VISUALIZANDO DESIGUALDADES E PROPRIEDADES DE SEQUÊNCIAS RACIONAIS COM APOIO NO GEOGEBRA

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1 VISUALIZANDO DESIGUALDADES E PROPRIEDADES DE SEQUÊNCIAS RACIONAIS COM APOIO NO GEOGEBRA Katia Vigo Igar Potifícia Uiversidade Católica de São Paulo PUC/SP Fracisco Regis Vieira Alves Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia IFCE Hermíio Borges Neto Uiversidade Federal do Ceará - UFC

2 Aspectos históricos e epistemológicos Até o século XVI predomiavam as idéias gregas segudo as quais as quatidades tiham dois compoetes disjutos: o discreto (úmero) e o cotíuo (gradeza). Estes compoetes refletiram a Matemática como o estudo das gradezas e úmeros, isto é, como o estudo da Geometria e da Aritmética. Este ceário mudou com o trabalho de Simo Stevi de Bruges ( ), que, em 1585, publicou seu livro L Arithmetique produzido um avaço epistêmico o cohecimeto matemático.

3 A ova represetação, proposta por Stevi, era flexível, o setido de lidar com problemas de quatidade discreta e simultaeamete com os problemas de divisibilidade. Esta represetação que lidava com partes da uidade foi a otação decimal que acabou com a tesão etre o discreto e o cotíuo. (Da Silva e Peteado, 2010, p ). Iicialmete, para represetar quatidades iteiras de objetos, aimais ou qualquer coisa que se quisesse cotar, o homem criou símbolos que, hoje, são os úmeros aturais. Porém, estes úmeros foram isuficietes o trato de problemas que evolvem divisões em partes iguais fazedo com que surgissem as frações.

4 Com as frações surgiu uma grade crise os alicerces do pitagorismo evolvedo a descoberta dos segmetos icomesuráveis. Esta crise foi superada com grade geialidade pelo sábio Eudoxo com a teoria das proporções, que quase dois mil aos depois, ispirou Dedekid a criar uma rigorosa teoria para costrução dos úmeros reais(lima, 1996). Por outro lado, muito do que sabemos atualmete sobre os cojutos uméricos foi fruto do labor e da sistematização proporcioada pelo método axiomático aplicado com vistas à costrução cojutos uméricos, sobretudo, os úmeros racioais.

5 O Problema Vale observar que a apresetação de propriedades relacioadas à cadeia formais represeta o legado que os matemáticos do século XIX e XX deixaram prota para ós, possibilitado-os apresetar os cojutos uméricos uma ordem logicamete coerete, rápida e elegate. (FERREIRA, 2010, p. 6). Um dos problemas este caso diz respeito à perda progressiva do caráter ituitivo destes coceitos!

6 Lima (2010, p. 33) explica de modo irretocável sua atitude quado observa que: Do poto de vista de Peao, os úmeros aturais ão são defiidos. É apresetada uma lista de propriedades gozadas por eles (axiomas) e tudo o mais decorre daí. Não iteressa o que os úmeros aturais são; (isto seria um problema filosófico) o que iteressa é como eles se comportam. Embora os axiomas por ele adotados já fossem cohecidos por Dedekid, tudo idica que Peao trabalhou de modo idepedete. De qualquer maeira, o mais importate ão são quais axiomas que ele escolheu e sim a atitude que ele adotou, a qual veio a prevalecer a Matemática atual, sob o ome de método axiomático. ~ ( ab, ) (a,b) ~ * a b a e b *

7 Dado que os livros didáticos de Aalise Real apresetam o estudo do Campo dos Números Reais utilizado a ituição geométrica para elucidar certas questões ou para levar a discussão outras. No etato, as demostrações de todos os teoremas importates apresetam-se em forma aalítica. Segudo Guzma (1996, p.2): Las ideas básicas del aálisis elemetal, por ejemplo orde, distacia, operacioes etre úmeros, ace de situacioes bie cocretas y visuales. Todo experto cooce la utilidad de ateder a tal orige cocreto cuado quiere maejar co destreza los objetos abstractos correspodietes. Esta abordagem com ateção explicita às possíveis represetações cocretas dado que evideciam as relações abstratas as quais o matemático está iteressado, é o que Guzma (1996, p.3) chama visualização em matemática.

