PROBLEMA DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS COM FROTA HETEROGÊNEA: REVISÃO DA LITERATURA

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1 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto PROBLEMA DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS COM FROTA HETEROGÊNEA: REVISÃO DA LITERATURA Patrícia Prado Belfiore Cetro Uiersitário da FEI A. Humberto A. C. Braco, 972, CEP: , São Berardo do Campo, SP patricia.belfiore@labfi.com.br Luiz Paulo Lopes Fáero Departameto de Cotabilidade da FEA - USP A. Prof. Luciao Gualberto, 908, Sala G-2, º adar, CEP: , São Paulo, SP lpfaero@usp.br Rodrigo Alexadre Gedra Alarez Departameto de Admiistração da FEA - USP A. Prof. Luciao Gualberto, 908, Sala G-2, º adar, CEP: , São Paulo, SP rodrigogedra@yahoo.com.br RESUMO O Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea (Heterogeeous Fleet Vehicle Routig Problem HFVRP) é uma ariação do Problema clássico de Roteirização de Veículos (VRP), ode ao iés de homogêea, a frota de eículos é heterogêea. O objetio do HFVRP é miimizar a soma dos custos fixos dos eículos e dos custos ariáeis de roteirização. Os custos fixos são os custos de aquisição e mauteção da frota de eículos. Os custos de roteirização são proporcioais à distâcia total percorrida. Há duas ariações do VRP com frota heterogêea. O úmero de eículos de cada tipo pode ser limitado ou fixo (Heterogeeous Fixed Fleet Vehicle Routig Problem - HFFVRP) ou ilimitado, ode, além do tamaho da frota, é ecessário determiar a composição da frota (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem - FSMVRP). Este trabalho apreseta os pricipais métodos de solução ecotrados a literatura para o VRP com frota heterogêea e suas extesões. PALAVRAS CHAVE. Problema de roteirização de eículos com frota heterogêea. Heurísticas. Metaheurísticas. Área de classificação pricipal (metaheurísticas). ABSTRACT The Heterogeeous Fleet Vehicle Routig Problem (HFVRP) is a extesio of the classical ehicle routig problem (VRP), where the fleet of ehicles is heterogeeous istead of homogeeous. The objectie of the HFVRP is to miimize the sum of fixed ehicle costs ad ariable routig costs. The ehicle costs are the total acquisitio ad maiteace costs of a heterogeeous fleet. The routig costs are related to the total distace traeled. There are two ariats for the VRP with heterogeeous fleet. Firstly, the umber of ehicles of each type ca be limited (Heterogeeous Fixed Fleet Vehicle Routig Problem HFFVRP) or ulimited, where it is ecessary to determie the size ad the compositio of the fleet (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem FSMVRP). This work presets the mai solutio methods i the literature for the VRP with heterogeeous fleet ad its extesios. KEYWORDS. Vehicle routig problem with heterogeeous fleet. Heuristics. Metaheuristics. Mai area (metaheuristics). [ 424 ]

2 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto. Itrodução Os problemas de roteirização de eículos (Vehicle Routig Problems - VRPs), que são de atureza combiatória, pertecem a uma categoria ampla de problemas de pesquisa operacioal cohecida como problemas de otimização de rede. Nessa categoria ecotram-se problemas clássicos, como problema de fluxo máximo, problema do camiho míimo, problema de trasporte, problema de desigação (GOLDEN; BALL; BODIN, 98). Os Problemas de Roteirização de Veículos têm recebido muita ateção os últimos aos em fução de sua aplicabilidade e importâcia ecoômica a determiação de estratégias eficietes de distribuição, com o objetio de reduzir os custos operacioais o sistema de distribuição. Da mesma forma, ariates do VRP têm sido bastate estudadas a literatura. O problema clássico de roteirização de eículos (VRP) tem como objetio ecotrar um cojuto de rotas com o meor custo possíel (miimizar custo total de iagem, distâcia total percorrida, úmero de eículos, etc), iiciado e termiado o depósito, de forma que a demada de todos os ós são atedidas. A demada é determiística. Cada ó é atedido uma úica ez, por um úico eículo, e cada eículo possui capacidade limitada. Algumas formulações também apresetam restrição de tempo máximo de iagem. O Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea (Heterogeeous Fleet Vehicle Routig Problem HFVRP) é uma ariação do Problema clássico de Roteirização de Veículos, ode ao iés de homogêea, a frota de eículos é heterogêea. Cotrário ao Problema