O número de Euler: Possíveis abordagens no ensino básico.

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1 Semiários de Esio de Matemática/ SEMA FEUSP Coordeação: Profº Drº Nilso José Machado O úmero de Euler: Possíveis abordages o esio básico. agosto/00 Itrodução Wager M. Pommer A grade maioria dos Números Reais é do tipo irracioal. Detre os ifiitos úmeros irracioais, o úmero PI (π) e o úmero de Euler (e), são duas costates de grade importâcia em diversos áreas cietíficas e, também, a própria matemática. Porém, tal reciprocidade ão trasparece o esio básico, ode predomia a eploração de π. No ciclo fudametal, o úmero π é apresetado como a razão etre o comprimeto da circuferêcia e o diâmetro de uma circuferêcia, uma defiição de simples etedimeto a faia etária em questão. A Proposta Curricular de São Paulo (008) destaca que o famoso irracioal π, detro da cocepção citada o parágrafo acima, (...) deve ser apresetado os cursos de geometria elemetar, assim como deve ser trabalhado o Esio Medio, desta vez em cotetos associados à trigoometria, ao estudo dos corpos redodos e aos cojutos uméricos (p. 46). E como é apresetado o úmero de Euler o esio de matemática elemetar? Nos mauais didáticos, o úmero de Euler é citado detro do tópico logaritmos, como uma possível base, deomiado-se tais logaritmos de aturais. Algus livros citam este tópico ao fial do capítulo, geralmete deomiado Sistemas de Logaritmos, como se fosse um apêdice, um pequeo acréscimo de iformação, apresetado o úmero de Euler como um úmero irracioal aproimado por,788, citado que este valor é obtido utilizado-se uma calculadora eletrôica. Mas o que teriam de aturais estes logaritmos com base dada pelo úmero de Euler? E por que apreseta o valor aproimado de,788. Isto ão é eplicado os tetos usuais. Também, os documetos oficiais, observamos que os PCN, Brasil (997) e a Proposta Curricular, São Paulo (008) ão apresetam referêcia com relação ao úmero de Euler. Costatado-se a falta de material para esclarecer e itroduzir ao aluo o que seria o úmero de Euler, de modo a fazer setido a aluos, fica aberta uma possibilidade e uma ecessidade de discutir esse assuto, voltada ao ciclo básico.

2 Uma paorâmica iicial: a idéia essecial do úmero de Euler. Segudo Maor (008), o úmero de Euler era cohecido, de modo implícito e ão itecioal, pelos atigos, por meio de situações de ordem prática, ates de qualquer estudo teórico. Depois de um grade lapso de tempo, Maor (008) destaca que o úmero de Euler surge o estudo desevolvido por Napier, de forma idireta, em 68, com relação aos logaritmos. Os logaritmos foram criados como ferrameta para agilizar cálculos, como, por eemplo, a astroomia. Os logaritmos, (...) que iicialmete eram istrumetos fudametais para a simplificação de cálculos, hoje ão se destiam precipuamete a isso, sedo imprescidíveis o estudo das gradezas que variam epoecialmete (SÃO PAULO, 008, p. 50). Porém, a ideia básica de Napier é muito importate para se compreeder o úmero de Euler. Napier queira escrever qualquer úmero como uma potêcia de algum úmero fio (base). Deste modo, multiplicar/dividir dois úmeros seria equivalete a somar/subtrai os epoetes das potêcias. Por eemplo, se possuirmos uma tabela para as potêcias de (tabela ), para multiplicar 864, trocamos 8 por e 64 por 6, coforme a tabela. Daí: 864 = 6 9, pela propriedade de soma dos epoetes de uma potêcia qualquer. Pela tabela, o resultado da potêcia 9 é Tabela : Potêcias iteiras de. Hoje em dia ão se faz mais assim. Porém, a época de Napier, que ão eistia calculadora eletrôica, a tabela era de grade ajuda os cálculos. Etão, ele produziu uma tabela que completava os espaços etre as potêcias de epoete iteiro. Para eemplificar, para calcular 5, Napier recorria a uma tábua. Nesta tabela, o úmero que elevado a base resultava 5 era aproimadamete,, ou seja,, = 5. Também,,585 =. Assim, 5,585,,907. Na tabela, o resultado era 5. Para completar os iúmeros espaços etre as potêcias de úmeros iteiros, Napier utilizou um fator próimo de, que foi 0-7 = 0, Esta idéia de utilizar um fator próimo a é a que permite eteder o úmero de Euler, coforme veremos o decorrer do teto. Isto foi um trabalho árduo, mas que, ao fial da eecução, ajudou os cálculos computacioais dos usuários da época: os astrôomos. Posteriormete, Briggs fez uma série de melhorias o trabalho de Napier, apresetado uma aproimação umérica para o logaritmo de e a base dez, mas ão faz referêcia do sigificado deste resultado. O uso do símbolo e remota a Euler, em 78, em uma eposição de resultados. Tal otação foi posteriormete adotada pela comuidade, como uma homeagem a este matemático.

