INTEGRAÇÃO DE MODELOS DE LOCALIZAÇÃO A SISTEMAS DE INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS

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1 INTEGRAÇÃO DE MODELOS DE LOCALIZAÇÃO A SISTEMAS DE INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS Luiz Atoio Nogueira Lorea Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada LAC Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE Edso Luiz Fraça See Departameto de Matemática Faculdade de Egeharia de Guaratiguetá FEG Uiversidade Estadual Paulista UNESP João Argemiro de Carvalho Paiva Divisão de Processameto de Images DPI Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE Marcos Atoio Pereira Laboratório Associado de Computação e Matemática Aplicada LAC Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE/LAC Resumo O problema das p-mediaas pode ser descrito como o de localizar p facilidades (mediaas) em uma rede miimizado a soma de todas as distâcias de cada poto de demada a sua mediaa mais próxima. Em algus casos podem haver restrições a capacidade de atedimeto das facilidades (problema de p- mediaas capacitado). Modelos de localização de facilidades têm sido propostos como ferrametas de auxílio à decisão, pricipalmete quado é possível usar Sistemas de Iformações Geográficas (SIGs) a coleta e aálise dos dados dos problemas. Apresetamos este trabalho um relato da itegração de modelos de p-mediaas aos SIGs ArcView, da ESRI, e SPRING, um sistema desevolvido o INPE. O código que foi itegrado a estes SIGs implemeta uma abordagem recete da heurística Lagrageaa/surrogate, ode a viabilização da solução dual é feita através de uma heurística de localização-alocação alterada. O trabalho apreseta algus testes computacioais usado dados do muicípio de São José dos Campos, com tamahos variado até o máximo de 3280 ós e 4 mediaas para o caso ão capacitado. Palavras-chave: Localização, Sistemas de Iformações Geográficas, Heurísticas Lagrageaas. Abstract The p-media problem is the problem of locatig p facilities (medias) o a etwork miimizig the sum of all distaces from each demad poit to its earest facility. Restrictios o the capacity of each facility may be preset (capacitated p-media problems). Facility locatio models have bee proposed as decisio makig tools, maily whe geographic iformatio systems (GIS) ca be used to capture, to store ad to aalyze the data of the problems. I this work we preset the itegratio of a p-media model to both ArcView, a GIS by ESRI (Evirometal Systems Research Istitute, Ic.), ad SPRING, a GIS developed by INPE (Natioal Istitute for Space Research). The computer program that has bee itegrated to these geographic iformatio systems implemets a recet approach of Lagragea/surrogate heuristic which uses a locatio-allocatio heuristics i order to search for the primal feasibility of itermediate dual solutios. The paper presets some computatioal tests which have bee coducted with data from São José dos Campos city, represetig problems with up to 3280 odes ad 4 medias i the ucapacitated problem. Key Words: Facility Locatio, Geographical Iformatio Systems, Lagragea Heuristics

