Um algoritmo de busca tabu adaptativa para o PRV com frota mista

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1 Um algoritmo de busca tabu adaptativa para o PRV com frota mista Fermín Alfredo Tang Montané (UCAM) Resumo O Problema de Roteamento de Veículos com Frota Mista (PRVFM) é uma variante do problema de roteamento de veículos que consiste em calcular a melhor composição para uma frota heterogênea de veículos assim como o percurso seguido pelos veículos da frota ao atender um conjunto de clientes. Para resolver este problema é proposta uma heurística de busca tabu que incorpora um mecanismo de busca adaptativo. Este mecanismo consiste em identificar padrões na trajetória de busca e em perturbar os parâmetros da busca tabu de acordo com a trajetória observada. Resultados computacionais são reportados para um conjunto de 12 problemas teste com até 100 clientes. Palavras-chave: Roteamento de veículos; Frota heterogênea; Busca tabu adaptativa. 1. Introdução O problema de Problema de Roteamento de Veículos com Frota Mista (PRVFM) é uma variante do problema de roteamento de veículos clássico que considera o uso de uma frota heterogênea e não impõe restrições sobre o número veículos disponíveis na frota. Este problema compreende duas decisões básicas: (i) a composição da frota e (ii) o roteamento dos veículos. O problema consiste em minimizar a soma dos custos fixos associados aos veículos e os custos variáveis associados ao percurso das rotas. As seguintes condições devem ser satisfeitas: (1) as rotas se iniciam no depósito e terminam no depósito; (2) cada cliente é visitado exatamente uma vez; (3) a demandas dos clientes são atendidas e (4) a carga na rota não excede a capacidade do tipo de veículo utilizado. O problema PRVFM é definido matematicamente a continuação. Seja G = (V,A) um grafo onde V={v 0,..., v n } representa o conjunto de vértices e A={(v i, v j ): v i,v j V, i j} é o conjunto de arcos. O vértice v 0 representa o depósito que serve de base para a frota de veículos composta por M tipos diferentes de veículos. Parte-se da hipótese de que o número de veículos disponíveis de cada tipo é ilimitado. Cada vértice v i V\{v 0 } representa um cliente que tem a demanda d i associada. Considera-se que todos os arcos são não orientados, i.e arestas. Cada aresta (v i, v j ) possui um custo não negativo c ij que representa o custo de percurso. Além disso, temos F k e Q k que representam o custo fixo e a capacidade para o veículo de tipo k = 1,..., M. No presente artigo apresentamos uma heurística de busca tabu adaptativa. O artigo está organizado da seguinte maneira. Na seção 2, se apresenta uma breve revisão bibliográfica dos algoritmos desenvolvidos para resolver o problema PRVFM. A metodologia utilizada para resolver o problema PRVFM é descrita na seção 3. Na seção 4 apresentamos alguns resultados computacionais enquanto na seção 5 apresentamos as conclusões do trabalho. 2. Breve Revisão Bibliográfica Os primeiros algoritmos propostos para resolver o problema PRVFM surgiram a partir de adaptações dos algoritmos clássicos de roteamento de veículos (Golden et al, 1984). Uma extensão deste trabalho foi proposta por Salhi et al (1992) que incorporou custos de percurso variáveis de acordo com o tipo de veículo. Salhi e Rand (1993) propuseram uma heurística de busca local bastante mais elaborada combinando diversos módulos de combinação e 1

2 particionamento de rotas, assim como de re-alocação de clientes. Os algoritmos mais eficientes para resolver o PRVFM, no entanto, tem como base técnicas meta-heurísticas e de programação matemática. Osman e Salhi (1996) propuseram uma meta-heuristica de busca tabu com base em memória de curto prazo que utiliza um mecanismo de busca local com base na troca ou intercâmbio de um cliente. Wassan e Osman (2002) estenderam a abordagem previa introduzindo novos mecanismos de busca local, e desenvolveram variantes da metaheurística de busca tabu mediante a combinação de diversas estratégias como: busca tabu reativa, vizinhanças variáveis e novas estruturas de dados. Outra abordagem foi proposta por Gendrau et al (1999) com base na técnica de memória adaptativa