Metodologia para acelerar a busca por soluções de problemas similares ao Caixeiro Viajante

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1 Metodoloia para acelerar a busca por soluções de problemas similares ao Caixeiro Viajate Maria José Pito Lamosa Istituto de Estudos Avaçados (IEAv) - Divisão de Geoiteliêcia (EGI) São José dos Campos, SP maju@ieav.cta.br Ferado Nascimeto Coelho Nei Yoshiriro Soma Istituto Tecolóico de Aeroáutica (ITA) - Departameto de Eeharia de Computação São José dos Campos s: fc3000@mail.com, soma@ita.br Resumo: Este trabalho apreseta uma metodoloia que visa acelerar o tempo de busca por soluções para problemas similares ao Problema do Caixeiro Viajate, utilizado areação de equações Diofatias. Além disso, propõe realizar um pré-processameto que, utilizado o limitate de Frobeius, busca reduzir aida mais o tempo de resolução do problema. Itrodução Problemas que evolvem otimização de rotas em uma determiada reião são cohecidos como problemas de roteameto e têm despertado o iteresse de pesquisadores devido à dificuldade e complexidade de resolução. Além disso, estes problemas possuem aplicação direta a prática e podem trazer ecoomia de recursos aos setores iteressados, quado rotas mais elaboradas são eradas. Detre os problemas de roteameto mais estudados a literatura, podemos citar o problema do caixeiro viajate (TSP, do ilês Traveli Salesma Problem). O objetivo deste trabalho cosiste em propor uma metodoloia para tratar problemas similares ao TSP, ou seja, que podem ser modelados através de equações matemáticas cujas variáveis devem assumir somete valores iteiros ão-eativos. Esses sistemas, em eral, são resolvidos de forma ieficiete, o setido de que é demadado um tempo muito alto, muitas vezes impraticável para ecotrar um cojuto de soluções possíveis. Diate desse impasse suriu a ideia de arear as equações desses sistemas em uma úica equação que possuísse um cojuto solução que cotivesse o mesmo cojuto solução que o sistema oriial. Com essa úica equação advida do processo de areação poder-se-ia descobrir de modo rápido (poliomial) a existêcia ou ão de solução para muitos casos através do limitate de Frobeius [7]. Assim, para muitos problemas, seria possível verificar rapidamete a existêcia ou ão de uma solução, que é muito iteressate do poto de vista prático. Problema do Caixeiro Viajate Neste problema, um caixeiro viajate, começado de uma cidade oriem, visita exatamete uma vez cada cidade de uma lista pré-defiida e retora para a oriem, buscado miimizar a distâcia percorrida [3]. Formulação matemática Cosiderado que o problema pode ser modelado como um problema em rafo, seja:, o úmero de cidades a serem visitadas (úmero de vértices do rafo), (i, j) as arestas do rafo e d ij o custo (distâcia) para percorrer a aresta (i, j). Aida, cosidere a variável x ij idicado o fluxo da rota, ou seja, será iual a se a rota passar pela aresta (i, j) e 0, caso cotrário. A formulação matemática do TSP proposta em [] é dada por: Miimizar d ij x ij () i j 799

2 Sujeito a: x i j x x ij i, j S ij ij S x ij { 0,} ( i, j) N j N (2) i N (3) S N () () A fução objetivo () busca miimizar o custo total da viaem. As restrições (2) e (3) exiem que o caixeiro cheue e deixe cada ó exatamete uma vez, respectivamete. As restrições () evitam a formação de ciclos e as restrições () idicam que a variável de decisão é biária, ou seja, idica se a aresta está ou ão a rota defiida. Areação de equações diofatias Uma equação diofatia é uma equação alébrica com coeficietes e variáveis iteiras. Assim, um sistema de equações diofatias é formado por um cojuto de equações com coeficietes e variáveis iteiras. Trasformar um sistema de equações lieares em uma úica restrição cujo cojuto solução de iteiros ão eativos cotém o cojuto de solução do sistema oriial é iteressate do poto de vista de resolução de problemas de proramação liear iteira. Existem métodos descritos a literatura sobre areação de equações para duas ou mais equações. O trabalho de Mathews [apud ] permite arear equações diofatias com coeficietes iteiros ão-eativos, erado uma úica equação. A partir do trabalho de Mathews [apud ], outros resultados de areações suriram a literatura, como os propostos os trabalhos de Elimam e Elmahraby [] e Babayeve e Mardaov [2], que buscam dimiuir os coeficietes da equação areada torado, em eral, sua resolução mais rápida computacioalmete. Para um melhor etedimeto destes métodos e, para facilitar a obteção da equação areada para um cojuto de equações lieares iteiras, implemetamos um prorama em liuaem C. Assim, dado um cojuto de equações como etrada o prorama forece a equação areada fial. Problema de Frobeius para equações Diofatias Cosiderado o sistema ax by c d mdc a,b, temos que toda combiação liear de a e b é múltipla de d e, portato, uma codição ecessária para existêcia da solução é que d c. Isso já pode ser utilizado como um pré-processameto, evitado buscas desecessárias por soluções. Na verdade, essa codição é ecessária e suficiete, pois dada uma solução iicial bk ak ( x 0, y 0 ), k Z o par ordeado x0 +, y0 é também solução. Tal solução iicial d d sempre existe pois, pelo Teorema de Bézout [8], o máximo divisor comum de dois úmeros iteiros é uma combiação liear deles: c c c d ax0 + bxy 0 d a x0 + b xy0 d d d c c Tomado x 0 x0 e y 0 xy0 é uma solução desde que d c. d d Cosiderado o caso em que os coeficietes de uma equação diofatia são todos iteiros positivos e as variáveis ão-eativas, o fato do máximo divisor comum dividir o termo idepedete ão arate a existêcia de uma solução. Com isto, sure o questioameto de quais são os valores do termo idepedete que podem ser escritos como combiação liear ão-eativa dos coeficietes positivos da equação. Esse problema é cohecido como o problema de Frobeius para equações Diofatias, que propõe ecotrar, dada uma equação Diofatia liear iteira ão-eativa, o maior iteiro que ão pode ser escrito como combiação liear iteira ão-eativa dos coeficietes da equação. Dessa forma, pode-se + e ( ) 800

3 afirmar que, a partir de um certo valor, sempre há solução para a equação diofatia os iteiros ão-eativos. Para o caso ode a equação possui somete dois coeficietes iteiros ão eativos primos etre si (a e a 2 ), o maior úmero que ão pode ser escrito como combiação liear iteira ão-eativa destes coeficietes, vale [6]: ( aa2 ) aa2 a O desafio de ecotrar o maior valor que ão pode ser combiação liear iteira positiva para valores maiores que dois é bem mais complicado e, com isto, ão existe uma fórmula fechada para casos maiores que dois [6]. Diversos trabalhos, porém, tratam de ecotrar fórmulas do limitate de Frobeius para três e quatro variáveis com certas restrições que possibilitem uma fórmula explícita para o limitate. A seuir serão apresetados alus teoremas desses trabalhos. Teorema a são relativamete primos e ( a ) Se,a2, a3 Teorema 2 Seja ( a,a,a ) 2 3 a a +, etão: 2 a3 aa i + max ai a2 + a3 um iteiro ão-eativo. Etão: a a + i 2,3 a + 2 ( a,a +,a + 2,a + ) ( a + ) a + a a + a + 2 a + 3 ( a,a +,a + 2,a + ) a a 6 a 6 a + 6 a a a + 6 a + 6 ( a,a +,a + 2,a + 6) a Para o caso eral, o ível de dificuldade é aida maior, sedo praticamete iviável ecotrar o valor exato do limitate mesmo para poucas variáveis [6]. Além disso, o problema é NP- Completo para o caso eral. Assim, passa a ser mais iteressate a busca por cotas que idiquem apeas que a partir do valor desta cota sempre haverá solução. Uma cota iteressate e simples de ecotrar é tetar reduzir o problema ao caso de duas variáveis. Cosidere que: a x + a x + K + a x L (6) 2 2 Para verificar se esta equação tem ou ão solução, primeiro deve-se averiuar se mdc( a,a2, K,a ) L pois, caso cotrário, ão há solução. Depois pode-se supor, sem perda de eeralidade, que a a2 K a. No caso em que existem dois coeficietes primos etre si, escolhe-se o meor par em que isso ocorre. Supodo que seja o par ae a 2 e como x i, i, K, pertece aos iteiros ão-eativos, pode-se se escrever a equação (6) iorado os termos a3,a, K, a, como se procurássemos soluções em que x3 x K x 0, resultado a seuite equação: a x + a2 x2 L que possui um limitate de Frobeius, como descrito ateriormete: aa2 a. Dessa forma, se L for maior que esse valor, pode-se afirmar que a equação tem solução. Além disso, pode-se afirmar que o limitate de Frobeius dessa equação, L*, tem uma cota superior iual a: * L aa2 a. Por outro lado, se L aa2 a ão se pode afirmar ada sobre essa equação em termos de solução. Vale ressaltar que essa aálise foi possível, cosiderado o caso especial em 80

