Funções trigonométricas e números complexos: uma abordagem possível na Educação Básica

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1 Fuções trigoométricas e úmeros complexos: uma abordagem possível a Educação Básica Trigoometric fuctios ad complex umbers: a possible approach i Basic Educatio REINALDO OLIVEIRA REIS JÚNIOR 1 EDNAILTON SANTOS SILVA Resumo Neste trabalho, apresetamos uma abordagem sobre a orgaização dos coceitos de Trigoometria que servem de referêcia para a exploração de propriedades o cojuto dos úmeros complexos Para evideciarmos essas relações, elaboramos uma Sequêcia Didática, cotedo um Dispositivo Experimetal com cico tarefas em uma sessão uitária, ecessárias para a utilização dos coceitos referidos em um ambiete computacioal, com o software GeoGebra, dispodo iclusive da resolução das tarefas em ambiete papel/lápis Neste último, destacamos as características e comados ieretes às possíveis estratégias de resolução cofrotado com as técicas utilizadas aquele Dessa forma, evideciamos que há iteresse este trabalho, uma vez que, o cojuto dos úmeros complexos apreseta-se empiricamete esquecido das salas de aula Esperamos assim, forecer subsídios para o esio e apredizagem da Trigoometria mediado pelas ferrametas tecológicas a Educação Básica Palavras-chave: Ambietes de apredizagem; Trigoometria; Números complexos Abstract We preset a approach to the orgaizatio of the cocepts of trigoometry that serve as referece for the exploratio of properties i the set of complex umbers To evidece these relatioships, we developed a Didactic Sequece, cotaiig a Experimetal Device with five tasks i a uitary sessio, ecessary for the use of the cocepts referred to i a computig eviromet, with GeoGebra software, providig eve the resolutio of tasks o paper eviromet/pecil I the latter, it highlights the features ad commads iheret to the possible resolutio strategies cofrotig the techiques used i that Thus, we oted that there is iterest i this work, sice the set of complex umbers is preseted empirically forgotte the classroom We hope to provide grats for teachig ad learig Trigoometry mediated by techological tools i the Basic Educatio Keywords: Learig eviromets; Trigoometry; Complex umbers Itrodução As represetações assumem papel importate o processo de esio e apredizagem da Matemática, pricipalmete o que tage aos coceitos que evolvem a Trigoometria Nesse cotexto, é importate que os aluos compreedam que existe uma variedade de 1 Uiversidade Estadual de Sata Cruz oliveira981@hotmailcom Uiversidade Estadual de Sata Cruz edysatos-1@hotmailcom Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

2 represetações para as ideias matemáticas e que adquiram a capacidade de passar iformações de uma forma de represetação para outra, estabelecedo desta forma relações etre diferetes ideias matemáticas sobre um tema, em particular o estudo da Trigoometria, domíio da Matemática ode existe uma grade riqueza de represetações (Kiera, 007) Ate estes fatores, é válida a observação de que os tópicos que abragem a Trigoometria são cotemplados em praticamete todas as istituições de esio, desde a Educação Básica (EBa) até o Esio Superior, ratificado tato os Projetos Políticos Pedagógicos (PPP, quado referido à Educação Básica) quato os Projetos Acadêmicos Curriculares (PAC, quado referido ao Esio Superior) Em se tratado do Esio Superior, o habitat da Trigoometria orteia algumas disciplias pricipalmete o que diz respeito ao tópico fuções trigoométricas Além disso, evideciamos que as fuções trigoométricas, são objetos de estudo que favorecem a resolução ou modelagem de situações do cotidiao e de domíios cietíficos diversos (como aplicações a Física, em odulatória, por se tratar de um feômeo descrito por fuções periódicas), bem como são utilizadas em outros campos coceituais da Matemática como os Números Complexos Dessa forma, a tetativa de relacioar coteúdos propostos o Esio Superior para a Educação Básica é possível, uma vez que, a orgaização dos coceitos de um dado coteúdo matemático oferece ao professor camihos para a adequação destes a uma liguagem didática e acessível Porém, para o desevolvimeto deste trabalho de forma efetiva é ecessário ao docete, além de atualizar-se acerca destes cohecimetos, refletir sobre suas escolhas metodológicas para práticas em sala de aula, uma vez que, segudo as Diretrizes Curriculares Nacioais para os cursos de Matemática, [] a formação do matemático demada do aprofudameto da compreesão dos sigificados matemáticos, a fim de que ele possa cotextualizá-los adequadamete [] É preciso que estes cohecimetos também sejam cosiderados ao logo de sua formação como professor (Brasil, 1999, p 4) Assim, a fim de correlacioar a temática proposta com o uiverso teórico adequado optamos por elaborar uma Sequêcia Didática (SD) baseada a aálise istitucioal em toro dos coceitos de Trigoometria (com ateção especial às fuções trigoométricas) aplicados aos Números Complexos, explorado assim atividades que coteham elemetos que favoreçam a abordagem destas ideias a EBa proporcioado também a utilização do software GeoGebra 3 A seguir, apresetamos a coceitos de acordo com a 3 O GeoGebra, é um software de geometria diâmica, desevolvido por pesquisadores da Uiversidade americaa Florida Atlatic Uiversity Este software vem sedo utilizado o Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

