UMA NOVA FORMULAÇÃO PARA UM PROBLEMA DE SEQÜENCIAMENTO DE PADRÕES EM AMBIENTES DE CORTE

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1 A pesquisa Operacioal e os Recursos Reováveis 4 a 7 de ovembro de 2003, Natal-RN UMA NOVA FORMULAÇÃO PARA UM PROBLEMA DE SEQÜENCIAMENTO DE PADRÕES EM AMBIENTES DE CORTE Horacio Hideki Yaasse Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais (INPE) Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada (LAC) Av. dos Astroautas, 758, Jardim da Graja, S.J.Campos, SP, horacio@lac.ipe.br Maria José Pito Cetro Técico Aeroespacial (CTA) Istituto de Estudos Avaçados (IEAv) Departameto de Iformática (EIN-A) Caixa Postal São José dos Campos, SP, maju@ieav.cta.br Resumo Propõe-se uma ova formulação matemática para um problema de seqüeciameto de padrões em ambietes de corte. Compara-se esta formulação com outras sugeridas ateriormete a literatura. Palavras-Chave: Problema de Corte de Estoque, Sequeciameto de Padrões, MOSP, MTSP. Abstract We propose a ew mathematical formulatio of a patter sequecig problem i cuttig settigs. We compare this formulatio with previous oes suggested i the literature. Keywords: Cuttig Stock Problem, Patter Sequecig, MOSP, MTSP.. INTRODUÇÃO O problema de corte de estoque cosiste em cortar peças maiores (objetos), para obteção de peças meores (ites) em dimesões e quatidades específicas. O objetivo ormalmete é miimizar os custos da produção, desperdícios, maximizar lucros, etc. Na solução deste problema são obtidos os padrões de corte (como os objetos serão cortados) e a quatidade de vezes que cada padrão será cortado para ateder toda a demada. Associado ao problema de corte, podemos ter um problema de seqüeciameto dos padrões, uma vez que a ordem de corte tem ifluêcia, por exemplo, o estoque dos ites sedo cortados, as descotiuidades o corte dos ites, o úmero máximo de pilhas abertas durate o processo de corte, etc. Neste trabalho focalizamos este último problema ao qual deotamos de MOSP (do iglês Miimizatio of Ope Stack Problem), etc. No caso do MOSP, cada tamaho diferete de item a ser cortado, abre uma pilha ova que permaece aberta até que o último item daquele tamaho seja cortado. O problema surge devido a, por exemplo, limitações físicas, quado o úmero de pilhas que podem ficar abertas ao redor da máquia de corte é limitado, sedo ecessário o remaejameto das pilhas icompletas, comprometedo a eficiêcia do processo produtivo. Outros fatores que justificam o iteresse este problema de sequeciameto são, por exemplo: custos de estoque, restrições de espaço de armazeagem, etc. Yaasse [] apresetou uma formulação matemática para o MOSP, baseada a formulação proposta por Tag e Deardo [2] para o MTSP (do iglês Miimizatio of the