2 . Itrodução Problemas de localização tratam de decisões sobre ode localizar facilidades, cosiderado clietes que devem ser servidos de forma a otimizar algum critério [Drezer, 995], [Daski, 995]. O termo facilidades é utilizado para desigar fábricas, depósitos, escolas etc., equato clietes refere-se a depósitos, uidades de vedas, estudates etc. Em geral, as facilidades podem tato ser selecioadas como ovos cetros a serem abertos como também ser escolhidas o subcojuto de cetros existetes. Por isso, tais problemas também são cohecidos como problemas de localização-alocação, devido ao processo de alocação dos outros cetros aos cetros abertos. Em certos casos podem existir restrições sobre a capacidade de atedimeto de tais facilidades. Neste tipo de problema, cosidera-se que cada cliete possui associada uma demada a ser satisfeita pelo cetro escolhido para atedê-lo. A soma das demadas de todos os clietes atedidos por um cetro ão deve superar a capacidade de atedimeto do mesmo. Quado esse tipo de codicioate estiver presete, dizemos tratar-se de um problema de localização capacitado. As aplicações de problemas de localização de facilidades ocorrem os setores público e privado. No caso de setores públicos, procura-se maximizar a satisfação dos clietes em detrimeto dos custos ecessários para o alcace de tal objetivo. Exemplos de aplicações em setores públicos são a localização de escolas, postos de saúde, corpo de bombeiros, ambulâcias, viaturas de polícia, potos de ôibus, etre outros. No caso do setor privado, ode custos fixos estão evolvidos, as aplicações evolvem, em geral, fábricas, depósitos, torres de trasmissão, lojas de fraquias etc. O problema das p-mediaas é um problema clássico de localização de facilidades e cosiste em localizar p facilidades (mediaas) em uma rede, de modo a miimizar a soma das distâcias de cada ó de demada à sua mediaa mais próxima. As primeiras formulações dos problemas foram apresetadas em [Hakimi, 964] e [Hakimi, 965]. O problema é bem cohecido como sedo NP-hard [Garey ad Johso, 979]. Vários métodos heurísticos e métodos que exploram uma busca em árvore têm sido desevolvidos para o problema das p- mediaas [Teitz ad Bart, 968], [Jarvie ad Rajala, 972], [Neebe, 978], [Christofides ad Beasley, 982]. O uso combiado de técicas heurísticas de relaxação lagrageaa e otimização por subgradietes, de um poto de vista primal-dual, tem se mostrado eficiete a solução do problema [Galvão ad Raggi, 989], [Beasley, 993], [Lorea ad See, 999]. Modelos de localização de facilidades têm sido propostos, há algum tempo, como ferrametas de auxílio à decisão, pricipalmete quado uma base de dados geograficamete refereciada estiver dispoível. Nestes casos, os Sistemas de Iformações Geográficas (SIGs) são muito importates a coleta e aálise desses dados [Burrough, 986]. Sistemas de Iformações Geográficas [Fischbeck, 994] itegram uma sofisticada iterface gráfica a uma base de dados geo-refereciados, costituido-se em poderosas ferrametas de aálise e plaejameto espacial. Problemas complexos de localização de facilidades podem ser tratados com SIGs, levado-se em cota várias iformações espaciais e, também, sócio-ecoômicas. O uso combiado de SIGs e técicas de Pesquisa Operacioal para resolver problemas de localização aida ão está totalmete difudido a comuidade cietífica iteracioal. Mas, levado-se em cota sua capacidade de armazear, exibir e maipular dados espacialmete distribuídos, a itegração de algoritmos de localização aos SIGs foi iiciada há algus aos. Este trabalho relata a itegração de modelos de localização de p-mediaas, sem e com restrições de capacidade, aos SIGs ArcView da ESRI (Evirometal Systems Research Istitute, Ic.) e SPRING, um sistema desevolvido pela Divisão de Processameto de Images (DPI) do INPE. O código itegrado aos SIGs implemeta uma abordagem recete da heurística lagrageaa/surrogate, ode a viabilização da solução dual é feita através de uma heurística de localização-alocação alterada. A itegração com o ArcView foi feita através de scripts escritas em Aveue e a itegração ao SPRING foi realizada criado-se um método que atua a

3 represetação vetorial dos modelos de rede, temático e cadastral. O trabalho apreseta algus testes computacioais usado dados do muicípio de São José dos Campos, com tamahos variado até o máximo de 3282 ós e 4 mediaas, para o problema de localização ão capacitado. 2. O Problema das p-mediaas Os problemas das p-mediaas cosiderados este trabalho podem ser modelados como problemas de programação iteira 0-. Sem perda de geeralidade, vamos cosiderar que as mediaas serão escolhidas do cojuto de potos cosiderado o problema. Assim, para o caso ão capacitado, o modelo matemático será: (P) sujeito a: v(p) = Mi d x x j= j= x i= j= () =, i N (2) jj = x jj ode: N = {,..., }, sedo o úmero de ós a rede; p é o úmero de facilidades (mediaas) a serem localizadas; [d ] é uma matriz de custo (distâcia), com d jj = 0, j N; [x ] é a matriz de alocação, com: p (3) x, i, j N, i j (4) x {0, }, i, j N (5) e x, se o ó i é atedido pelo cetro j, i j; = 0, caso cotrário. x jj, se o ó j é um cetro; = 0, caso cotrário. As restrições (2) e (4) garatem que a cada ó i é alocado a somete um ó j, que deve ser uma mediaa. A restrição (3) determia o úmero exato de mediaas a ser localizado (p), e (5) correspode às codições de itegralidade. Para o caso capacitado (PMC), substitui-se as restrições (4) por: ai x i= b j x jj, j N (4 ) ode: a i é a demada do ó i; b j é a capacidade de atedimeto do ó j, se este for escolhido como cetro (mediaa).

