DERIVADA DE POLINÔMIOS E SUAS RELAÇÕES NA EDUCAÇÃO BÁSICA: UM ESTUDO TEÓRICO

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1 DERIVADA DE POLINÔMIOS E SUAS RELAÇÕES NA EDUCAÇÃO BÁSICA: UM ESTUDO TEÓRICO Rogério Serôdio 1 Afoso Heriques, Ueslei Galvão do Rosário Satos 3 1 Uiversidade da Beira Iterior, Covilhã, Portugal, rserodio@ubi.pt Uiversidade Estadual de Sata Cruz, Ilhéus, Bahia, Brasil, hery@uesc.br 3 Uiversidade Estadual de Sata Cruz, Ilhéus, Bahia, Brasil, uelgalvao@hotmail.com Resumo Este artigo traz algumas discussões sobre o estudo de derivadas de um poliômio cosiderado-se cohecimetos de duas istituições distitas, doravate deomiadas Istituição de Esio Superior (IES) e Istituição da Educação Básica (IEB). Na primeira, abordamos a derivada de um poliômio tal como apresetada ormalmete a praxeologia correspodete o Cálculo Diferecial e Itegral (CDI) e a seguda, mostramos os resultados obtidos a primeira, sem recorrer à oção de limites, mobilizado, por coseguite a oção de declive de uma reta tagete a uma curva. O osso objetivo é torar explicita a estreita relação existete etre a derivada de um poliômio em um poto e o declive da reta tagete à curva deste poliômio os registros algébricos, gráficos e umérico. Como fudametação, apoiamo-os em coceitos próprios de CDI e em algus teoremas de divisibilidade de poliômios, assim como a Teoria de Registro de Represetações Semióticas e a vertete praxeológica da Teoria Atropológica do Didático. Palavras-Chave: Derivada. Declive. Registros de represetação. Relações. Istituições. 1. INTRODUÇÃO A oção da derivada é um dos objetos de estudo que ecotra um espaço sigificativo a orgaização matemática ou praxeologia do Cálculo Diferecial e Itegral (CDI), os cursos oferecidos as Istituições de Esio Superior (IES) ode o CDI é istitucioalizado. Particularmete, os cursos de Liceciatura em Matemática este recohecimeto estimula o estudate o questioameto sobre a sua importâcia o currículo, haja vista que o mesmo se recohece como futuro profissioal que vai atuar as Istituições da Educação Básica (IEB). Nesta perspectiva, o presete trabalho busca explicitar as possíveis relações existetes etre a oção de derivada com a de declive de uma reta tagete a uma curva um determiado poto. A priori, os estudates têm o primeiro cotato com a oção de declive equato aluo a IEB. Cotudo, se a relação etre ambas as oções ão é evocada o processo esio-apredizagem de CDI, esta poderá passar despercebida pelos estudates, distaciado-se, por coseguite, dos saberes iteristitucioais. Preocupados com esta questão buscamos estimular o estudo dos demais objetos matemáticos das IES e suas possíveis relações com aqueles istitucioalizados as IEB. Surge, cotudo, o questioameto: que metodologia pode ser utilizada o desevolvimeto deste tipo de estudo? Acreditamos que existem diversos modos de procedimetos. No caso específico, optamos por orgaizar um dispositivo experimetal, o cotexto de Sequêcia Didática (SD), composto de tarefas específicas fudadas a

2 praxeologia de derivadas de poliômios recorredo ao cálculo com limites (IES) e sem limites (IEB). O objetivo é apresetar uma aálise a priori destas tarefas a IEB. Para isso, baseamo-os a Teoria de Registro de Represetações Semióticas (TRSS) e a vertete praxeológica da Teoria Atropológica do Didático (TAD), costituido assim o quadro teórico deste estudo que resumimos a seguir.. QUADRO TEÓRICO Para Heriques & Serôdio (013): Um quadro teórico é o referecial teórico de base de uma pesquisa, escolhido pelo pesquisador em fução da sua