2 umber of Tool Switches Problem). O MTSP cosiste em miimizar o úmero de trocas de ferrametas durate o seqüeciameto das tarefas que precisam ser processadas em uma determiada máquia. As trocas ocorrem devido à limitação a quatidade de ferrametas que podem ser carregadas a máquia um mesmo istate e ao fato do úmero de ferrametas ecessárias para processar todas as tarefas ser superior à esta limitação. A importâcia deste problema está o fato de que, a cada troca realizada, a produção da máquia fica comprometida devido à iterrupção ecessária para a realização das trocas. Quado, por exemplo, o tempo de iterrupção da máquia é proporcioal ao úmero de ferrametas trocadas, reduzir o úmero de trocas implicará em um tempo dispoível maior de produção de máquia. Devido às dificuldades computacioais para se resolver o MTSP utilizado a formulação proposta por Tag e Deardo [2], duas ovas formulações para o MTSP foram recetemete propostas, uma por Yaasse e Pito [3] e outra por Laporte, Salazar e Semet [4]. Em Yaasse e Pito [3], o MTSP é formulado como um problema de fluxo com restrições adicioais e em Laporte, Salazar e Semet [4] como um problema do caixeiro viajate. Apesar de algumas características iteressates observadas em ambas formulações, costatou-se que algumas dificuldades computacioais para se resolver o MTSP aida persistem. Para se esteder a formulação proposta de Yaasse e Pito [3] do MTSP para o MOSP seria ecessário cohecer de atemão o úmero máximo de pilhas abertas. Este valor, ormalmete, ão está dispoível o que, portato, iviabiliza esta extesão. Quato ao modelo de Laporte, Salazar e Semet [4], ele pode ser estedido da mesma forma que foi feita com o modelo de Tag e Deardo [2]. Neste trabalho, estamos propodo uma ova formulação para a resolução do MOSP, com um embasameto completamete distito dos ateriores. Espera-se que, com esta formulação, o desempeho computacioal para se obter uma solução ótima para o problema seja melhorado em relação aos modelos propostos ateriormete. 2. NOVO MODELO Nos modelos de Yaasse [] e Laporte, Salazar e Semet [4], procura-se determiar a ordem em que os padrões devem ser processados para que o úmero máximo de pilhas abertas seja miimizado. Neste ovo modelo proposto, procura-se determiar a ordem em que as pilhas são fechadas, da mesma forma que a eumeração proposta o algoritmo brach-ad-boud em Yaasse []. Cada pilha correspode a um item diferete do problema. Para que uma pilha correspodete a um certo item i seja fechada é preciso que todos os padrões que coteham o item i sejam processados. Outros padrões, ão ecessariamete cotedo o item i, podem também ser processados. Em Yaasse [5] foi apresetada a trasformação do MOSP para um problema de percorrimeto de arcos em um grafo e, com isso, fica trivial mostrar que existe sempre uma seqüêcia ótima ode apeas os padrões que completam cada um dos ites a seqüêcia são processados. Portato, é suficiete procurar por uma seqüêcia dos padrões deste tipo. Ao fial do processameto de todos os padrões que completam um item, ecessariamete pelo meos uma pilha é completada, portato, o úmero de pilhas completas sempre cresce de uma uidade. O úmero total de pilhas resultate é sempre igual ao úmero de pilhas abertas mais o úmero de pilhas completas. Pilhas uma vez abertas sempre permaecem como pilhas (abertas ou fechadas) até o processameto fial de todos os padrões. Assim, todas as pilhas resultates após a fialização de cada item são sempre as mesmas pilhas que estavam presetes a fialização aterior de algum item mais as ovas pilhas abertas para a fialização do item correte. Cosidere um exemplar simples de um problema de seqüeciameto de padrões, dado pela Tabela. 57

3 Tabela. Exemplo ilustrativo, M = 5, N = 8 Padrões Ites Na Tabela, os ites presetes em cada padrão estão idicados com um. Caso o item ão esteja presete o padrão, a idicação é feita com um 0. Assim, o item 2, por exemplo, está presete os padrões 3 e 8 somete; o item 5 está presete os padrões 2, 5 e 6. Para se completar o item por exemplo, teremos que processar os padrões, 2, 5 e 8. Se processarmos estes padrões, abriremos pilhas correspodetes aos ites, 2, 3, 4 e 5, ou seja, uma pilha para cada um dos ites que vão ser processados jutos com o item. Ao fial do processameto dos padrões que completam o item, teremos um total de 5 pilhas, 4 pilhas abertas correspodetes aos ites 2, 3, 4 e 5 (admitido-se que ehuma delas seja também fechada), e uma pilha fechada correspodete ao item. Para completar o item 2, teremos que processar os padrões 3 e 8. Assim, para se completar o item 2, abriremos pilhas correspodetes aos ites, 2 e 4. Mas, se decidimos completar o item 2 após completar o item, todas estas pilhas já estão abertas e ou completas. Assim, as pilhas abertas e as fechadas permaecem as mesmas, mas ao fial do processameto do padrão 3, o úico padrão que aida ecessitaria ser processado pois o padrão 8 já foi processado para se completar o padrão, teremos mais uma pilha fechada, a pilha 2, além da pilha. Observe que podemos igorar o fato de que o padrão 8 já foi processado e processá-lo ovamete. Isto ão aumeta o úmero de pilhas além das já existetes. Para se saber quais pilhas realmete estão abertas basta apeas saber quais as pilhas que foram fechadas ateriormete. Com estas observações, seja N Número de padrões a serem processados; M Número total de ites; K Costate (K M); S j Vetor M de s e 0 s que iforma quais ites estão presetes jutos com o item j os padrões do problema; ou seja S é igual a se o item i e o item j estão presetes em algum padrão do problema, e 0, caso cotrário. Istate imediatamete após completar o -ésimo item; C Número máximo de pilhas abertas; e Vetor auxiliar M de s; x é se o item j é o -ésimo item a ser completado e, é 0, caso cotrário; W Vetor M de s e 0 s que forece os ites cujas pilhas já estão abertas ou fechadas o istate, =,..., M. Modelo : O MOSP pode etão ser formulado como se segue. 58