proposta por Rochat e Taillard (1995). Esta técnica consiste em calcular soluções mediante a combinação de soluções de boa qualidade guardadas previamente na memória. Um algoritmo de busca tabu é usado para melhorar a qualidade da solução obtida. O algoritmo de busca tabu proposto admite soluções inviáveis durante o processo de busca. O grau de inviabilidade é penalizado na função objetivo. Soluções vizinhas são calculadas re-alocando um número aleatório de clientes às rotas que contém seus vizinhos mais próximos. A composição da frota é modificada periodicamente garantindo a diversidade da busca. Uma abordagem diferente proposta por Taillard (1999) consiste em resolver um problema de particionamento de conjuntos (PPC). O modelo PPC utiliza como dados um conjunto heterogêneo de rotas que é calculado mediante um procedimento de memória adaptativa com base em busca tabu similar ao proposto por Gendrau et al (1999). Esta abordagem produz excelentes resultados, porém, a solução do PPC exige grande esforço computacional. Uma variante da abordagem anterior foi proposta por Renaud e Boctor (2002). Os autores propuseram um modelo PPC restrito que pode ser resolvido em tempo polinomial. O conjunto heterogêneo de rotas que alimenta este modelo é calculado mediante uma heurística de varredura. O algoritmo proposto permite resolver problemas euclidianos e não-euclidianos. Finalmente, Liu e Shen (1999) desenvolveram heurísticas para resolver a variante do PRVFM com janelas de tempo. As heurísticas propostas compreendem uma fase de construção e outra de melhoria. Na fase de construção os autores usam uma adaptação dos critérios de economias propostos por Golden et al. (1984) para o caso com janelas de tempo. Nesta fase diversas combinações de frotas são geradas. Na fase de melhoria, se admite a piora das soluções durante o processo de busca. 3. Heurística de Busca Tabu Adaptativa para o PRVFM A heurística de Busca Tabu Adaptativa proposta no presente artigo é uma extensão do algoritmo desenvolvido em Montané e Galvão (2006) que considera o uso de uma frota heterogênea e incorpora um mecanismo adaptativo para guiar a busca no espaço de soluções. Este mecanismo consiste em identificar padrões na trajetória de busca e perturbar os parâmetros de restritividade da busca tabu de acordo com o padrão observado. Nesta seção descrevemos os elementos que conformam o algoritmo. A Subseção 3.1 descreve o procedimento de construção da solução inicial a Subseção 3.2 define a vizinhança utilizada. As Subseção 3.3 descreve o mecanismo de diversificação. A Subseção 3.4 descreve detalhes da memória de curto prazo. A Subseção 3.5 trata detalhes da condição tabu. Na Subseção 3.6 descreve-se o processo de busca adaptativa. E finalmente a Subseção 3.7 mostra a integração entre o algoritmo tabu e processo adaptativo Construção da Solução Inicial (Algoritmo PTOUR) O procedimento adotado para construir a solução inicial, denotado como PTOUR, segue o princípio de primeiro rotear, depois agrupar descrito por Beasley (1983). O procedimento consiste basicamente em: (i) construir um tour compreendendo todos os clientes do problema, denominado de tour gigante; e (ii) particionar de maneira ótima o tour gigante gerando um 2

3 conjunto de rotas viáveis. O processo de particionamento do tour gigante consiste em construir um grafo auxiliar G1 de maneira que cada possível rota que pode ser calculada como uma seção do tour gigante é representada por um arco do grafo G1. A partição ótima do tour gigante é calculada resolvendo um problema de menor caminho entre o primeiro e último cliente do tour. O grafo auxiliar é definido como G1=(V1,A1), onde o conjunto de nós V1={1,..., n} representa as posições dos clientes no tour gigante e o conjunto de arcos A1={(i,j): i,j V1, i<j} é formado por arcos que preservam a ordenação dos clientes no tour. Associa-se a cada arco (i,j) G1 a rota rij que atende os clientes na seção (vi+1,..., vj) a partir do depósito v1. Descrição do Algoritmo PTOUR Passo 0 Construir um tour gigante T, e definir uma orientação para o tour, T={v 1,...,v n }; Passo 1 Para cada arco (i,j) G 1 fazer a) Calcular c(r ij ) e Q(r ij ), o custo