Algoritmo Imunológico Artificial CLONALG e Algoritmo Genético Aplicados ao Problema do Caixeiro Viajante

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1 Algoritmo Imuológico Artificial CLONALG e Algoritmo Geético Aplicados ao Problema do Caixeiro Viajate Simoe S. F. Souza Rube Romero Departameto de Egeharia Elétrica, Faculdade de Egeharia de Ilha Solteira (FEIS) Uiversidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP), Ilha Solteira, SP, BRASIL s: simoefrutuoso.mat@gmail.com, rube@dee.feis.uesp.br Palavras-chaves: Problema do Caixeiro Viajate, Sistemas Imuológicos Artificiais, Algoritmo de Seleção Cloal, Algoritmo Geético. Resumo: Neste artigo apreseta-se uma comparação etre o algoritmo de seleção cloal e o algoritmo geético, quado aplicados a resolução do problema do caixeiro viajate (PCV). Tato os algoritmos evolutivos, como os imuológicos são abordages eficietes para a solução de problemas de otimização combiatorial. Desta forma, visado obter parâmetros comparativos (bechmarkig) etre os métodos, ambos foram codificados a mesma liguagem (Matlab) e executados o mesmo computador, sedo testados com as mesmas istacias do problema. Para avaliar os métodos, utilizou-se 15 istâcias do PCV simétrico da base de dados TSPLIB, das quais a solução ótima é cohecida, possibilitado uma aálise comparativa mais precisa. Através dos resultados obtidos obteve-se uma situação de trade-off de qualidade de solução e tempo computacioal. 1 Itrodução Os Sistemas Imuológicos Artificiais [1] são abordages ispiradas os sistemas imuológicos biológicos. Sua cocepção visa reproduzir computacioalmete as pricipais habilidades, propriedades e pricípios dos mecaismos aturais de defesa, seleção e maturação. O algoritmo de seleção cloal (CLONALG) é ispirado o pricípio de seleção cloal e os mecaismos de seleção e maturação proporcioal a afiidade [3]. Este algoritmo é uma abordagem clássica imuológica, cujo pricípio básico de fucioameto é classificado como algoritmos evolutivos (AE) e têm se destacado pela eficiete solução de problemas de busca e otimização, pricipalmete os de caráter combiatório. Os algoritmos evolutivos propõem um paradigma de solução de problemas através da ispiração a biologia evolutiva, pricipalmete a teoria da seleção atural. Dada uma população de idivíduos, os de melhor qualidade têm maior probabilidade de sobrevivêcia e reprodução, podedo cotiuar o processo de busca pela solução ótima. Esta é uma característica da evolução das espécies que também é observada em algus algoritmos de sistemas imuológicos artificiais, como o algoritmo CLONALG, que são baseados a teoria da seleção cloal e maturação de afiidade [3]. Neste artigo, apreseta-se um algoritmo CLONALG e um Algoritmo Geético (AG) para resolver o problema do caixeiro viajate. Neste cotexto será realizada uma aálise comparativa etre os dois métodos, a fim de avaliar o desempeho computacioal e a qualidade das soluções obtidas. Para está aálise os métodos foram executados o mesmo computador, codificados a mesma liguagem de programação e com o mesmo úmero de iterações. Para avaliar os dois métodos ambos foram testados com istâcias simétricas da base de dados TSPLIB (Travelig Salesma problem Library) [16]. Trata-se de uma base de dados clássica dispoível a literatura. Este artigo está orgaizado como a seguir. Na seção 2 apreseta-se o problema do caixeiro viajate. A descrição do algoritmo de seleção cloal (CLONALG) está a seção 3. Na seção 4 apreseta-se a descrição do AG. Os testes e resultados são apresetados a seção 5 e por fim, a seção 6 apreseta a coclusão para este trabalho.