problemática, costituído, pelo meos, por uma teoria capaz de forecer ferrametas de aálise aos estudos que se pretede desevolver (HENRIQUES; SERÔDIO, 013, p.). Neste artigo apoiamo-os, além das duas teorias mecioadas acima, os coceitos próprios de CDI, os teoremas da divisão de Euclides, dos poliômios tagetes e D Alembert. Os referidos teoremas serão apresetados sem demostrações, pois estas podem ser ecotradas as praxeologias correspodetes..1 Teoremas Nesta subsecção apresetamos os teoremas fudametais para o desevolvimeto da aálise da sequêcia didática. Atecipamos a apresetação deste resultado pois servirá de istrumeto essecial as ossas aálises posteriores. Não os preocupamos em apresetar exemplos, pois esta prática aparecerá aturalmete a aálise a priori da SD. O teorema da divisão de Euclides (Iezzi, 1985), que euciamos a seguir, é também um dos resultados fudametais os estudos matemáticos que os estudates têm relação desde a Educação Básica. Retomar esta relação a orgaização praxeológica de divisão de poliômios é um dos ossos iteresses este artigo. Teorema da Divisão de Euclides Sejam 0 e 0 d dois úmeros iteiros quaisquer. Existem iteiros 0 q e 0 r tais que qd r, ode 0 r q. Os iteiros q e r são uivocamete determiados. Neste teorema, o compoete é dito dividedo, d é chamado de divisor, q de quociete e r de resto. Supohamos que estes compoetes sejam poliômios de uma variável real x, com P(x) o poliômio de maior grau. Neste caso, o teorema pode ser represetado, o registro algébrico, por P( x) Q( x) D( x) R( x), ode P é o poliômio dividedo, D o divisor, Q o quociete e R o poliômio resto. Lembramos que o grau do poliômio R é deve ser meor do que o de Q. Vale salietar também que o zero de um poliômio é o valor da variável x que aula o poliômio. Ou seja, se x assume um valor a que aula um poliômio Px, ( ) etão temos Pa ( ) 0. Deste modo, ecotramos o seguite

3 teorema a praxeologia de poliômios, cohecido como teorema de D'Alembert (Iezzi, 1985) que euciamos do seguite modo: Teorema de D Alembert Sejam P um poliômio e a um úmero real quaisquer. O resto da divisão deste poliômio por ( x a) é exatamete Pa ( ). Portato, se x = a é um zero de P, etão P( x) Q( x)( x a). Ou seja, o resto de P( x) ( x a) é zero se x = a é um zero de P. Isto é equivalete a expressar que um poliômio Px ( ) é divisível por ( x a) se, e somete se, Pa ( ) 0. O teorema seguite é resultado das ossas ivestigações experimetais e é fudametal para as aálises posteriores. Embora seja essecial, ão o ecotramos a literatura. Deste modo, tomamos a liberdade de omeá-lo por: Teorema dos Poliômios Tagetes Sejam f e g dois poliômios quaisquer. Se os gráficos de f e de g são tagetes o poto de abscissa x = a, etão o poliômio h, dado por h( x) f ( x) g( x), é divisível por x a. Demostração: Sejam f e g dois poliômios tagetes um poto de abscissa x=a. Neste caso, as fuções e suas derivadas coicidem este poto, ou seja, f ( a) g( a) e f '( a) g '( a). Represetado f e g em forma de série de Taylor em toro de x a, temos, f ''( a) f ( x) f ( a) f '( a)( x a) ( x a) g''( a) g( x) g( a) g '( a)( x a) ( x a) Subtraido membro a membro, temos o poliômio h dado por f ''( a) g ''( a) h( x) f ( x) g( x) ( x a) x a C.Q.D. dode cocluímos que h é divisível pelo meos por. Estes resultados ão aparecem a orgaização praxeológica de derivadas, cotudo, como veremos mais adiate, existe uma relação muito forte etre estes cohecimetos com o estudo de poliômios. Mas afial, o que é uma praxeologia?. Modelo praxeológico Na realização da aálise a priori da sequêcia que os referimos, recorremos à abordagem praxeológica da TAD. Essa abordagem é um modelo para a aálise da ação humaa istitucioal, composto de quatro oções: Tarefa, Técica, Tecologia e Teoria. O símbolo T é adotado

