Sequenciamento de tarefas em um ambiente de produção assembly flowshop: modelagem e resolução heurística

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1 Sequeciameto de tarefas em um ambiete de produção assembly flowshop: modelagem e resolução heurística Ricardo Goçalves Tavares Departameto de Iformática, Uiversidade Federal de Viçosa (UFV) Viçosa Mias Gerais MG Brasil ricardo.tavares@ufv.br José Elias C. Arroyo Departameto de Iformática, Uiversidade Federal de Viçosa (UFV) Viçosa Mias Gerais MG Brasil jarroyo@dpi.ufv.br RESUMO Neste artigo é estudado um problema de programação flowshop com dois estágios. No primeiro estágio m compoetes de um produto (tarefa) são fabricados idepedetemete utilizado m máquias paralelas. No segudo estágio as compoetes são motadas obtedo o produto fial. O objetivo do problema é determiar o sequeciameto das tarefas de forma a miimizar o atraso total. Para resolver o problema, que é NP-Difícil, são propostos um modelo de programação iteira mista e quatro heurísticas baseadas as meta-heurísticas Iterated Greedy (IG) e Iterated Local Search (ILS). Duas das heurísticas são métodos híbridos obtidos combiado-se IG e ILS com a heurística Variable Neighborhood Descet, respectivamete. Para istâcias pequeas e médias do problema, os desempehos das heurísticas propostas são avaliados através da comparação com as soluções geradas pelo modelo. Para istâcias de grade porte, as heurísticas são comparadas etre elas. Experimetos computacioais mostram o bom desempeho das heurísticas híbridas. Os resultados obtidos são validados através de um teste estatístico. PALAVARAS CHAVE. Sequeciameto, assembly flowshop, meta-heurísticas, otimização. ABSTRACT This paper studies a flowshop schedulig problem with two stages. At the first stage, differet parts of a product (job) are maufactured idepedetly o m parallel machies. At the secod stage the maufactured parts are assembled ito a fial product. The goal of the problem is determie the job schedule i order to miimize the total tardiess. To solve this NP-hard problem, we propose a mixed iteger programmig model ad four heuristics based o Iterated Greedy (IG) ad Iterated Local Search (ILS). Two heuristics are hybrid algorithms. They are developed by combiig IG ad ILS with Variable Neighborhood Descet heuristic, respectively. For small ad medium istaces, the performace of the heuristics are compared with solutios obtaied by the model. For large istaces, the heuristics are compared betwee them. The computatioal experimets show the good performace of the hybrid heuristics. The results are validated by a statistical test. KEYWORDS. Schedulig, Assembly flowshop, meta-heuristics, optimizatio.

2 1. Itrodução Neste trabalho é estudado o problema cohecido como Assembly Flowshop Schedulig com dois estágios (2sAFS). Neste problema existem produtos (tarefas) a serem fabricados em dois estágios. Cada produto é costituído de m compoetes que são fabricados idepedetemete por m máquias paralelas, respectivamete. A fabricação dos compoetes correspode ao primeiro estágio. No segudo estágio, os compoetes fabricados são motados por uma máquia obtedo o produto fial. O objetivo do problema é determiar o sequeciameto das tarefas de tal maeira que o atraso total das tarefas, com relação aos prazos de etrega, seja miimizado. Quado m = 1 (uma úica máquia o primeiro estágio), o problema 2sAFS é reduzido ao problema flowshop permutacioal com duas máquias, que é cosiderado NP-Difícil quado for miimizado o atraso total(du e Leug, 1990). O problema 2sAFS tem sido bastate abordado a literatura cosiderado a miimização do makespa (máximo tempo fialização de todas as tarefas). Há muitos problemas práticos que podem ser modelados como o problema 2sAFS, e devido a suas aplicações e importâcia teórica, o problema 2sAFS tem recebido, recetemete, muita ateção a literatura sobre