ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS POR NUVEM DE PARTÍCULAS

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1 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS POR UVEM DE PARTÍCULAS Bárbara de Cássia avier Cassis Aguiar Uiversidade Federal do Paraá Cetro Politécico - Edifício da Admiistração - 4 o Adar Jardim das Américas - Curitiba - PR Paulo Herique Siqueira Uiversidade Federal do Paraá Cetro Politécico - Edifício da Admiistração - 4 o Adar Jardim das Américas - Curitiba - PR Luzia Vidal de Souza Uiversidade Federal do Paraá Cetro Politécico - Edifício da Admiistração - 4 o Adar Jardim das Américas - Curitiba - PR RESUMO Este trabalho apreseta um estudo sobre o algoritmo de Otimização por Exame de Partículas (PSO) aplicado ao problema de roteirização de veículos o trasporte escolar. Um estudo sobre o comportameto do algoritmo PSO é realizado. Os experimetos foram executados com as bases de dados de quatro muicípios do estado do Paraá. este cotexto, os testes iiciais realizados apresetaram resultados promissores, pois foram capazes de produzir um resultado satisfatório, em termos de custo computacioal e qualidade da solução para o problema da roteirização de veículos escolares. Os resultados obtidos foram comparados às rotas que são efetivamete realizadas em cada muicípio e com a heurística Locatio Based Heuristic (LBH) PALAVARAS CHAVE. Otimização, uvem de Partículas, Trasporte Escolar. L&T - Logística e Trasportes MH - Metaheuristicas ABSTRACT This paper presets a study o the algorithm of Particle Swarm Optimizatio (PSO) applied to the problem of vehicle routig i school trasportatio. A study of the behavior of the PSO algorithm is performed. The experimets were performed with the databases of four couties i the state of Paraá. I this cotext, the iitial tests carried out showed promisig results, they have bee able to produce a satisfactory result i terms of computatioal cost ad quality of the solutio to the problem of vehicle routig school. The results were compared to routes that are actually performed i each muicipality ad the heuristics Locatio Based Heuristic (LBH). KEYWORDS. Optimizatio, Cloud Particle, School Trasportatio. L & T - Logistics ad Trasport MH - Metaheuristics 1748

2 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r 1. Itrodução O problema de roteirização de veículos cosiste em defiir roteiros de veículos que miimizem o custo total de atedimeto, cada um dos quais iiciado e termiado o depósito ou base dos veículos, assegurado que cada poto seja visitado exatamete uma vez e a demada em qualquer rota ão exceda a capacidade do veículo que a atede (Laporte et al.,2). CUHA (2) defie roteirização de veículos como o termo utilizado para desigar o processo de determiação de um ou mais roteiros ou sequêcias de paradas a serem cumpridas por veículos de uma frota, com o objetivo de visitar um cojuto de potos geograficamete dispersos, em locais pré-determiados, que ecessitam de atedimeto. Os modelos de roteirização têm a fução de determiar a melhor rota para coleta, etrega ou visitas para atedimeto de solicitações de serviços e de defiir os potos de parada em cada roteiro de um dado veículo. Adicioalmete, podem servir de subsídio à determiação do úmero de veículos evolvidos e suas capacidades um processo de roteirização (BALLOU,1993), de forma a reduzir os custos de trasporte e o tempo de atedimeto aos clietes. Segudo o IEP (26) o trasporte escolar represeta o segudo maior custo com educação para os muicípios. Deve-se isso pricipalmete aos custos de mauteção exigidos e a aquisição de veículos apropriados e seguros para o trasporte dos aluos (SOUZA, 24). Além de ser ecessário observar o tempo de viagem dos estudates, a lotação dos veículos, os horários de etrada e saída das escolas, detre outros. Tudo isto tora o trasporte escolar caro e difícil de ser gereciado sem pessoal técico e ferrametas adequadas. Sob a ótica de otimização, os problemas de roteirização de veículos, pertecem à categoria cohecida como P-hard, o que sigifica que possuem ordem de complexidade expoecial. o problema do trasporte escolar (PTE), os veículos coletam os estudates em seus potos de parada