e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO"

Transcrição

1 e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO Ismaete Maria de Sousa Cuha Uiversidade Católica de Brasília RESUMO Este trabalho é um estudo sobre o Número e, que mostra o seu surgimeto em três épocas distitas. A primeira a atiguidade que os matemáticos já coheciam esse úmero e sua utilidade. A seguda o século XVII com o surgimeto da costrução do logaritmo. E fialmete com a iveção do cálculo diferecial e itegral o século XVIII. O trabalho mostra algumas características iteressates desse úmero, como sua irracioalidade e algus eemplos com sua aplicação. Palavras-chave: História da Matemática, O Número Irracioal e.. INTRODUÇÃO Ao logo do curso de Liceciatura em Matemática, tem se otado que grade parte das disciplias ão eplora a História da Matemática, que é tão importate, porque uma breve oção da história pode fazer com que o aluo teha um melhor aproveitameto as disciplias, pois, com isso ele vai saber como surgiu determiado assuto e para que ele serve. Eistem vários motivos para isso, sedo que um deles o modo esotérico e seco com que o tema é esiado. Temos a pretesão de sobrecarregar ossos estudates com fórmulas, defiições, teoremas e demostrações, mas raramete mecioamos e evolução histórica desses fatos, deiado a impressão de que eles foram etregues á humaidade como os Dez Madametos, por alguma autoridade divia. A história da Matemática é uma boa maeira de corrigir essa impressão. (Maor,994). Este fato também acotece com o Número Irracioal e, pois, apredemos a utilizá-lo sem um embasameto teórico adequado, ou seja, sem ter um cohecimeto de sua origem e de sua aplicação. Isso pode iflueciar o desempeho do aluo, como também a visão do que é a Matemática e para que ela serve. Ele só aprede como utilizá-la, e isso ão é suficiete, porque tem que ser um cojuto, saber utilizar e para que serve determiado assuto. Há vários fatores que cotribuem para que isso acoteça. Um deles é que as disciplias têm muitos coteúdos para serem eplorados e, às vezes ão é possível fazer as aplicações, coisa que é tão essecial a Matemática. Um outro fator é a falta de eploração por parte dos livros (autores). Assim, este estudo pretede cotribuir para o embasameto teórico e aplicações do úmero e, preechedo as lacuas eistetes os livros, possibilitado ao aluo um melhor aproveitameto as disciplias que se utilizam desse úmero. Fazedo um estudo sobre Liceciada do Curso de Matemática da Uiversidade Católica de Brasília.

2 esse úmero, pesquisado sua origem e aplicação os vários ramos do cohecimeto. Eplicitado o grau de importâcia que represeta a Matemática. Mostrar a sua Irracioalidade, a sua abragêcia e suas propriedades os coteúdos que o evolve. Idicado aplicações em vários ramos da Matemática.. HÍSTÓRICO DO NÚMERO e.. O Surgimeto do e a Atiguidade As origes do e ão são tão claras, mas há idícios de que já era cohecido pelos matemáticos pelo meos meio século ates da iveção do cálculo. Uma eplicação é de que teria aparecido primeiro ligado a uma fórmula para o cálculo de juros compostos. Alguém ão se sabe quem ou como, deve ter otado que se um capital P é composto de vezes por ao, durate t aos, a uma taa aual de juros r e se permitirmos que aumete sem limites, a soma do diheiro S, obtida a partir da fórmula S = P ( + r/) t. O limite parece se aproimar de,78. Fato que, provavelmete mais uma observação eperimetal do que uma dedução matemática assombrou os matemáticos o iício do século XII, pois a oção de limite ão era cohecida. Eemplo: Para um determiado capital P de valor R$, for composto vezes por ao, durate um ao sobre uma taa de juros de % ao ao. No fial qual será a soma S sedo que aumete sem limites A Quadro ilustra algus resultados. Capital - P Nº de vezes - Tempo - t Juros - r Soma - S Quadro Represetação de algus resultados da fórmula S = P ( + r/) t... Surgimeto do e o Logaritmo Joh Napier (55-67) foi um lorde escocês, homem muito culto e cohecedor das matemáticas da época. Evolveu-se a procura de um sistema que facilitasse a multiplicação de seos, mais tarde estedida a quaisquer úmeros. Esse trabalho estedeu-

3 se por mais de vite aos, ates de publicar seus resultados. Napier publicou sua obra em 64 o Mirifici Logarithmorum Caois Descriptio (Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos) que causou grade surpresa e etusiasmo, porque se tratava de técicas simplificadoras de resolução de problemas de cálculo umérico, problemas estes relacioados com o desevolvimeto do comércio e do progresso da avegação e pricipalmete astroomia. Para miimizar o uso das frações decimais, que ão era tão cohecida a época, Napier fez o que fazemos hoje quado dividimos um quilometro em mil metros, ele dividiu a uidade um grade úmero de subuidades, cosiderado cada uma como uma ova uidade. Napier chegou perto de descobrir o úmero /e defiido como limite de ( /) quado tete ao ifiito. A sua defiição de logaritmo equivale à equação N = 7 ( -7 ) L, etão o epoete L é o logaritmo de N. Se dividirmos N e L por 7, a equação se tora L E 7 N 7 é um valor muito próimo de /e. A pricípio ele chamou seus ídices de potêcias Números Artificiais, mas, mais tarde fez a composição de duas palavras gregas: logos (ou razão) e arithmos (ou úmeros). A obra de Napier evolvia de forma ão eplícita o úmero que hoje se desiga por e. Napier ão se apercebeu da importâcia do Número e só um século depois, com o desevolvimeto do cálculo, se veio a recohecer o papel relevate de tal úmero..3. O Surgimeto do e o Cálculo Algus autores afirmam que o cálculo foi ivetado por Isaac Newto e por Gottfried Wilhelm Leibiz durate a década de , mas a idéia cetral por trás do cálculo retrocede até a época dos atigos gregos. Arquimedes de Siracusa teria sido um dos primeiros a usar o coceito de limite para cálculo de áreas e volumes de várias formas plaas e sólidas. A realização de Arquimedes foi um marco a história da matemática e ficou cohecido como o Método da Eaustão. O Método da Eaustão chegou muito perto do cálculo itegral. Os gregos, apesar de terem obtido cohecimeto ão chegaram a desevolver o cálculo porque ão tiham o coceito de ifiito e ão possuíam uma boa liguagem da álgebra. A idéia de ifiito para os gregos era cosiderada um tabu e por isso era difícil aceitar o fato de que uma soma ifiita de úmeros possa covergir para um úmero fiito, ou seja, para um limite. Defiimos e como o úmero para o qual l e =. E queremos mostrar o e como um limite de lim. Se f() = l, etão a derivada de f é dada por f () = /; logo f () =. Vamos aplicar a defiição de derivada para ecotrar f (). Temos que: f f f ' lim

4 Uma vez que f () =, obtemos De maeira que l lim l l lim l lim l l lim lim lim e Eemplo: A série de potêcias (.3.).! Para quais valores de é covergete Para série dada, u! (.3.) e u (.3.3).! Aplicado o teste da razão, u! lim lim. lim u! (.3.4). Logo, a série de potêcias dada é absolutamete covergete para todos os valores de. Agora vamos mostrar que para todos os valores reais de 3 e (.3.5).!! 3!! Teste da Razão: Seja u uma série ifiita dada para a qual todo u é ão-ulo. Etão, (i) se lim L,a série dada é absolutamete covergete; u u u u u (ii) se lim L ou se lim, a série dada é divergete; u (iii) se lim, ehuma coclusão quato à covergêcia pode ser tirada do teste. u u

