Estimativa de intervalo de confiança para tempo de sobrevida usando desigualdade de Chebyshev via método bootstrap

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1 SCIENTIA PLENA VOL. 8, NUM Estimativa de itervalo de cofiaça para tempo de sobrevida usado desigualdade de Chebyshev via método bootstrap C. M. Silva, ; R. S. Amaral ; J. W. Vieira,3 ; A. N. C. Silva ; J. A. S. Júior ; E. S. Alcoforado Departameto de Matemática, Uiversidade de Perambuco, , Petrolia-Pe, Brasil Departameto de Eergia Nuclear, Uiversidade Federal de Perambuco, , Recife-Pe, Brasil 3 Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia, , Recife-Pe, Brasil cleomacio@ig.com.br (Recebido em 0 de setembro de 0; aceito em 09 de abril de 0) Quado a amostra é pequea (<30) e se supõe que a população ão é ormalmete distribuída, em a distribuição ormal de probabilidade em a distribuição t de Studet podem ser usadas a costrução de um itervalo de cofiaça. Neste caso, utiliza-se a desigualdade de Chebyshev. Na aálise estatística de sobrevida, a variável tempo ão é ormalmete distribuída. Assim, o objetivo do presete trabalho foi utilizar a desigualdade de Chebyshev via método bootstrap para estimar itervalo de cofiaça para aálise de tempo de sobrevida. Para tato, costruiu-se um programa computacioal a liguagem C++ com a fialidade de formar a distribuição bootstrap e calcular a média dos tempos de sobrevida. Os resultados mostraram que, a desigualdade de Chebyshev quado usada jutamete com o método bootstrap costituiu-se uma excelete ferrameta estatística para estimar itervalo de tempo de sobrevida. Palavras-chave: média aritmética; erro padrão; estatística computacioal Whe the sample is small ( <30) ad assumed that the populatio is ot ormally distributed, ot the ormal distributio or the Studet t-distributio ca be used i the costructio of a cofidece iterval. I this case, we use the Chebyshev iequality. Statistical aalysis of survival, the time variable is ot ormally distributed. The objective of this study was to use the Chebyshev iequality i the bootstrap method to estimate cofidece itervals for aalysis of survival time. To this ed, we costructed a computer program i C ++ i order to form the bootstrap distributio ad calculate the average survival times. The results showed that the Chebyshev iequality whe used i cojuctio with the bootstrap method cosisted i a excellet statistical tool for estimatig the rage of survival time. Keywords: arithemetic mea; stadard error; statistical computig. INTRODUÇÃO Geralmete, os métodos de estimação por itervalo são baseados o pressuposto de que possa ser usada a distribuição ormal de probabilidade. Tal pressuposição é garatida sempre que 30, por causa do teorema do limite cetral, ou <30, sedo a população ormalmete distribuída e o desvio padrão da população (σ) cohecido []. Muito embora a média da amostra seja útil como um estimador ão tedecioso da média da população, ão existe maeira de expressar o grau de acurácia de um estimador por poto. De fato, matematicamete falado, a probabilidade de que a média da amostra seja exatamete correta como um estimador é P = 0 []. Um itervalo de cofiaça para a média é um itervalo estimado, costruído em relação à média da amostra, pelo qual pode ser especificada a probabilidade do itervalo icluir o valor da média da população. O grau de cofiaça associado com um itervalo de cofiaça idica a percetagem de tais itervalos icluírem o parâmetro que se está estimado []. Os itervalos de cofiaça para a média são tipicamete costruídos com o estimador ão tedecioso X o cetro do itervalo. Os itervalos de cofiaça mais frequetemete utilizados são os de 90%, 95% e 99% []. Se uma população é ormalmete distribuída, a distribuição de amostragem da média, para qualquer tamaho da amostra, será também ormalmete distribuída, isto é, verdadeiro que o σ