3 Em 668, Mercator, o livro Logarithmotechia, utilizou a omeclatura logaritmo atural, para se referir a base e, porém o úmero de Euler aida é uma referêcia implícita ao desevolvimeto dos logaritmos. O Coor e Robertso (00) ressaltam que o trabalho com logaritmos, realizado por Napier e Briggs, quase recoheceu eplicitamete o úmero de Euler, mas ão o fizeram. A primeira apresetação eplicita do úmero de Euler foi realizada em problemas que evolviam ivestimetos com juros compostos. Em cerca de meio século depois ele é icorporado e estudado pelo adveto do Cálculo Diferecial e Itegral, a partir do século XVII. Daí, em diate, o úmero de Euler torou-se importate e surgiu em diversas áreas do cohecimeto, como a Biologia, a Ecoomia, as Egeharias e a Física, detre outros ramos do cohecimeto. Vale destacar observação em Maor (008), que a eplicação mais comum o esio básico, para cometar a respeito do úmero de Euler, como base dos logaritmos, historicamete foi obra posterior, devido a Leoardo Euler, em cerca do século XVIII. Há vários modos de se defiir o úmero de Euler. No ciclo básico é possível etedê-lo e itroduzi-lo, através da iterligação de vários coceitos matemáticos da Matemática Elemetar do próprio currículo do ciclo básico e, aida, ilustrar e relacioar a outros coceitos, ormalmete abordados em Esio Superior. O úmero de Euler e a Matemática Fiaceira Historicamete, os babilôios haviam aproimado o valor do úmero de Euler, em cálculos fiaceiros, mas ão há idícios da compreesão deste fato, pelo caráter empírico da matemática deste povo. Um tablete de argila dos atigos babilôios, datada de cerca de 700 a.c., propõe um problema evolvedo uma questão de ivestimeto: Quato tempo levará para uma soma de diheiro dobrar se for ivestida a uma taa de 0 por ceto de juros compostos aualmete? (MAOR, 008, p. 4). Em liguagem matemática atual, ao fial de cada ao, o capital iicial deverá ser multiplicado por um fator,. Assim, em t aos, o capital será crescido de um fator,. Como o problema solicita em quato tempo o capital dobra, isto sigifica resolver a equação epoecial, =. A resposta a esta questão recai um úmero irracioal. Na época dos atigos babilôios, tal problema foi resolvido por aproimação. A aproimação de um úmero irracioal para um úmero racioal é importate fudameto a ser trabalho em diferetes mometos e cotetos, o ciclo básico.

