Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma proposta utilizando o software GeoGebra

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1 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra

2 . Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 2 P á g i a

3 Daila Silva Seabra de Moura Foseca Regia Helea de Oliveira Lio Frachi Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 3 P á g i a

4 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 4 P á g i a

5 Ouro Preto 2012 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 5 P á g i a

6 2012 Uiversidade Federal de Ouro Preto Istituto de Ciêcias Exatas e Biológicas Departameto de Matemática Programa de Pós-Graduação Mestrado Profissioal em Educação Matemática Reitor da UFOP Prof. Dr. João Luiz Martis Vice-Reitor Prof. Dr. Ateor Rodrigues Barbosa Juior Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra F676e INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS Diretor Prof. Dr. Atôio Claret Soares Sabioi Vice-Diretora Profa. Dra. Maria Célia da Silva Laa PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO Pró-Reitor Prof. Dr. Taus Jorge Nagem Pró-Reitor Adjuto Prof. Dr. Adré Barros Cota Coordeação Profa. Dra. Regia Helea de Oliveira Lio Frachi MEMBROS Profa. Dra. Aa Cristia Ferreira, Profa. Dra. Célia Maria Ferades Nues, Prof. Dr. Dale Willia Bea, Prof. Dr. Frederico da Silva Reis, Profa. Dra. Marger da Coceição Vetura Viaa, Prof. Dr. Plíio Cavalcati Moreira, Profa. Dra. Teresiha Fumi Kawasaki FICHA CATALOGRÁFICA Foseca, Daila Silva Seabra de Moura. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra / Daila Silva Seabra de Moura Foseca, Regia Helea de Oliveira Lio Frachi - Ouro Preto : UFOP, p.: il. color.; grafs.; tabs. ISBN: 1. Matemática - Estudo e esio. 2. Séries (Matemática). 3. Sequêcias (Matemática). 4. Ciêcia cogitiva - Corporificação. I. Frachi, Regia Helea de Oliveira Lio. II. Título. CDU: : Catalogação: sisbi@sisbi.ufop.br Reprodução proibida Art.184 do Código Peal e Lei de fevereiro de Todos os direitos reservados. 6 P á g i a

7 Epígrafe A matemática é uma forma de raciocíio e ão uma coleção de truques. Carl B. Boyer Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 7 P á g i a

8 Expediete Técico Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Orgaização Daila Silva Seabra de Moura Foseca Pesquisa e Redação Daila Silva Seabra de Moura Foseca e Regia Helea de Oliveira Lio Frachi Revisão Mariae Reis Gomes Projeto Gráfico e Capa Editora UFOP 8 P á g i a

9 Ídice Apresetação Os Três Mudos da Matemática O uso de software para a corporificação e a relação dos três mudos o Cálculo O software GeoGebra Os Três Mudos da Matemática a covergêcia de sequêcias e séries Apresetação das atividades exploratórias Atividade Atividade Atividade Atividade Atividade Atividade Atividade Atividade Atividade Referêcias Apêdice Miimaual de GeoGebra Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 9 P á g i a

10 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 10 P á g i a

11 Apresetação Caro(a) professor(a), Este material apreseta sugestões de atividades para o esio de covergêcia de sequêcias e séries ifiitas a serem trabalhadas com aluos do esio superior. Ele é um recorte da pesquisa que realizamos o Programa de Mestrado Profissioal em Educação Matemática, ititulada Covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: um trabalho visado à corporificação dos coceitos, dispoível a págia do Programa. As atividades apresetadas este material foram desevolvidas com base em um quadro teórico ititulado Três Mudos da Matemática. O pricipal objetivo das atividades é desevolver o cohecimeto matemático do aluo, iicialmete por meio das percepções e setidos oriudos da visualização e maipulação, com o auxílio do software GeoGebra e, posteriormete, pelo estímulo à formulação de cojecturas, bem como à busca pela validação, que ocorrerá o mometo em que o coteúdo for sistematizado. Essas atividades ão foram desevolvidas com o ituito de servir como um maual para esiar covergêcia de sequêcias e séries uméricas, mas como um apoio aos professores que desejarem trabalhar tais coteúdos de maeira difereciada, proporcioado ao aluo participar da costrução da matemática. Elas servem como uma ideia iicial para que você possa adaptá-las às suas ecessidades. A seguir, será feita uma breve exploração sobre os Três Mudos da Matemática. Também serão apresetadas as atividades, com seus objetivos e algumas sugestões de aplicação. Esperamos que esta proposta possa cotribuir para suas aulas de Cálculo. Daila e Regia Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 11 P á g i a

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13 1 Os Três Mudos da Matemática O cohecimeto matemático tem importâcia histórica a evolução da humaidade. Segudo D Ambrósio (1999) em todos os mometos da história e em todas as civilizações, as ideias matemáticas estão presetes em todas as formas de fazer e de saber (p. 97). Ele aida ressalta que a Matemática é a espiha dorsal do cohecimeto cietífico, tecológico e sociológico (p. 106). Comparável à importâcia da Matemática como ciêcia está a importâcia de se pesar em como a humaidade pode se apropriar desse cohecimeto matemático e fazer uso dele. A escola tem papel relevate esse setido, pois é o ambiete escolar que o saber sistematizado é discutido. Vários têm sido os esforços para torar o esio de Matemática mais eficiete. Igliori (2009, p. 11) cota que a Educação Matemática é um campo de pesquisa que desevolve ivestigações em diversos ramos da Matemática a sociedade, tedo grade destaque as discussões sobre seu esio e apredizagem. O iteresse pela pesquisa resulta do papel dela o desevolvimeto cogitivo das pessoas desde os íveis iiciais, bem como pelas dificuldades de apredizagem apresetadas pelos estudates. Para Igliori, é alto o percetual de estudates do ível superior cujo desempeho a apredizagem da Matemática, em especial de Cálculo, tem deixado muito a desejar (IGLIORI, 2009, p. 12). Um ovo quadro teórico tem sido elaborado para cotribuir as reflexões sobre o esio e a apredizagem de Matemática em ível superior. Esse quadro é chamado de Três Mudos da Matemática, sedo o pesquisador David Orme Tall seu pricipal articulador. Como parte do fudameto dessa ova teoria, Tall (2002) cita o esaio Patters of Growth de Bruer (1966), o qual ele assiala três modos de represetação metal: o sesório-motor 1, que se costitui através da ação; o icôico 2, que depede do visual e de Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 1 No origial: sesori-motor. 13 P á g i a

14 uma orgaização sesorial do uso de images e sítese; e o simbólico 3, que é a represetação do pesameto pelo uso de palavras (liguagem em sua forma atural) ou liguagem (liguagem artificial de úmero e lógica). Bruer chama de eceado 4 o primeiro modo de represetação, de icôico o segudo e de simbólico o terceiro. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Bruer cosidera que essas represetações acotecem em sequêcia o desevolvimeto cogitivo do idivíduo: primeiro, o modo eceado; em seguida, o icôico e, por fim, o modo simbólico. Lima (2007) refere-se a essa forma hierárquica de desevolvimeto iiciado pelo sistema eceado, em que os idivíduos precisam das ações para compreeder uma situação. Em seguida, o sistema icôico, em que images resumem as ações efetuadas sobre os objetos e, por fim, o sistema simbólico, para comuicação e raciocíio. Aida, os três sistemas podem coexistir, isto é, um idivíduo pode fazer uso dos três sistemas para armazear iformações. (LIMA, 2007, p.s 72 e 73). Diate do que foi exposto, Tall (2002) separa o desevolvimeto cogitivo da Matemática em três mudos que iteragem etre si, sedo que cada um possui maeiras difereciadas de argumetação e prova. Ates de falarmos com detalhe sobre cada um dos três mudos, é ecessária uma ressalva. Tall utiliza o termo corporificado para se referir ao pesameto costruído, fudametalmete, a partir de percepções sesoriais, ações e experiêcias de pesameto (Tall, 2008); ou seja, o setido de dar um corpo a uma ideia abstrata. O primeiro mudo é o mudo coceitual-corporificado, ou somete mudo corporificado. Ele está a base do pesameto matemático e está fudametado a percepção e a ação. Ele se desevolve a partir de ossas percepções do mudo e é composto de osso pesameto sobre as coisas que percebemos e setimos, ão só o mudo físico, mas em osso próprio mudo de sigificados metais (TALL, 2004, p. 2). Assim, o mudo corporificado se baseia a percepção e reflexão sobre propriedades de objetos, iicialmete vistos e percebidos o mudo real, mas depois imagiados a mete (TALL, 2 No origial: icoic. 3 No origial: symbolic. 4 O termo eceado é a tradução feita por Lima (2007) para termo eactive. 14 P á g i a