4 que existem dois coeficietes primos etre si. Isso pode ocorrer mesmo em casos que mdc( a,a2, K,a ), ou seja, mesmo que a codição do máximo divisor comum dividir o termo idepedete ocorra, ão há sempre aratia da hipótese feita ser válida. Portato, o método para propor essa cota superior vale somete esses casos especiais. Metodoloia O modelo ()-() para o TSP permite trasformar o problema com várias equações iteiras, que refletem as restrições que são impostas aturalmete pelo problema, utilizado areação. A ideia pricipal da resolução proposta para o problema é reduzir as restrições impostas ou um cojuto destas restrições, através de areações de equações Diofatias, reduzido o tempo para a busca de soluções. Há aida casos em que se pode cosiderar um préprocessameto, parado a busca por uma solução, pois um cojuto de restrições ão apreseta solução. Isso evita, em muitos casos, processametos desecessários. A aálise descrita ateriormete cosiste em arupar alumas restrições do problema em uma úica equação que coteha o cojuto solução do sistema oriial de restrições, dimiuido o tempo de processameto das mesmas. E aida, através do limitate de Frobeius, poder afirmar cateoricamete em vários casos se há ou ão solução para o sistema de forma rápida. Resultados Alus testes foram realizados para arear equações Diofatias que represetassem as restrições do TSP. Primeiramete, realizamos testes cosiderado as restrições (3). Para um rafo com vértices, a seuite equação areada foi obtida pelo teorema de Mathews: 2690 x x x 72x2 72x23 72x2 08x3 x x3 + 8x + 8x2 + 8x y + 72y2 08y y 8098 Observado a cota descrita para o limitate de Frobeius para o caso eral, como o mdc 8,2690 e são os dois meores com essa característica, temos: ( ) L * que é um úmero maior que o termo idepedete 8098, portato ada se pode afirmar para tal equação em termos de existêcia de solução, mas o úmero de restrições foi reduzido para apeas uma equação. Este problema com vértices, com e sem areação, foi resolvido utilizado o pacote GLPK (GNU Liear Prorammi Kit) e a solução foi obtida o mesmo tempo computacioal de 0.0s. Quado o úmero de vértices foi um pouco maior (oito vértices) o tempo para ecotrar a solução ótima o caso com areação foi bem maior (.2s) que o caso sem areação (0.3s), ou seja, ão foi bom utilizar areação. A utilização da areação também ão foi eficiete com 0 vértices, pois o comportameto foi parecido. Com 6 vértices, o resultado com areação após cerca de 0 miutos ão cheou a ehum resultado e foi ecerrado a busca, pois o tempo já estava muito elevado em relação ao tempo sem areação, que utilizou.3s. Assim, percebemos que a areação de equações para restrições do tipo (3), que teham apeas coeficietes zeros e us, ão foi eficiete, torado a busca por soluções mais leta. Quado restrições que evolvam desiualdades a mesma direção o modelo são substituídas por uma úica restrição que é uma combiação liear das ateriores isso tem o efeito de torar o cojuto de soluções factível maior []. Isso pode acarretar em um tempo de busca maior, como foi mostrado os exemplos ateriores. Etretato, resolvemos fazer ovos testes pesado que, em problemas como o TSP, em eral, podem surir outros tipos de restrições além das já apresetadas. Por exemplo, existem problemas em que o caixeiro tem capacidade máxima de carreameto ou os vértices 802