3 aálise de um livro didático proposto para a EBa, bem como algumas defiições que os orteiam, e em outras duas seções seguites destacamos algumas referêcias que justificam a proposta deste trabalho, além da apresetação das tarefas que compõe a SD 1 Fuções trigoométricas e os úmeros complexos A abordagem das fuções trigoométricas os úmeros complexos cotempla o tópico Forma Trigoométrica ao Polar dos Números Complexos Nesse setido, como prérequisito para o desevolvimeto deste coteúdo faz-se ecessário recorrer imediatamete à orgaização dos coceitos relativos às fuções trigoométricas Assim, de forma sucita apresetamos tal abordagem abaixo Forma Trigoométrica ou Polar dos Números Complexos A represetação trigoométrica dos úmeros complexos é um caso particular da utilização das coordeadas polares Na represetação trigoométrica, um úmero z é determiado pela orma do vetor que o represeta e pelo âgulo que faz com o semieixo positivo das abcissas Ao âgulo θ chama-se argumeto de z e a ρ dá-se o ome de módulo de z, com z = a + bi e ρ = a + b Observe a represetação abaixo: Figura 1: Represetação do módulo e do argumeto do úmero complexo z a b A partir das relações trigoométricas obtêm-se: cosθ = e seθ =, ode ρ ρ maipulado algebricamete temos que: a = ρcosθ e b = ρseθ Substituido o valor de a e b ecotrados em z = a + bi, segue que, a forma trigoométrica, z = ρ(cosθ + ise θ) Assim, duas operações podem ser defiidas utilizado a forma trigoométrica dos úmeros complexos: a multiplicação e a divisão Esio da Matemática as istituições da Educação Básica e Superior Possui uma ifiidade de ferrametas capazes de iflueciar o referido esio Além de editado em uma versão em lígua portuguesa, este software apreseta mais uma valia: é de domíio livre (gratuito), dispoível pelo lik Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

4 Dados os úmeros complexos ão ulos z1 = z1 (cosα1+ ise α1) e z = z (cosα + ise α ) calculemos o produto desses úmeros e o quociete etre eles Multiplicação de Números Complexos a Forma Trigoométrica z1 z = z1 (cosα1+ ise α1) z (cosα + ise α) z1 z = z1 z (cosα1 cosα + icosα1seα + iseα1 cosα + i seα1se α) z1 z = z1 z (cosα1 cosα + icosα1seα + iseα1 cosα seα1se α) z1 z = z1 z [cosα1 cosα seα1 se α + i(cosα1seα + seα1cos α)] Porém, duas idetidades trigoométricas são otáveis a última equação, são elas: cos( α1+ α) = cosα1cosα seα1seα se( α + α ) = cosα seα + seα cosα Dessa forma, z z = z z [cos( α + α ) + ise( α + α )] Portato, o produto de dois úmeros complexos z 1 e z a forma trigoométrica é o úmero cujo módulo é igual ao produto dos módulos de z 1 e z e cujo argumeto é igual à soma dos argumetos de z 1 e z Divisão de Números Complexos a Forma Trigoométrica z1 Cosideremos iicialmete que z, com z 0, etão: z1 z1 (cosα1+ ise α1) = z z (cosα + ise α ) z1 z1 (cosα1+ ise α1) (cosα ise α) = z z (cosα + ise α ) (cosα ise α ) z z (cosα cosα iseα cosα + iseα cosα i seα se α ) z z i z z z z = cos α se α z [cosα cosα + seα se α + i(seα cosα + seα cos α )] = z cos α + se α z = [cos α1 cos α + se α1 se α + i (se α cos α1+ se α1 cos α )] z 1 1 Porém, duas idetidades trigoométricas são otáveis a última equação, são elas: Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