4 Fução objetivo mi C () Sujeito à ew C+- =,, M (2) M (3) x jt S j KW =,, M j= t= M = M x = j =,, M (4) x = =,, M (5) j=, { 0 } x j =,, M ; =,, M (6) W vetor de iteiros 0 ou. (7) Após a fialização da -ésima pilha, temos pilhas fechadas. Durate a fialização da - ésima pilha, teremos um total de C pilhas abertas, mais o úmero de pilhas já completas o istate -. A restrição (2) apeas relacioa o úmero total de pilhas (abertas e fechadas) durate cada fialização de uma pilha deve ser meor ou igual ao úmero máximo de pilhas abertas mais as pilhas fechadas até a fialização aterior de uma pilha. As restrições (3) idicam que se uma pilha i é fializada, todo o item j que aparece cojutamete com o item i em algum padrão também formará uma pilha. As restrições (4) e (5) idicam que cada uma das pilhas será fializada em alguma ordem e, as restrições (6) e (7) são as restrições de itegralidade das variáveis de decisão. 3. COMPARAÇÃO COM MODELOS ANTERIORES Para fis de comparação, apresetamos os modelos formulados ateriormete por Yaasse [] e, o estedido a partir de Laporte, Salazar e Semet [4]. Seja A Vetor M de s e 0 s que iforma quais ites estão presetes o padrão j; ou seja A j é igual a se o item i está o padrão j, e 0, caso cotrário. Istate imediatamete após o processameto do -ésimo padrão; x, se o padrão j é o - ésimo padrão a sequêcia; & 0, caso cotrário. W Vetor M de s e 0 s que forece os ites cujas pilhas estão abertas a máquia em, =, N ; P Vetor M que cotabiliza as trocas dos ites que estão sedo cortados a máquia de corte, ocorridas do istate para o +; 59

5 O modelo 2 de Yaasse [] é o seguite: Fução objetivo mi C (8) Restrições P W W N =,, N- (9) + P 0 N =,, N- (0) ew C N =,, N () x A W J =,, N; =,, N (2) N = N = N j ep = M C (3) x J =,, N (4) = x = =,, N (5) j=, { 0 } x J =,, N ; =,, N (6) P W, =, N, =, N vetor de iteiros 0 ou. (7) Neste modelo (2), a fução objetivo (8) miimiza o úmero máximo de pilhas abertas, equato que as restrições (9), jutamete com as restrições (0), idicam as pilhas ovas abertas com o corte do -ésimo padrão. As restrições () garatem que o sequeciameto dos padrões ão abrirá mais do que C pilhas. As restrições (2) idicam quais são as pilhas abertas caso o j-ésimo padrão for processado o istate. garatem que As restrições (3) garatem que o úmero de pilhas remaejadas é exatamete M-C, ou seja, apeas pilhas completas são remaejadas. As restrições (4), (5) e (6) impõem que todos os padrões sejam processados uma úica vez em alguma ordem. Fialmete, as restrições (7) estão relacioadas à codição de itegralidade de variáveis do problema. Observe que a variável de decisão x este modelo (2) é completamete diferete do modelo (). Seja: x variáveis biárias iguais a, se e somete se, a tarefa i é imediatamete seguida pela tarefa j. y z variáveis biárias iguais a, se e somete se, a ferrameta i está a máquia equato a tarefa j está sedo processada. variáveis biárias iguais a, se e somete se, a ferrameta i terá que ser iserida a máquia o iício do processameto da tarefa j. Em outras palavras, z = correspode à troca de ferrametas. Duas tarefas adicioais (fictícias), deomiadas de O e D, são itroduzidas para represetar o iício e o fim das operações. No caso, ão existe ligação etre estes ós fictícios, ou seja: x OD = 0. Feitas estas cosiderações e defiido que: J =, 2, N, D e J 2 = O,, 2, N, o modelo (3), extesão do modelo proposto por Laporte, Salazar e Semet [4] para o MOSP fica: 520

6 Mi C (8) Sujeito a: j J j i i J 2 i j M i= x = i J 2 (9) x = j J (20) y C j =,, N x + y kj y ki z kj + i, j =, 2, K, N e k =, 2, M (22) (2) i Q j Q x Q para todos os possíveis subcojutos Q (23) N M z j= i= M-C y kj = para toda ferrameta k ecessária (25) para o processameto da tarefa j z kj = 0 para toda ferrameta k que ão é ecessária o processameto da (26) tarefa j x = 0 ou para todos i e j (27) y = 0 ou para todos i e j (28) z = 0 ou para todos i e j (29) Neste modelo (3), a fução objetivo miimiza o úmero máximo de pilhas abertas, equato que as restrições (9) e (20) são restrições de atribuição e as restrições (2), de capacidade. As restrições (22) impõem que se a ferrameta k ão foi utilizada pela tarefa i e ão foi colocada a máquia para o processameto da tarefa j, etão a tarefa j ão poderá seguir a tarefa i e requerer a ferrameta k ao mesmo tempo. As restrições (23) previem a formação de ciclos. A restrição (24) impõe que o úmero de trocas é igual à difereça etre o úmero total de ferrametas e a capacidade da máquia. As restrições (25) que o impõem que todas as ferrametas ecessárias ao processameto da tareja j estejam presetes a máquia quado esta tarefa for processada. As restrições (26) impõem que ão há ecessidade de se iserir uma ova ferrametas se a ferrameta ão é ecessária para o processameto. As restrições (27), (28) e (29) são as restrições de itegralidade das variáveis. Na Tabela 2 comparamos os modelos, 2 e 3, em termos de variáveis e restrições. (24) Tabela 2 Comparação do úmero de variáveis e restrições dos modelos, 2 e 3 Número de variáveis Número de restrições Modelo 2M 2 + 3M + M 2 Modelo 2 2MN + N 2 -M+ 3N M + MN + MN 2 + Modelo 3 2MN + (N+2) 2 + 3N+MN 2 +2 N +3 Da Tabela 2 podemos observar que existem gahos em termos de úmero de variáveis e restrições o caso ode M N. Mesmo para vários casos ode M > N espera-se um bom desempeho do modelo devido ao reduzido úmero de restrições em comparação aos demais 52

7 modelos. Além disso, a resolução do problema de atribuição para defiir uma ordem de fialização de um item deve ser facilitada pelo fato de que quado M > N, deverão ocorrer pelo meos M - N oportuidades ode ehum ovo padrão precisará ser seqüeciado para se fializar algum item, ou seja, deveremos ter pelo meos M - N oportuidades ode mais de um item será fializado cojutamete com algum outro item. Isto pode ser observado pelo fato de que teremos uma ordeação de fialização de M ites, mas apeas N padrões. Assim, a atribuição de ordem que realmete precisa ser descoberta seria, a verdade, uma equivalete a N ites e ão uma de M 522

8 sigificativas a grade maioria dos casos. Apeas os exemplares 5 e 8 o desempeho observado do modelo 2 foi bem superior aos do observado com o modelo. Para o caso dos exemplares 5 e 8, testamos a itrodução de restrições adicioais o modelo ode um pré-ordeameto da fialização de algus ites é imposto em virtude de domiâcias. Com isso, os tempos computacioais sofreram redução sigificativa, passado para,05 e 0,07 miutos, respectivamete, para os exemplares 5 e 8. Tabela 3 Resolução do MOSP usado os modelos, 2 e 3 (tempos em miutos). Exemplo M N Ótimo Modelo Modelo 2 Modelo ,03 4,86 > ,0 8,52 > ,0 2,4 2, ,03,49 0, ,05 0,9 0, ,02, 0,94 523

9 A itrodução de restrições adicioais ao modelo para limitar o espaço de busca mostrouse eficiete para acelerar a sua resolução. Apesar do aumeto do úmero de restrições, a limitação do espaço de busca decorrete parece mais do que compesar o esforço adicioal computacioal de se maipular matrizes de maior porte. RECONHECIMENTO Este trabalho tem apoio fiaceiro da FAPESP (Fudação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) e do CNPq (Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico). 6. REFERÊNCIAS ] H. H. Yaasse O a patter sequecig problem to miimize the maximum umber of ope stack. Europea Joural Operatios Research 00 (997), [2] C. S. Tag. e E. V. Deardo, Models Arisig from a Flexible Maufacturig Machie, Part I: Miimizatio of the Number of Tool Switches, Operatios Research 36 (988), [3] H.H. Yaasse e M.J. Pito, The miimizatio of tool switches problem as a etwork flow problem with side costraits. Em: XXXIV SBPO Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal, realizado o Rio de Jaeiro, RJ, 8 a de outubro de Livro de Resumos do XXXIV SBPO, SPOLM 2002, p. 86. Aais do XXXIV Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal, em CD-ROM, ref. arq0223. [4] G. Laporte, J.J. Salazar e F. Semet, Exact Algorithms for the Job Sequecig ad Tool Switchig Problem (2002). Dispoível em < cahiers_ chroo.php>. [5] H.H. Yaasse, A trasformatio for solvig a patter sequecig problem i the wood cut idustry. Pesquisa Operacioal 7():57-70, 997. [6] M. J. Pito e H. H. Yaasse, O Problema de Miimização de Troca de Ferrametas: propostas para sua resolução. Em: XXXIII SBPO Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal, Publicado em CD-ROM, 40-49,