4 úica via: 4 A represetação decimal dos úmeros irracioais é ecessariamete ifiita e ão periódica. A (...) de acesso a um úmero irracioal é a utilização de aproimações sucessivas através de úmeros racioais. (...) Aida hoje, [isto] parece descocertar todos os que efretam os irracioais. (...) Negado o estatuto de úmeros as razões etre gradezas que coduziam aos irracioais, foi possível aos gregos viver praticamete ao largo de tais objetos idesejáveis. Há muito se sabe, o etato, que a maioria absoluta, a quase totalidade dos Números Reais eistetes é costituída por úmeros irracioais. Os outros, os racioais, costituem uma ífima mioria, a despeito de o homem comum ão ter cotato seão com us poucos úmeros irracioais, ao logo da vida (MACHADO, 990, p. 4-44). Equato que em três aos o capital terá sido acrescido de, =,78, em quatro aos tal valor passa a ser, 4 =,076. Assim, o tempo estimado se ecotra etre três e quatro aos. Segudo Maor (008), para melhorar esta aproimação, os atigos babilôios utilizavam o processo da iterpolação liear, que cosiste em estabelecer uma relação de proporcioalidade direta, de modo que divide o itervalo de para 4 aos de modo proporcioal ao capital, que divide o itervalo, =,78 e, 4 =,076. Observado a figura 5, em liguagem atual, costrói-se o gráfico da fução y =, e, o itervalo 4 aproima-se a curva por um segmeto de reta. Assim, pode-se estabelecer a proporção direta: BC AC DE AE,78,,076 4,,78 4, 4,. Fazedo-se, =, tem-se: 0,786 ao 9 meses dias. Figura : O processo de iterpolação liear. Este valor ecotrado pelos babilôios, pelo processo da iterpolação liear, é bem próimo do valor eato, obtido pela técica da logaritmação: l, l, l.l, l,808 aos aos 9 meses 8 dias. l, Este procedimeto dos babilôios represeta uma estratégia fudametal iicial para a resolução do problema proposto e que aida evolve um importate raciocíio: a aproimação e o uso da estimativa.

5 5 De modo geral, em problemas fiaceiros evolvedo juros compostos, o cálculo do valor futuro ou Motate (S) em fução do capital iicial (P), aplicado a uma taa de juros compostos (r), t aplicado durate uma uidade de tempo (t) é dada por: S P.( r). Geralmete, a taa de juros ão é dada o mesmo período que o tempo t de aplicação. Assim, para equalizar o itervalo de tempo, digamos em períodos, ecotramos um divisor de ambos estes valores, de modo que a taa de juros fica: r/ e o tempo de aplicação.t. Por eemplo, se a taa de juros for de 00% ao ao (r= 00% a.a) e se deseje cohecer o motate após ao e meio de aplicação (t= ao e 6 meses). Podemos equalizar o período em meses, de modo que r/ = 00/ = 8, % ao mês e o tempo r.t t = 8 meses. Assim, de modo mais geral: S P.( ). Eiste um certo caso particular que associa o úmero de Euler ao cálculo de juros compostos. Alguém ão se sabe quem ou quado deve ter otado o fato curioso de que se um capital P é composto vezes por ao, durate t aos, a uma taa de juros r e se permitirmos que aumete sem limites, a soma de diheiro S, obtida a partir da fórmula S = P ( + r/) t, parece aproimar-se de um certo limite. O limite para P=, r= e t=, é aproimadamete,78. (...) Assim, as origes do úmero e (...) pode muito bem estar ligado a um problema mudao: o modo como o diheiro aumeta com o passar do tempo (MAOR, 008, p. ). Nesta perspectiva, para uma abordagem iicial do úmero de Euler, os reportamos a uma arrativa. Um agiota empresta diar a juros de 00% ao ao a uma pessoa. Ao fial de um ao, a pessoa ecotra o agiota, devolvedo + = diares. O agiota, achado ijusta tal situação, argumeta que tal valor é icorreto. Se dividirmos o ao em dois semestres, a pessoa deveria pagar, depois de seis meses, a quatia de diar + 50% de diar = ½ diar. Em mais um semestre, os juros se comporiam em: ½ diar + 50% de ½ diar =,5 diares. Porém, o agiota cotiua argumetado que, se o ao fosse subdividido em 4 trimestres, teríamos que a pessoa deveria, ao fial de cada trimestre, coforme a tabela. A palavra diar deriva de deário, uma moeda romaa. Atualmete, é a moeda acioal de vários países pertecetes ao etito Império Otomao. Utilizamos esta deomiação como homeagem a Malba Taha. Segudo O Coor e Robertso (00), Jacob Beroulli estudou o problema dos juros compostos, em 68, utilizado a epressão ( + /), com tededo ao ifiito. Utilizado-se da epasão biomial, ele ecotrou para o limite um valor etre e, sedo esta cosiderada uma primeira aproimação do cálculo do valor de e, detro da idéia de ifiito, a forma potecial. Aida, observamos que esta opção de trabalho com ivestimetos está desviculada do desevolvimeto dos logaritmos, o que didaticamete permite um olhar complemetar em relação ao úmero de Euler.