clássico de Roteirização de Veículos, o objetio do HFVRP é miimizar a soma dos custos fixos dos eículos e dos custos ariáeis de roteirização. Os custos fixos são os custos de aquisição e mauteção da frota de eículos. Os custos de roteirização são proporcioais à distâcia total percorrida e podem ser depedetes ou ão do tipo de eículo. Há duas ariações do VRP com frota heterogêea. O úmero de eículos de cada tipo pode ser limitado ou fixo (Heterogeeous Fixed Fleet Vehicle Routig Problem HFFVRP) ou ilimitado, ode, além dos roteiros e da cofiguração ideal dos eículos em termos de tamaho, é ecessário determiar a composição da frota (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem FSMVRP). Lestra e Riooy Ka (98) aalisaram a complexidade de problemas de roteirização de eículos, e cocluíram que praticamete todos os problemas de roteirização de eículos são NP-hard (etre eles o problema do caixeiro iajate e o problema clássico de roteirização de eículos), pois ão são resolidos em tempo poliomial. De acordo com Bodi (990), muitos dos problemas descritos a literatura modelam de forma simplificada os problemas reais. Gedreau et al. (999), Dullaert et al. (2002) e Taillard (999) afirmam que o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea de eículos (FSMVRP), o FSMVRP com jaelas de tempo (FSMVRPTW) e o problema de roteirização com frota heterogêea fixa (HFFVRP), respectiamete, também são NP-completos por serem extesões do VRP. Yama (2006) apresetou formulações e desigualdades álidas para o problema de roteirização de eículos com frota heterogêea. Este trabalho tem como objetio apresetar os pricipais métodos de solução ecotrados a literatura para problemas de roteirização de eículos com frota heterogêea e suas extesões. Os métodos de solução podem ser classificados em 3 categorias: métodos exatos, métodos heurísticos e métodos emergetes ou metaheurísticas. Os métodos exatos garatem a solução ótima do problema. Como foi dito ateriormete, a maioria dos problemas de roteirização de eículos pertecem à classe NPcompleto. Os algoritmos de tempo poliomial para achar a solução ótima resolem apeas problemas de pequeo porte, que ão refletem a realidade. Por isso, pouca ateção tem sido dada à busca de soluções ótimas. Como o VRP com frota heterogêea é NP-Completo e istâcias com 00 clietes ou mais são muito difíceis de serem resolidas de forma ótima, as estratégias de solução utilizadas são heurísticas e metaheurísticas. [ 425 ]

3 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto Os métodos heurísticos ão garatem a solução ótima, mas geralmete resultam em soluções sub-ótimas de grade qualidade a um esforço computacioal melhor. Nicholso (97) defie heurísticas como um procedimeto para resoler problemas atraés de um efoque ituitio, em geral racioal, o qual a estrutura do problema possa ser iterpretada e explorada iteligetemete para obter uma solução razoáel. Reees (993) defie heurísticas como uma técica que busca boas soluções (perto da ótima) com um custo operacioal razoáel, sem garatir soluções factíeis ou ótimas e, em muitos casos, ão é capaz de afirmar quão próximo uma solução factíel está da solução ótima. Além da teoria da complexidade computacioal represetar uma forte justificatia para a utilização de métodos heurísticos a solução de VRP, outro forte argumeto apresetado pelo autor correspode à possibilidade de modelar o problema real com maior precisão, uma ez que as heurísticas são mais flexíeis e aptas a operar com fuções objetios e/ou restrições mais complicadas e mais realistas do que os algoritmos exatos. Os métodos emergetes reúem técicas mais recetes e aaçadas, como as metaheurísticas busca tabu, algoritmos geéticos, simulated aealig, etc (CUNHA, 997). Embora os métodos emergetes possam ser classificados como métodos heurísticos, foram classificados isoladamete por utilizar dois ou mais procedimetos, com o objetio de modificar e aprimorar gradualmete a solução. A seqüêcia do artigo está detalhada a seguir. O item 2 apreseta a defiição do VRP com frota heterogêea, que iclui a formulação matemática do problema. Os pricipais métodos de solução ecotrados a literatura para o VRP e suas extesões estão o item 3. Fialmete, o item 4 estão as coclusões e futuras pesquisas. 