4 A técica heurística usada para resolver (P) de forma aproximada é cohecida como relaxação lagrageaa/surrogate e já foi aplicada com sucesso a outros problemas de otimização combiatória [Lorea ad Lopes, 994], [Lorea ad Narciso, 996], [Lorea ad See, 996], [See ad Lorea, 997], [Lorea ad See, 999], [Narciso ad Lorea, 999]. Uma discussão sobre as relaxações lagrageaa e surrogate pode ser ecotrada em [Parker ad Rardi, 988]. A relaxação lagrageaa/surrogate utilizada este trabalho para o problema de p-mediaas ão capacitado está descrita em [See ad Lorea, 2000]. 3. A Heurística Lagrageaa/Surrogate A relaxação lagrageaa/surrogate desevolvida para resolver de forma aproximada o problema de p-mediaas capacitado (PMC) apreseta melhores resultados que a relaxação lagrageaa usual, obtedo limitates de igual qualidade com meor esforço computacioal [Narciso ad Lorea, 999], [Lorea ad See, 999]. Para um dado sujeito às restrições (3), (4 ) e (5). Para um dado t 0 e R, a relaxação lagrageaa/surrogate de (PMC) é dada por: + v(l t PMC ) = Mi ( d t ) x + t i i= j= i= R +, v(l t PMC ) v(pmc ) v(pmc), ), ode PMC é a relaxação surrogate de PMC. O problema (L t PMC ) pode ser resolvido cosiderado-se a restrição (3) implicitamete e decompodo-se o problema para o ídice j, obtedo-se os seguites sub-problemas da mochila: Mi i= ( d t ) x sujeito às restrições (4 ) e (5). No caso do problema ão capacitado (P), os sub-problemas resultates possuem uma estrutura diferete, devido à atureza do modelo matemático correspodete. Cada sub-problema é facilmete resolvido fazedo-se: β j = [mi{ 0, d ti }] i= i i e escolhedo-se J como o cojuto de ídices dos p meores β j. Assim, uma solução problema (L t PMC ) é dada por: x para o x jj, se j J = 0, caso cotrário e, para todo i j: x, se j J e d t i < 0 = 0, caso cotrário Neste caso, o valor da solução lagrageaa/surrogate é dada por:

5 j= v( L PMC ) = β x + t t Fazedo-se t = a relaxação (L t PMC ) tem-se a relaxação lagrageaa usual, usado o multiplicador. Para um multiplicador fixo, o melhor valor para t pode ser ecotrado resolvedo-se o problema dual lagrageao: v( D ) = max v(l t PMC ). t O melhor valor da relaxação lagrageaa/surrogate forece um limitate melhor do que o obtido pela relaxação lagrageaa usual. Uma solução exata para ( D ) pode ser obtida por uma busca sobre diferetes valores de t (ver [Mioux, 975] e [Hadler ad Zag, 980]). Etretato, em geral, existe um itervalo t 0 t t (com t 0 = ou t = ) que também produz limitates melhores, como pode-se ver pela Figura a seguir: j jj t 0 i= i t v(ltpmc ) v(d t ) v(l PMC ) t 0 t* t Figura : Limitates lagrageao/surrogate. Assim, para obter um bom limitate, ão é ecessário ecotrar o melhor valor de t (t*), sedo suficiete ecotrar um valor T tal que t 0 T t, através de um procedimeto de busca heurística ([See ad Lorea, 2000]). Etretato, se o valor de T se mativer costate por um úmero de iterações fixado a priori, etão esse valor será matido para todas as relaxações seguites e o procedimeto de busca ão será mais executado. O algoritmo de subgradietes a seguir é usado para resolver o problema das p-mediaas. Neste algoritmo, C = {j N x jj = } é o cojuto dos ós já fixados como mediaas. Dados 0, 0; Fazer lb =, ub = +, C = ; Repetir Resolver a relaxação (L t PMC ) obtedo x e v(l t PMC ); Obter uma solução viável x f e seu valor v f ; Atualizar lb = max {lb, v(l t PMC )}; Atualizar ub = mi {ub, v f }; Fixar x jj = se v(l t PMC xjj = 0 ) ub, j N C; Atualizar o cojuto C; Fazer g i = x, i N; j= Atualizar o tamaho do passo θ;