2 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) ( X µ ) seja cohecido, quer ão []. Se σ é descohecido, a expressão iclui o deomiador SX uma variável diferete para cada média da amostra. O resultado é que a iclusão da variável S X em lugar da costate σx o deomiador gera valores covertidos que ão se distribuem como valores de Z. Em lugar disso, os valores são distribuídos de acordo com as distribuições t de Studet, as quais são platicúrticas (achatadas), se comparadas coma distribuição ormal []. A distribuição t é apropriada para iferêcias sobre a média, sempre quado σ for descohecido e a população ormalmete distribuída, qualquer que seja o tamaho da amostra. Cotudo, à medida que aumeta o tamaho da amostra, a distribuição t aproxima-se da forma da distribuição ormal. Quado a amostra é pequea (<30) e se supõe que a população ão é ormalmete distribuída, em a distribuição ormal de probabilidade, em a distribuição t de Studet podem ser usadas a costrução de um itervalo de cofiaça. Neste caso, um teorema geral desevolvido pelo matemático russo Chebyshev é bastate útil. Este teorema é cohecido a estatística como desigualdade de Chebyshev. Na verdade, a desigualdade de Chebyshev, é raramete usada a costrução de itervalo de cofiaça para a média, mas é o úico método apropriado, quado existe uma população decididamete ão ormal e uma amostra pequea (<30) []. O tempo de sobrevida ão é uma variável que possui distribuição de probabilidade ormal. Assim, existem muitas dificuldades para costruir adequadamete itervalos de cofiaça para tempo de sobrevida. Na aálise estatística de sobrevida, o mais importate ão é saber a ocorrêcia de um eveto de forma potual, mas o seu desfecho detro de um itervalo de tempo. Assim, a costrução de itervalo de cofiaça para tempo de sobrevida, costitui um procedimeto estatístico importate as tomadas de decisões. O termo bootstrap surgiu da frase to pull oeself up oe's bootstrap retirada de Advetures of Baro Muchause by Rodolph Erich Raspe, XVII cetury: The Baro had falle to the bottom of a deep lake. Just whe it looked like all was lost, he thought of pickig himself up by his ow bootstraps []. Esse texto relata uma situação em que o Barão Muchause está afudado em um lago e vedo que tudo estava perdido, pesa que coseguirá emergir puxado os cadarços dos próprios sapatos. O setido estatístico do termo é passar a ideia de que, em situações difíceis, devem-se tetar as mais variadas soluções possíveis a partir dos dados origiais. Em estatística, situações difíceis podem ser vistas como os problemas de soluções aalíticas complexas. As variadas soluções possíveis seria a utilização de uma metodologia com grade quatidade de cálculos, objetivado extrapolar os resultados a partir de um pequeo cojuto de dados. Com o uso sistematizado de ferrametas computacioais, a solução para esses casos, é obtida substituido-se a resolução aalítica pelo poder de processameto dos computadores através do método de reamostragem bootstrap. O método bootstrap, quado aplicado a reamostragem dos dados origiais obtidos da amostra, forece uma média aritmética resistete às flutuações causadas pelos efeitos dos valores aômalos. Neste caso, a reamostragem é utilizada para dimiuir a assimetria, acomodado os valores de tal maeira, que a discrepâcia em toro da média aritmética passa a ser a meor possível []. Portato, o objetivo do presete estudo foi mostrar o uso da desigualdade de Chebyshev via método bootstrap para estimar itervalo de cofiaça a aálise estatística de sobrevida.. MATERIAIS E MÉTODOS.. O teorema de Chebyshev Segudo Kazmier [], o teorema de Chebyshev é auciado da seguite maeira: a proporção de medidas em um cojuto de dados que se situa detro de k desvios padrões da média ão é meor do que, ode k. k

3 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 3 Aplicado-se a distribuição de amostragem de uma média, a probabilidade de que a média da amostra esteja detro de k uidades de erro padrão da média da população, é calculado pela Equação []. P(X µ / k σ X) () k A Equação é geralmete referida como a desigualdade de Chebyshev. Essa equação é baseada a hipótese de que σx é cohecido. Se σ é descohecido, etão, pode-se usar SX em seu lugar, mas com algus riscos por causa da flutuação de seu valor em amostras pequeas []. Ao usar a desigualdade de Chebyshev a estimação por itervalo, iguala-se, ao grau de k cofiaça desejado, resolve-se para k, costruido-se, etão, o itervalo, utilizado a Equação ou a Equação 3 [], coforme o caso. X ± kσ () X X ± ks X (3) O procedimeto estatístico utilizado para usar a desigualdade de Chebyshev foi o seguite: escolheu-se a probabilidade desejada, ou seja, fixou-se atecipadamete a probabilidade de X estar o itervalo. Segudo Dowig e Clark [3], é comum fixar em 95% essa probabilidade. Assim, calculou-se etão, a amplitude do itervalo para que houvesse 95% de chace dele coter o verdadeiro valor de X. No caso da desigualdade de Chebyshev para o ível de cofiaça de 95%, o valor de k foi de 4,47 []... O método bootstrap O método bootstrap foi itroduzido por Efro [4] e, desde etão, tem sido profudamete estudado, ão apeas em estudos teóricos, como também em várias aplicações. Todavia, a ecessidade de maipulação de um úmero geralmete grade de amostras, a sua operacioalidade somete torou-se viável com o adveto e popularização dos microcomputadores. O método cosiste um procedimeto estatístico computacioalmete itesivo que permite a avaliação de diversas estatísticas, com base os dados obtidos da amostra. Sedo assim, ele tem como base a ideia de que o pesquisador pode tratar a sua amostra como se fosse a população que deu origem aos dados e utilizar amostragem com reposição de sua amostra experimetal para gerar pseudo-amostras e a partir destas estimar características de iteresse de certas estatísticas [4]. Neste caso, a iferêcia estatística bootstrap tem a fialidade de produzir afirmações sobre uma dada característica da população de iteresse, a partir de iformações colhidas da amostra. Vários esquemas diferetes de bootstrap têm sido propostos e muitos deles apresetam bom desempeho em uma ampla variedade de situações. Este método pode ser implemetado tato a estatística ão-paramétrica quato a paramétrica, depededo apeas do cohecimeto do problema [4]. No caso ão-paramétrico, reamostra-se os dados com reposição, de acordo com uma distribuição empírica estimada, tedo em vista que, o geral, ão se cohece a distribuição subjacete aos dados. No caso paramétrico, quado se tem iformação suficiete sobre a forma da distribuição dos dados, a amostra bootstrap é formada realizado-se a amostragem diretamete essa distribuição com os parâmetros descohecidos substituídos por estimativas paramétricas [4]. O processo de reamostragem cosiste em gerar amostras a partir da amostra origial, cujos dados aleatoriamete retirados (com reposição) são utilizados a formação de cada amostra bootstrap. Dessa forma, todo resultado depede diretamete da amostra origial. A distribuição da estatística de iteresse aplicada aos valores desse tipo de amostragem, codicioal aos dados