schedulig (Allahverdi e Aydilek, 2014). Os primeiros trabalhos sobre o problema 2sAFS foram apresetados por Lee et al. (1993), Potts et al. (1995) e Gupta et al. (1997). Todos estes autores cosideram a miimização do makespa. Allahverdi e Al-Azi (2006a) estudam o problema 2sAFS cosiderado tempos de preparação separados do tempo de processameto. Para miimizar o makespa, eles propõem duas heurísticas baseadas, respectivamete, as meta-heurísticas Particle Swarm Optimizatio (PSO) e Busca Tabu (BT). Allahverdi e Al-Azi (2006b) abordaram o problema 2sAFS cosiderado a miimização do máximo atraso das tarefas (maximum lateess). Eles aplicam as heurísticas PSO e BT para resolver o problema. Vários trabalhos sobre aplicações de metaheurísticas foram desevolvidos para miimizar a soma poderada do makespa e a média dos tempos de coclusão das tarefas (Al-Azi e Allahverdi, 2009; Seidgar et al., 2014). Detre essas meta-heurísticas destacam-se Simulated Aealig (SA), At Coloy Optimizatio (ACO), Variable Neighbourhood Search (VNS), PSO e BT. Mozdgir et al. (2013) abordam o problema 2sAFS com tempos de preparação depedetes da sequêcia o primeiro estágio, também cosideram a miimização da soma poderada do makespa e a média dos tempos de coclusão e propõem uma heurística híbrida baseada a meta-heurística Variable Neighbourhood Search (VNS). Navaei et al. (2013) estudam o problema 2sAFS com múltiplas máquias de motagem. Para a miimização do makespa eles propõem um modelo de programação iteira e um heurística hibrida baseado a meta-heurística SA. O atraso total das tarefas é uma medida de desempeho muito importate a programação da produção. Em muitas situações, os atrasos das tarefas podem levar a custos de puição ou cacelameto de pedidos pelos clietes. Allahverdi e Aydilek (2014) são os primeiros autores que cosideram a miimização do atraso total o problema 2sAFS. Estes autores propõem heurísticas baseadas em Algoritmos Geéticos e SA. Neste trabalho propõe-se um modelo de Programação Iteira Mista (PIM) e quatro heurísticas para a miimização do atraso total o problema 2sAFS. As duas primeira heurísticas são baseadas as meta-heurísticas Iterated Greedy (IG) e Iterated Local Search (ILS), respectivamete. As outras duas heurísticas são métodos híbridos que combiam IG e ILS com Variable Neighborhood Descet (VND). As heurísticas IG (Ruiz e Stützle, 2007), ILS (Loureço et al., 2010) e VND (Hase e Mladeovic, 2003) são métodos simples, robustos e eficietes que são aplicados para resolver diferetes problemas de otimização combiatória. IG e ILS aida são pouco aplicados para problemas de sequeciameto de tarefas. 2. Defiição Formal e Modelagem do Problema O 2sAFS cosiste em fabricar um cojuto de produtos (tarefas), sedo que cada tarefa possui m compoetes que são fabricados de forma idepedete. No primeiro estágio, os compoetes das tarefas são fabricados em um ambiete de m máquias paralelas (cada

3 compoete é feito em uma máquia). Quado todos os compoetes de um produto estiverem protos, o segudo estágio, o produto é motado. A motagem é realizada por uma úica máquia. Neste problema, todas as tarefas estão dispoíveis para serem processadas em um tempo zero, todas as máquias processam apeas uma tarefa por vez e ão podem ser iterrompidas durate seu processameto. Note que para cada tarefa existem m+1 operações distitas, sedo que m operações idepedetes são feitas o primeiro estágio e uma operação é realizada o segudo estágio. Os dois estágios caracterizam o problema como um ambiete de produção flowshop, pois uma tarefa i só pode iiciar a motagem (o estágio 2) quado todas seus compoetes forem fializadas o estágio 1. O objetivo do problema é determiar o sequeciameto das tarefas as máquias de forma soma dos atrasos dastarefas (atraso total) seja miimizado. No problema abordado, os seguites dados são cohecidos: o tempo de processameto da