de percurso e demanda da rota r ij associada; b) Calcular F k, o custo do menor veículo k capaz de atender a demanda da rota r ij ; fim-fazer Se a rota r ij for viável, então c) Definir o custo da rota: c ij = c(r ij )+ F k ; Se-não, d) Definir o custo da rota: c ij = ; fim-se Passo 2 Calcular a partição ótima do tour T, resolvendo o problema de menor caminho entre o nó 1 e o nó n do grafo G 1. Passo 3 Repetir os Passos 1 e 2, começando o tour gigante com cada cliente disponível Definição da Vizinhança e o Algoritmo de Busca Local (BL) A vizinhança de uma solução S, denotada como N(S), é definida pelo conjunto de soluções que podem ser atingidas a partir da solução S mediante a aplicação de um ou vários mecanismos de busca local. Os mecanismos de busca local utilizados com mais freqüência ao resolver problemas de roteamento de veículos consistem na troca ou intercambio de clientes entre duas rotas. Quando o mecanismo de busca local é aplicado a uma solução S, este gera um movimento até uma nova solução S na vizinhança de S. No caso específico do PRVFM, os mecanismos de troca ou intercâmbio de clientes são estendidos de maneira que uma nova designação de veículos é calculada nas duas rotas afetadas pelo movimento. Como o número de veículos é ilimitado, basta alocar a cada rota o tipo de veículo mais econômico que satisfaz a demanda. No algoritmo de busca tabu adaptativo proposto, usamos uma vizinhança composta gerada por três mecanismos inter-rota de busca local que são: Realocação, Intercâmbio e Cruzamento. Um mecanismo intra-rota 2-opt é aplicado para melhorar as rotas produzidas pelos movimentos inter-rota. A descrição destes mecanismos é dada em Montané e Galvão (2006). Um algoritmo de busca local, denotado como (BL), foi desenvolvido incorporando os mecanismos de busca local descritos acima Mecanismo de diversificação (Procedimento PROTA) Nos problemas de roteamento de veículos com custos fixos, como é o caso do PRVFM, as mudanças na configuração da frota estão sujeitas á magnitude do custo fixo. Quando o valor dos custos fixos é muito maior que o valor dos custos variáveis é muito difícil que a 3

4 configuração da frota mude. Neste caso, é muito comum que a busca fique presa em um ótimo local. Portanto é necessário um mecanismo de diversificação que permita re-configurar a frota e explorar uma região diferente do espaço de soluções. O procedimento de re-configuração da frota, denominado PROTA, consiste em dividir cada rota da solução corrente em duas e em alocar os veículos de menor custo possível às rotas resultantes. Para cada rota, avaliam-se todas as possibilidades de partição e escolhe-se a de menor custo. È importante mencionar que o custo da nova solução é em geral muito maior que o custo da solução corrente Memória de Curto Prazo Uma estrutura com base em memória recente foi implementada para evitar a ocorrência de ciclos. Cada movimento é caracterizado por dois conjuntos de arestas, que definem seus atributos: (i) arestas que serão inseridas na solução; (ii) arestas que serão removidas da solução. A memória de curto prazo mantém uma lista com as arestas que foram usadas (inseridas ou removidas) no passado recente. A mesma lista tabu é usada para armazenar tanto as arestas inseridas como as arestas removidas, uma vez que sempre é possível identificar se uma aresta foi inserida ou removida apenas observando a solução corrente Permanência na Lista Tabu ( Tabu Tenure ) e a Regra de Ativação Tabu Na presente implementação qualquer aresta que receba a condição tabu na iteração t fica proibida até a iteração t+q, onde q é o valor do tabu tenure. Os valores para o tabu tenure das arestas que são inseridas e removidas, como conseqüência de um movimento de busca local, foram denominados: (i) tempo de permanência e (ii) tempo de exclusão, respectivamente. Estes valores foram escolhidos de maneira proporcional ao número de nós do problema. Foram utilizados os seguintes valores fixos (0,3; 0,5). O critério de aspiração usado remove o estado tabu de um movimento se este conduz a uma solução melhor que a melhor solução encontrada até então. Um movimento é considerado tabu quando o número de arestas