5 Como foi mostrado a série de potêcias é absolutamete covergete para todos os! valores de. Assim, se f for um fução defiida por f() = (.3.6)! o domíio de f será o cojuto de todos os úmeros reais; isto é, o itervalo de covergêcia será (-, + ). Do Teorema (o teorema e a demostração está em aeo), segue que para todos os valores reais de temos f ' (.3.7).! Uma vez que, isso pode ser escrito como:!! f ' f ' (.3.8).!! Das igualdades (.3.8) e (.3.7), f () = f() para todos os valores reais de. Assim sedo, a fução f satisfaz a equação diferecial 3 dy y (.3.9) d a qual, pelo Teorema (o teorema e a demostração está em aeo), tem como solução geral y = Ce. Logo para alguma costate C, f() = Ce. De (.3.7), f() =. Portato, C = ; assim, f() = e. 3. NOMENCLATURA Este úmero é deotado por e em homeagem ao matemático suíço Leohard Euler (77-783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse úmero. A paião de Euler pela matemática era tão forte que o levava, em um úico dia, a escrever vários trabalhos com uma matemática iovadora e egehosa, levado-o a uma de suas maiores realizações que foi o desevolvimeto do método dos algoritmos cuja fialidade era lidar com problemas aparetemete isolúveis. Suas cojeturas são ousadas, ão hesitado em sugerir questões difíceis, sem apresetar, porém, idicações quato ao meio de atacá-las. De 77 a 783 Euler esteve ocupado aumetado os cohecimetos dispoíveis em quase todos os ramos da matemática pura e aplicada, dos mais elemetares aos mais avaçados. Escrevia a liguagem e otação que usamos hoje, pois ehum outro foi tão grademete resposável pela forma da matemática do ível uiversitário de hoje quato Euler, o costruidor de otações mais bem-sucedido em todos os tempos. Em 77 ele havia estado ocupado com eperiêcias sobre disparo de cahões e uma eposição mauscrita de seus resultados, usava a letra e mais de uma dúzia de vezes para represetar a base do sistema de logaritmos aturais. O coceito por trás desse úmero era 3 Equação Diferecial é uma equação que relacioa uma fução e suas derivadas

6 bem cohecido desde a iveção dos logaritmos. Um século ates, o etato, ehuma otação padroizada para ele se torou comum. Numa carta a Goldbach, em 73 Euler ovamete usou a letra e para aquele úmero cujo logaritmo hiperbólico =. Este apareceu impresso pela primeira vez a Mechaica de Euler de 736. Essa otação, sugerida talvez pela primeira letra da palavra epoecial, logo se torou padrão. 4. O NÚMERO e É IRRACIONAL Os Números Irracioais são aqueles que ão se pode epressar como fração de úmeros iteiros, cuja represetação decimal é sempre ifiita e ão-periódica, que pode ser obtida por aproimações sucessivas. Eemplo: O úmero irracioal logo,4,5 logo,4, 5,4,44,44,4 logo,4, 4,45 logo,44, 45,443 logo,44, 443 e assim por diate. Ates de demostrar que e é irracioal é ecessário rever algus coceitos. A seqüêcia cujo termo geral é a!!! (4.) é crescete e limitada, pois a! 3 (4.). Cosideremos a seqüêcia cujo termo geral é b = ( + /) = [( +)/]. Pela fórmula do biômio:. b!!.! 3!! (4.3) Logo b é uma soma de parcelas positivas, o úmero de parcelas cresce com. Portato a seqüêcia (b ) é crescete e b < a. Segue-se que b < 3 para todo N. Afirma-se que lim b = lim a = e, quado > p vale b p.!! p (4.4) Fiado arbitrariamete p N e fazedo a desigualdade acima obtem-se lim b! p! a p. (4.5).

7 Como esta desigualdade vale para todo p N, segue-se que lim b lim a e. p p Mas já vimos que b < a para todo N. Logo lim b lim a. O que prova que lim b = e. Escreveremos e = lim b, esse úmero é uma das costates mais importates da Aálise Matemática. E está o itervalo de < e 3, o dado a seguir mostra valor epresso com 4 dígitos: e, Demostração da Irracioalidade do e: Gráfico - Represetação gráfica da fução f para > Cosiderado o úmero e como a soma de uma seqüêcia ifiita de termos, temos: e (4.6).!! Vamos admitir que e fosse um úmero racioal. Etão e = p/q, ode p, q N, são primos etre si. De (4.6) segue-se p. (4.7). q!! q! j q j! Agora, faremos uma estimativa do segudo membro de (4.7):.!!! (4.8). j q j q q q q q q q A epressão etre parêtese o último membro de (4.8) é uma série geométrica da forma r, a qual para r, tem soma igual a r/( r). Usado esse fato em (4.8) obtemos: j q j! q! q (4.9).

8 Voltado a (4.7) com a estimativa (4.9) temos: p (4.) q!! q! q! q e daí p q!. (4.). q!! q! q Agora, observe (4.). O termo do meio é iteiro, pois q! cacela todos os deomiadores das frações aí presetes. Mas isso é impossível, pois sedo /q a epressão (4.) diria que o termo médio é um iteiro positivo estritamete meor que. O absurdo provém da hipótese feita iicialmete que e fosse um úmero racioal. Logo e é irracioal. 5. O NÚMERO e É TRANSCENDENTE A solução da equação poliomial da forma a + a a + a =, ode os coeficietes a i com i =,,..., são racioais. Essas soluções são chamadas de úmeros algébricos. Eemplos: a) Toda equação da forma q p =, ode p e q são racioais tem como solução = p/q que é um úmero algébrico. b) A solução da equação tem como solução os úmeros algébricos ±. Os Números Trascedetes são aqueles que ão podem ser raízes de poliômios de coeficietes racioais, ou seja, os úmeros que ão são algébricos são chamados de trascedetal, um termo cuhado por Euler para descrever úmeros como o e e p, que pareciam trasceder (ir além) os métodos algébricos. Em cotraste com os Números Irracioais, cuja descoberta surgiu de um problema a geometria, os primeiros úmeros trascedetais, foram criados com o objetivo de mostrar que tais úmeros eistiam. Quado este objetivo foi alcaçado, a ateção se voltou para o e e p, que já eram cohecidos e já tiham demostrado sua irracioalidade. Joha Heirich Lambert (78 777) provou que e ão pode ser solução de uma equação quadrática com coeficietes iteiros, o que ão foi suficiete para mostrar que era trascedete, ou seja, provar que e ão é solução de ehuma equação poliomial com coeficietes racioais. A trascedêcia do e foi mostrada por Charles Hermite (8-9), que foi publicada em 873 em um esaio de mais de trita págias. A Trascedêcia de e foi um desafio aos matemáticos até o século XIX. Em 873, o matemático fracês C. Hermite marcou época ao demostrar a trascedêcia de e, em uma série de otas publicadas o Comptes Redus de Académie des Scieces de Paris. A demostração origial de Hermite sofreu simplificações sucessivas por matemáticos famosos como Jorda (88), Markhoff (883), Rouché (883), Weierstrass (885), Hilbert (893). Hurwitz (893) e Veble (94), etre outros. (Figueiredo, ) A demostração da Trascedêcia do úmero e ão é fácil e evolve vários coceitos do Cálculo e da Álgebra Modera. Ela está como sugestão de eercícios o livro Números