6 6 Período Motate º trimestre diar + 5% de diar=,5 diares. º trimestre,5 diares + 5% de,5 diares=,5.,5=,5 =,565 diares. º trimestre,565 diares + 5% de,565 diares=,565.,5 =,5 =,955 diares. 4º trimestre,955 diares + 5% de,955 diares=,5 4 =,44406 diares. Tabela : Cálculo do agiota, para a aplicação de diar, a 00% ao ao, supodo a correção trimestral dos juros. Cotiuado a especulação, supodo agora a correção mesal, teríamos (ver tabela ): Período Motate º mês diar + 8,% de diar=,08 diares. º mês,08 diares + 8,% de,08 diares=,08.,08 =,789 diares. º mês,7889 diares + 8,% de,7889 diares=,08.,08 =,08 =,704 diares. º mês,08 =,604 diares. Tabela : Cálculo do agiota, para a aplicação de diar, a 00% ao ao, supodo a correção mesal dos juros. Assim, a uma taa de 00/60 = 0,78% ao dia, o devedor teria que pagar, , ou seja,,76685 diares. Deste modo, a ,0574% a hora, teríamos que a pessoa, ao fial de um ao, deveria pagar:, =, =,786 diares. 00 Se cosiderarmos a taa por miuto, teríamos 0, % resulta uma dívida de:, =,7868 diares. ao miuto, o que Cada vez que a divisão de tempo aumeta e o itervalo de tempo se tora mais dimiuto, ou seja, quado o tempo de composição dos juros tede a zero, o resultado da dívida parece covergir para certo úmero. Notemos que a base se aproimar do úmero, quado a divisão do tempo aumeta, é a essêcia da idéia de Napier para a tábua de logaritmos. Levatada esta cojectura, podemos verificá-la utilizado a fórmula biomial de Newto, uma ferrameta comumete apresetada o esio básico. ( a ( ( b) ) ) ( ). a 0. b ( )..( ) 0.( ) ( ). a. b ( ). a. b... ( ). a. b ( ). a ( )..( ).( ).( )! ( )..(.( ) ).(! ( ). ).( ).( )... ( ).... b. 0 ( )..( )