tarefa i a máquia k do primeiro estágio (P ik ), tempo de motagem da tarefa i (PA i ) e data de etrega da tarefa i (d i ). A seguir apreseta-se um modelo PIM para o problema. Este modelo é uma adaptação do modelo apresetado por Adrés e Hatami (2011). Os seguites ídices são usados o modelo: i = 1,.., (ídices da tarefas); k = 1,2,..,m (ídices de máquias do primeiro estágio); j = 1,2,..., (ídices para idicar posições de tarefa a sequêcia). O modelo usa os seguites parametos e variáveis de decisão: d [j ] : data de etrega da tarefa que está a posição j. X i[j ] : igual a 1 se a tarefa i está a posição j da sequêcia, caso cotrário zero. CP j k: tempo de coclusão da tarefa que está a posição j a máquia k do primeiro estágio. C [j ] : tempo de coclusão o segudo estágio da tarefa que está a posição j. T [j ] : atraso total da tarefaque está a posiçãoj. O modelo é: Mi j =1 T j Sujeito a: X i[j ] = 1 ;,, (2) j =1 X i[j ] = 1 ; j =1,, (3) CP 1 k = ( P ik X i[1] ) ; k=1,,m (4) CP j k = CP j 1 k + ( P ik X i[j ] ) ; j =2,,, k=1,,m (5) C [1] = CP 1 k + ( PA i X i[1] ) ; k=1,,m (6) C [j ] = C [j 1] + ( PA i X i[j ] ) ; j =2,, (7) C [j ] = CP j k + ( PA i X i[j ] ) ; j =1,,, k=1,,m (8) T [j ] C j d j ; j =1,, (9) T [j ] 0, CP j k 0, C [j ] 0; j =1,,, k=1,,m (10) X i[j ] = 0 ou 1 ;,,, j =1,, (11) (1)

4 A fução objetivo (1) miimiza o atraso total. A restrição (2) garate que em todas as posições da sequêcia teha apeas uma tarefa atribuída, equato a restrição (3) garate que cada tarefa é atribuída a uma úica posição. As restrições (4) e (5) calculam o tempo de coclusão de cada tarefa as máquias do primeiro estágio. As restrições (6) e (7) calculam o tempo de coclusão o segudo estágio. A restrição (8) garate que a execução da seguda fase comece depois que todas as m operações da primeira fase sejam cocluídas. O atraso de cada tarefa é calculado pela restrição (9). As restrições (10) e (11) represetam as codições de domíio das variáveis. 3. Métodos Heurísticos para o Problema 2sAFS Neste trabalho, para determiar uma solução viável e de boa qualidade para o problema 2sAFS, foram utilizadas as meta-heurísticas Iterated Greedy (IG) e Iterated Local Search (ILS). Quatro heurísticas foram desevolvidas. As duas primeiras são algoritmos covecioais: IG e ILS. As outras duas são algoritmos híbridos obtidos pela combiação do IG e ILS com a heurística VND: IG-VND e ILS-VND. Nas próximas subseções são apresetadas as descrições das implemetações das heurísticas. 3.1.Heurística IG IG, proposta por Ruiz e Stutzle (2007), é um algoritmo heurístico muito utilizado para resolver problemas de sequeciameto. Uma descrição geral do IG é dada o Algoritmo 1. O algoritmo começa gerado uma solução iicial S. Em seguida aplica-se uma busca local essa solução obtedo-se a melhor solução atual S b. O laço pricipal do algoritmo cosiste de três procedimetos: Destruição-Costrução, Busca Local e o Critério de Aceitação. O procedimeto de Destruição-Costrução gera uma ova solução S p a partir da melhor solução S b. A solução S p é melhorada pela Busca Local. Se a solução S ecotrada pela Busca Local for melhor que S b, etão atualiza-se S b (Critério de Aceitação). Note que, o algoritmo são utilizados três parâmetros, prob, D max e Cparada. O parâmetro D max determia o ível máximo de destruição da solução o procedimeto Destruição-Costrução. O ível de destruição é determiado pelo cotador d que é iicializado em 2 e ele é icremetado, até um valor máximo D max, caso ão sejam ecotradas melhorias a solução S b. Se é ecotrada uma melhoria a solução, d volta para seu valor iicial 2. O parâmetro prob é utilizado para fazer uma redução o tamaho da vizihaça a Busca Local. Os procedimetos do IG são executados equato um critério de parada Cparada ão é satisfeito. A seguir descrevem-se os procedimetos pricipais do algoritmo IG. Algoritmo 1: IG(prob, D max, Cparada) S CostruçãoIicial( ); S b Busca Local (S, prob); d 2; Equato Cparada faça S p Destruição-Costrução(S b, d ); S Busca Local (S p, prob); Se f(s) < f(s b ) etão //Critério de Aceitação S b S; d 2; Seão Se d<d max etão d d + 1; Seão d 2; Fim_Equato Retora S b ;