9 Irracioais e Trascedetes (Djairo Guedes de Figueiredo p. 9). E a demostração completa está o livro Álgebra Modera (Herstei p. 7) que evolve vários teoremas, e coteúdos que está fora do alcace deste trabalho. Deio como sugestão para próimos trabalhos uma pesquisa especifica sobre a Trascedêcia do Número e. 6. ALGUMAS APLICAÇÕES O úmero e aparece a resolução de equações em que as icógitas aparecem em epoete. É importate em quase todas as áreas do cohecimeto: ecoomia, egeharia, biologia, sociologia. Uma aplicação em Juro composto: Se P reais são depositados em uma cota com uma taa aual de juro de r (em forma decimal), qual é o motate ao térmio de um ao A resposta depede do úmero de r vezes que o juro é composto, de acordo com a fórmula A, ode é o úmero de composições por ao. A tabela abaio dá o motate para um depósito de R$, a 8%, para vários períodos de composição. Freqüêcia da composição por ao, Saldo (reais), A,8 Aualmete, = A P R$8,,8 Semestralmete, = A P R$8, 6 Trimestralmete, = 4,8 A P 4 4 R$8,43 Mesalmete, = Diariamete, = 365,8 A P 365,8 A P 365 R$83, R$83,8 Quadro Represetação de algus resultados da fórmula A = P( + /). Pode parecer estraho que, quado aumeta, o motate A teda para um limite, coforme idicado o desevolvimeto a seguir. Nele, façamos = r/. Etão, quado, e temos:

10 r r lim r Pe. r r r Substituir A lim P Plim P r/ por Este limite é o motate após um ao de composição cotíua. Assim, para um depósito de R$, a 8%, composto cotiuamete, o motate ao fim do ao seria A = e,8 83,9. Determiação do Motate de uma Cota Uma pessoa está criado um fudo para o filho recém-ascido. Para isso, deposita R$5., em uma cota, que só deve ser liberada quado o filho completar 8 aos. Compare os saldos os seguites casos. a) 6%, composto cotiuamete Como a fórmula do composto cotiuamete é,6 8 A 5.e rt A Pe, temos: R$73.66,99 b) 6%, composto trimestralmete Como o composto vezes por ao é t r A P, temos: 8.6 A R$477.63,6 c) %, composto cotiuamete rt Como a fórmula do composto cotiuamete é A Pe, temos:,8 A 5.e R$5.4,87 d) %, composto trimestralmete Como o composto vezes por ao é t r A P, temos: Com os resultados obtidos, percebemos que há uma difereça grade etre os motates (A) a 6% e a %. Lei do Crescimeto e Decaimeto Epoecial Se y é uma gradeza cuja taa de variação em relação ao tempo é proporcioal à kt quatidade presete em um istate arbitrário t, etão y é da forma y Ce, ode C é o valor iicial e k é a costate de proporcioalidade. O crescimeto epoecial é idicado por k >, e o decaimeto epoecial por k <. Demostração: Como a taa de variação de y é proporcioal a y, podemos escrever 4 8. A 5. R$47.93,7 4

11 dy dt ky Vê-se que kt y Ce é uma solução desta equação; difereciado para obter kt kt e fazedo a substituição temos que: kce h Ce ky dy dt. dy dt kt kce Um modelo de Crescimeto Populacioal Numa pesquisa, uma população de determiado iseto está crescedo de acordo com a lei de crescimeto epoecial. Após 3 dias, há isetos, e após 6 dias, há 5 isetos. Quatos isetos haverá após 8 dias kt Como a fórmula do Crescimeto Epoecial é y Ce, quado k >, ode t é o tempo, y uma gradeza de taa de variação em relação ao tempo, C é o valor iicial e k é a costate de proporcioalidade. Sabemos que y = quado t = 3 e y = 6 quado t = 6. Levado os dados o modelo kt y Ce, vem: Ce 3k e 6 Ce 6k. Par resolver em relação à k, resolvemos primeiro em relação a C a primeira equação, levado resultado a seguda equação. Ce e Como k l 3, 5493, obtemos C 38, 497. Assim, o modelo de,5493 e 3,5493t crescimeto epoecial é y 38,497e. Isto implica que, após 8 dias, a população é Aalisado uma Cateária 6 C 3k e l 3 k 6 Ce 8,5493 y 38,497e 3. isetos. Quado um fio telefôico é distedido etre dois postes, toma a forma de uma curva em U chamada Cateária é dada pela fução: y m e e, m m (m é a massa e é a distâcia)., 3 3é o modelo de um fio telefôico distedido etre dois postes separados por uma distâcia de 6 metros (y e em metros). Mostre que o poto mais baio o fio está a meio camiho etre os dois postes. Quado o fio cai etre os dois postes 6 6 Por eemplo, a fução: y 3 e e 3k k l A derivada da fução é y' 3 e e e e. 6 6 Para achar os potos críticos, igualamos à derivada a zero. 6k k 6 e 3k e 6k

12 6 e 6 e igualar a derivada a zero 6 6 e e multiplicar ambos os membros por 6 e 6 e 6 somar e a ambos os membros a b se e e, etão a = b 6 6 = - multiplicar ambos os membros por 6 = somar a ambos os membros = dividir ambos os membros por Para determia quato o fio cai etre os dois postes, comparamos sua altura em cada poste com a altura o poto médio. e e 67, metros 6 6 y 3 7 e e metros e e 67, metros y 3 6 y 3 7 Logo, o fio cai cerca de 7,7 metros. 7. CONSIDARAÇÕES FINAIS altura o poste esquerdo altura o poto médio altura o poste direito O objetivo deste trabalho foi alcaçado mostrado de forma clara e precisa sobre o Número e, sua eistêcia e sua aplicação. O mais importate deste trabalho foi a apredizagem cietífica de como coletar iformações em vários livros e depois por os assutos em forma croológica e de fácil etedimeto. Elaborar um trabalho desse ível requer muitas horas de pesquisa, mas valeu apeas. Quado me decidi pelo assuto sabia que ão seria fácil, porque eu ão cohecia praticamete ada sobre ele, vim saber que ele eistia e apreder apeas a utilizá-lo a uiversidade. Não sabia em o que era um Número Trascedete. Quado pesquisava sobre o assuto fui preechedo algumas lacuas que ficaram durate o decorrer do curso. Na realização deste percebi o quato é importate ates de esiar algum coteúdo, seja ele qual for, a oção de história, pois é através dela que temos a oção do quato é importate apreder e saber utilizar o que está sedo esiado. O que fiz foi apeas o começo, o poto de partida para ovas pesquisas. Espero que este se tore um poto de apoio para ovos trabalhos sobre esse úmero que é tão fasciate. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelso; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fudametos de Matemática Elemetar: Logaritmos. São Paulo: Atual Editora, 8ª edição, 993. MAOR, Eli. e: A História de um Número. Tradução: Jorge Calife. Rio de Jaeiro: Editora Record, 3. FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Números Irracioais e Trascedetes. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática SBM, 3ª edição,. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Um: Cojutos, Fuções e Trigoometria. São Paulo: FDT, 99. LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Aalítica Um. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 994. LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Aalítica Dois. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 994.