e os etregam em suas respectivas escolas. Segudo a literatura abragete de Par & Kim (21), os problemas de roteirização do trasporte escolar dispoíveis a literatura são ormalmete desevolvidos em um processo que evolve cico etapas pricipais com algoritmos e aplicações existetes para estudos de casos reais, são elas: idetificação dos potos de parada dos ôibus; atribuição dos aluos aos potos de parada; geração da rota de cada ôibus; ajuste do tempo de iício da aula a escola; e agedameto da rota. Uma revisão detalhada sobre esta família de algoritmos mostra que ão há uma abordagem domiate para resolver este problema, estado itimamete relacioado com outros tipos de problemas. O problema de roteameto de ôibus escolar foi exaustivamete estudado o campo da pesquisa operacioal desde o seu primeiro aparecimeto em uma publicação de ewto e Thomas (1969), formulado como uma variação do problema de roteameto de veículo tradicioal. o etato, a pesquisa sobre este problema cotiua atual, pois as aplicações do problema aos casos reais apresetam cofigurações diferetes do sistema e restrições específicas (Par e Kim, 21). A seguir, é descrito o modelo matemático do problema de roteameto de veículos capacitado apresetado por Bodi et al. (1983): 1749

3 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r K Miimizar C Sujeito a: K = 1 i= j= K 1, se o veículo faz a viagem do clietei para o j, =, caso cotrário; (1) (2) K K = 1 i= K K= 1 j= = 1, j = 1, 2,...,, (3) = 1, i = 1,2,...,, (4) i= j= it tj =, t = 1, 2,...,, (5) i= j= d D, = 1,2,..., K, (6) q j Q, = 1,2,..., K, i j= = j= 1 i= 1 j 1, = 1, 2,..., K, i 1, = 1, 2,..., K, (7) (8) (9) {,1 }, i, j =,1,2,... ; 1, 2,..., K, = (1) A fução objetivo (1) miimiza o custo total das rotas. As restrições (3) e (4) garatem que cada cliete é atedido exatamete uma vez. A restrição (5) garate a cotiuidade da rota. A restrição (6) garate que o comprimeto total de uma rota tem um limite D. A restrição (7) garate que em qualquer poto da rota, a lotação de cada veículo ão excederá sua respectiva capacidade. As restrições (8) e (9) expressam que a dispoibilidade do veículo ão pode ser excedida. A restrição (1) assegura que a variável leva apeas o úmero iteiro ou 1. Este trabalho apreseta uma estratégia de solução para o Problema do trasporte escolar em algus muicípios do Estado do Paraá. Um estudo sobre o algoritmo de Otimização por Exame de Partícula (PSO) aplicado ao problema de roteirização de veículos o trasporte escolar é apresetado. Com a aplicação da metodologia proposta, espera-se reduzir o tempo de permaêcia dos aluos detro dos veículos, reduzir os custos referetes à quilometragem diária total e o úmero total de veículos utilizados o trasporte dos aluos. Este trabalho está orgaizado da seguite maeira: a Seção 2 discutimos, brevemete, algus dos pricipais trabalhos publicados recetemete para solucioar o Problema de Roteirização de Veículos e o Problema do Trasporte Escolar. a seção 3 a técica de otimização por uvem de partículas é apresetada. a seção 4 defiimos o problema específico tratado o artigo e descrevemos sua solução por meio da Otimização por uvem de partículas. Isto é seguido, a Seção 5, ode são apresetadas as coclusões e cosiderações fiais do estudo. 175

4 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r 2. Revisão Bibliográfica esta seção são apresetados algus dos pricipais trabalhos publicados recetemete para solucioar o Problema de Roteirização de Veículos e o Problema do Trasporte Escolar. Mirhassai e Abolghasemi (211), utilizaram a técica uvem de Partículas (PSO) para resolver o problema de roteameto de veículo aberto (OVRP), que é um problema cohecido de otimização combiatória. Em OVRP, o veículo ão retora ao depósito depois de ateder o último cliete em uma rota. Um método de descodificação em particular é proposto para a execução de PSO para o OVRP. este problema um vetor de posição do cliete foi costruído em ordem decrescete. Avaliações experimetais em cojutos de dados demostraram a competitividade do algoritmo proposto. Os resultados computacioais mostram que o método PSO proposto é eficaz para solucioar problemas de OVRP. Souza (26), apreseta algoritmos baseados a técica de otimização por uvem de partículas para dois problemas de otimização combiatória: o Problema do Caixeiro Viajate e o Problema da Árvore Geradora Míima Restrita em Grau Multicritério. Os resultados foram comparados com três heurísticas de alta qualidade para estes problemas. A comparação dos resultados mostrou que o algoritmo proposto supera as três heurísticas em relação aos melhores resultados. Cheg et al.