6 Fazer i = max {0, i + θ g i }, i N; Até que (algum teste de parada seja satisfeito). calculado como: O valor iicial de usado é dado por i = mi {d }, i N. O tamaho do passo é j N π ( ub lb) θ =. 2 g O cotrole do parâmetro π é o proposto por [Held ad Karp, 97]. Iicialmete seu valor é fixado em 2, sedo reduzido à metade em cada iteração sempre que lb mativer seu valor costate por 30 iterações sucessivas. Os testes de parada usados são os seguites: a) π 0.005; b) ub lb < ; c) 2 g = 0 d) todas as mediaas foram fixadas. 3.. Algoritmo de Busca Local A solução x ão é ecessariamete viável, mas o cojuto J idetifica os ós mediaas que podem ser usados para produzir soluções viáveis para ambos os problemas. Para o caso ão capacitado, os ós ão-mediaas são realocados às suas mediaas mais próximas, produzido uma solução viável x f para (P) dada por: ( x jj ) f, = 0, se j J caso cotrário e para todo j k: ( x jj ) f, se j J e k = ídice 0, caso cotrário de mi{ d = j J } com v f = i= [ mi{ d }]. j J No caso capacitado, o processo de obteção de uma solução factível x f para o (PMC) utiliza o algoritmo MTGH de [Martello ad Toth, 990], para resolver de forma aproximada o seguite problema geeralizado de alocação (PGA): Max z = i N J j J p x f f (PGA) sujeito a: ai x bj, j J. i N J f j J x =, i N J. f x {0, }, i N J, j J.

7 ode: p = d é o gaho se o ó i for atribuído à mediaa j, i N J e j J; a i é a demada associada à ão-mediaa i, i N J; b j é a capacidade da mediaa j, j J;, se o ó i é alocado à mediaa j; x f = 0, caso cotrário. A heurística de localização-alocação, ispirada o trabalhos de [Cooper, 963] e [Taillard, 996], baseia-se a observação que, após a defiição de x f, obtém-se exatamete p aglomerados (clusters) C m = {j m, I m }, ode j m J é o ídice do ó mediaa do cluster C m, m {, 2,..., p}, e I m = {i N J x f m = } é o cojuto dos ós ão mediaas alocados à mediaa j m. A solução x f pode ser melhorada procurado-se por uma ova mediaa detro de cada aglomerado, trocado-se a mediaa atual por um ó ão mediaa e recalculado-se as alocações. Este processo se repete até que ão seja mais possível obter melhorias o custo total da alocação. O algoritmo de localização-alocação utilizado este trabalho, para o caso capacitado, está dado a seguir. Heurística de Localização-Alocação (HLA) Sejam: I m o cojuto de ídices dos ós ão mediaas alocados à mediaa m; Z m = d kj o custo do cluster C m m = {j m, I m }; D m = k I m k k I m j } a a demada total do cluster C m ; { m Repetir (A) Para cada cluster C m, m =,..., p, fazer: trocas = 0; Se (trocas < MAX_TROCAS) etão: Se existe um ó ão mediaa i I m tal que: b i D m e Z m(i) < Z m, ode I m(i) = I m {j m } {i} Etão Itercambiar i com j m, atualizado o cluster C m ; trocas = trocas + ; (B) Seja J = {j,..., j p } o cojuto atual de ídices dos ós mediaas. Resolver o (PGA) cosiderado o cojuto J, obtedo um ovo cojuto de clusters C,..., C p. Equato (for possível melhorar a solução viável). Para o caso capacitado, o algoritmo de localização-alocação acima cosidera aida, os potos assialados por (A) e (B), a possibilidade de alterações as alocações dos ós ão mediaas aos ós mediaas de cada cluster, verificado a possibilidade de um ó r pertecete a um cluster C r ser removido deste cluster e alocado a outro cluster C s (r s), ou etão verificado a possibilidade de dois ós u e v (pertecetes aos clusters C u e C v,