2. Defiição do Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea A partir de um úico cetro de distribuição, que distribui um úico produto, são atedidos N clietes a cada dia. Os clietes são abastecidos atraés de uma frota de eículos heterogêea, que pode ser limitada ou ilimitada. Os eículos possuem restrição de capacidade C. Para um determiado dia, a demada de cada cliete i é d i. Os eículos saem e retoram ao depósito. Dada a demada das lojas em um determiado dia, o objetio do modelo é determiar um cojuto de roteiros iáeis, de forma a miimizar o custo total de distribuição (soma dos custos fixos e dos custos ariáeis de roteirização), respeitado todas as restrições do problema. As restrições são: Ateder a demada de todas as lojas; Cada tipo de eículo tem uma capacidade C ; Os eículos saem e retoram ao depósito; Cada cliete é atedido exatamete uma ez. As pricipais hipóteses e características do problema são: A demada das lojas é determiística; Todas as etregas são cosideradas úicas e ão periódicas, de modo que, a cada dia, os pedidos deem ser formulados oamete (horizote de plaejameto de um dia); A frota de eículos é heterogêea; Os custos de roteirização ariam coforme o tipo do eículo. Cosidere um cojuto de N clietes a serem atedidos. Em um determiado dia, a demada d i de cada cliete i {,2,...,} dee ser atedida. O poto 0 represeta o depósito. A cada cliete i estão associados: uma demada d i ; [ 426 ]

4 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto um tempo de atedimeto s i que represeta o tempo de descarga dos eículos (tempo médio de todos os processos admiistratios, burocráticos e de operação). A cada eículo estão associados: uma capacidade máxima C, que pode ser represetada por uma restrição de peso e olume. um custo fixo por iagem CF, que egloba os custos de capital do eículo, remueração do motorista e ajudates, despesas como seguro, liceciameto, taxas, etc. um custo ariáel CV em fução da distâcia (km), que correspode aos custos de combustíel, mauteção do eículo, peus, lubrificates, etc. Um roteiro pode ser formado por uma úica loja ou por árias lojas. A cada rota estão associados: Deslocameto do ó i = 0 (depósito) até um ó j, j =,..., (loja) Deslocameto etre lojas, o caso de carga fracioada (do ó i, i =,..., até o ó j, j =,..., ; percorrida t = t e d = d. ji Deslocameto do ó i, i =,..., (loja) até o depósito j = 0. Cada deslocameto etre os ós i e j requer um tempo de iagem t e uma distâcia d. As matrizes de tempos de iagem e de distâcias são simétricas, ou seja, ji As ariáeis de decisão do modelo são: x =, se j é atedido após i pelo eículo ; 0, caso cotrário. O objetio do modelo é miimizar o custo total de trasporte (soma dos custos fixos e ariáeis dos eículos), de forma que a demada de todos os clietes seja atedida e as demais restrições do problema sejam respeitadas. A formulação completa do problema está detalhada a seguir com base os trabalhos de Golde et al. (984) e Ombuki, Ross e Hashar (2004). A fução objetio pode ser escrita da seguite forma: mi m j= = CF x 0 j + m i= 0 j= 0 = CV d x As restrições do modelo são: m = i= 0 x = j = 0,..., () A restrição () que garate que cada értice seja isitado exatamete uma ez. j= 0 = x j =, 2,..., m (2) cliete. A restrição (2) garate que cada eículo saia do depósito e chegue a um determiado [ 427 ]

5 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto i= 0 xip x pj = 0 p = 0,..., ; =,..., m j= 0 (3) A restrição (3) é a restrição de coseração dos fluxos de etrada e saída; garate que cada eículo saia de um determiado cliete e retore ao depósito. i=, + = xi =, 2,..., m (4) A restrição (4) garate que cada eículo saia de um determiado cliete e retore ao depósito. i= di x C =, 2,..., m j= (5) A restrição (5) garate que a capacidade de cada eículo ão será excedida. Ti + si + t M ( x ) T j i =,..., ; j =,..., ; =,..., m (6) A equação (6) impõe o horário míimo de iício de atedimeto do cliete j em uma determiada rota ( T ) e também garate que ão haja formação de subtours. A costate j é um úmero suficietemete grade, por exemplo, M = b + t a. i j M { } x 0, i = 0,..., ; j = 0,..., ; =,..., m (7) Fialmete a equação (7) garate que as ariáeis de decisão x sejam biárias. 3. Métodos de solução para Problemas de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea Este item apreseta os pricipais métodos de solução ecotrados a literatura para Problemas de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea e suas extesões. 3. Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea Fixa (Heterogeeous Fixed Fleet Vehicle Routig Problem HFFVRP) a) Métodos heurísticos Taillard (999) propôs uma heurística baseada o método de geração de coluas para resolução do problema de roteirização de eículos com frota heterogêea e limitada. Os custos ariáeis são depedetes do tipo de eículo, ou seja, diferem em fução do tamaho de eículo. O objetio é determiar os roteiros de etrega que miimizam a soma dos custos fixos e dos custos de iagem. A geração de coluas é baseada em um procedimeto de memória adaptia de Taillard (994) para implemetação de busca tabu. Segudo o autor, o método também é capaz de resoler o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea de eículos (FSMVRP). Taillard gerou um cojuto de istâcias para o problema de roteirização de eículos com frota heterogêea fixa (HFFVRP). Segudo Taillard, o método é robusto e eficiete, particularmete para istâcias de problemas de médio e grade porte. b) Metaheurística Bata Taratilis, Kiraoudis e Vassiliadis (2004) implemetaram uma oa metaheurística [ 428 ]

6 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto deomiada BATA (Back-Trackig Adaptatie Threshold Acceptig) para o problema de roteirização de eículos com frota de eículos heterogêea fixa (HFFVRP). A idéia fudametal desta classe de algoritmos é permitir moimetos que melhorem o alor da fução objetio, de forma a escapar de míimos locais. O úmero de eículos de cada tipo é limitado e os custos ariáeis diferem em fução do tipo de eículo. O algoritmo foi aplicado para resolução de oito istâcias de problemas de Taillard (999) e, segudo os autores, o método é robusto e eficiete, pois superou os melhores resultados obtidos por Taillard a maioria dos problemas. 3.2 Problemas de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea Fixa e Restrições de Jaelas de Tempo (Heterogeeous Fixed Fleet Vehicle Routig Problem with Time Widows HFFVRPTW) a) Métodos heurísticos Cuha (997) implemetou a heurística de agrupameto e alocação seqüecial heurísticas para um problema de roteirização de eículos com frota heterogêea fixa e restrições de jaela de tempo, capacidade dos eículos e duração máxima da jorada de trabalho (HFFVRPTW). A estratégia de solução é baseada a relaxação lagragiaa e um algoritmo de etiquetameto permaete. A heurística de agrupameto e alocação seqüecial foi aplicada em um problema real de distribuição com um total de 36 etregas, resultado em uma redução da distâcia total percorrida, dos custos operacioais e do úmero de eículos ecessário. b) Busca Tabu Rochat e Semet (994) implemetaram a metaheurística busca tabu para um problema de distribuição de rações de aimais com frota heterogêea fixa e restrições de jaela de tempo, duração da jorada de trabalho, capacidade dos eículos e restrições quato ao tipo de eículo para atedimeto de algus clietes. A solução iicial é baseada a heurística de iserção de Solomo (987). O algoritmo busca tabu utiliza estratégias de relaxação das restrições e itesificação. Atraés da relaxação das restrições, é possíel expadir o espaço de soluções. Segudo os autores, o modelo é capaz de gerar boas soluções em um tempo computacioal razoáel. As soluções do modelo foram comparadas com a solução atual da empresa e, segudo os autores, erificou-se que a distâcia total percorrida foi reduzida sigificatiamete com a aplicação do método. 3.3 Problema de Dimesioameto e Roteirização de uma Frota Heterogêea de Veículos (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem FSMVRP) a) Métodos heurísticos Golde et al. (984) implemetaram heurísticas baseadas o método das ecoomias de Clarke e Wright (964) e o roteiro gigate (roteiriza depois agrupa) para o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea de eículos (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem FSMVRP). O objetio é miimizar a soma dos custos fixos e ariáeis dos eículos. Como os custos de iagem idepedem do tipo de eículo utilizado, os custos ariáeis de roteirização são proporcioais à distâcia total percorrida. Foram implemetadas também heurísticas de melhorias baseadas a troca de arcos do tipo 2-opt e 3-opt. As heurísticas de Golde et al. buscam superar a deficiêcia da heurística de ecoomias para problemas com frota heterogêea, substituido as distâcias por custos ariáeis uitários multiplicados pela distâcia e adicioado o custo fixo do meor eículo capaz de ateder a demada solicitada. Os autores geraram um cojuto de istâcias de problemas para o FSMVRP. Desrochers e Verhoog (99) estudaram uma extesão da heurística de ecoomias proposta por Golde et al. (984) para o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea. O objetio é determiar a composição da frota e um cojuto de rotas que miimizem os custos fixos dos eículos (custo de aquisição e mauteção da frota) e os custos de roteirização que são proporcioais à distâcia total percorrida, respeitado as restrições de capacidade dos eículos e duração máxima da jorada de trabalho. As ecoomias eram baseadas [ 429 ]