7 ) ) ) ) ( ) ( ( ( (.( ).( ).( )... ( )!! ( ) ( ) ( )!! ( ) ( ) ( )!!.( ).( ).( )... ( )!!.( ).( ).( )... ( )!! Assim:.( 0).( 0).( 0)......, !!!! Numa liguagem matemática mais voltada ao cálculo, quado tede a ifiito, / tede a lim zero. Daí, podemos escrever:, Acreditamos que este tipo de abordagem iicial, cosiderado-se um problema prático, através de matemática fiaceira, permite a itrodução do úmero de Euler de modo a superar o obstáculo de cosiderar o ifiito como um úmero grade, o que possibilitaria a pesar que =. Para um estudate iiciate, a observação igêua do: potêcia (...) comportameto peculiar da epressão ( + /) para valores grades de deve parecer de fato itrigate. Supoha que se cosideremos apeas a epressão detro dos parêteses, + /. à medida que aumeta, / fica cada vez mais próimo de 0 e assim + / fica cada vez mais próimo de, embora seja sempre maior do que. Assim, podemos ser tetados a cocluir que para um valor grade de realmete grade (...) a epressão + / pode ser substituída por. Agora, elevado a qualquer potêcia é sempre igual a. Portato, parece que ( + /) para valores grades de deve se aproimar do úmero (MAOR, 008, p. 47). Devemos otar que a base,, remete a ideia fudametal do úmero de Euler. que tede a quado tede a ifiito, presete a E esta idéia é a essêcia da costrução da tábua de logaritmos desevolvida por Napier. Esta represetação do úmero de Euler, associada à escrita de uma soma de ifiitos termos, permite abordar uma série, que parece ser covergete. O tema séries é importate assuto a ser abordado o ciclo básico, detro dos temas usuais do currículo de matemática, porém raramete é apresetado. Para verificar esta outra cojectura, iicialmete determiamos um limite iferior. Isto pode ser feito pelo uso de desigualdades, em relação a cálculos uméricos simples, uma importate ferrameta a ser mais eplorada. e 0!!!... s. Para determiar se eiste um limite superior para o úmero de Euler, tem-se que: 7

8 ! e a a a... a !!!! e 0 0! Pr ogressão Geométrica de razaõ / Na P.G. acima, de ifiitas parcelas, primeiro termo ½ e razão ½, o itervalo para -<q<: a Soma q - Daí: e e. Pr ogressão Geométrica de razaõ / Assim, o úmero de Euler é covergete e fica limitado pela desigualdade < e <. Deste modo, o úmero de Euler pode ser epresso por: e lim!!... 0!, para N. Esta epressão permite aproimar o úmero de Euler, um úmero irracioal, a partir de ifiitas parcelas compostas de úmeros racioais, se costituido em um imbricameto etre esses cojutos. Este úmero que a série coverge, posteriormete foi deomiado úmero de Euler (e=, ). Assim, hipoteticamete, se fosse estedida a subdivisão de ifiitos períodos de tempo de subdivisão dos juros, teríamos: lim e diares. 4 O úmero de Euler pode ser defiido como limite, para valores muito grades de, da série: e lim lim 0.! Utilizado-se calculadoras cietíficas usuais, ode o mostrador cotém limitadas casas decimais, um primeiro olhar (igêuo) para o resultado do úmero de Euler (e =, ) parece mostrar uma certa regularidade a parte decimal (88). Será que o úmero de Euler é um úmero racioal? Pode-se, provar a irracioalidade do úmero de Euler utilizado argumetos simples e acessíveis a aluos do esio básico: desigualdades uméricas evolvedo frações, fatorial; seqüêcias; progressão geométrica e maipulações algébricas básicas. 4 Segudo Lima (98), geeralizado este problema, se é emprestado um valor iicial (C) a uma taa percetual r,.t trascorridos t períodos de tempo, um ivestidor deverá receber de volta C. e, ode α = r/00.

9 9 A prova da irracioalidade do úmero de Euler se faz por absurdo. Supodo e = p/q, com p e q úmeros iteiros e q ão ulo. p De e , ode q <. q!! ( q )! q! ( q )!! Multiplicado-se por q!, membro a membro, obtém-se: p e q!! ( q )! q! ( q )! ( q )!! p q! q! q q.... q.( q )!... q!! ( q )! q! ( q ) ( q ).( q )! p.( q )... [ q! q! q q... q ] q ( q ).( q )! p.( q )... [ q! q! q q... q ]... q ( q ).( q )! No º membro (lado esquerdo) as parcelas são úmeros iteiros, pois q. No º membro (lado direito), as parcelas são frações e, aida, como q, implica em, e: q ; q ( q! ).( q ).... ( q ) vezes. ( q ) Daí, o º membro: , surge uma ( q ) q ( q ).( q )! progressão geométrica de ifiitas parcelas, º termo / e razão /. A soma destas parcelas é: a ( q ) q ( q ).( q )! q Portato, o úmero de Euler ão pode ser um úmero racioal. / / / / O úmero de Euler e a Hibérpole Eqüilátera (y ) Segudo O Coor e Robertso (00), em 647, Sait-Vicet calculou a área sob a hipérbole eqüilátera, a fução y = /, com >0, mas possivelmete ão a relacioou com os logaritmos. Posteriormete, em 66, Huyges eplicitou a relação etre a área mecioada e os logaritmos. Nessa época, os logaritmos eram etedidos como o resultado de cálculo e ão como fução. Provavelmete, há idícios que foi Jacob Beroulli ou James Gregory, o século XVII, que estabeleceu a relação etre a fução epoecial como o iverso da fução logarítmica.