8 respectivamete) serem itercambiados, levado-se em cota as demadas dos ós, as capacidades das respectivas mediaas e o custo da solução resultate. Nos testes computacioais foi utilizado MAX_TROCAS = Itegração a Sistemas de Iformações Geográficas O algoritmo de p-mediaas descrito a seção aterior foi itegrado a dois Sistemas de Iformações Geográficas: ArcView [ESRI, 996] e SPRING [SPRING, 998]. Os estudos foram realizados cosiderado uma base de dados cotedo iformações de algumas regiões da cidade de São José dos Campos, SP. As subseções a seguir cotém algus detalhes das etapas das duas itegrações desevolvidas este trabalho. 4.. Itegração ao ArcView O algoritmo para a solução dos problemas das p-mediaas capacitado e ão capacitado foi implemetado através de programas escritos em liguagem C e compilados com MS Visual C++. Os dados ecessários aos programas foram obtidos a partir da base de dados existete os mapas temáticos sobre os quais foram feitos os estudos. Através de scripts escritas a liguagem Aveue, dispoível o ArcView, esses dados foram orgaizados em arquivos texto para serem passados como etrada aos respectivos programas. Em ambos os casos, a distâcia etre os potos foi calculada a partir da escala do mapa o qual estão iseridos os potos cosiderados. Os valores resultates represetam a distâcia direta liear etre os potos ou a distâcia sobre os arcos (ruas e aveidas) que compõem o mapa. Neste modelo de solução do problema das p-mediaas, a distâcia etre os potos foi o úico parâmetro de custo cosiderado. Para a visualização da solução, utilizou-se a fução Spider, dispoível o ArcView, que foi modificada para se adequar às ecessidades da itegração. Esta fução verifica as distâcias etre os potos de demada, cotidos em um tema, e os potos relativos aos cetros ofertates, cotidos em outro tema, e faz a ligação dos potos de demada aos cetros selecioados para atedimeto Caso ão capacitado Foram desevolvidos dois módulos para resolver o problema de p-mediaas sem restrições de capacidade. O primeiro módulo utiliza como etrada os dados um arquivo texto gerado por uma script. Este arquivo cotém o seu primeiro registro o úmero de potos (ós) e o úmero de mediaas a serem cosideradas. Os registros seguites formam uma lista de coordeadas X-Y de todos os potos do tema escolhido para estudo. Como resultado, o programa gera um arquivo tipo texto cotedo a matriz simétrica de distâcias etre cada par de potos. O segudo módulo cotém a implemetação da heurística lagrageaa/surrogate. O arquivo de distâcias gerado pelo módulo aterior cotém os dados ecessários ao programa que, após o processameto, forece a solução para o problema o formato de um arquivo tipo texto, cotedo uma lista de triplas formadas por: ó de demada, sua mediaa correspodete e a distâcia etre eles. O último registro deste arquivo idica o status da solução ecotrada: "Ótima" (gap fechado por limites) ou "Não-Ótima". As Figuras 2 e 3 a seguir mostram algus resultados obtidos utilizado dados do cetro da cidade de São José dos Campos. Os polígoos de fudo correspodem ao tema escolhido para represetar as quadras do cetro da cidade. Os potos sobrepostos são os ós de demada cosiderados.

9 Figura 2: Potos de demada o ArcView. A script desevolvida para esta itegração utiliza a iformação do arquivo cotedo a solução do problema e cria dois ovos temas. Um tema de potos represeta as mediaas ecotradas pelo algoritmo, e um tema de lihas represeta a alocação poto-mediaa: Figura 3: Visualização da solução de problema de p-mediaas ão capacitado.

