PROJETO DE MECANISMOS DE 4 BARRAS PARA OBTER UMA TRAJETÓRIA DESEJADA COM AUXÍLIO COMPUTACIONAL

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1 PROJETO DE MECANISMOS DE 4 BARRAS PARA OBTER UMA TRAJETÓRIA DESEJADA COM AUXÍLIO COMPUTACIONAL Alcir Doizete de Souza, Carlos Sergio Pivetta 2, Osvaldo Prado De Rezede 3 Aa Maria Fortes da Foseca 4, Roberto Grechi 5, José Geraldo Trai Bradão 6,2,3,4,5 ETEP - Faculdade de Tecologia de São José dos Campos/Escola de Egeharia, Av. Barão do Rio Braco, 882 Jardim Esplaada CEP , São José dos Campos - SP, doi507@yahoo.com.br, 2 carlos.pivetta@etep.edu.br, 3 osvaldo.rezede@etep.edu.br, 4 aafortes.foseca@gmail.com, 5 roberto.grechi@csa.edu.br 6 UNESP- Uiversidade Estadual Paulista, Av. Ariberto Pereira da Cuha, 333 Bairro Pedregulho, , Guaratiguetá SP, 6 bradao@feg.uesp.br Resumo- O projeto de mecaismos de 4 barras pode ser feito utilizado-se procedimetos gráficos ou aalíticos. Os potos de iteresse dos mecaismos articulados podem gerar trajetórias circulares, retilíeas ou curvilíeas. As dimesões das barras e o tipo de mecaismo determiam estas trajetórias. Para um deslocameto retilíeo ou circular a solução tora-se mais simples, visto que há métodos tradicioais que permitem obter o mecaismo adequado. Quado se deseja obter uma trajetória específica de um poto de iteresse do mecaismo, ão cotemplada por procedimetos de sítese mais comus utilizados a egeharia, a solução tora-se mais difícil. Neste trabalho é apresetada uma rotia aalítica e iterativa de projeto a qual utiliza a equação de Freudestei, o método dos míimos quadrados e o MS Excel para se obter o mecaismo que ateda uma trajetória defiida por um úmero de posições desejadas de um poto de iteresse. Os resultados deste trabalho demostraram que, os casos estudados, as trajetórias desejadas e as obtidas são bem aproximadas. Palavras-chave: Sítese de trajetória para mecaismos de 4 barras; Projeto de mecaismos de 4 barras; Sítese de mecaismos para curva acopladora. Área do Cohecimeto: Egeharia Mecâica Itrodução Um sistema mecâico resulta da associação de subsistemas estruturais e mecâicos, para ateder o objetivo de trasmitir esforços e movimetos. Estes sistemas podem ser defiidos como um cojuto de corpos rígidos ou flexíveis, iterligados por jutas ciemáticas e movidos por forças e mometos. Ao projetar um mecaismo de 4 barras, quado se deseja um deslocameto retilíeo ou circular, a solução tora-se mais fácil, visto que há métodos tradicioais que permitem obter o mecaismo adequado. Quado se deseja obter uma trajetória estabelecida de potos específicos do mecaismo, que ão seja cotemplada com os procedimetos tradicioais existetes, a solução tora-se mais difícil de ser coseguida. Sítese ou projeto de um mecaismo tem como objetivo determiar as dimesões das barras que o compõem de forma a alcaçar posições específicas o fucioameto (NORTON, 999). O objetivo deste trabalho é estudar, aalisar e descrever de forma didática o procedimeto iterativo de Freudestei, proporcioado facilidade para projetar mecaismos de 4 barras que gerem trajetórias desejadas. Este trabalho foi motivado pelo iteresse em utilizar o método de sítese existete a literatura para obter uma trajetória desejada. Foi realizada uma aálise sobre a publicação de Soi (974), visado determiar uma rotia bem defiida e adaptável a uma ferrameta computacioal para elaborar o projeto de mecaismos de 4 barras gerado uma trajetória desejada de uma