7 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto em um problema de emparelhameto poderado (weighted matchig problem), ou seja, a fusão de sucessias rotas. A cada iteração, a melhor fusão é selecioada atraés do problema de emparelhameto poderado. Ao iés de uir os potos em ordem decrescete de ecoomias, os autores propuseram resoler um problema de desigação em grafo bipartido, cosiderado-se todas as possibilidades de combiação de potos e roteiros. A idéia é ecotrar a solução do problema de desigação que maximize as ecoomias totais, dadas pela soma das ecoomias das rotas uidas (TEIXEIRA; CUNHA, 2002). Segudo os autores, o método apreseta bos resultados, é de fácil implemetação e é meos míope do que outras heurísticas de ecoomia. Gouêa (992) propôs uma extesão do método de partição múltipla do roteiro gigate proposto por Golde et al. (984) para o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea de eículos, com restrições de capacidade e duração máxima da jorada de trabalho. Gouêa propôs também um procedimeto de alocação de frotas baseado em iserção seqüecial e de melhoria das soluções obtidas atraés de trocas de arcos do tipo 2-opt. Os custos ariáeis diferem em fução do tipo de eículo. Salhi e Rad (993) deseoleram uma heurística de sete fases para o FSMVRP. O objetio é miimizar a soma dos custos fixos dos eículos e dos custos de roteirização que são proporcioais à distâcia total percorrida. O algoritmo é baseado os seguites moimetos: ) combiação de rotas; 2) elimiação de rotas ode os clietes elimiados são iseridos em outras rotas existetes; 3) iserção de clietes de uma determiada rota em outra; 4) fracioameto de grades rotas em rotas meores; 5) troca de clietes etre rotas. O procedimeto foi aplicado o cojuto de problemas proposto por Golde et al. (984). Segudo os autores, o algoritmo superou os melhores resultados obtidos a literatura em 7 casos. Teixeira e Cuha (2002) implemetaram três heurísticas com base o método de ecoomias de Clarke e Wright (964), os trabalhos de Golde et al. (984) e Desrochers e Verhoog (99), para o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea (FSMVRP) com restrição de capacidade dos eículos. A primeira heurística, chamada heurística básica, é baseada o trabalho de Desrochers e Verhoog (99) e é uma geeralização do método de ecoomias de Clarke e Wright (964). Porém, este caso, o problema de desigação em grafo bipartido foi modelado como um Problema de Circulação com Custo Míimo e resolido atraés do algoritmo Out-of-Kilter. Os resultados mostraram que o tempo de processameto desta heurística foi eleado. Com o objetio de melhorar o desempeho computacioal da heurística básica e da heurística de Desrochers e Verhoog (99), Teixeira e Cuha propuseram uma heurística modificada deomiada heurística híbrida. A cada solução do problema de desigação uem-se todas as rotas que fazem parte da solução, ao iés de uir apeas o par de maior ecoomia, como proposto pelos autores. A terceira heurística, chamada heurística de seleção direta, é uma adaptação da heurística de ecoomias proposta por Golde et al. (984). Segudo os autores, a heurística híbrida gerou soluções de melhor qualidade em relação à heurística de Desrochers e Verhoog (99) e à heurística básica. Além disso, todas apresetaram resultados melhores que a heurística de ecoomias geeralizada proposta por Golde et al. (984), em que os potos são uidos seqüecialmete, em ordem decrescete de ecoomias. A heurística de seleção direta apresetou o pior resultado. Apesar de gerar soluções de alta qualidade, o tempo de processameto da heurística híbrida aida é muito eleado, o que dificulta a aplicação destas heurísticas a problemas reais. Choi e Tcha (2006) deseoleram um método de geração de coluas para resolução do FSMVRP. O objetio é miimizar os custos fixos e os custos ariáeis por uidade de distâcia. Os autores testaram o algoritmo em três cojutos de problemas, gerados a partir da istâcia de Golde et al. (984). Segudo os autores, o algoritmo apresetado superou os melhores resultados ecotrados a literatura, tato em termos de qualidade quato tempo computacioal. b) Busca Tabu Gedreau et al. (999) implemetaram a metaheurística busca tabu para o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea de eículos. A frota de eículos é [ 430 ]