13 LIMA, Elo Lages. Aálise Real, Volume. Istituto Nacioal de Matemática Pura e Aplicada IMPA: Rio de Jaeiro, 7ª edição, 4. BOYER, Carl B.. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, ª edição, 996. LARSON, Rolad E.; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H.. Cálculo com Aplicações. Tradução: Alfredo Alves de Farias. Rio de Jaeiro: LTC, 4ª edição,998. THOMAS, George B.; FINNEY, Ross L.;WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frak R.. Cálculo, Volume. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: Addiso Wesley, ª edição,3. LANG, Serge. Estruturas Algébricas. Rio de Jaeiro: Ao Livro Técico S.A. 97. HERSTEIN, I. N.. Álgebra Modera. Méico: Editora F. Trillas S.A., 97. WHITE, A. J.. Aálise Real: uma Itrodução. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar Blücher, 973. Joh Napier. Dispoível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm7/apier.htm >acesso em: 4 de ovembro de 4. Fução Epoecial. Dispoível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matemática/médio/epolog/espoec.htm> acesso em: 4 de ovembro de 4. Fução Epoecial. Dispoível em: <http://www.epoete.com.br/professores/kalike/estudo/epoeciais.htm> acesso em: 4 de ovembro de 4. Euler. Dispoível em:<http://users.hotlik.com.br/marielli/matematica/geiomat/euler.htm> acesso em: 4 de ovembro de 4. A História do Número Trascedetal. Dispoível em:<http://www.umote.br/ews/56.asp >acesso em: 6 de ovembro de 4. Algus são mais irracioais que outros... Dispoível em: < >acesso em: 6 de ovembro de 4. Números irracioais. Dispoível em: < acesso em: 6 de ovembro de 4. O Número e (Número de Neper). Dispoível em: < acesso em: 6 de ovembro de 4.

14 ANEXO

15 Teorema : Seja c uma série de potêcias cujo raio de covergêcia é R >. Etão, se f for a fução defiida por f() = c f () eistirá para todo o itervalo aberto (- R, + R), sedo dada por f () = c Demostração: Seja qualquer úmero o itervalo aberto (-R, R). Etão < R. Selecioamos um úmero tal que < < R. Como < R, c é covergete. Logo, lim c. Assim, se tomarmos =, eistirá um úmero N >, tal que se > N, etão c. Seja M o maior dos úmeros c c, c,, c N, N. Etão c M para todo iteiro positivo (3.). Agora c c c... De (3.) e da equação aterior M c (3.). M Se o teste da razão for aplicado à série etão lim u lim. lim, 3 (3.3) u. Assim sedo, a série (3.3) é absolutamete covergete; logo de (3.) e do teste da comparação, segue que a série c também é absolutamete covergete. Como é qualquer úmero em (-R, R), segue que se o raio de covergêcia de c for R, etão R R. Para complemetar a demostração precisamos mostrar que R ão pode ser maior do que R. Vamos supor que R > R e seja um úmero tal que R < < R. Como > R segue que c é divergete (3.4). Como > R, segue que c c c e assim, do teorema 3, for qualquer iteiro positivo, é absolutamete covergete. Além disso, c c c c (3.5) será covergete se. Dessa desigualdade, da afirmação (3.5) e do teste de comparação, segue que c é covergete. Logo, a

16 série c é covergete, o que cotradiz o resultado (3.4). Assim sedo, a hipótese de que R > R é falsa. Logo, R ão pode ser maior do que R; e como foi mostrado que R R., segue que R = R, o que prova o teorema. Teorema : Supoha que y seja uma fução cotíua de t com y > para todo t. Além disso, dy ky ode k é uma costate e y = y quado t =. Etão y = y e kt. d Demostração: Se o tempo for represetado por t uidades e se y uidade represetar o dy total da quatidade presete em qualquer istate, etão ky ode k é uma costate e d y > para todo t. Se y cresce com o aumeto de t, etão k > e temos a lei de crescimeto atural. Se y decresce quado t aumeta etão k < e temos a lei do decaimeto atural. Se por defiição y for um iteiro positivo, vamos supor que y possa ser um úmero real qualquer para que y seja uma fução cotiua de t. Vamos supor um modelo matemático evolvedo a lei de crescimeto ou decaimeto atural e a codição dy iicial de que y = y quado t =. A equação diferecial é ky. Separado as d dy variáveis, obtemos kdt. Itegrado, teremos y dy kt c c kt k dt l y kt c y e y e. e y. Tomado e c kt = C temos y Ce, kt e como y é positivo, podemos omitir as barras de valor absoluto, restado assim y Ce. Como y = y quado t =, obtemos C = y. Etão, y = y e kt. Teorema 3: Seja c uma costate ão-ula. (i) Se a série u for covergete e sua soma for S, etão a série cu também será covergete e sua soma será c. S. (ii) Se a série u for divergete, etão a série cu também será divergete. Demostração: Seja S a -ésima soma parcial da série A -ésima soma parcial da série u for covergete, etão eiste o Assim sedo, a u. Etão, S = u + u u. cu é c(u + u u ) = c S. Prova de (i): Se a série lim s e será S. Logo, lim cs c lim s c.s. cu é covergete e sua soma é c.s. Prova de (ii) Se a série u for

17 divergete, etão ão eistirá lim s. Supoha que a série cu seja covergete. Etão lim cs eiste. Como s = cs /c, segue que lim s deve eistir, o que é uma cotradição. Portato, a série lim s lim cs lim c c cs cu é divergete.. Logo, Teste da Comparação: Seja (i) Se u uma série de termos positivos. v for uma série de termos positivos que sabemos ser covergetes e se para todo iteiro positivo, etão u será covergete. u v (ii) Se w for uma série de termos positivos que sabemos ser divergetes e se para todo iteiro positivo, etão u será divergete. u w

Séries de Potências AULA LIVRO

Séries de Potências AULA LIVRO LIVRO Séries de Potêcias META Apresetar os coceitos e as pricipais propriedades de Séries de Potêcias. Além disso, itroduziremos as primeiras maeiras de escrever uma fução dada como uma série de potêcias.

Leia mais

somente um valor da variável y para cada valor de variável x.

somente um valor da variável y para cada valor de variável x. Notas de Aula: Revisão de fuções e geometria aalítica REVISÃO DE FUNÇÕES Fução como regra ou correspodêcia Defiição : Uma fução f é uma regra ou uma correspodêcia que faz associar um e somete um valor

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I

MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I 00 MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I TEXTO DE APOIO MARIA ALICE FILIPE ÍNDICE NOTAS PRÉVIAS ALGUNS CONCEITOS SOBRE SÉRIES6 NOTAS PRÉVIAS As otas seguites referem-se ao maual adoptado: Cálculo, Vol I James

Leia mais

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br Disciplia: Séries e Equações Difereciais Ordiárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br Ambiete Virtual de Apredizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N Estudaremos este capítulo as equações diereciais lieares de ordem, que são de suma importâcia como suporte matemático para vários ramos da egeharia e das ciêcias.

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demostração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagia10.com.br Matemática comercial & fiaceira - 2 4 Juros Compostos Iiciamos o capítulo discorredo sobre como

Leia mais

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS INTRODUÇÃO TEORI DE CONJUNTOS Professora Laura guiar Cojuto dmitiremos que um cojuto seja uma coleção de ojetos chamados elemetos e que cada elemeto é um dos compoetes do cojuto. Geralmete, para dar ome

Leia mais

Módulo 4 Matemática Financeira

Módulo 4 Matemática Financeira Módulo 4 Matemática Fiaceira I Coceitos Iiciais 1 Juros Juro é a remueração ou aluguel por um capital aplicado ou emprestado, o valor é obtido pela difereça etre dois pagametos, um em cada tempo, de modo

Leia mais

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x.