5 Costrução Iicial A costrução iicial de uma solução é realizada através da regra de prioridade Earliest Due Date EDD, ode as tarefas são ordeadas em ordem crescete das datas de etrega. De acordo com essa ordeação determia-se uma sequêcia iicial das tarefas. No problema 2sAFS, cosidera-se que a sequêcia de tarefas é mesma para todas as máquias (Potts et al., 1995) Destruição e Costrução A Destruição cosiste em remover aleatoriamete d tarefas da solução atual (S b ), obtedo uma solução parcial S. A Costrução aplica um algoritmo costrutivo guloso para recostruir S e obter a solução completa. Para cada tarefa removida, procura-se a melhor posição para ser iserida a sequêcia de S. Ou seja, testa-se todas as posições possíveis, procurado a posição que gera o meor valor da fução objetivo (atraso total) da solução parcial, para que a próxima tarefa removida seja iserida. No fial da Costrução tem-se uma ova solução completa (S p ) Busca Local A busca local é usada para melhorar a solução iicial S e a solução S p obtida pelo procedimeto de Destruição-Costrução. A Busca local começa com uma solução S ou S p, e gera uma vizihaça que cotém soluções que são alcaçadas através de movimetos idividuais realizados a solução correte. Desta vizihaça, uma solução que é melhor que a solução correte é selecioada. A solução escolhida tora-se a ova solução correte e o processo cotiua até que um ótimo local seja alcaçado. Neste estudo, o procedimeto de Busca Local é baseado a vizihaça por iserção. Esta vizihaça cosiste em remover cada tarefa i da sua posição origial e iseri-la as -1 posições restates. Este movimeto gera uma vizihaça de tamaho máximo de (-1)². A solução correte é substituída pela primeira solução viziha que melhore o valor do atraso total. O procedimeto é repetido equato há melhoria a solução correte. Neste procedimeto é utilizado um parâmetro prob que defie a probabilidade de uma tarefa i ser escolhida para ser iserida as demais posições da sequêcia. Isto permite a redução do tamaho da vizihaça IG com VND A heurística IG com VND (IG-VND) é similar ao IG, porém o procedimeto de Busca Local aplica-se a heurística Variable Neighborhood Descet VND (Hase e Mladeovic, 2003), que é descrita a seguir. O procedimeto VND utiliza duas estruturas de vizihaças: vizihaça por iserção N 1 (utilizada pela Busca Local covecioal - seção 3.1.3) e a vizihaça por troca N 2. Esta seguda vizihaça cosiste em trocar cada tarefa i da sequêcia com as -1 tarefas restates, assim, gerado (-1)/2 soluções vizihas. Para reduzir esta vizihaça, também é utilizado o parâmetro prob que defie a probabilidade de uma tarefa i ser trocada com outra. Vale ressaltar que, a vizihaça N 1 é uma das melhores vizihaças em problemas de sequeciameto (Ruiz e Stützle, 2007). O algoritmo VND recebe como parâmetro de etrada uma solução S a ser melhorada. Iicialmete, utilizado a vizihaça N 1 determia-se a melhor solução viziha (S v ) de S. Se a solução S v for melhor que a solução S, o algoritmo retoma a busca com a solução S v e utilizado a mesma vizihaça N 1. Caso cotrário, o algoritmo retoma a busca com a mesma solução S e utilizado a vizihaça por troca N 2. Se a melhor solução S v a vizihaça N 2 for melhor que a solução correte S, o algoritmo retoma a busca com a vizihaça N 1. Caso cotrário, o algoritmo termia a busca, retorado a melhor solução ecotrada. 3.3.Heurísticas ILS e ILS-VND O ILS é uma meta-heurística simples, robusta e efetiva que aplica repetidamete uma Busca Local a soluções obtidas ao perturbar soluções ótimas locais previamete visitadas. O algoritmo do ILS assemelha-se com o algoritmo do IG apresetado a seção 3.1, difereciado apeas o procedimeto de Destruição-Costrução. No ILS é utilizado um procedimeto de Perturbação para escapar de ótimos locais. Neste trabalho, a perturbação de uma solução cosiste em realizar um úmero d de trocas de tarefas escolhidas aleatoriamete. Igual que o IG, o