2 2 O problema do Caixeiro Viajate O Problema do Caixeiro Viajate (PCV) pode ser descrito da seguite forma: Dado um cojuto de M cidades, o objetivo é determiar a rota de meor custo (distâcia) tal que: a rota (tour) iicia e termia a mesma cidade, cada cidade é visitada apeas uma vez, a distâcia da rota tem o mesmo valor para a rota ji. Para o PCV existem diversos modelos matemáticos, sedo o modelo de Datzig- Fulkerso-Johso um dos mais utilizados a literatura, que é descrito coforme a seguir [9]: Miimizar Sujeito a: z x i 1 x j 1 i, j S j 1 i 1 1 c x j N i N 1 x S 1 S N x {0,1} i, j N (5) c i, j N (6) c ji em que: N é o cojuto de cidades (vértices), A é o cojuto de camihos (arcos), x 1, se o arco i, j A for escolhido para itegrar a solução e x 0 caso cotrário, S é um subgrafo de G=(N,A), S é o úmero de vértices do subgrafo S e c ou c ji é o custo do camiho. O PCV é classificado como um problema NP-difícil, desta forma, os métodos exatos ão são utilizados para resolver istâcias de grade porte, assim os métodos de otimização combiatorial são comumete empregados em sua resolução [8]. 3 Metodologia Nesta seção descreve-se a codificação dos algoritmos para a resolução do problema do caixeiro viajate. 3.1 Represetação de uma solução para o PCV O PCV foi codificado coforme ilustrado a figura 1, em que um vetor de tamaho represeta a proposta de solução. Cada elemeto do vetor represeta um vértice do problema, isto é, idetifica uma cidade. Assim, o vetor solução apreseta um tour em que as cidades são visitadas a sequecia em que se ecotram a codificação. (1) (2) (3) (4) Figura 1: Represetação de uma proposta de solução. 3.1 Algoritmo de Seleção Cloal aplicado ao PCV O algoritmo de seleção cloal (CLONALG Cloal Selectio Algorithm) se ispira o pricípio de seleção cloal que ocorre o sistema imuológico biológico. Este algoritmo foi proposto por [3]. Na sequêcia apreseta-se o algoritmo CLONALG para resolver o PCV:

3 Passo 1: Gere uma população (P) com N aticorpos (soluções cadidatas). A população iicial foi gerada com a heurística do viziho mais próximo, coforme descrita em [11], [15]; Passo 2: Avalie a afiidade (fução objetivo) de cada aticorpo e selecioe (processo de seleção) os melhores aticorpos da população P, obtedo o cojuto P {} ; Passo 3: Reproduza (processo de cloagem) os melhores aticorpos selecioados, gerado uma população (C) com N c cloes. A quatidade de cloes de cada aticorpo é diretamete proporcioal a sua afiidade; Passo 4: Submeta a população de cloes (C) a um processo de hipermutação, ode a taxa de mutação é proporcioal à afiidade do aticorpo. Uma população (C*) de aticorpos maduros/maturados é gerada. Para fazer a maturação os aticorpos cloados foi utilizado o método de melhoria 2-opt [12]; Passo 5: Avalie a afiidade de cada aticorpo pertecete a (C*) e re-selecioe os melhores aticorpos (C* {} ) e os adicioe a população P descartado os aticorpos de pior qualidade; Passo 6: Substitua d aticorpos de baixa afiidade por ovos aticorpos (P {d} ) (diversidade ou metadiâmica). Os aticorpos com baixa afiidade possuem maior probabilidade de serem substituídos. Os ovos aticorpos sáo gerados da mesma forma que os; Passo 7: Repita os passos de 2 a 6 até satisfazer o critério de parada. O algoritmo CLONALG possui cico parâmetros pricipais, descritos a seguir [5]: Tamaho da população de aticorpos (N): Especifica o total de aticorpos a serem matidos pelo sistema; Tamaho da área de seleção (): Refere-se ao úmero total de aticorpos com maiores afiidades que são selecioados da população para serem cloados; Quatidade de aticorpos a serem substituídos (d): Número de aticorpos com baixa afiidade que devem ser substituídos por ovos aticorpos; Fator de cloagem ( ): Cotrola o úmero de cloes gerados; Número máximo de gerações: Especifica o úmero total de iterações que o algoritmo deve realizar. A quatidade N c de cloes gerada o Passo 3 para cada aticorpo i é dada pela equação (7) [4]: N roud( ) (7) i N i c ode é um fator