que se encontram na condição tabu excede um nível máximo pré-definido, denominado de tolerância. Quando menor a tolerância os movimentos se tornam tabu com mais freqüência e o grau de restritividade imposto aos movimentos repetidos é maior. A tolerância costuma ser diferente para cada tipo de movimento uma vez que eles envolvem um número diferente de arestas. Denotamos como TR, TI e TC a tolerância correspondente aos movimentos de realocação, intercãmbio e cruzamento, respectivamente Procedimento de Busca Adaptativa (PBA) A busca adaptativa foi introduzida por Pureza e França (1996) como uma estratégia complementar da meta-heurística busca tabu que procura controlar a trajetória seguida durante o processo de busca por novas soluções. O controle sobre a trajetória de busca procura melhorar o desempenho geral da meta-heurística, reduzindo o tempo necessário para atingir soluções de boa qualidade e ao mesmo tempo permitindo que novas melhores soluções sejam encontradas. Esta estratégia procura identificar e reagir a três padrões de trajetórias: (i) período de estagnação, caracterizado por pequenas variações no custo das soluções observadas; (ii) trajetória ascendente, caracterizada pelo aumento contínuo no custo das soluções observadas (problemas de minimização) e (ii) trajetória descendente, caracterizada pela diminuição contínua no custo das soluções observadas (problemas de minimização). A identificação dos padrões de trajetória é realizada comparando as médias dos custos das soluções observadas durante dois períodos de avaliação consecutivos (medante e medcorr). Os custos das soluções observadas é guardado no vetor CusOBS. A busca adaptativa funciona modificando os níveis de restritividade impostos ao processo de busca. Isto é feito perturbando a regra de ativação tabu, modificando a tolerância dos movimentos á condição 4

5 tabu. O procedimento de busca adaptativa implementado segue as mesmas diretrizes da versão proposta por Pureza e França (2001) para o (PRV), sendo que foi necessário incluir a tolerância (TC) para o movimento de cruzamento. Este procedimento é executado periodicamente sempre que o período de avaliação termina. Descreve-se a seguir o procedimento de busca adaptativa que foi implementado. Descrição do Procedimento de Busca Adaptativa (PBA) Passo 0 (Atualiza medidas de avaliação): a) Atualiza a média anterior: med ANTE = med CORR ; b) Calcula a média corrente: med CORR como a média do vetor Cus OBS ; c) Gera de maneira aleatória: hoz no intervalo [h min, h max ]. Passo 1 Se (it SEM =0) a melhor solução foi atualizada, então a) Modificar as tolerâncias tornando a regra de ativação tabu o menos restritiva possível: TR=5, TI=7, TC=3; b) Definir a próxima avaliação: it AVAL = it CORR + hoz/2. Ir ao Passo 8. Se-não, c) Ir ao Passo 2. Passo 2 Calcula o indicador da trajetória de busca: diff = (med ANTE -med CORR )/med ANTE. Passo 3 Se diff 0,0025, ir ao Passo 4; Caso contrário ir ao Passo 5 Passo 4 (Trajetória de estagnação): a) Modificar as tolerâncias tornando a regra de ativação tabu o mais restritiva possível: TR=0, TI=0, TC=0; b) Definir a próxima avaliação: it AVAL = it CORR + hoz/2. Ir ao Passo 8. Passo 5 Se diff<0, ir ao Passo 6; Caso contrário, se diff <0 ir ao Passo 7. Passo 6 (Trajetória de ascendente): a) Modificar as tolerâncias de acordo com a tabela embaixo; Faixa de Diff TR TI TC ( -, -0,03 ) ( -0,03, -0,025 ) ( -0,025, -0,02 ) ( -0,02, -0,015 ) ( -0,015, -0,005 ) ( -0,005, -0,0025) Tabela 1 Tolerâncias para cada movimento segundo o valor de Diff b) Definir a próxima avaliação: it AVAL = it CORR + 2*hoz. Ir ao Passo 8. Passo 7 (Trajetória de descendente): Se o nível de restritividade é o menor admitido (TR=5, TI=7, TC=3), então a) Diminuir as tolerâncias: TR=4, TI=6, TC=2; b) Definir a próxima avaliação: it AVAL = it CORR + 2*hoz. Ir ao Passo 8. Se-não, c) Definir a próxima avaliação: it AVAL = it CORR + hoz. Ir ao Passo 8. 5

