RESUMO PARA PROVA DA IDENTIDADE DE EULER

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1 RESUMO PARA PROVA DA IDENTIDADE DE EULER Este teto é parte itegrate de um cojuto de tetos que objetivam coduir ao etedimeto das equações aplicadas ao eletromagetismo. É um bom começo para quem quer se aprofudar o assuto. A motivação para este artigo cosiste o fato de que a Idetidade de Euler é utiliada freqüetemete a resolução de Equação Difereciais Ordiárias EDO- aplicadas a feômeos harmôicos. Uma ve que: - as odas são represetadas em geral por fuções harmôicas (formadas por seos e co-seos); - em eletromagetismo há os fasores que possuem compoetes imagiários; a Idetidade de Euler é utiliada itesamete ão somete a solução de problemas que evolvem odas como qualquer feômeos harmôicos (que possuem oscilações o tempo) em geral. Algus eemplos de aplicações são citados a seguir: - física e física matemática em feômeos harmôicos; - egeharia mecâica (mecâica dos fluidos e termodiâmica); - egeharia elétrica e eletrôica (eletromagetismo, teoria dos circuitos etc); - egeharia telecomuicações (processameto de siais, propagação de odas etc); - egeharia civil (hidráulica, cálculo estrutural para estrutura diâmicas, etc); - todas as demais áreas ode ocorrem feômeos harmôicos; O bom etedimeto da Idetidade de Euler auilia, juto com outras operações matemáticas e estudos de física, o etedimeto das equações que regem o fucioameto de muitos feômeos da aturea. Em termos históricos, pode-se dier que a Idetidade de Euler, permitiu o tratameto aalítico da matemática e foi utiliada para resolver vários problemas matemáticos posteriores, iclusive as Equações de Mawell que deram origem à teoria do Eletromagetismo e das Odas que foram utiliadas posteriormete como origem das teorias odulatória e posteriormete a física quâticas por Eistei. Em termos matemáticos, a Idetidade de Euler adquiri bastate iteresse ao relacioar os seos e co-seos com o Número de Euler, cuja Idetidade de Euler é dado por: ( cos se ) ( + yi) e e y i y = + ode i é o úmero imagiário. Ao relacioar o úmero de Euler com úmeros compleos e as fuções trigoométricas seo e co-seo (harmôicas), é criado um artifício matemático que simplifica bastate a solução de Itegração e derivação de úmeros compleos, um ve que: e = e,ou seja: ( ) f ( ) = f( ) com f ( ) = e ;

2 O objetivo deste teto é proporcioar fudametos matemáticos para o etedimeto das equações baseadas a Idetidade de Euler desde o etedimeto de seus elemetos básicos. Esse etedimeto será costruído de forma gradual, e desde os primórdios dos coceitos. Desta forma, serão visto: - coceitos de formação de fuções; - coceitos de fuções periódicas; - defiição de fuções harmôicas; - coceitos de fuções trascedetes elemetares; - coceitos de seqüêcias ifiitas; - séries harmôicas; - séries de MacLauri e Taylor para epasão do úmeros de Euler; - pricípio de formação de fuções matemáticas; - demostração da Idetidade de Euler por epasão em séries; PRINCÍPIOS DE FORMAÇÃO DE FUNÇÕES Uma ve que as fuções podem ser represetadas por séries que são formadas a partir de seqüêcias, para eteder a origem (formação) das fuções são ecessário coceitos sobre seqüêcias. Por sua ve, para eteder seqüêcias, são ecessário coceitos sobre as séries. Portato, os próimos tópicos serão forecidos coceitos sobre fuções importates e suas aplicação. A seguir, será abordado gradativamete cada coceito -de seqüêcia e de séries- visado atigir um etedimeto mais completo sobre as fuções formadas pela Idetidade de Euler e, a partir disso, demostrar sua validade. KAPLAN-pag.435 DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES PERIÓDICAS: Diemos: f tem um período. De um modo geral uma fução f() tal que f( + p) = f ( ) ( p 0) (7-3) para to é dita periódica com período p. Deve-se otar que cos, tem, além do período, o período e, de maeira geérica, cos e se tem período /. No etato é o úico desses período que é compartilhado por todos os termos da série. USO DAS FUNÇÕES PERIÓDICAS:... tais fuções periódicas aparecem em uma grade variedade de problemas físicos: vibrações de uma corda, movimeto dos plaetas ao redor do Sol, rotação da Terra em toro de seu eio, movimeto de um pêdulo, marés e movimeto odulatório em geral, vibrações de uma corda de violio, de uma colua de ar (por eemplo, uma flauta), e sos musicais em geral. A teoria modera da lu é baseada a mecâica odulatória, com vibrações periódicas como característica; o espectro de uma molécula é simplesmete uma

3 represetação das diferetes vibrações que têm lugar simultaeamete ela. Circuitos elétricos evolvem muitas variáveis periódicas; por eemplo, a correte alterada. O fato de uma viagem ao redor do globo evolverr uma variação total de logitude de 360º é uma epressão do fato de serem as coordeadas cartesiaas de posição o globo fuções periódicas da logitude, com período de 360º; muitos outros eemplos de tais fuções periódicas de coordeadas agulares podem ser dados. FENÔMENOS COM COMPORTAMENTO HARMÔNICOS E FUNÇÕES TRANSCEDENTES ELEMENTARES Defiição de FUNÇÕES HARMÔNICAS KAPLAN-pág.8 Se f=f(,y) possuir derivas segudas cotíuas um domíio D e se!!!! = 0 ode = = + + y em D, etão é chamada harmôica em D. O mesmo termo é usado para uma fução de três variáveis que possui derivadas segudas cotíuas um domíio D o espaço e cujo laplaciao é 0 em D. As duas equações que caracteriam as fuções harmôicas: y + = 0, w w w y + + = 0 são chamadas equações de Laplace em duas e três dimesões, respectivamete. USOS DAS FUNÇÕES HARMÔNICAS KAPLAN-pág.9 As fuções harmôicas surgem a teoria dos campos eletromagéticos, a diâmica dos fluidos, a teoria da codução do calor, e em muitas outras partes da física; algumas aplicações serão discutidas os Caps. 5, 9 e 0. As fuções bi-harmôicas são usadas sobretudo em elasticidade; elas serão discutidas os Caps. 9 e 0. (cometários) Muitos dos feômeos da aturea possuem oscilações o tempo (periódicos) e podem ser represetadas por fuções harmôicas. As fuções harmôicas formadas por composição de seos, co-seos e polimôios são chamadas de fuções elemetares, pois são formadas a partir das fuções trascedetes elemetares, coforme eplicado a seguir:,

4 KAPLAN-pag.8 AS FUNÇÕES TRANSCEDENTES ELEMENTARES: As fuções se, cos e e (ode e=,788...) e suas iversas costumase dar o ome de FUNÇÕES TRANSCEDENTES ELEMENTARES. As fuções que são obtidas a partir dessas últimas e de poliômios, por meio de um úmero fiito de aplicações das operações aritméticas, de poteciação e de substituições (composição de fuções), recebem o ome de FUNÇÕES ELEMENTARES. Por eemplo: y = log e( + ) cos KAPLAN-pag. CÁLCULO DIFERENCIAL PARA FUNÇÕES TRANSCEDENTES ELEMENTARES: Quato às fuções trascedetes elemetares, valem: (0-0) ( se ) = cos ; ( cos ) = se ; ( ) = a log e a a ; ( log ) As regras para se e cos são coseqüêcias da relação se lim = 0 que é válida quado os âgulos são medidos em radiaos. As regras para a e log e a são coseqüêcias da relação: 0 ( ) lim + = e=, (0-03) É atural em cálculo tomar e como base das fuções epoeciais e logarítmicas. Etão: ( e ) = ; ( ) e log = com: ( log = ) loge = log e a

5 KAPLAN-pag.34 SEQUÊNCIAS INFINITAS: Se a cada iteiro positivo é associado um úmero s, di-se que os úmeros s formam uma seqüêcia ifiita. Ordeam-se os úmeros segudos seus ídices: s, s, s,", s, s +," 3 Eemplos de seqüêcia são:,,",," ,,,...,,... 3, +, + +,", " +," 3 3 Suas regras de formação são: + s =, s =, s = " +. 3 KAPLAN-pág.343 Demostra-se que as seqüêcias (6-) e (6-) covergem, lim = 0,,",," 4 + lim = = e 3 4 +,,,,, 3 " "

6 KAPLAN-pág.356 SÉRIE HARMÔNICA Teorema 5. A série harmôica de ordem p. = " p p 3 p = coverge se p> e diverge se p. Demostração: O termo geral ão coverge para 0 (ero) quado p 0; portato, para p 0, a série certamete diverge. Para p>0, o critério da itegral pode ser usado, tomado-se f( ) = p Seja agora p. Uma ve que : b ( p+ ) b ( p ) d = = b = p p p ( p ) p b Temos: d = lim p b p p b Para p > lim = ( p ) Para p = d = limlogb= b p = diverge + + " + + " #$ $%$$$& serie_harmoica + KAPLAN-pág.36 a Calcular a = CRITÉRIO DA RAZÃO + =!! a + ( + )! lim = lim e + = (úmero de Euler) ( + )! #$%$& e e> série diverge CRITÉRIO DO TERMO GERAL lim =! Na verdade, podemos cocluir desse resultado que lim =! ou seja, o termo geral tede ao ifiito quado tede ao ifiito.

7 Defiição de SÉRIES DE POTÊNCIA e RAIO DE CONVERGÊNCIA: Cotiuar a partir do KAPLAN-pág CONSTRUÇÃO DA FUNÇÃO DO NÚMERO DE EULER A PARTIR DAS SÉRIES DE MacLauri e Taylor: Após ter vistos algus coceitos de seqüêcia e séries para seqüêcias específicas, veremos a seguir, como as seqüêcias e séries foram eploradas por Taylor e MacLauri para costrução de fuções com características especiais. A solução dessas fuções é o úmeros de Euler, que possui características especiais que permitiram um grade avaça o tratameto aalítico da matemática. Desde etão, iúmeros problemas da matemática e física puderam ser resolvidos. Posteriormete será feito uma eplicação mais detalhada a respeito. KAPLAN-pág.399 DEFINIÇÃO DA SÉRIE DE Taylor: Seja f() a soma de uma série de potêcias cujo itervalo de covergêcia * * é a r < < a+ r : f (0) f ( ) = c ( ) a sedo c = = 0! Essa série deomia-se a série de Taylor de f() em =a se os coeficietes c forem dados pela regra: ( f ( a) f ( a) f ( a) f ) ( a) c0 = f( a), c =, c =, c 3 =,..., c =,...;!! 3!! temos etão: ( ) f ( a) f ( a) f ( a) f( ) = f( a) + ( a) + ( a) + " + ( a) + ".!!! KAPLAN-pág.400 DEFINIÇÃO DA SÉRIE DE MacLauri: E série de MacLauri é um caso particular da série de Taylor para a=0. Ou seja: ( ) f (0) f (0) f (0) f( ) = f(0) + ( ) + + " + + "!!!

8 Por diversos motivos, a maipulação dessa série é mais simples. A substituição de t=-a redu a série de Taylor geral à forma de uma série de MacLauri. KAPLAN-pág.40 Eercício 5: Seja y=f() uma fução (caso eista) tal que f() está defiida para todo, f() possui uma série de MacLauri válida para todo, f(0)=, e dy = y para todo. d Mostrar que temos, ecessariamete, 3 f( ) = " + "! 3!! e que satisfaça a todas as codição colocadas. OBSERVAÇÃO: A fução acima é a epasão por série do úmero de Euler! Resolução: Primeiramete, eumeremos as codições colocadas para a fução: I. f() possui um série de MacLauri válida para todo. II. f(0)= III. dy y d = IV. 3 f( ) = " + + "! 3!! Epadido a fução para melhor visualiação, temos: f( ) = " + "! 3! 4! 5! 6! 7!! Agora resolvedo a primeira codição: I. f() possui um série de MacLauri válida para todo. f() para =0 f(0)= 3 f ( ) = " + + "! 3! 4!! 3 f ( ) = " + ( ) + "! 3! 4!!

9 3 3 f ( ) = " + ( )( ) + " 3! 3! 4!! 4 ( IV ) 4 3 f ( ) = + " + ( )( )( 3) + " 4!! ' Portato, para f ( ) para =0 f (0) = ; f ( ) para =0 f (0) = ; f ( ) para =0 f (0) = ; ( IV f ) ( ) para =0 ( IV f ) (0) = ; ' ( f ) ( ) para =0 ( f ) (0) =. ( Portato, para qualquer que seja, f ) (0) = f (0) o que implica que c = =! ( ) ( ) f (0) Em otação matemática: f (0) = c = =!! Para valer a série de MacLauri para qualquer pela defiição o seu raio de * * covergêcia r deve ser ifiito, ou seja, r = Pela defiição de raio de covergêcia: * c ( + )! r = lim = lim = lim( + ) = c! + Portato, a série coverge absolutamete para todo coforme Teorema 35 KAPLAN-pág.394 Item (6-38). Resolvedo a seguda codição: II. f(0)=. A provar é imediata, bastado substituir =0 em f(). O que já foi feito o item aterior! Resolvedo a terceira codição: III. dy y d = ; y=f(). df ( ) = f ( ) = f( ) d Verificado : f( ) = " + + "! 3! 4! 5! 6! 7! 8!!

10 f ( ) = " + + "! 3! 4! 5! 5! 7!! f ( ) = " "! 3! 4! 5! 6! 7! ( )!! #$$$$$$$$$$$%$$$$$$$$$$$& f( ) Portato, f ( ) = f( ) COMENTÁRIOS SOBRE A RESOLUÇÃO DA SÉRIE DE TAYLOR PARA O NÚMERO DE EULER: A característica que permite que f ( ) = f( ) está baseada os seguites fatos: - defiição dos úmeros fatoriais!; - derivação de = ( ) que permite que o resultado seja reduido em uma ordem e multiplicado pelo úmero da última ordem; - os termos c a série de Taylor serem sempre, logo, cada termo da série é defiido por: a = ;! Portato, sempre que se derivar a fução, cada termo da série de potêcias ficará uma ordem meor e iguala-se com o correspodete termos a fução de ordem imediatamete aterior, logo: f ( ) = f( ). A fução demostrada é o úmero de Euler. Provavelmete, este úmero foi defiido por Euler devido a sua característica própria de que f ( ) = f( ) que permite a solução de iúmeros problemas matemáticos pricipalmete: - derivação e itegração; - substituição (composição de fuções), tais como as séries de Forrier; - etc. De fato, a solução de equações da Teoria física do Eletromagetismo, por eemplo, o úmero de Euler será empregado itesamete através da Idetidade de Euler, que será demostrada posteriormete. KAPLAN-pág.454 (7-6) OBSERVAÇÕES SOBRE APLICAÇÕES DAS SÉRIES E FORIER. O campo atural de aplicações das séries de Fourier é a de feômeos periódicos, como se idicou a Séc.7-. O fato de uma fução periódica poder ser decomposta em suas compoetes harmôicas simples A = se( t + ) é de sigificado físico fudametal. Para todos os problemas lieares, essa

11 resolução permite reduir o problema a problemas mais simples de uma úica vibração harmôica simples e depois costruir o caso geral por adição (superposição) de simples. A aplicação cocreta das séries de Fourier a tais problemas toma duas formas fudametais: uma fução periódica f(t) pode ser dada em forma gráfica ou tabelada; uma compreesão melhor do mecaismo físico que levou a tal fução eige uma aálise harmôica de f(t), ou seja, represetação de f(t) como série de Fourier. Segudo, sabe-se que a fução f(t) é periódica e sabe-se que ela satisfa a uma relação, por eemplo a uma equação diferecial; desejase determiar f(t) como uma série de Fourier com base essa iformação. O primeiro problema é de iterpretação de dados eperimetais; o segudo problema é de predição do resultado de uma eperiêcia, com base uma teoria matemática. Sedo a aplicação das séries de Fourier a feômeos periódicos fudametal há um campo de aplicação muito mais vasto. Como se demostrou acima, uma fução arbitrária f(), dada para a b, tem uma represetação como série de Fourier sobre esse itervalo. Assim, em qualquer problema relativo a uma fução um itervalo pode ser vatajoso represetar a fução pela série correspodete. Isso permite uma eorme variedade de aplicações. Como ates, as aplicações tomam, em geral, a forma ou iterpretação de certos dados, ou de predição fuções que satisfaçam às codições dadas. KAPLAN-pág.40 FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO. A discussão acima (das séries de Taylor e de MacLauri) cocetrou-se mais as séries de potêcias que as fuções que elas represetam. A posição iversa é, também, de grade importâcia, e a primeira perguta que se coloca é esta: dada uma fução f(), com a < < b se, pode essa fução ser represetada por uma série de potêcias esse itervalo? Quado f() é suscetível de tal represetação, di-se que f() é aalítica o itervalo dado. De modo mais geral, f() é chamada aalítica em a < < b, se para cada 0 desse itervalo, f() pode ser represetada por uma série de potêcias em algum itervalo 0 < 0 < 0 +. A maior parte das fuções familiares (poliômios, fuções racioais, e, se, cos, log, ), e as fuções costituídas a partir delas por operações algébricas e substituições são aalíticas em todo itervalo ode a fução eamiada é cotíua. As eceções ão são muito difíceis de recohecer. Por eemplo, = é cotíua para todo, mas possui uma derivada descotíua em =0. Etão a fução ão pode ser aalítica um itervalo cotedo esse valor. É possível desevolver facilmete uma teoria satisfatória de fuções aalíticas usado-se variáveis compleas. Cotudo, o teorema que segue é bastate útil para estabelecer a aaliticidade de uma fução, sem apelo para úmeros compleos.

12 Teoremo 4. (Fórmula de Taylor com resto). Seja f() uma fução......termiar!!!! KAPLAN-pág.404 f ( ) = e ( + ) f () ( ) ( + ) R = a ( + )! + e R = para a=0 e >0; ( + )! + e 0 < R < ( + )! R é meor que ou iferior ao -ésimo termo da série. + e = ( )! pelo critério da raão: + a e + ( ) ( )! ( ) = = a ( )! + a + lim lim 0 a e ( ) + = = = coverge para qualquer que seja o. PELO CRITÉRIO DO TERMO GERAL R = 0 + e lim = 0 ( + )! Também vale o argumeto para <0. Portato, e pode ser represetado por uma série de Taylor. 3 e = " + + " =! 3!! = 0! (6-46) para qualquer que seja. (Vale lembrar que 0!= por defiição). De modo aálogo, pode-se provar que são válidas as seguites epasões: se = + + " + ( ) + 3! 5!!, (6-47) ( ) 4 ( ) cos = + + " + + " para todo. (6-48)! 4! ( )!

13 m m( m ) m( m ) "( m + ) + = " + + ", -<<, para todo m ( )!!! úmero real m. (6-49) KAPLAN-pag.408 PRINCÍPIO RICO EM APLICAÇÕES. Determiação de uma fução que satisfaça uma dada codição. - impoha que a fução possa ser epressa por uma série de potêcias; - procure determiar os coeficietes dessa série de modo tal que seja satisfeita a codição dada; - se for possível ecotrar uma série, pode-se eamiar a covergêcia da série e averiguar se, de fato, ela defie uma fução que satisfa à codição dada. Cometários: Foi eatamete isso que foi feito ao utiliar a série de MacLauri fe para determiar a fução que satisfaça as codições iiciais e que defiem o úmero de Euler. Veremos mais adiate, com provar a Idetidade de Euler que ajudará a resolver itegrações e derivações de úmeros compleos as equações de eletromagetismo. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS PARA AS FUNÇÕES TRANSCEDENTES ELEMENTARES: KAPLAN-pág.43 É particularmete iteressate observar que as séries de potêcias (6-46),(6-47),(6-48) de e, se e cos aida covergem quado se substitui por um úmero compleo arbitrário, pois, assim, podemos usar as equações e = + + " + +! ", (6-57) se = + + " + ( ) + ", (6-58) 3! 5!! ( ) ( ) ( ) cos = + " + + " (6-59)!! para defiir essas fuções o caso compleo. A partir dessas séries, deduimos a idetidade de Euler:

14 ou a relação mais geral iy e = cos y+ ise y (6-60) ( cos se ) + iy e e y i y = + (6-6)

15 KAPLAN-pág..44 Problemas 3 e 4. 3-Provar que as séries (6-57), (6-58) e (6-59) covergem para todo. e = + + " + + ",! (6-57) 3 se = + " + ( ) + 3!!, (6-58) ( ) ( ) ( ) cos = + " + + " (6-59)!! Resolução: Pelo critério da raão (KAPLAN-pág.357), Para a série (6-57), temos: + a+! a+ = = lim = lim = 0 a ( + )! + a + para qualquer. Coverge absolutamete Para a série (6-58), temos: a a + ( ) ( + )( )( ) + = ()*! + + = + = ( )! ( ) ( )( ) coverge absolutamete a+ lim = = + a + a+ lim = lim = 0 a coverge absolutamete para qualquer. Coverge absolutamete Para a série (6-59), temos: + + ( ) ( + )( + )( ) + ()* ( )! a a+ = = = lim lim a! ( ) ( + )( + ) a + a+ coverge absolutamete para qualquer. lim = lim = 0 a Coverge absolutamete

16 KAPLAN-pág.44 Eercícios sobre IDENTIDADE DE EULER: 4-a) Estabelecer a IDENTIDADE DE EULER (6-60) a partir da defiição de e, se e cos por série. iy e = cos y+ ise y (6-60) 4-b) Estabelcer a relação (6-6) a partir da defiição de e, se e cos por série. + iy e = e ( cos y+ ise y) (6-6) Resolução: 4-a) y y y y y y ( ) y cos y = " + + " para todo.! 4! 6! 8! 0!! ( )! 3 5 y y + y se y = y + + " + ( ) + ", para todo. 3! 5!! ( ) 3 5 y y + y i se y = i y i + i + " + i( ) + " 3! 5!! ( ) iy ( iy) ( iy) ( iy) ( iy) ( iy) i y e = + i y " + + "! 3! 4! 5! 6!! iy y iy y iy y iy y iy i y e = + i y " + + "! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!! iy y iy y iy y iy y iy iy e =,+ + i y " + + " -./! + 3! -./ 4! + 5! -./ 6! + 7! -./ 8! + 9!! iy e = cos y + ise y A epressão de série de potêcias é uma coseqüêcia dessa defiição de compleo para compleos. 4-b) + iy e = e iy e = e cos y+ ise y + ( ) ($$$)$$$* cos y+ ise y e

17 Eercícios complemetares relacioados com a demostração da Idetidade de Euler KAPLAN-pág.44 Problema 5. 5-Usado as epressões (6-57), (-58), (6-59), provar as idetidades: i i i i a) cos e + e = ; b) se e e + = ; c) e = e e ; i d) se( ) = se ; e) cos( ) = cos ; f) se + cos = ; g) cos = cos se ; h) se = se cos Dado: e = + + " + + ",! (6-57) 3 se = + " + ( ) + ", 3!! (6-58) ( ) ( ) ( ) cos = + " + + " (6-59)!! Resolução: a) 3 = + i + + i i i 8 i + + " + + "! 3! 4! 5! 6! 7! 8!! i e e i = i i! 3! + i 4! 5! + i 6! 7! ( i ) + + i 8! 9! + " + + " #$%$&! os impares aulam se! ( ) ( ) ( ) i = i = ( ) = " + + "! 4! 6! 8! ( )! #$$$$$$$$$$$$$ $%$$$$$$$$$$$$$$$& cos i i cos e + e = C.Q.D.

18 i b) e = + i! 3 4 i + 3! 4! 5 6 i + 5! 6! 7 8 i + 7! 8! 9 i i + + " + + " 9!! ( i) e = + i +! 3 4 i 3! 4! 5 6 i + + 5! 6! i i ( i ) 7! 8! + " + " 9! #%&! os pares aulam se! ( ) = i + + " + + " 3! 5! 7! 9! ( )! #$$$$$$$$$$$$$$$ $%$$$$$$$$$$$$$$$$$& se i i se e e = C.Q.D. i