ANÁLISE DE REDES 1. INTRODUÇÃO

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1 ANÁLISE DE REDES Luiz Atoio Nogueira Lorea LAC - Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada INPE - Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais 1. INTRODUÇÃO A aálise espacial apreseta várias aplicações quado podem ser idetificadas redes para apoio e defiição de problemas. As redes são etidades formadas por potos (ós ou vértices) e lihas (arcos ou arestas) que descrevem de maeira atural vias públicas, coexões de água, telefoia, e outros. As redes para modelos urbaos descrevem em geral ruas, aveidas e suas iterseções (cruzametos). São vários os problemas que podem ser modelados em redes. O coceito espacial de distâcia é usado, combiado com iformações de demadas e capacidades de serviços. Podemos dividir e classificar os problemas como de localização e os relacioados a trasportes. Neste capítulo serão descritos algus problemas importates que podem ser defiidos em redes e usam o aspecto da distribuição espacial dos dados. O maior efoque será dado aos problemas de localização de facilidades. A maioria dos problemas tratados é cosiderada de difícil solução, algus pertecetes à classe NP-hard. Os problemas de localização estão divididos em problemas de cobertura e o problema de localização de mediaas. Além desses são discutidos algus problemas relacioados ao roteameto de veículos. Também será apresetado um algoritmo eficiete de localizaçãoalocação alteradas para os problemas de localização e que pode ser aplicado também a problemas de roteameto de veículos. Este algoritmo simples ecotra soluções de qualidade a problemas de clusterig (o caso os de localização e roteameto). No que segue, serão descritos os problemas de localização, roteameto e a heurística (algoritmo) de localização-alocação. Algumas cosiderações fiais são apresetadas.

2 2. PROBLEMAS BÁSICOS Iicialmete vamos recordar um coceito importate para a modelagem de problemas em redes. Este é o coceito de camiho míimo etre dois potos a rede. Por exemplo, a rede represetada a figura 1, os vértices podem represetar cetros de população e iterseções de ruas ou aveidas em uma rede urbaa, ou potos de demada e iterseções de rodovias em um mapa de cidades. As arestas são usadas para represetar ruas ou segmetos de rodovias. Uma aveida importate pode ser represetada por várias arestas. Podem existir vários camihos etre pares de vértices, que passem pelas arestas (soma dos valores que aparecem as arestas). Etre os potos A e C está claro que o meor camiho vale 1, mas começa a ficar difícil decidir o meor camiho etre B e J, devido ao grade úmero de opções. Existem vários algoritmos que podem ser usados para respoder esta questão. Um dos mais atigos e fudametal é cohecido com o algoritmo de Dijkstra [19]. Algoritmos mais rápidos existem e podem ser ecotrados em vários livros de otimização (veja, por exemplo [10]). Figura 1: Uma rede iicial Para algus casos desejamos ecotrar a matriz de distâcias de camihos míimos etre cada vértice e todos os outros vértices da rede. O algoritmo de Floyd [19] costrói esta matriz. Este e outros algoritmos de redes, que são eficietes do poto de vista computacioal (por exemplo, o de ecotrar uma árvore geradora de peso míimo), podem