multiplicativo etre [0,1], N é a quatidade total de aticorpos da população P, e roud(.) é o operador de arredodameto para o iteiro mais próximo. A taxa de mutação (α) de cada cloe é defiida pela equação (8) [4]: exp( D*) (8) em que ρ é um parâmetro de cotrole de amortecimeto da fução expoecial e D* é o valor ormalizado da afiidade D, que pode ser calculado coforme apresetado a equação (9). Dmi D* (9) D Desta forma, cada cloe sofre um processo de mutação dado por [6]: m roud( * N(0,1)) (10) ode m é a quatidade de mutações que cada cloe do aticorpo sofrerá, roud(.) é o operador de arredodameto para o iteiro mais próximo, α é a taxa de mutação e N(0,1) é uma variável radômica gaussiaa de média zero e desvio padrão σ = 1. 4 Algoritmo Geético aplicado ao PCV A versão mais popular do AG foi proposta em [10]. O AG represeta a pricipal classe dos algoritmos evolutivos. Na sequêcia apreseta-se um AG para o PCV: Passo 1: Gere uma população (P) com N idivíduos (possíveis soluções). A população iicial foi gerada com a heurística do viziho mais próximo, coforme descrita em [11], [15];

4 Passo 2: Avalie o fitess (fução objetivo) de cada idividuo da população (P); Passo 3: Selecioe a partir da população (P) pares de idivíduos com melhor valor de fitess. Neste caso foi utilizada a seleção por toreio, sedo selecioados 50% dos idivíduos; Passo 4: Implemete o operador de recombiação geética. Nesta etapa os pares de idivíduos (pais) selecioados são combiados, através do operador order crossover proposto em [2], gerado dois descedetes cada. Passo 5: Implemete o operador de mutação geética. A mutação cosiste em criar variabilidade a população através de pequeas perturbações (mudaças a codificação geética), com o ituito de itroduzir diversidade os descedetes gerados. Para a mutação foi utilizado o método de melhoria 2-opt [12]. Os descedetes mutados substituem os pais a ova população; Passo 6: Repita os passos de 2 a 5 até que o critério de parada seja satisfeito. Os pricipais parâmetros do AG são [2]: N: é a quatidade de idivíduos da população; pr: taxa de recombiação (crossover); pm: taxa de mutação; Número máximo de gerações: Especifica o úmero total de iterações que o algoritmo deve realizar. 4 Resultados Neste tópico apresetam-se os resultados obtidos os testes realizados para os algoritmos. Todos os testes foram realizados utilizado um PC Itel Core 2 Duo 1.9 GHz, 2 GB de Memória RAM, e sistema operacioal Widows 7 Ultimate 32 bits. Os dois algoritmos foram codificados e implemetados em MATLAB [13]. Visado garatir a veracidade das soluções, cada teste foi executado 20 vezes e foi calculada a média e desvio percetual das soluções obtidas em relação a melhor solução cohecida. Nos testes realizados os dois algoritmos foram executados com a mesma quatidade de iterações. Para fazer as comparações e testes, foram utilizados 15 problemas obtidos a base de dados TSPLIB (Travelig Salesma problem Library) [16]. Os problemas possuem etre 26 e 176 cidades. A Tabela 1 apreseta os parâmetros do AG. Na Tabela 2 apresetam-se os parâmetros do algoritmo CLONALG. Todos os parâmetros, de ambos os métodos, foram obtidos de forma empírica, através de testes. Tabela 1 Parâmetros do AG. Parâmetros Valor Tamaho da população (N) 120 Taxa de Mutação (pm) 0,15 Taxa de Recombiação (pr) 0,8 Número máximo de gerações 3000 Tabela 2 Parâmetros do CLONALG. Parâmetros Valor Tamaho da população (N) 120 Tamaho da área de seleção () 30 Quatidade de aticorpos a serem substituídos (d) 5 Fator de Cloagem ( ) 0,2 Taxa de cotrole da fução expoecial ( ) 2 Número máximo de gerações 3000 Na Tabela 3 apresetam-se os resultados dos testes computacioais realizados, em que: MTC é o melhor tour cohecido a literatura, MT é a distâcia do melhor tour ecotrado por cada algoritmo, MDT é a distâcia média das 20 execuções, DESV é o desvio Percetual da solução média para a melhor solução cohecida (DESV = MDT / MTC) e TP é o tempo médio de processameto das 20 execuções em segudos.