10 0 Assim, de certo modo, a história do úmero de Euler situa-se um paralelo com a história do cálculo itegral e diferecial. Nos processos de calcular a área da hipérbole eqüilátera, Newto e Leibitz, o século XVII, se depararam com o úmero de Euler. Figura : O úmero de Euler correspode ao úico úmero positivo superior a, cuja área da região idicada correspode a uma uidade. A figura represeta graficamete a fução y, 0, e a área sob a curva represeta graficamete o logaritmo atural de um úmero real positivo. A fução y=/ é cotíua e suave, ou seja, ão tem os famigerados buracos, mesmo quado é irracioal. Eiste eatamete uma descotiuidade em = 0, mas como é apeas uma, pode-se lidar com isso o esio básico. Assim, o úmero de Euler represeta o valor da abscissa para o qual a área sob a fução y = / é uitária. Se a fução y=/ é cotíua em itervalos cotrolados, a área sob essa curva também é ser uma fução cotíua. Vários matemáticos tetaram, sem coseguir, calcular a área sob essa curva. Esse problema só foi resolvido com o adveto do cálculo. Como o esio básico o uso de cálculo é restrito, fica a apresetação do úmero de euler através da área uitária sob a curva y = / a uma abordagem coceitual. Podemos, etretato, calcular a área através de retâgulos iscritos e circuscritos a curva y =/, o que permite delimitar um itervalo para o úmero de euler, e, por aproimação, estimar um valor. Esta abordagem permite, assim, utilizar uma importate idéia do cálculo itegral: a obteção da área de uma figura pela aproimação da soma das áreas de retâgulos iscritos e circuscritos, com base tededo a zero. O úmero de Euler e o uso de meios eletrôicos Articulo as idéias apresetadas este teto com relação à possibilidade da utilização de certas ferrametas matemáticas, como as calculadoras eletrôicas. Um dos modos destacados pelos PCN, Brasil (998) para a promoção de sigificados esta disciplia se refere ao uso de calculadoras e plailhas eletrôicas, istrumetos motivadores que permitem cálculos mais rápidos, possibilitado modo mais eficiete em determiadas tarefas e ivestigações, abrido um leque para a costrução de sigificados de certos temas.

