SEQUENCIAMENTO DE UM LOTE DE PEÇAS EM UMA ÚNICA MÁQUINA COM DATAS DE ENTREGA E PENALIDADES: UM ESTUDO DE CASO

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1 SEQUENCIAMENTO DE UM LOTE DE PEÇAS EM UMA ÚNICA MÁQUINA COM DATAS DE ENTREGA E PENALIDADES: UM ESTUDO DE CASO Gustavo Simão Rodrigues Istituto Militar de Egeharia Seção de Esio de Egeharia Mecâica e de Materiais Praça Geeral Tibúrcio, 80, Praia Vermelha Rio de Jaeiro RJ, Brasil gustavosimao@uol.com.br Nélio Domigues Pizzolato Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro Departameto de Egeharia Idustrial Rua Marquês de São Vicete, 225, Gávea Rio de Jaeiro RJ, Brasil dp@puc-rio.br RESUMO Este artigo aalisa o problema do sequeciameto de um couto de peças em uma úica máquia, com tempos de setup depedetes da sequêcia, mas cosiderado pealidades de atecipação e atraso sobre as datas prometidas. A metodologia é aplicada a um estudo de caso que cosidera um processo de usiagem em que todas as tarefas e matérias primas estão dispoibilizadas o mesmo mometo iicial e todas as peças fazem parte de um produto fial mais complexo, devedo ateder prazos de etrega pré-estabelecidos. Busca-se ecotrar o sequeciameto da produção que miimiza o somatório dos custos das pealidades. Para a solução do problema é aplicada a ferrameta AIMMS, associada a elemetos heurísticos, buscado estabelecer a melhor sequêcia para processameto. PALAVRAS-CHAVE. Sequeciameto em uma Úica Máquia, Fabricação por Usiagem, Problema do Caixeiro Viaate ABSTRACT This paper examies the sigle machie schedulig problem with sequece depedet setup times ad earliess ad tardiess pealties over due dates. The methodology is applied to a case study that deals with a machiig process ad assumes that all obs ad raw materials are available at the same iitial momet. These obs have to satisfy a give due date sice they are parts of a more complex fial product. The obective is to sequece the obs i order to miimize the earliess ad tardiess costs. To solve the problem the mathematical tool AIMMS is applied, associated to heuristic elemets, to fid the best ob sequece. KEYWORDS. Sigle Machie Schedulig, Machiig Process, Mixed Iteger Programmig Models, Travelig Salesma Problem

2 1. INTRODUÇÃO O Sistema de Produção Just-i-Time (JIT) foi proposto o Japão a década de 70 e muitos afirmam que ele teha por úico obetivo a redução ou elimiação de todo tipo de estoques. Na realidade, o sistema busca ateder a outros obetivos igualmete importates, como a elimiação de desperdícios, a melhor qualidade dos produtos e o aumeto a flexibilidade do sistema. O desevolvimeto do JIT torou-se viável pelo aparecimeto das máquias ferrametas com cotrole umérico, ou sea, pelos avaços tecológicos observados os processos produtivos. Por outro lado, a redução dos estoques, tato o estoque fial quato o estoque em processo, pode ser creditada em grade parte à otimização do sequeciameto em que as peças são processadas, tema sobre o qual existe uma vasta literatura. Em um ambiete geral de fabricação, o papel da programação é destacado as ordes de serviço que são laçadas a cofiguração da fabricação a forma de trabalhos com datas de etrega associadas. Esses trabalhos ormalmete devem ser processados em máquias em uma dada ordem ou sequêcia. O caso mais frequete costuma ser a preocupação com o tempo total de produção de todas as peças, ou sea, a miimização do makespa. Há situações, etretato, em que a preocupação maior cosiste em ateder às datas prometidas, em iglês, due dates. As duas abordages são, tecicamete falado, muito distitas, especialmete em casos de setups depedetes da sequêcia de produção. No caso em que se busca o meor makespa, aplica-se a metodologia do caixeiro viaate, equato que o caso de haver datas prometidas distitas o problema se tora muito complexo, ão havedo metodologia cosolidada, mas métodos desevolvidos caso a caso, sempre com forte coteúdo heurístico para compesar a icapacidade dos softwares processarem problemas de tamaho realista. Outro fato relevate é que, ao otimizar a sequêcia de produção em vista do meor makespa, otimiza-se também o aproveitameto da máquia, equato que, ao miimizar as pealidades, pode-se icorrer em maiores setups e reduzir o aproveitameto da máquia. Há, portato, que levar em cota o custo de oportuidade de ver o equipameto parado, em favor da melhor programação e redução dos custos de