4 para represetar um tipo de tarefa idetificada uma praxeologia de referêcia 1, cotedo pelo meos uma subtarefa t. A técica, deotada por, é uma maeira de fazer ou de realizar um tipo de tarefa. A tecologia, deotada por θ, é um discurso racioal (o logos) que tem por objetivo justificar e esclarecer o uso da técica, garatido que esta permita realizar as tarefas do tipo T. Por último, a teoria, represetada por, tem como fução justificar e torar compreesível uma tecologia. As quatro oções descrevem uma orgaização praxeológica completa [T///], que pode ser decomposta em dois blocos [T/] e [/], costituido, respectivamete, o saber-fazer [praxe] e o ambiete teóricotecológico [logos]. Assim, afirma-se com base estas oções que produzir, esiar e apreder matemática são ações humaas istitucioais que podem ser aalisadas com base este modelo. Neste cotexto, uma orgaização praxeológica referete às atividades matemáticas é uma orgaização matemática. A praxeologia restrita a um determiado saber recebe este ome, este caso, a praxeologia de derivadas ou de declives. Nesta e em toda praxeologia matemática, os seus objetos ão são acessíveis a ão ser por meio de registros de represetação. Aí o iteresse de estudarmos a TRRS de Duval (1993). Assim, a abordagem praxeológica, ão é suficiete para coduzirmos a aálise a priori..3 Teoria de Registros de Represetação Semiótica Esta teoria foi desevolvida por Duval (1993) e permite aalisar um dado objeto do saber em diferetes registros de represetação. Com efeito, dois termos são esseciais para a compreesão desta teoria: objeto e represetação. Vale ressaltar que tais termos ão podem ser cofudidos o tratameto de saberes, em especial, matemáticos. Para Duval (1993, p. 37) a distição etre um objeto e a sua represetação é, portato, um poto estratégico para a compreesão da Matemática. A represetação de um objeto e a coversão de represetações etre registros, por exemplo, são comus as práticas do Professor de Matemática em sala de aula, quado este pretede fazer com que os seus aluos compreedam uma determiada oção de difícil etedimeto o registro o qual o objeto foi iicialmete apresetado. Duval (1993, p. 38) acredita que existe um paradoxo cogitivo do pesameto matemático: de um lado, a apreesão dos objetos matemáticos pode ser apeas uma apreesão coceitual e, de outro lado, só por meio de represetações semióticas é que uma atividade sobre objetos matemáticos é possível. Mas, o que é uma represetação semiótica? É uma represetação de uma ideia ou um objeto do saber, costruída a partir da mobilização de um sistema de siais. Sua sigificação é determiada, de um lado, pela sua forma o sistema semiótico e de outro lado, pela referêcia do objeto represetado. (HENRIQUES, ATTIE, FARIAS, 007, p. 69). Um euciado em lígua matera, uma fórmula algébrica, um gráfico de uma fução ou uma figura geométrica, o cojuto dos úmeros, por exemplo, são represetações semióticas que revelam sistemas semióticos diferetes, com diferetes sigos. Apoiados esta teoria, Herique & Almouloud (015, p.3) sustetam que, detre os registros de represetação que podemos pesar a Educação Matemática, quatro são predomiates. Os autores apresetam a Figura 1, um esquema ilustrativo de tais 1 Orgaização de um objeto de saberes idetificado uma istituição de referêcia ou de aplicação [Heriques, Nagamie, Nagamie (01)].

