XLVI Pesquisa Operacional na Gestão da Segurança Pública

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1 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública Um estudo sobre formulações matemáticas para um problema clássico de escaloameto com atecipação e atraso em máquias paralelas Raier Xavier de Amorim, Rosiae de Freitas Programa de Pós-Graduação em Iformática (PPGI) Istituto de Computação - Uiversidade Federal do Amazoas (IComp - UFAM) Av. Rodrigo Otávio - Campus Uiversitário, o 6.200, CEP , Maaus, AM {raier,rosiae}@icomp.ufam.edu.br RESUMO Este trabalho aborda formulações para um problema clássico de escaloameto com atecipação e atraso poderados em máquias paralelas idêticas, com tarefas de tempo de processameto arbitrários. Uma aálise sobre as pricipais formulações matemáticas em programação iteira e mista é apresetada, bem como adaptações destas formulações para problemas de escaloameto com atecipação e atraso em máquias paralelas idêticas. PALAVRAS CHAVE: escaloameto com atecipação e atraso, formulações matemáticas, teoria de escaloameto. Área pricipal: Otimização Combiatória. ABSTRACT This article addresses formulatios for a classic weighted earliess-tardiess schedulig problem o idetical parallel machies, with jobs cotaiig arbitrary processig times. A aalysis of the mai iteger programmig ad mixed mathematical formulatios is preseted as well as adaptatios of these formulatios for earliess-tardiess schedulig problems o idetical parallel machies. KEYWORDS: earliess ad tardiess schedulig, mathematical formulatios, schedulig theory. Mai area: Combiatorial Optimizatio. 1. Itrodução O problemas de escaloameto que evolvem atecipação e atraso (earliesstardiess, E/T) possuem aplicações em diversos problemas do cotidiao. Uma aplicação bastate cohecida ocorre as idústrias de processos produtivos, utilizado a ideia de produção sem folga (térmio da produção em ates e em depois da data de térmio sugerida), ou seja, a fabricação deve ser cocluída a tempo da etrega ao cliete (do iglês, Just-i-Time (JIT)). Tal termo surgiu o Japão a década de 1970, a idústria automotiva, ode se buscava um sistema que atedesse a uma demada específica com o meor tempo de atraso possível. Esse sistema tem como objetivo a melhoria do processo produtivo e fluxo de maufatura, elimiação de estoques e desperdícios [Leug (2004)]. De acordo com Xiao e Li (2002), decisões a determiação de datas de térmio sugeridas de tarefas são importates o plaejameto e cotrole de muitas operações de 2514

2 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública uma orgaização. Uma cotação rápida de etrega de um determiado trabalho pode ser muito atrativa para o cliete, mas pode aumetar a chace de etregas atrasadas. Por outro lado, a demora a cotação de um trabalho pode dimiuir a chace de o mesmo ser etregue com atraso, mas será pealizado com o risco de se perder um determiado egócio em potecial. O coceito JIT também pode ser utilizado para gerir as atividades exteras de uma empresa, como o processo de compra de isumos de outras fábricas, fabricação e motagem de ovos produtos a partir desses isumos e distribuição ou exportação dos ites produzidos. JIT auxilia em todo esse processo, pois parte da ideia de coduzir a produção a partir de uma determiada demada, ou seja, a fábrica produz somete o ecessário e as quatidades ecessárias quado requerido, evitado assim a quebra da cadeia de suprimetos (supply chai) da empresa e o acúmulo de ites produzidos o estoque, pois esses produtos são logo eviados ao mercado cosumidor [Józefowska (2007)]. O problema pode ser formalizado como segue. Seja J = {1,...,} um cojuto