15 2008, p.3). A prova o mudo corporificado se dá através da realização de um experimeto para verificar se o resultado esperado ocorre e, assim, a verdade fica estabelecida, pois é possível ver essa verdade acotecer (TALL, 2004, p. 5). O segudo mudo é o mudo proceitual-simbólico, ou somete mudo proceitual. Esse é o mudo dos símbolos que usamos para cálculo e maipulação a Aritmética, Álgebra, Cálculo e assim por diate (TALL, 2004, p. 3). O mudo simbólico iicia com ações que são ecapsuladas em coceitos por meio do uso de símbolos. Esses símbolos represetam, ao mesmo tempo, as ações e os coceitos formados em ossa mete (TALL e RAMOS, 2004). A prova o mudo proceitual é estabelecida por meio do cálculo com úmeros, da maipulação de símbolos algébricos e da utilização desses símbolos para geeralizar ideias (TALL, 2002, 2004). A palavra proceito foi formulada por Gray e Tall (1994) para represetar a dualidade etre o processo (ação) e o coceito que costituem os símbolos da Matemática. De acordo com Lima, coceitos matemáticos são represetados por símbolos que podem ser maipulados. Essa maipulação sitetiza as ações exercidas sobre os coceitos matemáticos. Assim, os símbolos represetam ão só os coceitos, mas também as ações exercidas sobre os objetos e o produto dessas ações. (LIMA, 2007, p. 57) Tall (2004, p. 3) exemplifica o ato de ecapsular as ações em coceitos a partir de uma aálise de símbolos usados em aritmética. O símbolo tem dupla cootação: como processo da adição de três com dois e como coceito da soma que se refere ao úmero 5. Lima (2007) destaca que pode haver diferetes proceitos de um mesmo processo (como, por exemplo, 1 + 4, 2 + 3) resultado um mesmo coceito (o úmero 5). O terceiro e último mudo é o formal-axiomático, ou somete mudo formal, que é baseado em propriedades, expressas em termos de defiições formais, que são usadas como axiomas para especificar estruturas matemáticas (tais como grupo, corpo, espaço vetorial, espaço topológico e assim por diate) (TALL, 2004, p. 3). Esse mudo é caracterizado pelo uso de defiições formais para os coceitos, a partir das quais deduções são feitas, e pressupõe-se a costrução de um sistema axiomático (TALL, 2002). A verdade do mudo formal é costituída por meio de prova formal a partir da utilização de axiomas e de defiições formais para que as deduções sejam feitas. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 15 P á g i a

16 Na figura a seguir podemos visualizar como os critérios iteragem de verdade em cada um dos Três Mudos da Matemática, em uma sequêcia de desevolvimeto cogitivo como proposta em TALL ( 2007). Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Figura 1: Desevolvimeto cogitivo da argumetação. Fote: Tall, 2007, p. 10 (tradução ossa) A esquematização da figura 01 os mostra que, o mudo corporificado, há uma costrução das defiições e deduções dos objetos devido ao uso cada vez mais sofisticado da liguagem, o que pode levar a gerar uma teoria dedutiva. Já o desevolvimeto cogitivo o mudo simbólico evolve uma compreesão cada vez mais sofisticada das ações sobre a maipulação dos símbolos. Existe uma iterface comum a esses dois mudos, que permite tato corporificar o simbolismo como simbolizar as corporificações. Ao utilizar uma liguagem cada vez mais sofisticada, íveis mais avaçados de corporificação e simbolismo são desevolvidos, surgido defiições e deduções que iterferem a fase de trasição dos argumetos baseados a experiêcia para um sistema cada vez mais axiomático, presete a prova formal. O uso de software pode cotribuir a costituição de um ambiete que possibilite a passagem pelos três mudos, como veremos o capítulo P á g i a

17 2 O uso de softwares como apoio para a corporificação e a relação etre os três mudos o Cálculo As publicações relativas ao uso de tecologias em educação matemática idicam a possibilidade de costrução de ambietes virtuais que permitem ao idivíduo idagar e/ou ivestigar objetos da Matemática. As situações colocadas podem estimular a idagação, experimetação e formação de cojecturas, com participação ativa do estudate em todo o processo (FRANCHI, 2002; BORBA e PENTEADO, 2001). Segudo Kawasaki (2008) é comum ecotrarmos em pesquisas que uma das pricipais vatages, ao icorporar as tecologias computacioais os processos de esiar/apreder matemática, é a possibilidade de visualizar e maipular as ideias matemáticas (objetos virtuais matemáticos). Tal possibilidade decorre do fato de algus softwares (ou aplicativos) matemáticos serem capazes de trasformar situações algébrico-simbólicas em situações espaço-geométricas. Parece haver coseso etre educadores matemáticos sobre o valor pedagógico da visualização o esiar, o apreder e, até mesmo, o fazer matemática. Dessa forma, recursos visuais (ão ecessariamete, os computacioais) sempre foram utilizados, por professores, para itroduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do esio de Cálculo, algus educadores exaltam, o uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma represetação gráfica, simultâea e cotiuamete articulado-a, de forma diâmica, às suas represetações umérica e algébrica. (KAWASAKI, 2008, p. 43, grifos da autora) A mesma autora aida os coscietiza de que, ao utilizarmos o computador, é possível admitir que a Matemática esteja sedo produzida de uma maeira difereciada à Matemática produzida através da utilização do lápis-e-papel. Isso ocorre porque, em geral, as propostas educacioais para a costrução da Matemática por meio do uso do computador ão assumem a ideia tradicioal de uma matemática prota ou acabada a ser esiada, mas admitem também a possibilidade de se fazer matemática em uma atividade de apredizagem (KAWASAKI, 2008, p. 49). Isso vai ao ecotro de Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 17 P á g i a

18 cosiderações feitas por Tall ao icetivar uma abordagem corporificada do Cálculo, em que trabalhamos as ideias a partir da percepção, ates de itroduzirmos qualquer simbolismo (TALL, 2002, p. 11). Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra O ambiete iformatizado parece oferecer um possível local para o desevolvimeto de atividades que visam a trasitar pelos Três Mudos da Matemática. De fato, muitas pesquisas idicam que o uso de tecologias é um meio favorável para o aluo desevolver hipóteses e/ou cojecturas, coforme os diz Frachi (2007), a Iformática facilita as visualizações, possibilita testar mudaças relacioadas a características algébricas de coceitos matemáticos e observar as variações resultates o aspecto gráfico. A comparação etre as represetações gráficas, algébricas e uméricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de cojecturas. Borba e Peteado (2001, p.39) afirmam que as cojecturas surgem com frequêcia em aulas utilizado tecologias como o computador ou as calculadoras e que, se debatidas com a classe, podem levar a descobertas. (FRANCHI, 2007) Para dar ao Cálculo um sigificado humao 5 devemos tirar vatages de softwares de maipulação (TALL, 2002, p. 9). Os aluos podem maipular diferetes tipos de gráficos, desde aqueles mais simples até os que possuem irregularidades, que exigiriam um tratameto matemático em um setido formal. Dessa forma, cria-se uma abordagem corporificada, que pode dar fudameto sigificativo para as mais refiadas ideias da Aálise (TALL, 2002, p. 10). O uso do computador com o software adequado, como os softwares de geometria diâmica, é um auxiliar para trabalharmos o mudo corporificado o Cálculo, pois ele possibilita o trabalho com o modo de represetação eceado (através da ação) e icôico (visual), equato os livros trazem apeas a parte icôica. Segudo Tall (2002), o uso adequado de um software os permite orgaizar várias atividades que podem levar o aluo a realizar experiêcias de pesameto, favorecedo a corporificação de coceitos de Cálculo. 5 Em muitos de seus textos Tall usa a palavra humao ao se referir às bases estabelecidas o mudo corporificado e simbólico. Iterpretamos que o uso da palavra busca efatizar as características sesoriais, de percepção e de ação predomiates esses mudos. 18 P á g i a