(25) utilizaram um algoritmo híbrido discreto de otimização por exame de partículas para o problema de roteameto de veículos capacitado. O algoritmo utilizado combia pesquisa global e busca local para ecotrar os melhores resultados e usa Simulated Aealig para evitar que o resultado fique preso em um ótimo local. O estudo mostrou que o tempo computacioal do algoritmo proposto é viável e que a abordagem é eficaz para problemas de roteameto de veículos capacitado, especialmete para problemas de grade porte. o trabalho de Par e Kim (21) os autores apresetaram uma revisão dos problemas de roteirização escolar, ode são apresetados algus métodos para solução do problema, tais como Simulated Aealig, Determiistic Aealig, Busca Tabu, Algoritmos Geéticos, Colôia de Formigas e Redes eurais Artificiais. Os problemas são separados de acordo com suas pricipais características, tais como frota homogêea ou heterogêea, úmero de escolas atedidas, e a quatidade de turos de atedimeto. Em Steier et al. (2) os autores abordam o problema do trasporte escolar aplicado a um caso real. Primeiramete os potos foram divididos em grupos (clusters), e em cada grupo foi gerada uma semete iicial que tiha a fução do depósito. Foram criadas as rotas para cada grupo utilizado o algoritmo de costrução de rotas de Clare e Wright, e em seguida, foi aplicado o algoritmo de melhoria 2-opt a rota costruída e etre as demais rotas. A ecoomia obtida ficou em toro de 2% a quilometragem total percorrida diariamete. Ai e Kachitvchyauul (28) abordam o problema de roteameto de veículos com coleta e etrega simultâea propodo um algoritmo que evolve otimização por exame de partículas. Para etrar o percurso, cada partícula é trasformada em uma lista de prioridades por cliete, e uma matriz de prioridade de veículos para servir cada cliete é criada. As rotas de veículos são costruídas com base a lista de prioridades da matriz de veículos. O resultado computacioal mostra que o método proposto é competitivo com outros resultados publicados para resolver o problema de roteameto de veículos com coleta e etrega simultâea. o trabalho de Siqueira e Souza (212) o problema de roteirização de veículos é aplicado ao trasporte escolar. A metodologia utilizada é composta de três fases: a primeira cosiste a determiação de potos de parada dos veículos; a seguda são calculadas as distâcias reais a partir das iformações das vias de cada muicípio e a terceira as rotas são formadas aplicado a heurística Locatio Based Heuristic (LBH). Os testes foram realizados em 2 muicípios do estado do Paraá. Os resultados obtidos foram comparados às rotas que são efetivamete realizadas em cada muicípio, verificado-se uma ecoomia que varia de 3 a 39% a quilometragem total percorrida e o úmero de veículos utilizados, além de uma redução 1751

5 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r cosiderável a quatidade de potos de parada dos veículos. o trabalho de Martiez e Viegas (21) foi desevolvido um projeto de implemetação de um serviço de roteameto de veículos para escolas de Lisboa. A cocepção do trabalho itroduz um processo itegrado baseado em formulações tradicioais do problema de roteameto de veículos com uma programação liear iteira mista (PLIM). A solução adotada foi dividir o problema em duas etapas: uma primeira etapa idetifica os potos de parada com maior úmero de aluos, e a seguda etapa calcula as rotas ideais que atedem os potos de parada. Os resultados mostram que o modelo é eficaz para problemas de médio porte. O trabalho de Cuha e Gualda (1999), trata da formulação e do desevolvimeto de uma estratégia de solução para o modelo matemático que represeta os problemas de roteirização e programação de frotas de veículos, com as restrições de jaelas de tempo dos clietes, capacidade dos veículos e duração máxima das viages. O trabalho descreve três heurísticas desevolvidas para resolver o problema, as quais se baseiam a relaxação Lagragiaa de parte das restrições As heurísticas desevolvidas apresetam um desempeho equivalete ou superior, em termos de qualidade das soluções, em comparação aos modelos testados da literatura. As heurísticas foram aida aplicadas com sucesso a um problema real de distribuição urbaa em São Paulo. 