Abordagem Multiobjetivo para o Problema de Roteamento de Veículos Aberto

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1 Abordagem Multiobjetivo para o Problema de Roteameto de Veículos Aberto RESUMO Otávio Pereira Foseca, Luciaa Assis, Alessadro Vivas Uiversidade Federal dos Vales do Jequitihoha e Mucuri (UFVJM) Rua da Glória, Diamatia MG Brasil otaviopfoseca@yahoo.com.br, {lupassis, alessadro.vivas}@gmail.com Jaime A. Ramírez Uiversidade Federal de Mias Gerais (UFMG) Av. Atôio Carlos, Belo Horizote MG Brasil jramirez@ufmg.br Este artigo apreseta uma abordagem multiobjetivo para o Problema de Roteameto de Veículos Aberto. Este problema tem como objetivo defiir rotas com custo míimo e reduzir a difereça etre os custos da maior e meor rota. O algoritmo proposto para solucioar o problema é uma adaptação da metaheurística Iterated Local Search que retora um cojuto de soluções ão-domiadas. Para avaliar a eficiêcia deste algoritmo, foram utilizadas istâcias do Problema de Roteameto de Veículos Aberto moo-objetivo. Os resultados mostraram que o algoritmo proposto apreseta um bom desempeho quato ao úmero de soluções retoradas, extesão e distribuição das soluções Pareto. A qualidade dos resultados foi aalisada também cosiderado os objetivos idividualmete. Neste caso, os resultados também foram satisfatórios e se aproximam dos resultados da literatura. PALAVRAS CHAVE. Logística & Trasportes, Metaheurísticas, Otimização Multiobjetivo. Área Pricipal. Logística & Trasporte ABSTRACT This paper presets a multiobjective approach to the Ope Vehicle Routig Problem. This issue aims to defie routes with miimum cost ad reduce the differece betwee the highest ad lowest cost route. The proposed algorithm to solve the problem is a adaptatio of Iterated Local Search metaheuristic which returs ot oly a solutio but a set of odomiated solutios. To evaluate the efficiecy of this algorithm, we used istaces of the moo-objective Ope Vehicle Routig Problem. The results showed that the proposed algorithm presets a good performs o the umber of solutios retured, extet ad uiform distributio of Pareto solutios. Aother form used i this study to evaluate the quality was to aalyze the objectives idividually. I this case, the results were also satisfactory ad closer to the literature. KEYWORDS. Logistic & Trasport, Metaheuristic, Multiobjective Combiatorial Optimizatio. Mai area. Logistic & Trasport 1787

2 1. Itrodução Atualmete, 61% do trasporte de cargas o Brasil é feito por rodovias e os gastos são elevados devido ao aumeto costate o preço dos combustíveis, à cobraça de pedágios, às péssimas codições em que se ecotram as rodovias, detre outros. Este trasporte é uma das atividades que mais cotribuem os custos logísticos do processo produtivo e estes custos acabam repercutido o valor do produto fial para o cosumidor. A utilização de sistemas de otimização de rotas podem reduzir os custos de etrega e coleta de mercadorias. Estes sistemas geralmete cotam com uma base de dados geográfica que forece iformações a um mecaismo de otimização que permite aos gestores tomarem melhores decisões referetes ao roteameto das frotas de veículos. O problema é que apeas 5% das grades trasportadoras fazem uso destes sistemas (Assis, 7). Para tetar fugir dos trastoros que o processo de etrega de bes evolve, as empresas começaram a deixar de possuir uma frota de veículos própria e passaram a terceirizar o serviço de distribuição de mercadorias e é esta situação que o problema a ser abordado este trabalho se equadra. O Problema de Roteameto de Veículos Aberto (OVRP, do iglês Ope Vehicle Routig Problem) é caracterizado pelo fato do veículo partir de um depósito e ão ecessitar retorar ao mesmo depois de ateder o último poto de demada. Assim sedo, cada rota do OVRP é um camiho hamiltoiao sobre um cojuto de potos de demada a serem atedidos. Os objetivos pricipais do OVRP são a miimização da quatidade de veículos utilizados e a miimização do custo de viagem. Ambos objetivos devem ser miimizados em cojuto, dado prioridade a redução do úmero de veículos. Uma solução com meor custo, mas com maior úmero de veículos é cosiderada pior que uma solução com maior custo e meor úmero de veículos. Assim, para solucioar o problema, é defiido um úmero míimo de veículos ecessário para satisfazer às demadas do problema e o objetivo do OVRP é reduzir o custo de trasporte cosiderado esta frota míima. Na literatura existem poucas referêcias ao Problema de Roteameto de Veículos Aberto. Devido a complexidade computacioal do problema, os métodos exatos são poucos explorados, sedo os esforços dedicados ao desevolvimeto de heurísticas capazes de solucioar problemas de grade porte. O OVRP foi mecioado pela primeira vez por Schrage (1981) em um artigo que descreve aplicações reais para problemas de roteameto. O primeiro trabalho que propôs um método de resolução para o OVRP foi escrito por Bodi et al. (1983) relatado um problema de distribuição de correio aéreo expresso os Estados Uidos. Para solucioar o problema, os autores utilizaram uma heurística costrutiva baseada o método de Clarke e Wright. Sariklis e Powell () adaptaram uma heurística costrutiva deomiada Dividir e Rotear para o OVRP. Este método é baseado em um mecaismo de agrupameto de cosumidores em relação à capacidade do veículo seguido por um método de árvore geradora míima para formar rotas abertas. Bradão (4) desevolveu um método de busca tabu para resolver o problema e, seguido a mesma liha, Taratilis et al. (4), Fu et al. (5), Li et al. (9) e Repoussis et al. (1) também utilizaram métodos baseados a busca tabu combiados com outras metaheurísticas. Zachariadis e Kiraoudis (1) aplicaram um algoritmo que utiliza uma estratégia chamada SMD (Static Move Descriptor) para tetar reduzir o tempo computacioal quado as buscas locais forem aplicadas. 1788