5 cos( α α ) = cosα cosα + seα seα se( α α ) = seα cosα seα cosα Portato, o quociete etre dois úmeros complexos z 1 e z a forma trigoométrica é o úmero cujo módulo é igual ao quociete etre os módulos de z 1 e z e cujo argumeto é igual à difereça etre os argumetos de z1 e z Da multiplicação de úmeros complexos em sua forma trigoométrico, evideciamos também duas propriedades relevates estudadas pelo matemático fracês Abraham De Moivre ( ), deomiadas posteriormete de fórmulas de Moivre Poteciação de Números Complexos a Forma Trigoométrica Note que o produto de úmeros complexos z1 z z3 z é dado por: z z z z 1 3 = z z z z [cos( α + α + α + + α ) + ise( α + α + α + + α )] Mas, e se z1 = z = z3 = z, temos, esse caso, z = zzz z, isto é, fatores z = zzz z= z z z z [cos( α + α + α + + α) + ise( α + α + α + + α)] Como, z z z z = z e α + α + α + + α = α, etão: z = z [cos( α) + ise( α)] A equação acima, a orgaização praxeológica da abordagem das fuções trigoométricas os úmeros complexos, é deomiada de 1ª Fórmula de Moivre Portato, portato z, com e z 0 Ν a forma trigoométrica, é o úmero cujo módulo é igual ao módulo de z elevado a e cujo argumeto é igual ao de z multiplicado por Esta relação também é válida para expoetes iteiros egativos Radiciação de Números Complexos a Forma Trigoométrica Dado um úmero complexo z = z (cosα + ise α), ão ulo, pretedemos calcular z (cosα + ise α), ou seja, a raiz -ésima de z com Ν e Calcular a raiz - ésima de um úmero complexo a forma trigoométrica cosiste em determiar o úmero complexo w, tal que, w = z (cosα + ise α), isto é, Fazedo, w= w (cos β + ise β), temos: w = z [ w (cos β + ise β)] = z (cosα + ise α) Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10, w = z

6 Pela 1ª Fórmula de Moivre, segue que: w [cos( β) + ise( β)] = z (cosα + ise α) Como úmeros complexos iguais têm módulos iguais e argumetos cogruetes: (i) w = z w = z ; α + kπ (ii) β = α + kπ β =, com k Ζ; α + kπ Como w = z e β =, etão: α + kπ α + kπ wk = z cos + ise Essa relação é cohecida como a ª Fórmula de Moivre Para k = 0,1,,3,,( 1), temos argumetos diferetes etre si e pertecetes ao itervalo [0, π[ Cosequetemete, obtemos valores diferetes para w, ou seja, w0, w1, w, w3,, w 1distitos etre si, o que sigifica que há raízes distitas para k de 0 a -1 Note que, para valores maiores que -1, os valores de w começam a se repetir Assim, evideciados os tópicos de fuções trigoométricas presetes a abordagem dos úmeros complexos a EBa, destacaremos a seguir o quadro teórico utilizado como justificativa para a elaboração de uma iterveção para o esio-apredizagem de tais coceitos Quadro teórico Heriques, Serôdio (013) cocebem um quadro teórico, como o referecial teórico de base de uma pesquisa, escolhido pelo pesquisador em fução da sua problemática, costituído, pelo meos, por uma teoria capaz de forecer ferrametas de aálise aos estudos que se pretede desevolver Assim, este trabalho está fudametado os pressupostos teóricos da Abordagem Praxeológica da Teoria Atropológica do Didático de Chevallard, com foco a oção de Sequêcia Didática (SD) e a Trasposição Didática, pois pretedemos relacioar um saber cietífico as Fuções de uma Variável Complexa com um saber escolar A seguir, evideciamos os pricipais fios codutores dessas abordages o setido iverso apresetado acima A trasposição didática Trasposição didática é um istrumeto que possibilita trasformar o saber sábio, ou Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