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x. 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4.: Defiição e coceitos básicos Defiição.: Uma equação diferecial ordiária é uma dy d y equação da forma f,,,, y = 0 ou d d ( ) f (, y, y,, y ) = 0, evolvedo uma fução icógita

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA. Ano 1º Semestre 1º. Teóricas

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA. Ano 1º Semestre 1º. Teóricas Departameto Gestão Disciplia Matemática I Curso Gestão de Empresas Ao 1º Semestre 1º Grupo Docete Resposável Teóricas Carga horária semaal Teórico Práticas Nuo Coceição 3h 3h/5h Práticas/ Lab. Semiários

Leia mais

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas.

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas. !"$# &%$" ')( * +-,$. /-0 3$4 5 6$7 8:9)$;$< =8:< > Deomiaremos equação diofatia (em homeagem ao matemático grego Diofato de Aleadria) uma equação em úmeros iteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos

Leia mais

Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries

Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries Departameto de Matemática - Uiversidade de Coimbra Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Exercícios Teórico-Práticos 200/20 Capítulo : Sucessões e séries. Liste os primeiros cico termos de cada uma das sucessões

Leia mais

Tabela Price - verdades que incomodam Por Edson Rovina

Tabela Price - verdades que incomodam Por Edson Rovina Tabela Price - verdades que icomodam Por Edso Rovia matemático Mestrado em programação matemática pela UFPR (métodos uméricos de egeharia) Este texto aborda os seguites aspectos: A capitalização dos juros

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS, HOMOGÊNEAS, EXATAS, FATORES

Leia mais

O erro da pesquisa é de 3% - o que significa isto? A Matemática das pesquisas eleitorais

O erro da pesquisa é de 3% - o que significa isto? A Matemática das pesquisas eleitorais José Paulo Careiro & Moacyr Alvim O erro da pesquisa é de 3% - o que sigifica isto? A Matemática das pesquisas eleitorais José Paulo Careiro & Moacyr Alvim Itrodução Sempre que se aproxima uma eleição,

Leia mais

APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS

APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS Miistério do Plaejameto, Orçameto e GestãoSecretaria de Plaejameto e Ivestimetos Estratégicos AJUSTE COMPLEMENTAR ENTRE O BRASIL E CEPAL/ILPES POLÍTICAS PARA GESTÃO DE INVESTIMENTOS PÚBLICOS CURSO DE AVALIAÇÃO

Leia mais

Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros.

Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros. Módulo 4 JUROS COMPOSTOS Os juros compostos são cohecidos, popularmete, como juros sobre juros. 1. Itrodução Etedemos por juros compostos quado o fial de cada período de capitalização, os redimetos são

Leia mais

O número de Euler: Possíveis abordagens no ensino básico.

O número de Euler: Possíveis abordagens no ensino básico. Semiários de Esio de Matemática/ SEMA FEUSP Coordeação: Profº Drº Nilso José Machado O úmero de Euler: Possíveis abordages o esio básico. agosto/00 Itrodução Wager M. Pommer wmpommer@usp.br A grade maioria

Leia mais

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA I ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volume Por : Gregório Luís I PREFÁCIO O presete teto destia-se a

Leia mais

Problema de Fluxo de Custo Mínimo

Problema de Fluxo de Custo Mínimo Problema de Fluo de Custo Míimo The Miimum Cost Flow Problem Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo O Problema de Fluo de Custo Míimo (The Miimum Cost Flow Problem) Este problema possui papel pricipal etre

Leia mais

a taxa de juros i está expressa na forma unitária; o período de tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade de tempo.

a taxa de juros i está expressa na forma unitária; o período de tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade de tempo. UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5151 MATEMÁTICA FINACEIRA I PROF. FERNANDO GUERRA. UNIDADE 3 JUROS COMPOSTOS Capitalização composta. É aquela em que a taxa de juros icide sempre sobre o capital

Leia mais

Sistema Computacional para Medidas de Posição - FATEST

Sistema Computacional para Medidas de Posição - FATEST Sistema Computacioal para Medidas de Posição - FATEST Deise Deolido Silva, Mauricio Duarte, Reata Ueo Sales, Guilherme Maia da Silva Faculdade de Tecologia de Garça FATEC deisedeolido@hotmail.com, maur.duarte@gmail.com,

Leia mais

Uma abordagem histórico-matemática do número pi (π )

Uma abordagem histórico-matemática do número pi (π ) Uma abordagem histórico-matemática do úmero pi (π ) Brua Gabriela Wedpap, Ferada De Bastiai, Sadro Marcos Guzzo Cetro de Ciêcias Exatas e Tecológicas UNIOESTE Cascavel - Pr. E-mail: bruagwedpap@hotmail.com

Leia mais

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades:

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades: CURTOSE O que sigifica aalisar um cojuto quato à Curtose? Sigifica apeas verificar o grau de achatameto da curva. Ou seja, saber se a Curva de Freqüêcia que represeta o cojuto é mais afilada ou mais achatada

Leia mais

J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode

J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode 9 Diagramas de Bode 9. Itrodução aos diagramas de Bode 3 9. A Fução de rasferêcia 4 9.3 Pólos e zeros da Fução de rasferêcia 8 Equação característica 8 Pólos da Fução de rasferêcia 8 Zeros da Fução de

Leia mais

O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li

O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li Média Aritmética Simples e Poderada Média Geométrica Média Harmôica Mediaa e Moda Fracisco Cavalcate(f_c_a@uol.com.br)

Leia mais

VII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

VII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem VII Equações Difereciais Ordiárias de Primeira Ordem Itrodução As equações difereciais ordiárias são istrumetos esseciais para a modelação de muitos feómeos proveietes de várias áreas como a física, química,

Leia mais

Aula 2 - POT - Teoria dos Números - Fabio E. Brochero Martinez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldanha Eduardo Tengan

Aula 2 - POT - Teoria dos Números - Fabio E. Brochero Martinez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldanha Eduardo Tengan Aula - POT - Teoria dos Números - Nível III - Pricípios Fabio E. Brochero Martiez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldaha Eduardo Tega de Julho de 01 Pricípios Nesta aula apresetaremos algus

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M10 Progressões. 1 (UFBA) A soma dos 3 o e 4 o termos da seqüência abaixo é:

Matemática. Resolução das atividades complementares. M10 Progressões. 1 (UFBA) A soma dos 3 o e 4 o termos da seqüência abaixo é: Resolução das atividades complemetares Matemática M0 Progressões p. 46 (UFBA) A soma dos o e 4 o termos da seqüêcia abaio é: a 8 * a 8 ( )? a, IN a) 6 c) 0 e) 6 b) 8 d) 8 a 8 * a 8 ( )? a, IN a 8 ()? a

Leia mais

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu Programação Diâmica Aula 3: Programação Diâmica Programação Diâmica Determiística; e Programação Diâmica Probabilística. Programação Diâmica O que é a Programação Diâmica? A Programação Diâmica é uma técica

Leia mais

Capitulo 6 Resolução de Exercícios

Capitulo 6 Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Cojutos Equivaletes o Regime de Juros Simples./Vecimeto Comum. Descoto Racioal ou Por Detro C1 C2 Cm C1 C2 C...... 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 m 1 2 m C Ck 1 i 1 i k1 Descoto Por Fora ou Comercial