3 Neste trabalho foi adicioado um terceiro objetivo que cosiste em melhorar o balaceameto das rotas, assumido uma característica multiobjetivo. Este objetivo é represetado como a miimização da difereça etre os custos das rotas, ou seja, fazer com que as rotas teham custo aproximado. Este problema é deomiado Problema de Roteameto de Veículos Aberto com de Rotas (OVRPRB, Ope Vehicle Routig Problem with Routig Balacig). Esse tipo de abordagem é muito útil para as empresas de trasporte, pois cotribuem pricipalmete para que a jorada de serviço seja balaceada etre os motoristas. Quado apeas o custo é avaliado, é possível que um motorista teha que trafegar muito mais que outro, o que certamete geraria um descotetameto por parte do motorista que trafega uma distâcia maior. Além disso, o balaceameto pode ecobrir desgastes prematuros em um veículo em relação a outro, fazedo com que a empresa teha uma maior ecoomia em mauteção. Em um problema multiobjetivo ehuma solução é melhor que as demais com relação a todos os objetivos. Portato, ão existe uma solução ótima úica e sim um cojuto de soluções ótimas. Estas soluções são deomiadas Soluções Eficietes ou Soluções Pareto- Ótimas. Em problemas de otimização multiobjetivo a meta é ecotrar o cojuto Paretoótimo. Este cojuto é costituído de soluções ão-domiadas, ou seja, soluções em que ão existem outras melhores cosiderado os valores para os dois objetivos. Porém, para grade parte dos problemas, ecotrar este cojuto ótimo se tora computacioalmete iviável, para isso utiliza-se de métodos heurísticos para ecotrar soluções de boa qualidade, próximas das soluções ótimas. Algumas abordages ecotradas a literatura, semelhates ao problema abordado, estão diretamete relacioada ao roteameto de ôibus escolar. Corberá et al. () abordam um problema de roteameto de ôibus escolar multiobjetivo, que se equadra em uma variação do OVRP. Os objetivos são miimizar o tempo e o custo de trasporte dos aluos de 58 escolas da provícia de Burgos, a Espaha. Para isto foi utilizada uma metaheuristica Scatter Search (Glover e Kocheberg, 3). Outros trabalhos evolvedo roteameto de ôibus escolar podem ser ecotrados a revisão apresetada por Park e Kim (1). Neste trabalho é proposta uma adaptação a formulação matemática do OVRP icluido o objetivo referete a melhorias o balaceameto das rotas. Para solucioar o problema proposto, é apresetado uma adaptação a metaheurística Busca Local Iterativa (ILS, Iterated Local Search), proposta por Loureço et al. (3), com iserção de procedimetos que o tora apto a solucioar problemas multiobjetivo. O artigo está orgaizado da seguite forma: a Seção 2 é apresetada a formulação matemática para o OVRPRB, seguido pela metodologia a Seção 3, ode é apresetado o algoritmo desevolvido para gerar soluções viáveis para o problema. Por fim as Seções 4 e 5 são apresetados os resultados computacioais e as coclusões, respectivamete. 2. Defiição do Problema O Problema de Roteameto de Veículos Aberto Multiobjetivo pode ser cosiderado uma extesão do OVRP. Neste cotexto, a defiição do problema permaece ialterada e ovos objetivos são adicioado à formulação. A iclusão de objetivos aumeta o úmero de aplicações práticas que este modelo poderá represetar, recohecedo que diversos problemas logísticos 1789

