RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO UMA ALTERNATIVA DE ENSINO DO TÓPICO FUNÇÃO EXPONENCIAL: COMPARAÇÃO COM O ENSINO TRADICIONAL DO MESMO TÓPICO

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1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO UMA ALTERNATIVA DE ENSINO DO TÓPICO FUNÇÃO EXPONENCIAL: COMPARAÇÃO COM O ENSINO TRADICIONAL DO MESMO TÓPICO Edso Rodrigues Carvalho 1 Uiversidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS ercarv@yahoo.com.br Lilia Milea Ramos Carvalho 2 Uiversidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS lmrc25@yahoo.com.br Aa Regia Pires Calfa 3 Uiversidade Federal da Grade Dourados - UFGD aa.regiacalfa@hotmail.com Silvia Gomes Alves 4 Uiversidade Federal da Grade Dourados - UFGD silviagomes_alves@yahoo.com.br Resumo: Neste trabalho, desevolvido o âmbito do Grupo de Estudos e Pesquisas em Esio de Matemática da Uiversidade Federal da Grade Dourados (GEPEM-UFGD), utilizamos a Resolução de Problemas como uma metodologia alterativa para esiar fuções expoeciais aos aluos do esio médio da Escola Estadual Meodora Fialho de Figueiredo. A estratégia de ação cosistiu em tomar por base a Resolução de Problemas, utilizado como tema o jogo Torre de Haói, como uma ferrameta usada a obteção de situações problemas, visado implemetar coceitos do tópico abordado. Pretede-se, aida apresetar as bases da metodologia de resolução de problemas, mostrar como devemos utilizá-la, como um método de esio e apredizagem e qual a sua difereça do esio tradicioal. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Fução Expoecial; Esio Tradicioal; Torre de Haói. INTRODUÇÃO Hodieramete, há uma exigêcia de que a matemática deva ser esiada em oposição ao esio tradicioal, de tal forma que o que aprede possa estabelecer uma relação etre ela e os problemas do dia a dia. Em decorrêcia dessa exigêcia, as discussões o campo da Educação Matemática o Brasil e o mudo mostraram que o 1 Orietador do PROLICEN/UFGD 2 Orietadora do PIBID/UFGD E Co-orietadora do PROLICEN/UFGD 3 Bolsista do PROLICEN/UFGD 4 Bolsista do PIBID/UFGD 1

2 trabalho escolar deveria se adequar às ovas tedêcias. Segudo os PCN s os movimetos de reorietação curricular ocorridos o Brasil, a partir dos aos 20, ão tiveram força suficiete para elimiar o caráter elitista deste esio, bem como melhorar sua qualidade (PCN, 1998,p.19). Em osso país, o esio de matemática aida é marcado pelos altos ídices de reteção e pela excessiva preocupação com o treio de habilidades e mecaização de processos sem compreesão. Assim, é importate destacar que (PCN, 1998): As ecessidades cotidiaas fazem com que os aluos desevolvam capacidades de atureza pratica para lidar com a atividade matemática, o que lhes permite recohecer problemas, buscar e selecioar iformações, tomar decisões. Quado essa capacidade é potecializada pela escola, a apredizagem apreseta melhor resultado. (PCN,1998,p.37) Dessa forma, quado esiamos a partir de uma ecessidade cotidiaa, estaremos também cotribuido para a formação cidadã do educado que deveria ser prioridade em ossas escolas. O professor deveria costruir o objetivo de cada disciplia, de tal forma que cotemplasse a busca pela formação iterdiscipliar e crítica do aluo, iterrelacioado os coteúdos das diferetes disciplias e trabalhado os coteúdos de maeira idagadora e ão liear. Neste trabalho, queremos destacar a importâcia da resolução de problemas para a apredizagem dos aluos, por ser uma estratégia composta de ricos compoetes para boa formação dos mesmos, e também para a formação cotiuada do professor. Muitos educadores ão sabem difereciar a resolução de exercícios de resolução de problemas, mas sabemos que são metodologias diferetes. Equato que a resolução de exercícios (ou seja, metodologia tradicioal) os estudates dispõem de mecaismos que os levam, de forma imediata, à solução, já a resolução de problemas isso ão ocorre, pois, muitas vezes, é preciso levatar hipóteses e testá-las. Dessa forma, uma mesma situação pode ser um exercício para algus e um problema para outros, depededo de seus cohecimetos prévios. Cada vez que se tem uma perguta, se tem um problema, pois para respoder a qualquer perguta se pratica o ato de pesar. De acordo com ONUCHIC (1999, p.215) problema é tudo aquilo que ão se sabe fazer, mas que se está iteressado em resolver [...] 2