6 Passo 8 Parar Heurística de Busca Tabu Adaptativa (BTA) Este algoritmo é uma adaptação do algoritmo proposto por Montané e Galvão (2006) para o PRVFM. As principais modificações se encontram no procedimento usado no cálculo da solução inicial que considera frota heterogênea; o uso de um mecanismo para a reconfiguração da frota de veículos (PROTA) e na introdução do procedimento de busca adaptativa (PBA). Este último, e mais importante, consiste em guardar os custos das soluções observadas durante os períodos de avaliação e perturbar os valores das tolerâncias como mostrado no procedimento (PBA), sempre que o período de avaliação conclui. Damos a descrição do algoritmo BTA a seguir. Descrição da Heurística de Busca Tabu Adaptativa (BTA) Passo 1 (Inicialização): Calcular a solução inicial usando o algoritmo PTOUR da Seção 3.1. Passo 2: (Estratégia de escolha): a) Escolher a melhor solução viável S N(S) não tabu; b) Guarda os atributos tabu do movimento realizado; c) Guarda o custo c(s ) da nova solução no vetor Cus OBS ; d) Fazer S= S e it CORR = it CORR + 1. Passo 3: (Melhoramentos 2-opt): a) Calcular S a partir de S, aplicando o procedimento 2-opt em cada rota de S; b) Fazer S= S e it CORR = it CORR + 1; c) Se c(s ) < c(s M ), então fazer S M = S, it MEL = it CORR e it SEM =0 Se não, it SEM = it SEM +1. Passo 4: (Mecanismo de diversificação): Se it SEM > it SEM_MAX, então executar o procedimento PROTA da Seção 3.3. Passo 5: (Ajuste dos parâmetros de restritividade): Se (it CORR = it AVAL ), então executar o procedimento PBA da Seção 3.6; Passo 6: (Critério de parada): Se it CORR > it MAX, então Parar. 4. Resultados Computacionais Os algoritmos propostos foram implementados em Pascal para o entorno Delphi 7.0 e executado em um PC Pentium Ghz com 1.0GB de RAM. Os algoritmos foram testados utilizando os 12 problemas euclidianos do conjunto de dados proposto por Golden et al (1984) para o problema PRVFM. Estes problemas têm entre 20 e 100 clientes. A Tabela 2 compara o desempenho dos algoritmos heurísticos propostos no presente artigo: solução inicial (PTOUR), busca local (BL), busca tabu (BT) e busca tabu adaptativa (BTA), na resolução dos problemas testes utilizados. Avalia-se a qualidade de uma solução heurística observando o valor do desvio relativo percentual (DRP) que é calculado como: (Valor da solução heurística Valor da melhor solução)/valor da melhor solução * 100%. Quanto menor o valor do DRP melhor será a solução heurística. O desempenho de cada algoritmo heurístico é avaliado medindo a qualidade de todas as soluções heurísticas que este produziu. 6

7 Para isso, calcula-se o DRP das respectivas soluções heurísticas. A Tabela 1 mostra os DRP médio, mínimo e máximo (DRPmed, DRPmin e DRPmax) correspondentes aos quatro algoritmos avaliados. Observa-se que o DRPmed das heurísticas PTOUR e BL é maior de 5%, sendo que em ambos casos o DPRmax é de 13,82% o que mostra uma variação muito grande entorno do desvio médio. Observa-se que a heurística BL não produz uma melhoria significativa com relação á heurística PTOUR. Por outro lado temos que a heurística de BT consegue uma melhora significativa sobre as duas heurísticas anteriores, com DRPmed de 1,41%. Finalmente a heurística BTA consegue DRPmed bastante baixo 0,35%, sendo que no pior caso o DRPmax é de 1,41% enquanto que no melhor caso o DRPmin é negativo -0,25% o que revela a presencia de melhores soluções que as conhecidas previamente. A Tabela 3 compara os resultados da heurística BTA proposta no presente trabalho (duas últimas colunas) com os resultados de algoritmos disponíveis na literatura para o PRVFM: Osman e Salhi (1996), Taillard (1999), Gendreau et al (1999), Wassan e Osman (2002) e Liu e Shen (1999). Para cada algoritmo reportam-se o valor da solução (Custo) e o tempo computacional (T.C.). Observe que a heurística BTA conseguiu calcular uma nova melhor solução para os problemas 5E e 18E. A última linha da tabela mostra o DRPmed de cada algoritmo. A heurística BTA apresenta resultados competitivos com o das outras heurísticas. Ela supera os resultados de Osman e Salhi (1996) e Liu e Shen (1999) e fica próximo dos algoritmos de Taillard (1999), Gendreau et. al (1999) e Wassan e Osman (2002). Vale observar que nosso algoritmo exige menor tempo computacional. Algoritmo heurístico PTOUR BL BT BTA DRP min 3,14 1,56 0,01-0,25 DRP med 5,68 5,22 1,41 0,35 DRP max 13,82 13,82 3,73 