5 registros como forma de cotribuir para a reflexão sobre um objeto e suas possíveis represetações estes registros. Figura 1: possíveis registros de represetação de um objeto matemático. OBJETO Lig. Matera Registro Algébrico Registro Gráfico Registro Numérico Fote: Heriques, Almouloud (015) Eles reforçam que o tratameto dos objetos matemáticos depede, portato, das possibilidades de suas represetações. Em seguida forecem a seguite defiição: Um registro de represetação é um sistema dotado de sigos que permitem idetificar uma represetação de um objeto do saber. Etedemos etão que a represetação de um objeto do saber ocorre um determiado registro. Por exemplo, represetar um poliômio o registro gráfico, sigifica visualizar o gráfico da respectiva fução poliomial. Mobilizados os registros, Duval (1993) distigue três atividades cogitivas fudametais, ligadas aos registros de represetações: a formação de uma represetação semiótica, baseada a aplicação de regras de coformidade e a seleção de certas características do coteúdo evolvido; o tratameto de uma represetação, é a trasformação desta represetação o mesmo registro ode foi formada, sedo, portato, uma trasformação itera um registro; e, a coversão de uma represetação, que é a trasformação desta represetação de um registro para outro. Segudo Heriques, Attie e Farias (007), A escolha de um registro de represetação adequado pode favorecer o tratameto (trasformações das represetações ao iterior de um mesmo registro). No etato, dispor de vários registros de represetação ão é suficiete para garatir a compreesão. Uma seguda codição é ecessária: a coordeação dos registros de represetações. Ela se maifesta pela capacidade de recohecer, em duas represetações diferetes, represetações de um mesmo objeto. Ela aparece como a codição fudametal para todo tipo de apredizagem. HENRIQUES, ATTIE, FARIAS (007, p. 70). Com base estas teorias, apresetamos uma aálise a priori de uma sequêcia composta por cico tarefas que podem ser realizadas com aplicação de diversas técicas (), os diferetes registros de represetação, justificadas pela tecologia () que se utiliza da teoria () de poliômios como objeto de estudo. Mas, o que é uma Sequêcia Didática? 3. SEQUÊNCIA DIDÁTICA Heriques (001) compreede a SD como um dos aspectos da Egeharia Didática desevolvida por Artigue (1988). Esta Egeharia vista como uma metodologia de pesquisa, caracteriza-se por um esquema experimetal baseado em realizações didáticas em sala de aula, isto é, a cocepção, a realização, a observação e a aálise sequecial de atividades Regras a respeitar a formação de uma represetação semiótica, tais como regras gramaticais quado se trata de líguas materas, regras de represetação gráfica, regras de cálculos uméricos.

6 de esio (ARTIGUE, 1988). Geralmete esta Egeharia, o papel do Professor, segudo Douady (1993): É o do egeheiro que vai realizar um projeto. Este projeto evolui a medida em que ocorrem as trocas professor/aluos em fução das escolhas do professor pela experiêcia a disciplia. A egeharia é o resultado de uma aálise prelimiar e, ao mesmo tempo, de adaptação do fucioameto dessa aálise em codições diâmicas a sala de aula. Com base esta metodologia, a aálise istitucioal e por eteder uma sequêcia didática como um dos aspectos desta egeharia, Heriques (001) defie: Uma sequêcia didática é um esquema experimetal de situações-problema ou tarefas, realizadas com um determiado fim, desevolvida por sessões de aplicação a partir de um estudo prelimiar (aálise istitucioal) em toro do objeto do saber e de uma aálise matemática/didática, caracterizado os objetivos específicos de cada problema/tarefa (HENRIQUES, 001, p. ). Para o autor, as aálises matemática/didáticas devem evideciar as técicas de realização e cotrole das tarefas que são frutos