7 cohecimeto cietífico, em saber esiado, ou cohecimeto escolar (Polidoro; Stigar, 010) Nesse setido, deve-se compreeder o cohecimeto cietífico para, a partir do processo de aálise, modificar sua forma matedo os aspectos esseciais de seu coteúdo, e por fim, estabelecer o saber esiado, isto é, aquele que pode ser esiado pelos professores e apredido pelos aluos Três etapas são otáveis e fudametais o processo de trasposição didática, são elas: compreesão e aprofudameto do saber sábio (aquele que os cietistas estabelecem; o cohecimeto difudido as Uiversidades); trasposição para o saber esiar (o cohecimeto que está os livros didáticos); e por meio desta última etapa, trasformá-lo o saber esiado (aquele que acotece em sala de aula) Assim, a Teoria da Trasposição Didática mostra-se importate o poto de vista da metodologia a ser adotada pelo docete No que se refere ao preparo das aulas, por exemplo, deve haver a preocupação em como orgaizálas, redigi-las e como cotextualizá-las, uma vez que, em essêcia o trabalho de trasposição didática diz respeito aos saberes Uma forma de itegrar os coteúdos desejáveis para uma aula e cotribuir para o costrutivismo por parte dos aluos (formulação de hipóteses e validação dos cohecimetos) perpassa pela elaboração de Sequêcias Didáticas Passaremos ao estudo da abordagem referete a esta metodologia de esio/pesquisa 3 Sequêcia Didática (SD) Uma SD tagecia fortemete o coceito de aálise istitucioal em toro dos objetos de estudo ela evolvidos, afirmam Nagamie, et al (011) Ela deve abarcar sujeitos (como estudates, professores, etc) de uma dada istituição de referêcia Sequêcia Didática, o que é? Etededo uma SD como um dos aspectos da Egeharia Didática 4, Heriques (001) propõe a seguite defiição: Uma sequêcia didática é um esquema experimetal formado por situações, problemas ou tarefas, realizadas com um determiado fim, desevolvido por sessões de aplicação a partir de um estudo prelimiar em toro de um objeto do saber e de uma aálise matemática/didática, caracterizado os objetivos específicos de cada situação, problema ou tarefa [costituite de uma praxeologia] 4 A egeharia didática, vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se por um esquema experimetal baseado em realizações didáticas em sala de aula, isto é, a cocepção, realização, observação e aálise sequecial de atividades de esio (Artigue, 1988) Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

8 As aálises matemáticas/didáticas destacam as resoluções possíveis, a forma de cotrole e os resultados esperados em cada situação, pré-requisitos e competêcias Estes são, portato, parte da aálise a priori e desevolvem-se de acordo com a praxeologia de referêcia do objeto de estudo Orgaização de uma Sequêcia Didática Cosideramos cico mometos esseciais o desevolvimeto de uma SD: aálise prelimiar (ou istitucioal), orgaização do dispositivo experimetal (DE) 5, aálise a priori, aplicação da SD e aálise a posteriori 1 Na aálise istitucioal a SD é idealizada com base os objetos de estudo recohecidos a istituição de referêcia Na orgaização do dispositivo experimetal (DE) cosideramos as tarefas correspodetes a praxeologia destacada a aálise istitucioal 3 Na aálise a priori estudamos as codições de realização, da caracterização dos objetivos específicos e da explicitação das técicas istitucioais de realização de cada tarefa, colocado em evidêcia as variáveis didáticas, estratégias e soluções possíveis, resultados esperados, pré-requisitos e competêcias 4 Na aplicação da SD observamos as relações pessoais com o objeto de estudo, com poucas ou ehumas iterveções do pesquisador É este mometo que costituímos um protocolo experimetal 6 a partir das práticas efetivas dos aluos/estudates 5 Na aálise a posteriori aalisamos as práticas istitucioais dos sujeitos evolvidos a pesquisa, com base o protocolo experimetal O cofroto etre as aálises a priori e a posteriori deve possibilitar a discussão de algumas questões de pesquisa, reflexões sobre o papel da istituição de referêcia o apredizado dos sujeitos evolvidos a pesquisa, bem como cotribuir a realização de outras pesquisas A evolução o DE deve permitir acompahar a apredizagem dos 5 É o istrumeto de aálise de práticas istitucioais em toro do objeto de estudo utilizado pelo pesquisador 6 O protocolo experimetal é um documeto costruído pelo pesquisador durate as ivestigações Esse documeto é costituído de mauscritos de aluos/estudates, filmages, trascrições de etrevistas faladas, etrevistas escritas, arquivos de computadores etc A costrução do protocolo experimetal é essecial em pesquisas educacioais e deve costar como aexo a versão fial do mauscrito da pesquisa Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

9 sujeitos X evolvidos, de uma tarefa para outra, com iteções a um dado objeto O, a mesma sessão, e/ou de uma tarefa para as outras de sessões distitas, delieado a relação R(X,O) A Tabela (1) resume a orgaização do DE duma SD Nesta orgaização, cada ki represeta o úmero de tarefas que compõem cada uma das P sessões da SD Sessão I Sessão II Sessão P T1 T1 T1 T T T Deste quadro, surge um outro que resume a orgaização de uma sessão A sequêcia que aalisaremos é baseada esta orgaização, característica de uma sequêcia didática uitária (SDU) Apresetamos a seguir a SD deste trabalho Tk1 Tk Tkp Quadro 1: Orgaização do DE duma Sequêcia Didática Sessão I T1 T Tk1 Objetivos da Sessão I Objetivos específicos da T1 Apresetação da aálise a priori Destacar variáveis didáticas de situações; estratégias de resolução, corretas ou ão da tarefa com as respectivas resoluções; escolha de possíveis estratégias pelos estudates; observação dessas estratégias pertietes a resolução do estudate com o objetivo da pesquisa Quadro : Orgaização de uma sessão experimetal Dispositivo Experimetal (DE) O DE que apresetamos a seguir é orgaizado com 5 tarefas, T1, T,, T5, característica de uma Sequêcia Didática Uitária SDU e poderá ser proposta aos estudates de uma istituição de aplicação da EBa em uma úica sessão Dispositivo experimetal para aálise de práticas de estudates sobre estudo da abordagem das fuções trigoométricas os úmeros complexos Professor da turma (opcioal): Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

10 Nome do aluo (opcioal): Data: / /014 Em cada tarefa abaixo, respoda-as, descrevedo e justificado suas estratégias de resolução em cada caso Sessão 1 T1 T T3 T4 T5 Calcular o argumeto, aqui deomiado de θ, do úmero complexo defiido por z = 1+ 3i Em seguida, represetar graficamete o software GeoGebra e destacar o seu respectivo módulo utilizado as ferrametas do mesmo Escrever o úmero complexo defiido por z = ia forma trigoométrica e, em seguida, represetar graficamete o software GeoGebra e destacar o seu argumeto utilizado as ferrametas do mesmo Sejam os úmeros complexos dados: z1 = (cos 60 + i se 60 ) e z = 4(cos30 + ise 30 ), calcular o produto e o quociete destes utilizado a sua forma trigoométrica Seja o úmero complexo defiido por z = (cos 50 + i se 50 ), calcular a 6 potêcia referete a z Determiar as raízes de ordem cúbica do úmero complexo defiido por 3π 3π z = 8(cos + ise ) * * * A seguir passaremos à realização das soluções sequeciais das tarefas propostas este dispositivo Aálise a priori das tarefas propostas o DE Como vimos a orgaização de uma SD, essa parte estudamos as codições de realização, caracterização dos objetivos específicos e das técicas istitucioais de realização de cada tarefa, colocado em evidêcia as variáveis didáticas, estratégias e soluções possíveis, resultados esperados, pré-requisitos e competêcias A primeira tarefa apreseta o seguite euciado: T1 Calcular o argumeto, aqui deomiado de θ, do úmero complexo defiido por z = 1+ 3i Em seguida, represetar graficamete o software GeoGebra e destacar o seu respectivo módulo utilizado as ferrametas do mesmo Objetivo de T1: calcular o argumeto de um dado úmero complexo e favorecer a coversão etre os registros algébrico e gráfico por meio do software GeoGebra Resolução: Iicialmete, calculamos o módulo de z Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

11 z = = = Agora, calculamos o valor do argumeto pricipal θ: => θ = Utilizado o software GeoGebra: a iterface do GeoGebra, iserir o Campo de Etrada o úmero complexo z = 1+ 3i Marcar a origem do sistema de coordeadas com a ferrameta Novo Poto Em seguida, costruir com a ferrameta Segmeto de Reta o segmeto correspodete à distâcia da origem ao afixo do úmero complexo A essa distâcia chamaremos de módulo de z Como resultado fial da costrução, temos: Figura : Resolução de T1: represetação o software GeoGebra do módulo de z A seguda tarefa solicita: T Escrever o úmero complexo defiido por z = ia forma trigoométrica e, em seguida, represetar graficamete o software GeoGebra e destacar o seu argumeto utilizado as ferrametas do mesmo Objetivo de T: calcular o argumeto de um dado úmero complexo e favorecer a coversão etre os registros algébrico e gráfico por meio do software GeoGebra Resolução: iicialmete, calculamos o módulo e o argumeto de z = = => Utilizado o software GeoGebra: a iterface do GeoGebra, iserir o Campo de Etrada o úmero complexo z = i Marcar a origem do sistema de coordeadas Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

12 com a ferrameta Novo Poto Em seguida, costruir com a ferrameta Segmeto de Reta o segmeto correspodete à distâcia da origem ao afixo do úmero complexo A essa distâcia chamaremos de módulo de z Para a represetação do argumeto, marcar o poto referete ao valor da parte real de z o eixo-x No setido horário, utilizado a ferrameta Âgulo, determiar o argumeto de z Como resultado fial da costrução, temos: Figura 3: Resolução de T: represetação o software GeoGebra do módulo e do argumeto de z A terceira tarefa apreseta o seguite euciado: T3 Sejam os úmeros complexos dados: z1 = (cos 60 + i se 60 ) e z = 4(cos30 + ise 30 ), calcular o produto e o quociete destes utilizado a sua forma trigoométrica Objetivo de T3: calcular o produto e o quociete etre dois úmeros complexos favorecedo a iteração com a forma trigoométrica dos úmeros complexos Resolução: (i) z1 z = 4 [cos( ) + ise( )] = 8(cos90 + ise90 ) = 8i (ii) = [cos(60-30 ) + ise(60-30 )] = (cos30 + ise30 ) = Para a quarta tarefa temos o seguite euciado: T4 Seja o úmero complexo defiido por z = (cos 50 + i se 50 ), calcular a 6 potêcia referete a z Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

13 Objetivo: calcular, utilizado a 1ª Fórmula de Moivre, a potêcia de um úmero complexo Resolução: aplicado a 1ª Fórmula de Moivre: = 6 [cos(6 50 ) + ise(6 50 )] = 64(cos300 + ise300 ) Como cos300 = cos( ), e se300 = - se( ), etão: = 64[= cos( ) - se( )] = 64(cos60 - se60 ) = 3-3 A quita e última tarefa solicita: T5 Determiar as raízes de ordem cúbica do úmero complexo defiido por 3π 3π z = 8(cos + ise ) Objetivo: determiar as raízes de ordem cúbica de um úmero complexo utilizado a ª Fórmula de Moivre Resolução: Como z já está a forma trigoométrica, aplicamos diretamete a ª Fórmula de Moivre: Wk = = Como = 3, temos k = 0, k = 1 ou k = K = 0 => = = K = 1 => = = K = => = = Portato, as raízes cúbicas de z são, e Geometricamete as raízes cúbicas de z estão sobre uma circuferêcia de raio cetrada a origem Nesse caso, w0, w1 e w dividem essa circuferêcia em 3 arcos cogruetes de 10, e são vértices de um triâgulo equilátero Ressaltamos que além da busca pela resposta aos questioametos dos problemas propostos, outras possibilidades sejam levatadas, detre as idagações que podem surgir durate a Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