pealidades. Outro complicate do problema é quado os processametos dos trabalhos podem atrasar se certas máquias estiverem idispoíveis. Evetos imprevistos o chão-de-fábrica, tais como quebra de máquias ou tempos de processameto maiores que os previstos, devem ser levados em cosideração, desde que esses evetos veham a impactar diretamete a programação. Neste ambiete, o desevolvimeto de uma programação de tarefas detalhadas auda a mater a eficiêcia e o cotrole das operações. A idústria bélica que origiou os dados do presete estudo de caso é uma Orgaização Militar (OM) composta por aproximadamete 500 fucioários, semelhate a uma idústria civil de médio porte. O pricipal armameto fabricado esta OM é um Morteiro Pesado com 120 milímetros de calibre, cua fabricação das peças mais importates será o foco deste trabalho. Para a fabricação dessas peças, será cosiderada somete a operação de usiagem por toreameto, que costitui a operação mais sigificativa da fabricação das peças. A máquia utilizada para o processameto (toreameto) das peças é um toro com Cotrole Numérico Computadorizado (CNC), sem troca automática de ferrametas e com fixação maual da matéria-prima pelas castahas, ode foi feita a simulação de 10 peças, ode cada peça, com uma úica exceção, possui duas fases de usiagem, formado um couto de 19 trabalhos. Neste ambiete de fabricação, foi verificada a iexistêcia de uma ordeação a fabricação das peças, embora as matérias-primas esteam dispoíveis ao mesmo istate para serem processadas. Acrescete-se que é oferecido um tempo útil muito apertado para a fabricação do armameto, o que sugere que sea ecessário determiar o sequeciameto a fabricação das peças com o ituito de elimiar os gargalos e estoques e ateder os prazos de etrega.

3 Na sequêcia, a Seção 2 caracteriza o problema a ser estudado; a Seção 3 estabelece a modelagem matemática para sua solução por método exato; a Seção 4 apreseta os resultados do estudo de caso, separado o problema com datas prometidas quado é usado o AIMMS; e a Seção 5 apreseta as coclusões. 2. O Problema Estudado 2.1. Defiição de Parâmetros As iformações básicas associadas à descrição de trabalhos de sequeciameto em uma úica máquia são as seguites: Tempo de processameto (t ): tempo de processameto requerido pelo trabalho ; Tempo de iício do processameto (s ): o poto o tempo em que o trabalho é iiciado; Tempo de Preparação de Máquia ou Tempo de set up (S i ): Tempo ecessário para deixar a máquia em codições de realizar o trabalho, após a coclusão do trabalho i; Data prometida (d ): é o poto o tempo em que o processameto do trabalho está prometido para ser cocluído. As datas prometidas podem ão ser pertietes a todos os problemas, mas estabelecer prazos (deadlies) é uma prática comum a idústria e o problema básico pode auxiliar a determiação do prazo de etrega. As iformações resultates do sequeciameto são: Data de Coclusão (C ). O tempo o qual o processameto do trabalho é termiado. Os critérios quatitativos para escolher uma sequêcia são geralmete fuções dos tempos de coclusão. Uma quatidade importate é: Defasagem (Lateess) L Difereça etre a data de coclusão e a data prometida do trabalho, podedo assumir valores positivos ou egativos: L = C d (1) A defasagem, L, mede a coformidade do sequeciameto em relação ao prometido. É importate otar que a defasagem terá valor egativo quado um trabalho é fializado atecipadamete. Defasages egativas podem represetar serviços melhores do que solicitados, equato atrasos positivos represetam, quase sempre, serviços piores do que requisitados. Em muitas situações, pealidades distitas e outros custos serão associados para defasages positivas e para defasages egativas. Dessa forma, tem-se as defiições de Atraso (Tardiess) e Atecipação (Earliess): Atraso (Tardiess) T é quato o trabalho é termiado com atraso em relação à sua data prometida, caso cotrário será cosiderado zero: T = max{0, L } = C d (2) Atecipação (Earliess) E é quato o trabalho é termiado com atecipação em relação à sua data prometida, caso cotrário será cosiderado zero: E = max{d C, 0} = d C (3) Outra quatidade muito importate é o makespa: Makespa C max O makespa, defiido como o maior detre as datas de coclusão (C 1,..., C ), ou sea, o tempo de coclusão do último trabalho a sair do sistema (C [] ). Miimizar o makespa usualmete implica em uma boa utilização dos recursos (máquias).