19 Um software de geometria diâmica dá ao aluo a possibilidade de explorar coceitos a partir da mudaça imediata em um gráfico quado os dados são modificados. Existem algus softwares que possibilitam a visualização dos dados, ao mesmo tempo, de maeira algébrica e geométrica, sem deixar de lado a possibilidade de explorar o gráfico em uma plailha, tudo em uma mesma iterface. Por fim, para a realização de atividades sobre o coteúdo de covergêcia de sequêcias e séries, foi escolhido o software GeoGebra. A seguir, serão expostas algumas ferrametas do GeoGebra, importates a corporificação do coceito de covergêcia. O software GeoGebra O GeoGebra 6 é um software livre de matemática diâmica e de fácil iteração. Devido ao seu diamismo, tora-se uma estratégia de esio, da qual professores e aluos podem fazer uso para explorar, cojecturar, testar hipóteses e ivestigar coteúdos diversos a Matemática. O GeoGebra reúe Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Em sua iterface temos dispoíveis para utilização jaela algébrica, jaela geométrica, plailha e jaela CAS (Computer Algebric System). O iteressate esse software é o fato de as partes gráfica, algébrica e de plailha estarem itercoectadas, o que permite apresetar, ao mesmo tempo, represetações diferetes de um mesmo objeto e, ao fazermos à modificação em uma delas, as demais acompaham à modificação realizada. Está dispoível em 55 idiomas diferetes e é multiplataforma, o que tora possível istalá-lo em computadores com Widows, Liux, Mac OS ou XO. A figura 2 mostra a tela icial do GeoGebra, cotedo as jaelas de álgebra, de visualização gráfica e a plailha. 6 Dispoível para dowload a versão 4.0 em Para a utilização do software é ecessário que esteja istalado o plugi Java, dispoível em Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 19 P á g i a

20 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Figura 2: Tela iicial do GeoGebra cotedo as jaelas de álgebra, visualização gráfica e plailha No Campo de Etrada podemos iserir comados com expressões algébricas ou potos cujos valores respectivos são criados a Jaela de Álgebra e a Jaela de Visualização, após se pressioar a tecla Eter. No botão do cato iferior direito é possível ecotrar uma lista de comados que podem ser iseridos o Campo de Etrada. O GeoGebra possui várias ferrametas, detre elas a de Cotrole Deslizate. Essa ferrameta cria um itervalo de úmeros livres (ou âgulos livres) de forma que quem a estiver executado pode defiir seu ome, valor míimo e máximo do itervalo e o tamaho de seu passo. Com essa ferrameta é possível verificar o que ocorre com alguma fução ou expressão algébrica, desde que relacioada ao Cotrole Deslizate, quado fazemos o seu valor variar. Em relação às atividades de sequêcias e séries, o Cotrole Deslizate é uma ferrameta para o auxílio da corporificação da covergêcia de uma sequêcia, pois é possível associar o valor de de uma sequêcia ao Cotrole Deslizate e fazer o seu valor máximo aumetar o tato quato for desejado. Com isso, o aluo passa a ter autoomia para cojecturar e testar sua hipótese com relação aos valores dos termos da sequêcia ou série, à medida que o valor de aumeta. 20 P á g i a

21 Outra importate ligação que o GeoGebra permite é a dos Rastros deixados pelos potos e fuções (caso assim se deseje) com a Plailha. Os rastros ada mais são do que os valores assumidos pelos potos ou fuções para cada valor dos úmeros livres do Cotrole Deslizate. Fucioam como uma memória dos cálculos e assim se pode aalisar ão apeas o resultado fial, como também o processo para se chegar àquele resultado. Com as ferrametas Cotrole Deslizate e Rastro é possível represetar graficamete os termos de uma sequêcia (ou série) e colocar todas as coordeadas dos potos a Plailha para uma visualização umérica da covergêcia. Havedo a iteração etre as três jaelas algébrica, gráfica e plailha é possível fazer uma relação etre o que foi visualizado o gráfico e a parte umérica que está a Plailha e a Jaela Algébrica. Ao elaborarmos as atividades exploratórias utilizado o software GeoGebra, focamos pricipalmete os mudos corporificado e proceitual, tetado uma possível abertura para a exploração do mudo formal. A seguir, será colocado o osso etedimeto dos Três Mudos da Matemática a covergêcia de sequêcias e séries. É ecessária a ressalva de que a covergêcia da série é discutida por meio da covergêcia da sequêcia formada pelas somas parciais. Portato, só há distição o trabalho de sequêcias e séries o que se refere à itersecção etre os Três Mudos da Matemática. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 21 P á g i a

22 3 Os Três Mudos da Matemática a covergêcia de sequêcias e séries Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra No capítulo 1, os Três Mudos da Matemática foram caracterizados de acordo com Tall (2002, 2004 e 2008). O desevolvimeto das atividades exploratórias se deu com base esse referecial; por isso trazemos também o osso etedimeto sobre os Três Mudos da Matemática. O mudo corporificado é o mudo composto dos modos eceado e icôico de Bruer. Dessa forma a corporificação ocorre a partir da visualização, da ação sobre objetos matemáticos e experiêcias de pesameto. Já o mudo proceitual é o mudo composto do modo simbólico de Bruer. O que foi etedido as ações é trasformado em símbolos que permitem a maipulação umérica, algébrica, etre outras. Um símbolo, o mudo proceitual, pode ser utilizado tato para represetar um processo quato para represetar um coceito, ou seja, ele é um proceito. Por fim, o mudo formal é ode se costrói uma teoria com base em defiições formais e propriedades provadas formalmete. Como vimos os textos de Tall, cada mudo possui a sua maeira de prova. Para cotextualização, apresetamos o osso etedimeto sobre as verdades os Três Mudos da Matemática, com relação à covergêcia de sequêcias. Exemplificamos essas verdades por meio da covergêcia da sequêcia 4 3 a =. No mudo corporificado, a covergêcia pode ser provada por meio da visualização dos termos da sequêcia, as duas formas de represetação: como potos em uma reta e como gráfico de uma fução de domíio discreto. A figura 3 exemplifica essas represetações, sedo que os potos o eixo vertical (potos em uma reta) são as projeções ortogoais dos potos do gráfico da fução sobre o referido eixo: 22 P á g i a