Leia mais

CPV seu Pé Direito no INSPER

CPV seu Pé Direito no INSPER CPV seu Pé Direito o INSPE INSPE esolvida /ovembro/0 Prova A (Marrom) MATEMÁTICA 7. Cosidere o quadrilátero coveo ABCD mostrado a figura, em que AB = cm, AD = cm e m(^a) = 90º. 8. No plao cartesiao da

Leia mais

PG Progressão Geométrica

PG Progressão Geométrica PG Progressão Geométrica 1. (Uel 014) Amalio Shchams é o ome cietífico de uma espécie rara de plata, típica do oroeste do cotiete africao. O caule dessa plata é composto por colmos, cujas características

Leia mais

Prova 3 Matemática ... GABARITO 1 NOME DO CANDIDATO:

Prova 3 Matemática ... GABARITO 1 NOME DO CANDIDATO: Prova 3 QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Cofira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que costam da etiqueta fixada

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Notas de aulas Gereciameto do Empreedimeto de Egeharia Egeharia Ecoômica e Aálise de Empreedimetos Prof. Márcio Belluomii Moraes, MsC CONCEITOS BÁSICOS

Leia mais

O poço de potencial infinito

O poço de potencial infinito O poço de potecial ifiito A U L A 14 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial V(x) que tem a forma de um poço ifiito: o potecial é ifiito para x < a/ e para x > a/, e tem o valor

Leia mais

5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Itegrar umericamete uma fução y f() um dado itervalo [a, b] é itegrar um poliômio P () que aproime f() o dado itervalo. Em particular, se y f()

Leia mais

M = C (1 + i) n. Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:

M = C (1 + i) n. Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples: PEDRO ORBERTO JUROS COMPOSTOS Da capitalização simples, sabemos que o redimeto se dá de forma liear ou proporcioal. A base de cálculo é sempre o capital iicial. o regime composto de capitalização, dizemos

Leia mais

Equações Diferenciais (ED) Resumo

Equações Diferenciais (ED) Resumo Equações Difereciais (ED) Resumo Equações Difereciais é uma equação que evolve derivadas(diferecial) Por eemplo: dy ) 5 ( y: variável depedete, : variável idepedete) d y dy ) 3 0 y ( y: variável depedete,

Leia mais

ActivALEA. ative e atualize a sua literacia

ActivALEA. ative e atualize a sua literacia ActivALEA ative e atualize a sua literacia N.º 29 O QUE É UMA SONDAGEM? COMO É TRANSMIITIIDO O RESULTADO DE UMA SONDAGEM? O QUE É UM IINTERVALO DE CONFIIANÇA? Por: Maria Eugéia Graça Martis Departameto

Leia mais

ANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição NOV 2013

ANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição NOV 2013 ANDRÉ REIS MATEMÁTICA TEORIA 6 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Adré Reis Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição NOV 0

Leia mais

Estatística stica para Metrologia

Estatística stica para Metrologia Estatística stica para Metrologia Aula Môica Barros, D.Sc. Juho de 28 Muitos problemas práticos exigem que a gete decida aceitar ou rejeitar alguma afirmação a respeito de um parâmetro de iteresse. Esta

Leia mais

A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shine - Colégio Etapa

A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shine - Colégio Etapa A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shie - Colégio Etapa Artigo baseado em aula miistrada a IV Semaa Olímpica, Salvador - BA Nível Iiciate. A Torre de Haói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares.

Leia mais

Introdução ao Estudo de Sistemas Lineares

Introdução ao Estudo de Sistemas Lineares Itrodução ao Estudo de Sistemas Lieares 1. efiições. 1.1 Equação liear é toda seteça aberta, as icógitas x 1, x 2, x 3,..., x, do tipo a1 x1 a2 x2 a3 x3... a x b, em que a 1, a 2, a 3,..., a são os coeficietes

Leia mais

Secção 9. Equações de derivadas parciais

Secção 9. Equações de derivadas parciais Secção 9 Equações de derivadas parciais (Farlow: Sec 9 a 96) Equação de Derivadas Parciais Eis chegado o mometo de abordar as equações difereciais que evolvem mais do que uma variável idepedete e, cosequetemete,

Leia mais

UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER

UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER X Ecotro Nacioal de Educação Matemática UM NOVO OLHA PAA O TEOEMA DE EULE Iácio Atôio Athayde Oliveira Secretária de Educação do Distrito Federal professoriacio@gmail.com Aa Maria edolfi Gadulfo Uiversidade

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Gilmar Boratto Material de apoio para o curso de Admiistração. ÍNDICE CONCEITOS BÁSICOS...- 2-1- CONCEITO DE FLUXO DE CAIXA...- 2-2-A MATEMÁTICA FINANCEIRA E SEUS OBJETIVOS...-

Leia mais

Matemática Em Nível IME/ITA

Matemática Em Nível IME/ITA Caio dos Satos Guimarães Matemática Em Nível IME/ITA Volume 1: Números Complexos e Poliômios 1ª Edição São José dos Campos 007 SP Prefácio O livro Matemática em Nível IME/ITA tem como objetivo ão somete

Leia mais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (III ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Ídice Itrodução Aplicação do cálculo matricial aos

Leia mais

Cálculo Financeiro Comercial e suas aplicações.

Cálculo Financeiro Comercial e suas aplicações. Matemática Fiaceira Uidade de Sorriso - SENAC M, Prof Rikey Felix Cálculo Fiaceiro Comercial e suas aplicações. Método Algébrico Parte 0 Professor Rikey Felix Edição 0/03 Matemática Fiaceira Uidade de

Leia mais

NOTAS DE AULA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

NOTAS DE AULA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON SALVADOR BA 6 Ifiitos e idivisíveis trascedem osso etedimeto fiito, o primeiro por cota de sua magitude, o segudo pela sua pequeez; imagie o que eles

Leia mais

CONCURSO PÚBLICO 2013 MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 146 QUESTÕES POR TÓPICOS. 1ª Edição JUN 2013

CONCURSO PÚBLICO 2013 MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE D TEORIA E 146 QUESTÕES POR TÓPICOS. 1ª Edição JUN 2013 CONCURSO PÚBLICO 01 FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL UFMS MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 16 QUESTÕES POR TÓPICOS Coordeação e Orgaização: Mariae dos Reis 1ª Edição

Leia mais

Modelando o Tempo de Execução de Tarefas em Projetos: uma Aplicação das Curvas de Aprendizagem

Modelando o Tempo de Execução de Tarefas em Projetos: uma Aplicação das Curvas de Aprendizagem 1 Modelado o Tempo de Execução de Tarefas em Projetos: uma Aplicação das Curvas de Apredizagem RESUMO Este documeto aborda a modelagem do tempo de execução de tarefas em projetos, ode a tomada de decisão

Leia mais

M = 4320 CERTO. O montante será

M = 4320 CERTO. O montante será PROVA BANCO DO BRASIL / 008 CESPE Para a veda de otebooks, uma loja de iformática oferece vários plaos de fiaciameto e, em todos eles, a taxa básica de juros é de % compostos ao mês. Nessa situação, julgue

Leia mais

Juros Simples e Compostos

Juros Simples e Compostos Juros Simples e Compostos 1. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) Gabriel aplicou R$ 6500,00 a juros simples em dois bacos. No baco A, ele aplicou uma parte a 3% ao mês durate 5 6 de um ao; o baco B, aplicou o restate

Leia mais

O oscilador harmônico

O oscilador harmônico O oscilador harmôico A U L A 5 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial de um oscilador harmôico simples, V( x) kx. objetivos obter a solução da equação de Schrödiger para um oscilador