4 2.2. Pealidades por Atecipação e Atraso Para descrever um modelo geérico com atecipação e atraso, ou modelo E/T, tomase um úmero de trabalhos,, a ser sequeciado. O trabalho é descrito por um tempo de processameto t e uma data prometida d. Coforme idicado, assume-se que os trabalhos estão dispoíveis simultaeamete. Como resultado das decisões de programação, ao trabalho será atribuído um tempo de coclusão, C. Baker e Scudder (1990) associam a cada trabalho uma uidade de pealização por atecipação > 0 e uma uidade de pealização por atraso > 0. Assumido que as fuções de pealização são lieares, a fução obetivo E/T de programação de uma sequêcia S pode ser escrita como f (S), ode f(s) d C ) C d (4) 1 f(s) 1 ou ( E T ) (5) Este modelo E / T com diferetes datas prometidas para o couto dos trabalhos é tipicamete de alta complexidade. Garey et al (1988) foram os primeiros a mostrar que este problema é NP-completo. Neste modelo, a sequêcia ideal pode ão ser em forma de V e a iserção de tempo ocioso pode ser deseável. A busca por uma programação ótima pode, o etato, ser decomposto em dois subproblemas: ecotrar uma sequêcia ótima de trabalhos e programar a iserção de tempos ociosos. No caso das datas prometidas serem tratadas como variáveis de decisão, ou sea, quado as datas prometidas são cosideradas como icógitas a serem determiadas pela solução do modelo, o problema acaba por ser relativamete simples. Abdul-Razaq e Potts (1988) resolvem este tipo de problema, com uma pealidade para a data prometida icluída, mas eles cosideram somete as programações sem tempo ocioso. O seu método de solução é um esquema de brach-ad-boud, e eles usam um processo de programação com relaxação diâmica para obter bos limites. Seus resultados computacioais sugerem que os problemas com mais de 20 trabalhos podem levar a tempos de solução excessivos. Embora existam outros trabalhos que ão levam em cosideração os tempos ociosos, o modelo que permita a utilização destes tempos é mais realista para a miimização de f(s). Dada uma sequêcia de trabalho, a sequêcia ótima para os tempos ociosos pode ser resolvida através da resolução de um problema de programação liear. No etato, Garey et. al. (1988) forecem detalhes sobre um procedimeto mais simples que pode ser implemetado para ser executado em tempo O ( log ). 3. Modelagem Matemática para Solução por Método Exato Os primeiros modelos a tratar do Problema de Sequeciameto da Produção datam das décadas de 50 e 60. Desses modelos, destacam-se os propostos por Mae (1960) e Wager (1959). Ambos são modelos de Programação Liear Iteira Mista, tedo em mete abordar o problema mais geral de ob shop. O modelo de Wager (1959) usa o problema clássico de alocação de tarefas para assialar trabalhos a posições a sequêcia de produção. Já o modelo de Mae (1960) utiliza um par de restrições dicotômicas para cotrolar a ordem relativa dos trabalhos detro da sequêcia de produção. Nesta Seção será apresetado o problema a ser estudado e as características levadas em cosideração para fis de modelagem e em seguida serão apresetados os resultados obtidos com a resolução do modelo através do software de otimização AIMMS. Posteriormete, será feita uma aálise sem levar em cota as datas prometidas, com o obetivo de se miimizar o makespa da sequêcia a partir da miimização dos Tempos de Preparação de Máquia, utilizado a metodologia do Problema do Caixeiro Viaate.