3 O objetivo de um problema é fazer com que o aluo recoheça, idetifique ou lembre um coceito, um fato específico, uma defiição, uma propriedade, etc. Dessa forma o próprio educado irá perceber que, sem otar, apredeu coceitos matemáticos. Dessa forma, o objetivo desse trabalho é relatar uma experiêcia ocorrida em duas salas do segudo ao de uma Escola Estadual de Dourados - MS, a qual foi utilizada, em uma delas, a metodologia tradicioal e a outra, a metodologia de resolução de problemas, tedo como motivação a Torre de Haói. DESENVOLVIMENTO Nesta etapa apresetaremos procedimetos da metodologia resolução de problemas, destacado as estratégias apresetadas por (Polya, p.xii-xiii, 1977 ), estratégias estas que os serviram de orietação para o desevolvimeto desse trabalho. São elas: Compreesão do problema, cocepção de um plao para atacar o problema, execução do plao e realização de uma aálise retrospectiva (Figura 1). FIGURA 1 Estratégias apresetadas por Polya para resolução de problemas Os passos mecioados ateriormete são descritos a seguir. 1 passo: compreesão do problema: Em primeiro lugar, devemos compreeder o problema dado, pois a compreesão do problema é essecial para a busca da sua solução; Tracemos uma figura ou adotemos uma otação adequada; Podemos fazer algumas idagações para ecamihar o aluo a busca da solução, como: Há alguma dúvida em relação ao euciado? Há alguma palavra ou coceito matemático descohecido? Quais são os dados que o problema dispoibiliza? Qual 3

4 é a icógita, o que o problema pede? Quais são os coceitos matemáticos relevates para o problema? A codição é suficiete para determiar a icógita? 2 passo: Estabelecimeto de um plao: Na cocepção de um plao, é ecessário colocar em prática algus cohecimetos teóricos e defiir o camiho que deve ser seguido que levará o estudate à meta. É essecial eteder porque esse camiho será seguido, e ão outro; o que leva esse camiho a ser o correto? (relembrado que há vários camihos a seguir, mas a questão aqui é fazer com que o aluo realmete eteda o camiho escolhido). E fazer-se algumas pergutas orietará para a solução, como por exemplo: Como eu posso resolver esse problema? Quais as etapas de solução? Que hipóteses e cosiderações eu preciso fazer, se ecessário? 3 passo: Execução do plao: A execução do plao cosiste em aplicar os cohecimetos matemáticos ecessários para a resolução, coferir cada passo e se possível, demostrar que os passos seguidos estão corretos. O que pode dificultar é se o aluo ão possuir os cohecimetos ecessários, o que geralmete ocorre o caso de procedimetos matemáticos. 4 passo: Realizar uma aálise retrospectiva Essa aálise é para verificar se há cosistêcia etre o que era esperado e o que foi obtido como solução. Se o resultado esperado apresetou alguma ovidade, porque isso ocorreu? A solução obtida pode ser aplicada em alguma outra situação? Caso afirmativo, em quais situações? O procedimeto adotado para resolver o problema foi o melhor, ou o problema poderia ter sido resolvido de outra forma? De que forma? Acreditamos que por meio da Resolução de Problemas, o aluo tem a oportuidade de ampliar os seus cohecimetos acerca de coceitos e procedimetos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mudo em geral (PCN, p. 40), e os professores a oportuidade de possibilitar ao aluo um meio poderoso e muito importate de desevolver sua própria compreesão (ONUCHIC, 1999, p.208). 4