23 Figura 3: Corporificação da covergêcia da sequêcia 4 3 a = A figura aterior pode ser aceita como uma prova corporificada de que a sequêcia 4 3 a = coverge e que o valor de covergêcia parece ser 4, pois, é possível visualizar e perceber que, à medida que aumetamos o valor de, com o auxílio do Cotrole Deslizate do software GeoGebra, o valor de a também aumeta e se tora cada vez mais próximo de 4, sem dar a eteder que irá ultrapassá-lo. Para verificarmos a mesma covergêcia o mudo simbólico, basta calcular o limite de a quado tede ao ifiito e aalisar o resultado fial, ou seja, ( 4 3 ) lim = lim = lim 4 = 4. Por fim, a verdade o mudo formal é verificada ao mostramos que, para cada ε > 0, existe 4 3 um iteiro correspodete N tal que, se > N, etão 4 < ε. Para verificar a corporificação dos coceitos de covergêcia e a relação com a proceitualização e a axiomatização, utilizamos a figura 1 em que Tall (2007) trata do desevolvimeto cogitivo da argumetação, caracterizado como se dá esse desevolvimeto em cada um dos três mudos. Destacamos a importâcia das Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 23 P á g i a

24 caracterizações feitas por Tall para as itersecções etre os mudos que, a osso ver, podem auxiliar a idetificação da trasição etre eles. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Lembramos que ão existe um úico camiho para a trasição etre os Três Mudos da Matemática. Etretato, ossas atividades foram desevolvidas a expectativa de possibilitar ao aluo trasitar pelos três mudos e por suas iterseções, iiciado pelo mudo corporificado; em seguida, simbolizado o que foi corporificado; passado pelo mudo simbólico e objetivado alcaçar as itersecções etre o mudo formal e/ou os mudos corporificado e/ou simbólico, que chamaremos de base do mudo formal. De acordo com o quadro de Tall, a base do mudo formal as defiições e deduções de propriedades são feitas com base em experiêcias corporificadas e simbólicas. Nossa expectativa para um curso de Cálculo é alcaçar a base do mudo formal. No mudo formal devem ocorrer defiições formais dos sistemas axiomáticos e costrução de propriedades por meio de provas formais o que, em osso etedimeto, deve ser feito em um curso de Aálise. Explicitaremos, a partir do esquema do desevolvimeto cogitivo da argumetação, o osso etedimeto a respeito de o aluo estar em cada um dos Três Mudos da Matemática e as suas itersecções, em relação à covergêcia de sequêcias e à covergêcia de séries. Não defiiremos o que sigifica estar o mudo formal por meio de coceitos isolados, pois etedemos que esse mudo pressupõe a costrução de uma teoria axiomática. Sedo assim, cosideraremos que o aluo estará o mudo corporificado, ou seja, que ele terá corporificado o coceito de covergêcia, a partir do mometo em que, por meio da maipulação o GeoGebra, ele coseguir ver e perceber (em uma, ou as diferetes represetações) que os termos da sequêcia se aproximam de um determiado valor. A maipulação o GeoGebra é possível pela alteração do valor máximo do Cotrole Deslizate, o que correspode a aumetar o úmero de termos da sequêcia. De modo aálogo, o aluo terá corporificado o coceito de divergêcia quado visualizar que os termos da sequêcia ão se aproximam de um valor fixo. Iterpretamos que a visualização do comportameto da sequêcia é a corporificação do coceito. Etedemos que visualizar o comportameto é mais do que exergar os termos que se apresetam; é 24 P á g i a

25 realizar experiêcias de pesameto tetado iterpretar o que exergam para além do úmero fiito de termos apresetados. Cosideraremos também que o aluo estará a iterseção dos mudos corporificado e simbólico, ou seja, que haverá a simbolização do que foi corporificado, quado utilizar uma liguagem simbólica ou oral para comuicar sua compreesão sobre a covergêcia da sequêcia. Essa comuicação pode ser feita pelo uso de palavras que remetam ao coceito de limite, como tede, aproxima ou vai para. Em relação ao mudo simbólico, cosideramos que o aluo estará ele quado calcular o limite do termo geral e coseguir iterpretar o resultado fial para dizer se a sequêcia coverge ou ão. O valor L, resultado do cálculo do limite lim = L (ou a L quado a ) pode ser etedido como um processo (o cálculo do limite) ou como um coceito (o valor para o qual a sequêcia coverge). Pelo esquema de Tall, apresetado a figura 1, a itersecção etre os mudos, que chamamos de base do mudo formal, as defiições e deduções de propriedades são feitas com base em experiêcias corporificadas e simbólicas. Assim, tomado como referêcia as experiêcias de visualização gráfica e umérica, que etedemos como corporificação da covergêcia, e também as simbologias utilizadas, procuramos idetificar quais propriedades foram possíveis de se deduzir. Idetificamos como possibilidade as propriedades relativas às distâcias etre os potos e o possível poto para o qual a sequêcia coverge e também as relativas às distâcias etre os potos da sequêcia (ou difereças etre termos). Com base essas propriedades temos duas iterpretações possíveis para a covergêcia de sequêcias a base do mudo formal. No primeiro caso, cosideraremos que o aluo estará a base do mudo formal quado observar que as difereças etre os termos da sequêcia e o possível valor de covergêcia estão dimiuido para as sequêcias covergetes ou que ão existe um valor para o qual a sequêcia coverge e cocluir que ela é divergete. No segudo caso, cosideraremos que o aluo estará a base do mudo formal quado observar que as difereças etre os termos da sequêcia deverão dimiuir para que ela seja covergete ou que as difereças deverão aumetar ou tederem a um valor costate e diferete de zero, para que ela seja Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 25 P á g i a

26 divergete. Em ambos os casos o aluo também deverá ser capaz de expressar simbolicamete o que foi deduzido. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Cotiuamos a observar a figura 1, porém, buscado idetificar propriedades possíveis de deduzir relativas à covergêcia de séries. Idetificamos que o critério de divergêcia de séries seria uma possibilidade de dedução a partir das experiêcias corporificadas acima citadas. Cosideraremos que o aluo estará a base do mudo formal ao chegar à coclusão de que é ecessário que a sequêcia do termo geral teda a zero para a série ser covergete. Cosideraremos que ele estará com o desevolvimeto cogitivo da argumetação mais avaçado detro da base do mudo formal caso aida diga que essa codição é ecessária, mas que ão é suficiete para garatir a covergêcia. Também estará a base do mudo formal o aluo que observar que, se o limite do termo geral for diferete de zero, etão a série será divergete. A seguir, o capítulo 4, serão apresetadas as atividades exploratórias, com seus objetivos e algus cometários e sugestões de aplicação. 26 P á g i a

27 4 Apresetado as atividades exploratórias Neste capítulo apresetamos as ove atividades exploratórias desevolvidas para o estudo da covergêcia de sequêcias e séries o cotexto dos Três Mudos da Matemática, sedo a covergêcia da série estudada por meio da sequêcia formada pelas somas parcias. As atividades têm por objetivo fazer o aluo desevolver o cohecimeto matemático, iicialmete por meio das percepções e setimetos vidos da visualização e maipulação com o auxílio do software GeoGebra. Buscam também estimular a formulação de cojecturas e, posteriormete, a busca da validação auxiliada por testes e visualizações com o GeoGebra. Ao solicitar aos aluos que escrevam as cojecturas por eles elaboradas, justificado-as, almejamos fazer com que a passagem do mudo corporificado para o proceitual ocorra de forma atural. As defiições formais e as provas das cojecturas deverão ser efetuadas as aulas teóricas. As aulas teóricas devem ser coduzidas de maeira que os coceitos adquiridos os mudos corporificado e proceitual sejam evocados para serem uma itrodução ao mudo axiomático. Das ove atividades, as duas primeiras iciam pelo mudo simbólico por se tratarem de atividades que têm como objetivo evocar o cohecimeto prévio dos aluos em relação ao coceito de sequêcia, bem como familiarizá-los com a expressão do termo geral e com a obteção dos termos da sequêcia. Já as outras sete atividades foram formuladas para se trabalhar o coceito de covergêcia, a fim de que o desevolvimeto cogitivo se iicie pelo mudo corporificado e trasite pelos mudos simbólico e aximomático, com o auxílio do software GeoGebra. Para facilitar a utilização desse software, foi elaborado um Miimaual de GeoGebra que possui explicações de algumas ações e utilização de algumas ferrameta do software, dispoível o fial do texto. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 27 P á g i a