3. Otimização por uvem de Partículas A técica de otimização Particle Swarm Optimizatio (PSO), traduzida para o português como Otimização por Exame de Partículas foi proposta por Keedy e Eberhart (1995), tal como outras meta-heurísticas recetemete desevolvidas, foi ispirada o comportameto social ecotrado em populações. A técica foi desevolvida a partir da observação de bados de pássaros e cardumes de peixes em busca de alimeto em uma determiada região. Ao aalisar o comportameto desses grupos, observa-se que o comportameto do grupo é iflueciado pela experiêcia idividual acumulada por cada idivíduo bem como pelo resultado da experiêcia acumulada pelo grupo. A população o PSO, deomiada uvem (ou exame), é composta por partículas que são soluções cadidatas para o problema. De acordo com Eberhart e Keedy (1998), a PSO possui muitas similaridades com os Algoritmos Geéticos. Apesar de ão possuir operadores geéticos, sua população evolui o espaço de busca através da melhoria das posições das partículas, a cada iteração, rumo a melhores soluções. PSO possui uma estratégia de busca extremamete eficiete. Vatages do algoritmo podem ser ressaltadas em Keedy e Ebehart (1995): (i) possui fácil implemetação computacioal, já que uma versão do algoritmo com poucos ajustes pode apresetar uma larga variedade de aplicações (HU et al.,23); (ii) utiliza pouca memória e requer pouca velocidade de processameto; e (iii) o processo de busca é racioalizado pelo cotíuo apredizado das partículas. i ( = i, 1 i, t Sejam t) { x ( t),..., x ( )} i ( = i, 1 i, t e V t) { v ( t),..., v ( )}, respectivamete, a posição (o próprio vetor cadidato à solução) e a velocidade (sua taxa de mudaça), da partícula i o tempo t, em um espaço de busca -dimesioal. Cosidere também pbesti ( t) = { pbesti 1( t),..., pbesti,, t i ( = i, 1 i, t ( )} a melhor posição ecotrada pela particular i até o tempo t e gbest t) { gbest ( t),..., gbest ( )} a melhor posição ecotrada pelo grupo até o tempot. o algoritmo PSO padrão, as partículas são maipuladas de acordo com as seguites equações: vi, ( t + 1) = w vi, ( t) + c1 φ1 ( pbesti, ( t) xi, ( t)) + c2 φ2 ( gbesti, ( t) xi, ( t)) 1752

6 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r xi, ( t + 1) = xi, ( t) + vi, ( t + 1) ode φ1 e φ2 são úmeros radômicos uiformemete distribuídos etre e 1. O coeficiete w determia o quato a velocidade aterior ifluecia a velocidade atual c1 ec2 são costates de aceleração e determiam a ifluecia de pbest e gbest sobre a partícula. O procedimeto para implemetação do algoritmo PSO é regido pelas seguites etapas Tebaldi et. al (26): (i) iiciar uma população (matriz) de partículas, com posições e velocidades em um espaço de problema dimesioal, aleatoriamete com distribuição uiforme; (ii) para cada partícula, avaliar a fução de aptidão (fução objetivo a ser miimizada); (iii) comparar a avaliação da fução de aptidão da partícula com o pbest da partícula. Se o valor correte é melhor que pbest, etão o valor de pbest passa a ser igual ao valor da fução de aptidão da partícula, e a localização do pbest passa a ser igual a localização atual o espaço dimesioal; (iv) comparar a avaliação da fução de aptidão com o prévio melhor valor de aptidão da população. Se o valor atual é melhor que o gbest, atualizar o valor de gbest para o ídice e valor da partícula atual; (v) modificar a velocidade e a posição da partícula de acordo com as equações 1 e 2, respectivamete. 