3 ser cosultados os livros [8, 10, 19], e portato ão serão descritos este capítulo. Para os problemas de localização e roteameto que serão descritos a seguir, ão ecotramos tais algoritmos eficietes. Quato maior o problema (etrada de dados) o tempo para resolvelos pode se torar expoecialmete maior. Mais adiate estaremos sugerido uma heurística simples para uma classe de problemas de localização que podem ser cosiderados como problemas de clusterig. 3. PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO Problemas de localização tratam de decisões sobre ode localizar facilidades, cosiderado clietes que devem ser servidos, de forma a otimizar um certo critério. O termo "facilidades" pode ser substituído por fábricas, depósitos, escolas, etc., equato que clietes se referem a depósitos, uidades de vedas, estudates, etc. Em geral os vários cetros selecioados que podem ser localizados, podem também ser alocados ao subcojuto de cetros que serão abertos. Desta forma também são cohecidos como problemas de localização-alocação, devido ao processo de alocação dos outros cetros aos cetros abertos. Esta é uma área que têm despertado crescete iteresse em plaejadores, pricipalmete quado uma base de dados geograficamete refereciada pode ser usada. Departametos de Geografia de diversas uiversidades vêm matedo grupos de pesquisadores com preocupações em problemas de localização. Professores e pesquisadores formaram dois pricipais grupos de pesquisa e divulgação, o EURO Workig Group o Locatioal Aalysis e o Sectio o Locatio Aalysis - SOLA, uma sessão do INFORMS. Ambos promovem reuiões auais, a forma de cogressos, ode são discutidas aplicações e desevolvimetos relacioados a problemas de localização. As aplicações são em geral divididas para setores públicos e privados. No caso de setores públicos aplicações maximizam a satisfação dos clietes em detrimeto dos custos ecessários para o alcace de tal objetivo (em geral os custos ão são estimados com exatidão). Etre os exemplos de aplicações em setores públicos, estão, a localização de escolas, de postos de saúde, corpo de bombeiros, ambulâcias, viaturas de polícia, potos de ôibus, etre outros. No caso do setor privado, custos chamados fixos estão evolvidos, e suas aplicações evolvem em geral fábricas, depósitos, torres de trasmissão, lojas de fraquias, etc. 3.1 PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO COM COBERTURAS Na sua forma mais geral, o problema de localização de facilidades cosiste a escolha de locais para istalar um certo úmero de facilidades (servidores) que atedam um cojuto de clietes (potos de demada) distribuídos em um espaço geográfico, e determiar a alocação dos clietes etre as facilidades. Um exemplo cohecido a literatura é o problema de cobertura [12, 13].

4 Vamos iiciar com um exemplo para melhor explicar os coceitos e problemas evolvidos. Supoha que uma prefeitura deseja localizar ambulâcias para o atedimeto emergecial de pessoas acidetadas, levado-se em cota um tempo máximo de atedimeto. Na formulação do problema existem muitos objetivos que podem ser cosiderados, e estes muitas vezes são coflitates. Para o muicípio o cotrole dos custos operacioais e de capital é de suma importâcia, porém, é também importate respoder a um grade percetual de chamadas detro de um limite aceitável de tempo. A resposta a chamadas aumetará com maior úmero de estações abertas, mas obviamete, será mais caro de implemetar. Pode-se ter: a) Objetivo: Miimizar o úmero de estações de ambulâcias abertas Sujeito a: Cobrir em determiado tempo de resposta a todas as partes da cidade. b) Objetivo: Maximizar a demada que pode ser coberta em determiado tempo de resposta Sujeito a: Abrir um úmero especificado de estações. Como medir a cobertura e como modelar matematicamete? Iicialmete a população é agregada em zoas. Uma zoa pode cosistir de uma quadra ou quarteirão, ou cojutos de quarteirões. A seguir os seguites dados devem ser levatados: As posições cadidatas para localização das estações: As posições cadidatas são determiadas pela muicipalidade em um estudo prévio. Vários critérios são usados, tais como: proximidade de grades artérias, propriedade da terra, zoeameto, de estações de bombeiros que possa abrigar ambulâcias, etc. A demada de cada zoa: Pode ser estimada por dados históricos de chamadas de cada zoa, ou pela população da zoa, ou outra medida que substitua a demada. Assume-se que a população está cocetrada o cetro da zoa (zoas pequeas) O tempo de resposta etre estações de ambulâcias e zoas: Na avaliação de locais para localização de estações, os tempos de resposta da estação para várias partes da cidade deve ser calculado. O tempo do trajeto etre cada local e as zoas deve ser estimado ates do modelo ser implemetado. Um algoritmo de camiho míimo etre todos os potos da rede pode forecer subsídios para a estimativa deste tempo, levado em cota que o trajeto da ambulâcia em algus períodos do dia pode ser dificultado (por exemplo, a saída de empregados do trabalho o fial do dia).