forma rápida e precisa a partir das coordeadas de cada poto e das posições agulares da barra de etrada estabelecidas. Metodologia No projeto de um mecaismo por meio de sítese é ecessário se atetar quato à precisão desejada, pois em sempre é possível obter a trajetória para a qual o mecaismo foi projetado, e sim uma trajetória aproximada gerado assim o cohecido erro estrutural (MABIE & REINHOLTZ, 987). Existem também erros gerados a fabricação dos mecaismos, resultates das tolerâcias dos comprimetos das barras e das folgas dos potos de articulação, cohecidos como erro mecâico (PIVETTA et al., 2009). Os procedimetos gráficos tiveram grade importâcia, talvez pelo fato que os mecaismos

2 fossem projetados através de tetativa e erro. Este método ão permite alta precisão os resultados, pricipalmete se executados maualmete. Além disto, têm limitações técicas tais como dificuldades os traçados e defiição de escala coveiete. Com o cotíuo desevolvimeto da sítese vários métodos aalíticos foram itroduzidos (MABIE & OCVIRK, 980), detre eles o uso da Equação de Freudestei (UICKER, PENNOCK & SHIGLEY, 2003). A Equação de Freudestei foi obtida utilizado-se o mecaismo de 4 barras cosiderado as barras como vetores. A Figura ilustra o mecaismo de 4 barras com suas respectivas deomiações em que a Equação de Freudestei foi deduzida. k 2 = d / c (6) k 3 = ( a 2 b 2 +c 2 +d 2 ) / (2 a c) (7) A Equação 5, é geralmete utilizada para a sítese aalítica de mecaismos de 4 barras quado se desejam 3 deslocametos (4 fases) defiidos pelas posições agulares das barras de etrada e de saída especificados pelos âgulos θ 2i e θ. A solução é feita substituido-se os respectivos âgulos θ 2i e θ de cada fase do mecaismo a Equação 5, obtedo-se um sistema de 3 equações com as 3 icógitas k, k 2 e k 3. Ao resolver o sistema e estabelecer um valor para a barra a e utilizar as Equações 5, 6 e 7 obtêm-se os valores de d, c e b. A Figura 2 ilustra as variáveis do mecaismo de 4 barras utilizado por Soi (974). Figura - Represetação das variáveis dimesioais (SONI, 974). Ao se verificar a relação etre as barras podese deduzir a Equação de Freudestei resultado a Equação, a qual é determiada pela somatória dos vetores posição que represetam cada barra, iiciado pelo poto M. d + a + b - c = 0 () Observa-se que: d = a cos θ 2 + b cos θ 3 - c cos θ 4 (2) a se θ 2 + b se θ 3 - c se θ 4 = 0 (3) É ecessário elimiar o âgulo θ 3. Para isto, pode-se utilizar a relação fudametal da trigoometria se 2 x + cos 2 x =. A Equação de Freudestei pode ser escrita coforme a Equação 4. k cos θ + k 2 cos θ 2i + k 3 = cos (θ 2i - θ ) (4) As Equações 5, 6 e 7 são utilizadas para estabelecer a relação dos valores de k, k 2 e k 3 com os comprimetos das barras do mecaismo. k = d / a (5) Figura 2 Mecaismo de 4 barras (SONI, 974). Os segmetos geométricos da Figura 2 são defiidos comumete as literaturas, pricipalmete por Norto (999), coforme as descrições: OM = Barra r, e α sedo o âgulo de posição MA = Barra r 2, e θ 2 sedo o âgulo de posição AC = Barra r 3, e ψ sedo o âgulo de posição OQ = Barra r 4, e β sedo o âgulo de posição QB = Barra r 5, e θ 4 sedo o âgulo de posição BC = Barra r 6, e sedo o âgulo de posição 2