11 Machado (994) apota o descohecimeto da gêese e sigificado dos símbolos que se apresetam o teclado das calculadoras, tal como o úmero π e o úmero de Euler, detre outros. Outro fato importate, é que os usuários das calculadoras eletrôicas descohecem o fato de que esta realiza aproimações para o cálculo, que surge o mostrador deste istrumeto, do valor umérico dos úmeros irracioais (raízes ão eatas, úmero de Euler e π). Em sua pesquisa, Boomi (008) destaca o problema ocasioado pelas aproimações das calculadoras, que se ecotra associada à atureza material acarretada pela limitação de armazeameto da memória da máquia, que possui espaço reservado para um determiado úmero de casas decimais. Deste modo, a autora podera que a utilização cotidiaa das calculadoras, com a ierete limitação da memória e com o mostrador dispodo os úmeros a represetação decimal, iduz os aluos o trato dos úmeros como se todos fossem racioais, ão permitido compreeder a represetação das dízimas (periódicas e ão-periódicas) e em a atureza dos úmeros irracioais. Outro eemplo da limitação dos meios eletrôicos pode ser observado a aplicação da defiição do úmero de Euler como limite de uma sucessão, para valores cada vez maiores de, a sucessão proposta. Deve-se ter o cuidado de evitar algumas limitações ao utilizar recursos para aplicar a defiição do úmero de Euler. Um problema coceitual a Matemática, relativa a ordem das operações elemetares, surge o mauseio de plailhas eletrôicas. Para maior do que 0 7 e meor do que 0, o resultado é dado pela plailha com erro de 0-7. Acima de 0, o erro começa a aumetar até que o resultado se tora uitário a partir de 0 6. O que percebemos é que, obviamete, a plailha calcula iicialmete o úmero (+/), e depois o eleva a. Para >0 6, o resultado para / é tão pequeo que a plailha simplesmete o arredoda para zero, obtedo-se e=, pois o úmero elevado a qualquer úmero é também igual a. O gráfico da evolução do erro de cálculo de acordo com o aumeto de é ilustrado a seguir (AUGUSTO, 009, p.). y = (+/),5,707 4,444 5,488 0, , ,7694,0.0 6,7880,0.0 9,788,0.0,785496,0.0 5,050507,0.0 6 Figura : Erro apotado por plailha eletrôica, coforme Augusto (009).

12 O úmero de Euler e o problema do moleiro. O problema apresetado, a seguir, represeta ão somete uma particularidade, uma curiosidade, mas uma estratégia fudametal para se itroduzir o úmero de Euler. Um moleiro armazeou 00 sacas de trigo, de 00kg cada. O moleiro pretede trasportar tal carga, do armazém de sua casa até o moiho, que fica a 00 km de distâcia. Para tal faz uso de um burro, teimoso por atureza, que ão suporta mais de 00 kg. Porém, o burro, quado carregado, eige cosumir kg de trigo para cada quilômetro que percorre. Perguta-se: (a) Nos termos propostos, é possível trasportar toda a carga de trigo do armazém da casa do moleiro até o moiho? (b) Caso eista um posto comercial ao meio do camiho etre o armazém da casa do moleiro e o moiho, eistirá solução? (c) Caso eista solução, propoha um modo de maimizar a quatidade de trigo que o moleiro deve fazer chegar até o moiho. Despreze as massas das sacas (adaptado de VIEIRA, 008, p.). À primeira vista, o problema parece ão ter solução, pois cada viagem o burro cosome toda a carga trasportada. Há uma estratégia que o moleiro pode usar para aproveitar ao máimo o seu burro. Uma primeira solução seria é dividir o camiho de 00 km em duas partes igualmete separadas, como se eistisse um posto o meio do percurso. Etão, o burro faz várias viages, somete a ª parte do percurso (50 km), sobrado 00 sacos com 50 kg cada (metade da carga iicial). Ates de cotiuar o trasporte, o moleiro juta dois meios sacos para fazer um saco, de modo a costituir 50 sacos de 00kg. Ao fial das várias viages do posto até o moiho, restarão 50 sacos de 50 kg: //= /4 da carga iicial. Carga 00 sacos 00 sacos 50 sacos 00 kg 50 kg 5 kg Saída: km 0 Saída: km 0 Km 50 Km 00 Total kg kg.500 kg Rearrajo da carga a chegada 50 sacos 00 kg Fração da carga iicial / //= /4 Tabela 4: Solução para o problema do Moleiro, a divisão da distâcia em partes iguais E se dividíssemos o camiho em quatro partes iguais? Carga 00 sacos 00 sacos 75 sacos 56,5 sacos 4,9 sacos 00 kg 75 kg 75 kg 75 kg 75 kg Saída: km 0 Saída: km 0 Km 5 Km 50 Km 75 Km 00 Total kg kg 565 kg 48,75 kg 64,5 Rearrajo da carga a chegada 75 sacos 00 kg 56,5 sacos 00 kg 4,9 sacos 00 kg Fração da carga /4 /4/4= /4/4/4= /4/4/4/4= iicial (/4) (/4) (/4) Tabela 5: Solução para o problema do Moleiro, a divisão da distâcia em 4 partes iguais

