PROGRAMA DIDÁTICO DE CARACTERÍSTICA GEOMÉTRICA DE SEÇÃO TRANSVERSAL PARA HP 48 SÉRIE G E HP 49

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1 PROGRM DIDÁTICO DE CRCTERÍSTIC GEOMÉTRIC DE SEÇÃO TRNSVERSL PR HP 48 SÉRIE G E HP 49 José Gabriel Maluf Soler, derso Moreo de Souza Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais Campus Poços de Caldas. utarquia Muicipal de Esio de Poços de Caldas Egeharia Civil v. Padre Fracis Cletus Co 66 Jardim Coutry Club Poços de Caldas MG. jgmsoler@pucpcaldas.br Potifícia Uiversidade Católica de Mias Gerais Campus Poços de Caldas. v. Padre Fracis Cletus Co 66 Jardim Coutry Club Poços de Caldas MG. moreol@pcs.matri.com.br Resumo. Com a utilização cada vez maior por parte dos aluos de graduação em Egeharia Civil, de calculadoras programáveis com memória suficiete para desevolvimeto de programas mais sofisticados, foi criado um programa para auiliar a disciplia de Mecâica e Resistêcia dos Materiais que calcula algumas características da seção trasversal, como: área, cetróide, iércia em qualquer eio, iércias pricipais, iércia polar, raios de giração, módulos de resistêcia à fleão e mometo estático em relação a qualquer poto da seção trasversal. Neste trabalho, será apresetado o desevolvimeto desse programa e cometado o eorme beefício que tem trazido o esio das disciplias citadas acima, e em outras, como cocreto protedido, cocreto armado, teoria das estruturas, solos e fudações. Serão apresetados algus eemplos e a facilidade de etrada de dados, que é realizada por meio de potos etremos da seção trasversal, podedo a seção ser vazada e iteragido com o aluo por meio do deseho da seção trasversal o próprio visor da calculadora, para facilitar a correção de dados, caso haja algum erro. Palavras-chave: Programas, HP, Egeharia Civil, seção trasversal, características geométricas. MTE -

2 . INTRODUÇÃO Quado se pesava em elaborar um programa para resolver características de seções trasversais, foram levadas em cosideração a utilização destas características o curso de Egeharia Civil, a capacidade de programação da calculadora e a facilidade de utilização do programa. Para se ter um programa ode a iterface aluo e calculadora fosse a meos traumática e com meos erros possíveis, várias possibilidades foram estudas até chegar a um coseso para ateder as ecessidades, ou seja, o programa deveria gerar um gráfico com as figuras simples, as quais comporiam qualquer figura composta. De acordo com Beer e Johsto, 989 [], podemos decompor uma figura composta, com características difíceis de serem ecotras, ou seja, figuras ode por fórmulas se descohece o valor almejado, em figuras cujas características são cohecidas. Para que isso seja possível é ecessário adotar um eio para a figura composta, para que em relação a esse eio possamos calcular as características de cada figura simples e fialmete as características da figura composta. s figuras simples tabeladas são a maioria das vezes o triâgulo, o retâgulo, o círculo, ½ círculo e ¼ círculo. Para que o programa utilize destas figuras para formar uma figura composta qualquer, tora-se um pouco iviável, uma vez que, teríamos de forecer ao programa a distâcia do cetro de gravidade de cada figura simples em relação ao eio adotado. Levado em cosideração a facilidade a etrada de dados e a capacidade de programação da calculadora, cocluiu-se que resumido todas as figuras simples o polígoo, o círculo e a equação, coseguir-se-ia elaborar um programa para calcular as características da seção trasversal de praticamete todas as figuras. Para que seja realizado o cálculo da seção composta é ecessário termos cohecimeto da área, do cetro de gravidade e da iércia de cada figura simples, em relação ao seu cetro de gravidade e em relação ao eio adotado. partir destes dados podemos calcular as características da seção composta. Com esse programa, após a disciplia de física I e física II ter coceituado as características geométricas das seções trasversais, o aluo passa a poder calcular todas essas características de uma só vez, com o auílio do programa e da calculadora, auiliado assim as disciplias de mecâica, resistêcia dos materiais, sistemas estruturais, solos, fudações, cocreto armado e cocreto protedido.. O PROJETO Por meio de um projeto viculado à liha de pesquisa Programas Computacioais para o Curso de Egeharia Civil, deomiado Desevolvimeto de programas para HP séries 48 e 49 para aluos de graduação em Egeharia Civil, algus programas foram desevolvidos e estão sedo utilizados pelos aluos. qui este trabalho será descrito um desses programas e como ele veio auiliar muito a iterligação de várias disciplias do curso de Egeharia Civil: Física, Mecâica, Resistêcia dos Materiais I, Resistêcia dos Materiais II, Sistemas Estruturais I, II e III, Cocreto rmado e Cocreto Protedido. MTE -

