Cálculo I. Carmem S. Comitre Gimenez Rubens Starke

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1 Cálculo I Carmem S Comitre Gimeez Rubes Starke ª Edição Floriaópolis, 0

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3 Govero Federal Presidete da República: Dilma Vaa Rousseff Miistro de Educação: Ferado Haddad Secretário de Esio a Distâcia: Carlos Eduardo Bielschowky Coordeador Uiversidade Aberta do Brasil: Celso José da Costa Uiversidade Federal de Sata Cataria Reitor: Alvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distâcia: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Esio de Graduação: Yara Maria Rauh Müller Pró-Reitora de Pesquisa e Etesão: Débora Peres Meezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo Pró-Reitor de Desevolvimeto Humao e Social: Luiz Herique Vieira Silva Pró-Reitor de Ifra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assutos Estudatis: Cláudio José Amate Cetro de Ciêcias da Educação: Wilso Schmidt Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: Tarciso Atôio Gradi Cetro de Filosofia e Ciêcias Humaas: Roselae Neckel Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Coordeação de Curso: Neri Tereziha Both Carvalho Coordeação de Tutoria: Jae Crippa Coordeação Pedagógica/CED: Roseli Ze Cery Coordeação de Ambietes Virtuais/CFM: Nereu Estaislau Buri Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

4 Laboratório de Novas Tecologias - LANTEC/CED Coordeação Pedagógica Coordeação Geral: Adrea Lapa, Roseli Ze Cery Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes, Maria Bazzo de Espídola Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Daiela Karie Ramos Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Materiais Desig Gráfico Coordeação: Laura Martis Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Origial: Diogo Herique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior Redeseho do Projeto Gráfico: Laura Martis Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Karia Silveira, Thiago Felipe Victorio, Kallai Maciel Boelli, Laura Martis Rodrigues Ilustrações: Gabriela Dal Toé Fortua, Flaviza Righeto, Karia Silveira, Rafael de Queiroz Oliveira, Kallai Maciel Boelli Capa: Aleadre dos Satos Oliveira Desig Istrucioal Coordeação: Elizadro Maurício Brick Desig Istrucioal: Gislaie Teieira Borges Guérios Revisão do Desig Istrucioal: Dya Carlo Pamploa, Maria Carolia Machado Magus, Jaquelie Luiza Horbach Revisão Gramatical: Mira Saidy, Reata de Almeida Copyright 0, Uiversidade Federal de Sata Cataria/CFM/CED/UFSC Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Ficha Catalográfica G49c Gimeez, Carmem Suzae Comitre Cálculo I / Carmem Suzae Comitre Gimeez, Rubes Starke ed Floriaópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 0 75 p : il ; grafs, tabs Iclui bibliografia UFSC Liceciatura em Matemática a Modalidade a Distâcia ISBN Cálculo Sequêcias (Matemática) Esio a distâcia I Starke, Rubes II Título CDU: 57 Catalogação a fote pela Biblioteca Uiversitária da UFSC

5 Sumário Apresetação 7 Sequêcias 9 Progressões aritméticas Soma dos termos de uma PA4 Progressões geométricas 7 Soma dos termos de uma PG Sequêcias ifiitas Subsequêcias 5 Sequêcias limitadas 7 Sequêcias moótoas 7 4 Limite de uma sequêcia 40 5 Limites ifiitos 57 6 Algumas propriedades dos limites ifiitos 58 7 Idetermiação 60 Limite de uma Fução 7 Coceito de limite 7 Propriedades do limite 76 Operações com limites 77 Defiição formal de limite 80 4 Idetermiação 85 5 Limites laterais 89 6 Limites o ifiito 94 6 Cálculo de limites o ifiito 97 7 Limites ifiitos 00 8 Limites fudametais 8 Primeiro limite fudametal 8 Segudo limite fudametal5 8 Terceiro limite fudametal7 Fuções Cotíuas 7 Valores máimos e míimos de uma fução 9 4 Derivada 45 4 Coceito de derivada47 4 Reta tagete a uma curva48 4 Velocidade istatâea 55

6 4 Defiição de derivada57 4 Derivadas laterais 59 4 Derivabilidade e cotiuidade6 4 Cálculo das derivadas regras de derivação6 4 Derivada da fução composta a regra da cadeia69 4 Derivada da fução iversa74 4 Derivada da fução epoecial78 44 Derivada da fução logarítmica Derivada das fuções trigoométricas8 46 Derivada das fuções trigoométricas iversas87 44 Derivada de fuções implícitas 9 44 Derivada da fução epoecial geral Resumo das fórmulas de derivação Derivadas sucessivas (ou de ordem superior) 98 5 Aplicações da Derivada 05 5 Taa de variação 07 5 Taas relacioadas 09 5 Máimos e míimos4 54 Etremos absolutos em itervalos fechados9 55 Fuções crescetes e decrescetes 4 56 Etremos relativos critérios para ecotrá-los 5 57 Problemas que evolvem máimos e míimos 58 Cocavidade e potos de ifleão 8 59 Assítotas verticais e horizotais Esboço de gráficos 47 5 Regra de L Hospital 56 5 Fórmula de Taylor 6 Referêcias 75

7 Apresetação Esta disciplia, Cálculo I, cotiua uma jorada que começou com as disciplias Fudametos de Matemática I e Itrodução ao Cálculo (estudo dos cojutos uméricos e fuções) As disciplias de Cálculo, mais precisamete Cálculo Diferecial e Itegral, que se iiciam com o Cálculo I têm como objetivo estudar o comportameto das fuções, fazedo uso de coceitos até etão ão abordados: limites, derivada, cotiuidade, itegral, séries Estes coceitos foram desevolvidos o século XVII por dois grades matemáticos, idepedetemete: Isaac Newto (64-77) e Gottfried Wilhelm vo Leibiz (646-76) O que Newto e Leibiz fizeram foi uiversalizar as regras para lidar com problemas de áreas, taas de variação, máimos e tagetes, que até etão eram tratados para casos particulares de fuções A disciplia de Cálculo I vai estudar os coceitos de limites, derivadas e cotiuidade No capítulo, estudaremos seqüêcias (um coceito fudametal em Matemática), como uma itrodução ao estudo de limites Começaremos com as progressões aritméticas e geométricas (já cohecidas) para geeralizar a idéia de seqüêcia ifiita e o estudo de sua covergêcia O coceito de limite de uma seqüêcia é o objetivo pricipal deste capítulo, e de sua compreesão depede o desevolvimeto dos capítulos posteriores No capítulo, apresetaremos o coceito de limite de uma fução, que determia como se comportam os valores f( ) de uma fução f quado toma valores arbitrariamete próimos de um determiado poto de seu domíio Esta idéia estará 0 presete ao logo de todas as disciplias de Cálculo No capítulo, será estudada uma classe de fuções bem comportadas : as fuções cotíuas A cotiuidade cofere à fução uma especial regularidade de comportameto e seu estudo depede do coceito de limite Algumas coseqüêcias da cotiuidade serão apresetadas, icluido um teorema essecial para o Cálculo: o Teorema do Valor Itermediário No capítulo 4, será estudada a derivada de uma fução O coceito de derivada também depede do coceito de limite, e está relacioado ao comportameto de uma fução Este capítulo estuda a derivada de uma fução de modo geral e o cálculo da derivada das fuções elemetares, já previamete estudadas em Itrodução ao Cálculo