da praxeologia do objeto de estudo visado, os resultados esperados, os pré-requisitos, as variáveis didáticas das situações e as competêcias ecessárias para a realização das tarefas. Tais variáveis possibilitam difereciar a diversidade de tarefas propostas aos estudates. Assim, amparado a egeharia, Heriques (001) decompõe a SD em cico etapas: aálise prelimiar (aálise istitucioal), orgaização da sequêcia, aálise a priori, aplicação da sequêcia e aálise a posteriori e validação. Seguido as descrições do autor, orgaizamos uma SD costituída de um dispositivo experimetal que apresetamos a seguir. 3.1 Dispositivo Experimetal O dispositivo experimetal que apresetamos a seguir está orgaizado em duas sessões com cico tarefas cada, que podem ser propostas aos estudates de uma istituição de referêcia como, por exemplo, o curso de Liceciatura em Matemática da UESC. Quadro 1: Dispositivo experimetal para aálise de práticas de estudates Dispositivo experimetal para a aálise de práticas de estudates sobre o estudo de derivadas de um poliômio e suas relações a Educação Básica. Professor da turma (opcioal): Nome do estudate (opcioal): Data: / / U E S C Utilizar os coceitos de derivada e de declive da reta tagete para realizar cada tarefa abaixo, descrevedo e justificado suas estratégias de resolução em cada caso. Sessão 1: Estudo de Derivadas a Istituição de referêcia (IES) T1. Dado o poliômio f(x) = c, com c, represetar o registro gráfico a derivada de f o poto de abscissa x autilizado o coceito de limite. T. Dado o poliômio f ( x) x, com, represetar o registro algébrico a derivada de f o poto de abscissa x autilizado o coceito de limite. Sejam f uma fução poliomial e c uma costate ão ula. Utilizado limites, represetar o T3. registro algébrico a derivada do produto cf(x) o poto de abscissa x a, e escrevê-la em fução da derivada de f e da costate c. Sejam f e g dois poliômios quaisquer. Utilizado limites, represetar o registro algébrico a T4. derivada da soma destas fuções o poto de abscissa x a, e escrevê-la em fução das derivadas de f e de g. T5. Dado um poliômio 4 f ( x) x 3x 5, represetar o registro algébrico a derivada de f

7 o poto de abscissa x= por duas maeiras distitas: utilizado limites e as propriedades obtidas a realização das tarefas T1, T, T3 e T4. Sessão : Estudo de Declives (coeficietes agulares) de retas a Istituição de aplicação (IEB) Dado o poliômio f(x) = c, com c, descrever e represetar o registro algébrico o declive T1. da reta tagete ao gráfico de f o poto de abscissa x a. Dado o poliômio f ( x) x, com, represetar o registro algébrico o declive da reta T. tagete ao gráfico de f o poto de abscissa x a. Seja m1 o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio f(x) o poto de abscissa x a. T3. Represetar o registro algébrico o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio cf(x), ode c é uma costate ão ula. Sejam m f e m os declives das retas tagetes aos gráficos de dois poliômios, f e g, o poto g T4. de abscissa x a. Represetar o registro algébrico o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio soma de f e g este poto. 4 Dado um poliômio f ( x) x 3x 5, represetar o registro algébrico o declive da reta T5. tagete ao gráfico de f o poto de abscissa x= utilizado o método das retas tagetes e em seguida as propriedades obtidas a realização das tarefas T1, T, T3 e T4. Fote: Dados da pesquisa itera O osso iteresse pricipal este artigo é torar explícitas as possíveis relações existetes etre saberes uiversitários, em particular de derivadas, e saberes que os estudates tiveram cotato as istituições da Educação Básica, como o declive de reta tagete a uma curva. Com este desígio, o estudo de práticas de estudates este dispositivo tora-se mais produtivo do que o de aluos que hão de estabelecer aida a