28 Sugerimos que, ates de iiciar o trabalho com as atividades exploratórias, o professor dispoibilize um horário para a apresetação do GeoGebra, por meio de alguma atividade itrodutória 7. No fim desse horário o professor pode aplicar a Atividade 1. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Atividade 1 Objetivo: Evocar o cohecimeto prévio quato ao coceito de sequêcia umérica. Respoda as questões abaixo com base em seu cohecimeto prévio. 1 O que você etede por sequêcia umérica? 2 Dê, o míimo, 5 (cico) exemplos de sequêcias uméricas. Cometário Com esta atividade o professor poderá vislumbrar o cohecimeto prévio dos aluos em relação ao coceito de sequêcia umérica e euciar a defiição de sequêcia umérica após discutir com os aluos as respostas dadas. Sugestão Aplicar a Atividade 1 em aula aterior à aula selecioada para a Atividade 2, assim, o professor poderá aalisar as respostas dadas. Essa atividade também deverá ser aplicada ates de o professor fazer qualquer referêcia à sequêcia. Atividade 2 Objetivo: Trabalhar a defiição de sequêcia umérica, a expressão do termo geral e a obteção dos termos de uma sequêcia a partir do termo geral. 7 Atividades itrodutórias com software GeoGebra podem ser ecotradas o trabalho de Marcos Dias da Rocha, ititulado Atividades Computacioais para o Curso de Cálculo Diferecial e Itegral usado o Software GeoGebra, ou o trabalhdo de Davis Oliveira Alves, ititulado Esio de Fuções, Limites e Cotiuidade em Ambietes Educacioais Iformatizados: uma Proposta para Cursos de Itrodução ao Cálculo. Os dois trabalhos estão dispoíveis o site do Programa, 28 P á g i a

29 1 Para cada uma das sequêcias abaixo, complete-as com três termos seguites aos que estão idicados e explique o raciocíio empregado para determiar tais termos: a) ,,,,,,, K b) { 1, 4, 9,16, 25,,,,K} c) 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6,,, K 2 Determie o termo geral a de cada uma das sequêcias ateriores. 3 Liste os cico primeiros termos de cada uma das sequêcias, cujos termos gerais são dados a seguir: a) a = 2 +1 b) c) a a = ( 2) = Cometário O pricipal objetivo desta atividade é o de familiarizar o aluo com o coceito de sequêcia umérica e com sua represetação a forma algébrica. Ao maipularem os termos da primeira questão para ecotrar o termo geral pedido a seguda questão, o aluo terá a possibilidade de corporificar o simbolismo de uma sequêcia umérica. Sugestões Para a aplicação da Atividade 2 reserve uma aula de ciqueta miutos. Ates de iiciar a Atividade 2 retome as respostas dadas pelos aluos à Atividade 1 e, com base essas respostas, defia sequêcia umérica como um cojuto umérico e como uma fução discreta com domíio os iteiros positivos. Apresete exemplos mais simples de sequêcias uméricas, como a sequêcia formada pelos úmeros pares e a formada pelos úmeros ímpares, e explique como obter o termo geral. Peça aos aluos para resolverem a atividade. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 29 P á g i a

30 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Da atividade 3 à atividade 7, o objetivo pricipal é trabalhar as diferetes formas de represetação de uma sequêcia e relacioá-las. Cada sequêcia selecioada tem um objetivo específico, que será cometado por atividade. Sugerimos que essas atividades sejam trabalhadas em cojuto, por isso reserve duas aulas de uma hora e meia cada para a aplicação. Caso os aluos já estejam familiarizados com o GeoGebra, este tempo pode ser reduzido. Observamos que, se os aluos ão utilizarem os termos coverge ou diverge as atividades, que esses coceitos sejam vistos somete após a aplicação da Atividade 7. Atividade 3 Objetivo: Explorar diferetes possibilidades de represetação dos termos de uma sequêcia. Observação: Todo úmero que estiver sobrescrito, como, por exemplo, Mova o plao (1), idica que a respectiva ação está descrita o Miimaual de GeoGebra. Cosidere a sequêcia de termo geral 5 a = Vamos explorar diferetes formas de represetação dos valores dos termos dessa sequêcia, com os recursos do Geogebra. 1 Cosiderado que a sequêcia pode ser defiida como uma fução de domíio atural, vamos represetar o plao os potos P = (, 5/). Da forma como defiimos P, o valor da primeira coordeada do poto P represeta a posição do termo da sequêcia e o valor da seguda coordeada do poto P represeta o valor umérico do termo de posição da sequêcia. Mova o plao (1) da Jaela de Visualização de forma que o eixo vertical dos y s fique próximo da divisória etre a Jaela de Álgebra e a Jaela de Visualização e o eixo dos x s fique o mais baixo possível. Mude o sistema para 5 Casas Decimais (2). Peça para exibir Malha (3) e Plailha (4). Ajuste a Plailha para que apareçam as coluas A e B. 30 P á g i a

31 Crie um Cotrole Deslizate (5) e ajuste suas cofigurações para que teha o ome e esteja defiido o itervalo de 1 até 12 com icremeto 1. Etre com o poto P = (, 5/) (6) e peça para Habilitar Rastro (7) e Gravar (8) para a Plailha de Cálculos. Para observar os valores assumidos por a, vamos variar. Na Jaela Algébrica, clique o valor de de forma que ele fique selecioado. Varie o valor de utilizado a seta do teclado e observe a distribuição do rastro do poto P o plao. 1.1 O que está acotecedo com os valores dos termos da sequêcia? Aumete a quatidade de rastro deixada pelo poto P. Para isso, troque o valor máximo (9) do Cotrole Deslizate. Caso deseje, dimiua a escala do eixo dos x s (10). Cotiue a variar o valor de. 1.2 O que acotece com a posição do poto P o plao cartesiao? E com os valores uméricos de a = 5 represetados a colua B da plailha? 1.3 É possível prever o que acotecerá com o valor do termo a da sequêcia quado o (posição do termo) for muito grade? Explique. 2 Outra forma de visualização é a represetação dos valores dos termos da sequêcia em uma reta. Para isso vamos criar o poto Q = (0, 5/). Volte com o valor do Cotrole Deslizate para = 1. Selecioe todos os valores que estão a tabela e apague-os. Made Reiicializar Colua (11). Ajuste a plailha para que seja possível visualizar da colua A até a colua D. Etre com o poto Q = (0, 5/). Habilite seu rastro e selecioe a opção Gravar para a Plailha de Cálculos. Para melhor visualização, dimiua a espessura (12) e mude a cor (12) do poto Q. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 31 P á g i a

32 Varie o valor de utilizado a seta do teclado. Pare quado atigir o valor de = O que você percebe etre os potos P e Q? Explique. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Cotiue a movimetar o Cotrole Deslizate. 2.2 O que você vê acotecer com a posição do poto Q o eixo vertical? 3 Com base em suas observações e respostas os ites 1 e 2, o que você pode dizer sobre os valores uméricos dos termos dessa sequêcia? O que acotece com o valor de a quado assume valores cada vez maiores? Cometário Esta atividade tem por objetivo itroduzir aos aluos as diferetes represetações de uma sequêcia. No caso, temos três represetações: como uma fução discreta (rastros do poto P), como um cojuto de valores uméricos (valores descritos a Plailha) e como potos de uma reta (rastros do poto Q). Iicialmete (questão 1.1) é pedida a observação do comportameto da sequêcia cosiderado poucos termos para que o aluo possa descrever a sua percepção iicial e sua ituição quato à covergêcia da sequêcia. Posteriormete é pedido para aumetar a quatidade de termos para que os aluos possam verificar se a cojectura iicial é válida. Só etão será iserida uma ova visualização, como potos de uma reta, com o objetivo de os aluos observarem se os valores da sequêcia estão se aproximado ou se afastado us dos outros. A sequêcia 5 a = foi escolhida para que os aluos pudessem formular suas cojecturas e validá-las ao escolher o valor máximo do Cotrole Deslizate do GeoGreba. Vejamos a figura 4 uma possível resolução para esta atividade. 32 P á g i a