3 OC = Barra r (posição do poto C), e δ sedo o âgulo de posição desta barra em relação ao eixo x. A Figura 3 ilustra um exemplo de mecaismo esquematizado a Figura 2. r 4 se β + r 5 se θ 4 + r 6 se φ = r se δ (6) A partir das Equações 3 e 4 pode-se elimiar os âgulos idesejados ψ e θ 4 e racioalizado as equações obtidas, fazedo algumas substituições obtêm-se a seguite equação: k [2r cos (δ α )] + k 2 [2r cos (δ θ 2 )] + k 3 = r k 4 [2 cos (δ θ 2 )] (7) k 5 [2r cos (δ β )] + k 6 [2r cos (δ φ )] + k 7 = r k 8 [2cos (φ β )] (8) De acordo com Soi (974), utilizam-se as variáveis k com ídice p das Equações 7 e 8, de acordo com a Equação 9, liearizado o sistema e fazedo-se as respectivas substituições as Equações 7 e 8 obtêm-se a Equação 20. k p = l p + λ m p (9) Figura 3 Guidaste (UICKER, PENNOCK & SHIGLEY, 2003). Observado-se a Figura 2, pode-se defiir a equação vetorial relacioado os vetores r, r 2, r 3 e r pela Equação 8 e os vetores r 4, r 5, r 6 e r pela Equação 9. OM + MA + AC = OC (8) OQ + QB + BC = OC (9) Utilizado-se a otação de úmeros complexos para as Equações 8 e 9 obtêm-se as Equações 0 e, respectivamete. r e jα + r 2 e jθ2 + r 3 e jψ = re jδ (0) r 4 e jβ + r 5 e jθ4 + r 6 e jφ = re jδ () Substituido-se a Formula de Euler da Equação 2, as Equações 0 e, e separadose as partes reais das imagiárias obtêm-se as Equações 3, 4, 5 e 6. e jθ = r cos θ + j se θ (2) r cos α + r 2 cos θ 2 + r 3 cos ψ = r cos δ (3) r se α + r 2 se θ 2 + r 3 se ψ = r se δ (4) r 4 cos β + r 5 cos θ 4 + r 6 cos φ = r cos δ (5) l [2r cos (δ α )] + λ m [2r cos (δ α )] + l 2 [2r cos (δ θ 2 )] + λ m 2 [2r cos (δ θ 2 )] + l 3 + λ m 3 = r 2 + λ [2 cos (α θ 2 )] (20) Com a Equação 20 se obtêm 2 icógitas l e λm. Fazedo-se uso das parcelas de λm p, dividido-se por λ, e de l p pode-se obter as Equações 2 e 22. l [2rcos (δ α )] + l 2 [2rcos (δ θ 2 )] + l 3 = r 2 (2) m [2r cos (δ α )] + m 2 [2r cos (δ θ 2 )] + m 3 = [2 cos (α θ 2 )] (22) As Equações 5 e 6, referem-se aos vetores da Figura 2, dos polígoos OMACO e OQBCO, as quais são aálogas e podem-se obter as Equações 23 e 24 a partir da Equação. l 4 [2r cos (δ β )] + l 5 [2r cos (δ φ)] + l 6 = r 2 (23) m 4 [2r cos (δ β )] + m 5 [2r cos (δ φ)] + m 6 = [2 cos (α φ )] (24) Usado o método dos míimos quadrados para obter um ajuste mais preciso com a trajetória real a ser obtida, Soi (974) utilizou o método dos míimos quadrados empregado a Equação 4 (de Freudestei), cosiderado um míimo erro o âgulo de posição da barra de saída. O fator D é o quadrado do erro de acordo com a Equação 37. Para se obter o míimo erro etre os âgulos θ 3

4 obtidos e desejados são feitas as derivações parciais de D em relação aos coeficietes k, k 2 e k 3 e ajustado-as a zero, assim obtêm-se as respectivas Equações 25, 26 e 27. D = D = k D = k 2 D = k 3 2 [ k cosθ k2 cosθ 2i + k3 cos( θ2i θ )] [ 2 2i 3 2i (25) k cosθ k cosθ + k cos( θ θ )]cosθ = 0 (26) [ 2 2i 3 2i 2i k cosθ k cosθ + k cos( θ θ )]cosθ = 0 (27) [ 2 2i 3 2i k cosθ k cosθ + k cos( θ θ )] = 0 (28) Com de posições (de fases) desejadas e as respectivas coordeadas deomiadas de x c, y c e aplicado-se a Equação de Freudestei para cada fase pode-se defiir as dimesões das barras do mecaismo para realizar a trajetória próxima da desejada. As Equações e são usadas para calcular r, r 2, r 3 e r 4, r 5, r 6, respectivamete. Σ [2rcos(α-δ)] 2 l +Σ {[2rcos(θ 2 -δ)][2rcos(α δ)]} l 2 +Σ [2rcos(α-δ)] l 3 =Σ r 2 [2rcos(α-δ)] (29) Σ {[2rcos(α-δ)][2rcos(θ 2 -δ)]} l +Σ [2rcos(θ 2 -δ)] 2 l 2 +Σ [2rcos(θ 2 -δ)] l 3 =Σ r 2 [2rcos(θ 2 -δ)] (30) Σ [2rcos(α-δ)] l +Σ [2rcos(θ 2 -δ)] l 2 +Σ[] l 3 =Σ r 2 (3) Σ [2rcos(α-δ)] 2 m +Σ {[2rcos(θ 2 -δ)][2rcos(α-δ)]} m 2 +Σ[2rcos(α-δ)] m 3 =Σ{[2cos(θ 2 -δ)][2rcos(α-δ)]} (32) Σ{[2rcos(α-δ)][2rcos(θ 2 -δ)]} m +Σ[2rcos(θ 2 -δ)] 2 m 2 +Σ[2rcos(θ 2 -δ)]m 3 =Σ{[2rcos(θ 2 -δ)][2rcos(θ 2 -δ)]} (33) Σ [2rcos(α-δ)] m +Σ [2rcos(θ 2 -δ)] m 2 +Σ [] m 3 =Σ [2rcos(θ 2 - α)] (34) Σ [2rcos(β-δ)] 2 l 5 +Σ {[2rcos(φ-δ)][2rcos(β-δ)]} l 6 +Σ [2rcos(β-δ)] l 7 =Σ{ r 2 [2rcos(β-δ)]} (35) Σ {[2rcos(β-δ)][2rcos(φ-δ)]} l 5 +Σ [2rcos(φ-δ)]2 l 6 +Σ [2rcos(φ-δ)] l 7 =Σ {r 2 [2rcos(φ-δ)]} (36) Σ [2rcos(β-δ)] l 5 +Σ [2rcos(φ-δ)] l 6 +Σ [] l 7 =Σ r 2 (37) Σ [2rcos(β-δ)] 2 m 5 +Σ {[2rcos(φ-δ)][2rcos(β-δ)]} m 6 +Σ [2rcos(β-δ)] m 7 =Σ {[2cos(φ-δ)][2rcos(β-δ)]} (38) Σ {[2rcos(β-δ)][2rcos(φ-δ)]} m 5 +Σ [2rcos(φ-δ)] 2 m 6 +Σ [2rcos(φ-δ)] m 7 =Σ [2rcos(φ-δ)] 2 (39) Σ [2rcos(β-δ)] m 5 +Σ [2rcos(φ-δ)] m 6 +Σ [] m 7 =Σ [2rcos(φ -β)] (40) Ao substituir os valores as Equações 29 a 40 serão obtidos 4 sistemas de equações simultâeas com as icógitas l i e m i. Os valores r de cada fase são determiados pela Equação 4 e os valores do âgulo δ são determiados pela Equação 42. r = (xc i 2 + yc i 2 ) 0,5 (4) δi = tg-( yc i / xc i ) (42) Para o cálculo dos valores de φ i e de ψ i se estima um valor iicial adequado para φ e utilizase a Equação 43 para os demais valores de φ i e a Equação 44 para os âgulos φ i. ψ = [cos - (rcosδ-r cosα-r 2 cosθ 2 )] / r 3 (43) φ i = φ + (ψ i -ψ ) (44) Os resultados a sítese forecem 4 alterativas de solução visto que as Equações 9 e 20 oferecem dois valores λ cada e será ecessário determiar qual ou quais soluções são adaptáveis à trajetória desejada. A verificação do mecaismo obtido para se determiar a solução mais adequada, tomar a decisão e validar a escolha poderá ser feita ao utilizar as Equações 45 e 46 com o objetivo de determiar as coordeadas x c e y c que serão obtidas com o mecaismo, respectivamete, fazer a comparação etre a trajetória desejada e a que o mecaismo poderá descrever e calcular os erros previstos. x c = r cos α + r 2 cos θ 2 + r 3 cos ψ (45) y c = r se α + r 2 se θ 2 + r 3 se ψ (46) Resultados A Tabela apreseta um exemplo publicado por Soi (974) em que se deve determiar o mecaismo que realize uma trajetória de um poto C da barra itermediária, que atija 2 potos defiidos pelas suas respectivas coordeadas em relação a uma referêcia estabelecida. Deseja-se cohecer qual mecaismo deverá ateder estas ecessidades. Soi (974) estabeleceu as coordeadas sem uidades de medida, mas este exemplo serão cosideradas em metros para efeito de utilização da sítese. 4

5 Foram escolhidos os valores para os âgulos de posição referetes a Figura 2 o exemplo de Soi (974) de: α = 56º, β = -6º e φ = 66º. Tabela - Dados da trajetória desejada do exemplo Posição x c y c δ [º] θ 2 [ ],22 3,66 7, ,04 4,45 65, ,24 4,90 56, ,57 4,80 46, ,62 4,06 35, ,2 3,20 27,60 7 5,80 2,36 22, ,58,85 22, ,0,46 25, ,93,48 37,48 25,20,93 58, ,90 2,70 7,57 9 A Tabela 2 apreseta 4 possíveis soluções após a aplicação do método, e ao se avaliar as soluções dispoíveis verifica-se que a solução 2 permite ateder melhor as ecessidades. Nota-se que as outras soluções apresetam valores com difereças muito grades etre os parâmetros de comprimetos das barras e em certos casos com valores egativos. Tabela 2 - Resultados obtidos após projeto do mecaismo do exemplo Parâm. Sol. Sol. Sol. Sol r [ft] 2,26 2,26 7,463 7,463 r 2 [ft] 2,525 2,525,94,94 r 3 [ft] 2,628 2,628 3,278 3,278 r 4 [ft] -37,9 7,934 8,9 2,46 r 5 [ft] 45,68 3,896 2,489 2,266 r 6 [ft] -60,5 4,796 5,046 0,42 λ e λ 2 5,367 