8 Perguta de ivestigação Como desevolvem o processo cogitivo da visualização os aluos do curso de Liceciatura em Matemática quado lidam (criam, costroem) sequêcias de úmeros racioais com apoio do geogebra? Que aspectos abordados pelos livros de Aalise dificultam o etedimeto de aproximações de sequecias de racioais?

9 Objetivos: 1. Aalisar os livros de Aálise Real; 2. Idetificar as dificuldades surgidas durate o processo que leva à apredizagem das sequêcias de úmeros racioais; 3. Aalisar o papel da visualização a coceituação das sequêcias de úmeros racioais.

10 Visualizado coceitos e objetos matemáticos Assim, colocamos em destaque a posição epistemológica ate o saber matemático com a iteção de cosiderar aspectos particulares da existêcia (visualização) dos objetos evolvidos e prosseguir a ivestigação com apoio o método axiomático. Por outro lado, o cotexto do esio, tal atitude é pouco recomedada, ademais, a oção de existêcia acessível e ao alcace dos iiciados é bastate codicioada pela vizualização destas etidades coceituais. A oção de visualização tem sido explorada por vários autores: Zimmerma(1991), Arcavi(2003), Hitt(1997), etc. Neste estudo referimo-os às idéias de Duval (1995, 2011).

11 De acordo com Duval (1999): 1. A visualização é baseada a produção de uma represetação semiótica. 2. A visualização a matemática é ecessária porque ela apreseta a orgaização de relações, mas ela ão é primitiva, porque ela ão é mera percepção visual. Neste respeito, há apredizagem a partir de registros geométricos. 3. Em uma perspectiva de apredizagem, três problemas devem ser levados em cota a respeito de visualização: o problema da discrimiação, o problema de tratameto e o problema da coordeação com um registro discursivo.

12 Metodologia Para orgaização do trabalho, faremos uso de procedimetos teórico-metodológicos apresetados por Bardi (1979), através do livro Aálise de Coteúdo, que idica a elaboração de critérios para que estes auxiliem a aálise, tato o que diz respeito à orgaização propriamete dita, quato em revelar aspetos relevates do texto que podem estar implícitos ao leitor. Efetuaremos uma leitura sistemática dos coteúdos formais em Aálise Real, com o propósito de vislumbrar sua exploração o ambiete computacioal.

13 Livros aalisados: Livros de Aálise Real Autores Editora e Ao Números Reais Aragoa Jorge Livraria da Física A costrução dos úmeros Curso de Aálise. Vol. 1 Ferreira Jamil Elo Lima Rio de Jaeiro Rio de Jaeiro.2010

14 Atividades Sequêcias de racioais 1 y 1 Lim 1 1 e Sequêcias de ão racioais y Lim 1

15 Sequêcias de racioais y Lim +!! x!! Lim + Por itermédio da visualização, podemos prever e cojecturar o comportameto de sequêcias complicadas estudadas em Aálise Real.

16 Cosiderações fiais: Neste estudo colocamos em evidêcia situações em que exploramos a visualização e atevemos, pela simples ispeção dos gráficos produzidos pelo Geogebra, o comportameto de sequêcias uméricas. No iteressamos de modo particular pelas sequêcias de úmeros racioais, pois, tal iteresse foi registrado por muitos séculos a tetativa de compreesão da atureza de um úmero que reside o cojuto A visualização tem vatages para o esio de Aálise Real em ilustração e compreesão de coceitos matemáticos. Não há como egar o valor das represetações semióticas e o geogebra para os processos heurísticos a descoberta da matemática.

17 Referecias: 1. Aragoa, J. Números Reais. São Paulo: Livraria da Física, Bardi, L. Aalise de Coteúdo. Lisboa: Edições 70, Duval, R. Sémiosis et Pesée Humaie. Paris : Peter Lag Editio Represetatio, Visio ad Visualizatio: Cogitive Fuctios i Mathematical Thikig. Basic Issues for Learig. Psichology of mathematics educatio. Vol. 1. Cetro de Ivestigació y de Estudios Avazados-IPN Uiversidad Autóoma del Estado de Morelos.Cueravaca, Morelos, México Da Silva, B. e Peteado, C. A Desidade dos úmeros reais: cocepções de professores da educação.paradigma, Vol. XXXI, Nº 1; Juio de 2010 / Ferreira, Jamil. A costrução dos Números. Rio de Jaeiro: SBM, Lima. Elo. Lages. Curso de Aálise. v.1, 12º edição, Rio de Jaeiro: Projeto Euclides, 2010.