5 Supodo potos possíveis de localização de ambulâcias, m potos de demada, as distâcias etre potos d ij, as demadas dos potos f i, e a distâcia crítica de atedimeto d, etão os modelos resultates podem ser formulados matematicamete por: a) Cobertura de cojutos sujeito a Mi j= 1 x j j= 1 aij x j 1, i = 1,..., m x j { 0,1}, j = 1,..., ode a ij 1, se dij d = 0, caso cotrário b) Máxima Cobertura [5] sujeito a m Max f i y j N i j=1 x j x x j i=1 i y, i =1,..., m j = p i {0,1}, j = 1,..., y {0,1}, i = 1,..., m i ode N = { j d d} é o cojuto de facilidades que estão a meos de uma distâcia i ij crítica d do poto de demada i. A figura 2 mostra a aplicação de uma heurística de localização-alocação (descrita a seção 5) ao problema de máxima cobertura, ode estão sedo cosiderados os dados georefereciados da região cetral de São José dos Campos (dispoíveis em Um tema de potos foi extraído, um poto por quadra, com as respectivas demadas, calculadas com base o cadastro de imóveis existete as quadras. A demada será maior, coforme aumeta o úmero de imóveis as quadras. Quadras vazias receberam a demada uitária. A solução apreseta a localização de 3 ateas trasmissoras para distribuição de serviço de iteret via rádio, com raio de ação de 800 metros (o alcace das ateas ão leva em cota as cotas dos terreos e os obstáculos que estariam o raio de ação).

6 Figura 2: Solução de máxima cobertura para 3 ateas A mesma situação poderia se refere à localização de ambulâcias. Neste caso as distâcias (etre potos e a crítica) deveriam levar em cota o deslocameto sobre um tema de lihas e potos (rede). a) b) Figura 3: Soluções do problema de cobertura de cojutos A figura 3 mostra duas soluções possíveis para o problema de cobertura de cojutos. Neste caso procura-se miimizar o úmero de cetros abertos, matedo a cobertura a totalidade dos potos de demada. Portato, a solução represetada em 3b) é melhor que a represetada em 3a).

7 3.2 LOCALIZAÇÃO DE MEDIANAS Vários problemas de localização referem-se a mediaas. A busca de p-mediaas em uma rede é um problema clássico de localização [15, 16, 27, 28]. O objetivo é localizar p facilidades ou recursos (mediaas), de forma a miimizar a soma das distâcias de cada vértice à sua facilidade (ou algum recurso) mais próxima. Na rede, os arcos seriam as rodovias ou malha viária e os ós, locais ode as facilidades (escolas, silos, etc.) podem ser localizadas. O problema das p-mediaas pode ser formulado como um problema de programação iteira biária. Cosideremos um grafo completo para uma dada istâcia, obtido através da aplicação do algoritmo de Floyd [8] e o cojuto de vértices idexados resultates {1,...,}. O problema pode ser descrito matematicamete como segue: c) p-mediaas: Mi d ij x i= 1 i=1 i= 1 j= 1 ij xij = 1, j = 1,..., x ii = p xij xii, i, j = 1,..., x ij { 0,1}, i, j = 1,..., ode, cada vértice j é alocado a somete um vértice i, que deve ser uma mediaa e o úmero exato de mediaas a ser localizado deve ser p. Algumas suposições são cosideradas para a validade deste modelo, tais como; 1. Toda a demada de um vértice é atedida por um úico cetro (mediaa) 2. Todo poto de demada deve ser servido pelo cetro mais próximo 3. Os vértices coicidem com os potos de demada 4. Não existem restrições de capacidade os vértices 5. Os custos fixos de implemetação ão são cosiderados Estas suposições podem ão valer em diversas situações. Por exemplo, se compras forem feitas em três lojas diferetes (violado a suposição 1), ou ão abastecer em um posto de gasolia que está em frete a residêcia para abastecer aquele que se ecotra o camiho do trabalho (violado a suposição 2), ou deixar de visitar algum cetro de veda por estar situado muito loge de casa (violado a suposição 3). Na localização de ovas fábricas, o modelo de p-mediaas é um modelo de alto ível que somete proporcioa uma idéia de em qual cetro populacioal as fábricas podem ser