4 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 4 observados, é defiida como a distribuição bootstrap dessa estatística []. Operacioalmete, o procedimeto bootstrap cosiste a reamostragem de mesmo tamaho e com reposição dos dados da amostra origial, e cálculo da estatística de iteresse para cada reamostra, deomiada de pseudovalores [4]. Efro e Tibshirai [] apresetaram as ideias básicas subjacetes ao método de bootstrap, o âmbito da iferêcia clássica da estatística, como se segue. Com x = (x, x, L, x ) amostra aleatória obtida a partir de uma população com fução de distribuição descohecida, F, seja, ( x, x,,x ) Θ L, um estimador do parâmetro Θ (F) que, como se idica, depede aturalmete de F. Seja F a fução de distribuição empírica associada à amostra obtida, tal que a cada valor observado x, ode ( i,,, ) valor de F é calculado pela Equação 4 []. i = L, atribui massa probabilística. Etão, o I x i= F ( ) (x) = ( x) i (4) Ode: F () i (x) - o estimador ão-paramétrico de máxima verossimilhaça de F; I(x x) - fução idicadora. Uma amostra bootstrap é uma amostra x = (x, x, L, x ) obtida de forma aleatória e com reposição a partir da amostra origial x = (x, x, L, x ), também desigada população bootstrap. A otação com asterisco idica que x ão é um ovo cojuto de dados reais x, mas sim uma versão radomizada, ou reamostrada de x. A amostra bootstrap cosiste dos correspodetes membros de x, ode: x = x i, x = x i, L, x = x i. O cojuto (x i, x i, K, x i ) represeta a i-ésima amostra de tamaho com reposição dos dados origiais do cojuto x = (x, x, L, x ) [4]. No método bootstrap, a média amostral calculada é deomiada por x i. A cada procedimeto de reamostragem do cojuto origial x = (x, x, L, x ), correspodem estimadores, dados por x, x, K, x. Neste caso, o estimador bootstrap da média da população é a média aritmética, x B, dos estimadores x i. Sedo este, um método de reamostragem com reposição, pode-se ter, por exemplo: x = x 7, x = x 0, x 3= x, L, x B= x 3. Portato, o cojuto de dados reamostrados é costituído de elemetos do cojuto dos dados origiais x = (x, x, L, x ), ode algus ão aparecem ehuma vez, outros aparecem uma vez, outros aparecem duas vezes etc. Da distribuição F ()(x) obtêm-se B amostras bootstrap de mesmo tamaho, como apresetada a seqüêcia abaixo [4]:

5 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 5 x = x, x, L, x x = x, x, L, x M x B= x B, x B, L, x B Neste caso, o estimador do desvio padrão da população é calculado pela Equação 5. S$ B (x i x B) - i= (5) Especificamete, x i, pode ser substituído pelo estimador Θ i, para cada procedimeto de B B reamostragem. A média x pode também ser substituída por Θ, que é a média aritmética dos estimadores bootstrap. A difereça Θ B Θ i é o estimador do eviesameto de Θ. Deste modo, o estimador do erro padrão de Θ é calculado pela Equação 6. O erro padrão bootstrap foi calculado pela Equação 7. O itervalo de cofiaça estimado pela desigualdade de Chebyshev via método bootstrap foi calculada pela Equação 8. B S$ = ( B Θ i Θ B) (6) B- i= Ode: i= i x Θ i= e B Θ Θ i B= i = B S B SΘ. B = $ (7) Ode: é o tamaho da amostra origial. B B ± S ks B B k Θ = ± $ Θ Θ (8) A grade vatagem do método bootstrap é que ele pode ser aplicado à, praticamete, qualquer estatística Θ, ão se limitado apeas à média Θ = X. Isto é muito importate, uma vez que para algumas estatísticas ou ão existem fórmulas aalíticas ou, quado existem, são difíceis e aproximadas para a estimativa dos seus respectivos erros padrões. A reamostragem bootstrap teta realizar o que seria desejável realizar a prática: repetir os procedimetos experimetais..3. O algoritmo bootstrap

6 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 6 A técica de reamostragem bootstrap passa pelo algoritmo de Mote Carlo, ode, um dispositivo gerador de úmeros aleatórios selecioou iteiros i, i, L, i, cada um dos quais é igual a algum valor etre e com probabilidade. A amostra formada cosiste dos correspodetes elemetos do cojuto origial x = (x, x, L, x ) [4]. Na prática, costrói-se a distribuição bootstrap de F por Mote Carlo com um úmero de repetições, B, suficietemete grade. Um idicador do tamaho adequado de B, idepedete do custo computacioal, é a qualidade da covergêcia da estimativa do parâmetro para a estimativa atural do parâmetro Θ B ( Β ) Θ (F), sedo a costrução do algoritmo geralmete simples []. Sua covergêcia está garatida pela lei dos Grades Números, pois, (x, x, L, x ) ada mais são do que uma amostra de variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com distribuição codicioal de Θ B. Assim, quado B tede a ifiito, a média amostral Θ B aproxima-se de Θ []. O seguite algoritmo foi costruído pelo método de Mote Carlo para determiar o tempo médio de sobrevida. () Da amostra experimetal, sorteou-se, utilizado um gerador de úmeros aleatórios com probabilidade, os valores com reposição para formar as amostras bootstrap de mesmo tamaho da origial. () Computou-se a média aritmética em cada procedimeto de reamostragem. (3) Repetiu-se o passo () um úmero B de vezes obtedo, dessa maeira, B valores da estatística em questão. (4) Obtiveram-se as B médias para formar a distribuição F. (5) Determiou-se o estimador Θ B da distribuição F. O valor de Θ B foi utilizado como o valor do tempo médio de sobrevida. O procedimeto de simulação foi realizado utilizado um programa desevolvido a liguagem C++, com o gerador de úmeros aleatórios reu (Vieira) [5]. A Figura ilustra a operação do programa para costruir a distribuição bootstrap pelo algoritmo de Mote Carlo. No presete trabalho, as iterações bootstrap foram realizadas de acordo com o tamaho e a variação os resultados.

7 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 7 Amostra origial Sorteio aleatório com reposição Amostra bootstrap X Determiar Θ ( x) X Determiar Θ ( x) Gerar distribuição Determiar Θ Β X B Determiar Θ ( x) Β Figura : Ilustração esquemática do algoritmo de Mote Carlo para costruir a distribuição bootstrap. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Para testar o programa computacioal desevolvido utilizaram-se dados de tempo de sobrevida de pacietes com Aids, obtidos das pesquisas desevolvidas por Carvalho et al. [6]. Esses dados ecotram-se apresetados a Tabela. Observado a Tabela pode-se verificar grade variabilidade os valores do tempo de sobrevida. Na Tabela ecotram-se os valores da média aritmética e o itervalo de cofiaça dos dados apresetados a Tabela. Os resultados apresetados a Tabela mostram elevado grau de dispersão em toro da média aritmética. A Figura mostra o histograma da distribuição dos valores dos tempos de sobrevida apresetados a Tabela. Observa-se que a distribuição em questão é bastate achatada. Esta distribuição é do tipo platicúrtica. Numa distribuição deste tipo, os dados obtidos da amostra ecotram-se bastate espalhados, dificultado assim, a escolha adequada de uma medida de tedêcia cetral que represete corretamete o cojuto de dados. Como pode ser observado a Tabela, o itervalo de cofiaça foi bastate amplo, sugerido elevado grau de dispersão os valores do tempo de sobrevida. De acordo com Arago [7], o desvio padrão é um fator importate que ifluêcia a amplitude do itervalo de cofiaça. Assim, quato maior for o desvio padrão, maior será a amplitude do itervalo, como ilustra a Figura.