14 iteração dos aluos ao logo da aplicação deste DE Esses questioametos podem ser registrados, bem como a sua justificativa Nesse setido, após a aplicação a istituição de referêcia/aplicação outra etapa relativa à aálise de uma SD deve ser observada Falamos etão da aálise a posteriori, cujos mometos ficam como perspectivas futuras de pesquisa Cosiderações fiais No presete trabalho, apresetamos uma Sequêcia Didática (SD) composta de um dispositivo experimetal (DE) costituído de cico tarefas que favorecem a exploração da abordagem das fuções trigoométricas os úmeros complexos Sabemos que um coteúdo como as Fuções de uma Variável Complexa ecotra-se atualmete afastado da EBa, e isto ão ocorre por acaso: a base deste coteúdo firma-se em coceitos, leis, teorias e teoremas que servem para a demostração de coceitos matemáticos Reserválo ao Esio Superior é algo compreesível, uma vez que para resolver problemas complexos, é ecessário o cohecimeto destes teoremas, e como cosequêcia, fazer a demostração do problema apresetado mediate a sua aplicação Mesmo assim, é possível fazer a apresetação de tal coteúdo a estas séries, levado-se em cosideração o modo de esio, a metodologia Na EBa ão há a ecessidade da apresetação de tais teoremas, em um aprofudameto maior o coteúdo, mas sim, fazer com que o aluo saiba da existêcia do mesmo, e que lide com coceitos básicos, que poderão, futuramete, auxiliar a apredizagem e o estudo aprofudado dos úmeros complexos, em especial das Fuções de uma Variável Complexa Detre as tarefas propostas esta SD, outras podem ser iseridas No etato, as que aqui foram aalisadas e quado aplicadas a EBa, devem favorecer a familiarização com algus coceitos, e em último caso, se isso ão ocorrer, uma vez que estaremos lidado com coteúdos que diferem do currículo ormativo proposto para a EBa, possibilitaremos o desevolvimeto habilidades possíveis, ecessárias e fudametais ao processo de esio e apredizagem da Matemática, em especial dos úmeros complexos, que cosiste a visualização e coversão de registros Com a abordagem destes tópicos, acreditamos que se pode fometar o desevolvimeto desta habilidade e cocluímos que sim, é possível icluir coteúdos do Esio Superior a EBa Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,

15 Referêcias BRASIL SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTA (000) Parâmetros Curriculares Nacioais: Matemática, Secretaria de Educação Fudametal, Brasília MEC/SEF BRASIL, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO (1999) Diretrizes Curriculares Nacioais para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Liceciatura Brasília Dispoível em: < Acesso em: 0 ju 014 CHEVALLARD, Y (199) Cocepts fodametaux de la didactique: perspectives apportées par ue approche athropologique Recherches e Didactique des Mathématiques 1 (1), CHEVALLARD, Y (1999), L aalyse des pratiques eseigates e théorie athropologique du didactique Recherche e Didactique des Mathématiques V 19/, p 1-66 HENRIQUES, A (006) L eseigemet et l appretissage des itégrales multiples: aalyse didactique itégrat l usage du logiciel Maple UJF-Greoble, Lab Leibiz HENRIQUES, A; ATTIE, J P; FARIAS, L M S (007) Referêcias Teóricas da Didática Fracesa: Aálise didática visado o estudo de itegrais múltiplas com auxílio do software Maple Educação Matemática Pesquisa, v 9, p RIBEIRO, J Matemática: ciêcia, liguagem e tecologia, 3: esio médio / Jackso Ribeiro São Paulo: Scipioe, 010 Revista do Istituto GeoGebra de São Paulo, ISSN , pp88-10,