5 TSPLIB MTC (melhor Tour Cohecido) MT (Melhor Tour) Tabela 3 Resultados. Algoritmo Geético MDT (Tour Médio) DESV (Desvio Percetual) TP (Tempo Médio) Algoritmo CLONALG MT MDT DESV TP brazil ,8 0, , ,7 0, ,48 pr ,761 82, , ,26 ch ,6 0, , ,95 0, ,60 bayg ,8 0,919 36, ,4 0,646 88,64 pr , , , ,58 pr ,000 89, ,000 91,52 pr , , , ,20 pr ,1 0, , ,1 0, ,23 eil ,2 1, , , ,15 li ,5 0, , ,3 0, ,45 eil ,045 74, ,8 1, ,95 eil ,05 1,185 42, ,3 1,948 97,12 berli ,000 42, , ,06 st ,8 1,156 69, ,25 0, ,21 bier ,4 1, , , ,18 Míimo 0,000 36,12 0,000 88,64 Média 1, ,14 0, ,90 Máximo 4, ,32 2, ,45 Aalisado os resultados obtidos pelo AG, a média da melhor solução obtida se difere em 1,040% do ótimo. Avaliado todas as soluções obtidas, observa-se que o máximo uma solução se difere em 4,204% do ótimo. Nos resultados obtidos pelo algoritmo CLONALG, observa-se que, em média, a melhor solução obtida se difere em 0,745% do ótimo. Avaliado todas as soluções obtidas, observa-se que o máximo uma solução se difere em 2,292% do ótimo. Comparado os resultados obtidos pelos dois algoritmos, o CLONALG foi capaz de obter soluções de melhor qualidade para a maioria das istâcias, como pode ser observado pelos valores em destaque a Tabela 3. Em geral, as execuções o algoritmo CLONALG ecotrou a solução ótima mais vezes que o AG, aalisado as melhores soluções ecotradas pelos dois algoritmos, o CLONALG superou o AG em 7 istâcias. Fazedo uma comparação em relação ao tempo de processameto computacioal observase que o AG tem melhor desempeho que o algoritmo CLONALG. O tempo médio de execução para todas as soluções, o AG foi executado em 116,14 s, e o algoritmo CLONALG foi executado em 185,90 s. O tempo de processameto mais elevado do CLONALG se justifica, pelo fato de que são gerados muitos cloes de aticorpos, assim o processo de mutação para todos os cloes é muito caro em termos computacioais. O algoritmo CLONALG ecotra soluções de melhor qualidade em cotraste com seu maior tempo de execução em comparação ao AG. Isto é um exemplo clássico de trade-off, ou seja, quado compara-se dois algoritmos e uma apreseta soluções de melhor qualidade, mais tempo de processameto iferior ao outro algoritmo [14]. Assim, caso a prioridade seja uma solução de melhor qualidade, o algoritmo CLONALG é a melhor escolha etre os dois algoritmos, abrido mão de um meor tempo de resposta. No etato, caso a prioridade seja uma resposta rápida, pode ser possível abrir mão de uma melhor qualidade de solução, escolhedo o AG. 5 Coclusão Neste artigo foram utilizados dois algoritmos para resolver um problema clássico de otimização combiatória, o PCV. O algoritmo CLONALG é uma técica de sistemas imuológicos artificiais com características evolutivas. O AG compõe a classe de algoritmos evolutivos mais