8 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto ilimitada e os custos ariáeis são depedetes do tipo de eículo. A solução iicial é obtida atraés do algoritmo GENI e, o fial desta fase, cada rota é reotimizada atraés da fase US. A busca tabu é baseada em um procedimeto de memória adaptia (adaptie memory procedure AMP) deseolida por Rochat e Taillard (995). O algoritmo foi implemetado em 2 istâcias de Golde et al. (984) e em 8 istâcias de Taillard (999). Segudo os autores, o algoritmo gerou soluções de alta qualidade, superado, em ários casos, as melhores soluções obtidas a literatura. Wassa e Osma (2002) implemetaram a metaheurística busca tabu para o FSMVRP. O objetio é determiar a composição ótima da frota e os roteiros de etrega de forma a miimizar a soma dos custos fixos e ariáeis dos eículos. A frota de eículos é ilimitada e os custos ariáeis são depedetes do tipo de eículo. Foram implemetados quatro mecaismos de izihaça, baseados a troca etre operadores. Os autores mostraram que o desempeho do algoritmo ão depede do tamaho da izihaça e sim, da estratégia utilizada a izihaça e do procedimeto de busca. O algoritmo foi aplicado o cojuto de 20 istâcias de Golde et al. (984) e em 8 istâcias de Taillard (999). Segudos os autores, o algoritmo se mostrou eficiete tato em termos computacioais como de qualidade da solução, superado os melhores resultados obtidos para algumas istâcias de problemas. 3.4 Problema de Dimesioameto e Roteirização de uma Frota Heterogêea de Veículos com Restrições de Jaelas de Tempo (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem with Time Widows FSMVRPTW) a) Métodos heurísticos Liu e She (999) implemetaram uma heurística de iserção seqüecial baseada o algoritmo de ecoomias para um problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea de eículos com jaelas de tempo (FSMVRPTW). O objetio do FSMVRPTW é miimizar a soma dos custos fixos e dos custos de roteirização dos eículos que são proporcioais à distâcia total percorrida. O algoritmo foi implemetado em 68 problemas que são adaptações do cojuto de istâcias de Solomo (987) para frota heterogêea. A heurística também foi implemetada o cojuto de problemas proposto por Golde et al. (984) para FSMVRP. Segudo os autores, a heurística apresetou bos resultados para ambos os casos. Dullaert et al. (2002) implemetaram três heurísticas para o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea de eículos com restrições de jaelas de tempo (FSMVRPTW). Os algoritmos são extesões da heurística de iserção seqüecial I de Solomo e, além do acréscimo de distâcia e tempo, cosidera-se um custo baseado as ecoomias de Golde et al. (984) para iserção de um cliete. O objetio é miimizar a soma dos custos fixos e dos custos de iagem que são proporcioais à distâcia total percorrida. As heurísticas são implemetadas o cojuto de problemas de Liu e She (999) que são adaptações das istâcias de Solomo (987). A aálise dos resultados é baseada o tempo total das rotas, excluido o tempo de seriço, e, segudo os autores, a melhoria foi superior a 50% em muitos problemas. Outras referêcias sobre problemas de roteirização com frota heterogêea podem ser ecotradas em Gheyses et al. (984), Gheyses et al. (986), Ferlad e Michelo (988), Salhi et al. (992), Taillard, Laporte e Gedreau (996), Bradão e Mercer (997). O quadro apreseta as características específicas de cada um dos trabalhos apresetados este capítulo, como tipo de problema, restrições, método de solução e fução objetio. [ 43 ]