33 Atividade 4 Figura 4: Represetação da sequêcia 5 a =, com variado de 1 até 15, como uma fução discreta, como potos sobre uma reta e como sequêcia de valores uméricos Objetivo: Explorar diferetes possibilidades de represetação dos termos de uma sequêcia. Cosidere a sequêcia de termo geral + 20 a = 5 Explore o comportameto dessa sequêcia usado o GeoGebra. Sugestão: abra um ovo arquivo e utilize os recursos idicados a atividade 03, crie o poto P(, a ), Q(0, a ) e uma plailha em que possam ser observados os valores uméricos de a. Observe que os potos deverão ser itroduzidos o GeoGebra como P=(, (+20)/(5)) e Q=(0, (+20)/(5)). O que você pode dizer sobre os valores uméricos dos termos dessa sequêcia? O que acotece com o valor de a quado assume valores cada vez maiores? Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 33 P á g i a

34 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Cometário Esperamos que, a partir da visualização dos termos da sequêcia o GeoGebra, os aluos cojecturem que a sequêcia é covergete para zero. Caso isso de fato ocorra, o professor poderá chamar a ateção para a ecessidade de se trabalhar a covergêcia de maeira formal, pois, ao calcular o limite do termo geral coclui-se que a sequêcia coverge para 0,2. Atividade 5 Objetivo: Explorar diferetes possibilidades de represetação dos termos de uma sequêcia. 2 Cosidere a sequêcia de termo geral a = Explore o comportameto dessa sequêcia usado o GeoGebra. Sugestão: abra um ovo arquivo e utilize os recursos idicados a atividade 03, crie o poto P(, a ), Q(0, a ) e uma plailha em que possam ser observados os valores uméricos de a. Observe que os potos deverão ser itroduzidos o GeoGebra como P=(, ^2) e Q= (0, ^2). O que você pode dizer sobre os valores uméricos dos termos dessa sequêcia? O que acotece com o valor de a quado assume valores cada vez maiores? Cometário Com esta atividade buscamos a fácil visualização de que os valores ão se aproximam de um valor fixo e, por isso, a sequêcia ão coverge, e sim diverge. Atividade 6 Objetivo: Explorar diferetes possibilidades de represetação dos termos de uma sequêcia. Cosidere a sequêcia de termo geral a = P á g i a

35 Explore o comportameto dessa sequêcia usado o GeoGebra. Sugestão: abra um ovo arquivo e utilize os recursos idicados a atividade 3, crie o poto P(, a ), Q(0, a ) e uma plailha em que possam ser observados os valores uméricos de a. Observe que os potos deverão ser itroduzidos o GeoGebra como P=(, /(+1)) e Q=(0, /(+1)). O que você pode dizer sobre os valores uméricos dos termos dessa sequêcia? O que acotece com o valor de a quado assume valores cada vez maiores? Cometário A sequêcia a = foi escolhida para que os aluos possam ver que as sequêcias +1 podem covergir para outros valores reais, ão deixado margem para um etedimeto errôeo de que, para uma sequêcia se aproximar de um valor, o seu limite deve teder a zero. Atividade 7 Objetivo: Explorar diferetes possibilidades de represetação dos termos de uma sequêcia. Cosidere a sequêcia de termo geral a = ( 1) Explore o comportameto dessa sequêcia usado o GeoGebra. Sugestão: abra um ovo arquivo e utilize os recursos idicados a atividade 3, crie o poto P(, a ), Q(0, a ) e uma plailha em que possam ser observados os valores uméricos de a. Observe que os potos deverão ser itroduzidos o GeoGebra como P=(, (-1)^*^2/(2^)) e Q=(0, /(+1)). O que você pode dizer sobre os valores uméricos dos termos dessa sequêcia? O que acotece com o valor de a quado assume valores cada vez maiores? Cometário Nesta atividade deseja-se explorar o fato de que uma sequêcia alterada também pode covergir. 2 2 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 35 P á g i a

36 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Sugestão Futuramete, ao sistematizar a covergêcia de sequêcia alterada, utilize a atividade 7 como exemplo de que a sequêcia alterada só pode ser covergete se for para zero. Após a aplicação das atividades, até a de úmero 7, sugerimos que retome a aula para discutir as cojecturas formuladas pelos aluos. Também deve ser discutida a covergêcia e a divergêcia de sequêcia, sem mecioar o cálculo do limite e sem a defiição formal, observado apeas que uma sequêcia é covergete quado ela se aproxima, ou tede, a um valor fixo; caso isso ão ocorra, a sequêcia será divergete. Para a atividade 8 sugerimos que seja reservada uma aula de aproximadamete ciqueta miutos. Atividade 8 Objetivo: Explorar a covergêcia e a divergêcia de sequêcias por meio de distâcia. Vamos explorar o que acotece com a distâcia etre os potos de uma determiada sequêcia e o poto de acumulação quado a quatidade de termos aumeta. A distâcia etre dois potos pode ser medida através do cálculo do módulo da difereça etre os valores uméricos correspodetes. Por exemplo: a distâcia etre os potos 1 e 4 é 3, pois 1 4 = 3. Para essa exploração vamos usar os recursos do Geogebra. Sugerimos a costrução do Cotrole Deslizate (5) e a costrução de uma Plailha. 1 Cosidere a sequêcia de termo geral Costrua o poto (6) Q=(0, /(+1)). a =. +1 Habilite o rastro (7) de Q, faça variar, e grave para a plailha de cálculos (8). 1.1 Essa sequêcia parece ser covergete? Para qual valor? 36 P á g i a

37 1.2 Caso ela seja covergete, o que está acotecedo com a distâcia etre os potos da sequêcia e o poto para o qual ela parece covergir? Podemos saber a medida da distâcia etre dois potos, através do valor absoluto da difereça etre o valor de covergêcia s (ituído por você o item 1.1) e o valor umérico de posição ( s a ). Isso pode ser feito através do comado abs a plailha. Por exemplo, a célula de que pertecem a liha 1 e colua C, digite =(abs(s B1)). Faça o mesmo em todas as lihas (13). 1.3 O que está acotecedo com o valor absoluto da difereça etre o valor ituído por você o item 1.1 e os termos da sequêcia (valores da colua C)? 2 Cosidere a sequêcia de termo geral + 20 a = 5 Em um ovo arquivo, costrua o poto (6) Q=(0, (+20)/(5)). Habilite o rastro (7) de Q, faça variar, e grave para a plailha de cálculos (8). 2.1 Essa sequêcia parece ser covergete? Para qual valor? 2.2 Caso ela seja covergete, o que está acotecedo com a distâcia etre os potos da sequêcia e o poto para o qual ela parece covergir? 2.3 O que está acotecedo com o valor absoluto da difereça etre o valor ituído por você o item 2.1 e o os termos da sequêcia? 3 Cosidere a sequêcia de termo geral a 2 = 3 Em um ovo arquivo, costrua o poto (6) Q=(0, (2^)/(3)). Habilite o rastro (7) de Q, faça variar, e grave para a plailha de cálculos (8). 3.1 Essa sequêcia parece ser covergete? Para qual valor? Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 37 P á g i a