8 localizadas. A localização mais precisa deve ser acompahada de um estudo aprofudado dos locais da cidade, baseados em zoeameto, custo da terra, rodovias, etc. Do mesmo modo o caso urbao, (por exemplo, a localização de escolas), vários outros fatores devem ser cosiderados, como acessibilidade, dispoibilidade do terreo, etc. O modelo de p-mediaas é um dos modelos de localização mais populares da literatura. Foi aplicado várias vezes para localizar cetros o setores públicos e privados. Coceitualmete, ele é muito simples, etretato, possui um úmero muito grade de soluções, e ão é sempre possível resolve-lo de forma ótima. Na seção 5 será apresetada uma heurística simples e eficiete para aproximar (com qualidade) a solução ótima deste problema. A figura 4 mostra a localização de 3 mediaas utilizado dados do cetro da cidade de São José dos Campos (dispoíveis em Os polígoos de fudo correspodem às quadras do cetro da cidade. Os potos sobrepostos são os ós de demada cosiderados. Figura 4: Localização de 3 mediaas distâcias euclidiaas Para o caso capacitado, substitui-se o modelo de p-mediaas c), as restrições xij xii, i, j = 1,..., por: f jxij j=1 b x i ii, i = 1,...,, ode: f j é a demada do ó j ;

9 b i é a capacidade de atedimeto do ó i, se este for escolhido como cetro (mediaa). As figuras 5 e 6 mostram as soluções de um problema cotedo 31 vértices, dos quais foram selecioados 3 para a istalação de facilidades. No primeiro caso cosiderou-se distâcias lieares e o segudo foram utilizadas distâcias calculadas sobre a rede que represeta um subcojuto das ruas que compõem o cetro da cidade de São José dos Campos. Como pode-se observar, existem difereças etre as soluções dos dois estudos. Figura 5: Localização de 3 mediaas caso capacitado distâcias euclidiaas Figura 6: Localização de 3 mediaas caso capacitado distâcias de rede

10 3.3 OUTROS MODELOS DE LOCALIZAÇÃO Vários outros modelos de localização podem ser ecotrados a literatura. Etre eles destacam-se: os modelos de competição: o produto que será distribuído os locais a serem localizados já cotam com produtos similares, distribuídos por cocorretes. Neste caso deseja-se etrar o mercado capturado a maior quatidade possível de demada, cosiderado as istalações dos cocorretes, os modelos probabilísticos: o recurso localizado pode ão estar dispoível quado ecessário, por exemplo, a ambulâcia localizada pode estar atededo um outro chamado quado está sedo ecessária em mais de um local ao mesmo tempo. Neste caso cosidera-se a possibilidade de uma ocorrêcia deste tipo de eveto icluido o modelo medidas de probabilidades. Também é possível cosiderar-se filas de atedimeto, etc. modelos que combiam localização e roteameto: deseja-se localizar e ao mesmo tempo sequeciar uma série de tarefas. Modelos para materiais perigosos: Localizar, por exemplo, resíduos tóxicos. Neste caso deseja-se uma grade distâcia de aglomerados populacioais. Uma técica proposta por Hillsma [17] usa edição a formulação do problema das p- mediaas, e cosegue de forma aproximada tratar outros tipos de problemas de localização usado o modelo de p-mediaas. Esta é uma idéia iteressate para a itegração de algoritmos de localização a Sistemas de Iformações Geográficas (SIGs), pois em pricípio bastaria ter-se um bom código para solução do problema de p-mediaas. Etre os modelos possíveis estão: p-mediaas com restrição de distâcia máxima: ecotra a cofiguração que miimiza a distâcia total (com pesos) percorrida de cada poto de demada a seu cetro aberto mais próximo, equato assegura que o máximo de potos possível está etre uma dada distâcia de seu cetro mais próximo. Maximização de atedimeto: ecotra a cofiguração que maximiza o atedimeto (maximiza o úmero de potos de demada servidos), assumido que desejo de atribuição de demada a cetros é liearmete proporcioal à distâcia do cetro. Miimização da distâcia total em potêcias: ecotra a cofiguração que miimiza a distâcia total percorrida de cada poto de demada a seu cetro aberto mais próximo, cosiderado distâcias idividuais elevadas ao quadrado, ao cubo, ou alguma outra fução de potêcia. Problema de Máxima Cobertura com restrição de distâcia máxima: ecotra a cofiguração que maximiza o úmero de potos de demada que se ecotram a uma dada distâcia de seu cetro mais próximo. Uma restrição secudária de maior distâcia é aplicada para assegurar que potos que ão estão abaixo da primeira distâcia serão servidos se estão abaixo da seguda distâcia.