5,367 4,484 4,48 λ. / λ.2 / λ 2. e λ , ,68 29,8 α [ ] β [ ] ϕ [ ] A Fig. 4 ilustra a comparação etre a trajetória desejada e a ecotrada após o projeto do mecaismo. Figura 4 - Comparação das trajetórias desejada e obtida do exemplo Outro exemplo é apresetado para a cofirmação da aplicação eficaz do método. A trajetória desejada é dada pelas coordeadas do poto C da Tabela 3. As posições da barra de etrada desejadas θ 2 iicialmete estão defiidas a Tabela 3. Tabela 3. Dados de trajetória desejada do exemplo 2 Posição xc yc δ [º] θ 2 [º],22 3,5 7, ,04 4,8 65, ,24 4,7 56, ,57 4,4 46, ,62 4,4 35, ,2 3,5 27,60 7 5,80 2,6 22, ,58,9 22, ,0,6 25, ,93,6 37,48 25, , ,90 2,7 7,57 9 Foram escolhidos para a resolução do exemplo 2 os mesmos valores de Soi (974) para os âgulos de posição da barra de etrada θ 2 e as referecias agulares das barras: α = 56º, β = -6º e φ = 66º, mudado somete as coordeadas do poto C. 5

6 e rapidez o projeto de mecaismos de 4 barras com auxílio do MS Excel. Tabela 4. Resultados obtidos após projeto do mecaismo do exemplo 2 Parâm. Sol. Sol. Sol. Sol r [ft] 0,38 0,38 7,659 7,659 r 2 [ft] 2,293 2,293,903,903 r 3 [ft] 4,34 4,34 3,362 3,362 r 4 [ft] 33,686 2,36 5,638 3,45 r 5 [ft] 4,245 2,6,948,97 r 6 [ft] 28,645 9,537 2,892, λ e λ 2 0,873 0,873 4,578 4,58 λ. / λ.2 / λ 2. e λ ,95 7,88 20,6 49,3 α [ ] β [ ] ϕ [ ] A Figura 5 ilustra a comparação etre a trajetória desejada e a ecotrada após o projeto do mecaismo Figura 5 - Comparação das trajetórias desejada e obtida do exemplo 2 Discussão Através da Figura 4 do exemplo, pode-se observar que a trajetória obtida se aproxima muito da trajetória desejada. Há apeas uma região em que a as curvas geradas apresetaram uma pequea difereça. O exemplo 2 ota-se que a trajetória obtida se aproxima da trajetória desejada, porém existem algumas regiões da curva em que a trajetória desejada se difere da trajetória a ser obtida com o mecaismo projetado. Diate dos resultados obtidos pode-se observar que o método aplicado permite uma boa precisão, Coclusão Os resultados demostram que o método atede as ecessidades de sítese dos mecaismos para os exemplos apresetados. Através das Figuras 4 e 5 pode-se observar que as trajetórias obtidas e desejadas são muito próximas. Outro poto importate e positivo foi a utilização do MS Excel para visualização imediata dos resultados, elaborar possíveis ajustes os parâmetros iiciais e a comprovação eficaz do projeto executado. Agradecimetos Os autores agradecem à ETEP - Faculdade de Tecologia de São José dos Campos, a UNESP - Uiversidade Estadual Paulista que icetivaram a realização deste trabalho. Referêcias - MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechaisms ad Dyamics of Machiery. ª Edição. New York, NY. Editora Joh Wiley & Sos MABIE, H. H., OCVIRK, F. W. Mecaismos e Diâmica das Máquias. 2ª Edição. Editora Ao Livro Técico NORTON, R. L., 999, Desig of Machiery A Itroductio to the Sythesis ad Aalysis of Mechaisms ad Machies, Ed. McGraw-Hill Co. - PIVETTA, C. S., REZENDE, O. P., GRECHI, R., CAMPOS, M. L., BRANDÃO, J. G. T., 2009, Aálise de Velocidade e Aceleração de Mecaismos de 4 Barras com Abordagem Geométrica e Computacioal, IX Ecotro Latio Americao de Pós Graduação (EPG),. 6p., São José dos Campos, SP, Brasil. - SONI, A. H., 974, Mechaism Sythesis ad Aalysis, McGraw-Hill. - UICKER Jr, J. J.; PENNOCK, G. R.; SHIGLEY, J. E., 2003; Theory of Machies ad Mechaisms, d. Oxiford Uiversity Press. 6