de tarefas que podem ser processadas em um ambiete mooprocessado ou em um cojuto de máquias paralelas idêticas M = {1,...,m}, sem preempção. Cada máquia pode processar pelo meos uma tarefa, sedo uma por vez, e todas as tarefas devem ser processadas. Cada tarefa j possui um tempo de processameto positivo (processig time) p j, um prazo de térmio sugerido (due date) d j e pesos positivos (weight) α j e β j. A atecipação de uma tarefa j é defiida como E j = max{0,d j C j }, equato o atraso de uma tarefa j é defiido como T j = max{0,c j d j }, ode C j é o tempo de completude da tarefa j, que é obtido através da soma do istate de iício da execução da tarefa mais o tempo de processameto da mesma [Brucker (2006)]. Na literatura existe uma ampla e crescete quatidade de trabalhos que cosideram problemas de escaloameto com atecipação e atraso. Detre eles destacam-se as revisões da literatura apresetadas por Baker e Scudder (1990), Gordo et al. (2002) e Shabtay e Steier (2012). Detre os trabalhos ecotrados a literatura, apresetamos uma aálise das formulações matemáticas jutamete com uma adaptação destas para o escaloameto E/T, cosiderado tarefas idepedetes, pesos e tempos de processameto arbitrários, sem preempção e em tempo ocioso (ou seja, é permitido apeas o térmio de uma sequêcia de tarefas em cada máquia). Um exemplo para o escaloameto com pealidades de atecipação e atraso em ambiete de máquias paralelas idêticas é apresetado a Figura 1 ode, em (a), é apresetado um exemplo de istâcia com 5 tarefas para o problema com seus respectivos valores para tempos de processameto (p j ), data de térmio sugerida (d j ), pealidades de atecipação (α j ) e atraso (β j ). Já em (b) tem-se a solução ótima para a istâcia dada em duas máquias paralelas idêticas. Este artigo é orgaizado como a seguir. A seção 2 apreseta os trabalhos relacioados com formulações de programação iteira e mista em máquias paralelas, também é apresetada uma adaptação destas formulações para a fução de escaloameto E/T as subseções 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6. A seção 3 coclui o artigo. 2. Formulações matemáticas Nesta seção serão detalhadas as pricipais formulações matemáticas existetes a literatura para o problema de escaloameto clássico com pealidades de atecipação e 2515

3 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública J j p j d j J1 4 7 J2 4 J3 5 J4 J α j β j α j E + j β j T j = 22 M 2 J 2 J 1 J 5 27 M 1 J 3 J ( a ) ( b ) Figura 1. (a) Exemplo de uma istâcia de 5 tarefas para o problema de escaloameto com atecipação e atraso (b) solução ótima. atraso (tarefas idepedetes, com tempos de processameto arbitrários, sem preempção permitida, com datas de chegada iguais e datas de térmio distitas). Sedo assim, duas questões ajudam a classificação das formulações matemáticas existetes: 1. Permitem tempo ocioso o escaloameto ou ão. 2. Cosideram escaloameto em máquias paralelas ou somete em uma úica máquia. Kaet e Sridhara (2000) apresetaram uma revisão da literatura sobre problemas de escaloameto com tempos ociosos iseridos, ode são cosiderados problemas de escaloameto evolvedo pealidades de atecipação e atraso. Os autores resumiram os resultados relacioados ao uso ou ão de tempo ocioso em problemas gerais de escaloameto. Assim, afirmam que ão é ecessário cosiderar ou tratar tempo ocioso os dois seguites casos: 1. Problemas de escaloameto em ambiete mooprocessado. 