3 . Desevolvimeto do projeto. Esse projeto começou quado percebemos que ao iiciar a disciplia de Resistêcia dos Materiais I, sempre a grade maioria dos aluos havia esquecido com se calculava as características geométricas de uma seção trasversal. Com toda certeza esses aluos já haviam apredido a calcular todas essas características as disciplias de física I e física II, utilizado Tipler,996, [] e Halliday,996 [], e também revisto a disciplia de mecâica utilizado Hibbeler,999, [4]. Todos os aluos da sala haviam optado pela compra da mesma calculadora e com isso ficou mais fácil, tato o desevolvimeto do programa, uma vez que todos possuíam os mauais [5], como a implatação do mesmo. O programa foi desevolvido e vem sedo sempre melhorado e apresetado após os coceitos serem bem trabalhados em sala de aula. É impressioate como hoje, em Resistêcia dos Materiais I, os aluos ão apresetam mais a dificuldade ateriormete observada, pois recorrem rapidamete à calculadora para a obteção das características geométricas da seção trasversal.. Memória de cálculo do polígoo. a Imagiemos um polígoo qualquer. Sabemos que por geometria aalítica podemos calcular sua área usado as coordeadas dos potos. Se cosiderarmos a metade do determiate de apeas duas coordeadas, por coveiêcia, teremos a área de um triâgulo, ode a coordeada do terceiro vértice é (0,0. Por geometria aalítica: ode : =. D ( Área do polígoo D Determiate Fórmula programada : =.(. y i i+ + i+. ( ode: = úmero de coordeadas do polígoo. b Pelo eposto o item (a sabemos que se pode calcular a área de um polígoo por meio do somatório de triâgulos. Sabemos que mometo estático é : Q = y. d Qy =. d, sedo assim, precisamos calcular o cetro de gravidade do triâgulo. O cetro de gravidade do triâgulo é dado por: MTE -

4 + + y + y + y = y = ( sedo o terceiro poto de coordeada (0,0 temos: = + y + y y = (4 Da Eq. e Eq.4 podemos tirar : Q = Qy =.( i. y 6.( i. y 6 i+ + i+..( i + i+ i+ + i+..( + + (5 (6 c Para o cálculo do mometo de iércia de cada triâgulo teremos que usar um artifício pois, o triâgulo formado a maioria das vezes ão tem características cohecidas. Dividiremos o triâgulo formado em duas partes, passado uma liha paralela ao eio em que se quer calcular o mometo de iércia. = + (7 = (8 y Para iércia em relação ao eio y, faremos = e y = y i+ -y i y i. = (9 + - Da Eq.7 e Eq.9 podemos cocluir: y. = i (0 y i+ ( y y. i+ i = ( y i+ Sabedo-se que a iércia do triâgulo é dada pela epressão : b. h I = = 6. h 8 ( MTE - 4

5 Utilizado o teorema dos eios paralelos mais as Eq.0, Eq. e Eq. ecotraremos a fórmula programada para achar mometo de iércia em. I =.( y 6 i+ + y i + y. y i i+ ( De forma aáloga ecotramos a iércia em y Iy =.( 6 i+ + i +. i i+ (4 d Para o cálculo do produto de iércia, foi utilizado um processo semelhate ao da iércia e a epressão fial é: Iy= [ ( i ( i. y i+.( i. i +. y i +.( i. i +. y i+.( i+. y i.( i+. +. ] ( Memória de cálculo do círculo. s fórmulas demostradas este trabalho valem ão somete para o círculo mas também para setor circular. De acordo com [], podemos calcular a área e o mometo estático de acordo com as epressões: = R.( θ θ (6 Q =. R.(seθ seθ (7. Q Y =. R.(cosθ cosθ (8. Obs.: Os âgulos são epressos em radiaos O mometo de iércia foi baseado a teoria de [], e a formulação de cálculo apresetada por MUNEM e Foolis,98 [6]. θ R I = ( R.seθ. R. dr. dθ (9 θ0 θ R Iy = ( R.cosθ. R. dr. dθ (0 θ0 θ R Iy = R.cosθ. R.seθ. R. dr. dθ ( θ0 MTE - 5

6 Resolvedo as itegrais acima chegamos as fórmulas programadas: 4 θ se(θ θ se(θ I = R.( + ( θ se(θ θ se(θ Iy = R.( + ( cos ( θ cos ( θ Iy = R.( (4 4.4 Memória de cálculo da equação. Quado possuímos as equações tudo fica mais fácil pois, trabalharemos diretamete com itegrais. Para que possamos ter uma figura a partir de equações, precisamos o míimo duas delas. Sedo assim o programa trabalha com duas equações. Para se calcular a área basta utilizar a epressão abaio: = ( eq eq. d (5 Para calcular os mometos estáticos temos: = Q ( eq eq.. d (6 = eq eq Qy ( eq eq.( + eq. d (7 Para calcular as iércias temos: = I ( eq eq d (8 = Iy ( eq eq.. d (9 = Iy ( eq eq..( eq + eq. d (0 partir da Eq. à Eq.0 podemos calcular as características da seção trasversal de praticamete todas as figuras..5 presetação das telas do programa. Vejamos algumas telas apresetadas pelo programa: MTE - 6