10 4..2. Caso capacitado Para resolução do problema de p-mediaas capacitado, apeas um módulo foi desevolvido, cotedo todas as rotias do procedimeto heurístico. Parâmetros específicos a liha de comado permitem selecioar se trata-se de distâcias lieares ou calculadas sobre o tema de rede. Os valores de demada cosiderados este trabalho foram extraídos dos temas dispoíveis, baseado o úmero de imóveis existetes em cada quadra, ode quadras com úmero ulo de imóveis recebiam um valor de demada igual a. A partir dessa iformação, a script calcula a demada total como sedo a soma da demada de todos os potos do tema selecioado. Este valor é etão dividido pelo úmero de mediaas a serem localizadas, defiido assim a capacidade de cada cetro de atedimeto. Para efeitos de estudo, este valor foi multiplicado por um fator t >, permitido modelar ceários com escassez ou excesso a capacidade de atedimeto das p facilidades escolhidas. Por questões de factibilidade, a capacidade de atedimeto de cada cetro (supostas iguais) ão deve ser iferior ao maior valor de demada idividual observado o tema escolhido. O programa desevolvido para resolver o problema de p-mediaas capacitado utiliza como etrada de dados um arquivo tipo texto gerado pela script, que cotém o seu primeiro registro o úmero de potos (ós) e o úmero de mediaas a serem cosideradas. Depededo do tipo de distâcia cosiderada (liear ou a rede), os registros seguites formam uma lista ordeada de iformações que possibilitam ao programa ecotrar a solução, apresetada como um arquivo texto, cotedo a alocação cetro-vértice e a respectiva distâcia. Um úmero ao fial do arquivo idica o tipo da solução obtida: Ótima ou Não-ótima. Nas Figuras 4 e 5 tem-se a visualização da solução de um problema cotedo 3 vértices, dos quais foram selecioados 3 para a istalação de facilidades. No primeiro estudo cosiderou-se distâcias lieares e o segudo foram utilizadas distâcias calculadas sobre a rede que represeta um subcojuto das ruas que compõem o cetro da cidade de São José dos Campos. Como pode-se observar, existem difereças etre as soluções dos dois estudos. Figura 4: Solução do problema de p-mediaas capacitado, distâcias lieares

11 Observa-se que a formação de agrupametos permite cosiderar a possibilidade de roteameto dos vértices associados a cada cetro. Neste exemplo, cosiderou-se que a mediaa (em destaque) seria o poto de origem e de destio da rota. Para o cálculo das rotas foi utilizado o módulo Network Aalyst, que itegra o pacote de módulos opcioais do ArcView. Figura 5: Solução do problema de p-mediaas capacitado, com roteameto, cosiderado distâcias a rede Itegração ao SPRING O Sistema de Processameto de Iformações Georefereciadas [SPRING, 998] é um sistema computacioal desevolvido pela equipe da Divisão de Processameto de Images (DPI) do Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais. Este sistema objetiva a itegração e aálise de diferetes tipos de dados espaciais. O modelo de dados do SPRING está baseado o paradigma de orietação a objetos [Câmara, 995]. Um baco de dados geográfico é composto de plaos de iformação, de objetos geográficos, e de iformações ão espaciais. Os plaos de iformação podem represetar iformações cotíuas o espaço (campos), ou os objetos geográficos idividuais. Cada plao de iformação pode coter represetações espaciais do tipo vetorial ou varredura. A represetação vetorial correspode a lihas, potos, e polígoos que defiem as formas de represetação dos objetos espaciais, equato a represetação de varredura correspode a uma matriz de potos com valores em cada célula. Os tipos de dados tratados o SPRING são: Mapas temáticos: cada iformação represeta um tema ou classe de iformação. Por exemplo as classes de uso do solo de uma região. Mapas cadastrais ou mapa de objetos: ao cotrário de um mapa temático, cada elemeto é um objeto geográfico, que possui atributos e que pode estar associado a várias represetações gráficas. Por exemplo, os lotes de uma cidade são elemetos do espaço geográfico que possuem atributos (doo, localização, valor veal, IPTU devido, etc.) e que podem ter represetações gráficas diferetes (poligoais, lieares, ou potuais) em mapas de escalas distitas. Mapas de redes: correspodem a mapas cadastrais, com a difereça de que geralmete os objetos são represetados por elemetos lieares ou potuais. As represetações potuais devem estar localizadas em potos de itersecção de lihas a rede.