5 3.1. O Problema O problema descrito é o problema do sequeciameto em uma máquia com pealidades por atecipação e atraso da produção com tempo de preparação da máquia depedete da sequêcia de produção e datas prometidas para cada trabalho, possuido as seguites características: a) Uma máquia deve processar um couto de trabalhos; b) Cada trabalho i possui um tempo de processameto t i e uma data prometida, d i, deseada para o térmio do processameto; c) A máquia executa o máximo um trabalho por vez e, uma vez iiciado o processameto de um trabalho, o mesmo deve ser fializado, ou sea, ão é permitida a iterrupção do processameto; d) Todos os trabalhos estão dispoíveis para processameto o tempo 0; e) Quado um trabalho é sequeciado imediatamete após um trabalho i, é ecessário um tempo S i para a preparação da máquia. Assume-se, aida, que a máquia ão ecessita de tempo de preparação iicial, ou sea, o tempo de preparação da máquia para o processameto do primeiro trabalho a sequêcia é igual a 0; f) É permitido tempo ocioso etre a execução de dois trabalhos cosecutivos; g) Os trabalhos devem ser fializados o mais próximo da data prometida. Se o trabalho i for fializado ates de d i etão há um custo de mauteção de estoque. Caso o trabalho sea fializado após d i, etão há associado um custo por atraso. Os trabalhos que forem fializados a data prometida ão proporcioarão ehum custo adicioal; h) Os custos uitários por atecipação e atraso da produção são depedetes dos trabalhos, ou sea, cada trabalho possui um custo de atecipação i e um custo de atraso i ; (i) O obetivo a ser alcaçado com a resolução deste problema é a miimização do somatório dos custos de atecipação e atraso da produção Modelo O modelo matemático desevolvido foi baseado o trabalho de Mae (1960). Seam o úmero de trabalhos a serem processados, t i o tempo de processameto do trabalho i, s i o tempo de iício do processameto do trabalho i (s i 0) e S i o tempo de preparação da máquia ecessário para processar o trabalho depois do trabalho i. Diferetemete de Bustamate (2006), foram utilizados dois trabalhos fictícios, 0 (zero) e + 1, de tal forma que 0 atecede imediatamete a primeira tarefa e + 1 sucede imediatamete o último trabalho a sequêcia de produção. Admite-se que t 0 e t +1 são iguais a zero e que S 0i = 0 e S i +1 = 0, i = 1,...,. Para garatir que haa um tempo suficiete para completar um trabalho i ates de começar um trabalho, caso este último trabalho sea processado imediatamete após um trabalho i, sem ehum trabalho itermediário, é ecessário impor as restrições (6) e (7). Dados dois trabalhos i e, pode-se estabelecer uma restrição depededo da precedêcia: caso i preceda, aplica-se (6) e caso preceda i, aplica-se (7). s s i + t i + S i i = 0, 1, 2,...,, = 0, 1, 2,..., +1 e i (6) ou s i s + t + S i i = 1, 2,..., +1, = 0, 1, 2,..., e i (7) Como estas restrições são disutas, faz-se ecessária a itrodução de uma variável y i [0; 1] para que esta disução ão apareça o modelo matemático. A variável y i é defiida da seguite forma: y i = 1, se o trabalho é sequeciado imediatamete após o trabalho i e y i = 0, caso cotrário. Desta maeira, as restrições (6) e (7) podem ser substituídas pelas restrições (8). Neste ovo couto de restrições, M é um valor muito grade. s s i (M + S i ) y i t i M i = 0, 1, 2,...,, = 1, 2,..., +1 e i (8) Desta forma, quado y i = 1, a restrição (8) tora-se:

6 s s i + t i + S i (9) Por outro lado, quado y i = 0, a restrição (8) tora-se: s s i t i M (10) A restrição (10) é, desta forma, desativada, pois a equação (10) é iócua, ou sea, a parcela (s s i t i ) será sempre maior que M. Estas restrições garatem que cada trabalho teha somete um trabalho imediatamete atecessor e um trabalho imediatamete sucessor, respectivamete. Além disso, estas restrições elimiam o problema da desigualdade triagular. yi i0, i 1 = 1, 2,..., +1 (11) 1 y i 1, i 1 i = 0, 1, 2,..., (12) Sea d i a data prometida do trabalho i, E i o tempo de atecipação do trabalho i e T i o tempo de atraso do trabalho i. As restrições (13) a (16) garatem que o tempo de atecipação E i sea o máximo etre 0 e d i t i s i e que o atraso T i sea o máximo etre 0 e s i + t i d i. s i + t i + E i d i i = 1, 2,..., (13) s i + t i T i d i i = 1, 2,..., (14) E i 0 i = 1, 2,..., (15) T i 0 i = 1, 2,..., (16) Seam i e i os custos de atecipação e atraso da produção do trabalho i por uidade de tempo, respectivamete. O custo total por atecipação é dado por i atraso é dado por i i1 T i i1 E i e o custo por. A fução obetivo, que cosiste em miimizar o somatório dos custos totais de atecipação e atraso é dada pela equação (17). mi Z = ( iei iti ) (17) i1 Resumido, as variáveis de decisão do modelo proposto são: s i : tempo de iício do processameto do trabalho i. y i : variável que determia a sequêcia de produção, se y i =1 o trabalho é processado depois do trabalho i e 0 caso cotrário. E i : tempo de atecipação do trabalho i. T i : tempo de atraso do trabalho i. E o modelo correspodete de Programação Liear Iteira Mista é: miimizar Z =( iei iti ) (18) i1 sueito a: s s i (M + S i ) y i t i M i, = 1, 2,..., e i (19)

7 yi i0, i 1 y i 1, i 1 1 = 1, 2,..., +1 (20) i = 0, 1, 2,..., (21) s i + t i + E i d i i = 1, 2,..., (22) s i + t i T i d i i = 1, 2,..., (23) s i 0 i = 1, 2,..., (24) E i 0 i = 1, 2,..., (25) T i 0 i = 1, 2,..., (26) y i{0,1} i, = 0, 1, 2,..., +1 (27) A fução obetivo, represetada pela equação (18), tem como critério de otimização a miimização dos custos de atecipação e atraso. A restrição (19) defiem a sequêcia de operações sobre o recurso (máquia) utilizado. As restrições (20) e (21) garatem que cada trabalho teha somete um trabalho imediatamete atecessor e um trabalho imediatamete sucessor, respectivamete. As restrições (22) e (23) defiem os valores do atraso e da atecipação de acordo com a data prometida deseada para o térmio do processameto do trabalho i, caso estes existam. As restrições (24) a (27) defiem o domíio das variáveis do problema. 4. Resultados Os resultados aqui apresetados utilizam o modelo proposto a Seção 3.2, resolvido por meio do software de otimização AIMMS para os problemas com datas prometidas. Esse tipo de problema pertece à classe NP-difícil, (SOUZA, 2011). A propósito, foi costatado que o programa AIMMS ao osso alcace tem limites de capacidade bem modestos para processar problemas desse tipo. No caso do problema aalisado com 19 trabalhos, ão se tem um tempo de preparação simétrico, ou sea, S i S i. Sedo assim, o úmero total de sequêcias possíveis é de ( - 1)!, ou sea, 18!. Supodo que um computador avalie cada sequêcia de trabalhos em 10-8 segudos, seriam ecessários 741 dias para aalisar todas as sequêcias! Ao se implemetar o modelo para 19 trabalhos o software AIMMS, comprovou-se que devido à complexidade do problema, o software ão ecotraria a solução ótima em tempo razoável. Esse fato propiciou a adoção de uma heurística, qual sea, a divisão dos trabalhos em grupos, de acordo com suas datas prometidas Resultados para 19 Trabalhos com Datas Prometidas Os dados do problema aalisado podem ser resumidos as seguites iformações: a) Dados 19 trabalhos umerados sequecialmete 1 a 19; b) Oito trabalhos (1, 2, 8, 9, 10, 11, 12 e 13) têm data prometida comum, d = 600 mi; c) Nove trabalhos (3, 4, 5, 6, 7, 16, 17, 18 e 19) têm datas prometidas que variam etre 100, 150 e 250 miutos; e d) Dois trabalhos, 14 e 15, têm data prometida de 400 miutos. Os tempos de setup são depedetes da sequêcia e exibidos as Tabelas 1 e 2 para todos os trabalhos. Aproveitado as diferetes datas prometidas, vamos fazer uso de um raciocíio heurístico que sugere a divisão do problema em três grupos distitos e meores, a saber: datas prometidas 600; 400; e aqueles com datas 100, 150 e 250 miutos.