Leia mais

CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 5. INTRODUÇÃO É freqüete ecotrarmos problemas estatísticos do seguite tipo : temos um grade úmero de objetos (população) tais que se fossem tomadas as medidas

Leia mais

1.4- Técnicas de Amostragem

1.4- Técnicas de Amostragem 1.4- Técicas de Amostragem É a parte da Teoria Estatística que defie os procedimetos para os plaejametos amostrais e as técicas de estimação utilizadas. As técicas de amostragem, tal como o plaejameto

Leia mais

CAPÍTULO 8 - Noções de técnicas de amostragem

CAPÍTULO 8 - Noções de técnicas de amostragem INF 6 Estatística I JIRibeiro Júior CAPÍTULO 8 - Noções de técicas de amostragem Itrodução A Estatística costitui-se uma excelete ferrameta quado existem problemas de variabilidade a produção É uma ciêcia

Leia mais

O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA

O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA Paulo César de Resede ANDRADE Lucas Moteiro CHAVES 2 Devail Jaques de SOUZA 2 RESUMO: Este trabalho apreseta a teoria do teste de Galto

Leia mais

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO Amortizar sigifica pagar em parcelas. Como o pagameto do saldo devedor pricipal é feito de forma parcelada durate um prazo estabelecido, cada parcela, chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas

Leia mais

Resposta: L π 4 L π 8

Resposta: L π 4 L π 8 . A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados meores, com um círculo iscrito em cada um deles. Sabedo-se que o úmero de círculos em cada etapa cresce

Leia mais

Rejane Corrrea da Rocha. Matemática Financeira

Rejane Corrrea da Rocha. Matemática Financeira Rejae Corrrea da Rocha Matemática Fiaceira Uiversidade Federal de São João del-rei 0 Capítulo 5 Matemática Fiaceira Neste capítulo, os coceitos básicos de Matemática Fiaceira e algumas aplicações, dos

Leia mais

Matemática Financeira I 3º semestre 2013 Professor Dorival Bonora Júnior Lista de teoria e exercícios

Matemática Financeira I 3º semestre 2013 Professor Dorival Bonora Júnior Lista de teoria e exercícios www/campossalles.br Cursos de: dmiistração, Ciêcias Cotábeis, Ecoomia, Comércio Exterior, e Sistemas de Iformação - telefoe (11) 3649-70-00 Matemática Fiaceira I 3º semestre 013 Professor Dorival Boora

Leia mais

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 Nome: ºANO / CURSO TURMA: DATA: 0 / 0 / 05 Professor: Paulo. (Pucrj 0) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescete de altura. A primeira caixa tem m de altura, cada caixa seguite tem o triplo da altura da

Leia mais

Anexo VI Técnicas Básicas de Simulação do livro Apoio à Decisão em Manutenção na Gestão de Activos Físicos

Anexo VI Técnicas Básicas de Simulação do livro Apoio à Decisão em Manutenção na Gestão de Activos Físicos Aexo VI Técicas Básicas de Simulação do livro Apoio à Decisão em Mauteção a Gestão de Activos Físicos LIDEL, 1 Rui Assis rassis@rassis.com http://www.rassis.com ANEXO VI Técicas Básicas de Simulação Simular

Leia mais

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV DISCIPLINA: TGT410026 FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA 8ª AULA: ESTIMAÇÃO POR INTERVALO

Leia mais

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO 37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 Esio Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL 3 ) B ) A ) B ) D ) C ) B 7) C ) C 7) B ) C 3) D 8) E 3) A 8) E 3) A ) C 9) B ) B 9) B ) C ) E 0) D ) A

Leia mais

Curso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização

Curso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização Curso MI Matemática Fiaceira Professor: Pacífico Referêcia: 07//00 Juros compostos com testes resolvidos. Coceito Como vimos, o regime de capitalização composta o juro de cada período é calculado tomado

Leia mais

Probabilidade e Estatística. Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística. Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística i Sumário 1 Estatística Descritiva 1 1.1 Coceitos Básicos.................................... 1 1.1.1 Defiições importates............................. 1 1.2 Tabelas Estatísticas...................................

Leia mais

Conceito 31/10/2015. Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uniformes. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa

Conceito 31/10/2015. Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uniformes. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uiformes Daillo Touriho S. da Silva, M.Sc. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa Coceito A resolução de problemas de matemática fiaceira tora-se muito

Leia mais

PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR)

PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR) PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR) NEI CARLOS DOS SANTOS ROCHA ALBA REGINA MORETTI 2 LUIZ HENRIQUE DA COSTA ARAÚJO CARLA

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA COM MICROSOFT EXCEL

MATEMÁTICA FINANCEIRA COM MICROSOFT EXCEL MATEMÁTICA FINANCEIRA COM MICROSOFT EXCEL 2 OBJETIVO Trasmitir ao participate as formas de evolução do diheiro com o tempo as aplicações e empréstimos e istrumetos para aálise de alterativas de ivestimetos,

Leia mais

O período do pêndulo: Porque Galileu estava ao mesmo tempo certo e errado

O período do pêndulo: Porque Galileu estava ao mesmo tempo certo e errado UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS UFMG DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ICEx MONOGRAFIA PARA OBTENÇÃO DE TÍTULO DE ESPECIALISTA EM MATEMÁTICA COM ÊNFASE EM CÁLCULO O período do pêdulo: Porque Galileu estava

Leia mais

Matemática Alexander dos Santos Dutra Ingrid Regina Pellini Valenço

Matemática Alexander dos Santos Dutra Ingrid Regina Pellini Valenço 4 Matemática Alexader dos Satos Dutra Igrid Regia Pellii Valeço Professor SUMÁRIO Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Módulo 0 Progressão aritmérica.................................

Leia mais

2.1 Dê exemplo de uma seqüência fa n g ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamente crescente;

2.1 Dê exemplo de uma seqüência fa n g ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamente crescente; 2.1 Dê exemplo de uma seqüêcia fa g ; ão costate, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e estritamete crescete; (b) limitada e estritamete decrescete; (c) limitada e ão moótoa; (d) ão limitada

Leia mais

1.5 Aritmética de Ponto Flutuante

1.5 Aritmética de Ponto Flutuante .5 Aritmética de Poto Flutuate A represetação em aritmética de poto flutuate é muito utilizada a computação digital. Um exemplo é a caso das calculadoras cietíficas. Exemplo:,597 03. 3 Este úmero represeta:,597.

Leia mais

Guia do Professor. Matemática e Saúde. Experimentos

Guia do Professor. Matemática e Saúde. Experimentos Guia do Professor Matemática e Saúde Experimetos Coordeação Geral Elizabete dos Satos Autores Bárbara N. Palharii Alvim Sousa Karia Pessoa da Silva Lourdes Maria Werle de Almeida Luciaa Gastaldi S. Souza

Leia mais

Equações Diferenciais Lineares de Ordem n

Equações Diferenciais Lineares de Ordem n PUCRS Faculdade de Matemática Equações Difereciais - Prof. Eliete Equações Difereciais Lieares de Ordem Cosideremos a equação diferecial ordiária liear de ordem escrita a forma 1 d y d y dy L( y( x ))

Leia mais

Carteiras de Mínimo VAR ( Value at Risk ) no Brasil

Carteiras de Mínimo VAR ( Value at Risk ) no Brasil Carteiras de Míimo VAR ( Value at Risk ) o Brasil Março de 2006 Itrodução Este texto tem dois objetivos pricipais. Por um lado, ele visa apresetar os fudametos do cálculo do Value at Risk, a versão paramétrica

Leia mais

Equivalência entre holomorfia, analiticidade e teorema de Cauchy

Equivalência entre holomorfia, analiticidade e teorema de Cauchy Capítulo 6 Equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e teorema de Cauchy 6 Itrodução O resultado cetral deste capítulo é a equivalêcia etre holomorfia, aaliticidade e validade do Teorema de Cauchy Trata-se

Leia mais

Aula 7. Em outras palavras, x é equivalente a y se, ao aplicarmos x até a data n, o montante obtido for igual a y.

