridade. Lisboa Portugal: Associação de Professores de Matemática, 004. PONTE, J. P; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Ivestigação matemática a sala de aula. Belo Horizote: Autetica editora, 003. PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H; BRUNHEIRA, L; VARANDAS, J; FERREIRA, C. Ivestigado as aulas de ivestigação matemática. I: Ivestigações matemáticas a aula e o currículo. Lisboa: Associação de Professores de Matemática, p