6 parâmetro d iicia com valor 2 e ele é icremetado até um valor máximo D max, caso ão sejam ecotradas melhorias a solução correte. No ILS é utilizado o mesmo procedimeto de Busca Local apresetado em No algoritmo ILS-VND, utiliza-se como busca local o procedimeto VND apresetado em Testes Computacioais e Aálise Estatística dos Resultados Nesta seção, experimetos computacioais e testes estatísticos são realizados a fim de avaliar o desempeho do modelo matemático proposto e das quatro heurísticas propostas. As heurísticas foram implemetados em liguagem C++ e compiladas com o Microsoft Visual C Já o modelo matemático foi implemetado em C++ utilizado a biblioteca Cocert do CPLEX 12.4,e também compilado com o Microsoft Visual C Os experimetos foram realizado em um computador com o processador Itel Core i7-4700k com velocidade de 4.00GHz, memória RAM de 32.0 GB e sistema operacioal Widows 8.1 Pro. A métrica utilizada para avaliar os resultados dos algoritmos é o Desvio Percetual Relativo (RPD) que é obtido pela seguite fórmula: RDP = 100 (f algoritmo f melhor )/f melhor, ode f algoritmo correspode ao valor da fução objetivo obtido por um dado algoritmo e f melhor correspodete à melhor solução ecotrada a partir da execução de todos os métodos comparados. Cada heurística foi executada 10 vezes para resolver uma istâcia e o RPD é calculado cosiderado o valor médio das 10 execuções Istâcias do Problema As istâcias do problema foram geradas da mesma maeira que Allahverdi al. (2014). Vale lembrar que esses autores semete geraram istâcias com 30, 40, 50, 60 tarefas, o etato essas istâcias ão são dispoibilizadas. Neste trabalho foram cosiderados dois cojutos de istâcias: istâcias de pequeo porte, com úmero de tarefas = {10, 12, 15, 20} e úmero de máquias o primeiro estágio m = {2, 4, 6}; e istâcias de médio-grade porte, com = {30, 40, 50, 60, 100, 200} e m = {5, 10, 20}. Foram cosiderados 9 ceários datas de etrega (cd). Para cada cofiguração m cd, 3 istâcias foram geradas. Assim, foram geradas 324 istâcias de pequeo porte e 486 de médio-grade porte. As istâcias e os resultados obtidos serão dispoibilizados o site da ossa istituição Parâmetros dos Algoritmos Heurísticos As heurísticas IG e IG-VND possuem três parâmetros a serem defiidos: prob, D max e CParada. Para o parâmetro prob, que é usado para reduzir o tamaho das vizihaças, foram testados os seguites valores: {0,2, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8}. Para o parâmetro D max foram testados /2, /5 e /8. Como critério de parada é utilizado um tempo máximo de execução do algoritmo. Este tempo foi fixado em Cparada = m 100 milissegudos. Após realizar os testes computacioais com esses parâmetros, os melhores valores obtidos foram prob = 0,5 e D max = /5. Os mesmos parâmetros foram utilizados os algoritmos ILS e ILS-VND, já que eles são algoritmos similares ao IG e IG-VND, respectivamete. A difereça está apeas a perturbação das soluções. Vale ressaltar que o ILS, o ível de perturbação ão é fixa, ele varia o itervalo [2, D max ]. 4.3 Comparações das Heurísticas com o Modelo Matemático As heurísticas propostas foram avaliadas através da comparação com os resultados obtidos pelo solver CPLEX. O modelo de PIM, para as istâcias com até 40 tarefas, é resolvido com o CPLEX utilizado um tempo limite de uma hora. Quado ão ecotrado uma solução ótima até o tempo estabelecido, o CPLEX retora a melhor solução ecotrada até o mometo. Para cada heurística avaliada, foi calculado o RPD cosiderado a solução do solver CPLEX como a melhor solução.

