A Compreensão da Matemática Financeira a partir do Estudo de Funções

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1 A Compreesão da Matemática Fiaceira a partir do Estudo de Fuções Resumo Adré Rodrigues Horta kastelha@hotmail.com Moica Bertoi dos Satos bertoi@pucrs.br O presete projeto, fudametado pricipalmete as Orietações Curriculares para o Esio Médio (006), uma atividade obrigatória de disciplia de Metodologia do Esio de Matemática B do Curso de Liceciatura Plea em Matemática da Faculdade de Matemática (FAMAT) da PUCRS, trata da preparação, da realização e da avaliação de oficias extra-classe destiadas a aluos do esio fudametal de uma escola estadual de Porto Alegre. Seus objetivos e metodologia visam a relacioar, de maeira cotextualizada, os coteúdos de Fuções e de Matemática Fiaceira e a cotribuir para que os aluos evolvidos teham oportuidade de desevolver o seu Raciocíio Lógico e eteder a Matemática como importate para sua formação como cidadãos. Palavras-chave: Esio de Matemática. Oficias. Esio cotextualizado. Itrodução A idealização deste projeto de esio, realizado a disciplia de Metodologia do Esio de Matemática B do Curso de Liceciatura Plea em Matemática da PUCRS, vem da costatação da carêcia da população, em particular dos aluos do Esio Médio, em relação ao etedimeto da Matemática, como elemeto fudametal tato para o desevolvimeto do Raciocíio Lógico, quato para a melhor compreesão das questões do cotidiao, a exemplo das Fuções e da Matemática Fiaceira. Segudo os Parâmetros Curriculares Nacioais (PCN) para o Esio Médio (1999), A Matemática o esio Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pesameto e o raciocíio dedutivo, porém também desempeha um papel istrumetal, pois é uma ferrameta que serve para a vida cotidiaa e para muitas tarefas específicas em quase todas as tarefas humaas. (p.51). O pricipal objetivo desta pesquisa foi itroduzir os coceitos básicos de Capitalização Simples e Capitalização Composta a partir do estudo de Fuções, de seus coceitos e propriedades.

2 Justificativa Na sociedade em que vivemos, é otório o crescimeto e a proliferação de pequeos bacos e fiaciadoras que oferecem empréstimos e crédito à população. Cada vez mais, as compras a prazo estão presetes o cotidiao do cidadão brasileiro que têm que tomar decisões a respeito dessas questões, para as quais em sempre ele está preparado. Segudo o artigo, Compras a prazo podem resultar em descotrole fiaceiro, publicado o dia 31 de março de 007 o site da Rede Globo de Noticias, Portal da Amazôia: Campahas de marketig cada vez mais buscam atigir o bolso dos cosumidores. Aálises comprovam que quato maior o úmero de parcelas oferecidas, maior o risco de iadimplêcia. Segudo levatametos, a cada 10 pessoas, 8 estão edividadas por falta de plaejameto e pela compulsão das compras a prazo. A Matemática Fiaceira vem sedo deixada de lado como coteúdo a ser esiado pelos professores o Esio Médio. Com o objetivo de, através do estudo da Matemática Fiaceira relacioada com o estudo das Fuções, preparar o aluo do Esio Médio para a compreesão do mudo em seu etoro, proporcioado-lhe aida ferrametas e subsídios para que ele como cidadão, possa discerir a melhor etre as opções que lhe são ofertadas, cosideramos ecessário rever e redimesioar os coteúdos tradicioalmete estudados o Esio Médio e ão simplesmete excluí-los, proporcioado aos aluos situações-problema que lhes permitam relacioar os coceitos, as represetações e os raciocíios evolvidos os diferetes coteúdos. (PCN ENSINO MÉDIO, 1999). As Fuções estudadas isoladamete perdem o caráter historicamete itegrador que lhe é itríseco. O coceito de Fução e a sua represetação em gráficos, permitem descrever e estudar o comportameto de feômeos tato do cotidiao, como de áreas do cohecimeto como a Física, a Geografia, a Ecoomia e tatas outras. (PCN ENSINO MÉDIO, 1999). A possibilidade do estudo da Matemática Fiaceira aliado ao estudo das Fuções pareceu-os um tema a ser pesquisado, que os poderia idicar uma forma diferete de trabalhar tais coteúdos.