5 têm pesos, idicado importâcia ou precedêcia. Assim, uma ova alterativa foi direcioar a areação para esse tipo de restrição, visto que para restrições com coeficietes zeros e us as areações ão foram bem sucedidas. Cosidere que as seuites restrições de capacidade foram impostas ao TSP: 2x + x2 + 3x3 + 2x + x + 0x6 + 9x7 + 0x8 x + 0x + 0x + x + 2x + 0x + 8x + 26 x x + 8x2 + 9x3 + 0x + 7 x + 20x6 + x7 + x8 Tedo em vista um pré-processameto, pode-se verificar que o limitate de Frobeius arate que há solução para alumas restrições acima, pois utilizado a cota descrita ateriormete, temos: L L 2 L < > 3 Nada se pode afirmar > 38 Nada se pode afirmar. Ao tetar resolver esse problema sem areação, ão foi possível ecotrar solução em 20 miutos e a busca foi iterrompida. Usado a areação cosiderado o arupameto das duas primeiras restrições, obtivemos o seuite sistema: 32x + 6x2 + 73x x x + 70x x x8 3x + 8x2 + 9x3 + 0x + 7 x + 20x6 + x7 + x Neste caso, a resposta foi obtida em 0.0 seudos, ou seja, um aho de tempo excelete com a areação. Com a areação das três restrições obteve-se: 982x x x x x x x x8 399 que foreceu resposta em.0 seudos, um aho também muito bom em comparação ao cojuto de restrições ão areadas. Cosiderado aora um ovo cojuto de restrições impostas ao problema, como o descrito a seuir: 3x + x2 + 7 x3 + x + 3x + 37 x6 x + 8x + 6 x + x + 23x + x x + 3x2 + 2x3 + 8x + 3x + 7 x6 23x + 7 x2 + x3 + 3x + x + 37 x6 7 Novamete fazedo um pré-processameto, pode-se verificar que a cota do limitate de Frobeius para as restrições ateriores será: L L 2 L 3 L < < < > Nada se pode afirmar. Areado as quatro equações, teremos: x x x x x x6 cuja solução foi ecotrada em.3s. Para um ovo cojuto de restrições: x + 6 x2 + 7 x3 + 9x x + 8x + 6 x + x x + 3x2 + 2x3 + 8x 23x + 7 x2 + x3 + 3x

6 Aalisado o Limitate de Frobeius para a primeira restrição, pode-se calcular exatamete o limitate de Frobeius da seuite forma: a a + a + 2 ( a,a +,a + 2,a + ) ( a + ) (,6 7,,9 ) ( + ) (,6 7,,9 ) Pode-se afirmar que ão existe solução para o sistema, pois o termo idepedete é iual ao limitate de Frobeius, portato 8 é o maior iteiro que ão pode ser escrito como combiação liear ão eativa dos coeficietes,6,7 e 9. Esse tipo de pré-processameto pode ser bastate útil, pois evita a busca por uma solução iexistete. Cosiderações Fiais A otimização do tempo de busca para muitos problemas computacioais é alo sempre relevate. Diate disso, esse trabalho teve como efoque a criação de uma metodoloia visado uma busca mais rápida de soluções para problemas de proramação liear iteira, como o TSP. A metodoloia abordada cosistiu em arupar restrições com a utilização de coceitos de areação de equações Diofatias, verificado o impacto desta areação o tempo de solução do problema, bem como a qualidade da solução e o asto computacioal. Percebeuse que a metodoloia ão fucioou bem para equações com coeficietes zeros e us, torado a busca por solução mais leta em quase todos os casos. Em cotrapartida, ao aalisar restrições mais erais, que eralmete são impostas esses problemas, verificou-se que o tempo de busca de solução foi bastate reduzido os casos testados. Além disso foi proposta a utilização de um pré-processameto baseado o limitate de Frobeius, visado uma melhora o tempo de busca. Os tempos computacioais mostraram que esta abordaem pode ser útil em alus casos particulares. Referêcias [] J.L.R. Alfosí, "The Diophatie Frobeius Problem", Oxford Uiversity Press, USA, 200. [2] D. A. Babayev e S. S. Mardaov, Sequetial ad simultaeous areatio of diophatie equatios, Discrete Applied Mathematics, vol. 0, pp , (99). [3] R. Diestel, "Graph Teory", Sprier-Verla, New York, [] A. A. Elimam e S.E. Elmahraby, O the reductio method for iteer liear prorams, II, Discrete Applied Mathematics, vol. 2, pp , (98). [] M. C. Goldbar e H. P. L. Lua, "Otimização Combiatória e Proramação Liear", Elsevier, São Paulo, [6] A. Khuraa e K. G. Murty, How effective is areatio for solvi 0 models?, Opsearch, vol. 9, pp. 78-8, 202. [7] E.L.Lawler e J.K.Lestra, "The Traveli Salesma Problem", Wiley, Chichester, 98. [8] A. C. Muiz Neto, Como Fermat e Bézout podem salvar o dia, Eureka! Olimpíada Brasileira de Matemática, vol. 2,., pp. 2-30,