2. Problemas de escaloameto em máquias paralelas, quado todas as tarefas do problema estão simultaeamete dispoíveis (quado se tem datas de chegadas iguais) e quado o problema de escaloameto apresetar medidas regulares de performace Tempo ocioso (TO) ão-ocioso (STO) Quado se trabalha com tarefas com datas de térmio distitas, pode ser vatajoso segurar a produção por algum tempo a fim de reduzir os custos decorretes da atecipação de tarefas. Assim, é possível haver tempo ocioso o escaloameto [Józefowska (2007)]. A iserção de tempo ocioso o escaloameto resulta em uma subutilização da máquia. A maximização da utilização da máquia geralmete etra em coflito com o valor de fução objetivo JIT, o que pode impactar diretamete os custos de estoque de uma empresa. Apesar do custo decorrete da existêcia de tempo ocioso a máquia ão ser desprezível, ele é compatível com o coceito JIT quado se quer obter o meor valor de atecipação e atraso possível. Mas se o custo do tempo ocioso a máquia for elevado, pode ser ecessária a aplicação de uma restrição adicioal a fim de evitar tempo ocioso o escaloameto. Assim, tem-se dois grupos pricipais de problemas de escaloameto: problemas com tempo ocioso permitido e problemas sem tempo ocioso. O primeiro caso é mais cosistete com a ideia do escaloameto JIT, equato que a versão sem tempo ocioso pode ter seu uso justificado em outras aplicações. Depededo do problema de atecipação e atraso cosiderado, existem problemas de escaloameto que ão permitem tempo ocioso etre as tarefas devido as restrições do problema, como as lihas de produção de uma fábrica, por exemplo, que ão podem 2516

4 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública parar e devem seguir um fluxo cotíuo de produção. Outro exemplo é quado se tem máquias muito caras, que precisam ser utilizadas em uma determiada aplicação, logo, a sua utilização deve ser maximizada. Dessa forma, a restrição que evita tempo ocioso, apesar de ão ser muito compatível com o coceito JIT, é também cosiderada a literatura. Por outro lado, há problemas que permitem tempo ocioso o escaloameto, também devido às restrições do problema, ou seja, existem problemas que requerem que as tarefas termiem mais próximas de suas respectivas datas de térmio sugeridas, de forma a ateder a um determiado croograma de produção ou ateder às ecessidades de um cliete, por exemplo. Dessa forma, com um úmero razoável de tarefas termiado a data de térmio sugerida, os custos das pealidades de atecipação e atraso tedem a ser reduzidos. Assim, pode ser mais lucrativo cosiderar tempo ocioso em algus problemas. Os problemas de escaloameto com e sem tempo ocioso podem ser ecotrados a literatura com as seguites variações de datas de térmio sugeridas: Escaloameto com tempo ocioso: a) Pesos arbitrários (arbitrary weights): α β. b) Pesos proporcioais (proportioal weights): α i = αp i e β i = βp i, i = 1,...,, α,β 0. Escaloameto sem tempo ocioso: a) Pesos arbitrários (arbitrary weights): α β. b) Pesos idepedetes de tarefa (job idepedet weights): α i = α e β i = β, i = 1,..., Formulação de programação liear iteira mista para o escaloameto em máquias paralelas com tempo ocioso (PIM-TO) A primeira formulação estudada é o modelo de programação liear iteira mista (PIM) proposto por Areales et al. (2007) para o problema de escaloameto em máquias paralelas. A formulação proposta assume que: todas as tarefas devem estar dispoíveis o istate zero (datas de chegadas iguais, r j = 0, sem perda de geeralidade), cada tarefa possui a sua própria data de térmio sugerida (d j distitos), qualquer máquia pode processar qualquer tarefa, cada tarefa pode ser executada somete uma vez, a preempção de uma tarefa ão é permitida, cada máquia pode processar exatamete uma tarefa em um dado istate de tempo, o úmero de tarefas e máquias são fixos e os tempos de processameto também são