7 Figura Figura Na Fig. e Fig. podemos visualizar respectivamete o diretório pricipal ode está o programa eecutável e ícoe eecutável, que é o primeiro e suas sub-rotias. Figura Figura 4 Na Fig. e Fig.4 podemos visualizar respectivamete a tela do primeiro meu, chamado de meu e temos a tela do segudo meu, chamado de meu. Este meu permite que se possa abrir uma seção trasversal eistete ou arquivar uma seção trasversal ova. Figura 5 Figura 6 Na Fig. 5 e Fig. 6 podemos visualizar respectivamete a opção de atribuir um ome para sua seção trasversal quado a escolha for ovo o meu e a apresetação de uma advertêcia caso já teha uma seção trasversal com o mesmo ome. Figura 7 Figura 8 Com este programa pode-se formar iúmeras figuras compostas, utilizado os três modos de etrada apresetado a Fig.7. Caso teha uma figura vazada (miorar, há também a possibilidade de acrescer figuras (Fig.8. Figura 9 Figura 0 MTE - 7

8 Na Fig.9 e Fig.0 podemos ver respectivamete a etrada de dados do polígoo e a etrada de dados do círculo. Figura Figura Na Fig.e Fig. podemos ver a etrada de dados da equação e pode ser visto o deseho da figura eemplo (Fig.. Figura Figura 4 Na Fig. e Fig.4 são apresetadas às telas de cálculo. Pode-se escolher : CENTRÓIDE: calcula o cetro de gravidade da figura dada. INÉRCI: calcula o mometo de iércia, produto de iércia, iércia polar em relação ao eio dado, em relação ao cetro de gravidade da seção trasversal e em relação a um eio aleatório, veja Fig.5. Figura 5 PRINC. INÉRCI: calcula o mometo de iércia máimo, o mometo de iércia míimo e o âgulo do eio pricipal de iércia, tudo em relação ao cetro de gravidade da peça. Com relação ao âgulo do eio pricipal de iércia deve ressaltar que seu valor é dado a partir do eio (eio origial de etrada até o eio (eio pricipal. Para obter o eio y (pricipal é só somar 90 ao âgulo dado pelo programa. RIO DE GIRÇÃO: calcula os raios de giração (i e i y em relação ao cetro de gravidade. MÓDULO RESISTENTE.: calcula os módulos de resistêcia (W e W y. Para obter estes valores é preciso dar a coordeada do poto, esta coordeada deve ser dada em relação ao eio origial de etrada. MOMENTO ESTÁTICO.: calcula o mometo estático em relação ao cetro de gravidade da peça. Para que se possa processar este cálculo deve-se etrar com a ordeada em relação ao eio origial de etrada. Lembre-se que a área cosiderada para o cálculo será sempre à superior ao eio dado. MTE - 8

9 . CONCLUSÕES Observou-se por meio desse projeto, que o aluo começava a perceber que ão era para se elimiar uma disciplia que ele estava em um curso de graduação, mas sim que elas se iteragiam de alguma maeira, pois algo que tiham apredido há muito tempo e também em um semestre aterior seria utilizado pelos próimos professores, sem a ecessidade do professor ter que repetir tudo ovamete e torar o curso repetitivo e moroso. Também foi iteressate otar que, para utilizar o programa, o aluo ão precisava recorrer a um computador ou à sala de computadores, muitas vezes ocupada ou aida sem a possibilidade de terem aquela ferrameta (computador, dispoível por poucos istates a própria sala de aula. Hoje todas as disciplias da área de estruturas já possuem esse recurso, torado-se uma ferrameta de grade iteresse por parte dos aluos, logicamete ão se esquecedo que os coceitos são sempre apresetados ateriormete com muita êfase. Esse programa de cálculo das características geométricas de seção trasversal, poderá ser adquirido por meio dos edereços eletrôicos dos pesquisadores descritos o iício do trabalho. gradecimetos gradecemos o fiaciameto recebido do FIP/ PUC Mias FUNDO DE INCENTIVO À PESQUIS ao projeto úmero 9/000 Desevolvimeto de programas para HP para utilização de aluos de Egeharia Civil. REFERÊNCIS [] Beer, F.P. e Johsto Jr. E.R. Mecâica Vetorial para Egeheiros, Vol 0 e 0. Ed. Mac Graw-Hill, São Paulo, 989. [] Tipler, P. Física para cietistas e egeheiros, vol., a edição. Ed. LTC. Rio de Jaeiro, 996. [] Halliday, D.;Resick, R.; Walker J. Fudametos de Física I Mecâica, 4 a Edição. Ed. LTC. Rio de Jaeiro, 996. [4] Hibbeler, R. C. Structural alysis, Pretece Hall, New Jersey, 999. [5] Mauais da HP série 48. [6] Foulis, Muem., Cálculo, vol.livros Técicos e Cietíficos Editora S..,98. MTE - 9