4 devem cosiderar outros aspectos, além dos custos de trasporte (Jozefowiez et al., 8). A modelagem matemática apresetada este trabalho é uma adaptação da formulação proposta por Pa e Fu (9) para o OVRP. No modelo apresetado foi icluído um ovo objetivo que cosiste a miimização da difereça etre o tamaho das rotas (balaceameto). Para melhor compreesão da modelagem são adotadas as seguites otações: : úmero total de cosumidores; c i j : custo associado à aresta que liga o cosumidor i ao cosumidor j; d i : demada ão egativa do cosumidor i; Q: capacidade total dos veículos (todos os veículos possuem a mesma capacidade); k mi : úmero míimo de veículos ecessário para ateder todos os cosumidores; para i = ou j =, o cosumidor refereciado é o depósito; Variável de decisão: { xi k 1,se a aresta (i, j) faz parte da rota trafegada pelo veículo k j =,caso cotrário A modelagem matemática para o OVRPRB é dada por: Sujeito a: miimizar k mi k=1 i= j=1 miimizar max k i j xi i= j=1c k j mi k i= k {1,...,k mi } c i j x k i j (1) j=1 c i j x k i j (2) k mi i= k=1 i S j S k mi j= k=1 k mi i= k=1 j=1 x k i j = 1, i {1,2,...,} (3) x k i j = 1, j {1,2,...,} (4) d i x i jk Q, k {1,2,...,k mi } (5) x k i j S v(s), S V \ {1}, S 2 (6) x i j {,1}, (7) A Equação 1 represeta o objetivo de miimização do custo de viagem do veículo. O segudo objetivo é dado pela Equação 2 que é referete à miimização da difereça etre o custo das rotas. Estas fuções objetivo estão sujeitas às seguites restrições: 179

5 Restrições 3 e 4: cada cosumidor pode ser atedido uma úica vez por um úico veículo; Restrição 5: ehuma rota pode ter demada total superior à capacidade Q do veículo; Restrição 7: restrição de itegralidade; Restrição 6: elimiação de sub-rota, ode v(s) é um limite iferior adequado do úmero de veículos ecessários para visitar todos os vértices de S a solução ótima. 3. Multiobjective Iterated Local Search (MOILS) Para solucioar o Problema de Roteameto de Veículos Aberto com de Rota foram utilizados métodos heurísticos baseados em Busca Local. Estes métodos ão garatem a geração de soluções ótimas, mas podem gerar soluções que estejam próximas das soluções ótimas em um tempo computacioal viável. Vale ressaltar que, como ão se cohece o úmero míimo de veículos capaz de satisfazer as demadas, os algoritmos propostos primeiramete procuram defiir este parâmetro (k mi ) para etão iiciar os procedimetos de otimização da solução. Dessa forma, uma solução com pior custo, mas com um úmero meor de veículos será cosiderada melhor que uma solução com melhor custo de trasporte e maior úmero de veículos. Portato, as soluções pertecetes a uma froteira Pareto aproximada possuem o mesmo úmero de veículos, sedo o custo e o balaceameto os critérios que poderão ser avaliados pelo tomador de decisão. O método utilizado para solucioar o OVRPRB é uma adaptação a metaheurística Busca Local Iterativa (ILS, Iterated Local Search). O ILS é baseado em um mecaismo de sucessivas operações de perturbação e busca local sobre uma solução iicial, sedo costituído basicamete por quatro etapas: gerar uma solução iicial, busca local, perturbação e um critério de aceitação. O MOILS (Multiobjective Iterated Local Search), proposto este trabalho, iclui ao ILS mecaismos de resolução de problemas multiobjetivo e coceitos de domiâcia de Pareto, torado-o apto para solucioar problemas com múltiplos objetivos. O MOILS segue as mesmas etapas do ILS tradicioal. Os mecaismos de otimização utilizados, bem como as estruturas de vizihaça que costituem os métodos desevolvidos são baseados o ILS-RVND, desevolvido por Subramaia et al. (1). Neste algoritmo, a etapa de busca local cosiste a aplicação do algoritmo RVND (Rado Variable Neighbourhood Descet) que se diferecia do VND tradicioal por escolher a próxima estrutura de vizihaça a ser utilizada de forma aleatória. Os procedimetos do MOILS estão sumarizados o Algoritmo 1. O Iicialmete são geradas duas soluções iiciais (liha 1), a primeira solução s 1 é obtida a partir da execução do ILS-RVND, visado a defiição do úmero míimo de veículos (k mi ) e otimizado o custo. A seguda solução s 2 é obtida a partir do balaceameto das rotas cotidas em s 1. Etão, as duas soluções ecotradas são icluídas a Froteira. O procedimeto de balaceameto das rotas de uma solução do OVRP cosiste a trasferêcia de cosumidores v da rota r max, com maior custo de trasporte, para a rota r mi, com meor custo. Quado ão é possível iserir um cosumidor v em r mi, etão um cosumidor v r mi é removido para que v possa ser iserido. O cosumidor v é realocado em outra 1791