38 3.2 O que está acotecedo com a distâcia etre dois potos cosecutivos dos termos da sequêcia? Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Idique a plailha a distâcia etre dois potos cosecutivos da sequêcia (valor absoluto da difereça etre dois valores uméricos cosecutivos). Na célula de que pertecem a liha 3 e colua C, digite =(abs(b3 B2)). Faça o mesmo em todas as lihas (13). 3.3 O que está acotecedo com o valor absoluto da difereça etre os valores uméricos de dois termos cosecutivos da sequêcia? Cosidere a sequêcia de termo geral a = ( 1). + 1 Em um ovo arquivo, costrua o poto (6) Q=(0, ( 1)^(+1)*/(+1)). Habilite o rastro (7) de Q, faça variar, e grave para a plailha de cálculos (8). 4.1 Essa sequêcia parece ser covergete? Para qual valor? 4.2 O que está acotecedo com a distâcia etre dois potos cosecutivos da sequêcia? 4.3 O que está acotecedo com o valor absoluto da difereça etre os valores uméricos de dois termos cosecutivos da sequêcia? Cometário As sequêcias a = e a = são covergetes para 1 e 0,2, respectivamete. 5 Portato exploramos a distâcia etre os termos da sequêcia e o valor para o qual ela coverge. Além disso, ehuma das duas sequêcias coverge para zero, o que gera a discussão de que as sequêcias covergem para valores diferetes de zero, mas a distâcia etre os termos e o poto de acumulação tede a zero. A partir dessas duas sequêcias é 38 P á g i a

39 possível itroduzir o coceito formal de limite e assim discutir a covergêcia da sequêcia por meio do cálculo do limite do termo geral. As sequêcias a = e a = ( 1) são divergetes. Na primeira, é possível discutir a divergêcia, pois a mesma tede para o ifiito e com isso a distâcia etre dois termos cosecutivos é crescete. Já a seguda é divergete, pois o limite ão existe. Também é possível discutir a divergêcia por meio da distâcia etre dois termos cosecutivos, já que a mesma tede a se torar costate e diferete de zero. Na figura 5 temos a tela do GeoGebra com uma possível resolução para a sequêcia a =. Nela observamos que o poto Q está cada vez mais próximo de um, o que +1 também é possível observar pela colua B da Plailha. Cosequetemete, a distâcia etre os termos da sequêcia e o valor um está cada vez meor, o que pode ser comprovado pelos valores apresetados a colua C. Figura 5: Distâcia etre os termos da sequêcia e o valor de covergêcia Depois da atividade 8 volte trabalhar o restate do coteúdo de sequêcias. Neste mometo cosidere o cálculo simbólico. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 39 P á g i a

40 Ates de iiciar a atividade 9, sugerimos que trabalhe de modo teórico os coceitos iiciais, como séries e somas parciais. Além disso, discuta com o aluo que uma forma de verificar a covergêcia ou a divergêcia de uma série é verificar o comportameto da sequêcia formada pelas somas parciais. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Atividade 9 Objetivo: Explorar a covergêcia ou divergêcia de diferetes séries. Vamos explorar o que acotece com algumas séries. Para essa exploração vamos usar os recursos do GeoGebra. Iicie habilitado a Plailha (4), fechado a jaela algébrica e passado o arredodameto para 15 casas decimais (2). Na célula A1 digite 1. Na célula A2 digite = A1+1. Selecioe a célula A2 e arraste até a célula A30. Com isso criamos o valores de de 1 até 30. Criaremos cada termo da série a colua B. Sedo assim, vamos iiciar aalisado a série Na célula B1, digite =1/(2^(A1-1)). Selecioe a célula B1e arraste até a célula B30. Na colua C, criaremos as somas parciais. Na célula C1, temos a primeira soma parcial s 1=a 1, para isso digite C1=B1. Na célula C2, teremos a soma parcial dos dois primeiros termos, ou seja, s 2 =s 1+a 2. Para isso, digite C2=C1+B2. Para ecotrar as demais somas parciais, selecioe a célula C2 e arraste. 1 Aalisado a plailha, o que está acotecedo com o termo geral a? O que está acotecedo com os valores s das somas parciais?. 40 P á g i a

41 Vamos criar dois gráficos de potos. Sedo um defiido pelo termo a da série a posição e o outro defiido pelo valor s da soma parcial a posição. Para isso digite a célula D1, (A1, B1) e a célula E1 digite (A1,C1). Troque as cores de cada célula (clique com o botão direito sobre cada uma, selecioe propriedades e depois cores). Selecioe as células D1 e E1 e arraste. 2 Observado os gráficos, o que acotece com o termo geral a e com os valores s das somas parciais? Isso é coerete com o que você havia cocluído a questão 1? Justifique. 3 Vamos fazer agora um estudo semelhate para outras séries. Em cada item discuta a coverêcia/divergêcia do termo geral a e das somas parciais da série, com os valores s (para fazer esse estudo basta trocar a equação de todas (13) as células da colua B). 2 a) b) 1 ( + 1) c) d) 1 2 e) ( ) 2 1 f) 4 Quais séries da questão 3 são covergetes? Você idetifica alguma relação existete etre elas? Qual? 5 Quais séries da questão 3 são divergetes? Você idetifica alguma relação existete etre elas? Qual? Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 41 P á g i a

42 6 Podemos chegar a alguma coclusão geral sobre a covergêcia ou divergêcia de uma série? Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Cometário O objetivo pricipal desta atividade é a corporificação das idéias básicas da covergêcia de séries com vista a facilitar a exploração téorica da codição de covergêcia e dos critérios de covergêcia de séries. Com as séries apresetadas também desejamos verificar que, se o limite do termo geral das séries for diferete de zero, a série será divergete, e que as séries covergetes a sequêcia do termo geral coverge para zero. Para cada série escolhida apresetamos suas características e uma forma possível de trabalho teórico a partir delas: : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequêcia do termo geral apareta covergir para zero e que a série pode covergir para dois. A covergêcia da sequêcia pode ser verificada pelo cálculo do limite e a covergêcia da série pelo uso do teste de série geométrica ou do teste da razão; : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequêcia do 2 termo geral apareta covergir para um, o etato, a série é divergete. A divergêcia da série pode ser verificada com o uso do teste da divergêcia; 1 - : a visualização gráfica e da tabela pode levar à coclusão de que a sequêcia ( + 1) do termo geral parece covergir para zero, equato a série apareta covergir para um. A comprovação da covergêcia da sequêcia pode ser verificada com o cálculo do limite e a covergêcia da série é comprovada utilizado-se série telescópica e o valor de covergêcia pelo cálculo do limite do termo geral das somas parciais; 42 P á g i a

43 : por meio da visualização gráfica ou da tabela é possível perceber que a sequêcia do termo geral coverge para zero e que a série é covergete; etretato, ão é possível saber o valor para o qual a série coverge. O software é limitado a quize casas decimais, por isso, a partir de um certo termo o valor do termo geral a plailha aparece como sedo zero e, cosequetemete, ão ocorre alteração o valor da soma parcial. No etato, é possível, a partir da expressão do termo geral, saber que ele ão pode assumir o valor zero; embora ão seja possível saber o valor para o qual a série coverge. A covergêcia da sequêcia pode ser calculada pelo limite e a covergêcia da série pode ser comprovada com o uso do teste da raiz; : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequêcia do 1 2 termo geral apareta covergir para 0,5, o etato, a série é divergete. A divergêcia da série pode ser verificada com o uso do teste da divergêcia; - ( ) 2 : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequêcia do termo geral apareta covergir para zero e que a série pode ser covergete. A covergêcia da sequêcia pode ser calculada pelo limite do valor absoluto do termo geral e a covergêcia da série pode ser comprovada com o uso do teste da série alterada; - 1 : utilizado apeas os primeiros trita termos da série harmôica para costrução do gráfico e da tabela, o aluo poderá cocluir que a série é divergete ou que a série coverge para quatro, apesar de a série ser divergete. Essa série foi colocada para servir de cotra exemplo, pois ão basta a sequêcia do termo geral covergir para zero para que a série seja covergete. O que acotece com essa série é cotrário à ideia ituitiva que se tem dela. É possível provar a divergêcia utilizado o teste da itegral ou p-série. A figura 6 os mostra como seria a visualização das sequêcias formadas pela série Os potos represetados em azul são os termos da série e os potos em Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 43 P á g i a