7 Tabela 1: Média dos RPDsa comparação das heurísticas com ocplex. Istâcias CPLEX m IG ILS IG-VND ILS-VND tempo(s) 10 x 2 0, , ,42 10 x 4 0, ,43 10 x ,45 12 x 2 0, , ,49 12 x 4 0, , ,65 12 x 6 0, , ,71 15 x 2 0,0040 0,0006 0, ,83 15 x ,20 15 x 6 0, ,91 20 x 2 0,0113 0,0073 0,0015 0,0029 8,80 20 x 4 0,0044 0,0040-0,0005-0, ,67 20 x 6 0,0193 0,0100 0,0040 0, ,77 30 x 5 0,0276 0,0576-0,0025 0, ,97 30 x 10-0,1015-0,0511-0,1285-0, ,03 30 x 20-0,2130-0,2086-0,2401-0, ,46 40 x 5-0,0478 0,0750-0,1625-0, ,92 40 x 10-0,0669-0,0074-0,0991-0, ,99 40 x 20-0,8514-0,7630-0,9323-0, ,14 Médias -0,0487-0,0486-0,0854-0,0819 Na Tabela 1 são apresetados os valores médios do RPD para cada grupo m com 27 istâcias, e os tempos médios gastos pelo CPLEX. Valores da média do RPD 0 sigificam que as soluções heurísticas foram comparadas com as soluções ótimas obtidas pelo CPLEX. Valores egativos sigificam que em algumas istâcias do grupo, a solução heurística é melhor que a solução do CPLEX. Aalisado a Tabela 1, pode-se verificar que o algoritmo ILS-VND obteve a solução ótima em todas as istâcias com até 15 tarefas. Para as istâcias com 20, 30 e 40 tarefas, em geral, o IG-VND foi melhor. Também pode ser observado que, o uso do VND provocou uma melhoria os algoritmos ILS e IG. É importate mecioar que para um total de 486 istâcias, 445 soluções ótimas foram obtidas pelo CPLEX, dos quais 451, 437, 397 e 380 soluções ótimas foram obtidas pelos métodos IG-VND, ILS-VND, ILS e IG, respectivamete Resultados para Istâcias de Grade Porte Os algoritmos são comparados as istâcias com 50, 60, 100, 200 tarefas. Para cada istâcia,os algoritmos foram executados 10 vezes e cosidera-se a média dos valores da fução objetivo obtidos para calcular o RPD. Para istâcias de grade porte ão foi possível obter soluções ótimas aplicado o solver CPLEX. Desta forma, os valores médios são comparados com o melhor valor da fução objetivo que é ecotrado com todas as execuções de todos os algoritmos. A Tabela 2 mostra os RPDs médios para cada grupo de istâcia e cada algoritmo. Os valores em egrito represetam as melhores medias. Observa-se que o algoritmo IG-VND apresetou as melhores médias, exceto para o grupo de istâcias Este algoritmo obteve uma média global de 0,34%, e o segudo melhor algoritmo ILS-VND obteve 0,43%. Percebe-se claramete que, com o uso do VND os algoritmos IG e ILS obtiveram uma melhoria em todas as istâcias. Também ota-se que o algoritmo IG é cosideravelmete melhor que o algoritmo ILS. Uma vez que as difereças etre as médias do RPD são pequeas, é importate executar um teste estatístico, para verificar se existem difereças estatisticamete sigificativas etre os algoritmos. Foi aplicado teste de Aálise de Variâcia (ANOVA) para comparar os quatro algoritmos. Ates foram verificadas as hipóteses do teste, que são: ormalidade, homogeeidade da variâcia e idepedêcia dos resíduos. O teste ANOVA idicou que existem difereças sigificativas etre os 4 algoritmos. A Figura 1 mostra que pelo teste HSD de Tukey o algoritmo IG-VND apreseta uma difereça sigificativa em relação aos algoritmos IG e ILS com um ível de cofiaça de 95%. Porém, estatisticamete, ão existe uma difereça etre os algoritmos IG-VND e ILS- VND, embora o IG-VND apresete uma melhor média em 91,6% dos grupos de istâcias de