6 Algoritmo 1: Multiobjective Iterated Local Search 1 Froteira gerarsolucoesiiciais(); 2 iter ; 3 equato iter < maxiter faça 4 s selecioar(froteira); 5 cot ; 6 equato cot < maxcot faça 7 s perturbação(s ); 8 s buscalocal(s ); 9 iserido atualizar(froteira,s ); 1 se iserido etão 11 cot ; 12 s s ; 13 fim 14 s balacear(s ); 15 iserido atualizar(froteira,s ); 16 se iserido etão 17 cot ; 18 s s ; 19 seão cot cot + 1; 21 fim 22 fim 23 iter iter + 1; 24 fim 25 retora Froteira; rota r i, tal que r i r max e r i r mi. Quado ão for mais possível realizar este movimeto, o procedimeto de balaceameto é iterrompido. A cada iteração (lihas 3-24) uma solução s Froteira é selecioada (liha 4). Esta seleção é feita utilizado o método crowdig-distace, proposto por Deb et al. (2). Este mecaismo possibilita que aquelas soluções cujos vizihos estejam muito distates teham maior prioridade o processo de seleção. Esta solução será explorada por maxiter iterações. Para que a solução s seja explorada e ovas soluções possam ser icluídas a Froteira, s é submetida à procedimetos de perturbação (liha 7) e busca local (liha 8). A perturbação cosiste em mecaismos de permutação e realocação de cosumidores selecioados aleatoriamete de uma rota para outra. Estes cosumidores são iseridos a primeira posição viável ecotrada. A busca local é feita pelo uso do algoritmo baseado o RVND, visado otimizar apeas o custo de trasporte da solução. A solução s, resultate deste processo, é etão iserida a Froteira, caso ela ão seja domiada por ehuma das demais soluções cotidas este cojuto. Em seguida, s passa pelo procedimeto de balaceameto, descrito ateriormete. Este procedimeto é repetido até que maxcot iterações sejam realizadas sem a iserção de ovas soluções a Froteira. 4. Resultados Computacioais Para avaliar o desempeho do MOILS, os testes foram executados cosiderado 14 istâcias propostas por Christofides et al. (1979) e 2 propostas por Fisher (1994), represetadas pelas letras C e F, respectivamete. As istâcias C1-C5, C11 e C12 são idêticas às istâcias C6-C1, C13 e C14, com a exceção de possuírem a restrição de custo máximo de viagem. Os parâmetros maxiter e maxcot foram fixados com os valores 1 e 18, respectivamete. Para 1792