5 Podemos ver que, é verdadeira a afirmação de que a resolução de problemas realmete desevolve a capacidade de pesar do aluo quado cohecemos a fudo essa alterativa de esio, pois quado mal aplicada os objetivos almejados podem ão ser alcaçados. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS UTILIZANDO A TORRE DE HANÓI: EXPERIÊNCIA EM SALA DE AULA. Nossa experiêcia ocorreu em duas salas de aula do segudo ao do esio médio, a mesma escola estadual. Em uma das séries miistramos uma aula tradicioal sobre o tópico Fuções Expoeciais. Na outra, miistramos a mesma aula, mas utilizado a metodologia de resolução de problemas, os moldes das estratégias explicitadas ateriormete. Aula Tradicioal: Esta aula foi elaborada e aplicada a Escola Estadual Meodora Fialho de Figueiredo aos aluos do 2 ao D do período vespertio. A seqüêcia da aula foi como segue: 1. Defiimos fução expoecial e costruímos seus gráficos. 2. Apresetamos exemplos de fuções expoeciais. 3. Apresetamos e demostramos suas propriedades. 4. Resolvemos algus exercícios evolvedo fução expoecial e suas propriedades. 5. Apresetamos algus exercícios para que fossem resolvidos pelos aluos. Como esta aula já havia sido miistrada a esses aluos há algum tempo, os mesmos coseguiram resolver, de forma satisfatória, os exercícios propostos. Observamos que houve bastate iteresse, por parte da maioria dos aluos, pela aula miistrada. Assim, ao térmio da aula idagamos aos aluos se otaram algo diferete a aula que miistramos. A resposta foi que ão havia difereça das aulas que estavam acostumados a ter. Também pergutamos aos mesmos se etederam realmete o coteúdo, se gostaram do que aprederam, todos assumiram que gostaram, mas esperavam uma aula diferete, justamete por sermos acadêmicas. Explicamos a eles que o osso objetivo aquele mometo ão era usar ehum recurso pedagógico. 5

6 Mesmo sedo uma aula tradicioal houve uma iteração aluo professor, a turma era muito aplicada e mesmo após ter tocado o sial para o térmio da aula, eles permaeceram em suas carteiras até o térmio da correção dos exercícios. Aula utilizado a resolução de problemas: Esta aula, também, foi elaborada e aplicada a Escola Estadual Meodora Fialho de Figueiredo aos aluos do 2 ao E do período oturo. Esta aula observou as seguites etapas: Ates de apresetar a situação problema evolvedo a Torre de Haói, mostramos os fudametos do jogo aos aluos, bem como sua origem relacioada a uma Leda curiosa e iteressate sobre o mesmo. A seguir, apresetamos aos aluos a seguite situação problema que evolve a torre de Haói: Coloca-se uma tábua com três hastes A, B e C, ode são colocados discos perfurados, sedo os meores colocados sobre os maiores (Figura 2). Deve-se mover todos os discos que estão colocados a haste A até a haste C de forma que uca um disco maior fique colocado sobre um disco meor, utilizado a haste B que está o meio para a trasição, e esse processo deve ser realizado com o meor úmero de movimetos possíveis. Que características matemáticas e qual é o meor úmero de vezes que se usa para tal movimeto, se o úmero de discos é =5? E quado = 6,7,8,9...? FIGURA 2 Modelo da Torre de Haói Os passos que seguem correspodem aos euciados por Polya, coforme mostrados a Figura 1. 1 passo: compreesão do problema: Apresetamos o problema mostrado e explicado as regras do jogo Torre de Haói para que os aluos pudessem ver o que estava sedo feito e o que teriam que fazer para chegar à solução do problema proposto. Etão, essa fase fizemos as seguites idagações aos aluos: Qual é o objetivo desejado? 6