Aula 7. Em outras palavras, x é equivalente a y se, ao aplicarmos x até a data n, o montante obtido for igual a y. DEPARTAMENTO...: ENGENHARIA CURSO...: PRODUÇÃO DISCIPLINA...: ENGENHARIA ECONÔMICA / MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSORES...: WILLIAM FRANCINI PERÍODO...: NOITE SEMESTRE/ANO: 2º/2008 Aula 7 CONTEÚDO RESUMIDO

Leia mais

Exercícios de Matemática Polinômios

Exercícios de Matemática Polinômios Exercícios de Matemática Poliômios ) (ITA-977) Se P(x) é um poliômio do 5º grau que satisfaz as codições = P() = P() = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, etão temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d)

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA Resumo [Atraia o leitor com um resumo evolvete, em geral, uma rápida visão geral do

Leia mais

Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística

Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística Desigualdades e Teoremas Limites 1 Um ariro apota a um alvo de 20 cm de raio. Seus disparos atigem o alvo, em média, a 5 cm

Leia mais

PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA

PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA UNESPAR/Paraavaí - Professor Sebastião Geraldo Barbosa - 0 - PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA Setembro/203 UNESPAR/Paraavaí - Professor Sebastião Geraldo Barbosa - - TÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCIEIRA

Leia mais

JUROS COMPOSTOS. Questão 01 A aplicação de R$ 5.000, 00 à taxa de juros compostos de 20% a.m irá gerar após 4 meses, um montante de: letra b

JUROS COMPOSTOS. Questão 01 A aplicação de R$ 5.000, 00 à taxa de juros compostos de 20% a.m irá gerar após 4 meses, um montante de: letra b JUROS COMPOSTOS Chamamos de regime de juros compostos àquele ode os juros de cada período são calculados sobre o motate do período aterior, ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M5 Análise combinatória

Matemática. Resolução das atividades complementares. M5 Análise combinatória Resolução das atividades complemetares Matemática M Aálise combiatória p. 6 Ao laçarmos um dado duas vezes, quatas e quais são as possibilidades de ocorrêcia dos úmeros? Ao laçarmos um dado duas vezes,

Leia mais

Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciência da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2

Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciência da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2 Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciêcia da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2. (2,0): Resolva a seguite relação de recorrêcia. T() = T( ) + 3 T() = 3 Pelo método iterativo progressivo.

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA O NÚMERO DE EULER

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA O NÚMERO DE EULER UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA O NÚMERO DE EULER E OS FUNDAMENTOS DOS NÚMEROS REAIS CUIABÁ/MT 007 EVILÁSIO JOSÉ DE ARRUDA O

Leia mais

INTRODUÇÃO. Exemplos. Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas. ...

INTRODUÇÃO. Exemplos. Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas. ... INTRODUÇÃO Exemplos Para curar uma certa doeça existem quatro tratametos possíveis: A, B, C e D. Pretede-se saber se existem difereças sigificativas os tratametos o que diz respeito ao tempo ecessário

Leia mais

Até que tamanho podemos brincar de esconde-esconde?

Até que tamanho podemos brincar de esconde-esconde? Até que tamaho podemos bricar de escode-escode? Carlos Shie Sejam K e L dois subcojutos covexos e compactos de R. Supoha que K sempre cosiga se escoder atrás de L. Em termos mais precisos, para todo vetor

Leia mais

CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO: ÂNGULO DE VISÃO DAS CORES DO ARCO-ÍRIS

CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO: ÂNGULO DE VISÃO DAS CORES DO ARCO-ÍRIS CONTRIBUIÇÕES DA MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO: ÂNGULO DE VISÃO DAS CORES DO ARCO-ÍRIS Profª. Drª. Vailde Bisogi UNIFRA vailde@uifra.br Prof. Rodrigo Fioravati Pereira UNIFRA prof.rodrigopereira@gmail.com

Leia mais

Tópicos de Mecânica Quântica I. Equações de Newton e de Hamilton versus Equações de Schrödinger

Tópicos de Mecânica Quântica I. Equações de Newton e de Hamilton versus Equações de Schrödinger Tópicos de Mecâica Quâtica I Equações de Newto e de Hamilto versus Equações de Schrödiger Ferado Ferades Cetro de Ciêcias Moleculares e Materiais, DQBFCUL Notas para as aulas de Química-Física II, 010/11

Leia mais

Universidade Federal do Maranhão Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física

Universidade Federal do Maranhão Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Física Uiversidade Federal do Marahão Cetro de Ciêcias Exatas e Tecologia Coordeação do Programa de Pós-Graduação em Física Exame de Seleção para Igresso o 1º. Semestre de 2011 Disciplia: Mecâica Clássica 1.

Leia mais

Neste capítulo, pretendemos ajustar retas ou polinômios a um conjunto de pontos experimentais.

Neste capítulo, pretendemos ajustar retas ou polinômios a um conjunto de pontos experimentais. 03 Capítulo 3 Regressão liear e poliomial Neste capítulo, pretedemos ajustar retas ou poliômios a um cojuto de potos experimetais. Regressão liear A tabela a seguir relacioa a desidade (g/cm 3 ) do sódio

Leia mais

OS TRABALHOS DO SR. RICHARD PRICE * E O SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO UM RESUMO

OS TRABALHOS DO SR. RICHARD PRICE * E O SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO UM RESUMO OS TRABALHOS DO SR. RICHARD PRICE * E O SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO UM RESUMO Esta matéria comprova a afirmação do autor Thales Mello de Carvalho - Matemática Comercial e Fiaceira - falecido em 1961,

Leia mais

Goiânia, 07 a 10 de outubro. Mini Curso. Tópicos em passeios aleatórios. Ms. Valdivino Vargas Júnior - Doutorando/IME/USP

Goiânia, 07 a 10 de outubro. Mini Curso. Tópicos em passeios aleatórios. Ms. Valdivino Vargas Júnior - Doutorando/IME/USP Goiâia, 07 a 10 de outubro Mii Curso Tópicos em passeios aleatórios Ms. Valdivio Vargas Júior - Doutorado/IME/USP TÓPICOS EM PASSEIOS ALEATÓRIOS VARGAS JÚNIOR,V. 1. Itrodução Cosidere a seguite situação

Leia mais

INE 5111- ESTATÍSTICA APLICADA I - TURMA 05324 - GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE AMOSTRAGEM E PLANEJAMENTO DA PESQUISA

INE 5111- ESTATÍSTICA APLICADA I - TURMA 05324 - GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE AMOSTRAGEM E PLANEJAMENTO DA PESQUISA INE 5111- ESTATÍSTICA APLICADA I - TURMA 534 - GABARITO LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE AMOSTRAGEM E PLANEJAMENTO DA PESQUISA 1. Aalise as situações descritas abaixo e decida se a pesquisa deve ser feita por

Leia mais