11 O uso de SIGs para ajudar a defiição e solução de problemas de localização e roteameto aida ão está totalmete difudido a comuidade cietífica iteracioal. Mas, levadose em cota a capacidade de armazear, exibir e maipular dados espacialmete distribuídos, a itegração de algoritmos de localização aos SIGs foi iiciada há algus aos. A ESRI itegrou algus problemas ão-capacitados de localização em seu Sistema de Iformações Geográficas ArcIfo [11]. Recetemete com o desevolvimeto de dois projetos temáticos apoiados pela FAPESP [1, 2], foi iiciada a itegração de algoritmos de localização e roteameto aos SIGs ArcView [11] e ao SPRING [30] (desevolvido pelo INPE). Os algoritmos estão baseados em pesquisa recete, publicada em revistas iteracioais especializadas [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29] e estão dispoíveis a págia do projeto ( em forma de códigos itegrados ao SIGs [1, 2]. 4. ROTEAMENTO DE VEÍCULOS Problemas de distribuição aparecem em uma série de serviços, como etrega bacária, etrega postal, etrega de mercadorias, rotas de ôibus escolar, coleta de lixo idustrial, serviço de etrega oturas, operações de frete, e outros. A solução destes problemas pode dimiuir bastate o custo de distribuição, causado uma grade ecoomia tato para a idústria como para o govero. No etato, muitos destes problemas são difíceis de resolver. Estes dois atrativos fazem com que existam muitos trabalhos dispoíveis a literatura sobre estes problemas que são cohecidos como problemas de roteameto e plaejameto (schedulig). No problema clássico de roteameto de veículos, cosideram-se m clietes espacialmete distribuídos, cada um com uma demada de mercadorias. As mercadorias são etregues a partir de um depósito por uma frota de veículos homogêeos. Cada veículo realiza um percurso saido do depósito e etregado as mercadorias para um subcojuto de clietes, satisfazedo as ecessidades de demada de cada um e retorado ao depósito. A rota de cada veículo deve obedecer a algumas restrições como: a quatidade de mercadoria etregue ão deve exceder a capacidade do veículo e o tempo limite para realizar uma rota ão deve ser ultrapassado. O problema de roteameto de veículos pretede traçar rotas para os veículos, determiado a quais clietes deve-se forecer a mercadoria, de forma a ão violar as restrições e otimizar alguma fução objetivo. Normalmete são cosideradas três fuções objetivos [18]: 1. Miimizar a distâcia total percorrida (ou tempo gasto) por todos os veículos; 2. Miimizar o úmero de veículos e deste úmero míimo, miimizar a distâcia total percorrida; 3. Miimizar a combiação de custo de veículos e distâcia percorrida.

12 Uma possibilidade freqüetemete explorada as aplicações é estabelecer clusters, que satisfaçam as restrições de capacidades dos veículos, e etão sequeciar de forma ótima o roteiro de etregas dos camihões detro dos clusters. Pode-se resolver um problema de p- mediaas capacitado para determiação dos clusters, e etão aplicar um algoritmo para solução dos problemas de caixeiro viajate resultates detro dos clusters. Veja figura 7 para uma solução de rotas para 3 camihões, aproveitado a solução apresetada a figura 5 para o problema de p-mediaas capacitado. Pode-se iterpretar que o depósito esta situado fora dos clusters e os camihões devem percorrer um trajeto iicial para etrar as rotas dos clusters. Figura 7: Rotas para 3 camihões (cosiderado capacidades) Existem muitas variações do problema clássico, que podem ser cosultadas os trabalhos [4, 7, 14] (etre outros). Uma formulação matemática usual, eficiete e muito explorada é a de geração de coluas, ode o problema é formulado como um problema de cobertura/particioameto de cojutos, com um grade úmeros de coluas (geralmete descohecidas) que represetam as rotas ou programação de atividades (horários) (veja a reseha de [9] para maiores iformações). Este modelo foi aplicado com sucesso a problemas de roteameto com jaelas de tempo, isto é, períodos determiados em que o produto deve ser etregue, e aida com outras restrições que seriam difíceis de modelar com formulações distitas dos problemas de cobertura e particioameto de cojutos [3, 9]. Vale a pea citar que o modelo de cobertura a), formulado para localização é similar ao de roteameto, com uma ova iterpretação para as compoetes da matriz de cobertura. 1, se a rota passa pelo ó i Neste caso tem-se: a ij =. A fução objetivo deve levar em 0, caso cotrário cota os custos das rotas, por exemplo c j, e tem-se a formulação:

13 d) Roteameto com geração de coluas Mi c j= 1 c j x j sujeito a c j= 1 aij x j = 1, i = 1,..., m x j { 0,1}, j = 1,..., c ; ode c é o úmero de coluas, que é em geral muito grade. 5. ALGORITMOS Nesta seção será descrita a heurística de localização-alocação alterada, sugerida para aproximar a solução de problemas de clusterig. Também serão cometados outros algoritmos mais elaborados que ecotram soluções de melhor qualidade. Observe iicialmete que cada vez que se idetifica um cojuto de p cetros abertos (mediaas ou cetros para cobertura), também são idetificados p clusters C k, k {1, 2,..., p}, formados pelos cetros abertos e os alocados a estes (ou cobertos por estes). Pode-se etão tetar melhorar a qualidade das localizações e alocações (coberturas) realizado trocas detro dos clusters (e para cada cluster), realocado (cobrido) e formado ovos clusters. A heurística de localização-alocação foi ispirada os trabalhos de Cooper [6] e Taillard [31], e usada com sucesso os trabalhos [25, 23, 29]. Uma solução iicial pode ser melhorada procurado-se por uma ova mediaa (cetro aberto) detro de cada cluster, trocado-se a mediaa atual por um ó ão mediaa e recalculado-se as alocações (coberturas). Este processo se repete até que ão seja mais possível obter melhorias o custo total da alocação (cobertura). O algoritmo de localização-alocação está descrito a seguir em pseudo-código: Equato (solução-iicial melhora) Para k = 1,..., p; Troque vértices mediaa e ão-mediaa do cluster C k ; Calcule o valor v correspodete à melhor realocação (cobertura); Se v é melhor que solução-iicial Atualize a mediaa do cluster C k ; Faça solução-iicial = v ; Fim_se; Fim_para; Fim_equato;

14 A troca etre vértices mediaa e ão-mediaa em cada cluster C k, k = 1,..., p, pode ser executada para: a) Todos os vértices ão mediaas do cluster C k, ou b) Apeas para os vértices ão-mediaas alocados (cobertos) do cluster C k, ou c) Apeas para os vértices ão-mediaas localizados a uma certa distâcia (ou tempo) do vértice mediaa do cluster C k. A figura 8 apreseta uma ilustração da heurística de localização-alocação para o caso do problema de máxima cobertura. d (a) Solução iicial (b) Após realocação Figura 8: Ilustração da heurística de localização-alocação Caso os clusters apresetem capacidades, estas devem ser coservadas a defiição dos ovos clusters, isto é, as capacidades dos camihões ão podem ser excedidas (para o roteameto). Se repetida para várias soluções iicias esta heurística é capaz de ecotrar bos resultados para problemas com distribuição espacial dos dados. Esta heurística foi usada como heurística de melhora de soluções combiada com heurísticas Lagrageaas (ou Lagrageaas/surrogate) [23, 29], ou aida como um processo de mutação o algoritmo geético costrutivo aplicado ao problema de p- mediaas [20]. Os resultados foram bastate satisfatórios, embora possam ser cosiderados computacioalmete excessivos para problemas grades. Nestes casos devemos restrigir o alcace das trocas detro dos clusters. Para a solução do modelo de roteameto d), como o úmero de coluas é muito grade, resolve-se a versão de programação liear do problema por um método cohecido como de geração de coluas. As coluas ão são armazeadas explicitamete e geradas quado ecessário (veja os trabalhos [3, 9]).