8 É o capítulo 5 que todos os coceitos já vistos serão utilizados o estudo das fuções Já vimos que as fuções servem de modelo para a descrição de situações reais O estudo do comportameto das fuções por meio da derivada e dos limites costitui uma poderosa ferrameta para o estudo destas situações, e etede-la é o objetivo do capítulo 5 Serão estudadas as taas de variação, taas relacioadas e problemas de máimos e míimos, a regra de L Hospital para o cálculo de limites de fuções usado derivada e a Fórmula de Taylor Aida este capítulo você verá que com a utilização de limites e da derivada é possível fazer um gráfico mais preciso de uma fução Através do uso de derivadas recohecemos os itervalos de crescimeto e decrescimeto de uma fução, seus potos de máimo e de míimo, e também detectamos aspectos às vezes sutis do gráfico, como a sua cocavidade Cabe ressaltar que, até aproimadamete a metade do século XX, as primeiras oções dos coceitos de limites, derivada e itegral eram estudadas o etão Cietífico, curso que correspodia ao atual Esio Médio Com as reformas a educação em meados dos aos sesseta, estes coceitos deiaram de ser estudados este ível de esio e começaram a ser estudados a primeira fase dos cursos da área de eatas (egeharias, matemática, física, química), estededo-se por quatro ou cico semestres Desde etão, as disciplias de Cálculo (jutamete com Álgebra Liear) costituem o fudameto dos cursos de graduação em Matemática, tato a Liceciatura como o Bacharelado Carmem S Comitre Gimeez Rubes Starke

9 Capítulo Sequêcias

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11 Capítulo Sequêcias Neste capítulo serão estudadas as progressões aritméticas e geométricas, suas propriedades e aplicações a resolução de problemas Serão apresetados e desevolvidos os coceitos de sequêcias ifiitas, subsequêcias, sequêcias limitadas e sequêcias moótoas Será estudada, aida, a covergêcia de uma sequêcia Progressões aritméticas Muitas situações podem ser descritas através de um modelo matemático que cosiste um cojuto ordeado de úmeros, em que a difereça etre dois termos cosecutivos é costate Eemplo Você adquire mesalmete livros Etão, a sua coleção aumeta em duas uidades a cada mês Eemplo Um compartimeto de uma fábrica tem 000 peças à disposição para matéria-prima Um robô ajusta 5 peças por miuto A quatidade de peças que permaece como matéria-prima dimiui em 5 por miuto Defiição Uma progressão aritmética (PA) de razão r é um cojuto ordeado de úmeros reais ( a, a,, a, ) chamados termos da progressão, satisfazedo a+ - a = r, para todo úmero atural Eemplo A sequêcia (5, 8,, 4, 7) é uma PA fiita de razão Eemplo 4 A sequêcia (4, 4, 4, 4, ) é uma PA de razão 0 Eemplo 5 A sequêcia (, 7,, -, -8) é uma PA fiita de razão -5 Eemplo 6 A sequêcia (, +, +, +, ) é uma PA de razão

12 Observação Três termos cosecutivos de uma PA de razão r podem ser represetados por, + r, + r No etato, para resolver certos problemas é coveiete represetá-los por - r,, + r Eercício resolvido ) Os lados de um triâgulo retâgulo formam uma PA Sabedo que o perímetro do triâgulo vale 4 m, calcule o comprimeto de cada lado Resolução Seja r a razão da progressão Represetado os lados do triâgulo por r,, + r, temos que: ( - r) + + ( + r) = 4 = 4 = 8 A razão ão pode ser zero, pois este caso o triâgulo seria equilátero, e ão retâgulo Cosiderado r > 0, a hipoteusa correspode a + r Pelo Teorema de Pitágoras: ( + r) = + ( -r) (8 + r) = 8 + (8 -r) r+ r = r+ r r = 64 r = Logo, r = 6, = 8 e + r = 0 Resposta Os lados do triâgulo medem 6, 8 e 0 metros (Note que, caso cosiderássemos r < 0, obteríamos o mesmo resultado) A proposição a seguir estabelece uma relação etre um termo de uma PA e a sua posição a progressão Proposição Seja a um termo de uma PA de razão r cujo primeiro termo é a Etão, a = a + ( - ) r para todo úmero atural Demostração Sabemos que a é o termo da PA que ocupa a posição Queremos provar que este termo se relacioa com o primeiro termo e com a razão através da igualdade a = a + ( - ) r De fato, usado a defiição de PA, temos:

13 a a a - a - a - a = r = r - = r Somado ambos os lados destas igualdades: ( a ) ( ) ( ) ( ) - a + a - a + a4 - a + + a - a- = r + r + + r -vezes Observe que a, a,, a - e seus opostos -a, -a,, - a - aparecem como parcelas o membro da esquerda Como a soma de um úmero com seu oposto é zero, teremos após a soma: a - a = ( - ) r Logo, a ) = a + ( - r Observação Ao termo a, que ocupa a posição, chamamos de termo geral da PA Assim, a epressão do termo geral da PA é dada por = a + ( - r a ) Eercícios propostos ) O primeiro termo de uma PA vale décimo seto termo 4 e a razão Calcule o 9 ) ) Sabedo que o primeiro termo de uma PA é 4 e o vigésimo primeiro termo é -4, calcule a razão da progressão O décimo segudo termo de uma PA vale 5, e o vigésimo quito termo vale 7 Calcule o primeiro termo e a razão Eercício resolvido ) No iício do ao, João possuía R$ 400,00 guardados e foi cotemplado com uma bolsa de estudos A partir de jaeiro começou a guardar R$ 50,00 por mês Quatos reais João terá acumulado o fial de aos? Resolução Os valores que João acumula a partir de jaeiro formam uma PA de razão r = 50 O primeiro termo dessa PA correspode ao valor que ele acumula o primeiro mês, ou seja, a = = 450 A quatia acumulada o segudo mês correspode a a e assim sucessivamete

14 4 Portato, o valor em reais que ele terá acumulado após aos correspode ao termo a 4, o vigésimo quarto termo da PA Utilizado a igualdade dada pela Proposição, a saber, a = a + ( - ) r, temos: a = a 4 4 = 600 Resposta Ao fial de aos, João terá acumulado R$ 600,00 Soma dos termos de uma PA Curiosidade Quado o grade matemático Karl Friedrich Gauss ( ) tiha 7 aos de idade, seu professor pediu para os aluos da sua classe somarem todos os úmeros aturais de a 00, ou seja, O professor ficou surpreso, quado, em poucos miutos, Gauss auciava o resultado Ele percebeu que + 00 = + 99 = + 98 = = Quer dizer, a soma total correspode a 50 somas, cada uma destas valedo 0 Portato, o resultado é 50 0 = 5050 A ideia de Gauss aquele caso particular pode ser geeralizada, como mostra a proposição seguite Proposição A soma dos primeiros termos de uma PA com a + a termo iicial a é dada por S = Demostração Vamos escrever S de duas maeiras: S = a+ a + + a- + a S = a + a + + a + a - Somado ambos os lados destas igualdades, temos: S = ( a + a ) + ( a + a ) + + ( a + a ) + ( a + a ) () - -

15 5 Seja r a razão da PA Etão, a + a = ( a + r) + ( a - r) = a + a + ( r- r) = a + a - Da mesma forma, De modo geral, se a + a = ( a + r) + ( a - r) = a + a - k, etão a + a = ( a + ( k- ) r) + ( a -( k- ) r) = a + a k -( k-) Portato, o membro da direita de () somam-se parcelas, cada uma com soma a + a Logo, () é equivalete a: S = ( a + a ) S a + a = Eercícios resolvidos ) Calcule a soma de todos os múltiplos aturais de 6 que possuem algarismos em sua represetação decimal Resolução A difereça etre dois múltiplos de 6 cosecutivos é costate e é 6 Devemos, pois, achar a soma dos termos de uma PA fiita de razão 6 Para aplicar a fórmula dada pela Proposição, a saber, devemos achar a, a e S a + a, = Como os úmeros aturais com três algarismos são maiores ou iguais a 00, temos que: O meor múltiplo de 6, maior do que 00, é 0 Assim, a = 0 O maior múltiplo de 6, meor do que 000, é 996 Assim, a = 996 Pela fórmula do termo geral, a ) = a + ( - r Etão,

16 6 996 = 0 + ( -) 6 6 ( - ) = = 49 = Logo, S50 = 50 = 850 Resposta A soma pedida é 850 4) Calcule a soma dos úmeros aturais meores do que 500, que a divisão por 5 deiam resto Resolução Se um úmero deia resto a divisão por 5, ele é da forma 5k +, para algum k atural O primeiro úmero que deia resto a divisão por 5 é, pois = 5 0+ O último úmero a ser cosiderado (meor do que 500 ) é 497, pois 497 = 495 +, ou seja, 497 = Portato, devemos achar a soma dos termos de uma PA de razão 5, cujo primeiro termo é e o último termo é a = 497 Para achar, observe que 497 = a + ( - ) r 497 = + ( -) 5 5 ( - ) = = 99 = Logo, S00 = 00 = 4950 Resposta A soma pedida é 4950 Eercícios propostos 4) Calcule a soma dos duzetos primeiros termos da PA: , -, -, ) Calcule a soma dos úmeros aturais iferiores a mil que ão são múltiplos de 7

17 7 Eercício resolvido 5) Determie a PA em que o vigésimo termo é e a soma dos 50 termos iiciais é 650 Resolução Devemos determiar a e r, sabedo que S e a + a = = a0 = a + 9r = () a + = a50 6 a + a + 49r = 6 a + 49r = 6 () Resolvedo o sistema com as equações () e (): a+ 9r = -a- 8r =-4 a+ 49r = 6 a+ 49r = 6 r = r = e a = - 8 =- 6 Resposta A PA é (-6, -4, -, ) Progressões geométricas Uma gradeza pode variar de modo que sua taa de crescimeto seja costate Defiição A taa de crescimeto de uma gradeza é o quociete etre o aumeto sofrido e o valor iicial, ou seja, se a gradeza passa do valor A0 0 para o valor A, etão sua taa de crescimeto é A - A0 Se este quociete é egativo, houve um decréscimo A 0 Eemplo 7 Se determiada gradeza passa do valor 4 ao valor 5, sua taa de crescimeto é 5-4 = = 0, 5 ou 5% 4 4 Eemplo 8 Estima-se que a população de certo país crescerá os próimos aos a uma taa costate de % ao ao Seja P a população do país hoje e P a população daqui a um ao Etão, como % correspode a, temos que 00

18 8 P - P P = 00 P - P = 0,0P P =,0P Se P represeta a população daquele país daqui a aos, temos: P - P P = 0, 0 P =, 0 P De maeira aáloga coclui-se que se P k + represeta a população daqui a k aos, etão P = k+, 0 P k Note que os úmeros P, P, P, formam uma sequêcia que obedece à seguite regra: O quociete etre dois termos cosecutivos é costate Pk De fato, +, 0, k P = k Eemplo 9 Supoha que uma bomba a vácuo retira a cada sucção % do líquido eistete em uma câmara Seja L 0 a quatidade iicial e L a quatidade de líquido que permaece a câmara após a primeira sucção Etão, L- L0 =- =-0, 0 L0 00 L = 0,97 L 0 Houve um decréscimo da quatidade de líquido a câmara Aalogamete, após a -ésima sucção, a quatidade de líquido a câmara será L = 0, 97L - A sequêcia L0, L, L, também obedece à regra L + = 0, 97 (costate), 0 L Proposição Uma sequêcia de úmeros ( P, P, P, ) tem taa de crescimeto costate i se, e somete se, P = ( + + i) P, Demostração Observe que este resultado aparece a epressão se, e somete se, Isso sigifica que devemos provar duas implicações:

19 9 ) Se uma sequêcia de úmeros ( P, P, P, ) tem taa de crescimeto costate i, etão P = ( + + i) P, ) Se para uma sequêcia de úmeros ( P, P, P, ) tem-se P+ = ( + i) P para todo, etão essa sequêcia tem taa de crescimeto costate igual a i () Hipótese A sequêcia de úmeros ( P, P, P, ) tem taa de crescimeto costate i Tese P = ( + + i) P, Da Defiição decorre: P + - P P = i P - P = ip + P+ = ( + i) P () Hipótese P = ( + + i) P, Tese A sequêcia de úmeros ( P, P, P, ) tem taa de crescimeto costate i Por defiição, a taa de crescimeto é dada por: P - + P ( i) P P ( i ) P = + - = + - = i, portato, costate P P P Tarefa Volte agora aos Eemplos 8 e 9 e verifique a validade da Proposição Defiição Uma progressão geométrica (PG) é uma sequêcia P, P, P, de úmeros reais satisfazedo: P+ = qp, para todo, sedo q uma costate chamada razão Observações: ) De acordo com a Proposição, toda sequêcia com taa de crescimeto costate i é uma PG de razão + i e toda PG de razão q tem taa de crescimeto costate igual a q -

20 0 ) Se um dos termos de uma PG é zero, etão todos, eceto talvez o primeiro, são iguais a zero De fato, se P q = 0 para algum, etão ou q = 0, ou P = 0 Se q = 0, a PG tem a forma P, 0, 0, Se q 0, coclui-se que P = 0 para todo e trata-se da PG ula 0, 0, 0, Neste coteto, vamos ecluir este caso ) Decorre da Defiição que uma PG de razão q é uma sequêcia umérica a qual o quociete da divisão de um termo pelo seu atecedete é costate e vale q 9 7 Eemplo 0 A sequêcia,,, 4 8 é uma PG fiita de razão q = Sua taa de crescimeto é i = - = ou 50% 0 0 Eemplo A sequêcia 60,0,,, é uma PG ifiita de 9 razão q = e taa de crescimeto i =- ou - 66,66% Eemplo A sequêcia (5, 5, 5, ) é uma PG ifiita de razão q = e taa de crescimeto i = 0 A proposição seguite forece a epressão do termo geral de uma PG Proposição 4 Se ( P, P, P, ) é uma PG de razão q, etão para todo P = P q - Demostração Decorre da defiição de PG que: P P P P P P - = q = q = q Multiplicado estas igualdades obtém-se:

21 P P P P P P P P P P 4 - = q q q vezes No membro esquerdo da igualdade, cada termo, eceto P e P, é cacelado, por ser multiplicado pelo seu iverso Portato, P - = q, isto é, P P - = P q Eercício resolvido 6) A população de uma cidade é de habitates e a sua taa de crescimeto é costate e igual a, 5 % ao ao Qual será a sua população daqui a 0 aos? E daqui a 0 aos? Resolução Seja P a população atual: P = Após um ao, a população será de:, 5 P = P+ P = P( + 0, 05) =, 05P 00 Após aos, será de : P = P,5 + P =,05P 00, 5 Após k aos, será de: P = k P + + k Pk,05Pk 00 = Portato, P P,, formam uma PG de razão,05, P O problema pede os valores de P e P Aplicado a Proposição 4, temos: P P = = (, 05) = (, 05) = Resposta Daqui a 0 aos a população será de habitates e daqui a 0 aos será de habitates Observação Note que os primeiros 0 aos a população deverá crescer em: = 4709 habitates Já os 0 aos seguites deverá crescer em: = 077 habitates Coclui-se que o crescimeto ão é liear

22 Eercícios propostos 6) Uma pessoa aplica R$ 000,00 durate 0 meses, recebedo juros de % ao mês Use a fórmula do termo geral de uma PG para calcular a valor que esta pessoa terá após os 0 meses 7) O primeiro termo de uma PG é 64 e sua razão é o quarto e o sétimo termo - Calcule 4 8) Em uma PG de termos positivos sabe-se que o sétimo termo é o dobro do quito termo e que o décimo termo vale 96 Calcule a razão e o primeiro termo da progressão Soma dos termos de uma PG Proposição 5 A soma dos primeiros termos de uma PG de razão - q q e termo iicial P é dada por: S = P - q Demostração Usado a epressão do termo geral de uma PG, temos: S - = P + Pq + Pq + + Pq - + P q () Multiplicado a igualdade por q : Subtraido () de (): qs = Pq+ Pq + Pq + + Pq + Pq - () S ( - q) = P -Pq P - Pq - q = = -q -q S ou S P Eercício resolvido 7) Cosidere a PG ifiita: 6,,,,, 9 7 a) Calcule a soma dos cico primeiros termos b) Epresse em fução de a soma dos primeiros termos c) Observe o resultado obtido o item (b) O que você pode dizer sobre o valor desta soma quado é muito grade?

23 q = Coforme a Pro- Resolução a) Esta PG tem termo iicial P = 6 e razão posição 5, temos: S 5-4 = 6 = 6 - = 8, Resposta A soma pedida é 4 7 b) S - = 6 - = 6 - = 9 -, que é aproimadamete 8,96 Resposta A soma dos primeiros termos da PG é dada pela epressão 9 - para c) Se é muito grade, etão é bem maior e o seu iverso é muito pequeo, próimo de zero Logo, a soma muito próimo de 9 e o termo (b), ou seja, S = 6 9 = - S tem um valor pode até ser desprezado em Cometário No próimo eercício, é possível cocluir que esta soma pode ter valores arbitrariamete próimos de 9, desde que seja suficietemete grade 8) Cosidere a PG do eercício aterior a) Determie um úmero atural tal que -4 ou seja, - 9 < 0 S S - 9 <, 0000 b) Determie um úmero atural k tal que -0 S k - 9 < 0

24 4 Resolução a) A epressão obtida o Eercício Resolvido 7 é 9 S = Etão, S - 9 = = - = Precisamos ecotrar um úmero atural tal que 9-4 < 0 Vamos resolver esta iequação: 9 < > > 9 0 Para eplicitar, apliquemos o logaritmo a base 0 a ambos os lados da iequação Lembre-se de que, como a fução y = log0 (ou simplesmete log ) é crescete, a desigualdade deve ser matida Assim: 4 log log(90 ) log > log log 9+4 log Utilizado uma calculadora, obtém-se log ,8 log Como deve ser atural e maior do que 0,8, podemos ver que é o meor úmero atural que satisfaz estas codições De fato, se calcularmos S até a seta casa decimal, obteremos S = 8, e < 0 S Resposta Para = ou qualquer úmero atural maior do que, tem-se S - 9 < 0000 b) Precisamos ecotrar k tal que: -0 S k - 9 < 0, ou seja, tal que

25 5 9 k < 0-0 k 0 > 0 9 k > k log > log9 + 0 log k > log Verifica-se que log9 + 0,96 Etão, podemos tomar k = log Resposta Para k = ou qualquer úmero atural maior do que, -0 tem-se - 9 < 0 S k Observação O Eercício Resolvido 8 mostra que, para a PG do Eercício Resolvido 7, de razão q =, a soma S - q dada por S = P - q P aproima-se cada vez mais do valor, à medida que aumeta - q Isso porque q tora-se muito pequeo à medida que aumeta Vamos mostrar agora que, se q <, isto é, se - < q <, etão de fato para muito grade, o valor de q é tão pequeo que pode ser desprezado a fórmula de S Ates de geeralizar, tomemos, por eemplo, Tarefa Pegue uma calculadora e calcule: 5 q = ,,, O que você observa? Perguta Será que eiste algum úmero atural < 0 para todo 0? 6 Vamos respoder à perguta resolvedo a iequação: tal que 5 < 0 6-0

26 6 Aplicado logaritmo a base 0, obtemos: 5 log < > 5 log 6 Ao calcular o valor aproimado de (Lembre-se de que log < 0 se < ) -0 5, obtém-se 6,9 O log 6 meor atural maior do que 6,9 é 7 Portato, 0 = 7 De fato, ao calcular que é meor do que , obtém-se aproimadamete 8, Use os mesmos argumetos para resolver o eercício seguite Eercício proposto 9) Ecotre um úmero atural 0 tal que 0 5 < para todo Você já percebeu que, procededo como os eercícios ateriores, 5 pode-se determiar 0 tal que para 0 o úmero seja meor do que 0, 0, 0, etc Provaremos agora que tora-se meor do que qualquer úmero positivo, por meor que seja, desde que seja suficietemete 6 grade Para tal, empregaremos a letra grega (épsilo) que represeta um úmero positivo qualquer, porém, supostamete muito pequeo, próimo do zero ( 0< < ) Vamos determiar 0 (em fução de ) tal que 0 5 < 6 para todo Resolvedo a iequação 5 <, ecotra-se 6 log > 5 log 6

27 7 Portato, se 0 é o meor úmero atural maior do que 5 etão < para todo 0 6 A proposição seguite é uma geeralização deste resultado: log, 5 log 6 Proposição 6 Se q é um úmero real e q <, isto é, se - < q < e se é um úmero positivo qualquer, etão eiste um úmero atural 0 tal que q < para todo 0 Por que razão houve a troca do sial a desigualdade? Para recordar o estudo sobre a Fução Logaritmo, recorra ao seu material de Itrodução ao Cálculo Demostração Se q = 0, etão q = 0, N e o resultado é óbvio Supohamos q 0 Seja > 0 fio, porém arbitrário Para este, temos que ecotrar um úmero atural 0 tal que q < para todo 0 q < log( q ) < log log q < log log > log q (Podemos aplicar a Fução Logaritmo, pois q > 0 e > 0 ) Este úmero, log, eiste e é positivo, pois q < e é suposta- log q mete muito pequeo, meor do que Portato, basta tomar 0 como o meor úmero atural maior do que log Revertedo o processo aterior, obteremos log q 0 q < Observe que para todo 0 teremos q < q, pois q < Assim, q < para todo 0 Como > 0 foi tomado arbitrário, a afirmação vale para todo, por meor que seja Cosequêcia Se q < e se for muito grade, etão desprezível a fórmula - q S = P - q q tora-se Assim, a soma de todos os termos da PG ifiita de razão q, com P q <, é dada por S = - q

28 8 Eercícios resolvidos 9) Determie o valor da soma Resolução Trata-se da soma de todos os termos da PG de termo iicial P = e razão q = P Como q <, temos S = = = - q - Resposta A soma é 0) Determie a geratriz da dízima periódica 0,5777 Resolução Note que: 0,5777 = 0,5 + 0, 0777 = 0,5 + 0, , , = = + S Sedo S a soma de todos os termos da PG de termo iicial razão, temos: 00 7 P S = = = = - q e Logo, ,5777 = + = ) Calcule o valor de A = Resolução Podemos escrever: A = = =

29 9 O epoete de 6 é igual a soma S de todos os termos da PG ifiita de termo iicial e razão Como P S =, temos - q S = = - Logo, A = 6 = 6 Resposta A = 6 ) Simplifique a epressão abaio, sabedo que é um úmero real maior do que k Resolução O umerador é a soma dos cico primeiros termos da PG de termo iicial e razão : 5 0 ( ) S 5 (Observe que, sedo >, temos - 0) O deomiador é a soma da PG ifiita de termo iicial e razão Note que, sedo >, segue que > e, portato, < Etão, esta soma é dada por S = = (Novamete, ote - - que - =-( - ) 0 ) A epressão pode etão ser escrita assim: 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Resposta A forma simplificada da epressão acima é - Eercícios propostos 0) Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG:,,,, 4 8

30 0 ) Quatos termos da PG (,, 9, 7, ) devem ser somados para que a soma dê 80? ) A soma de seis termos de uma PG de razão é 97 Qual é o primeiro termo da PG? ) Oito irmãs têm de repartir etre si mias (uidade moetária ou de peso utilizada pelos babilôios) de prata Cada irmã, por sua vez, recebe mais que a aterior, matedo-se costate a difereça etre as quatidades que, sucessivamete, cada uma recebe Se a seguda irmã receber 6 siclos, qual será a difereça costate, em grãos? (Observação: Um taleto vale 60 mias; uma mia vale 60 siclos; um siclo vale 60 grãos) 4) Em uma PA o primeiro termo é iteiro e a razão é A soma dos primeiros termos é 5 Determie os possíveis valores de 5) Determie o 99º algarismo após a vírgula, a represetação decimal de 0 (Sugestão: Note que a represetação decimal de periódica) 0 é uma dízima 6) A soma de três úmeros em PG é 9 Subtraido-se do primeiro, eles passam a formar uma PA Calcule esses úmeros, defii- 7) Se ( a ) é uma PG de termos positivos, prove que ( b ) da por b = log a, é uma PA 8) Escrevem-se duas progressões de mesmo úmero de termos, ambas iiciadas por e termiadas por 9 Uma das progressões é aritmética, a outra é geométrica e o produto das razões é 5 Escreva as progressões 9) A soma de cico úmeros iteiros em PA vale 5 e o seu produto, Determie esses úmeros 0) Prove: Em qualquer PA as difereças dos quadrados de dois termos cosecutivos formam também uma PA Qual a relação etre as razões dessas duas progressões? ) Os lados de um triâgulo retâgulo formam uma PG Calcule a sua razão

31 ) Determie os valores de, em radiaos, de modo que se, se, tg formem uma PG ) Verifique se as duas sequêcias de úmeros formam uma PA ou uma PG Qual a razão de cada uma delas? a) ( se, se ( + p), se ( + p),, se ( + kp), ) b) (l 5, l 50, l 500, l 5000, ) 4) Calcule o valor da soma: ( + ) ( + ) 5) Cosidere a PG cujo termo iicial é e a razão 5 4 Determie o meor úmero k tal que a soma dos k primeiros termos seja maior do que 000 Sequêcias ifiitas Na liguagem cotidiaa, o termo sequêcia é usado para desigar uma sucessão de coisas que se ecotram uma ordem bem determiada Em matemática, o termo sequêcia represeta uma sucessão de úmeros, ordeados segudo uma determiada regra Neste teto, serão estudadas sequêcias ifiitas, que chamaremos simplesmete de sequêcias Iformalmete, uma sequêcia é uma sucessão itermiável de úmeros, estes chamados termos, que têm uma ordem defiida (primeiro, segudo, etc) e ão são ecessariamete distitos Vamos represetar por o cojuto dos úmeros aturais Eemplo São sequêcias: a) (,,, 4, 5, ) ;

32 b),,,,, ; c) (, 6, 9,, 5, ) ; d) (0,, 0,, 0,, ) Em cada uma dessas sequêcias é fácil deduzir qual é a regra que relacioa cada termo com a sua posição a sequêcia Com essa regra é possível acrescetar outros termos, bem como saber qual é o termo que ocupa determiada posição Por eemplo: a sequêcia do Eemplo (c): Posição Termo = ou seja, temos uma 6 = fução: f : 9 = f( ) = 4 = 4 De modo geral, como a cada úmero atural correspode um úico termo da sequêcia, aquele que ocupa a -ésima posição a sequêcia, temos uma fução defiida o cojuto Isso motiva a seguite defiição de sequêcia: Defiição 4 Uma sequêcia de úmeros reais fução de em, f :,, é uma, O valor f( ), para todo, é represetado por, ou seja: f( ) = e é chamado de termo geral da sequêcia Note que f( ) =, f() =, f() =, isto é, f( ) é o termo da sequêcia que ocupa a posição Escrevemos (,,,,) ou simplesmete ( ) para idicar a sequêcia f Eemplo 4 a) ( 4 - ) é a sequêcia (, 7,, 5, ) cujo termo geral é 4 - O vigésimo termo dessa sequêcia, por eemplo, vale = 79, equato o cetésimo vale 99 b) (( ) ) (,,,,, )

33 c) (8) (8,8,8,8,) (sequêcia costate) d) = -, -, -, -, ( ) e),,,, f), 6 -,, 6 -,, 6 -, O termo geral desta sequêcia é: se é ímpar = 6 - se é par Observação Para muitas sequêcias, é impossível determiar a epressão que caracteriza o seu termo geral Por eemplo, a sequêcia cujo -ésimo termo é o -ésimo algarismo a represetação decimal de p: (,, 4,, 5, 9,, ) Outro eemplo é a sequêcia dos úmeros primos: (,, 5, 7,, ) Observação Progressões aritméticas e geométricas são eemplos de sequêcias, desde que teham uma ifiidade de termos Eercícios resolvidos ) Cosidere a sequêcia ( ), sedo = + + ( -) + a) Escreva os cico primeiros termos de ( ) b) Escreva os termos de ordem 85 e 0 Resolução a) Basta atribuir a os valores,,, 4, 5: + + (- ) + (- ) ; = = = = +

34 4 + (- ) 0 = = = 0; = = ; 4 = = 0; 5 = = ; Resposta Os cico primeiros termos da sequêcia são 5, 0,, 0, b) Basta calcularmos os referidos termos: (- ) = = = (- ) 0 0 = = = Resposta 85 = ; 0 = 0 4 4) Escreva o termo geral de cada uma das sequêcias abaio a) b) -,, -,, -, ,,,, Resolução a) Observe a tabela a seguir: O umerador é se é par, e - se é ímpar Isso é represetado por ( - ) Já o deomiador é sempre uma potêcia de, sedo o epoete uma uidade maior do que ( - ) Portato, o termo geral é + ( - ) Resposta = +

35 5 b) Observe a tabela a seguir: Comparado com, coclui-se que o termo geral da sequêcia é Eercícios propostos - = 6) Escreva os cico primeiros termos da sequêcia ( ) 7) Escreva o termo geral da sequêcia: Subsequêcias ,-,,-,,-, Cosideremos a sequêcia dos úmeros ímpares: (,, 5, 7, ), cujo termo geral é = - Ao escrevermos os termos, 4, 6, 8,, k,, ou seja,, 7,, 5, aparece uma outra sequêcia detro de ( ) Note que o cojuto de ídices = {, 4, 6,8,, k, } é ifiito e ordeado A mesma situação ocorre se cosiderarmos o cojuto de ídices = {, 6,9,,, k, } e tomarmos os termos, 6, 9,, ou seja, 5,, 7, Defiição 5 Seja f : uma sequêcia com termo geral Uma subsequêcia dessa sequêcia é uma restrição da fução f a um subcojuto ifiito e ordeado de

36 6 Se = {,,, }, com < < <, escrevemos: i < i f : ' f ( ) = ' i i Portato, os termos da subsequêcia são:,,, Essa otação f ' represeta a restrição da fução f ao cojuto Notação Para represetar a subsequêcia ( ), cujos ídices pertecem ao subcojuto de, escrevemos ( ) i i ' Eemplo 5 Seja = ) o termo geral da sequêcia ( ) (- a) Se = { k; k }, etão a subsequêcia ( i ) i ' é: (,,,),, ou seja, (,,, ), (sequêcia costate) 4 6 b) Se = { k-; k }, etão a subsequêcia ( i ) i ' é: (,,,),, ou seja, ( -, -, -, ) (sequêcia costate) 5 Eemplo 6 Seja y ( y i ) é: i ',,,, = e = { 4 k; k } Eemplo 7 Seja ( z ) a sequêcia: e seja = { k-; k } (,,,,,,,,,, ) Etão a subsequêcia Etão a subsequêcia ( z ) i (,,,,), ou seja, (, -,, -,, -, ) é: i ' Eercício resolvido 5) Tome a sequêcia ( ( ) ) e o cojuto = { k-; k } Escreva os cico primeiros termos da subsequêcia ( ) i i ' Resolução O cojuto dos ídices dos termos da subsequêcia é = {,, 5, 7, } Portato, a subsequêcia cosiste os termos:,,, Os cico primeiros são: 0, 6, 0, 4, 7 5

37 7 Sequêcias limitadas Defiição 6 Dizemos que a sequêcia ( ) é limitada quado eistem úmeros reais A e B, tais que A B para todo Quer dizer, ( ) é limitada quado todos os seus termos pertecem a algum itervalo fechado Eemplo 8 A sequêcia ( ( ) ) é limitada Basta tomar A = - e B = e teremos - ( - ) Observe que também podemos cosiderar A como sedo qualquer úmero real meor do que - e B como sedo qualquer úmero real maior do que Eemplo 9 A sequêcia é limitada, pois 0 <, Assim, todos os seus termos estão, por eemplo, o itervalo [0,] Eemplo 0 As sequêcias ( ), ( ) e ( ) ão são limitadas, pois ão eiste itervalo do tipo [ a, b ] que coteha todos os seus termos Sequêcias moótoas Defiição 7 Uma sequêcia ( ) chama-se: i) crescete quado < < <, isto é,, < + ; ii) decrescete quado > >, isto é >, ; > + iii) ão decrescete quado, ; + iv) ão crescete quado, + As sequêcias crescetes, decrescetes, ão crescetes e ão decrescetes chamam-se sequêcias moótoas Observação Da defiição, segue que ( ) é: i) crescete se, e somete se, + - > 0 para todo ; ii) decrescete se, e somete se, + - < 0 para todo ; iii) ão decrescete se, e somete se, para todo ; iv) ão crescete se, e somete se, para todo

38 8 Eemplo A sequêcia ( ), sedo = 5-, é crescete, pois + - = [5( + ) -] -(5- ) = 5 > 0 para todo Eemplo A sequêcia (,,,,, 4, 4,) é ão decrescete, pois - ora vale 0, ora vale, isto é, para todo + ( ) Eemplo As sequêcias (( ) ), ( ), ão são moótoas, pois os seus termos são alteradamete positivos e egativos Observação: Muitas sequêcias são moótoas a partir de certo termo Por eemplo, a sequêcia: (-,, 0, 4, 5,, 0,, 4, 6, 8, é crescete a partir do sétimo termo Portato, ão devemos tirar coclusões a partir da listagem de algus termos da sequêcia, mas sim usar as defiições É preciso avaliar o sial algébrico da difereça - ) Eercício resolvido 6) Dada a sequêcia +, verifique: - a) se ela é moótoa; b) se ela é limitada Resolução a) Vamos avaliar o sial algébrico de - + ( ) Temos: = + ; + = ( + ) -, isto é, = + Logo, = (+ 4) (-) -(+ ) (+ ) = (+ ) (-) -5 = ( + ) ( - )

39 9 Note que o deomiador desta fração é positivo para todo úmero atural Segue que - < + 0, ou seja, + < para todo Coforme a defiição, a sequêcia é decrescete b) Observe que > 0, Como ( ) é decrescete, tem-se > > >, isto é,, Cocluímos que ( ) é limitada, pois todos os termos estão o itervalo [0, ] Resposta A sequêcia é moótoa decrescete e limitada Lembremos que! = ( -) e, por cosequêcia, ( + )! = ( + )! 7) Verifique se a sequêcia! é moótoa! Resolução Seja = Etão, ( + )!! ( + )! -! - = - = ( + )! -!!( + -) = = + +! ( - ) = + O deomiador é positivo para todo Já o umerador é egativo para 0, zero para = e positivo para Logo, a sequêcia é crescete a partir do décimo segudo termo Resposta A sequêcia decresce do primeiro ao décimo primeiro termo, estabiliza-se, pois =, e cresce defiitivamete a partir do décimo segudo termo Eercícios propostos 6 8) Dada a sequêcia, verifique: ( + )! a) se ela é moótoa; b) se ela é limitada Observação Há sequêcias cujos termos são ideados a partir de = ou de outro valor qualquer Por eemplo,, - l Para essas sequêcias ão faz setido =

40 40 9) Escreva os seis primeiros termos da subsequêcia dos termos de ordem par da sequêcia cujo termo geral é a = + 0) Dada a sequêcia (,, -,,, -,,, -, ), costrua a subsequêcia dos termos cuja ordem é múltiplo de três ( a, a6, a 9,) Eplicite o termo geral dessa subsequêcia ) Verifique se as sequêcias abaio são limitadas justificado 4 a),,,, 4 5 b) ( a ) cujo termo geral é a ( ) = - c) ( a ) defiida por: a =, a+ = + a ) Verifique quais sequêcias ( a ) são moótoas justificado a) b) a a = + ; - = ; a =, a =, a = a + a; c) + - d),,,,,,,, ; 4 5 e) a = se ; f) a ( -) = + 4 Limite de uma sequêcia Em muitas situações, é preciso saber como se comportam os termos de uma sequêcia ( ) quado atige valores etremamete grades Observe estes eemplos mais simples: a) Os termos da sequêcia ( 5) crescem sem limitação b) Os termos da sequêcia ( ( ) ) oscilam sempre etre e -

41 4 aproimam-se arbitraria- c) Os termos da sequêcia 4 + mete de 4 ( - ) d) Os termos da sequêcia 6 + também se aproimam arbitrariamete de 6, embora de maeira oscilatória e) A sequêcia defiida por se é par = 5 - se é ímpar possui duas subsequêcias, sedo que os termos de uma delas se aproimam de 0 e os da outra de 5 Iformalmete, dizemos que uma sequêcia tem limite L (ou coverge para L ) quado, a partir de determiado termo, todos os demais termos estão arbitrariamete próimos de L Defiição 8 Dizemos que a sequêcia ( ) tem limite L (ou coverge para L ) quado para todo úmero real positivo eiste um úmero atural 0, que depede de tal que - L < para todo 0 Observação Lembre que, por uma propriedade do módulo, - L < é equivalete a - < - L< Somado L a todos os membros destas desigualdades, obtemos: L- < < L+ Isso é equivalete a afirmar que ( L-, L+ ) Portato, podemos também dizer que ( ) tem limite L, quado, para todo > 0, eiste 0 tal que ( L-, L+ ) para todo 0 Escrevemos lim = L ou simplesmete lim = L Eemplo 4 A sequêcia costate ( a, a, a, ) tem limite a De fato, observe que - a = a - a = 0 Logo, para todo, - a <, seja qual for > 0

42 4 Eemplo 5 Sequêcias como ( ),(4),(l ),( e ),(( 5) ) ão têm limite, pois os termos ão se aproimam de valor algum Neste caso, dizemos que a sequêcia diverge Eemplo 6 A sequêcia coverge e tem limite zero Vamos provar isso usado a defiição: Seja > 0 Devemos ecotrar 0 tal que, se 0, etão - 0 < Ora, - 0 < é equivalete a < que por sua vez é equivalete a > Quer dizer, se >, etão - 0 < Porta- to, basta tomar como 0 o meor úmero atural maior do que Logo, lim 0 = Eemplo 7 A sequêcia ( ) defiida por: + se é par = 5 - se é ímpar é divergete De fato, por maior que seja o úmero atural 0, sempre haverá termos próimos de e outros próimos de 5, com 0 Eercícios resolvidos 8) Cosidere a sequêcia ( ) tal que 0 = + a) Calcule 0 tal que - 5 <, 0 0 b) Calcule 0 tal que - 5 <, 0 00 c) Demostre que lim = 5

43 4 Resolução 0 a) - 5 < - 5 < < > 0 5 > 7,5 Portato, se > 7,5, etão - 5 < Tomado 0 = 74, temos 0-5 < para todo 0 0 Resposta 0 = 74 b) 0-5 < - 5 < Efetuado os cálculos aálogos ao item (a), obtém-se + > 00, > 748,5 5 Portato, se > 748,5, etão - 5 < Tomado 0 = 749, temos - 5 < para todo Resposta 0 = 749 c) lim = 5 Demostração Seja > 0 Devemos achar 0 tal que - 5 < para todo 0 Ora, < - < < > > Portato, se > -, etão 5 - < Assim, basta tomar 0 como o meor úmero atural maior do que 5 -, o que sempre 0 será possível Logo, lim 5 + =

44 44 9) Seja + ( -) = a) Ecotre um úmero atural 0 tal que, se 0, etão (8,999 ; 9, 00) b) Demostre que lim = 9 Resolução a) Repare que o itervalo pode ser escrito como 9 -, Devemos, etão, achar 0 tal que - 9 < para todo Ora, + (-) < < < > > 00 > 00 Como 4 < 00 < 5, cocluímos que 5 Tomado 0 = 5 tem-se - 9 < para todo Resposta 0 = 5 b) lim = 9 Demostração Seja > 0 Devemos ecotrar 0 tal que - 9 < para todo 0 Ora, + (-) - 9 < < < 5 > > > Sempre é possível ecotrar esse valor, pois > 0 Assim, basta tomar 0 como sedo o meor úmero atural maior do que etão - 9 < para todo 0 Logo, lim = 9 5 e

45 45 Eercício proposto ) Cosidere a sequêcia ( ), sedo - = + 5 a) Ecotre 0 tal que - <, 0 00 b) Prove que lim = O próimo teorema estabelece a uicidade do limite, ou seja, uma sequêcia covergete tem um úico limite Teorema Seja ( ) uma sequêcia covergete Se lim = A e lim = B, etão A = B Demostração A ideia é mostrar que a distâcia etre A e B, A - B, é meor do que qualquer úmero positivo Seja um úmero positivo qualquer Etão, também é um úmero positivo Por ser lim = A, segue da Defiição 8 que eiste 0 tal que - A < para todo 0 Por ser lim = B, eiste tal que - B < para todo Seja = ma { 0, }, isto é, é o maior elemeto do cojuto { 0, } Note que, se for, será também 0 e Seja Etão, - A < e - B < Logo, Foi usada a desigualdade triagular (lembra dela?) Portato, A- B < Como A - B é ão egativo e meor do que qualquer úmero positivo, só pode ser igual a zero Cocluímos que A = B

46 46 Teorema Toda sequêcia covergete é limitada Demostração Seja ( ) uma sequêcia cujo limite é L Etão, para todo úmero positivo eiste algum úmero atural 0 tal que ( L-, L+ ) para todo 0 Em particular, para =, eiste 0 tal que ( L-, L+ ) para todo 0 Seja X o cojuto {,,, -, L-, L+ } 0 Este cojuto é fiito, pois tem o máimo 0 + elemetos Dessa forma, X possui um elemeto míimo A e um elemeto máimo B Como todos os termos, com 0, estão o itervalo ( L-, L+ ), podemos afirmar que A B para todo Logo, ( ) é limitada Eemplo 8 Cosidere a sequêcia se 0 = + se Note que, apesar de os termos de a 0 estarem espalhados, a partir de = + os termos se acumulam aproimado-se de :,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +, +, +, Assim, a sequêcia ( ) coverge para (Prove isso!) Para ilustrar a demostração do Teorema, ote que, para =, eiste 0 Ν tal que para todo 0, ( -, + ) = (0,) Observe que 0 = e o cojuto X será dado por: X = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 0} O máimo de X é 0 e o míimo é 0 Assim, todos os termos da sequêcia pertecem ao itervalo [0,0] Logo, ( ) é limitada Observação: ) ) Do teorema segue que toda sequêcia ão limitada diverge Assim, sequêcias como ( ),(4),(l ),(( ) ) divergem A recíproca do teorema é falsa Por eemplo, a sequêcia ( ( - ) ) é limitada, mas ão coverge

47 47 Uma sequêcia moótoa pode ão covergir, como acotece, por eemplo, com a sequêcia ( ) O próimo teorema estabelece que, se a sequêcia for moótoa e limitada, etão coverge Ateção: este teorema vale também para sequêcias que são moótoas a partir de certo termo Teorema Toda sequêcia moótoa e limitada coverge Demostração Será omitida este mometo, pois ecessita da compreesão dos coceitos de supremo e ífimo, que serão estudados um curso de aálise Eemplo 9 Aalisaremos detalhadamete a sequêcia ( ), sedo = 6 - Essa sequêcia é limitada, pois 6- > 0 e também 6- < 6 para todo Assim, [0,6], Para verificar se ( ) é moótoa, eamiaremos a difereça - + : + - = =, + + que é sempre positiva Logo, ( ) é crescete ( ) Agora ote que sempre podemos ecotrar termos da sequêcia arbitrariamete próimos de 6 Por eemplo, se tomarmos o itervalo 6 -, 6 000, o elemeto 000 = 6 - pertece ao itervalo 000 Além disso, como ( ) é crescete, todos os termos, com > 000, pertecem ao itervalo Vamos agora provar que lim = 6 Dado > 0 tal que - 6 < para todo 0 0, devemos achar Mas - 6 < < > Portato, se >, etão 6 - < Logo, basta tomar 0 como o meor úmero atural maior do que Isso prova que lim = 6

48 48 Eercício resolvido 0) Verifique se a sequêcia Teorema Resolução coverge usado o () Vamos verificar se a sequêcia é moótoa + 5 Seja = - Etão, 7 é sempre ega- ( )( ) tivo (Verifique isso!) Logo, ( ) é decrescete () A sequêcia é limitada? Note que: > 0 para todo Além disso, sedo ( ) decrescete, todos os seus termos são meores do que 7 7 = Portato, 0 < para todo, e a sequêcia é limitada Coclui-se que ela coverge 5 Eemplo 0 A sequêcia é decrescete a partir do décimo! quito termo (Verifique isso!) Podemos etão cocluir que é limitada (Por quê?) Logo, pelo Teorema, ela coverge Teorema 4 Se a sequêcia ( ) coverge para L, etão toda subsequêcia de ( ) coverge para L Demostração Seja = {,, }, com Seja ( i ) i lim L = i < < ' um subcojuto ifiito de uma subsequêcia de ( ) Vamos provar que Seja > 0 Deveremos ecotrar j tal que, se i e i j, etão - L < i Como lim = L, eiste 0 tal que i - L < para todo 0 Sedo ifiito, eiste j tal que j 0 Etão, para todo i tal que i j, temos i 0 e, portato, i - L < Isso prova que lim = i L

49 49 Observação Coclui-se do teorema que, se uma sequêcia possui duas subsequêcias covergido para valores distitos, ela diverge Por eemplo, a sequêcia: - se é par = + se é ímpar Essa sequêcia diverge, pois possui subsequêcias covergido para e respectivamete No próimo teorema, veremos que, se uma sequêcia moótoa idetificamos uma subsequêcia que coverge para L, etão a própria sequêcia coverge para L Para demostrá-lo, precisamos do seguite lema: Lema Se uma sequêcia moótoa possui uma subsequêcia limitada, etão ela mesma é limitada A prova é aáloga se a sequêcia ( ) for ão crescete Demostração Seja ( ) uma sequêcia moótoa Supohamos, ão decrescete Etão, e, portato, para todo, o que mostra que ( ) é limitada iferiormete Falta mostrar que ( ) é limitada superiormete Por hipótese, ( ) possui uma subsequêcia ( i ) i ' limitada Etão, eiste B tal que B para todo i i Seja Como é ifiito, eiste j tal que j > Por ser ( ) ão decrescete, segue que B Mas é geérico e, j assim, B para todo Cocluímos que ( ) é limitada Teorema 5 Se uma sequêcia é moótoa e possui uma subsequêcia que coverge para L, etão a sequêcia também coverge para o mesmo L Demostração Seja ( ) uma sequêcia moótoa e ( i ) uma subsequêcia covergete que tem limite L Vamos mostrar que ( ) também tem limite L

50 50 Sedo ( i ) covergete, é também limitada Pelo Lema, a sequêcia ( ) é limitada Pelo Teorema, ela coverge, digamos, para M Pelo Teorema 4, M = L e, portato, ( ) coverge para L Observação Uma sequêcia limitada pode também ser caracterizada assim: ( ) é limitada se eiste k > 0 tal que < k, Teorema 6 Se ( ) e ( y ) são sequêcias tais que ( y ) é limitada e lim = 0, etão lim( y) = 0 Demostração Por hipótese, ( y ) é limitada e, assim, eiste k > 0 tal que y < k, Seja > 0 Como lim = 0, eiste 0 tal que todo 0 Para 0, temos: y - 0 = y < k, ou seja, k < para k Ateção: este teorema garate a covergêcia do produto de duas sequêcias, mesmo que uma delas ão seja covergete y - 0 < para todo 0 Logo, lim( y ) = 0 Eemplo se a) lim = lim se Como a sequêcia zero e a sequêcia ( se ) é limitada, segue que π cos ( ) b) Da mesma forma, lim 0 tem limite se lim = 0 Observação Se ( y ) ão é limitada e lim = 0, etão a sequê-cia ( y) pode covergir para um úmero real qualquer ou divergir, mesmo sedo lim = 0 Veja algus eemplos: Eemplo -8 a) Se y = e =, etão 8 y =-, ou seja, ( y) é a sequêcia costate, que coverge para - 8

51 5 =, etão y = e a sequêcia ( y) di- b) Se y = e verge c) Se y = e =, etão coverge para zero y = e a sequêcia ( y) Em muitas situações, uma sequêcia pode ser escrita como soma, produto ou quociete de outras sequêcias O próimo teorema estabelece um resultado a respeito da covergêcia de tais sequêcias Teorema 7 Se ( ) e ( y ) são sequêcias que covergem para A e B respectivamete, etão: a) a sequêcia ( + y ) coverge para A + B ; b) a sequêcia ( c ) coverge para ca, c ; c) a sequêcia ( y) coverge para A B; A d) a sequêcia coverge para desde que B 0 y B Demostração a) Seja > 0 Como lim = A, eiste tal que - A < para todo Como lim y = B, eiste tal que y - B < para todo Seja 0 = ma {, } e 0 Etão, - A < e y - B < Logo, ( + y )-( A+ B) = ( - A) + ( y -B) - A + y -B + = Ou seja, se 0, etão ( + y) -( A+ B) < Isso prova que lim( y ) A B b) Para c = 0, a igualdade é óbvia, pois a sequêcia costate (0) coverge para 0 = 0A

52 5 Supohamos c 0 Seja > 0 Por ser lim = A, eiste 0 tal que - A < c para todo 0 Logo, para 0, temos: c - ca = c - A < c =, ou seja, c c - ca < Cocluímos que lim( c ) ca Ates de provar (c), observe que: lim z lim( z - l) = 0 = l é equivalete a c) Vamos escrever a epressão y - AB de forma que possamos usar as hipóteses: lim = A e lim y = B Para tal, observe que, ao somar e subtrair a epressão, B obtemos: y AB y B BAB ( y B) B( A) Por ser covergete, ( ) é limitada Por hipótese, lim y = B Pelo Teorema 6, lim ( y B) 0 Por hipótese, lim( A) 0 e pelo item (b) aterior, lim B( A) 0 Logo, lim( y AB) lim ( y B) lim B( A) 000 E, portato, lim y = AB A d) Provaremos que lim - = 0 y B Temos: A B Ay ( B Ay ), para todo tal que y B By By y 0 A ideia é usar ovamete o Teorema 6 Decorre dos ites (a) e (b) e da hipótese que: lim( B Ay ) B lim Alim y BAAB 0 Falta mostrar que a sequêcia é limitada By

53 5 Como lim By = Blim y = B, segue da defiição de limite de uma sequêcia que: para todo > 0 eiste 0 tal que By - B < para todo Ou seja, 0 - < By - B < para todo 0 Em particular, para = B, temos: B B - < By < Somado B aos membros dessa desigualdade, temos B B B < By <, ou seja, By > Como By > 0, segue que 0 < By < B para todo 0 O cojuto,,, é fiito e, portato, limita- By By By 0 - do Logo, a sequêcia é limitada Segue do Teorema 6 que: By A lim ( BAy) 0 e, portato, lim = By y B Eercícios resolvidos ) Calcule o limite de cada uma destas sequêcias: a) c) 5 ; b) ; ; d) Resolução a) Pelo item (b) do Teorema 7, b) Pelo item (c) do Teorema 7, 5 lim = 5 lim = 5 0 = 0 lim = lim lim lim 0 = = c) Para usar os ites do Teorema 7, vamos dividir umerador e deomiador do termo geral por, o que ão o altera: =