fixos, e apreseta tempos de preparação (setup) relacioadas a máquia e tarefas cosecutivamete escaloadas. A formulação utiliza quatro cojutos de variáveis. O primeiro é composto de variáveis biárias tri-idexadas x i jk, com valor 1 se a tarefa i precede imediatamete a tarefa j a máquia k, e 0 caso cotrário. O segudo cojuto C ik, de variáveis reais, cosiste o istate de térmio de processameto de uma tarefa i a máquia k. Por fim, os cojutos T i e E i, de variáveis também reais, represetam, respectivamete, o atraso e a atecipação da tarefa i. A formulação matemática também apreseta os seguites parâmetros ãoegativos: p ik é o tempo de processameto da tarefa i a máquia k (para máquias paralelas idêticas a otação muda para p j ). 2517

5 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública s i jk é o tempo de preparação da máquia k para processar a tarefa j imediatamete após a tarefa i (caso o problema ão teha tempos de preparação, assume-se o valor zero para o tempo de preparação da máquia). d j é a data de etrega da tarefa j. M é uma costate suficietemete grade (cohecida pelo termo em iglês, big M). A seguir é apresetada uma adaptação da formulação de Areales et al. (2007) evolvedo máquias paralelas idêticas, com restrições e fução objetivo lieares. Mi S. a. j=1 m α j E j + k=1 i=0 j=1 j=1 β j T j (1) x i jk = 1 j = 1,2,...,. (2) x 0 jk 1 k = 1,2,...,m. (3) x ihk x h jk = 0 h = 1,..., e k = 1,...,m. (4) i=0, i h j=0, j h C 0k = 0 k = 1,...,m. (5) C jk C ik M + (p j + s i jk + M)x i jk i = 0,...,; j = 1,..., e k = 1,...,m. (6) E i d i C ik i = 1,..., e k = 1,...,m. (7) T i C ik d i i = 1,..., e k = 1,...,m. (8) T i 0,E i 0 i = 1,...,. (9) x i jk {0,1} i, j = 0,..., e k = 1,...,m. (10) Na formulação acima, a fução objetivo (1) miimiza a atecipação e o atraso das tarefas. Os cojutos de restrições (2), (3), (4) asseguram uma sequêcia exclusiva de tarefas para cada uma das máquias. Sedo que o cojuto de restrições (2) idica que cada tarefa j a máquia k teha apeas uma tarefa precedete. O cojuto de restrições (3) garate que cada máquia k, se usada, teha uma sequêcia exclusiva de tarefas. O cojuto de restrições (4) defie que cada tarefa j teha uma úica tarefa imediata sucessora, com exceção da tarefa 0 que estabelece o iício e o fim de uma sequêcia de tarefas a máquia k. Para a tarefa 0, o cojuto de restrições (5) estabelece que o istate de termio das tarefas as máquias devem ser iguais a zero. No cojuto de restrições (6) são verificados os istates de coclusão das tarefas as máquias ode são executadas. Nos cojutos de restrições (7) e (8), são defiidos, respectivamete, a atecipação e o atraso associado a cada uma das tarefas. Os cojutos de restrições 9 e 10 idicam o domíio das variáveis utilizadas a formulação. Os cojutos de restrições acima descritos ão excluem a ocorrêcia de tempo ocioso etre as tarefas Formulação de programação liear iteira mista para o escaloameto em máquias paralelas sem tempo ocioso (PIM-STO) A seguda formulação estudada este trabalho é o modelo de PIM proposto por Tsai e Wag (2012) para máquias paralelas ão-relacioadas (R i=1 T j + i=1 E j) baseado a formulação apresetada por Rabadi et al. (2006) para a miimização do makespa 2518