8 Tabela 1 Tempos de setup para 11 trabalhos com d i = 100, 150, 250 e ,22 40,22 38,22 32,22 32,22 32,22 46,22 52,22 41,22 41, , ,16 14,16 20,16 20,16 20,16 34,16 28,16 29,16 29, ,64 43, ,64 28,64 28,64 28,64 26,64 32,64 37,64 37, ,74 16,74 21, ,74 13,74 13,74 27,74 21,74 22,74 22, ,48 30,48 23,48 21, ,48 15,48 29,48 35,48 24,48 24, ,90 27,90 20,90 18,90 12, ,90 26,90 32,90 21,90 21, ,16 20,16 13,16 11,16 5,16 5, ,16 25,16 14,16 14, ,32 39,32 16,32 30,32 24,32 24,32 24, ,32 33,32 33, ,90 35,90 24,90 26,90 32,90 32,90 32,90 18, ,90 41, ,90 36,90 29,90 27,90 21,90 21,90 21,90 35,90 41, , ,16 29,16 22,16 20,16 14,16 14,16 14,16 28,16 34,16 23,16 0 Tabela 2 Tempos de set up para 8 trabalhos com di = ,90 29,90 41,90 29,90 41,90 29,90 35, , ,90 35,90 35,90 35,90 35,90 29, ,74 30, ,74 7,74 19,74 7,74 13, ,32 33,32 30, ,32 10,32 22,32 16, ,16 28,16 13,16 17, ,16 5,16 11, ,74 30,74 27,74 7,74 19, ,74 13, ,32 33,32 18,32 22,32 10,32 22, , ,32 27,32 24,32 16,32 16,32 16,32 16,32 0 Como mecioado, será feita uma divisão dos trabalhos de acordo com suas datas prometidas. Iicialmete, são programados os trabalhos com data prometida de 600 mi; depois, aqueles com datas prometidas de 100, 150 e 250 miutos; por fim, aalisam-se os dois trabalhos restates com datas prometidas igual a 400 miutos. A Figura 1 apreseta o gráfico de Gatt para os 8 trabalhos com data prometida de 600. A Figura 2, costruída a partir dos dados de saída gerados pelo AIMMS, apreseta os resultados para os iícios dos trabalhos e os respectivos desvios (atecipações e atrasos), bem como o valor da fução obetivo, que vale 3.948,1. Figura 1 Gráfico de Gatt para 8 trabalhos com d i = 600

9 Os trabalhos umerados de 1 a 8 as Figuras 1 e 2 correspodem aos trabalhos 1, 2, 8, 9, 10, 11, 12 e 13, respectivamete. Figura 2 Iícios e desvios para 8 trabalhos com di = 600 A Figura 3 mostra o gráfico de Gatt para 9 trabalhos com as datas prometidas de 100, 150 e 250. Os trabalhos umerados etre 1 a 9 a Figura 3, correspodem, respectivamete, aos trabalhos 3, 4, 5, 6, 7, 16, 17, 18 e 19. Figura 3 Resultado para 9 trabalhos com d i = 100, 150, 250 A Figura 4 é costruída a partir das variáveis de saída do AIMMS, e mostra os resultados para os iícios dos trabalhos e os respectivos desvios (atecipações e atrasos) e os tempos de processametos, t(i), bem como o valor da fução obetivo para 9 trabalhos. Para tratar dos trabalhos com data prometida de 400 miutos, ota-se que o tempo de coclusão máximo ocorrerá em 383,84 miutos, ao fim do trabalho 18 (correspodete ao trabalho 8 a Figura 5). Sedo assim, para iserir os trabalhos 14 e 15, deve-se levar em cosideração o tempo de setup do trabalho 18 para o trabalho 14 ou para o trabalho 15, depededo da sequêcia que miimiza a fução obetivo. Como observado a Tabela 1, o tempo de setup do trabalho 18 para o trabalho 14 e 15 é o mesmo, com o valor de 21,9. O tempo de setup do trabalho 14 para o trabalho 15 é de 12,9 e o tempo de setup do trabalho 15 para o trabalho 14 é de 5,16. Os tempos de processameto dos trabalhos 14 e 15 são, respectivamete, 16,58 e 0,51.