13 Geeralizado, em itervalos igualmete espaçados sobrariam - da quatia iicial. Isto recai a essêcia do úmero de Euler: e ( ) ( ), ou aida: ( ) ( ), e quado tede a ifiito. Assim, quado é muito grade esta epressão aproima-se do valor /e = 0,678. Portato o máimo ele irá ficar com 678 kg de trigo. É claro que o esforço de todas estas parages (tato para o burro como para o moleiro que terá de fazer a trasferêcia do grão) pode ão compesar o grão que se poupa. Uma Visualização Geométrica do úmero de Euler. Cosideremos os itervalos I = [;]; 5 6 I ; ; 6 7 I ; ;!!!! I 4 65 ; 4! 66 4!, ou, de modo geral: o itervalo I = [a ;A ]. p Cada termo deste itervalo é dado por a =, obtido por q! trucameto da série e, aida, A = p. q! Por eemplo: ; A e [;]. a I Aida o valor do úmero de Euler correspode à itersecção dos ifiitos itervalos I, ou seja: I { e}. Geometricamete, isto pode ser visualizado, a figura 4. a ; A e I [ ; ].!!!!! a e!!!! A e I [ ; ].!!!! Figura 4: Uma represetação geométrica de e, através de itervalos ecaiates I = [a ;A ]. Cosiderações Fiais As várias possibilidades de abordagem do úmero de Euler, tema viculado à valorização da idéia de aproimação através de úmeros racioais, utilizadas em algumas áreas da ciêcia, como a Teoria dos Erros e o modero computador, permite eteder a etesão da tesão etre os cojutos dos Racioais e o cojuto dos Irracioais, que leva ecessariamete a questão de como admiistrá-la em favor do esio e da apredizagem em Matemática. Ecamihamos algumas possibilidades cosiderado o cohecimeto como rede de sigificações e a escolha de temas matemáticos que permitem eplorar a itradiscipliaridade como ferrameta que epõem a tesão os dois cojutos uméricos e admiistra tal cofluêcia articulado cohecimetos e idéias fudametais detro da própria Matemática.

14 Referêcias Bibliográficas AUGUSTO, A. Esses egeheiros fatásticos e suas calculadoras maravilhosas. Dispoível em: <http://alvaroaugusto.blogspot.com/007/0/esses-egeheiros-fatsticos-e-suas.html>. Acesso em: 8 ja BONOMI, Maria Cristia. Os úmeros irracioais e as calculadoras. São Paulo: SEMA/USP, sem 008. BRASIL. Secretaria de Educação e Tecologia do Miistério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacioais: Matemática. Brasília: SEMT/MEC FIGUEIREDO, Djairo G. Números Irracioais e Trascedetes. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 985. MACHADO, N. J. Matemática e Lígua Matera. São Paulo: Editora Cortez, 990. MAOR, Eli. e: A História de um Número. 5. ed. Trad. Jorge Calife. Rio de Jaeiro: Editora Record, 008. O CONNOR, J J; ROBERTSON, E.F. The umber e. Setembro, 00. Dispoível em: <http://www-history.mcs.st-adrews.ac.uk/histtopics/e.html>. Acesso em 9 out OLIVEIRA, H.; VARANDAS, J. M. O úmero e. Lisboa, Depto de Educação da Faculdade de Ciêcias Dispoível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/ icm/ icm99/icm7/umeroe.htm>. Acesso em:. ag SONDOW, Joatha. A Geometric Proof that e is Irratioal ad a Measure of its Irratioality. Dispoível em: <http://home.earthlik.et/~jsodow// ariv.org/ftp/ ariv/ papers/0704/ pdf> Acesso em: 9 ag. 00. VIEIRA, A. À procura do úmero e. Portugal, Istituto Tecológico e Nuclear, 008. Dispoível em: < 4

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