6 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública em máquias paralelas ão-relacioadas. A formulação proposta por Tsai e Wag (2012) também assume que: todas as tarefas devem estar dispoíveis o istate zero (datas de chegadas iguais, r j = 0, sem perda de geeralidade), cada tarefa possui a sua própria data de térmio sugerida (d j distitos), qualquer máquia pode processar qualquer tarefa, cada tarefa pode ser executada somete uma vez, a preempção de uma tarefa ão é permitida, cada máquia pode processar exatamete uma tarefa em um dado istate de tempo, o úmero de tarefas e máquias são fixos e os tempos de processameto também são fixos e apreseta tempos de preparação relacioadas a máquia e tarefas cosecutivamete escaloadas. As variáveis utilizadas esta formulação são as mesmas da formulação aterior (com os casos especiais para: x 0 jk, variável biária que terá valor 1 se a tarefa j é a primeira a ser processada a máquia k, 0 caso cotrário, e x i0k, variável biária que terá valor 1 se a tarefa j é a última a ser processada a máquia k, 0 caso cotrário). A seguir é apresetada uma adaptação da formulação matemática em programação iteira mista de Tsai e Wag (2012), evolvedo máquias paralelas idêticas, com restrições e fução objetivo lieares: Mi S. a. α j E j + j=1 j=1 m i=0, i j k=1 x ihk i=0, i h C i + j=0 m k=1 β j T j (11) x i jk = 1 j = 1,2,...,. (12) j=1, j h x i jk (p j ) + M( x h jk = 0 h = 1,2,...,; k = 1,2,...,m. (13) m k=1 x i jk 1) C j i = 0,1,...,; j = 1,2,...,. (14) x 0 jk = 1 k = 1,2,...,m. (15) T j = C j d j j = 1,2,...,. (16) E j = d j C j j = 1,2,...,. (17) C 0 = 0 (18) C j,e j,t j 0 j = 1,2,...,. (19) x i jk {0,1} i, j = 1,2,...,; k = 1,2,...,m. (20) C 0 + C i + m k=1 m k=1 x 0 jk (p j ) C j + M( x i jk (p j ) C j + M( m k=1 m k=1 x 0 jk 1) j = 1,2,...,. (21) x i jk 1) i = 0,1,...,; j = 1,2,...,. (22) Na formulação acima, a fução objetivo (11) miimiza a atecipação e o atraso das tarefas com pesos distitos. O cojuto de restrições (12) assegura que uma tarefa seja escaloada somete uma vez e processada por somete uma máquia. O cojuto de restrições (13) assegura que cada tarefa i ão seja em precedida e em sucedida por mais de uma tarefa j. O cojuto de restrições (14) é utilizado para calcular o tempo de completude das tarefas e assegurar que ehuma tarefa i deve preceder e suceder ao mesmo tempo uma determiada tarefa j o escaloameto. 2519

7 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública O cojuto de restrições (15) assegura que ão mais que uma tarefa seja escaloada primeiro em uma máquia. O valores para o atraso e atecipação das tarefas são calculados os cojutos de restrições (16) e (17), respectivamete. O cojuto de restrições (18) defie o tempo de completude da tarefa fictícia 0 seja zero. O cojuto de restrições (19) assegura que os valores para tempos de completude, atecipação e atraso sejam ão-egativos. O cojuto de restrições (20) assegura que a variável de decisão x i jk seja biária. Os cojutos de restrições (21) e (22) asseguram que ão haja tempo ocioso o escaloameto Formulação idexada pelo tempo para o escaloameto em ambiete mooprocessado (PI-STO-IT) A terceira formulação estudada este trabalho é um modelo de programação liear iteira (PI) proposto por Taaka et al. (2009) para a miimização das pealidades de atecipação e atraso em ambiete mooprocessado (baseado as formulações propostas por Pritsker et al. (1968), Dyer e Wolsey (1990), Sousa ad Wolsey (1992) e Va de Akker et al. (1999)). As variáveis de decisão são biárias bi-idexadas, x it (i N,1 t T ), tal que x it é igual a 1 se t p i e se a tarefa i é completada o istate t (t = C i ), e é igual a 0, caso cotrário. Além disso, possui os seguites parâmetros ão-egativos: p j, idicado o tempo de processameto da tarefa j e T uma costate idicado o limite superior para o itervalo de tempo em que as tarefas devem ser escaloadas (itervalo de tempo etre 1 e T ). Desta forma, o problema pode ser formulado como segue: Mi S. a. T i=1 t=1 i=1 T t=1 f i (t)x it (23) mi(t, t+p i 1) x is = 1 1 t T (24) s=t x it = 1 i N (25) x it {0,1}, i N, 1 t T (26) O cojuto de restrições (24) defie a restrição de capacidade da máquia, ode cada máquia deve processar exatamete uma tarefa em um determiado istate de tempo. O cojuto de restrições (25) idica o úmero de ocorrêcias das tarefas o escaloameto. Para a fução objetivo (23), miimização da atecipação e atraso, tem-se: f j (t) = α i max{d i t,0} + β i max{t d i,0} Formulação clássica geral idexada pelo tempo para o escaloameto em ambiete mooprocessado (PI-TO-IT) A quarta formulação baseia-se a formulação geral proposta para problemas de escaloameto com fuções objetivo regulares (ão-decrescetes em relação aos tempos de completude das tarefas) proposta por Dyer e Wolsey (1990). As variáveis de decisão são biárias bi-idexadas, y t j, idicado que uma tarefa j iicia o seu processameto o istate t em alguma máquia, com itervalo de tempo etre 0 e T. 2520

8 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública Desta forma, o problema pode ser formulado como segue: T p j Mi f j (t + p j )y t j (27) j J t=0 S. a. T p j y t j = 1 ( j J) (28) t=0 j J, t+p j T t s=max{0,t p j +1} y s j 1 (t = 0,...,T 1) (29) y t j {0,1} ( j J;t = 0,...,T 1) (30) Na fução objetivo (27), a fução f j (x) é defiida para cada tarefa, ode x é o istate ode cada tarefa fializa o seu processameto a liha do tempo. Se a fução objetivo é para a miimização do atraso poderado, por exemplo, f j (x) é igual a β j max{0,x d j }. O cojuto de restrições (28) determia que a tarefa deve ser processada exatamete uma vez. O cojuto de restrições (29) determia que a máquia pode processar o máximo uma tarefa em um dado istate de tempo, sedo que a soma de tal istate com o seu respectivo tempo de processameto ão pode ser maior que o máximo tempo de execução. Somete 1 tarefa pode ser executada ao mesmo tempo (a úica máquia dispoível). Esta formulação pode ser adaptada para ambiete multiprocessado, trocado-se para m o lado direito desta restrição, idicado que o pior caso, somete m tarefas podem ser executadas ao mesmo tempo, ode m é o úmero de máquias dispoíveis. O cojuto de restrições (30) defie os tipos de variáveis utilizadas. Amorim et al. (2013) propuseram uma formulação idexada pelo tempo baseada a formulação clássica geral de escaloameto e fluxo em redes. Ode foram adicioadas restrições para evitar tempo ocioso a miimização da atecipação e atraso poderados (fuções ão-regulares). As tarefas devem ser processadas o itervalo de tempo [0,T ], ode T = j=1 p j, ode m é o úmero de máquias. As variáveis de decisão biárias y t j idicam que a tarefa j iicia o seu processameto o istate t em alguma máquia. Assim, o problema foi formulado como segue (Formulação idexada pelo tempo baseada o modelo de fluxo em redes para o escaloameto em máquias paralelas - PI-STO-JIT): Mi S. a. T t=0 j=1 T f j (C j )y t j (31) y t j = 1 ( j = 1,2,...,) (32) t=0 y t p j j j=1 j=1 j=0 y t j = 0 (t = 1,...,T ) (33) y 0 j = m (34) y t j {0,1} ( j = 1,2,...,;t = 0,...,T ) (35) A fução objetivo f j (C j ) (31) desta formulação é baseada o problema P α j E j + β j T j. Assim, o valor de fução objetivo pode ser calculado como segue: f j (C j ) = 2521