7 avaliação dos resultados foram utilizados as métricas: Cardialidade (C), Distribuição (D) e Extesão (E), defiidas por Zitzler et al. (). Além do algoritmo MOILS, estas istâcias foram solucioadas utilizado uma heurística baseada o método tradicioal de resolução de problemas multiobjetivo, deomiado ε- Restrito (Chakog e Haimes, 1983). O algoritmo implemetado utiliza o ILS como algoritmo base para solucioar os sub-problemas defiido pelo método. A Tabela 1 sumariza a avaliação dos resultados obtidos pelos algoritmo MOILS e ε- Restrito em relação as três métricas avaliadas. Os dados a tabela apotam para um melhor desempeho do algoritmo MOILS em relação as métricas Cardialidade e Distribuição. Tabela 1: Resultados multiobjetivo Istacia MOILS Restrito Veículos Cardialidade Extesao Distribuicao Veículos Cardialidade Extesao Distribuicao C ,21 13, ,21 2, C ,47 9, ,87 2, C ,71 22, ,29 2, C ,54 28, , C ,22 5, , C ,59 13, ,11 2, C ,83 13, ,29 2, C ,67 11, ,97 2, C9 13 1, 1, ,22 2, C ,32 11, , C ,77 52, ,93 2, C ,38 27, ,9 2, C ,15 4, ,253 2, C ,75 2, ,94 2, F ,94 24, ,95 4,4 F ,11 74, ,59 2, No Algoritmo MOILS, as istâcia F12, C11 e C4 apresetam uma melhor cardialidade e, portato, melhor distribuição e extesão da froteira. A Figura 1 ilustra as froteiras obtidas para cada uma destas istâcias. O pior resultado é atribuído às istâcias C9 e C14. Ambas a cardialidade é baixa, acarretado em uma pior distribuição e extesão. Isso ocorre devido a restrição de comprimeto máximo da rota. Esta restrição impossibilidade a realização de movimetos que melhore o balaceameto da rota (a) Istâcia F12 (b) Istâcia C4 (c) Istâcia C11 Figura 1: Froteiras para as istâcias F12, C4 e C11 Algumas das execuções do MOILS sobre a istâcia C9 retoraram algumas soluções 1793

8 com 14 e 15 veículos. Esta variação acarretou uma grade difereça a froteira, pois a cardialidade aumetou cosideravelmete (Tabela 2). Isto mostra como o úmero de veículos de uma solução exerce uma grade ifluêcia sobre a qualidade das soluções geradas. As froteiras para a istâcia C9 com 13, 14 e 15 veículos são represetadas a Figura 2. Tabela 2: Comparação das métricas para a istâcia C9 com variação o úmero de veículos Istacia Veículos Cardialidade Extesão Distribuição C9 13 1, 1, C ,4 13,33 C ,19 38, (a) 13 Veículos (b) 14 Veículos (c) 15 Veículos Figura 2: Represetação das froteiras para a istâcia C9 com 13, 14 e 15 veículos Para o algoritmo ε-restrito, as froteiras obtidas tiveram uma cardialidade muito meor comparada ao MOILS. A istâcia F11 foi a que obteve o melhor resultado para a cardialidade e distribuição, sedo que estes valores são facilmete superados pelos ecotrados a mesma froteira para o MOILS. Porém, os algoritmo ε-restrito coseguiu superar o MOILS em todas as istâcias diate da métrica extesão. Isso ocorre pricipalmete pelas soluções iiciais do ε-restrito serem formadas por execuções do algoritmo ILS-RVND sobre os objetivos de balaceameto e custo e com isso são geradas uma solução com o balaceameto extremamete alto e outra com o custo extremamete baixo. Estas soluções estão muito afastadas o espaço de busca e por isso o valor para a extesão se tora tão elevado. A Figura 3 exemplifica esta situação Figura 3: Froteira para istâcia C12 O resultado obtido para a istâcia C14 o ε-restrito coseguiu superar o resultado obtido para a mesma istâcia o MOILS, coseguido obter 4 soluções. Esta istâcia é uma das que possui restrição de comprimeto máximo, e isto se tora um grade obstáculo para o 1794