10 Figura 4 Resultados para 9 trabalhos Dessa forma, os valores que resultarão os desvios míimos para os trabalhos com d i = 400, trabalhos 14 e 15, serão formados a partir da sequêcia 15 14: S 18,15 + t 15 = 21,9 + 0,51 = 22,41 (28) S 18,15 + t 15 + S 15,14 + t 14 = 21,9 + 0,51+ 5, ,58 = 44,15 (29) Como o tempo de coclusão do trabalho 18 é em 383,94, o tempo de coclusão do trabalho 15 será 383, ,41 = 406,35 miutos, ou sea, o trabalho 15 será etregue com atraso de 6,35 miutos. Aalogamete, o tempo de coclusão do trabalho 14 será 383, ,15 = 428,09, isto é, o trabalho 14 será cocluído com atraso de 28,09 miutos. Dessa forma, a parcela dos custos de atraso dos trabalhos cua data prometida é de 400 miutos é: f(s) = 6, , = 688,80 (30) Coclui-se que o meor valor para a soma dos desvios para 19 trabalhos é costituída por três parcelas: o referete aos trabalhos com datas prometidas de 600 mi (3.498,1); aos com 100, 150 e 200 miutos (21.018,2); e aos com 400 mi (688,8). f(s) = 3.498, , ,80 = ,1 (31) A sequêcia ótima para esse valor da fução obetivo é: A Figura 5 apreseta o gráfico de Gatt para os 11 trabalhos (datas prometidas de 100, 150, 250 e 400 miutos). A Figura 6 mostra os iícios dos trabalhos com seus respectivos desvios e tempos de processametos, t(i). Nota-se que todos os desvios dos trabalhos, meos os trabalhos 6 e 7 (que correspodem aos trabalhos 14 e 15 e possuem data prometida igual a 400 miutos) são idêticos aos desvios para 9 trabalhos como apresetado a Figura 3. Além disso, comprovase que os desvios dos trabalhos 6 e 7 (que correspodem aos trabalhos 14 e 15) são os mesmos que os desvios calculados acima. Além disso, a soma das fuções obetivo para os 9 trabalhos aalisados (com datas prometidas iguais a 100, 150 e 250) e os dois trabalhos com data prometida igual à 400 miutos é igual à fução obetivo para os 11 trabalhos aalisados simultaeamete: f(s) = , ,8 = (32)

11 Figura 5 Gráfico de Gatt para 11 trabalhos Figura 6 Resultados para 11 trabalhos Para comprovar o resultado acima, foi feita a aálise dos 11 trabalhos agrupados (com datas prometidas de 100, 150, 250 e 400 miutos). Como se pode costatar a aela de resumo do software AIMMS, Figura 7, a fução obetivo tem o valor de (Best Solutio). 5. Coclusão Figura 7 - Resumo para resolução do problema com 11 trabalhos O modelo apresetado a Seção 3.2 mostrou-se bastate eficaz, porém limitado pela complexidade do problema à medida que o úmero de trabalhos aumeta. A teoria apresetada para os modelos E/T trata, em sua maioria, os problemas ode há uma data prometida comum a todos os trabalhos, ão havedo a iserção de tempos ociosos etre os trabalhos. Mesmo em algus trabalhos com datas prometidas distitas, aida ão são levados