4. Algoritmo proposto 4.1 Descrição do Problema Real o problema real a ser solucioado, estudates do esio fudametal e médio, que residem o iterior do estado são trasportados até suas respectivas escolas em seus períodos de estudo. O serviço de trasporte é de resposabilidade das secretarias muicipais de educação, e cada muicípio é ecarregado de desigar a frota de veículos que será utilizada para fazer o trasporte dos estudates. Em geral estes veículos pertecem a empresas terceirizadas, e o custo é calculado por quilômetro rodado, de acordo com a frota utilizada. O modelo matemático associado a esse problema visa a miimização do custo total de etrega e/ou coleta de cargas ou passageiros, cosiderado as restrições de jaelas de tempo, de duração máxima da jorada, e de capacidade dos veículos. As quatidades a serem trasportadas são determiísticas e cohecidas a priori. A frota pode ser homogêea ou heterogêea (composta de veículos de diferetes tamahos e capacidades). A heterogeeidade da frota aumeta cosideravelmete a complexidade do problema de roteirização. Em algus problemas pode haver limitações quato ao úmero de veículos de cada tipo que estão dispoíveis para utilização, além da evetual limitação da frota como um todo. Esta heurística busca miimizar o úmero de veículos utilizados, através do seu máximo aproveitameto e, para cada um dos veículos, obter a solução mais eficiete em termos da distâcia e/ou tempo de viagem. 4.2 PSO Discreto Devido às suas capacidades globais e locais de exploração, simplicidade a codificação e cosistêcia a performace, o Algoritmo PSO tem sido amplamete aplicado em muitos campos, embora o algoritmo PSO teha sido origialmete proposto para problemas de otimização cotíua, este trabalho, são utilizados dados discretos para processar os problemas. Para resolução do problema do trasporte escolar, por meio do PSO, foi utilizada a seguite codificação: cada partícula cosiste em um vetor de ordem, em que cada posição a partícula represeta o veículo utilizado o trasporte cosiderado a sua capacidade, a localização do aluo e a localização da escola. Em outras palavras, tal codificação represeta o vetor de variáveis de decisão x. 1753

7 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r O caso real abordado este artigo e a base de dados dispoível oferecem uma ótima oportuidade para o desevolvimeto de uma metodologia capaz de cotribuir para formatação e alterativas para implemetações práticas para o trasporte, e especificamete o trasporte escolar. 4.3 Experimetos Realizados Os experimetos foram realizados com as bases de dados de quatro muicípios do estado do Paraá, são eles: Abatiá, Sata Amélia, Sata Mariaa e Tuas do Paraá. Estes dados foram dispoibilizados pela Secretaria de Educação do Estado (SEED) e pela Secretaria de Desevolvimeto Urbao (SEDU). Tabela 1: Dados das escolas, dos aluos que utilizam o Trasporte Escolar, e dos veículos Muicípio Aluos Escolas Veículos Capacidade Total Abatiá Sata Amélia Sata Mariaa Tuas do Paraá Os resultados foram comparados aos obtidos com o auxílio de um aparelho de GPS (Global Positioig System), utilizado para o mapeameto das rotas do Trasporte Escolar que são efetivamete realizadas em cada muicípio e com os resultados da heurística Locatio Based Heuristic (LBH) (Bramel e Simchi-Levi,1995) apresetada o trabalho de Siqueira e Souza (212). Este estudo das rotas foi feito através do levatameto das coordeadas dos potos de embarque e desembarque dos aluos de cada cidade, com o registro da quilometragem total e do veículo desigado para cada rota. O algoritmo PSO foi executado com os parâmetros: tamaho de população (exame) de 1 partículas, fator de iércia com decaimeto liear de,9 a,4. A aplicação da metodologia apresetada este trabalho proporcioou uma ecoomia para estes muicípios que varia etre 6,63% e 11,88% a quilometragem total diária, coforme mostrado a Tabela 2. Tabela 2: Resultados da aplicação da técica PSO para 4 muicípios do Paraá Muicípio Veículos Técica Potos de Veículos Ecoomia m total parada utilizados (%) GPS Abatia 11 LBH ,96 PSO GPS Sata Amelia 4 LBH ,88 PSO GPS Sata Mariaa 12 LBH ,63 PSO GPS Tuas do 8 LBH Paraá PSO