9 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto Quadro - Sumário dos pricipais métodos de solução para VRP com frota heterogêea e suas extesões. Referêcia Tipo de Restrições Método de Fução Bibliográfica Problema Solução objetio Taillard (999) HFFVRP capacidade dos eículos heurística mi geração de coluas custos fixos + custos de iagem Taratilis et al. (2004) HFFVRP capacidade dos eículos metaheurística mi BATA custos fixos + custos de iagem Cuha (997) HFFVRPTW capacidade dos eículos heurística mi jaelas de tempo relaxação lagragiaa custos fixos + duração máxima jorada distâcia total + tempo total rotas Rochat e Semet (994) HFFVRPTW capacidade dos eículos metaheurística mi jaelas de tempo busca tabu distâcia total + duração máxima jorada tempo total rotas tipo de eículo Golde et al. (984) FSMVRP capacidade dos eículos heurísticas costrutias mi ecoomias custos fixos + roteiro gigate distâcia total heurísticas de melhoria troca de arcos Desrochers e Verhoog (99) FSMVRP capacidade dos eículos heurística costrutia mi duração máxima jorada ecoomias custos fixos + distâcia total Gouêa (992) FSMVRP capacidade dos eículos heurísticas costrutias mi duração máxima jorada ecoomias custos fixos + roteiro gigate custos de iagem heurística de melhoria troca de arcos Salhi e Rad (993) FSMVRP capacidade dos eículos heurística de melhoria mi duração máxima jorada combiação de rotas custos fixos + elimiação de rotas distâcia iserção clietes em outra rota fracioameto de rotas troca de ós etre rotas Teixeira e Cuha (2002) FSMVRP capacidade dos eículos heurísticas costrutias mi ecoomias custos fixos + custos de iagem Gedreau et al. (999) FSMVRP capacidade dos eículos metaheurística mi busca tabu custos fixos + custos de iagem Wassa e Osma (2002) FSMVRP capacidade dos eículos metaheurística mi busca tabu custos fixos + custos de iagem Yama (2006) FSMVRP capacidade dos eículos heurística mi geração de coluas custos fixos + custos de iagem Liu e She (999) FSMVRPTW capacidade dos eículos heurística costrutia mi jaelas de tempo iserção sequecial custos fixos + baseada em ecoomias distâcia total Dullaert et al. (2002) FSMVRPTW capacidade dos eículos heurística costrutia mi jaelas de tempo iserção sequecial custos fixos + distâcia total Legeda: HFFVRP: Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea Fixa HFFVRPTW: HFFVRP com Restrições de Jaelas de Tempo FSMVRP: Problema de Dimesioameto e Roteirização de uma Frota Heterogêea de Veículos FSMVRPTW: FSMVRP com Restrições de Jaelas de Tempo [ 432 ]

10 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto 4. Coclusões e Futuras Pesquisas Este trabalho apresetou os pricipais métodos de solução ecotrados a literatura para Problemas de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea e suas extesões. Os tipos de problemas estudados foram: Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea Fixa (Heterogeeous Fixed Fleet Vehicle Routig Problem HFFVRP), Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea Fixa e Restrição de Jaelas de Tempo (Heterogeeous Fixed Fleet Vehicle Routig Problem with Time Widows HFFVRPTW), Problema de Dimesioameto e Composição de uma Frota Heterogêea de Veículos (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem FSMVRP) e Problema de Dimesioameto e Composição de uma Frota Heterogêea de Veículos com Restrição de Jaelas de Tempo (Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem with Time Widows FSMVRPTW). A maioria dos problemas estudados pertece à classe FSMVRP (Problema de Dimesioameto e Composição de uma Frota Heterogêea de Veículos), o qual o úmero de eículos é ilimitado e o objetio é determiar, além dos roteiros e da cofiguração ideal dos eículos em termos de tamaho, a composição da frota. Além disso, a maioria dos problemas estudados ão possui restrição de jaela de tempo. Como o problema é NP-completo, todas as estratégias de solução utilizam métodos heurísticos e métodos emergetes (metaheurísticas) ao iés de exatos. Diersos trabalhos utilizam heurísticas costrutias e de melhoria, com o objetio de ecotrar uma solução de boa qualidade em um tempo computacioal razoáel. Com o objetio de melhorar soluções obtidas atraés de heurísticas costrutias, são implemetadas metaheurísticas. Para o Problema de Roteirização de Veículos com Frota Heterogêea, podemos ecotrar as metaheurísticas busca tabu e BATA (Back-Trackig Adaptatie Threshold Acceptig). Como futuras pesquisas espera-se uma maior itegração dos problemas de roteirização de eículos, icorporado, além dos modelos de estoque, aspectos de produção. Além disso, sugere-se o estudo de oas metaheurísticas para o HFVRP e suas extesões, como algoritmos geéticos, scatter search, colôia de formigas, etc. Referêcias Bodi, L.D. (990), Twety Years of Routig ad Schedulig, Operatios Research, 38, 4, Bradão, J. e Mercer, A. (997), A tabu search algorithm