9 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública α j max{0,d j C j } + β j max{0,c j d j }. O cojuto de restrições (32) determia que a tarefa deve ser processada exatamete uma vez. O cojuto de restrições (33) determia a represetação do escaloameto através de fluxo em redes, o que garate que ão se teha tempo ocioso etre as tarefas o escaloameto, este caso, o tempo ocioso é permitido somete quado todas as tarefas em cada máquia são processadas, o tempo ocioso é represetado pela tarefa fictícia 0 (zero), que é utilizada o fial da sequêcia de tarefas em cada máquia, como esta tarefa fictícia é a última da sequêcia de tarefas, ela é direcioada ao istate fial do escaloameto, como pode ser observado a Figura 2 (b). O cojuto de restrições (34) defie o istate de iício do escaloameto, o iício do escaloameto é assegurado que a primeira tarefa da sequêcia em cada máquia comece o istate 0 (zero). A Figura 2 (b) apreseta o escaloameto utilizado a represetação de fluxo em redes para a solução apresetada a Figura 2 (a), ode cada camiho é represetado por diferetes setas a rede da Figura 2 (b), que idica uma sequêcia de tarefas em cada máquia. M 27 2 J 2 J 1 J 5 M 1 J 3 J α j E j + β j T j = j = t = y 3 3 y 1 7 y 5 ( a ) ( b ) y 4 y y y Figura 2. (a) Solução utilizado o gráfico de Gat. (b) represetação do escaloameto o modelo de fluxo em redes para a formulação clássica do problema. Uma vatagem importate da formulação idexada pelo tempo é que esta formulação pode ser utilizada para modelar vários critérios de desempeho, do tipo regulares (fuções objetivo regulares) para problemas de escaloameto. A mudaça a formulação se dá através da mudaça dos custos da fução objetivo. A desvatagem a utilização deste modelo é o tamaho, ode existem + T restrições e aproximadamete T variáveis, ode T é a soma de todos os tempos de processameto j=1 p j (para ambiete mooprocessado). Desta forma, istâcias com muitas tarefas, ou tarefas com um tempo de processameto grade, demadam muito tempo para solução Formulação baseada o modelo de fluxo em redes e roteameto de veículos para o o escaloameto em máquias paralelas - Arc-time idexed formulatio (PI-STO-ArcTime) A última formulação, proposta por Pessoa et al. (2010) para a miimização do atraso poderado de tarefas em ambiete moo e multiprocessado, baseia-se o modelo de fluxo em redes e roteameto de veículos (Arc-time idexed formulatio). Esta formulação cosidera o escaloameto o itervalo de tempo de 0 a T, ode as máquias estão ociosas o istate 0 e devem estar ovamete ociosas o istate T. As variáveis biárias x t i j, i j, idicam que a tarefa i termia sua execução e a tarefa j iicia a sua execução o istate t, em alguma máquia. As variáveis x t 0 j idicam que a tarefa j iicia seu processameto o istate t em alguma máquia que estava ociosa o itervalo t 1 a t, em particular, as variáveis x0 0 j idicam que a tarefa j iicia em alguma máquia o istate 0. As variáveis

10 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública x t i0 idicam que a tarefa i fializa o seu processameto o istate t em uma máquia que ficará ociosa os istates t a t +1, as variáveis xi0 T idicam que a tarefa i será fializada o istate fial do itervalo de tempo. As variáveis x t 00 idicam que o úmero de máquias que estavam livres o itervalo t 1 a t e irá permaecer ociosa o itervalo t a t + 1. Miimizar j J + Sujeito a T p j f j (t + p j )x t i j (36) j J\{i} t=p i T p j x t i j = 1 ( j J) (37) i J + \{ j} t=p i x t ji x t+p i i j = 0 ( j J; (38) j J + \{i}, t p j 0 j J + \{i}, t+p i +p j T t = 0,...,T p i ) x t j0 x t+1 0 j = 0 (t = 0,...,T 1) (39) j J +, t p j 0 j J +, t+p j +1 T x0 0 j = m (40) i J + x t i j Z + ( i J + ; j J + \{ j};t = p i,...,t p j ) (41) x t 00 Z + (t = 0,...,T 1) (42) Os cojutos de restrições (38), (39) e (40) defiem o fluxo em redes de m uidades (ou m máquias) em um grafo acíclico G = (V,A). Neste fluxo existem apeas uma origem e um destio, qualquer solução pode ser decomposta em um cojuto de m camihos correspodetes a cada escaloameto (sequêcia de tarefas com seus tempos ociosos) de cada máquia. O cojuto de restrições (37) defie que cada tarefa deve estar em exatamete um camiho, e por isso, processada em somete uma máquia. A Figura 3 apreseta o escaloameto utilizado a represetação de fluxo em redes e roteameto de veículos, para a istâcia apresetada a Figura 1 (a), ode cada camiho a rede represeta o escaloameto em uma máquia j = 0 t = x x x x x x x x Figura 3. Represetação do escaloameto o modelo de fluxo em redes. Esta formulação foi adaptada para a miimização cojuta das pealidades de atecipação e atraso, sem tempo ocioso etre as tarefas, o tempo ocioso este caso seria cosiderado somete após o fim da execução das tarefas as máquias. Na Tabela 1 são resumidas as pricipais características das formulações estudadas. A Tabela 1 apreseta sete coluas: formulação matemática, úmero de restrições, úmero de variáveis, tipos de variáveis, ambiete de processameto, tipo de formulação e referêcia.... x

11 XLVI Pesquisa Operacioal a Gestão da Seguraça Pública Formulação matemática Número de restrições Tabela 1. Dimesão das formulações estudadas Número de variáveis Tipos de variáveis Ambiete de processameto Tipo de formulação Referêcia Com tempo Ocioso PIM-TO O( 2 m) O( 2 m) moo, bi e moo e multiprocessado PIM Areales et al. (2007) tri-idexadas PI-TO-IT O( + T ) O(T ) bi-idexadas mooprocessado PI Dyer e Wolsey (1990), Pessoa et al. (2010) Sem Tempo Ocioso PIM-STO O( 2 ) O( 2 m) moo, bi e moo e multiprocessado PIM Tsai e Wag (2012) tri-idexadas PI-STO-IT O( + T ) O(T ) bi-idexadas mooprocessado PI Taaka et al. (2009) PI-STO-JIT O( + T ) O(T ) bi-idexadas moo e multiprocessado PI Amorim et al. (2013) PI-STO-ArcTime O(T ) O( 2 T ) tri-idexadas moo e multiprocessado PI Pessoa et al. (2010) 3. Coclusões Este trabalho apresetou um estudo das formulações matemáticas para problemas de escaloameto E/T, com tarefas idepedetes, de tempos de processameto arbitrários e pesos distitos. Também foram apresetadas adaptações das formulações estudadas para a fução de escaloameto E/T, com e sem tratameto de tempo ocioso etre as tarefas. No caso do escaloameto sem tempo ocioso, só é permitido tempo ocioso o fial de uma sequêcia de tarefas em cada máquia. Uma aálise da dimesão das formulações os permite afirmar que quato maior for o tamaho da istâcia, ou tarefas com um grade tempo de processameto, maior será o tempo para a solução do problema. Assim, faz-se ecessário cosiderar métodos mais eficietes de resolução de tais problemas. Para trabalhos futuros evolvedo problemas de escaloameto com pealidades de atecipação e atraso, cosidera-se importate serem propostas formulações matemáticas em programação iteira mais robustas para tais problemas, de tal forma a serem desevolvidos métodos exatos mais eficietes. Métodos híbridos, evolvedo a resolução de formulações relaxadas para o problema em cojuto com métodos heurísticos, é um camiho iteressate a seguir, o ituito de se obter soluções ótimas com tempos de execução mais eficietes. Agradecimetos Agradecemos ao Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico (CNPq), a Coordeação de Aperfeiçoameto de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e a Fudação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazoas (FAPEAM) pelo apoio fiaceiro. Referêcias Amorim, R. X. d., defreitas, R., e Uchoa, E. (2013). A etwork flow IP formulatio ad exact/heuristics approaches for just-i-time schedulig problems o parallel machies without idle times. Aais do XLV SBPO - Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal, 45: Areales, M., Morabito, R., Armetao, V. A., e Yaasse, H. (2007). Pesquisa Operacioal: As Disciplias da Execução da Estratégia. Elsevier. 2524

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