8 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r 5. Coclusões este trabalho foi apresetada uma metodologia para resolução do problema de roteirização do Trasporte Escolar para quatro muicípios do estado do Paraá utilizado o algoritmo Otimização por uvem de Partículas. A experiêcia computacioal realizada mostrou que o algoritmo desevolvido pôde obter soluções de boa qualidade. O processo de apredizagem coletiva das partículas permitiu que a população de soluções geradas percorresse, com eficácia e eficiêcia o espaço de soluções do problema. Os resultados iiciais obtidos apotam para a efetividade da abordagem proposta, para os cojutos de problemas aalisados. A roteirização do trasporte é um aspecto muito importate, pois acaba iflueciado outros fatores evolvidos o plaejameto do serviço, visto que uma roteirização eficiete pode miimizar o tempo de viagem, otimizar a ocupação dos veículos e melhorar o atedimeto existete, o que acabará dimiuido os custos com o sistema e melhorado sua qualidade. Referêcias Ai, T. J.; Kachitvchyauul, V. (28) A particles warm optimizatio for the vehicle routig problem with simultaeous picup ad delivery. School of Egieerig ad Techology, Asia Istitute of Techology, Thailad. Aloise, D. J.; Oliveira, M. C. S.; Silva, T. L. (26) Otimização discreta por uvem de partículas aplicada ao problema do caixeiro viajate. Uiversidade Federal do Rio Grade do orte. Ballou, R. H. (1993). Logística empresarial. São Paulo: Atlas. Bodi, L.D., Golde, B.L., Assad, A. & Ball, M.: "Routig ad schedulig of vehicles ad crews: the state of the art". Computers ad Operatios Research, Vol. 1, p , Cheg A. L.; Yag G.; Wu Z. (25) Hybrid discrete particle swarm optimizatio algorithm for capacitated vehicle routig problem. Joural of Zhejiag Uiversity Sciece A. Cuha, C. B. ; Gualda,. D. F. (1997). Heurísticas baseadas em Relaxação Lagragiaa para o problema de roteirização de veículos com restrições operacioais. I: I Cogresso de Pesquisa e Esio em Trasportes, 1997, Rio de Jaeiro (RJ). Aais do I Cogresso de Pesquisa e Esio em Trasportes. Rio de Jaeiro : Apet, v. 2. p Eberhart, R. C., Keedy, J. A., ew Optimmizer Usig Particles Swarm Theory. Proc. Sixth Iteratioal Symposium o Micro Machie ad Huma Sciece. IEEE Service Ceter, Piscataway, J, 39-43, agoya, Japa, Eberhart, R. C. Computatioal Itelligece PC Tools. Bosto: Academic Press, Hu,., R.C. Eberhart ad Y. Shi, 23. Swarm itelligece for permutatio optimizatio: A case study o -quees problem. Proceedig of the Swarm Itelligece Symposium, April 24-26, Idiaapolis, Idiaa, pp: Laporte, G.: "The vehicle routig problem: a overview of exact ad approximate methods". Europea Joural of Operatioal Research, Vol. 59, p , Laporte, G.; M. Gedreau; J.Y. Potvi e F. Semet (2) Classical ad moder heuristics for the vehicle routig problem, Iteratioal Trasactios i Operatioal Research, v.7, 4/5, p Mirhassai S. A., Abolghasemi. A particle swarm optimizatio algorithm for ope vehicle routig problem. Expert Systems with Applicatios, Volume 38, Issue 9, September 211, Pages Martíez, L. M. ; Viegas, J. M. (21) Desig ad Deploymet of a Iovative School Bus Service i Lisbo. 14th EURO Worig Group o Trasportatio Meetig. Procedia Social ad Behavioral Scieces. ewto, R. M., & Thomas, W. H. (1969). Desig of School Bus Routes by Computer. Socio- Ecoomic Plaig Scieces, 3(1),

9 Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal A Pesquisa Operacioal a busca de eficiêcia os atal/r Oliveira, M. C. S.; Silva, T. L.; Aloise, D. J. (24) Otimização por uvem de partículas: difereça etre aplicações a problemas cotíuos e discretos. Uiversidade Federal do Rio Grade do orte. Par, J. e Kim, B.I. (21) The school bus routig problem: A review. Europea Joural of Operatioal Research, v. 22,. 2, p Steier, M.T.A.; Zamboi, L.V.S.; Costa, D.M.B.; Carieri, C. e Silva, A.L. (2) O Problema de roteameto o Trasporte Escolar. Pesquisa Operacioal, v. 2,. 1, p Tebaldi, A., Coelho, L.S., Lopes Jr, V., Detecção de Falhas em Estruturas Iteligetes Usado Otimização por uvem de Partículas: Fudametos e Estudos de Casos, SBA Cotrole & Automação, vol. 17, o. 3, pp , 26. Siqueira, P. H. ; Souza, L. V. Métodos Heurísticos aplicados a costrução de roteiros de Trasporte Escolar para o Estado do Paraá. Trasportes, v. 2,. 3, p. 28-4, 212. Schitteat, P.; Sevaux, M. e Sorese, K. (26) A mathematical formulatio for a school bus routig problem. Aais do ICSSSM 6: Iteratioal Coferece o Service Systems ad Service Maagemet, Fraça, p

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