7 É possível chegar a tal objetivo? Se for possível, como podemos chegar? Será que tem alguma fórmula matemática para os auxiliar a solução do problema? Após essas idagações desafiamos os aluos a jogarem para que tivessem uma melhor visão do problema proposto. 2 passo: Estabelecimeto de um plao: Neste passo, sugerimos aos aluos que verificassem se o úmero de discos (=5) está relacioado com o úmero de movimetos (M ). Esta sugestão teve êxito, pois os aluos comprovaram que realmete o úmero de disco estava relacioado com o úmero de movimetos, pois para realizarem a mudaça dos cico discos, tiveram que fazer os seguites movimetos: com 1 disco, m 1 = 1 movimeto; com 2 discos, m 2 = 3 movimetos; com 3 discos, m 3 = 7 movimetos; com 4 discos, m 4 = 15 movimetos; com 5 discos m 5 = 31 movimetos. Verificamos que com 1, 2 e 3 discos o desempeho dos aluos era sigificativo, pois ão havia tata dificuldade, mas com mais discos, ou seja, com 4 até 6 os aluos tiveram muita dificuldade para cocluírem a atividade proposta. Pergutamos aos aluos se tivéssemos um úmero maior de discos quatos movimetos iriam realizar? Se o úmero de discos fosse, por exemplo, 64, como a Leda, quatos movimetos seriam ecessários? Todos ficaram se pergutado e curiosos para saber o úmero de movimetos. 3 passo: Execução do plao: Para auxiliá-los recomedamos que costruíssem uma tabela, tal que uma colua costituía-se o úmero de disco (), e a outra colua o úmero de movimetos (M ). Assim, eles costruíram a Tabela 1: TABELA 1 Número de discos () X úmeros de movimetos (M ) M

8 X Ecotro Nacioal de Educação Matemática A costrução da Tabela 1 deu-se com sucesso, devido ao fato dos aluos costruírem a tabela jogado e verificado quatos movimetos haviam feito. Pedimos para que os aluos observassem e aalisassem a sequêcia formada pelos úmeros de movimetos; 1,3,7,15,31,... e pergutamos se existia alguma relação matemática etre esses úmeros. Após algus istates um aluo maifestou-se dizedo que, cada elemeto da sequêcia é obtido pelo dobro do aterior mais um. Com essa iformação escrevemos a fórmula que os forece o úmero atual de movimetos por meio do úmero de movimetos ateriores, isto é, M 2 m 1 1. Pedimos que comprovassem esta fórmula jogado ovamete e utilizado sucessivamete, 2, 3 e 4 discos. Fizemos a seguir, outra idagação, pergutado se haveria outra forma de descobrir a quatidade míima de movimetos com qualquer úmero de discos e sem saber o úmero aterior de movimetos. Posteriormete, vimos que os aluos ão estavam aptos para respoder a essa perguta e decidimos, portato, explicar outro camiho para descobrir o úmero míimo de movimetos possíveis, visto que os mesmos haviam revisado recetemete coceitos e defiições de poteciação. Embora os aluos houvessem observado que a sequêcia do úmero de movimetos baseava-se o dobro do úmero aterior de movimetos, eles ão perceberam que isso a verdade era uma potêcia de base 2. Procuramos, etão, estabelecer uma maeira que permitisse aos mesmos visualizarem a potêcia evolvida o jogo. Chamamos a ateção dos aluos para que comparassem a sequêcia do úmero de movimetos da Tabela 1 com a mesma sequêcia agora escrita como potêcia de base 2, como mostra a Tabela 2: M 8

9 TABELA 2 Comparação do úmero de movimetos com as potêcias de base 2 M Potêcia de Base = = = = =31 E quado costruímos a Tabela 2, todos costataram que realmete o úmero de movimetos poderia ser escrito a potêcia de base 2. Logo, os aluos visualizaram que os úmeros de movimetos se baseava a potêcia de base 2 meos o úmero 1, assim chegado a fórmula esperada para obteção da solução. Efim, após uma discussão etre aluos e professor, defiiu-se que a lei de associação, ou seja, a relação etre o úmero de discos com o úmero de movimetos permitidos será M passo: Realizar uma aálise retrospectiva Costatada a fórmula procurada, a utilizamos para resolver o problema proposto iicialmete. De fato, todos etederam a dedução da fórmula de tal modo que obtiveram a solução do problema. Logo para =5, temos que o úmero míimo de movimetos será: 5 M E a sequêcia, temos: M , M , M ,, M Assim, mostramos que a fórmula os permite fazer os cálculos e descobrir os úmeros de movimetos para qualquer úmero de discos. Itrodução ao Estudo de Fução Expoecial Defiição: Com essa motivação, passamos a defiir o coceito de fução expoecial. Dado um úmero real a, tal que 0 < a 1, chamamos fução expoecial de base a as fuções f de IR em IR que associa a cada x real o úmero a x. 9

10 Apresetamos exemplos de fuções expoeciais, bem como seus gráficos. x Mostramos, por meio de exemplos, que fuções do tipo f ( x) a b, 0 a 1, são também fuções expoeciais, cujos gráficos apresetam um deslocameto vertical de b x uidades em relação ao gráfico de f ( x) a, 0 a 1. Apresetamos, a seguir, as propriedades abaixo descritas. Propriedades: 1 ) Na fução expoecial f(x)=a x, temos: 0 x 0 f (0) a 1, isto é, o par ordeado (0,1) pertece à fução para todo a IR {1}. Isto sigifica que o gráfico cartesiao de toda fução expoecial desse tipo, corta o eixo y o poto de ordeada 1. 2 ) A fução expoecial f(x)=a x é crescete (decrescete) se, e somete se, a>1(0<a<1). Portato, dados os úmeros reais x 1 e x 2,temos: I) Quado a >1: x 1 < x 2 => f(x 1 ) < f(x 2 ) II) Quado 0 < a < 1: x 1 < x 2 => f(x 1 ) > f(x 2 ) Após termos defiido uma fução expoecial e suas propriedades, os aluos verificaram que, de acordo com a defiição, a fórmula para achar o úmero de movimetos utilizados o jogo é uma fução expoecial. Fialmete, propusemos algus exercícios aos aluos, que evolviam a costrução de gráficos, forecemos exemplos de fução expoeciais e mostramos que o gráfico da fução deduzida o problema proposto, sempre será uma fução crescete de x. CONCLUSÃO A experiêcia que tivemos com os aluos do segudo ao do esio médio mostrou que a metodologia utilizada provocou uma atmosfera em sala de aula propícia para o esio do tópico Fuções Expoeciais. De fato, o tema proposto iicialmete foi motivador e despertou o iteresse dos aluos, de tal forma que o ambiete de apredizagem permaeceu o mesmo quado passamos a tratar do tópico de osso iteresse. Com relação à aula tradicioal, percebemos, em comparação com a outra, que, embora os aluos tivessem tido um comportameto exemplar e participado da aula, a atmosfera de apredizagem ão foi a mesma. Isto os faz cocluir que em situações 10

11 ormais, dificilmete a aula tradicioal poderia equiparar-se àquela utilizado resolução de problemas. Assim, podemos afirmar que o osso objetivo este trabalho foi completamete atigido. REFERÊNCIAS BRASIL. SECRETARIA DE EDUCAÇAO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacioais: Matemática. Brasília: MEC/ SEF, IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Logaritmos. Coleção Fudametos de Matemática Elemetar. 8. ed. São Paulo: Atual, ONUCHIC, L. R., Esio-Apredizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. I BICUDO, M. A. V. (Orgs), Pesquisa em Educação Matemática: Cocepções & Perspectivas. Editora UNESP, POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas:Um Efoque do Método Matemático Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Jaeiro: Iterciêcia,