3 Fudametação Teórica Este Projeto está fudametado as Orietações Curriculares Para o Esio Médio (006), que foi objeto de estudo ao logo da disciplia Metodologia do Esio de Matemática B. O referido documeto, etre outras coisas, efatiza a ecessidade de um estudo aprofudado do coteúdo de Fuções, bem como a ecessidade de relacioar e cotextualizar os assutos estudados com a realidade do aluo, preparado-o tato para um estudo a Nível Superior como para igressar o mercado de trabalho. Por isso, a relevâcia de trabalhar o coteúdo de Matemática Fiaceira aliado ao estudo das Fuções, devido a sua aplicabilidade o cotidiao. Estudar o coteúdo de Matemática Fiaceira, a partir do estudo de Fuções vai ao ecotro das recomedações das Orietações Curriculares para o Esio Médio (006), o que os dá a oportuidade de aplicar, o Esio Médio, metodologias que privilegiam a resolução de problemas e, de uma certa forma, em especial, a Modelagem Matemática. A Modelagem Matemática tomada como um processo diâmico utilizado para a obteção de modelos matemáticos (BASSANEZI, 00, p.4) é eficiete a partir do mometo em que os coscietizamos que estamos sempre trabalhado com aproximações da realidade (Ibide, p.4) e, pode ser cosiderada como um método a ser aplicado em várias situações de esio e apredizagem. Segudo as Orietações Curriculares para o Esio Médio (006), A escolha dos coteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa, propiciado ao aluo um `fazer matemático por meio de um processo ivestigativo que o auxilie a apropriação de cohecimeto. (p. 70). Quato às Fuções, etre outras coisas, as Orietações Curriculares para o Esio Médio (006) efatizam que: É recomedável que o aluo seja apresetado a diferetes Modelos, tomados em diferetes áreas do cohecimeto (p. 7). Aida mais, que : Sempre que possível, os gráficos devem ser traçados a partir de um etedimeto global da relação de crescimeto/decrescimeto etre as variáveis, [...] o que permite avaçar a compreesão do comportameto das fuções. (p.7). 3

4 Coceitos Básicos de Matemática Fiaceira Para falar em Matemática Fiaceira, iicialmete temos de defiir algus coceitos básicos, como os de Juro, Capital, Taxa de Juros, Capitalização Simples e Composta e Motate. Para isto, usaremos as defiições de (VIEIRA, 000, DAL ZOT,006). Juro é a remueração do capital emprestado, podedo ser etedido, de forma simplificada, como sedo o aluguel pago pelo uso do diheiro. Quem possui recursos pode utilizá-los de distitas maeiras: a compra de bes de cosumou ou produção, a aquisição de serviços, pode ivesti-lo emprestado-o a terceiros ou, aida, adquirido títulos de reda fixa ou variável. Ao se dispor a emprestar, o possuidor do diheiro, para avaliar a taxa de remueração para os seus recursos, deve atetar para os seguites fatores: Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo ão resgatar o diheiro; Despesas: todas as despesas operacioais, cotratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobraça; Iflação: Ídice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo; Lucro: fixado em fução das demais oportuidades de ivestimetos, justifica-se pela privação por parte do seu doo, da utilização do seu do capital. Portato, a receita de juros deve ser suficiete para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcioar certo lucro ao seu aplicador. Etede-se por Capital, do poto de vista da Matemática Fiaceira, qualquer valor expresso em moeda e dispoível em determiada época. Em termos mais gerais, quatia de valor presete o mometo da aplicação. Taxa de Juros é a razão etre os juros recebidos (ou pagos) o fial de um certo período de tempo e o capital iicialmete aplicado (ou emprestado). Matematicamete essa razão é especificada da seguite maeira: dos juros e P o capital iicial da aplicação. i = J P, ode i é a taxa de juros, J o valor 4

5 Capitalização Simples é aquela em que a taxa de juros icide somete sobre o Capital Iicial, ão icidido sobre os juros acumulados. Neste regime de Capitalização Simples, a taxa varia liearmete em fução do tempo, ou seja, se quisermos coverter a taxa de diária em mesal, basta multiplicar a taxa diária por trita. Como sabemos que a taxa de capitalização simples varia liearmete em fução do tempo e que os juros obtidos em uma aplicação depedem apeas do valor aplicado P da taxa i e do prazo, podemos deduzir o cálculo dos juros a partir da Equação Matemática J = P i, ode J correspode ao valor dos juros, P valor do capital iicial, i taxa de juros e prazo da aplicação. Utilizamos o termo Motate para idicar o valor do capital iicial adicioado ao valor dos Juros ao logo do prazo da aplicação. Idicaremos o Motate por S ode S = P + J. Como sabemos J = P i, etão temos que o Motate de uma aplicação ao regime de juros simples pode ser expressa pela equação (1) S = P + P i Como já foi observado, os Juros crescem liearmete em fução do tempo a Capitalização Simples. Sabemos que crescimeto liear é uma característica das Fuções de 1 Grau, logo a Fução Juros em relação ao tempo pode ser escrita como J ( ) = k, ode k = P i. Neste caso, estamos adotado a Taxa de Juros fixa durate o prazo. Assim, substituido k em (1) obtemos S ( ) = k + P, que é uma Fução do tipo f ( x) = ax + b, Fução Poliomial do 1 Grau, que expressa o Motate em relação ao tempo. Desta forma, podemos observar que o Motate em relação ao tempo é expresso a partir de uma Fução do 1 Grau, ode k é o coeficiete agular e P o coeficiete liear da reta, com represetado a variável idepedete e S a variável depedete da Fução. A partir disto, podemos aplicar os coceitos de Fução de poliomial do 1 Grau o tratameto da Capitalização Simples. Capitalização Composta é aquela em que a taxa de juros icide sobre o capital iicial, acrescido dos juros acumulados até o período aterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros também cresce em fução do tempo. Utilizaremos a mesma simbologia da Capitalização Simples 5

6 Partido da Capitalização Simples temos S = P( 1+ i ), devido à defiição de Capitalização Composta ode a taxa de juros icide sobre o valor acumulado, podemos deduzir a fórmula da seguite maeira: No primeiro mês temos: S = P + P i = P + Pi + ) 1 i No segudo mês temos: S + = S1 + S1 i = S1( 1+ i) + i)(1 + i) i) No terceiro mês temos: S = S + S i = S ( 1 + i) + i) (1 + i) i) Desta maeira, prosseguido o cálculo das parcelas, obtemos: 1 1 S = S 1 + S 1 i = S 1 (1 + i) + i) (1 + i) + i) Sedo S 1, S, S 3,..., S os motates depois do 1, do, do 3 e do -ézimo mês da aplicação do capital. P, o capital iicial, portato é costate assim como a taxa de juros i. Podemos perceber que o expoete de ( 1 + i) sempre será correspodete ao período que queremos ecotrar. Portato, o mês teremos S ) = P ( 1 + i) (1 + i) (1 + i)... (1 + i) = P (1 + i. Para o regime de Capitalização Composta utilizaremos S ) = P( 1 + i. Aalisado a equação S ) = P( 1 + i podemos observar a ifluêcia da taxa de juros, ao logo do prazo de duração, sobre um capital ao regime de Capitalização Composta. Assim, podemos escrever a Fução Motate a Capitalização Composta da seguite maeira S ( ) + ) i ode S (Motate) é a variável depedete e (Prazo) é a variável idepedete. Equação característica de uma Fução Expoecial de Grau. A partir disto podemos aplicar os coceitos de Fução Expoecial o tratameto da Capitalização Composta. O trabalho de campo realizado o ao de 007 A pesquisa de campo foi realizada com aluos de uma escola de Esio Médio de Porto Alegre e costou de quatro oficias que foram plaejadas a partir das seguites questões orteadoras do Projeto: O que e como é esiado o coteúdo de Fuções o Esio Médio? 6

7 O coteúdo é trabalhado com os aluos a partir de uma metodologia de resolução de problemas práticos do cotidiao? Os temas trabalhados sobre Fuções são cotextualizados? O adolescete é capaz de ter iteresse por um assuto mais teórico? Iiciaram-se as atividades a partir do estudo de regularidades, de uma idéia ituitiva de relação etre variáveis (depedete e idepedete) que, após a sua cotextualização em situações-problema da realidade dos aluos, foi trabalhada de maeira mais formal, utilizado coceitos matemáticos para defiir claramete a idéia de Fução. A partir disto, foram estudados os coceitos e propriedades das e Fuções Poliomiais do 1 Grau e da Fução Expoecial, com o objetivo de aplicar estes cohecimetos a resolução de situações-problema, que podem estar presetes a vida dos aluos. Das quatro oficias idealizadas, foram realizadas apeas duas o ao de 007, em virtude do caledário da escola ão mais possibilitar a sua execução, estado, o etato, provideciadas as datas para 008 para a complemetação do projeto. As oficias que foram realizadas a primeira semaa de outubro do ao de 007, cotaram com a participação de duas turmas de aluos, com, aproximadamete 5 aluos cada uma, o que evideciou o iteresse dos joves pelo uso da Matemática o cotidiao. É importate ressaltar que os ecotros foram realizados em horário extra classe, sedo a freqüêcia facultativa para os aluos que participaram de maeira ativa, iteragido e questioado bastate. No desevolvimeto das oficias, foram utilizados exemplos e problemas da realidade, buscado-se trabalhar metodologias como a Modelagem Matemática e a Resolução de Problemas. No iício e o fim do projeto, foi proposta uma pequea avaliação dos aluos sobre coteúdos abordados as oficias, a fim de poder coletar dados e fazer uma aálise com o objetivo de acompahar a evolução do processo de esio e apredizagem dos aluos ao logo das oficias. A primeira realizou-se o iício das oficias e a outra, após as duas primeiras. O istrumeto aplicado era composto por 6 questões mais diretas sobre Fuções e uma de cuho mais qualitativo apresetadas a seguir: 1) O que você etede por Fução Matemática? 7

8 ) Você cosegue relacioar o coteúdo de Fuções com algo do seu dia-dia ou alguma outra área do cohecimeto sem ser a Matemática? 3) O que você etede por Crescimeto Liear? 4) O que você etede por Crescimeto Expoecial? 5) A partir de seus cohecimetos, fale um pouco sobre Fução do 1 Grau? 6) A partir de seus cohecimetos, fale um pouco sobre Fução do Grau? 7) Você possui iteresse sobre o estudo de Fuções? Justifique. Demos um tratameto mais descritivo à aálise das respostas referetes às seis primeiras questões das duas avaliações, comparado-as, posteriormete, através de um rápido resumo estatístico. Para aalisar a evolução do desempeho dos aluos, foi utilizada uma escala crescete de zero a três potos, a partir da qual foram dispostos os dados os quadros a seguir: Aluo a 1º a º a 3º a 4º a 5º a 6º Total de a Avaliação Quadro 1: referete aos resultados da primeira avaliação, dos aluos que participaram das duas oficias. 8

9 Aluo a 1º a º a 3º a 4º a 5º a 6º Total de a Avaliação Quadro : referete aos resultados da seguda avaliação, dos aluos que participaram das duas oficias. Os resultados expressos as tabelas ateriores foram comparados a partir de um resumo estatístico descritivo expresso abaixo, o que os possibilitou verificar, através das médias, que houve apredizages realizadas as oficias. Média de a 1º 0,94 Média de a º 0,647 Média de a 3º 0,647 Média de a 4º 0,706 Média de a 5º 0,59 Média de a 6º 0,353 Média dos Pelos Aluos 3,176 Potuação Máxima Atigida 13 Potuação Míima Atigida 0 Quadro 3: referete à primeira avaliação. Média de a 1º,176 Média de a º,353 Média de a 3º,647 Média de a 4º,647 Média de a 5º,176 Média de a 6º,35 Média dos Pelos Aluos 14,35 Potuação Máxima Atigida 18,000 Potuação Míima Atigida 8,000 Quadro 4: referete à seguda avaliação A última questão foi aalisada de maeira qualitativa visto que evolvia um dos pricipais objetivos das Orietações Curriculares para o Esio Médio que é o de preparar e dar subsídios tato para os aluos de Esio Médio que vão dar cotiuidade 9

10 aos seus estudos (Nível Superior), como aos que pretedem igressar o Mercado de Trabalho, podedo-se perceber três efoques distitos abordados pelos aluos e que os motivaram para o estudo de Fuções: - a maioria dos aluos recoheceu que teve um estudo defasado do coteúdo, com uma base muito fraca e praticamete ehuma relação ou aplicação do que foi estudado com suas realidades; - um grupo meor maifestou ter iteresse pelo referido estudo, devido ao desejo de igressar em um curso de Nível Superior diretamete relacioado à Matemática, o que caracteriza a votade de prosseguir os estudos; - um grupo meor, disse ter iteresse sobre o assuto de Fuções, visto que o mesmo está relacioado com outras áreas cohecimeto, mesmo ão sabedo ao certo quais as áreas e de que maeira isso acotece. Cosiderações Fiais Embora ão tehamos coseguido realizar as quatro oficias plaejadas, a freqüêcia espotâea dos aluos as oficias, o seu iteresse e a seriedade com que respoderam às avaliações, os resultados coletados e aalisados a partir das duas oficias, ecorajaram-os a cocluir que é possível trabalhar os coteúdos de maeira itegrada, e ão egavetada, como se trabalha a maioria das escolas. Coseguimos relacioar os coceitos de um dos pricipais coteúdos a serem esiados para quem pretede seguir os estudos a Nível Superior, as Fuções, com outro que é de extrema importâcia para que um idivíduo realize coscietemete suas opções de vida e possa igressar o mercado de trabalho, a Matemática Fiaceira, atededo, assim ao que sugerem as Orietações Curriculares para o Esio Médio (006). Etedemos que é ossa missão, como educadores, preparar e educar matematicamete osso aluo para a vida em uma sociedade globalizada. Os resultados parciais deste projeto de esio, baseado o etedimeto da Matemática Fiaceira através do Estudo de Fuções, que terá sua cotiuidade o ao de 008, foram apresetados o Semiário sobre Esio-Apredizagem de Fuções realizado a UFRGS, pelo Istituto de Matemática o dia 31 de outubro de

11 Referêcias BASSANEZI, R. C. Esio-apredizagem com modelagem matemática: uma ova estratégia. São Paulo: Cotexto, 00. BRASL, Miistério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecológica. Parâmetros Curriculares Nacioais para o Esio Médio. Brasília: MEC, BRASIL, Miistério da Educação, Secretaria de Educação Básica. Ciêcias da atureza, matemática e suas tecologias. I: Orietações Curriculares para o Esio Médio volume. Brasília: Miistério da Educação, Secretaria da Educação Básica, 006. DAL ZOT, W. Matemática Fiaceira. Porto Alegre: Editora UFRGS.006. VIEIRA, S., DUTRA, J. Matemática Fiaceira. São Paulo: Atlas, 000. Portal da Amazôia. Compras a prazo podem resultar em descotrole fiaceiro. (Acesso em jaeiro de 008, publicado em 31 de março de 007). Dispoível em 11