1,49 Tabela 2 Desvio relativo percentual dos algoritmos propostos para o PRVFM Osman, Salhi Taillard Gendreau et al Wassan, Osman Liu, Shen Montané Prob. Nós Custo T.C. 1 Custo T.C. 2 Custo T.C. 2 Custo T.C. 3 Custo T.C. Custo T.C. 4 3E , ,03-961, , ,94 1,48 4E , , , , ,08 1,63 5E , , , , ,82 0,67 6E , , , , ,43 1,53 13E , , , , ,92 4,41 14E , , , , ,68 7,64 15E , , , , ,50 4,63 16E , , , , ,26 3,42 17E , , , , ,58 7,05 18E , , , , ,64 20,45 19E , , , , ,90 32,41 20E , , , , ,03 32,00 DRP med 0,91 0,07 0,17 0,16 1,38 0,35 1 Segundos de CPU Vax Segundos na estação de trabalho Sun Sparc 10 com 50 Mhz. 3 Segundos no servidor Sun Sparc 1000 com 50 Mhz. 4 Segundos de CPU Pentium Ghz. Tabela 3 Comparação da heurística BTA com outros algoritmos 7

8 5. Conclusões Uma heurística de busca tabu adaptativa foi proposta para resolver o PRVFM e comparada com outras abordagens mais simples e também com algoritmos existentes na literatura. Ao comparar entre si os resultados das heurísticas propostas para resolver o PRVFM observamos um desempenho bastante pobre por parte das heurísticas PTOUR e BL, principalmente no que se refere ao desvio relativo máximo com relação á melhor solução conhecida, em ambos casos o DRPmax foi de 13,86%. Isto mostra que a qualidade dos resultados produzidos pelas heurísticas mais simples é muito variável. Resultados mais consistentes e de melhor qualidade foram produzidos pelas heurísticas BT e BTA. Enquanto a heurística BT teve um DRPméd de 1,41%, a heurística BTA teve o melhor desempenho com DRPméd de 0,35%. Por outro lado, ao comparar os resultados de heurística BTA proposta como outros algoritmos disponíveis na literatura observamos que nossa heurística produz resultados competitivos. Ela supera os resultados de Osman e Salhi (1996) e Liu e Shen (1999), no entanto é superada pelos algoritmos de Taillard (1999), Gendreau et al (1999) e Wassan e Osman (2002). Vale observar que a heurística BTA requer um baixo esforço computacional. Outro ponto positivo desta heurística é que ela foi capaz de encontrar duas novas melhores soluções para o conjunto de problemas testado. Acreditamos nossos resultados são muito promissores e que melhoras adicionais na qualidade dos resultados podem ser obtidas introduzindo novos mecanismos de controle da trajetória de busca, como por exemplo busca tabu reativa. Agradecimentos O presente trabalho foi financiado com recursos da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (Faperj), processo no. E-26/ / Referências BEASLEY, J.E. Route First-Cluster Second Methods for Vehicle Routing. Omega, Vol. 11, p , GENDRAU, M.; LAPORTE, G.; MUSARAGANYI, C. & TAILLARD, É.D. A tabu search heuristic for the heterogeneous fleet vehicle routing problem. Computers & Operations Research. Vol. 26, p , GOLDEN, B.; ASSAD, A.; LEVY, L. & GHEYSENS, F. The fleet size and mix vehicle routing problem. Computers & Operations Research. Vol. 11, p , LIU, F.H. & SHEN, S.Y. The fleet size and mix vehicle routing problem with time windows. Journal of the Operational Research Society. Vol. 50, p , MONTANÉ, F.A.T. & GALVÃO, R.D. A Tabu Search Algorithm for the Vehicle Routing Problem with Simultaneous Pick-up and Delivery Service. Computers & Operations Research. Vol. 33, p , OSMAN, I. & SALHI, S. Local search strategies for the vehicle fleet mix problem. In: Rayward-Smith, V.J., Osman, I.H. Reeves, C.R., Smith, G.D. (Eds.), Modern Heuristics Search Methods. Wiley, New York, p , PUREZA, V.M. & FRANÇA, P.M. An adaptive tabu metaheuristic approach based on the topology of the solution space. II ALIO/EURO Workshop on Practical Combinatorial Optimization, Valparaiso, Chile, pp , PUREZA, V.M. & FRANÇA, P.M. Uma abordagem adaptativa de busca tabu aplicada ao problema de roteamento de veículos. Revista dos Transportes Públicos. Vol. 9, p , RENAUD, J. & BOCTOR, F.F. A Sweep-based algorithm for the fleet size and mix vehicle routing problem. European Journal of Operational Research. Vol. 140, p , ROCHAT, Y. & TAILLARD, É.D. Probabilistic diversification and intensification in local search for vehicle routing. Journal of Heuristics. Vol. 1, p ,

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