6 difudidos a literatura. Para avaliar o desempeho dos algoritmos foram feitos vários testes com istâcias dispoíveis a literatura, das quais são cohecidas as melhores soluções, possibilitado uma avaliação e comparação mais precisa dos algoritmos. Os resultados demostraram uma boa performace de ambos os métodos, sedo que, em média, o AG obteve soluções que desviam 1,040% do ótimo e o algoritmo CLONALG obteve soluções que desviam 0,745% do ótimo. O algoritmo CLONALG ecotrou uma maior quatidade de soluções ótimas, superado o AG em 7 istâcias. Na aálise de tempo de processameto, costatou-se que o AG é superior ao CLONALG, desta forma, ocorre o trade-off etre qualidade de solução e tempo de processameto. Assim coclui-se que o algoritmo CLONALG foi capaz de obter soluções de melhor qualidade que o AG, o etato, com um esforço computacioal maior. Agradecimetos Os autores agradecem a CAPES e ao CNPq pelo apoio fiaceiro de pesquisa. Referêcias [1] D. Dasgupta. Artficial Immue Systems ad Their Applicatios. Spriger-Verlag New York, Ic., Secaucus, NJ, USA, [2] L. Davis. Hadbook of geetic algorithm, Va Nostrad Reihold Compay [3] L. N. de Castro ad J. F. Vo Zube. The cloal selectio algorithm with egieerig applicatios. I: Workshop Proceedigs of Gecco, Workshop o Artificial Immue Systems ad Their Applicatios, 2000, Las Vegas. p , (2000). [4] L. N. de Castro. Egeharia Imuológica: Desevolvimeto e Aplicação de Ferrametas Computacioais Ispiradas em Sistemas Imuológicos Artificiais. Tese de Doutorado, Faculdade de Egeharia Elétrica e de Computação, Uiversidade Estadual de Campias, Campias, Brasil, [5] L. N. de Castro ad J. I. Timmis. Artificial immue systems: A ew computatioal itelligece approach, Spriger-Verlag, Heidelberg [6] F. O. de Fraça; J. F. VON ZUBEN ad L. N. de CASTRO. A Artificial Immue Network for Multimodal Fuctio Optimizatio o Dyamic Eviromets. I: Proc. GECCO, Washigto, DC, USA, pp , (2005). [7] S. Forrest; A. Perelso; L. Alle ad R. Cherukuri. Self-Noself Discrimiatio i a computer, Proc. do IEEE Symposium o Research i Security ad Privacy, pp (1994). [8] M. R. Garey ad D. S. Johso. Computers ad itractability: A guide to the theory of NPcompleteess, W. H. Freema & Co., New York (1979). [9] M. C. Goldbarg; H. P. L. Lua. Otimização combiatória e programação liear: modelos e algoritmos. 2. ed. Rio de Jaeiro: Campus, [10] J. H. Hollad. Adaptatio i atural ad artificial systems: A itroductory aalysis with applicatios to biology, cotrol ad artificial itelligece, MIT Press (1992). [11] G. Laporte; M. Gedreau; J.Y. Potvi e F. Semet. Classical ad moder heuristics for the vehicle routig problem, Iteratioal Trasactios i Operatioal Research, v.7, 4/5, p , (2000). [12] S. Li ad B. W. Kerigha. A Effective Heuristic Algorithm for the Travelig Salesma Problem, Operatios Research, v.21, p , (1973). [13] Matlab (2011). 7.8 Versio, Mathworks Compay. [14] Z. Michalewicz ad D. B. Fogel. How to solve it: Moder heuristics, Spriger (2000). [15] A. G. Novaes. Logística e Gereciameto da Cadeia de Distribuição. Rio de Jaeiro: Campus, (2001). [16] TSPLIB (2013). Travelig Salesma problem Library, dispoível em: