Representação Computacional de Distribuições de Medidas de Laboratório

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1 SCIENTIA PLENA VOL., NUM Represetação Computacioal de Distribuições de Medidas de Laboratório (Computatioal Represetatio of Distributios of Laboratory Measuremets) Adré V. R. P. Nascimeto e Cláudio A. Macedo Departameto de Física, Uiversidade Federal de Sergipe São Cristóvão, SE, Brasil cmacedo@ufs.br (Recebido em 5 de abril de 005; aceito em 0 de maio de 005) Diversas experiêcias de laboratório didático de física geral exploram distribuições de medidas visado o cálculo de valores médios, valores de dispersão e fuções de distribuição, porém, tais experiêcias, muitas vezes, ão são auxiliadas por ferrametas que ajudem uma melhor compreesão dos parâmetros que caracterizam uma distribuição de medidas de laboratório. Visado ateder tal ecessidade e observado que a computação gráfica tem um papel fudametal o esio cietífico, desevolvemos um programa computacioal com iterface gráfica objetivado dispoibilizar um istrumeto de apoio às práticas de laboratório. Detalhamos a estrutura do programa e apresetamos os códigos com os algoritmos utilizados. O programa parte da etrada de diversas medidas de uma experiêcia e mota um histograma de freqüêcias através de um processo de diâmica visual, calculado o valor médio e o desvio padrão, e ajusta a curva da fução de distribuição gaussiaa correspodete, igualado a área ocupada pelo histograma com a área sob a curva. Palavras-chave: valores de dispersão, fuções de distribuição, histograma de freqüêcias. Several experieces of geeral physics for didactic laboratory explore distributios of measuremets aimig at the calculatio of average values, values of dispersio ad distributio fuctios. However, such experieces, quite frequetly, are ot assisted by tools that help to a better uderstadig of the parameters that characterize a distributio of laboratory measuremets. Aimig at takig care of such ecessity ad observig that the graphical computatio has a basic role i scietific educatio, we develop a computatioal program with graphical iterface makig available a istrumet of support to the laboratory classes. We detail the structure of the program ad preset the codes with the use of algorithms. The program starts with the etrace of several measuremets of a experiece ad builds up a histogram of frequecies by meas of a process of visual dyamics, calculatig the average value ad the sample stadard deviatio, ad adjusts the curve of the correspodig Gaussia distributio fuctio, equatig the occupied area for the histogram to the area uder the curve. Keywords: values of dispersio, distributio fuctios, histogram of frequecies.. INTRODUÇÃO Várias experiêcias didáticas de laboratórios de física geral uiversitária tratam de distribuições de medidas visado o cálculo de médias, variâcias, desvios padrão, histogramas e fuções de distribuição. As medidas em geral, são afetadas por erros de causas diversas. Existem os erros grosseiros que são causados pela imperícia ou displicêcia do operador; os erros sistemáticos que sempre ocorrem o mesmo setido e são ligados à exatidão dos istrumetos ou à utilização iapropriada de procedimetos e de coceitos físicos; e os erros acidetais que são reflexos das flutuações ormais, que tato variam para mais quato para meos, de uma medida para outra, mesmo quado estas medidas são realizadas em codições similares. Os erros acidetais são ligados à precisão dos istrumetos ou a modificações istatâeas as codições experimetais e, ormalmete, obedecem a leis estatísticas bem determiadas. Excluido-se os erros grosseiros e os erros sistemáticos, o procedimeto seguido em laboratório é calcular o valor médio (<x>) das diversas medidas de uma gradeza, realizadas de 5

2 A. V. R. P. Nascimeto, C. A. Macedo, Scietia Plea (): 5-57, forma idepedete, e a seguir calcular valores de dispersão, como o desvio padrão (σ), que dão uma idicação da largura do itervalo, em toro do valor médio, que cotém as medidas. Uma forma iteressate de estudar a distribuição de medidas é a costrução de um histograma de freqüêcias das várias medidas obtidas,3. Observa-se que à medida que mais e mais resultados são obtidos, uma forma bem defiida começa a se esboçar o histograma, mostrado que a freqüêcia do aparecimeto de uma dada medida é tato meor quato maior for o seu afastameto do valor médio. O limite do histograma para um grade úmero de medidas é uma curva em uma forma aalítica chamada distribuição ormal ou gaussiaa. A implicação disso é que ao se fazer uma medida da gradeza, haverá uma probabilidade de 68,3% de uma dada medida x i estar o itervalo (<x> - σ) x i (<x>+ σ), uma probabilidade de 95,4% de x i estar o itervalo (<x>- σ) x i (<x>+ σ), e de 99,7% de x i estar o itervalo (<x>- 3σ) x i (<x>+ 3σ),4. Cosiderado que o desevolvimeto de programas cietíficos de iteresse didático em ambietes computacioais gráficos 5 é atualmete objeto de itesa pesquisa pela eficiêcia demostrada os processos iterativos que promovem a cocetração o assuto em estudo, e coseqüete aceleração da apredizagem 6, e visado forecer uma ferrameta auxiliar que ajude o estudate a obter uma melhor compreesão dos parâmetros que caracterizam uma distribuição de medidas de laboratório, apresetamos este trabalho um programa computacioal com iterface gráfica, DistriMed 7, destiado aos aluos de física geral uiversitária. O programa DistriMed parte da etrada de diversas medidas de uma experiêcia e mota um histograma de freqüêcias através de um processo de diâmica visual, calculado o valor médio e o desvio padrão, e ajusta a curva da fução de distribuição gaussiaa correspodete, igualado a área ocupada pelo histograma com a área sob a curva. Na seção apresetamos a metodologia empregada, os algoritmos desevolvidos e explicamos a estrutura do programa; os resultados, icluido as descrições dos dados de etrada e saída, são apresetados a seção 3. As coclusões são expressas a seção 4.. METODOLOGIA E ALGORITMOS O valor médio de uma gradeza é o valor de tedêcia cetral mais usado e é determiado a partir das leituras obtidas de forma idepedete, x, x,..., x, como < x >= x i, i= em que x i é o valor da i-ésima leitura efetuada. Os valores de dispersão idicam o quato um cojuto de leituras de uma gradeza física flutua em toro do valor médio. Para um dado cojuto de leituras, quato maior for o valor de dispersão, mais dispersas serão as leituras em toro da média e, quato meor, mais compactado estará o cojuto, isto é, mais próximas da média estarão as leituras. Os pricipais valores de dispersão são a variâcia e o desvio padrão. A variâcia (σ ) é defiida como a média dos quadrados dos desvios de cada leitura em relação ao valor médio das leituras (xi - <x>), cosiderado que apeas - desses desvios são idepedetes, pois podemos obter qualquer um deles a partir da soma de todos os outros 3. Por exemplo, ós podemos determiar o desvio da última leitura a partir da relação ( x Explicitamete a variâcia σ é dada por < x > ) = σ = i= i= ( x < x > ). i ( x i < x > ). Devido à forma com que a variâcia é defiida, ela apreseta o icoveiete de ser expressa em uma uidade dada pelo quadrado da uidade das leituras efetuadas. O desvio padrão (σ) corrige esse problema, retorado às uidades origiais das medidas, pois é defiido pela raiz quadrada da variâcia. Assim escrevemos

3 A. V. R. P. Nascimeto, C. A. Macedo, Scietia Plea (): 5-57, σ = ( x i < x > ) i = Para a costrução do histograma, primeiramete lemos todas as medidas e calculamos a média e o desvio padrão das medidas, que serão utilizados tato como resultados da amostra como para a costrução da curva da fução de distribuição. Com base as medidas, elaboramos um histograma lógico, que permitirá o cálculo das dimesões dos blocos que represetarão o histograma a tela do microcomputador. O histograma apresetado é costruído diamicamete através de blocos (que represetam as medidas) que caem os seus respectivos itervalos. Assumido-se que a determiação das medidas foram excluídos os erros grosseiros e os erros sistemáticos, podemos cosiderar com boa aproximação que as variáveis evolvidas a determiação do histograma de freqüêcias serão idepedetes e igualmete distribuídas o limite de um grade úmero de leituras e pouco variarão os valores da média <x> e do desvio padrão σ com o crescimeto do úmero de medidas da gradeza. Assim, para um grade úmero de leituras podemos cosiderar o teorema do limite cetral que estabelece que a fução de distribuição de um úmero elevado de variáveis idepedetes igualmete distribuídas é aproximadamete ormal e é caracterizada pelo valor médio <x> e pelo desvio padrão σ. O traçado da curva ormal subjacete ao histograma de freqüêcias é etão feito utilizado a fução de distribuição ormal observado que x < x> σ f ( x) = e, σ π + f ( x) dx =, e multiplicado f (x) por um fator de coversão (área dos blocos do histograma) a fim de igualar a área sob a curva gaussiaa com a área ocupada por todos os blocos. Desta maeira, apresetamos a tela uma curva ormal com os parâmetros da distribuição de medidas que se ajusta ao histograma apresetado.. MOUSE MENUS JANELAS DIALOGS PROGRAMA PRINCIPAL INTER LEITURA DE DADOS MOSTRAR RESULTADOS CONSTRUÇÃO DO HISTOGRAMA TRAÇADO DA CURVA NORMAL LEITURA PELO TECLADO LEITURA POR ARQUIVOS HISTOGRAMA LÓGICO DINÂMICA DOS BLOCOS DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS Figura. Diagrama de blocos da estrutura do programa.

4 A. V. R. P. Nascimeto, C. A. Macedo, Scietia Plea (): 5-57, Desevolvemos o programa DistriMed a liguagem Borlad Pascal 7.0 com uma tecologia orietada a evetos. Todas as opções desejadas são selecioadas através de evetos gerados pelo mouse do computador. Os evetos estão ligados aos procedimetos que jutos costituem o fucioameto do programa: procedimetos de etrada de dados, de saída de dados, de costrução do histograma, e de traçado da curva ormal. A figura apreseta o diagrama de blocos da estrutura do programa. As estruturas de dados utilizadas, e os algoritmos de leitura dos dados, de determiação dos itervalos, de costrução do histograma lógico, e de costrução da diâmica dos blocos são apresetados os códigos a seguir: Lista_de_Numeros = [..] of REAL Lista_de_Itervalos = [..] of INTERVALOS INTERVALOS = object ed; MeorValorReal MaiorValorReal Quatidade_de_Medidas MeorValorTela MaiorValorTela PROCEDURE LEITURA_DOS_DADOS; for I:= to N do LeiaValor(Lista_de_Numeros[I]) LeiaValor(Numero_de_Itervalos) PROCEDURE DETERMINACAO_INTERVALOS; var ValorMaximo ValorMiimo PosicaoTela Itervalo = (ValorMaximo - ValorMiimo) / Numero_de_Itervalos for I:= to Numero_de_Itervalos Lista_de_Itervalos[I].MeorValorReal := ValorMiimo; Lista_de_Itervalos[I].MaiorValorReal := ValorMiimo + Itervalo; Lista_de_Itervalos[I].Quatidade_de_Medidas := 0; Lista_de_Itervalos[I].MeorValorTela := PosicaoTela Lista_de_Itervalos[I].MaiorValorTela := PosicaoTela + Itervalo_a_Tela ValorMiimo := Lista_de_Itervalos[I].MaiorValorReal PosicaoTela : = Lista_de_Itervalos[I].MaiorValorTela PROCEDURE HISTOGRAMA_LOGICO; for I:= to Lista_de_Numeros.Cout do IsiraNaListadeItervalos(Lista_de_Numeros[I]) PROCEDURE DESENHAR_BLOCOS_DINAMICAMENTE; GetMem(Bloco, ImageSize(X,Y,X,Y) GetMem(Fudo_da_Tela, ImageSize(X,Y,X,Y) GetImage(Fudo_da_Tela); DesehaBloco; GetImage(Bloco); repeat PutImage(Fudo,Posicao.X,Posicao.Y) Posicao = Posicao + Costate PutImage(Bloco) util Posicao = Base_do_Grafico

5 A. V. R. P. Nascimeto, C. A. Macedo, Scietia Plea (): 5-57, RESULTADOS O programa computacioal com iterface gráfica desevolvido, DistriMed, foi escrito em liguagem Borlad Pascal 7.0. O tema pricipal do programa é a distribuição de medidas de laboratório e costitui uma ferrameta visual para melhorar o etedimeto dos aluos. O programa possui uma iterface padrão e amigável, utilizado-se de meus, opções e botões para executar suas fuções. Os dados que servem para a costrução do histograma podem ser lidos através de arquivos tipo texto que coteham uma medida por liha (figura ) ou através do teclado (figura 3). Essa restrição é imposta para fis de seguraça em relação aos dados de etrada. As duas opções são facilmete selecioadas através de opções de meu. Figura. Tela de etrada de dados por um arquivo. Figura 3. Tela de etrada de dados pelo teclado.

6 A. V. R. P. Nascimeto, C. A. Macedo, Scietia Plea (): 5-57, A saída do programa mostra o processo de costrução do histograma através do deslocameto diâmico dos blocos que represetam as medidas (figura 4) e fialmete o histograma completo com a curva ormal traçada sobre o histograma e os resultados das medidas de dispersão e tedêcia cetral (figura 5). Figura 4. Deslocameto diâmico dos blocos que represetam as medidas. Figura 5. Histograma completo com a curva ormal traçada.

7 A. V. R. P. Nascimeto, C. A. Macedo, Scietia Plea (): 5-57, CONCLUSÕES O programa desevolvido este trabalho possui como objetivos a costrução de histograma de freqüêcias de medidas, o traçado de uma curva ormal ajustada ao histograma e o cálculo dos valores de tedêcia cetral e de dispersão. Ele utiliza os seguites procedimetos: (i) leitura, via teclado ou arquivo, das medidas e do úmero de itervalos desejado; (ii) cálculo para determiar as dimesões do histograma a tela do computador; (iii) cálculo do valor médio e do desvio padrão; (iv) costrução diâmica do histograma; (v) traçado da curva ormal comparado a distribuição de medidas com a distribuição ormal. O programa foi testado com diversos aluos dos cursos de Física e de Ciêcia da Computação da Uiversidade Federal de Sergipe. O pricipal objetivo dos testes foi avaliar a eficiêcia do programa com estudates com o perfil do usuário em potecial. Foram apotadas diversas críticas e sugestões. Observou-se uma tedêcia por parte dos aluos de Ciêcia da Computação de apresetarem sugestões com relação à parte gráfica do programa e à itegridade da mesma. Por outro lado, os aluos de Física tiveram maior preocupação com os algoritmos utilizados e a aálise dos resultados. Detre as sugestões dadas pelos aluos, podemos apotar: (a) criação de mais opções de meu, como, por exemplo, Salvar Arquivos e Verificar Dados Digitados, e (b) criação de mais opções de gráficos para que o programa se molde a outras práticas de laboratório de física. Algumas falhas ecotradas durate os testes foram imediatamete corrigidas e as sugestões estão sedo cosideradas para desevolvimetos futuros do trabalho. Os testes realizados idicaram que o uso do referido programa por estudates das primeiras disciplias de física geral uiversitária poderá cotribuir para aumetar a compreesão destes sobre processos físicos e estatísticos evolvidos em experiêcias que reúem uma grade quatidade de medidas para determiação do valor de uma gradeza física. Em particular, ficou evidete que o uso do programa provocou uma clara melhoria o ível de etedimeto por parte dos aluos dos coceitos de distribuição de medidas de laboratório e de fuções de distribuição. 5. AGRADECIMENTOS Agradecemos aos professores Mário E. de Souza, Adré M. C. de Souza e Marcelo A. Macêdo por úteis discussões, e o CNPq pelo apoio fiaceiro.. SILVA, W. P.; SILVA, C. M. D. P. S. Tratameto de Dados Experimetais. João Pessoa: UFPB, ALONSO, N.; FINN, E. J. Física: um curso uiversitário. v.. São Paulo: Edgard Blücher, HOGG, R. V.; LEDOLTER, J. Applied Statistics for Egieers ad Physical Scietists. New York: Macmilla, SOBOL, I. O Método de Mote Carlo. Moscou: Mir, WEISKAMP, K.; HEINY, L. Programação Gráfica em Turbo Pascal 6. Rio de Jaeiro: Ciêcia Modera, GOULD, H.; SPORNICK, L.; TOBOCHNIK, J. Thermal ad Statistical Physics Simulatios. New York: Joh Wiley, NASCIMENTO, A. V. R. P.; MACEDO, C. A. DistriMed. cam/cmacedo.htm, 003.