9 MOILS a geração de soluções, mas este obstáculo foi melhor superado o ε-restrito. A Figura 4 mostra a difereça a formação das duas froteiras (a) C14 MOILS (b) C14 ε-restrito Figura 4: Comparação etre froteiras das istâcias C14 para os dois algoritmos Como a froteira Pareto-ótima ão é cohecida para o problema cosiderado, ão é possível avaliar a qualidade absoluta das froteiras obtidas pelos algoritmos MOILS e ε- Restrito. Cotudo, as soluções obtidas a froteira foram comparadas as melhores soluções ecotradas a literatura para o OVRP, coforme Tabela 3. Nesta é possível verificar que a úica istâcia que o MOILS apreseta um maior úmero de veículos foi a C7. Nas demais, a abordagem MOILS ecotra soluções que estão muito próximas das melhores ecotradas a literatura, obtedo uma difereça percetual média de.64%, descosiderado o resultado da istâcia C7 que apreseta maior úmero de veículos. Tabela 3: Comparação etre os melhores resultados moo-objetivo com os obtidos Istacias Melhores MOILSRB ε-restrito Veículos Veículos Gap*(%) Veículos Gap*(%) C1 416,6 a 5 416, ,92 5 4,77 C2 567,14 a 1 569,71 1,45 588,8 1 3,56 C3 639,74 c 8 639, ,86 8,17 C4 733,13 a , ,13 12, C5 893,39 d , ,26 11, ,83 C6 412,96 a 6 412, ,96 6 C7 583,19 a 1 568, ,52 573, ,68 C8 644,63 b 9 644, ,6 9,46 C9 757,84 a ,7 13 2,62 757, ,3 C1 875,67 a ,63 17,22 96, ,39 C11 682,12 a 7 682, ,77 7,1 C12 534,24 a 1 534, ,24 1 C13 94,4 b 11 94,35 11,3 96,33 11,25 C14 591,87 a , ,24 11,23 F11 177, a 4 177, 4 177, 4 F12 769,55 c 7 77,16 7,8 77,16 7,8 a Adaptative Large Neightborhood Search Pisiger e Ropke (7). b Variable Neighbourhood Search Fleszar et al. (9). c Heurística híbrida etre método evolucioário e busca tabu Repoussis et al. (1). d Static Move Descriptor Zachariadis e Kiraoudis (1). *Difereça percetual etre os resultados obtidos pelo MOILS e pelo ε-restrito e os melhores da literatura. 5. Coclusão Abordar o problema de forma multiobjetivo se tora útil por oferecer ao gestor um cojuto de opções viáveis que ele poderá escolher a tomada de decisão. Assim, dado um 1795

10 cojuto de ceários, o gestor terá uma maior facilidade e precisão a escolha da solução que melhor se adapta à situação da empresa aquele determiado mometo. Devido a complexidade computacioal do Problema de Roteameto de Veículos Aberto e, cosequetemete, por ser uma variação deste, do Problema de Roteameto de Veículos Aberto com de Rotas, o desevolvimeto de métodos heurísticos capazes de gerar soluções de qualidade em um tempo computacioal viável se tora de grade importâcia. O algoritmo avaliado este trabalho, MOILS, mostrou ser um método capaz de gerar soluções eficietes e bem distribuídas a froteira Pareto aproximada para o OVRPRB. Na maioria das istâcias avaliadas, este algoritmo gerou um volume maior de soluções e também soluções mais dispersas. Comparado os resultados obtidos aos resultados do OVRP, os valores ecotrados foram muito próximos aos da literatura, obtedo uma difereça percetual média de.64%. Uma vez que o úmero de veículos afeta diretamete a qualidade da froteira Pareto aproximada ecotrada pelos algoritmos, um trabalho futuro poderá icluir mais um objetivo ao OVRP, referete a miimização do úmero de veículos. Além disso, outras estruturas de vizihaças e outros mecaismos de balaceameto poderão ser aplicados a fim de melhorar a qualidade das soluções. Referêcias Assis, L. P., Algoritmos para o problema de roteameto de veículos com coleta e etrega simultâeas, Master s thesis, Uiversidade Federal de Mias Gerais, 7. Bodi, L., Golde, B., Assad, A., e Ball, M., Routig ad schedulig of vehicles ad crews: The state of the art, Computers & Operatios Research, Bradão, J., A tabu search algorithm for the ope vehicle routig problem, Europea Joural of Operatioal Research, 4. Chakog, V. e Haimes, Y. Y., Multiobjective Decisio Makig Theory ad Methodology, Elsevier Sciece, New York, Christofides, N., Migozzi, A., e Toth, P., The vehicle routig problem, Combiatorial Optimizatio, Corberá, A., Ferádez, E., Lagua, M., e Martí, R., Heuristic solutios to the problem of routig school buses witch multiple objectives, Europea Joural of Operatioal Research,. Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S., e Meyariva, T., A fast ad elitist multiobjective geetic algorithm: Nsga-ii, IEEE Trasactios o Evolutioary Computatio, 2. Fisher, M., Optimal solutio of vehicle routig problems usig miimum k-trees, Operatios Research, Fleszar, K., Osma, I. H., e Hidi, K. S., A variable eighbourhood search algorithm for the ope vehicle routig problem, Europea Joural of Operatioal Research,

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