12 Modelo umérico de terreo: deota a represetação de uma gradeza que varia cotiuamete o espaço. Comumete associados à altimetria, podem ser utilizados para modelar outros feômeos de variação cotíua (como variáveis geofísicas, geoquímicas e batimetria). Images: represetam dados de sesoriameto remoto ou fotografias aéreas. O algoritmo para localização das mediaas pode ser aplicado o SPRING em dados dos modelos temático, cadastral e de redes, da forma descrita a seguir: Para uso em um dado temático é ecessário que a represetação vetorial coteha potos. As localizações espaciais dos potos e a distâcia liear etre os mesmos são utilizados o processo de localização das mediaas. Para o dado cadastral o procedimeto de localização das mediaas atua sobre uma determiada categoria de objetos selecioada. Todos os objetos desta categoria que estejam associados a uma represetação potual são utilizados a aálise de localização, que usa a distâcia liear etre os potos. Para o modelo de redes o modo de utilização é similar ao do modelo cadastral, com a difereça de que a distâcia etre os potos pode ser escolhida etre liear, ou ser computada a partir da própria rede. A Figura 6 mostra a iterface para execução da fução de localização de mediaas o SPRING. O cálculo das mediaas usa a área da iformação que está visível o moitor. A partir de um plao de iformação ativo, o usuário defie o úmero de mediaas a serem calculadas. Se o plao ativo correspoder a um dado temático esta é a úica iformação ecessária a ser forecida, sedo cosiderada a distâcia liear etre os potos. Para o caso de dados cadastrais ou de redes, a lista de categorias de objeto fica ativa para que seja selecioado um tipo de objeto. A pricípio apeas objetos do mesmo tipo etram a aálise de localização, podedo esta restrição ão existir em versões futuras. O cálculo da distâcia etre os potos correspode à distâcia liear para os modelos temático e cadastral, equato que para o modelo de redes também está dispoível selecioar que a distâcia seja calculada baseada a própria rede. Para o caso capacitado, a iterface apreseta a opção de se associar algum valor de demada ou peso para os potos em aálise. Este valor pode ser obtido a partir de um atributo do objeto o baco de dados. Figura 6: Iterface de diálogo para localização de mediaas o SPRING.

13 As Figuras 7 e 8 mostram os resultados da aálise de localização em uma pequea região da cidade de São José dos Campos. Algus objetos localizados em ós da rede correspodem à possíveis localizações para istalação de algum tipo de atividade. Dado o úmero de mediaas a se ecotrar, o programa gera como resultado a tela, os potos correspodetes às mediaas (represetados por círculos) e associa os outros potos à mediaa mais próxima. Pode-se observar que os resultados cosiderado as distâcias liear e da rede ão ecessariamete são iguais. Figura 7: Cálculo de mediaas o SPRING usado distâcia liear. Figura 8: Cálculo de mediaas o SPRING usado distâcias da própria rede.