8 grade porte. Na Figura também observa-se que, os algoritmos IG e ILS melhoraram sigificativamete com uso do VND. Tabela2: Média dos RPD para comparações dos algoritmos heurísticos. Istâcia m IG ILS IG-VND ILS-VND 50 x 5 0,13 0,26 0,06 0,11 50 x 10 0,24 0,43 0,12 0,20 50 x 20 0,25 0,38 0,11 0,18 60 x 5 0,32 0,70 0,10 0,22 60 x 10 0,38 0,64 0,18 0,33 60 x 20 0,42 0,64 0,28 0, x 5 0,71 1,17 0,27 0, x 10 0,60 1,01 0,33 0, x 20 0,76 1,25 0,39 0, x 5 1,65 1,86 0,55 0, x 10 1,28 1,33 0,65 0, x 20 1,49 1,46 1,03 0,87 Médias 0,69 0,93 0,34 0,43 Figura 1:Gráfico de médias e itervalos HSD de Tukeypara os algoritmos comparados. 5. Coclusões Nesse trabalho foi estudado um problema de sequeciameto de tarefas que é fortemete NP-Difícil. Para resolver tal problema, iicialmete foi proposto um modelo de PIM para obteção de soluções ótimas em istâcias de pequeo e médio porte. Já que a resolução do modelo para istâcias de grade porte é iviável, foram propostos quatro algoritmos heurísticos, sedo dois híbridos que combiam as técicas IG, ILS com VND. Os testes computacioais mostraram que com o uso da heurística VND a fase de busca local dos algoritmos IG e ILS, os resultados melhoraram sigificativamete. Além disso, IG apresetou um desempeho superior que o ILS, e o IG-VND foi o melhor algoritmo a solução do problema. Os resultados obtidos foram validados estaticamete. De acordo com o osso cohecimeto, a literatura ão existem aplicações do IG e ILS para o problema 2sAFS com critério atraso total. Dessa forma, podemos cocluir que este trabalho cotribui para o estado da arte do problema. Como trabalhos futuros sugerem-se aplicar as heurísticas propostas para outras variações do problema, por exemplo, cosiderado tempos de preparação e cosiderado um estágio de trasporte etre os estágios de produção e motagem. Agradecimetos: Os autores agradecem à FAPEMIG pela bolsa de Iiciação Cietífica cocedida para desevolvimeto deste trabalho. Referêcias Allahverdi, A., e Al-Azi, F. S. (2006a). Evolutioary heuristics ad a algorithm for the twostage assembly schedulig problem to miimize makespa with setup times. Iteratioal Joural of Productio Research, 44(22), Allahverdi, A., e Al-Azi, F. S. (2006b). A PSO ad a Tabu search heuristics for the assembly schedulig problem of the two-stage distributed database applicatio. Computers & Operatios Research, 33(4), Allahverdi, A., e Aydilek, H. (2014). The two stage assembly flowshop schedulig problem to miimize total tardiess. Joural of Itelliget Maufacturig, Al-Azi, F. S., e Allahverdi, A. (2009). Heuristics for a two-stage assembly flowshop with bicriteria of maximum lateess ad makespa. Computers & Operatios Research, 36(9),

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