relação com as derivadas. Assim, a seguir passaremos ao desevolvimeto da aálise a priori e sequecial de cada tarefa proposta a seguda sessão do dispositivo (Quadro 1), com base a praxeologia de declive de reta tagete a uma curva em um poto. Nesta aálise, destacamos duas técicas: 1. Técica 1 : Método da Reta Tagete Esta técica refere-se à aplicação sucessiva do teorema de Euclides e dos Poliômios Tagetes a realização de uma tarefa específica que requer a determiação do declive da reta tagete. Esta técica correspode a IES ao cálculo de derivadas por defiição.. Técica : aplicação das propriedades dos declives das retas tagetes Esta técica refere-se à aplicação de propriedades adquiridas a realização quatro primeiras tarefas do dispositivo. Esta técica correspode a IES ao cálculo de derivadas utilizado as propriedades. A aálise correspodete às tarefas propostas a primeira sessão pode ser ecotrada a orgaização praxeológica de derivadas os cursos de Cálculo Diferecial e Itegral (CDI) as IES. 3. Aálise a priori Como vimos a orgaização de uma sequêcia didática, a aálise a priori requer ao pesquisador apresetar o estudo das codições de realização, a caracterização dos objetivos específicos, as estratégias e as técicas istitucioais de realização de cada tarefa, colocado em evidêcia as variáveis didáticas, as soluções possíveis, os resultados esperados, os pré-requisitos e as competêcias. Neste artigo os limitamos a apresetar os objetivos específicos, as técicas de resolução e os resultados esperados em cada tarefa proposta a seguda sessão. A primeira tarefa traz o seguite euciado:

8 T1. Dado o poliômio f(x) = c, com c, descrever e represetar o registro algébrico o declive da reta tagete ao gráfico de f(x) o poto de abscissa x a. O objetivo desta tarefa é estabelecer a regra para o declive do gráfico de uma fução costate os registros algébrico e a liguagem matera com base a visualização gráfica 3. Temos que f(x) = c, com c, é uma fução costate, cuja represetação o registro gráfico é uma reta paralela ao eixo-x passado o poto de ordeada y c. Com efeito, a reta tagete ao gráfico de f o poto de abscissa x a é coicidete ao próprio gráfico de f. Assim, o declive desta reta o referido poto, que deotamos por d, é P( x, y) igual a zero. Ou seja, para todo poliômio costate, tem-se que dp( a, f ( a)) 0 o registro algébrico. Este resultado é equivalete à derivada de uma fução costate (cf. a praxeologia de derivada de fuções de uma variável em CDI a IES). T. Dado o poliômio f ( x) x, com, represetar o registro algébrico o declive da reta tagete ao gráfico de f o poto de abscissa x a. O objetivo desta tarefa é estabelecer uma relação fucioal etre o gráfico de um moômio e o declive da reta tagete a esse gráfico o poto de abscissa x = a. Seja g( x) mx k, com m e k costates reais, a represetação o registro algébrico da reta tagete ao gráfico da fução f ( x) x o poto de abscissa x = a. Neste poto, os valores fucioais de g e de f coicidem. Ou seja, g(a) = f(a), dode resulta que k f ( a) ma. Pelo Teorema dos Poliômios Tagetes, uma fução h dada por h(x) = f(x) g(x) é divisível por x a. Assim, como f ( x) g( x) x ( mx k) x mx ( f ( a) ma) x f ( a) mx ma x f ( a) m( x a) x a m( x a), temos que h( x) x a m( x a). () Como estratégia, procederemos com a divisão de h(x) porx a duas vezes, hx ( ) hx ( ) ( x a) obtedo assim, um poliômio ( x). Ou seja, faremos ( x). ( x a) ( x a) De () temos que, h( x) x a m. (3) x a x a Tedo em cota que x a 1 x ax a x a 1, (4) x a de (3) vem a seguite represetação para o quociete: (1) 3 A visualização gráfica ão deve ser etedida como uma represetação de uma fução ou equação o registro gráfico. Esta represetação pode ser metal. Logo, a visualização ocorre em todos os registros de represetação possíveis do objeto em jogo.