14 5. Testes Computacioais e Resultados Foram realizados algus testes computacioais para testar a eficiêcia do algoritmo de p-mediaas apresetado a seção 3. Neste trabalho foi utilizado um microcomputador Petium MMX 233MHz com 28MB de RAM e os dados correspodem às quadras e ruas da região cetral da cidade de São José dos Campos. Os resultados estão apresetados as Tabelas e 2 a seguir. Nestas tabelas, todos os tempos computacioais excluem o tempo ecessário para estabelecer a matriz de distâcias. As tabelas cotém: : úmero de ós da rede; p: úmero de mediaas; LIf: valor da melhor solução dual obtida (limite iferior da solução ótima); LSup: valor da melhor solução viável obtida (limite superior da solução ótima); Gap: gap percetual de dualidade, ou seja, 00% (LSup LIf)/LSup; Tempo: tempo computacioal (em segudos). Tabela - Resultados dos Testes Computacioais: Caso Não Capacitado p LIf LSup Gap Tempo , ,02 0,000 4, , ,35 0,007 7, , , 0,2 7, ,3 320,52 0,023 7, , ,6 4,897 7, , ,8 0,60 02, , ,44 0,766 97, , ,77 0,070 60, , ,3,975 43, , ,3,24 57, , ,57 2,550 66, , ,6 5,20 85, , ,00 0,00 699, , ,75 0, , , ,50 0, , , ,25,556 06, , ,8 0,40 954, , ,84 3,70 530, , ,50 4,25 606, , ,27 6, ,76 Os resultados da Tabela mostram que os valores para os gaps de dualidade são pequeos, demostrado a efetividade do algoritmo de p-mediaas para dados reais distribuídos geograficamete. Os resultados com dados reais para o caso capacitado compõem a Tabela 2. Como pode-se observar, a complexidade do problema reflete-se os tempos computacioais, sesivelmete mais elevados que os problemas ão capacitados de mesma dimesão. Os gaps de dualidade também se mativeram baixos, cofirmado a robustez da heurística também para este tipo de problema.

15 Tabela 2 - Resultados dos Testes Computacioais: Caso Capacitado p LIf LSup Gap Tempo , ,99 0,246 87, , ,04 0, , , ,30 0, , , ,9 0, , , ,23 0, , , ,30, ,38 Os dados utilizados e os resultados obtidos estão dispoíveis em 6. Coclusão Modelos de localização de facilidades têm sido propostos, há algum tempo, como ferrametas de auxílio à decisão, pricipalmete quado uma base de dados geograficamete refereciada pode ser usada e Sistemas de Iformações Geográficas podem ser utilizados para a aálise desses dados. Neste trabalho discutiu-se a itegração de modelos de p-mediaas aos Sistemas de Iformações Geográficas ArcView, da ESRI, e SPRING, em desevolvimeto o INPE. O código itegrado a estes SIGs implemeta uma abordagem recete da heurística Lagrageaa/surrogate que tem se mostrado eficiete em diversas classes de problemas de Otimização Combiatória. Testes computacioais realizados usado dados do muicípio de São José dos Campos demostram a efetividade do algoritmo proposto para utilização em Sistemas de Apoio à Decisão usado Sistemas de Iformações Geográficas. Agradecimetos Os autores agradecem o apoio fiaceiro da FAPESP - Fudação para o Amparo à Pesquisa o Estado de São Paulo (proc. 96/ ). O primeiro, segudo e quarto autores agradecem também o apoio recebido do CNPq - Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico (procs /9-5, /88-6 e /99-4, respectivamete). Referêcias Bibliográficas Beasley, J.E. Lagragea Heuristics for Locatio Problems, Europea Joural of Operatioal Research, 65: , 993. Burrough, P.A. Priciples of Geographical Iformatio Systems for Lad Resources Assessmet, Claredo Press, Oxford, 986. Câmara, G. Modelos, Liguages e Arquiteturas para Bacos de Dados Geográficos. Tese de Doutorado, INPE São José dos Campos, SP, 995. Christofides, N.; Beasley, J.E. A tree search algorithm for the p-media problems, Europea Joural of Operatioal Research, 0: , 982. Cooper, L. Locatio-allocatio problems. Operatios Research, : , 963. Daski, M. Network ad Discrete Locatio: Models, Algorithms, ad Applicatios, Wiley Itersciece, NY, 995. Drezer, Z. (ed.) Facility Locatio: A Survey of Applicatios ad Methods, Spriger-Verlag, NY, 995. Dyer, M.E. Calculatig surrogate costraits, Mathematical Programmig, 9: , 980. ESRI - Evirometal Systems Research Istitute, Ic. Aveue Customizatio ad Applicatio Developmet for ArcView, Redlads, CA, 996.

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