for the multi-trip ehicle routig ad schedulig problem, Europea Joural of the Operatioal Research, 00,, Choi, E. e Tcha, D.W. (2006), A colum geeratio approach to the heterogeeous fleet ehicle routig problem, Computers & Operatios Research, 2006, aceito para publicação. Clarke, G. e Wright, J.W. (964), Schedulig of Vehicles from a Cetral Depot to a Number of Deliery Poits, Operatios Research, 2, 4, Cuha, C. B. (997), Uma Cotribuição para o Problema de Roteirização de Veículos com Restrições Operacioais. São Paulo, p. Tese (Doutorado em Egeharia de Trasportes) Escola Politécica, Uiersidade de São Paulo. Desrochers, M. e Verhoog, T.W. (99), A ew heuristic for the fleet size ad mix ehicle routig problem, Computers & Operatios Research, 8, 3, Dullaert, W., Jasses, G.K., Sörese, K. e Verimme, B. (2002), New heuristics for the Fleet Size ad Mix Vehicle Routig Problem with Time Widows, Joural of the Operatioal Research Society, 53,, Ferlad, J.A. e Michelo, P. (988), The ehicle schedulig problem with multiple ehicle types, Joural of the Operatioal Research Society, 39, 6, Gedreau, M., Laporte, G., Musaragayi, C. e Taillard, E.D. (999), A tabu search heuristic for the heterogeeous fleet ehicle routig problem, Computers & Operatios Research, 26, 2, Gheyses, F., Golde, B. e Assad, A. (984), A compariso of techiques for solig the fleet size ad mix ehicle routig problem, Operatios Research Spectrum, 6, 4, [ 433 ]

11 Pesquisa Operacioal a Sociedade: Educação, Meio Ambiete e Deseolimeto Gheyses, F., Golde, B. e Assad, A. (986), A ew heuristic for determiig fleet size ad compositio, Mathematical Programmig Study, 26, Golde, B., Ball, M. e Bodi, L. (98), Curret ad future research directios i etwork optimizatio, Computers & Operatios Research, 8, 2, 7-8. Golde, B.L., Assad, A., Ley, L. e Gheyses, F. (984), The fleet size ad mix ehicle routig problem, Computers & Operatios Research,,, Gouêa, M.T. (992), Algoritmos para a resolução de um problema geral de roteameto de múltiplos eículos. São Paulo, p. Dissertação (Mestrado em Egeharia Naal) Escola Politécica, Uiersidade de São Paulo. Lestra, J.K. e Riooy Ka, A.H.G. (98), Complexity of Vehicle ad Schedulig Problems, Networks,, 2, Liu, F.H. e She, S.Y. (999), The fleet size ad mix ehicle routig problem with time widows, Joural of Operatioal Research Society, 50, 7, Nicholso, T. (97), Optimizatio i idustry, optimizatio techiques, Logma Group Limited,.. Ombuki, B., Ross, B. e Hashar, F. (2006), Multi-Objectie Geetic Algorithms for Vehicle Routig Problems with Time Widows, Applied Itelligece, 24,. Reees, C.R. (993), Moder Heuristic Techiques for Combiatorial Problems, Joh Wiley & Sos. Ic. New York, NY. Rochat, Y. e Semet, F. (994), A Tabu Search Approach for Delierig Pet Food ad Flour i Switzerlad, Joural of the Operatioal Research Society, 45,, Rochat, Y. e Taillard, E.D. (995), Probabilistic Diersificatio ad Itesificatio i Local Search for Vehicle Routig, Joural of Heuristics,,, Salhi S., Sari, M., Saidi, D. e Touati, N. (992), Adaptatio of some ehicle fleet mix heuristics, Omega, 20, 5-6, Salhi, S. e Rad, G.K. (993), Icorporatig ehicle routig ito the ehicle fleet compositio problem, Europea Joural of Operatioal Research, 66, 3, Solomo, M. M. (987), Algorithms for the Vehicle Routig ad Schedulig Problems with Time Widows Costraits, Operatios Research, 35, 2, Taillard, É.D. (994), A diersificatio/itesificatio techique for local searches applied to ehicle routig problem, Iteral report. Taillard, É.D., Laporte, G. e Gedreau, M. (996), Vehicle routeig with multiple use of ehicles, Joural of the Operatioal Research Society, 47, 8, Taillard, É.D. (999), A heuristic colum geeratio method for the heterogeeous fleet VRP, RAIRO Recherche Opératioelle, 33,, -4. Taratilis, C.D., Kiraoudis, C.T. e Vassiliadis, V.S. (2004), A threshold acceptig metaheuristic for the heterogeeous fixed fleet ehicle routig problem, Europea Joural of Operatioal Research, 52,, Teixeira, R. G. e Cuha, C. B. (2002), Heurísticas para o problema de dimesioameto e roteirização de uma frota heterogêea utilizado o algoritmo out-of-kilter, Trasportes, 0, 2. Wassa, N.A. e Osma, I.H. (2002), Tabu search ariats for the mix fleet ehicle routig problem, Joural of the Operatioal Research Society, 53, 7, Yama, H. (2006), Formulatios ad alid iequalities for the heterogeeous ehicle routig problem, Mathematical Programmig, 06, 2, [ 434 ]