9 hx ( ) 1 1 q( x) x ax a x a m. (5) x a Se dividíssemos o resultado obtido em (5) por x a teríamos o quociete ( x) desejado. Mas ão é ecessário fazer esta divisão, pois o osso iteresse está o resto desta divisão. Com base o Teorema dos Poliômios Tagetes, o resto desta divisão tem de ser igual a zero. Além disso, pelo Corolário do Teorema de Euclides, o resto da divisão de um poliômio qualquer p(x) por x a é exatamete p(a). Como de (5), q(x) é poliômio, temos que o resto da sua divisão por (x a) é: q( a) a a a a m. (6) 1 a m. Mas qa ( ) 0, logo cocluímos que m a 1. Este resultado é equivalete à derivada da fução f ( x) x o poto de abscissa x = a (cf. a praxeologia de derivada de fuções de uma variável em CDI a IES). T3. Seja m1 o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio f(x) o poto de abscissa x a. Represetar o registro algébrico o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio cf(x), ode c é uma costate ão ula. O objetivo desta tarefa é estabelecer a relação fucioal etre o declive da reta tagete ao gráfico de um poliômio f o poto de abscissa x = a e o declive da reta tagete ao gráfico de um múltiplo escalar de f o mesmo poto. Sejam c uma costate ão ula e m1 o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio f o poto de abscissa x = a. Seja g( x) m1 x k a fução correspodete à referida reta tagete. Multiplicar o poliômio f por c o registro algébrico, correspode a esticar ou ecolher (coforme c 1 ou c 1, respectivamete) a represetação de f o registro gráfico ao logo do eixo-y. Deste modo, o mesmo ocorre com a reta tagete em ambos os registros. Isto se justifica pela coversão e coordeação de represetações de fuções etre registros. Portato, a fução correspodete à reta tagete ao poliômio cf(x), que deotaremos por h(x), o poto de abscissa x = a, pode ser represetada o registro algébrico por h( x) cg( x) cm1 x ck. Ou seja, o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio cf o poto de abscissa x = a é igual a cm. 1 Na praxeologia de derivada de fuções de uma variável em CDI a IES, este resultado correspode à derivada de uma fução f(x) multiplicada pela costate ão ula c. T4. Sejam m f e mg os declives das retas tagetes aos gráficos de dois poliômios, f e g, o poto de abscissa x a. Represetar o registro algébrico o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio soma de f e g este poto. O objetivo desta tarefa é estabelecer a propriedade aditiva dos declives. Sejam m f e mg os declives das retas tagetes aos gráficos de dois poliômios, f e y ( x) m x k y ( x) m x k as fuções das g, o poto de abscissa x = a, e f f 1, g g respectivas retas. Pelo Teorema dos Poliômios Tagetes, os poliômios f ( x) y ( x) e são divisíveis por x a g( x) y ( x) g. Cosideremos a fução poliomial h(x) dada por h( x) f ( x) g( x). Seja yh( x) mhx k a fução correspodete à reta tagete ao gráfico de h o poto de abscissa x = a. Pelo Teorema dos Poliômios Tagetes, o poliômio h( x) y ( x) é f h

10 divisível por x a x a. Mas, h( x) yh( x) f ( x) g( x) yh( x). (7) Somado e subtraido yf ( x) e yg ( x) ao segudo membro de (7), temos: h( x) y ( x) f ( x) y ( x) g( x) y ( x) y ( x) y ( x) y ( x). (8) h f g f g h Como os poliômios h( x) y ( x), f ( x) y ( x) e g( x) y ( x) são divisíveis por h e y ( x) y ( x) y ( x) é um poliômio de grau iferior a, cocluímos que f g h y ( x) y ( x) y ( x) deve ser ideticamete ulo. Logo, y ( x) y ( x) y ( x). Dode f g h f g h f g cocluímos que mh m. f mg Na praxeologia de derivadas de fuções de uma variável em CDI a IES, este resultado correspode à propriedade da soma de derivadas de duas fuções f(x) e g(x) em dado poto de abscissa x=a. A quita e última tarefa do dispositivo traz o seguite euciado: T5. 