12 em cosideração os tempos ociosos etre os trabalhos e até esses trabalhos á é percebida a dificuldade da busca pela solução ótima para um úmero de trabalhos maior que 20. Dessa forma, o presete trabalho ilustra uma situação em que os resultados foram cosiderados bastate satisfatórios, atigido-se um valor míimo para as somas das defasages em relação às datas prometidas, devidamete pealizados, para os 19 trabalhos, sequeciado de forma ótima todos os trabalhos. Como mostrado em 4.1, a sequêcia ótima do Modelo E/T é dada pela sequêcia: Esse sequeciameto, que leva em cosideração as datas prometidas e as pealidades de defasagem, tem um tempo de coclusão máximo de 748,43 miutos e um custo total ecotrado para a miimização dos desvios ,1. O problema resolvido a Seção 4.1, que é achar a sequêcia ótima de produção através da miimização dos desvios devidamete poderados em relação às datas prometidas distitas para 19 trabalhos com tempos de preparação de máquia etre os trabalhos, leva às seguites coclusões: A iserção de tempos ociosos etre os trabalhos é fudametal, pricipalmete quado as datas prometidas são demasiadamete distates umas das outras; O problema pode ser subdividido em vários subproblemas de acordo com as datas prometidas, ou sea, os trabalhos orbitam em toro de datas prometidas comus ou próximas. No etato, deve-se observar se ão ocorrerá iterferêcia etre os trabalhos agrupados pelas datas prometidas e caso isso acoteça, um estudo mais apurado deve ser feito; No caso de trabalhos com datas prometidas próximas ou iguais, a sequêcia ótima depederá de todos os parâmetros do sistema (tempo de processameto, tempo de setup e das pealidades por atecipação e atraso). Cabe recohecer que em ambietes produtivos com elevada sobrecarga, os custos de oportuidade de melhorar a sequêcia as custas de ver a máquia ociosa pode ter suas limitações. 6. Referêcias Bibliográficas [1] ABDUL-RAZAQ, T. e POTTS, C. (1988), Dyamic Programmig State-Space Relaxatio for Sigle-Machie Schedulig. J. Opl. Res. Soc. 39, [2] BAKER, K. R. e SCUDDER, G. D. (1990), Sequecig with Earliess ad Tardiess Pealties: A Review. Operatios Research, v. 38, p [3] BUSTAMANTE, L. M. (2006), Miimização do Custo de Atecipação e Atraso para o Problema de Sequeciameto de uma Máquia com Tempo de Preparação Depedete da Sequêcia: Aplicação em uma Usia Siderúrgica. Dissertação de Mestrado, Programa de Pós Graduação em Egeharia de Produção, UFMG, Belo Horizote. [4] GAREY, M., TARJAN, R. e WILFONG, G. (1988), Oe- Processor Schedulig With Symmetric Earliess ad Tardiess Pealties. Math. Ops. Res. 13, [5] MANNE, A. S., (1960), O the Job-shop Schedulig Problem. Operatios Research, v. 8, p [6] PINEDO, M. L., (2008) Schedulig: Theory, Algorithms, ad Systems. Ed. Spriger, 3 rd Ed. [7] SOUZA, M. J., (2011), Iteligêcia Computacioal para Otimização. Notas de aula 2011/1 do Departameto de Computação, UFOP, marcoe/ Disciplias/IteligeciaComputacioal/IteligeciaComputacioal.pdf. acesso em 07 Out, 2011 [8] WAGNER, H. M., (1959), A Iteger Programmig Model for Machie Schedulig. Naval Research Logistics Quarterly, v. 6, p