15 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS A aálise de redes ocupa papel destacado a aálise espacial de dados. As redes proporcioam ambietes adequados para a defiição e modelagem de diversos problemas importates. Neste capítulo foram descritos modelos de localização e roteameto de veículos que podem ser modelados e resolvidos com o auxílio de redes. São problemas de grade importâcia ecoômica para plaejameto estratégico de setores produtivos, idústrias, prefeituras, comércio, e outros. A otimização destes modelos pode levar a grades ecoomias em seus ivestimetos. Vários são os modelos de localização e roteameto cosagrados a literatura. Foram descritos os modelos de cobertura e localização de mediaas, e o de roteameto como cobertura de rotas. Foi apresetada uma heurística simples que pode resultar em boas soluções para problemas de localização e algus problemas de roteameto (formulados como clusterig). Espera-se com esta reseha a divulgação destes modelos e de seu uso cada vez maior itegrados a SIGs. Para iformações mais completas sugere-se a cosulta aos trabalhos refereciados abaixo. Agradecimetos: O autor agradece à Fudação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo FAPESP (proc. 99/ ) e ao Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico CNPq (proc /89-5) pelo apoio fiaceiro parcial. REFERÊNCIAS 1. ARSIG Aálise de redes com sistemas de iformações geográficas. Projeto temático FAPESP. Juho 1997 / juho 1999, 2. ARSIG2 Sistemas de apoio à decisão usado redes e sistemas de iformações geográficas. Projeto temático FAPESP. Julho 2000 / julho 2002, 3. Barhart, C.; Johso, E.L.; Nemhauser, G.L.; Savelsbergh, M.W.P. ad Vace, P.H. Brach-ad-Price: Colum Geeratio for Solvig Huge Iteger Programs, Operatios Research 46 (1998) Bodi, L.; Golde, B.; Assad, A.; Ball, M. Routig ad schedulig of vehicles ad crews: the state of the art. Computers ad Operatios Research, 10(2): , Church, R. L. ad ReVelle, C. S. (1974). The Maximal Coverig Locatio Problem. Papers of The Regioal Sciece Associatio, 32:

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17 22. Lorea, L. A N. ad Narciso, M. G. Usig logical surrogate iformatio i Lagragea relaxatio: a applicatio to symmetric travelig salesma problems. Apresetado o IFORS 99 - Chia - Agosto Aceito para publicação o EJOR. 23. Lorea, L. A. N. ad Pereira M. A. A Lagragea/surrogate heuristic for the maximal coverig locatio problem usig Hillsma's editio. Submetido para publicação - Iteratioal Joural of Idustrial Egieerig - Special Issue o Facility Locatio ad Layout Lorea, L.A.N.; See, E.L.F. Improvig traditioal subgradiet scheme for Lagragea relaxatio: a applicatio to locatio problems, Iteratioal Joural of Mathematical Algorithms, 1: , Lorea, L. A. N. ; See, E. L. F. ; Paiva, J. A. C. e Pereira M. A. Itegração de modelos de localização a sistemas de iformações geográficas. Aceito para publicação - Gestão e Produção Narciso, M. G. ad Lorea, L. A. N. (1999). Lagragea/Surrogate Relaxatio for Geeralized Assigmet Problems. Europea Joural of Operatioal Research, 114: ReVelle, C. S. ad Swai, R. W. (1970). Cetral Facilities Locatio. Geographical Aalysis, 2: Schillig, D. A., Rosig, K. E. ad ReVelle, C. S. (2000). Network Distace Characteristics that Affect Computatioal Effort i p-media Locatio Problems. Europea Joural of Operatioal Research, 127: See, E. L. F. ad Lorea, L. A. N. (2000). Lagragea /Surrogate Heuristics for p- Media Problems. I Computig Tools for Modelig, Optimizatio ad Simulatio: Iterfaces i Computer Sciece ad Operatios Research (Eds.: M. Lagua ad J. L. Gozales-Velarde). Kluwer Academic Publishers, New York, pp SPRING - Sistema de Processameto de Iformações Georefereciadas, INPE, São José dos Campos, SP, Taillard, E.D. Heuristic methods for large cetroid clusterig problems, Techical report IDSIA96-96, IDSIA, 1996.