4 Dado um poliômio f ( x) x 3x 5, represetar o registro algébrico o declive da reta tagete ao gráfico de f o poto de abscissa x= utilizado o método das retas tagetes e em seguida as propriedades obtidas a realização das tarefas T1, T, T3 e T4. O objetivo desta tarefa é exemplificar o cálculo do declive de uma reta tagete ao gráfico de um poliômio específico um determiado poto do seu gráfico, recorredo às técicas 1 e. Vamos resolver iicialmete o problema utilizado o Método das Retas Tagetes. A reta tagete ao gráfico de uma fução f o poto de abscissa x = a, é represetada, o registro algébrico, por y( x) mx k. Como o gráfico de f e esta reta são tagetes o poto de abscissa x =, temos que y() = m + k = f() = 9, ou seja, k = 9 m. Portato, y(x) = m(x - ) + 9. Pelo Teorema dos Poliômios Tagetes, o poliômio h(x) = f(x) y(x) é divisível por x. Como 4 f ( x) x 3x 5, temos que 4 h( x) x 3x mx 4 m. Assim, devemos efetuar a divisão do poliômio h(x) por ( x ) x 4x 4. Ou seja, 4 3 x x x mx m x x x x x x x x x mx x x x 9 (16 ) 4 x m x m -9x 36x36 (0 m) x 40 m Como a divisão deve ser exata, o resto tem de ser ideticamete ulo, dode cocluímos que m = 0. A seguir, realizamos a mesma tarefa utilizado as propriedades demostradas as tarefas T1, T, T3 e T4. 4 O poliômio f ( x) x 3x 5 pode ser visto como a soma de três poliômios: f ( x) x 4, f ( x) 3x e 1 f ( ) 5 3 x. Assim, da tarefa T4 podemos cocluir que o declive da reta tagete ao gráfico do poliômio f( x ) o poto de abscissa x = é igual à soma dos declives das retas tagetes aos gráficos dos poliômios f1, f e f 3. Da tarefa T, temos

11 3 que o declive do primeiro moômio é igual a 4 3 ; das tarefas T e T3, temos que o declive do segudo moômio é igual a 3 1 ; e da tarefa T1, temos que o declive do último moômio é igual a zero. Assim, o declive da reta tagete ao gráfico da fução f é igual a 3-1 = 0. Obtivemos assim o mesmo resultado! Além disso, a praxeologia de derivada de fuções de uma variável em CDI a IES, este resultado 4 correspode à derivada de f ( x) x 3x 5o poto de abscissa x=. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Buscamos com este artigo discutir sobre o estudo da derivada de poliômios sem recorrer à praxeologia proposta os cursos de Cálculo Diferecial e Itegral as istituições de Esio Superior. Cotudo, mostramos os resultados obtidos esta praxeologia mobilizado a oção de declive de uma reta tagete a uma curva. Apropriamo-os do quadro teórico costituído pela abordagem praxeológica, da teoria de registros e dos teoremas sobre divisibilidade de poliômios, para torar explícita a estreita relação existete etre a derivada de um poliômio um dado poto e o declive da reta tagete à curva deste poliômio esse poto. Acreditamos que a relação etre ambas as oções (derivada e declive) pode, perfeitamete, ser trabalhada e evocada explicitamete o processo esio-apredizagem de CDI a Liceciatura de Matemática, de tal sorte que ão passe despercebida a relação pessoal dos estudates com estes cohecimetos, reforçado-se, por coseguite, os saberes iteristitucioais. 5. REFERÊNCIAS Artigue, M,. Igéierie didactique. Recherches e Didactique de Mathematiques. Fraça, v. 9, o 3, p , DOUADY, R., L igeierie didactique, u moye pour l eseigatd orgaiser les rapports etre l esegemet et l appretissage. Cahier de DIDIREM. Fraça: IREM, Uiversité Paris 7,. 19, DUVAL, R., Registres de représetatio sémiotique et foctioemet cogitif de la pesée. I: DIDACTIQUE ET DE SCIENCES COGNITIVES, 1993, Strasbourg. Aales de didactique et de scieces cogitives. Fraça: IREM de Strasbourg, v. 5, p , HENRIQUES, A. Diâmica dos Elemetos da Geometria Plaa em Ambiete Computacioal. Ilhéus: Editus, 001. HENRIQUES, A., ATTIE, J. P. & FARIAS, L. M. S., Referêcias Teóricas da Didática Fracesa: Aálise didática visado o estudo de itegrais múltiplas com auxílio do software Maple, Revista Educação Matemática Pesquisa, vol. 9.1, 007. HENRIQUES, A., NAGAMINE, A. & NAGAMINE, C. M. L., Reflexões Sobre Aálise Istitucioal: o caso do esio e apredizagem de itegrais múltiplas. Bolema, Rio Claro (SP), v. 6,. 44, dez. 01. HENRIQUES, A. & SERÔDIO, R., Iterveção de Tecologias e Noções de Registros de Represetação do Estudo de Itegrais Múltiplas a Liceciatura em Matemática, I: COLÓQUIO DE HISTÓRIA E TECNOLOGIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA, VI,

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