44 vermelho são os termos da sequêcia de somas parciais. Tato os gráficos como os valores uméricos apresetados a plailha permitem uma visualização de que a sequêcia de valores do termo geral apareta teder a zero e a sequêcia de valores das somas parciais parece teder a dois. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Figura 6: Sequêcias do termo geral e das somas parciais da série As questões 4 e 5 têm por objetivo estimular a cojectura de critérios para a covergêcia ou divergêcia de uma série. Em ossa pesquisa uma alua chegou à seguite cojectura (figura 7): Figura 7: Coclusão da alua A20 sobre a covergêcia de séries Para ós, essa alua alcaçou a base do mudo formal, pois foi capaz de iferir o critério de divergêcia com base em experiêcias corporificadas. Sugestões Reserve uma aula de ciqueta miutos para a aplicação desta atividade. 44 P á g i a

45 Depois que os aluos resolverem até a questão 2, discuta o que represeta os valores de cada colua da Plailha, o que represetam os dois gráficos de potos, a relação etre os valores da Plailha e os potos do gráfico. Mostre que a sequêcia do termo geral coverge para zero, mas que a série parece covergir para dois, segudo a covergêcia da sequêcia formada pelas somas parciais. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 45 P á g i a

46 Referêcias BORBA, Marcelo de Carvalho e PENTEADO, Miriam Godoy. Iformática e Educação Matemática. Belo Horizote: Autêtica, Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra BRUNER, Jerome Seymour. Towards a Theory of Istructio. Cambridge: Harvard, D AMBRÓSIO. Ubirata. A história da matemática: questões historiográficas e políticas e reflexos a educação matemática. I: BICUDO, Maria Aparecida Viggiai (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: cocepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, p.s FRANCHI, Regia Helea de Oliveira Lio Ambietes de apredizagem fudametados a Modelagem Matemática e Iformática como possibilidades para a Educação Matemática. I: BARBOSA, J. C.,CALDEIRA, A. D., ARAÚJO, J L.(Org.s) Modelagem Matemática a educação matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacioais. Recife: SBEM, Uma proposta curricular de matemática para cursos de egeharia utilizado modelagem matemática e iformática. (Tese) Rio Claro: Uiversidade Estadual Paulista, FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. Covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: um trabalho visado à corporificação dos coceitos. (Dissertação) Ouro Preto: Uiversidade Federal de Ouro Preto, GRAY, Eddie; TALL, David Orme. Duality, Ambiguity ad Flexibility: a proceptual view of simple arithmetic. The Joural for Research i Mathematics Educatio, NCTM, v. 26,. 2, p.s IGLIORI, Soia Barbosa Camargo. Cosiderações sobre o esio do cálculo e um estudo sobre os úmeros reais. I: FROTA, Maria Clara Rezede e NASSER, Lilia (Org.). Educação matemática o esio superior: pesquisas e debates. Vol. 5. Recife: SBEM, p.s P á g i a

47 KAWASAKI, T. F. Tecologias a sala de aula de matemática: resistêcia e mudaças a formação cotiuada de professores. (Tese) Belo Horizote: UFMG, LIMA, Rosaa Nogueira de. Equações Algébricas o Esio Médio: uma jorada por diferetes mudos da matemática. (Tese) São Paulo: PUC SP, TALL, David Orme. The Trasitio to Formal Thikig Mathematics. Mathematics Educatio Research Joural, p Dispoível em: < homepages.warwick. ac.uk/staff/david.tall/themes/three-worlds.html>. Acessado em: 26 de agosto de TALL, David Orme. Embodimete, symbolism, argumetatio ad proof Dispoível em: < Acessado em: 19 de agosto de Itroducig Three Worlds of Mathematics Dispoível em: < Acessado em: 26 de agosto de Usig Techology to Support a Embodied Approach to Learig Cocepts i Mathematics. First Colóquio de História e Tecologia o Esio de Matemática. Rio de Jaeiro: Uiversidade do Estado do Rio De Jaeiro, Dispoível em: < Acessado em: 24 de julho de TALL, Davi Orme & RAMOS, Jua Pablo Meja. Reflectig o post-calculus-reform. Pleária de abertura para Topic Group 12: Calculus, Iteratioal Cogress of Mathematics Educatio, Copehage: Demark, Dispoível em: < Acessado em: 30 de março de Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 47 P á g i a

48 Apêdice Miimaual de GeoGebra Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra (1) Movedo o plao da Jaela de Visualização Clique o botão (2) Mudado as Casas Decimais, depois, a tela braca, clique, segure e arraste. Na barra de ferrametas, clique em Opções, em seguida em Arredodameto e escolha as Casas Decimais desejadas. (3) Exibido Malha Na barra de ferrametas, clique em Exibir e em seguida em Malha. (4) Exibido Plailha Na barra de ferrametas, clique em Exibir e em seguida em Plailha. (5) Criado um Cotrole Deslizate Clique o botão e depois clique a tela braca. Ajuste as iformações coforme o desejado. Feche a caixa. Observação: sempre ates de clicar o seletor para movimetá-lo, clique o botão. (6) Etrado com um poto Na caixa de Etrada, a parte iferior da tela, digite as coordeadas do poto desejado. Por exemplo, A=(1,2) os dará o poto A(1,2). (7) Habilitado Rastro Clique com o botão direito o poto desejado e selecioe Habilitar Rastro. (8) Gravado para a Plailha de Cálculos Clique com o botão direito o poto desejado e selecioe Gravar para a Plailha de Cálculos. 48 P á g i a

49 (9) Alterado as propriedades do Cotrole Deslizate Clique com o botão direito o valor do Cotrole Deslizate a Jaela Algébrica e selecioe Propriedades. Detro de Propriedades, a aba Cotrole Deslizate, modifique o que for desejado. Em seguida, made fechar. (10) Modificado a escala de um eixo Clique o botão, depois vá até a marcação de um úmero, em um dos eixos que deseja modificar, clique, segure e arraste. Se desejar voltar a visualizar a tela como estava iicialmete, clique com o botão direito em qualquer parte braca da Jaela de Visualização e selecioe Visualização Padrão. (11) Reiicializado Colua Sempre que desejar que os dados voltem a ser exibidos a partir da primeira liha da plailha será ecessário marcar ou desmarcar a opção Reiicializar Colua. Para isso, clique em, a plailha. Na caixa que irá abrir, passe para a jaela de Opções e marque ou desmarque Reiicializar Colua. Em seguida feixe a caixa. Caso precise fazer isso com mais de um poto, quado a caixa estiver aberta, selecioe um poto de cada vez e marque ou desmarque Reiicializar Colua. Só depois feixe a caixa. (12) Alterado as propriedades de um Poto Clique com o botão direito o Poto desejado e selecioe Propriedades. Detro de Propriedades, a aba Estilo, modifique a espessura do poto. Na aba Cor, troque a cor do poto por uma cor mais vibrate. Em seguida, made fechar. (13) Aplicado uma equação a várias células Clique a célula em que você iseriu a equação para que ela fique selecioada. Clique o cato direito iferior da célula, segure e arraste para as células restates. Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 49 P á g i a

50 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra 50 P á g i a

51 51 P á g i a Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra

52 Estudo da covergêcia de sequêcias e séries uméricas o Cálculo: uma proposta utilizado o software GeoGebra Este trabalho foi composto a fote Myriad Pro e Ottawa. Impresso a Coordeadoria de Impresa e Editora CIED da Uiversidade Federal de Ouro Preto, em Agosto de 2012 sobre papel 100% reciclato (miolo) 90g/m2 e (capa) 300 g/m2 52 P á g i a