8 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 8 Tabela : Tempo de sobrevida (em dias) de pacietes com Aids []. Paciete Tempo

9 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 9 Tabela : Média aritmética e mediaa dos tempos de sobrevida (dias). Estatística Tempo Média aritmética ± desvio padrão 48, ± 5,0 Itervalo da média aritmética [3,7; 7,5]* *Com ível de cofiaça de 95% para a desigualdade de Chebyshev. 5 Número de observações Tempo de sobrevida (dia) Figura : Histograma da distribuição dos tempos de sobrevida. O método bootstrap quado aplicado um cojuto de dados deduz sigificativamete a dispersão. A Figura 3 mostra a represetação gráfica da distribuição bootstrap dos valores do tempo de sobrevida para iterações. Observa-se que a distribuição bootstrap da Figura 3 é bastate fechada. Este tipo de distribuição é chamado de leptocúrtica. Neste tipo de distribuição os valores ecotram-se cocetrados próximos do cetro da curva. Sedo assim, é possível escolher adequadamete uma medida de tedêcia cetral que represete corretamete o cojuto de dados. Na Tabela 3 ecotram-se apresetados os valores da média aritmética e do itervalo de cofiaça para o tempo de sobrevida aalisados pelo método bootstrap. Comparado os valores das Tabelas e 3 verifica-se que o método bootstrap reduziu sigificativamete o itervalo de cofiaça da média aritmética. Segudo Dowig e Clark [3], um itervalo de cofiaça pequeo é melhor porque permite fazer uma estimativa mais precisa do verdadeiro valor de X. Isto pode ser observado também quado se compara os gráficos das Figuras e 3. Por outro lado, ão houve difereça sigificativa etre os valores das médias aritméticas as Tabelas e 3. Isto sigifica que, a aplicação do método bootstrap a amostra origial, ão alterou os valores da média aritmética. Portato, a média aritmética gerada pelo método bootstrap pode ser cosiderada medida de tedêcia cetral robusta, pois, segudo, Efro [4], os estimadores bootstrap são robustos para a amostra origial. Observa-se a Tabela 3

10 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0) 0 que o desvio padrão foi bastate reduzido como pode ser costatado a Figura 3, pois, ao aplicar o método bootstrap o itervalo de cofiaça foi deduzido a medida em que aumetou o úmero de pseudo-amostras Número de pseudo-amostra Tempo de sobrevida (dia) Figura 3: Histograma da distribuição bootstrap dos tempos de sobrevida. Tabela 3: Média aritmética e mediaa bootstrap dos tempos de sobrevida (dias). Estatística Tempo Média aritmética ± desvio padrão 47,7 ± 4,3 Itervalo da média aritmética [43,5; 5,0]* *Com ível de cofiaça de 95% para a desigualdade de Chebyshev. 4. CONCLUSÃO A desigualdade de Chebyshev quado usada com o método bootstrap costituiu um procedimeto estatístico preciso a estimativa de itervalo de cofiaça em aálise de tempo de sobrevida. 5. AGRADECIMENTO Esta pesquisa teve apoio fiaceiro da Fudação de Amparo à Ciêcia e Tecologia do Estado de Perambuco (FACEPE).

11 C. M. Silva et al., Scietia Plea 8, (0). KAZMIER, L. J. Estatística aplicada à ecoomia e admiistração. McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, p.. EFRON, B.; TIBSHIRANI, R. J. A itroductio to the bootstrap. Chapma ad Hall, New York, p. 3. DOWNING, D.; CLARK, J. Estatística aplicada. Editora Saraiva, São Paulo, p. 4. EFRON, B. The jackkife, the bootstrap ad other resamplig plas. J.W. Arrowsmith, Ltd., Bristol, p. 5. VIEIRA, J.W. Costrução de um modelo computacioal de exposição para cálculos dosimétricos utilizado o código mote carlo egs4 e fatomas de voxels. Tese de Doutorado do Programa de Pósgraduação em Tecologias Eergéticas e Nucleares da Uiversidade Federal de Perambuco, p. 6. CARVALHO, M. S.; ANDREOZZI, V. L.; CODEÇO, C. T.; BARBOSA, M. T. S.; SHIMAKURA, S. E. Aálise de sobrevida: teoria e aplicações em saúde. Editora Fiocruz, São Paulo, p 7. ARANGO, H. G. Bioestatística: teórica e computacioal. Guaabara Kooga, Rio de Jaeiro, ed., p.